湖南省湖南师大附中2019_2020学年高一数学上学期期中试题

湖南省湖南师大附中2019-2020学年高一数学上学期期中试题时量：120分钟 满分：150分得分：____________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{}x |x －2≤1，x ∈N *，则集合A 的真子集个数是 A ．3 B ．6 C ．7 D ．82．图中阴影部分所表示的集合是A ．B ∩∁U ()A ∪C B.()A ∪B ∪()B ∪C C.()A ∪C ∩()∁U BD ．∁U ()A ∩C ∪B3．函数f ()x ＝2x－2x－a 的一个零点在区间()1，2内，则实数a 的取值范围是A.()1，3B.()1，2C.()0，3D.()0，24．函数f ()x ＝1ln ()x ＋1＋9－x 2的定义域为A.[)－3，0∪(]0，3B.()－1，0∪(]0，3C.[]－3，3D.(]－1，35．下列幂函数中，既是奇函数，又在区间()－∞，0上为减函数的是A ．y ＝x 12B ．y ＝x 13C ．y ＝x 23D ．y ＝x －136．已知f ()x ＝⎩⎨⎧()a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是A.()－∞，2B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138C.()2，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 7．函数f (x )＝e x －e－x x2的图象大致为8．下列命题中错误的个数为①f ()x ＝12＋12x －1的图像关于(0，0)对称；②f ()x ＝x 3＋x ＋1的图像关于(0，1)对称；③f ()x ＝1x 2－1的图像关于直线x ＝0对称．A ．1B ．2C ．3D ．09．已知函数f ()x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数f ()x ＋1的反函数的图象可能是10．函数f ()x 是定义在R 上的奇函数，且f ()－1＝0，若对于任意x 1，x 2∈()－∞，0，且x 1≠x 2时，都有x 1f ()x 1－x 2f ()x 2x 1－x 2<0成立，则不等式f ()x <0的解集为A.()－∞，1∪()1，＋∞B.()－1，0∪()0，1C.()－∞，－1∪()0，1D.()－1，0∪()1，＋∞ 11．已知函数f (x )＝||1－||1－x ，若关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＝0有n 个不同的实根，则n 的值不可能为A ．3B ．4C ．5D ．612．已知定义域为D 的函数f (x )，若对任意x ∈D ，存在正数M ，都有|f (x )|≤M 成立，则称函数f (x )是定义域D 上的有界函数．已知下列几个函数：①f (x )＝52x 2－4x ＋3；②f (x )＝1－x 2；③f (x )＝3＋x 4－x；④f (x )＝1－3x.其中有界函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．413．化简0.064－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－180＋21＋log 25的结果为________．14．已知函数f ()x ＝a ||x ＋1＋||x －2a ()a>0，a ≠1为偶函数，则a ＝________．15．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则用“<”连接a ，b ，c 为________．16．设a ，b ，c 为实数，f(x)＝(x ＋a)(x 2＋bx ＋c)，g(x)＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)，记集合S ＝{x|f(x)＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论可能成立的是________．①|S |＝1，|T |＝0；②|S |＝1，|T |＝1；③|S |＝2，|T |＝2；④|S |＝2，|T |＝3.三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝1x －1，B ＝{}y |y ＝3x －1.(Ⅰ)求A∩B；(Ⅱ)若M ＝{}x |mx ＋4<0且(A∩B)⊆M ，求实数m 的取值范围．设f ()x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f ()x ＝x 2. (Ⅰ)求函数f (x )的解析式； (Ⅱ)若对任意的x ∈[]a ，a ＋2，不等式f ()x ＋a ≥2f ()x 恒成立，求实数a 的取值范围．设f (x )＝log 121－axx －1为奇函数，a 为常数．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)证明：确定f (x )在区间(1，＋∞)内的单调性；(Ⅲ)设A ＝[3，4]，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |f （x ）>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋m ，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．设二次函数f ()x ＝ax 2＋bx ＋c ()a ，b ，c ∈R 满足下列条件：①当x ∈R 时，f (x )的最小值为0，且图像关于直线x ＝－1对称；②当x ∈()0，5时，x ≤f ()x ≤2||x －1＋1恒成立．(Ⅰ)求f ()x 的解析式；(Ⅱ)若f ()x 在区间[]m －1，m 上恒有⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ()x －x 24≤1，求实数m 的取值范围．对于在区间[]p ，q 上有意义的两个函数f ()x 和g ()x ，如果对于任意的x ∈[]p ，q ，都有|f ()x －g ()x |≤1，则称f ()x 与g ()x 在区间[]p ，q 上是“接近”的两个函数，否则称它们在[]p ， q 上是“非接近”的两个函数．现有两个函数f ()x ＝log a ()x －3a ，g ()x ＝log a1x －a()a >0，且a ≠1，给定一个区间[]a ＋2，a ＋3.(Ⅰ)若f ()x 与g ()x 在区间[]a ＋2，a ＋3都有意义，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)讨论f ()x 与g ()x 在区间[]a ＋2，a ＋3上是否是“接近”的两个函数．如图，某油田计划在铁路线CD 一侧建造两家炼油厂A 、B ，同时在铁路线上建一个车站Q ，用来运送成品油．先从车站出发铺设一段垂直于铁道方向的公共输油管线QP ，再从P 分叉，分别向两个炼油厂铺设管线PA 、PB .图中各小写字母表示的距离(单位：千米)分别为a ＝5，b ＝8，l ＝15.设所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，公共输油管线长为k km ，总的输油管道长度为s km.(Ⅰ)若k ＝0，请确定车站Q 的位置，使得总的输油管道长度为s 最小，此时输油管线铺设费用是多少？(Ⅱ)请问从降低输油管线铺设费用的角度出发，是否需要铺设公用管线．如果需要请给出能够降低费用管线铺设方案(精度为0.1千米)．(参考数据：225＋132＝19.85，225＋122＝19.21，225＋112＝18.60，225＋102＝18.03，225＋92＝17.49，225＋82＝17.00，225＋72＝16.55，225＋62＝16.16，225＋52＝15.81，225＋42＝15.52，225＋32＝15.30.)湖南师大附中2019—2020学年度高一第一学期期中考试数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.3.C 【解析】根据指数函数和反比例函数的性质可知，函数f ()x ＝2x－2x－a 在区间()1，2内是增函数，又有一个零点在区间()1，2内，所以⎩⎨⎧f ()1<0f ()2>0⇒0<a<3，故选C .4．B 【解析】由⎩⎨⎧x ＋1>0ln ()x ＋1≠09－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x>－1x≠0－3≤x≤3⇒－1<x≤3且x≠0.5．D 【解析】考查幂函数的性质．6．C 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧a －2>02()a －2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>2a≥138⇒a>2，故选C . 7．B 【解析】函数f ()－x ＝e －x －e x()－x 2＝－e x －e －xx2＝－f ()x ，函数f ()x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，当x ＝1时，f ()1＝e －1e>0，排除D ，当x→＋∞时，f ()x →＋∞，排除C .8．D 【解析】①f ()x ＋f ()－x ＝0，②f ()x ＋f ()－x ＝2，③f ()－x ＝f ()x ，所有命题都正确．9．D 【解析】考查反函数和图像的平移．10．C 【解析】令F ()x ＝xf ()x ，因为函数f ()x 是定义在R 上的奇函数，所以f ()x ＝－f ()－x ，则F ()－x ＝－xf ()－x ＝xf ()x ＝F ()x ，所以F ()x 是偶函数，因为任意x 1，x 2∈()－∞，0，且x 1≠x 2时，都有x 1f ()x 1－x 2f ()x 2x 1－x 2<0成立，所以F ()x 在()－∞，0上是单调递减，在()0，＋∞上是单调递增，又因为f ()－1＝0，所以F ()－1＝－f ()－1＝0＝F ()1.当x <－1时，F (x )>F (－1)＝0，因为x <0，∴f (x )<0；因为当－1<x <0时，F ()x <F ()－1＝0，因为x <0，所以f ()x >0； 当0<x <1时，F ()x <F ()1＝0，因为x >0，所以f ()x <0； 当x >1时，F ()x >F ()1＝0，因为x >0，所以f ()x >0.所以不等式f ()x <0的解集为()－∞，－1∪()0，1.故选C.11．A 【解析】因为函数⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥22－x ，1≤x <2x ，0≤x <1－x ，x <0，作出f (x )的图像如下：由[f (x )]2＋af (x )＝0得：f (x )＝0或f (x )＝－a ，所以方程[f (x )]2＋af (x )＝0的解的个数，即为函数f (x )与x 轴以及直线y ＝－a 交点个数，由图像可得：f (x )与x 轴有2个交点，①当－a <0，即a >0时，函数f (x )与直线y ＝－a 无交点，故原方程共2个解； ②当－a ＝0，即a ＝0时，原方程可化为f (x )＝0，故原方程共2个解； ③当0<－a <1，即－1<a <0时，函数f (x )与直线y ＝－a 有4个交点，故原方程共6个解； ④当－a ＝1，即a ＝－1时，函数f (x )与直线y ＝－a 有3个交点，故原方程共5个解； ⑤当－a >1，即a <－1时，函数f (x )与直线y ＝－a 有2个交点，故原方程共4个解； 综上，原方程解的个数可能为2，4，5，6.故选A.12．B 【解析】①②共2个.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13.272(或13.5)14.1215．a>c>b 【解析】解法一，先比较b ，c ，构造函数f ()x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x，∵0<25<1，∴f ()x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，且25<35，c>b ，再比较a ，c ，a c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3225>⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，a>c ，综上，可得a>c>b ；解法二，先比较a ，c ，构造函数f ()x ＝x 25，0<25<1，f ()x ＝x 25为增函数，∵35>25，∴a>c ，同理可得c>b ，综上，可得a>c>b.16．①②③ 【解析】|T|＝3时，必有a≠0，c ≠0，b 2－4c>0，设x 0为g(x)＝0的一根，则x 0≠0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋b 1x 0＋c ＝1x 30g(x 0)＝0，故1x 0为方程f(x)＝0的根．此时f(x)＝0有三个根，即|T|＝3时，必有|S|＝3，故不可能是|S|＝2，|T|＝3.三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解析】(Ⅰ)由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝1x －1，B ＝{}y |y ＝3x －1， 得A ＝()1，＋∞，(2分) B ＝()0，＋∞，(4分) A ∩B ＝()1，＋∞；(6分)(Ⅱ)由(A∩B)⊆M ，得()1，＋∞⊆M ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<0－4m≤1⇒m ≤－4.(10分)18．【解析】(Ⅰ)由题意知，f(0)＝0.设x<0，则－x>0，故f(－x)＝(－x)2＝x 2，又因为f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)＝－x 2，所以f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x<0.(4分)(Ⅱ)由2x 2＝()2x 2，等价于f ()x ＋a ≥f ()2x ，因为f ()x 在R 上是增函数，(6分)∴x ＋a ≥2x ，即a ≥()2－1x ，(8分)∵x ∈[]a ，a ＋2，∴当x ＝a ＋2时，[()2－1x ]max ＝()a ＋2()2－1，(10分) 得a ≥2，故实数a 的取值范围是[)2，＋∞.(12分)19．【解析】(Ⅰ)∵f (－x )＝－f (x )，∴log 121＋ax －1－x ＝－log 121－ax x －1＝log 12x －11－ax .(2分)∴1＋ax －x －1＝x －11－ax，即(1＋ax )(1－ax )＝－(x ＋1)(x －1)恒成立，∴a ＝－1.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f (x )＝log 12x ＋1x －1＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1(x >1或x <－1)．(5分)记u (x )＝1＋2x －1，由定义可以证明u (x )在(1，＋∞)上为减函数，(7分) ∴f (x )＝log 12x ＋1x －1在(1，＋∞)上为增函数．(8分)(Ⅲ)设g (x )＝log 12x ＋1x －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.(9分)由于f (x )＝log 12x ＋1x －1在(1，＋∞)上为增函数且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是R 上的减函数，所以g (x )在[3，4]上为增函数．(10分)∵g (x )>m 对x ∈[3，4]恒成立，∴m <g (x )min ＝g (3)＝－98.(11分)故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98.(12分) 20．【解析】(Ⅰ)在②中令x ＝1，有1≤f ()1≤1，故f ()1＝1.(2分)当x ∈R 时，f (x )的最小值为0且二次函数关于直线x ＝－1对称， 故设此二次函数为f ()x ＝a ()x ＋12()a >0.(3分)∵f ()1＝1，∴a ＝14.(5分)∴f ()x ＝14()x ＋12.(6分)(Ⅱ)f ()x －x 24＝14()x ＋12－x 24＝12x ＋14，(7分)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ()x －x 24≤1即|12x ＋14|≤1，得－52≤x ≤32.(9分) ∵f ()x 在区间[]m －1，m 上恒有⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ()x －x 24≤1，∴只须⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－52m ≤32，解得－32≤m ≤32，(11分)∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.(12分)21．【解析】(Ⅰ)要使f ()x 与g ()x 有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －3a >0x －a >0a >0且a ≠1⇒x >3a (2分)要使f ()x 与g ()x 在[]a ＋2，a ＋3上有意义，则x >3a 对x ∈[a ＋2，a ＋3]恒成立， 所以a ＋2>3a ，(4分)又因为a >0，故0<a <1.(6分)(Ⅱ)|f ()x －g ()x |＝|log a []()x －3a ()x －a |， 令|f ()x －g ()x |≤1，得－1≤log a []()x －3a ()x －a ≤1.(*)(7分) 因为0<a <1，所以[]a ＋2，a ＋3在直线x ＝2a 的右侧．所以h ()x ＝log a []()x －3a ()x －a 在[]a ＋2，a ＋3上为减函数． 所以h ()x min ＝h ()a ＋3＝log a ()9－6a ，h ()x max＝h ()a ＋2＝log a ()4－4a .(9分) 于是⎩⎨⎧log a ()4－4a ≤1log a()9－6a ≥－10<a <1，∴0<a ≤9－5712.所以当a ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，9－5712时，f ()x 与g ()x 是接近的；(11分)当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫9－5712，1时是非接近的．(12分)22．【解析】(Ⅰ)作A 关于CD 的对称点A ′，连A ′B ，则它与CD 交于点Q ，连QA 、QB ，由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为l 2＋（a ＋b ）2，这是最短的，此时CQ ＝a a ＋bl .将数据代入，得s ＝225＋132＝19.85 km ，x ＝513×15＝7513＝5.77 km ，输油管线铺设费用是7.2s ＝7.2×19.85＝142.92万元．(4分)(Ⅱ)设公用的输油管线将沿垂直于铁道方向铺设k km.在CD 的A 一侧作一条与之平行、相距为k 的直线EF ，作A 关于EF 的对称点A ′，连A ′B ，则它与EF 交于点P ，这点是分叉点．由它向两个炼油厂铺设的输油管道的总长度为l 2＋[（a －k ）＋（b －k ）]2，这是在确定k 的前提下最短的．(6分)以C 为原点，铁路线为x 轴建立直角坐标系．则可以得到，在这种情况下最短的管道铺设的总长度应为s ＝k ＋l 2＋[（a －k ）＋（b －k ）]2(7分)三条管道交叉点的坐标为(x ，k )，x ＝a －k（a －k ）＋（b －k ）l .k ＝0相当于不铺设公用管道的情形．(8分)将数据代入上式有s ＝k ＋225＋（13－2k ）2，x ＝15×5－k 13－2k (10分)对于不同的k ，分别计算管道的铺设长度得由数据可知，最短铺设长度值在(19.53，19.50)内，这个区间长度小于0.1千米的精度，于是，不妨取k＝2，此时铺设管道的总长度为19.49，铺设费用为19.49×7.2＝140.328万元，比较不铺设公用管道所花的费用19.85×7.2＝142.92万元要节省2.592万元．这时三条管道交叉点位于(5，2)处．(12分)。