二次函数辅导讲义

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二次函数(基础思想)讲义

二次函数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。

2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。

⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。

基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是。

5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。

7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。

二次函数复习讲义(完美)

二次函数最全面的复习讲义学习目标1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识网络要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.二、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．三、2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．类型一：二次函数的概念1、下列函数中，是关于x的二次函数的是__________________(填序号)．(1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3； (4)；(5)y＝ax2+3x+6；(6)．【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A. B. C.D.【变式2】如果函数是二次函数，求m的值类型二、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为______________．【答案】或．【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)∴y=x2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4，∴M(1，-4).课堂练习1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.2 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）．（2）令，得，解方程，得，．∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有解得∴抛物线解析式为．解法二：设抛物线解析式为(a≠0)．由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有，即．又，∴∴抛抛物物解析式为．课后巩固练习一、选择题1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )．A． B． C． D．2．二次函数有( )A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-63．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A.y=3(x－3)2+2B.y=3(x+3)2+2C.y=3(x－3)2－2D.y=3(x+3)2－24．如图所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数的图象，则a的值为( )A．1 B．2 C．3 D．46．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2Y -27 -13 -3 3 5 3则当x＝1时，y的值为 ( )A．5 B．-3 C．-13 D．-27二、填空题7．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________．第7题第10题8．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为______．9．已知抛物线．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x的增大而增大时，x的取值范围是______________．11．已知二次函数(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：…-1 0 1 ……-2 -2 0 …则该二次函数的解析式为______________．12．已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为______________．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．15．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在的直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合)，过F点的反比例函数(k ＞0)的图象与AC边交于点E．(1)求证：AE×AO＝BF×BO；(2)若点E的坐标为(2，4)，求经过点O，E，F三点的抛物线的解析式．一、选择题1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为(a≠0)，将A、B、C三点代入解得，，c＝0．2.【答案】C；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即，∵a＝1＞0，∴x＝-1时，．3.【答案】A；4.【答案】D；【解析】∵点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴点A与点B关于对称轴x＝2对称，又∵A(0，3)，∴AB＝4，y B＝y A＝3，∴点B的坐标为(4，3)．5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是，∴移动的距离．6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．∴x＝1时，y＝-27．二、填空题7.【答案】；【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则．8.【答案】；【解析】设顶点式，再把点（0,0）代入所设的顶点式里即可．9.【答案】(1)x＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式和顶点公式即可.10.【答案】；【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入中得b＝-1，∴对称轴为，在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大.11.【答案】；【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x、y值，从中选出较简单的三对x、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式，用待定系数法求解．设二次函数解析式为(a≠0)由表知解得∴二次函数解析式为．12.【答案】【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】(1)∵顶点是(1，2)，∴设(a≠0)．又∵过点(2，3)，∴，∴a＝1．∴，即．(2)设二次函数解析式为(a≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得解得故所求的函数解析式为．(3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，∴设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵过点(0，-3)，∴a(0-1)(0-3)＝-3，∴a＝-1，∴y＝-(x-1)(x-3)，即．14.【答案与解析】过C点作CD⊥x轴于D．在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)．由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，∴C点的坐标为(3，1)．设所求抛物线的解析式为，则有，解得，∴所求抛物线的解析式为．15.【答案与解析】(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图象上，且在第一象限，所以AE×AO＝k，BF×BO＝k，从而AE×AO＝BF×BO．(2)将点E的坐标为(2，4)代入反比例函数得k＝8，所以反比例函数的解析式为．∵OB ＝6，∴当x＝6时，点F的坐标为．设过点O、E、F三点的二次函数表达式为(a≠0)，将点0(0，0)，E(2，4)，三点的坐标代入表达式得：解得∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为：．要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．二次函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．【解析】将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：∴；，又A、B在抛物线对称轴左侧，∴a＜0，b＜0，即，∴【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则______．【答案】2.【变式2】不计算比较大小：函数的图象右侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a______b．答案】＞.2．已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.【答案与解析】由题意，，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=.3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．（2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为，又∵该抛物线过点（3，-2），∴，解得．∴所求抛物线为．4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x____时，随x的增大而减小；当x____时，函数y有最____值，其最____值是____．【答案与解析】函数与的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大；1.课堂练习一、选择题1. 关于函数y=的图象,则下列判断中正确的是()A. 若a、b互为相反数,则x=a与x=b的函数值相等；B. 对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应；C. 对任一个实数y,有两个x和它对应；D. 对任意实数x,都有y＞0.2. 下列函数中，开口向上的是（）A. B. C. D.3. 把抛物线向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为()．A．B．C．D．4. 下列函数中，当x＜0时，y值随x值的增大而增大的是（）A. B. C. D.5. 在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（）．A．关于y轴对称，抛物线的开口向上B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点6. 晴天时，汽车的刹车距离s (m)与开始刹车时的速度v(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为2.25m，则开始刹车时的速度为( )．A. 10m/sB. 15m/sC. 20m/sD. 25m/s二、填空题7. 已知抛物线的解析式为y＝-3x2，它的开口向______，对称轴为______，顶点坐标是________，当x＞0时，y随x的增大而________．8. 若函数y＝ax2过点(2，9)，则a＝________．9. 已知抛物线y＝x2上有一点A，A点的横坐标是-1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则△AOB的面积为________．10. 写出一个过点（1，2）的函数解析式_________________．11. 函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12. 若对于任意实数x，二次函数的值总是非负数，则a的取值范围是____________．三、解答题13．已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．（1）求m的值；（2）画出函数的图象．14. 已知抛物线经过A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B（-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)．（1）求a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，y随x的增大而增大?（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．一、选择题1．【答案】A.2．【答案】D；【解析】开口方向由二次项系数a决定，a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下.3．【答案】A；【解析】由抛物线的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为．4．【答案】B；【解析】根据抛物线的图象的性质，当a＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随x值的增大而增大，所以答案为B.5. 【答案】C；【解析】y＝2x2，y＝-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)．6. 【答案】B；【解析】当s＝2.25时，，v＝15．二、填空题7．【答案】下；y轴；(0，0)；减小；8．【答案】；【解析】将点(2，9)代入解析式中求a.9．【答案】1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则.10．【答案】【解析】答案不唯一.11．【答案】，，．【解析】先比较，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y＝3x2，y＝x2，．12．【答案】a＞-1；【解析】二次函数的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0.三、解答题13. 【解析】解：（1）∵为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，∴，∴，∴m=1.（2）由（1）得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14. 【解析】解：（1）∵抛物线经过A（-2，-8），∴-8=4a，∴a=-2，抛物线的解析式为：.（2）当x=-1时，y=-2=-2≠-4，∴点B（-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即，得，∴此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标是（，-6）和（，-6）.15. 【解析】解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．（2）抛物线的解析式为y=-x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y轴)．（3）当x＜0时，y随x的增大而增大．（4）设直线y=- 2与抛物线y=-x2相交于A、B两点，抛物线顶点为O(0，0)．由,，得∴A(，-2)，B(，-2)．∴AB=|-(-)|=2，高=|-2|=2．∴．类型二、二次函数y=a（x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．【答案与解析】抛物线的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a＝2，得到抛物线解析式为．(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则，所得抛物线解析式为．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵抛物线开口反向，∴．故所得抛物线解析式为．2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值.【答案与解析】根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x+14, 所以【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.3．已知与的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．(1)确定此二次函数和直线的解析式；(2)当时，写出自变量x的取值范围．【答案与解析】(1)∵，的图象交于A、B两点，∴且解得且∴二次函数的解析式为，直线方程为．(2)画出它们的图象如图所示，由图象知当x＜0或x＞1时，．4．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-）.【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=-．所以二次函数的解析式为y=-（x-2）2+1；（2）∵抛物线y=-（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴S△AOB =×4×1=2；（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-（x-2）2+1上一点，∴-m=-（m-2）2+1，解得m1=0（舍去），m2=8，∴P点坐标为（8，-8），∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．如下图.课堂巩固一、选择题1．抛物线的顶点坐标是（）A．(2，-3)B．(-2，3)C．(2，3)D．(-2，-3)2．函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（）A．y=(x－1)2+2 B．y=(x－1)2+C．y=(x－1)2－3D．y=(x+2)2－13．抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )A．y=(x+3)2－2B．y=(x－3)2+2C．y=(x－3)2－2 D．y=(x+3)2+2 4．把二次函数配方成顶点式为（）A． B．C．D．5．由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）二、填空题7. 抛物线y=-（•x+•3）2•-•5•的开口向_______，•对称轴是________，•顶点坐标是_______．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_ _____.9．抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．12．抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．14. 已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线；（1）求出a，h，k的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；（3）观察的图象，当________时，y随x的增大而增大；当________时，函数y有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y的取值范围吗？15．已知抛物线的顶点为A，原点为O，该抛物线交y轴正半轴于点B，且，求：(1)此抛物线所对应的函数关系式；(2)x为何值时，y随x增大而减小?一、选择题1.【答案】D；【解析】由顶点式可求顶点，由得，此时，．2.【答案】D；【解析】通过配方即可得到结论.3.【答案】A；【解析】抛物线y=x2向左平移3个单位得到y=(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=(x+3)2－2.4.【答案】B【解析】通过配方即可得到结论.5.【答案】C；【解析】可画草图进行判断.6.【答案】C；【解析】A中的符号不吻合，B中抛物线开口不正确．D中直线与y 轴交点不正确.二、填空题7.【答案】下；直线x=-3 ；（-3，-5）；【解析】由二次函数的图象性质可得结论.8.【答案】x≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y随x的增大而减小，故x≥－1.9.【答案】向下，y轴；10.【答案】；【解析】设过点（1，－14）得，所以.11.【答案】；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12.【答案】1；【解析】C(2，-6)，可求与x轴交于，与y轴交于(0，3)，∴.三、解答题13.【答案与解析】∵抛物线的顶点为（-1，-2）∴设其解析式为，又图象经过点（1，10），∴，∴，∴解析式为．14.【答案与解析】（1）由向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是．∴，，．（2）函数与的图象如图所示．（3）观察的图象，当时，随x的增大而增大；当时，函数有最大值，最大值是．（4）由图象知，对于一切的值，总有函数值．15.【答案与解析】（1）由题意知A(2，1)，令，则，所以．由得，所以，因此抛物线的解析式为．（2）当时，y随x增大而减小．类型三：二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质类型一、二次函数的图象与性质1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．【变式】把一般式化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.2．如图所示，抛物线的对称轴是x＝1，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(，0)，则点A的坐标是_______．类型二、二次函数的最值3．求二次函数的最小值.类型三、二次函数性质的综合应用4．已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：；（2）求bc的最大值．【答案与解析】（1）∵的图象过点P(2，1)，∴1=4+2b+c+1，∴c=-2b-4．（2）．∴当时，bc有最大值．最大值为2．课堂巩固一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（）．A．B．C．D．2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（）．A．B．C．D．3．若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（）．A．0，5B．0，1 C．-4，5D．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b、c的值为（）．A．b=2，c=2B．b=2，c=0C．b= -2，c= -1 D．b= -3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值()A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题7．二次函数的最小值是________．8．已知二次函数，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．9．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.12．已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为__ __.三、解答题13．（1）用配方法把二次函数变成的形式；（2）在直角坐标系中画出的图象；（3）若，是函数图象上的两点，且，请比较、的大小关系．14．如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15．已知抛物线：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x 的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？一、选择题1.【答案】D；【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，所以．【解析】由图象的开口方向向下知；图象与y轴交于正半轴，所以；2.【答案】D；又抛物线与x轴有两个交点，所以；当时，所对应的值大于零，所以．3.【答案】D；【解析】因为，所以，，．4.【答案】B；【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线，∴，∴，．5.【答案】A；【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式得a+b+c=0.6.【答案】A；【解析】分类讨论，当a＞0，a＜0时分别进行分析.二、填空题7.【答案】-3；【解析】∵，∴函数有最小值．当时，．8.【答案】4【解析】由对称轴，∴x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴x＝3时，y＝4.9.【答案】(1，-4) ；【解析】求出解析式.10.【答案】4；【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．11.【答案】①④，②③④；12.【答案】(-2，5)或(4，5)；【解析】先通过且△ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线y=x2-2x-3上，所以x2-2x-3=5，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).三、解答题13.【答案与解析】（1）．（2）略．（3）∵，∴当时，y随x增大而减小，又，∴．14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．∴该二次函数的解析式为．∵，∴顶点坐标为．（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数解析式为，即．15.【答案与解析】(1)∵，b＝-3，∴，把x＝-3代入解析式得，．∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y轴的交点为，取D关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x＞-3时，y随x的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点，所以函数有最大值，当x＝-3时，．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解类型一、函数与方程4．已知抛物线与x轴没有交点．①求c的取值范围；②试确定直线经过的象限，并说明理由．【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( )A．B．C．D．【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A．1 B．2 C．0 D．不能确定要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；。

初三数学-二次函数讲义-详细

二次函数一、二次函数的解析式1. 二次函数解析式有三种：(1)一般式：y ax bx c a =++≠20()(2)顶点式：()y a x h k =-+2顶点为()h k ，(3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 120，，是图象与x 轴交点坐标。

2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的关系。

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况。

2.图像与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根；②当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图像与x 轴没有交点。

1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。

板块一二次函数解析式 1.(1)把函数23212++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为____________________________； (3)把函数()2324y x =-+化为它的一般式的形式为__________________________； (4)把函数12)1(32--=x y 化成它的交点式为__________________________;(5)把函数的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的二次函数解析式是；(6)把抛物线322-+=x x y 向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式为 .2.(1) 抛物线了y=a(x+1)(x-3)(a ≠0)的对称轴是直线 ( )22x y =A ．x=1B ．x=－1C ．x=－3D ．x=3(2)二次函数y=(x+1)2+2的最小值是 ( )A ．2B ．1C ．－3D ．233.(1)已知一个二次函数过(0 ，0)，(-1 ，11)，(1， 9)三点，求二次函数的解析式。

二次函数讲义

第1页共12页二次函数【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___.已知三个点的坐标时，宜用一般式.②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a >0定义域x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定)值域a >0a <0y ∈[4ac －b 24a，＋∞)y ∈(－∞，4ac －b 24a]a <0奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈(－∞，－b2a]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增x ∈(－∞，－b 2a]时递增，x ∈[－b2a，＋∞)时递减图象特点①对称轴：x ＝－b 2a；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 24a)3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、第2页共12页M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |.【知识点2】二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞ 。

初三数学二次函数复习讲义

⎧⎪⎨⎪⎩二次函数复习讲义一、本章知识梳理：1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝， k ＝.3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.顶点式：4.二次函数待定系数法确定函数解析式一般式：顶点式的几种特殊形式.⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4）. 5.二次函数与一元二次方程的关系。

6. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 二、课前热身1．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是． 2. 如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是．第五题3.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（）A.－2B.2C.－1D.1 4.二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（）A.（1,3）B.（－1,3）C.（1,－3）D.（－1,－3） 5. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. 000><>c b a ，，B. 000><<c b a ，，C. 000<><c b a ，，D. 000>><c b a ，，三、典型例题1. 二次函数解析式的确定xO例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.例2 已知抛物线c bx ax y ++=2与抛物线732+--=x x y 的形状相同，顶点在直线1=x 上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为。

二次函数讲义

一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx ca≠）的函数，叫做二次，，是常数，0函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

Array2.2y ax c=+的性质：上加下减。

3.()2y a x h =-的性质：左加右减。

4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成mc bx axy +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k aa-=-=，．五、二次函数2y ax bx c=++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y有最小值244ac b a-．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=---；y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c()2=---；y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k2. 关于y轴对称2=-+；y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c()2=++；y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-；y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y a x b x c()2y a x hk =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，y ax bx cc的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)++≠本身就是所含字母x的ax bx c a二Array次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）0 x o-1 x 0 x A B C D 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数辅导讲义

名思教育辅导讲义学员姓名张晓楠辅导科目数学年级初三授课教师刘琳琳课题二次函数授课时间教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容一、知识点梳理一、定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y =ax 2+bx +c （a ≠0），则称y 为x 的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ≠0），此时抛物线的顶点坐标为P （h ，k ）交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)（a ≠0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x 1、x 2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A （x 1，0）和 B （x 2，0）），对称轴所在的直线为x=2x x 21+ 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h =-a 2b ，k =a 4b -4ac 2 ； x 1, x 2=a 24ac -b b -2± ；x 1+x 2=-a2b三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -a2b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。

特别地，当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0）2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。

当x =-a2b时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。

当-a2b=0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。

3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。

当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。

|a |越大，则抛物线的开口越小。

二次函数辅导讲义

名思教育辅导讲义6、根据二次函数图象提供得信息，确定某一个待定系数得范围例6、如图6所示得抛物线就是二次函数得图象,那么得值就是。

考点2、考抛物线得解析式求二次函数得解析式，就是重点内容。

１、已知抛物线上任意得三个点得坐标,求解析式例1、已知抛物线经过点A(1,２)、B(2,2）、C(3,４),求抛物线得解析式。

２、已知抛物线与x轴得交点坐标,与某一个点得坐标,求解析式例2、已知抛物线与x轴得交点就是A(-２,0)、B(１,0),且经过点C(2,8）。

求该抛物线得解析式。

3、已知抛物线得顶点坐标，与某一个点得坐标,求解析式例３、在直角坐标平面内,二次函数图象得顶点为Ａ(1,－4),且过点B(３，０).求该二次函数得解析式。

4、已知抛物线得对称轴,与某两个点得坐标,求解析式例4、有一座抛物线形拱桥,正常水位时,AB宽为20米,水位上升3米就达到警戒水位线CD,这时水面得宽度为10米。

请您在如图所示得平面直角坐标系中,求出二次函数得解析式。

5、已知一个抛物线得解析式，求平移得函数解析式例5、将抛物线y=x2得图象向右平移3个单位，接着再向上平移６个单位,则平移后得抛物线得解析式为___________。

例６、将抛物线y=2(ｘ+1)2-3向右平移1个单位，再向上平移３个单位,则所得抛物线得表达式为例７、在同一坐标平面内,图象不可能由函数ｙ＝2x2＋1 得图象通过平移变换、轴对称变换得到得函数就是( ）Ａ． y=２(x＋1)２－1 B. y=2x2+3Ｃ. y＝-2x2-1 D.６、抛物线关于x轴对称得抛物线得解析式结论：抛物线y= ａ＋bx＋c关于ｘ轴得对称抛物线为：y=-(a+bx＋c)。

例8、抛物线 y=2（x－１)2＋3关于ｘ轴对称得抛物线得解析式为。

７、抛物线关于y轴对称得抛物线得解析式结论:抛物线ｙ= a+bｘ+ｃ关于ｙ轴得对称抛物线为:y=a-bｘ+c。

例9、抛物线 y=2(x-1)2+3关于y轴对称得抛物线得解析式为。

二次函数复习讲义

二次函数复习讲义一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式方程所定义的函数。

其一般形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不等于0。

2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴是与抛物线对称的直线，由x = -b/2a表示。

抛物线的顶点坐标即为对称轴的交点。

二、性质与变换1. 平移变换二次函数可通过平移变换进行移动。

设二次函数为f(x)，平移的规则如下：a）水平平移：f(x + h)表示将抛物线沿x轴正方向移动h个单位；b）垂直平移：f(x) + k将抛物线沿y轴正方向移动k个单位。

2. 拉伸与压缩变换二次函数可通过拉伸或压缩变换进行缩放。

设二次函数为f(x)，变换的规则如下：a）水平拉伸或压缩：f(mx)表示将抛物线的横坐标压缩到原来的1/m倍；b）垂直拉伸或压缩：m*f(x)表示将抛物线的纵坐标拉伸到原来的m 倍。

3. 顶点形式与标准形式的转换二次函数可以通过顶点形式和标准形式之间的转换来说明抛物线的性质。

顶点形式可表示为：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。

标准形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，(h, k)为对称轴的交点。

三、特殊二次函数1. 平方函数平方函数是一种特殊的二次函数，其形式为：f(x) = x^2平方函数的图像是一条开口向上的抛物线，其顶点在(0, 0)处。

2. 平移后的二次函数对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，进行平移变换可以得到新的二次函数g(x) = a(x - h)^2 + k。

3. 开口向上与开口向下的二次函数当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

二次函数讲义

第二十六章二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121常见题型１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab＜0，c ＜0CA EF BD第２,３题图第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（）DO 424O424O 424O 424AyxBC2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤22114k x x k＋－＝，其中所有正确的结论是（只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： yO x⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12 ，计算结果精确到1米）．16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．同步练习1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______.2.二次函数y =－2x 2+x －21，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示.①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0.xy 1 12 -1OxyA B O图1图24.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)5.不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).7.半径为r 的圆，如果半径增加m ，那么新圆的面积S 与m 之间的函数关系式是______.8.如图2，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m).二、选择题(每小题3分，共24分)1.某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为A.130元B.120元C.110元D.100元2.已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图3所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根3.抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是A.k >－47B.k ≥－47且k ≠0C.k ≥－47D.k >－47且k ≠04.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是①当c =0时，函数的图象经过原点 ②当b =0时，函数的图象关于y轴对称 ③函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根A.0个B.1个C.2个D.3个5.某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为A.130元B.120元C.110元D.100元6.已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图3所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根7.抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是A.k >－47B.k ≥－47且k ≠0C.k ≥－47D.k >－47且k ≠08.如图4所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为A.424m B.6 m C.15 m D.25 mxy 8O5 m 12m ABCDx y2.412O图3 图4 图59.二次函数y =x 2－4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为A.1B.3C.4D.610.无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2－m )x +m 的图象总过的点是A.(－1，0)B.(1，0)C.(－1，3)D.(1，3)11.为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y =ax 2+bx +c (如图5所示)，则下列结论正确的是①a <－601 ②－601<a <0 ③a －b +c >0 ④0<b <－12a A.①③ B.①④C.②③D.②④三、简答题(共20分) 1.二次函数的图象经过()()()4,2,4,0,0,4--C B A 三点：① 求这个函数的解析式② 求函数图顶点的坐标③ 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积。

二次函数复习专题讲义全

二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。

2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。

3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。

4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

6.对称轴：为x=-b/2a。

7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。

8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。

9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。

10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。

其中，顶点式和交点式可以相互转换。

注意，a≠0，而b和c可以为零。

1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。

当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。

3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。

当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。

4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。

5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。

二次函数经典讲义

二次函数经典讲义【知识要点】1.二次函数2(0)bx c a ++≠y=ax 四要素：①开口（看a 的符号） ②对称轴2b ax =- ③顶点坐标2424b ac b aa-(-,) ∆④（二次函数与x 轴的交点）例1：下列是二次函数的是（）A ．y = 3x – 1B ．y = ( x – 3 )2 – x 2C ．21xy = D ． y = 2x 2 – 2x + 12.二次函数求最值：二次函数 224()24b ac b y a x a a-=++对称轴是ab x 2-=,顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac ，a b 4422 (1) 当a ＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限伸展；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，当ab x 2-=时，y 有最小值为ab ac 442-.(2) 当a ＜0时，抛物线开口向下，并且向下无限伸展；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，当ab x 2-=时，y 有最大值为ab ac 442-.（3）二次函数的去最大值（或者最小值）一定要看自变量x 的取值范围例2：求二次函数：243x -+y=2x 在以下范围内的最大值和最小值3x ≤≤≤≤≤①-3x<0 ②-1x 4 ③23.求二次函数解析式的方法：(1) 已知三点，一般设一般式y = ax 2+ bx + c ( a ≠0 )(2) 已知顶点，或对称轴，或最大（小）值等条件一般设顶点式y = a ( x – h ) 2 + k ( a ≠0 ) (3) 已知函数图像与x 轴的两个交点，一般设两根式))((21x x x x a y --=)0(≠a 41.函数y=2x 2-x+3经过的象限是（）A 、一、二、三象限B 、一、二象限C 、三、四象限D 、一、二、四象限2.若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y << 3.已知反比例函数xk y =的图象如下右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（）4.二次函数2(1)2y x =-+在23x -≤≤时的最小值是（）A.5- B ．2 C ．11 D ．65.已知：二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为( )A.－1 B ． 1C. －3D. －4 6.二次函数2yax bx c =++的图像如图6所示，则点c Q a b ⎛⎫⎪⎝⎭，在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（）A ． 240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a-<8.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 9．二次函数y = ax 2 + bx + c 的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y ＜0时，x 的取值范围是（）．A ．x ＜0或x ＞2B ．0＜x ＜2C ．x ＜－1或x ＞3D ．－1＜x ＜3 10.若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2y m x m x =-（）A.有最大值4m B..有最大值4m -C.有最小值4m D.有最小值11．函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如图所示，则ab 0，c 0（填“＜”或“＞”）图11 图12 12．已知抛物线2bx c ++y=ax 的部分图象如图12所示，若y<0,则x 的取值范围是 .13.一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是 m14.求y=2x 2+x-1与x 轴、y 轴交点的坐标___________________。

初中数学中考复习二次函数专题讲义(含解析)

二次函数专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

二次函数讲义

二次函数1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。

2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。

当a <0时，情况相反3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。

当a <0时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。

二次函数讲义-详细

第一讲二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1、函数y=（m ＋）x ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、下列函数中是二次函数的有（）①y=x ＋；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．训练题:1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．2、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。

3、已知函数y=(m －1)x 2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限6．下列不是二次函数的是（）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－x2C ．y=D ．y=（x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．第二讲二次函数的图像和性质知识点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2(a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。

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第四讲二次函数一、知识要点和基本方法 1、二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)2、二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a^O)的图象与性质3、一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数值的符号这三个角度来考虑)(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。

［典型例题］一、二次函数解析式的确定及相关问题例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很，求这个二次函数的表达式。

例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)= f M 有三个实数解。

二、二次函数的最值问题例3、己知定义在闭区间［0, a ］上的函数y=x 2—2x4-3,问：当a 在什么范围内取值时，y 的最大值是3, 且最小值是2o例4、如果抛物线y=x 2-(k-l)x-k-l 与x 轴的交点为A 、B,顶点为C,求AABC 的面积的最小值。

二次函数专题全解教学讲义

二次函数专题全解教学讲义第一讲：二次函数基础知识讲解知识网络二次函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→二次函数的应用程的关系二次函数与一元二次方二次函数的平移图象及性质解析式的求法两点式顶点式一般式分类解析式数含义二次函数一般式中的系定义（或判定）考点解读考点1：二次函数的概念:y=ax 2＋bx+c(a ≠０，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数.判断二次函数的三要素，缺一不可:①函数关系式是整数；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项的系数不为0.考点2.抛物线y=ax 2＋bx+c 中系数a 、b 、c 的作用(1)a 的作用：a 的符号决定抛物线的开口方向．a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下．a 的绝对值决定抛物线的开口大小.|a|越大，抛物线开口越小．(2)b 与a 共同决定对称轴的位置：若a 、b 同号，则对称轴位于y 轴左侧；若a 、b 异号，则对称轴位于y 轴右侧；若b=0，则对称轴是y 轴．（可简单记忆为“左同右异”，一定要自己推导一篇，不但要把对称轴的横坐标和0作比较，还要联想到可以吧对称轴的横坐标和1，-1做比较）(3)c 的作用：c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置．若c>0，则抛物线交y 轴于正半轴；若c<0，则抛物线交y 轴于负半轴；若c=0，则抛物线过原点．c 的值就是抛物线与y 轴交点的纵坐标．（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数（5）a+b+c ，a-b+c 是分别横坐标为1，-1是y 的取值. 考点3 二次函数的解析式1.二次函数的解析式的三种设法：（1）一般式：y=ax2＋bx+c (a≠０，a、b、c为常数);（2）顶点式： y=a(x-h) 2＋k(a≠０，a、h、k为常数);（3）两点式：y=a(x-x1）（x-x2）(a≠０，a、x1、x2为常数)．2.二次函数解析式的求法（1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y=ax2＋bx+c;（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴，则可采用顶点式；（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：y=a(x-x1）（x-x2），其中与x轴的交点坐标为（x1，０），（x2，０）．考点4 二次函数的图象和性质考点5 二次函数图象的画法y=ax2＋bx+c的步骤：①把二次函数y=ax2＋bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2＋k(a≠0)的形式；②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图．考点6 二次函数图象的平移:“上加下减，左加右减”（1）将y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移｜c｜个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是(0，c).形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．（2）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h) 2的图象．其顶点是(h,0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．（3）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x-h)2＋k的图象，其顶点是(h,k)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．考点7 二次函数与一元二次方程的关系（1）一元二次方程ax2＋bx+c＝0就是二次函数y=ax2＋bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0没有实数根．考点8 二次函数的应用函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型，研究、解决某些实际问题的过程和方法，它包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最大(小)值．课后测验一、填空题1、已知函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数,则m=______________.2、二次函数y=-x2-2x的对称轴是x=_____________3、函数s=2t-t2,当t=___________时有最大值,最大值是__________.4、已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=__________.5、抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____,若将它旋转180º后得新的抛物线,其解析式为_________.6、抛物线y=5x-5x2+m的顶点在x轴上,则m=_____________________.7已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是___________________.8、已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为________.9、把抛物线y=2(x+1)2向下平移____单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.10、如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________11、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1,x2(x1<x2),则对于下列结论:(1) 当x= -2时,y=1;(2) 当x> x2时,y>0;(3)方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2;(4) x1<-1,x2>-1;(5) x2 -x1=,其中正确的结论有：_ __ _(只需填写序号)12、已知二次函数y=x2-2(m-1)x-1-m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0), x1<0<x2,与y轴交于点C, 且满足OC(OB-OA)=2OA·OB,则该二次函数的解析式为______ _ ___二.选择题13.抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是( )(A) (1,1) (B) (-1,1) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)14.抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为( )(A) 3个(B) 2个(C) 1个(D) 0个15.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( )(A) b=3,c=7 (B) b=-9,c=-15 (C) b=3,c=3 (D) b=-9,c=2116.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为（）(A) a+c (B) a-c (C) -c (D) c17.当a,b为实数，二次函数y=a(x-1)2+b的最小值为-1时有( )(A) a<b (B) a=b (C) a>b (D) a≥b18.已知函数y=3x2-6x+k(k为常数)的图象经过点A(0.85,y1)，B(1.1,y2),C(2,y3),则有( )(A) y1<y2<y3(B) y1>y2>y3(C) y3>y1>y2(D) y1>y3>y219如果二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y=2x2-x-1的图象的对称轴上，那么一定有( ) (A) a=2或-2 (B) a=2b (C) a=-2b (D) a=2,b= -1,c=-120抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0)，且满足4a+2b+c>0.以下结论(1)a+b>0;(2)a+c>0;(3)-a+b+c>0;(4)b2-2ac>5a2其中正确的个数有( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个三解答题：21．已知函数的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围。

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