二次函数辅导讲义

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二次函数教学讲义

二次函数

知识点：二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向

教学目标：

1．理解二次函数的概念；

2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；

3．会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

4．会用待定系数法求二次函数的解析式；

5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容：

（1）二次函数及其图象

如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。

二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向

抛物线y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2

a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 考查重难点与常见题型：

1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点，则m 的值是

2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（）

初三数学-二次函数讲义-详细

二次函数

一、二次函数的解析式

1. 二次函数解析式有三种：

(1)一般式：y ax bx c a =++≠2

0()

(2)顶点式：()y a x h k =-+2

顶点为()

h k ，

(3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 12

0，，是图象与x 轴交点坐标。

2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程

1. 二次函数()2

0y ax bx c a =++≠与一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的关系。

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2

y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊

情况。

2.图像与x 轴的交点个数：

①当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的两根；

②当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图像与x 轴没有交点。

1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。

板块一二次函数解析式 1.(1)把函数232

++=

x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为____________________________； (3)把函数()2

1、二次函数的顶点和对称轴

精锐教育学科教师辅导讲义

二、二次函数的对称轴

1、对称轴的意义：

（1）对称轴即代表顶点的横坐标，通过对称轴可以知道顶点的横坐标

（2）通过对称轴可以知道a 和b 之间的关系，同（一）中顶点横坐标的作用（3）对称轴是一条直线，函数图像与这条直线必有一个交点，交点就是顶点。

（4）函数图像关于对称轴对称，意味着在对称轴两侧对称位置上的函数图像上的点函数值相等，横坐标到对称轴的距离相等。

2、对称轴公式：a

x 2-= 必须牢记，格式要写对

3、注意2

ax y =和c ax y +=2

的对称轴是Y 轴，也就是直线0=x

4、对称轴一般由公式法得到要方便，配方法得到稍微要麻烦些。

练习：

1、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+

时，函数值为（）

（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c

2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点的坐标是（A ）（2

，0）（B ）（1，0）（C ）（2，0）（D ）（3，0）

3、已知抛物线2

(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，

，两点，则线段AB 的长度为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4

4、抛物线c bx x y ++-=2

的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（）

A.14<<-x

B. 13<<-x

C. 4-<x 或1>x

D.3-<x 或1>x

5、二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（） A ．x ＝4 B.x ＝3 C.x ＝－5 D.x ＝－1。 y

二次函数讲义

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二次函数

【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式

(1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___.

已知三个点的坐标时，宜用一般式.

②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.

③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便.

点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质

图象函数性质

a >0

定义域

x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定)

值域

a >0

a <0

y ∈[4ac －b 24a

，＋∞)

y ∈(－∞，4ac －b 2

]

a <0

奇偶性

b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数

单调性

x ∈(－∞，－

]时递减，x ∈[－b

2a ，＋∞)时递增

x ∈(－∞，－

b 2a

]时递增，

x ∈[－b

，＋∞)

时递减

图象特点

①对称轴：x ＝－

b 2a

；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 2

)

3.二次函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2

－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、

二次函数单调性含答案

二、例题分析归类：（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
(
2a
1
)x
1
在区间
3 2
,2
上的最大值为
3，求实数
a
的值。这是一个逆
向最值问题，若从求最值入手，需分 a 0 与 a 0 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总
是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：
（1）令 f ( 2a 1 ) 3 ，得 a 1
解：将 y2 4a(x a) 代入 u 中，得
①
，即
时，
②
，即
时，
所以
（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例 7. 已知函数 f (x) ax2 2ax 1在区间[3, 2] 上的最大值为 4，求实数 a 的值。
解： f (x) a(x 1)2 1 a, x [3, 2]
根据对称性，若 t

二次函数全章复习与巩固—知识讲解基础-精品

【学习目标】

1 .通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；

2 .会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

3 .会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际

问题；

4 .会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】

y —or 2（aK0）,y-ar 2+c （a #C ）

y=。（工-A*+上（。户o ）.y=ar 2+&r+r （a 声0）

-F

年二次方程与二次函数的关系 _

利

用

三

次

函

数

的

图

豪

求

二

元

三

次

」方程的解

刹车距离最大面积是多少

【要点梳理】

要点一、二次函数的定义

一般地，如果y =2■3是常数，4H0）,那么V 叫做五的二次函数. 要点诠释：

如果y=ax'+bx+c （a,b,c 是常数，aWO ）,那么y 叫做x 的二次函数.这里，当a=O 时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零.a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

要点二、二次函数的图象与性质

L 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y 二"/；®y=ax 2,

③y=工一人『；@y=a （x-hY

_ p i~ .

其中我二一二，k=————;⑤）7=&/+£次+二.（以上式子aWO ）

《二次函数》全章复习与巩固

知识讲解（基础）

用函数观点看一元二次方程

实际问题与二次函数

何时获得最大利润

二次函数的概念

二次函数的对称轴,顶点坐标

二次函数

实际问题

2a4a

几种特殊的二次函数的图象特征如下:

2.抛物线的三要素：

二次函数复习讲义

一、基本概念

1. 二次函数的定义

二次函数是指一个变量的二次多项式方程所定义的函数。其一般形式可表示为：

f(x) = ax^2 + bx + c

其中，a、b、c为常数，且a不等于0。

2. 二次函数的图像

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 二次函数的对称轴和顶点

二次函数的对称轴是与抛物线对称的直线，由x = -b/2a表示。抛物线的顶点坐标即为对称轴的交点。

二、性质与变换

1. 平移变换

二次函数可通过平移变换进行移动。设二次函数为f(x)，平移的规则如下：

a）水平平移：f(x + h)表示将抛物线沿x轴正方向移动h个单位；

b）垂直平移：f(x) + k将抛物线沿y轴正方向移动k个单位。

2. 拉伸与压缩变换

二次函数可通过拉伸或压缩变换进行缩放。设二次函数为f(x)，变换的规则如下：

a）水平拉伸或压缩：f(mx)表示将抛物线的横坐标压缩到原来的

1/m倍；

b）垂直拉伸或压缩：m*f(x)表示将抛物线的纵坐标拉伸到原来的m 倍。

3. 顶点形式与标准形式的转换

二次函数可以通过顶点形式和标准形式之间的转换来说明抛物线的性质。顶点形式可表示为：

f(x) = a(x - h)^2 + k

其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。标准形式可表示为：

f(x) = ax^2 + bx + c

其中，(h, k)为对称轴的交点。

三、特殊二次函数

1. 平方函数

平方函数是一种特殊的二次函数，其形式为：

人教版九年级下册数学第二单元2二次函数图像及性质

XX教育学科教师辅导讲义

组长签字：

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二、课前自主学习

回顾复习二次函数概念、图像和性质

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三、知识梳理+经典例题

一．知识点回顾（20min.）考点一：二次函数的概念

（1）一般的，形式如

y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。例如：,等都是x 的二次函数

（2）等号左边是y ，右边是x 的二次多项式，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。

（3）任何一个二次函数的解析式都可以化成

y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的形式，因此我们也把这个

y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)叫做二次函数的一般式考点二：二次函数的图像及性质

（1）图像：二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴是y 轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的

顶点，顶点坐标是（0,0）

（2）性质：当a>0时，函数的开口方向向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，在对称轴的右

边y 随x 的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小

（3）抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄，|a|越大，抛物线的开口越大注1：二次函数的图像及其性质是中考的重点考查内容之一，所涉及的内容包括开口，顶点，对称轴，最大（小）值，以及求二次函数的关系式，近几年的中考中常出现利用二次函数的图书图像解决实际问题的题目。

二次函数辅导讲义（学生版）

⼆次函数辅导讲义（学⽣版）

⼆次函数辅导讲义

⼀、基础知识讲解+中考考点、例题分析

考点1：⼆次函数的图象和性质

⼀、考点讲解：

1．⼆次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为⼆次函数．

2．⼆次函数的图象及性质：

⑴⼆次函数y=ax2 (a≠0）；当a＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物

线开⼝向下，顶点是最⾼点；a越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

⑵⼆次函数，顶点为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物

线开⼝向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增⼤⽽增⼤，x＜－，y随x的增⼤⽽减⼩；当a＜0时，抛物线开⼝向下，图象有最⾼点，且x＞－，y随x的增⼤⽽减⼩，x＜－，y随x的增⼤⽽增⼤．

解题⼩诀窍：⼆次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴

为直线。

3．图象的平移：⼆次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。平移的简记⼝诀是“上加下减，左加右减”。

⼀、经典考题剖析：

【考题1】在平⾯直⾓坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后⼆次函数的关系式是（）

Ａ．Ｂ．Ｃ．

Ｄ．

2．⼆次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）

A． B. C. D.

4．已知⼆次函数(a≠0）与⼀次函数y=kx+m(k≠0）的

图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所⽰，能使y1＞y2

成⽴的x取值范围是_______

5．已知直线y=x 与⼆次函数y=ax 2 －2x －1的图象的⼀个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）

二次函数讲义

二次函数

1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-

a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-a

b 2，下同。

2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大

函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a <0时，情况相反

3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1x 2}和{x |x 1

2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=a

2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x a

≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。 3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。

当a <0时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=a

b a

c 442

-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-

时，f (x )取最大值f (x 0)=a

b a

c 442

-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当

二次函数辅导

第一部分二次函数知识点

一、二次函数的概念：

ⅰ、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，

可以为零．自变量x 的取值范围是全体实数．

ⅱ、二次函数解析式的三种表达形式：

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以

写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

二、二次函数的基本形式

1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2、2y ax c =+的性质：上加下减。

3、 ()2

y a x h =-的性质：左加右减。

4、()2

y a x h k =-+的性质：

5、二次函数2

y ax bx c =++的性质对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，．

1）、当0a >时，抛物线开口向上。当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

二次函数复习专题讲义

第1-3讲二次函数全章综合提高

【知识清单】 ※一、网络框架

※二、清单梳理

1、一般的，形如2

(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如

22221

2,26,4,5963

y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a

不能为零，,b c 可以为零。

2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪

><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪

<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线

对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。

增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪

(完整)二次函数讲义-详细

第一讲二次函数的定义

知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ，那么y 叫做x 的

二次函数。二次函数具备三个条件，缺一不可：(1）是整式方程;（2）是一个自变量的二次式;（3）二次项系数不为0

考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式

例1、函数y=（m ＋2）x

2-m

＋2x －1是二次函数，则m= ．

例2、下列函数中是二次函数的有( )

①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2;③y=（x ＋3）2－2x 2

；④y=21x ＋x ．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．

例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4,P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x,△ADQ 的面积为y,用含x 的代数式表示y ．

训练题:

1、已知函数y=ax 2

＋bx ＋c （其中a ，b,c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时,是正比例函数．

2、若函数y=(m 2

+2m －7）x 2

+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。

3、已知函数y=(m －1)x

2m +1

+5x －3是二次函数，求m 的值。

4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍,用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．

人教版九年级数学《二次函数》总复习课件(公开课)

对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧对称轴是y轴
a、b同号 a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点与x轴有一个交点与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
B 所示，则a、b、c的符号为（）
4a
例2：已知二次函数
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
(4) 由图象可知：当-3 < x < 1时，y < 0
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
引申：y=2(x+3)2-4

二次函数全章复习课件

1.某食品零售店为食品厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家.经统计销售情况发现,当这种面包的单价定为7 角时,每天卖出160个.在此基础上,这种面包的单价每提高 1角时,该零售店每天就会少卖20个,考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角. 设这种面包的单价是x(角),零售店每天销售这种面包所获得的利润为y(角). (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面包获得的利润最大?最大利润为多少?
难点突破之聚焦中考
2、在我市开展的创卫活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长为15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示）。若设花园的BC边长为x(m),花园的面积为y(m2)。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
难点突破之思维激活
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（3，0），则a+b+c的值为。 2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（－2，7），
B（6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点坐标是___________。
难点突破之思维激活
3.下图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，且经过点（－2，0），则下列结论中正确的个数有（） ①a <0; ②b<0; ③c>0; ④抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是（1，0）; ⑤抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是（4，0）。

第四讲二次函数(讲义).doc

第四讲二次函数

一、知识要点和基本方法 1、二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)

2、二次函数f(x)=ax 2

+bx+c(a^O)的图象与性质

3、一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数

值的符号这三个角度来考虑)

(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()

(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>

(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)

(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o

(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内

说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。［典型例题］

一、

二次函数解析式的确定及相关问题

例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很，求这个二次函数的表达式。

例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)