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广东省深圳科学高中高二数学上学期期中试题(国际体系)新人教A版

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广东省深圳市第二高级中学高二数学上学期期中考试试题 文 新人教A版

广东省深圳市第二高级中学高二数学上学期期中考试试题 文 新人教A版

高 二 （文科）数 学 试 题时间：120分钟 满分： 150分第Ⅰ卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目等写在答题卷上指定位置，并将试卷类型（A ）和考生号的对应数字方格用2B 铅笔涂黑；2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，不能答在试卷上；其他题直接答在试卷中指定的地方。

参考公式：（1）方差公式：∑=-=ni ix xns 122)(1（2）用最小二乘法求线性回归方程系数公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====xb y a xn x yx n yx x x y y x x b n i i ni ii ni i i ni i 1221121)()()(一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列说法正确的是A ．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C ．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真2. 某单位有职工1000人，其中青年职工450人，中年职工350人，老年职工200人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为7人，则样本容量为A ．11B ．13C ．20D ．303．样本中共有五个个体，其值分别为a ,3,2,1,0，若该样本的平均值为2，则样本方差为是A ．65 B ．65C ．2D ．2 4．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则A ．“q p ∨”为假B q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假5．从{}5,4,3,2,1中随机选取一个数为a ，从{}3,2,1中随机选取一个数为b ，则a b >的概率是 A ．45 B ．35 C ．25 D ．156．图1是一个算法的程序框图，该程序框图的功能是A ．求输出c b a ,,三数的最大数B ．求输出c b a ,,三数的最小数C ．将c b a ,,按从小到大排列D ．将c b a ,,按从大到小排列7．“3=a ”是“直线03=++a y ax 和直线8)2(3-=-+a y a x平行且不重合”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．随机在圆1:22=+y x O 内投一个点A ，则点A 刚好落在不等式组 围成的区域内的概率是A ．21B ．31 C ．61 D ．329．图2给出的是计算1001614121++++ 的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是A ．50>iB ． 50≥iC ．50<iD ．100>i10． 如图3，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，图2⎪⎩⎪⎨⎧>->+0303y x y x 图1是若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．已知常数0≥p ，0≥q ，给出下列命题： ①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个； ②若0,1p q ==，则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2个； ③若1,2p q ==，则“距离坐标”为(1,2)的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷 非选择题二.填空：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．命题“若b a >，则122->ba”的否命题为______________________________. 12．随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元）， 获得数据的茎叶图如图4，这12位同学购书的平均费用是__________元. 13．已知函数b ax x f +=)(，R x ∈（a 、R b ∈且是常数）．若a 是从2-、1-、1、2四个数中任取的一个数，b 是从0、1、2三个数中任取的一个数，则函数)(x f y =为奇函数的概率是____________. 14．给出下列结论：①命题“1sin ,≤∈∀x R x ”的否定是“1sin ,:>∈∃⌝x R x p ”；②命题“所有正方形都是平行四边形”的否定是“所有正方形都不是平行四边形”； ③命题“12,A A 是互斥事件”是命题“12,A A 是对立事件”的必要不充分条件； ④若a ，b 是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”的充分不必要条件. 其中正确结论的是 _________________.三.解答题：本大题共有6道题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3的三个大小相同的球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （2）求取出的两个球上标号之和不小于4的概率．，q ）16．（本小题满分13分）假设关于某市的房屋面积x （平方米）与购房费用y (万元),有如下的统计数据：（1）根据上述提供的数据在答卷相应位置画出散点图，并用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bx a =+；（假设已知y 对x 呈线性相关）（2）若在该市购买120平方米的房屋，估计购房费用是多少？ 17．（本小题满分13分）已知p ：46x -≤，:q 22210x x m -+-≤，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18. （本题满分为14分）某校从参加高二年级第一学段考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）将上面的频率分布表补充完整，并在答卷中相应位置绘制频率分布直方图；（2）若高二年级共有学生1000人，估计本次考试高二年级80分以上学生共有多少人？（3）根据频率分布直方图估计高二年级的平均分是多少？19．（本小题满分14分）把一根长度为8的铁丝截成3段． （1）若三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率； （2）若截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．20（本题满分14分）请认真阅读下列程序框图： 1()i i x f x -=中的函数关系程序框图中的D 为函数()f x 框图中所输出的数i x 组成一个数列{}n x （1）输入04965x =，请写出数列{}n x（2）若输入一个正数0x 时，产生的 数列{}n x 满足：任意一项n x ，都1n n x x +<，试求正数0x 的取值范围.参考答案11. 若b a ≤，则122-≤ba12. 5.125 13.314.①③ 15解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x y 、，用),(y x 表示抽取结果，则所有可能的结果有9种，即 ()1,1，()1,2，()1,3， ()2,1，()2,2，()2,3，， ()3,1，()3,2，()3,3． …………………………………………….……4分（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，则()()(){}1,1,2,2,3,3A =．事件A 由4个基本事件组成，故所求概率()3193P A ==． 答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为13． ………………8分 （Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之和不小于4”为事件B ，则()()()()()(){}1,3,3,1,2,3,3,2,3,3,2,2B =． 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率()69P B =． 答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为23． ………………12分 16、解：(1)散点图…………………………………………………………..3分 (1) 95=x ,50=y 代入公式求得1.5,58.0-==a b ;线性回归方程为1.558.0-=∧x y ………………9分(2)将120=x 代入线性回归方程得5.64=∧y (万元) ∴线性回归方程1.558.0-=∧x y ;估计购卖120平方米的房屋时,购买房屋费用是64.5(万元).………13分 17．解：由p：46x -≤.102≤≤-⇒x ……………………………………………………………..2分 ()2211||1||..........................................................5,......................81||10.....................................1||2q x m m x m p q p q m q p m -≤-≤≤+⌝⌝⌝⇒⌝+≤⎧⇒⎨-≥-⎩由可得所以分因为是的充分不必要条件所以分等价于故只需满足.11|| 3.-33-33............................................13m x m ≤⇒≤≤+分所以所以的取值范围为（，）分18. 解: （1）第五行以此填入 12 0.24 ……………………………2分第七行以此填入 50 1 (4)分直方图 （略） ………………………………………………….…8分 （2）估计本次考试高二年级80分以上学生比例为32％，所以可估计本次考试高二年级80分以上学生人数为10000.32320⨯=人………………………………………………….…11分（3）根据频率分布直方图估计全校的平均分为：x 450.04550.06650.28750.30850.24950.0873.8=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………….…14分19.（1）设构成三角形的事件为A基本事件数有5种情况：“1，1，6”；“1，2，5”；“1，3，4”；“2，2，4” “2，3，3” …………3分其中能构成三角形的情况有2种情况：“2，2，3” ……………5分 则所求的概率是1()5P A =…………………………………………………………7分（2）设把铁丝分成任意的三段，其中一段为x ，第二段为y ，则第三段为8x y --则008x y y x >⎧⎪>⎨⎪+<⎩如果要构成三角形，则必须满足：…………………………………………………………9分0000848484x x y y y x x y x y x x y y y y x y x x >>⎧⎧⎪⎪>>⎪⎪⎪⎪+>--⇒+>⎨⎨⎪⎪+--><⎪⎪+--><⎪⎪⎩⎩则所求的概率为()14MNP OEF S P A S ∆∆== …………………………………………………………14分 20. 解：（1）当04965x =时，12349111111165191955x f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，所以输出的数列为1111195-，，…………………………………………………7分(2)由题意知 142()1n n n n n x x f x x x +-==>+，因00x >，0n x ∴>，有：421n n n x x x ->+得42(1)n n n x x x ->+即2320n n x x -+<，即(2)(1)0n n x x --<要使任意一项n x ，都有1n n x x +>，须00(2)(1)0x x --<，解得：012x <<， 所以当正数0x 在(1，2)内取值时，所输出的数列{}n x 对任意正整数n 满足1n n x x +<。

2020-2021学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（，0）3．（5分）已知向量＝（2，3），向量＝（﹣1，2），若+与垂直，则μ＝（）A．﹣1B．1C．D．4．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x ﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（2，6）B．（5，8）C．（8，12）D．（8，10）6．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥βB．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．面α内不共线的三点到β的距离相等D．面α，β都垂直于平面γ7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣a＝2a cos B，则的最小值为（）A．B．C．D．38．（5分）直线y＝﹣与椭圆C：交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．4﹣2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A．焦点为B．渐近线方程为C．离心率e为D．焦点到渐近线的距离为10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积12．（5分）如图，过点P（2，0）作两条直线x＝2和l：x＝my+2（m＞0）分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方），直线AC，BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4B．点Q在定直线x＝﹣2上C．|PC|最小值是2D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos（30°﹣2α）＝．14．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，n∈N*．若其前k项和为126，则k＝．15．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝，AB＝1，则球O的表面积为．16．（5分）已知双曲线C的焦点为F1（0，2），F2（0，﹣2），实轴长为2，则双曲线C的离心率是；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1Q⊥F2Q，则△QF1F2的面积为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．18．（12分）设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点F直线l1交椭圆于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．21．（12分）在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD，PE∥CD，AB＝BC＝2，AD＝4，，∠PDA的余弦值为，，F为BE中点，G为PD中点（1）求证：FG∥平面ABCD（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x＝my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若（a﹣b）a2＜0，则a≠0，∴a﹣b＜0，即a＜b成立，若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，即“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（，0）【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，有抛物线焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y＝4x2，则其标准方程为x2＝y，其焦点在y轴正半轴上，且p＝，则其焦点坐标为（0，）；故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线的方程变形为标准方程．3．（5分）已知向量＝（2，3），向量＝（﹣1，2），若+与垂直，则μ＝（）A．﹣1B．1C．D．【分析】可先求出，，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出μ．【解答】解：，；∵+与垂直；∴；解得．故选：C．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．4．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，利用cos＝，即可得出．【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨OA＝1，则A（1，0，0），S（0，0，1），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），E．＝（﹣1，0，1），＝．∴cos＝＝＝．∴BE与SA所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x ﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（2，6）B．（5，8）C．（8，12）D．（8，10）【分析】由抛物线定义可得|AF|＝x A+1，从而△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+1+（x B ﹣x A）+2＝3+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x＝﹣1，焦点F（1，0），由抛物线定义可得|AF|＝x A+1，∴△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+1+（x B﹣x A）+2＝3+x B，由抛物线y2＝4x及圆（x﹣1）2+y2＝16可得交点的横坐标为3，∴x B∈（5，7），∴3+x B∈（8，10），故选：D．【点评】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．6．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥βB．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．面α内不共线的三点到β的距离相等D．面α，β都垂直于平面γ【分析】A中，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；B中，根据异面直线的定义和线面平行、面面平行的判断方法，能判断α∥β；C中，举例说明α∥β不一定成立；D中，α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能平行或相交．【解答】解：对于A，m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；对于B，m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α，能判断α∥β；因为m∥β，所以在β内存在直线m1∥m，又m⊂α，所以m1∥α；又m，n是两条异面直线，所以直线m1与n是两条相交直线；又n∥α，所以α∥β；对于C，因为α内不共线的三点到β的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出，所以不能判断α∥β；对于D，因为α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能是平行或相交，所以不能判断α∥β．故选：B．【点评】本题考查了判断面面平行的应用问题，也考查了推理论证能力与空间想象能力，是基础题．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣a＝2a cos B，则的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】利用正弦定理求出2A＝B，再对结论进行化简，利用基本不等式求出即可．【解答】解：c﹣a＝2a cos B，sin C﹣sin A＝2sin A cos B，化简sin A cos B+cos A sin B﹣sin A＝2sin A cos B，得sin（B﹣A）＝sin（A），得2A＝B，或者B＝180°（舍弃），由＝＝＝＝＝，①由A+B+C＝3A+C＝π，A∈（0，），所以①≥2＝2，当且仅当A＝，取等号，故选：C．【点评】题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．8．（5分）直线y＝﹣与椭圆C：交于A、B两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．4﹣2【分析】以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．直线y＝﹣x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c＝2a．∴故选：B．【点评】本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A．焦点为B．渐近线方程为C．离心率e为D．焦点到渐近线的距离为【分析】利用双曲线方程求出渐近线方程，离心率，焦点坐标，结合点到直线的距离判断选项的正误即可．【解答】解：双曲线的方程为：，可知a＝3，b＝，c＝4，所以双曲线的焦点坐标（±4，0），所以A不正确；渐近线方程：，所以B正确；离心率为：e＝，所以C正确；焦点到渐近线的距离为：＝，所以D不正确；故选：BC．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．【分析】根据图象可知，求出周期，进而得到ω的值，然后利用最高点求出φ的值，然后根据解析式确定选项．【解答】解：由题意得，所以T＝π，故ω＝2，所以f（x）＝sin（2x+φ），将代入得，所以，结合，可知k＝0时，为所求，故f（x）＝＝．又因为f（）＝sinπ＝0，故（）是f（x）的对称中心．故选：AD．【点评】本题考查三角函数的据图求式问题，以及正余弦型三角函数图象与性质，属于中档题．11．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【分析】由平面QEF也就是平面A1B1CD，可判断A；由线面角的定义可判断B；由棱锥的体积公式可判断C；由三角形的面积公式可判断D．【解答】解：对于A，∵平面QEF也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面A1B1CD的距离是定值，∴点P到平面QEF的距离为定值，故A正确；对于B，∵Q是动点，E，F也是动点，推不出定值的结论，∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值，故B错误；对于C，∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，∵点P到平面QEF的距离，∴P到平面QEF的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值，故C正确；对于D，∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．12．（5分）如图，过点P（2，0）作两条直线x＝2和l：x＝my+2（m＞0）分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方），直线AC，BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4B．点Q在定直线x＝﹣2上C．|PC|最小值是2D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP【分析】设点C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程x＝my+2代入抛物线方程y2＝2x，通过韦达定理，判断A；求出直线AC的方程，直线BD的方程，推出Q满足的方程，判断B；求出|PC|判断C；通过P A＝PB，但QA≠QB，判断D．【解答】解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程x＝my+2代入抛物线方程y2＝2x得：y2﹣2my﹣4＝0．则y1y2＝﹣4．故A正确；由题得A（2，2），B（2，﹣2），直线AC的方程为，直线BD的方程为，消去y得，将y1y2＝﹣4代入上式得x＝﹣2，故点Q在直线x＝﹣2上，故B正确；计算P A＝2，OP＝2，可知选项C错误；因为P A＝PB，但QA≠QB，所以D错误．故选：AB．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos（30°﹣2α）＝﹣．【分析】由题意利用诱导公式求得cos（15°﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（30°﹣2α）的值．【解答】解：∵＝cos（15°﹣α），则cos（30°﹣2α）＝2cos2（15°﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，n∈N*．若其前k项和为126，则k＝6．【分析】由已知可得数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：∵a1＝2，a n+1＝2a n，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，＝126，故k＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了等比数列的定义及求和公式的简单应用，属于基础试题．15．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝，AB＝1，则球O的表面积为8π．【分析】利用体积公式推出AB•BC＝1，再利用余弦定理求出AC的最小值，再求出外接球半径R的最小值，代入求出即可．【解答】解：由三棱锥P﹣ABC的体积为，且P A＝2，得到V＝P A•BA•BC sin＝，∴AB•BC＝1，设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r＝，则由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos ＝AB2+BC2+AB•BC≥3AB•BC＝3，当且仅当AB＝BC＝1成立，故AC的最小值为，所以2r≥＝2，r的最小值为1，球的半径R＝的最小值为R＝＝．则球O的表面积的最小值是4πR2＝8π．故答案为：8π．【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（5分）已知双曲线C的焦点为F1（0，2），F2（0，﹣2），实轴长为2，则双曲线C的离心率是2；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1Q⊥F2Q，则△QF1F2的面积为2．【分析】由题意可得c，a的值，进而求出双曲线的离心率，进而求出双曲线的方程，再求出渐近线的方程，设渐近线上的点的坐标Q，由F1Q⊥F2Q可得＝0可得Q 的纵坐标，进而求出△QF1F2的面积．【解答】解：由题意可得c＝2，2a＝2即a＝1，所以双曲线的离心率e＝＝2，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，所以双曲线的方程为：y2﹣＝1，所以渐近线的方程为：y＝，设Q（﹣y，y）为一条渐近线的点，由F1Q⊥F2Q可得＝0，即（﹣y，y﹣2）（﹣y，y+2）＝0，可得3y2+y2﹣4＝0，所以|y|＝1，所以S＝|F1F2|•|y|＝•4•＝2，故答案分别为：2，2．【点评】本题考查双曲线的性质及直线的垂直与数量积的关系，和面积的求法，属于中档题．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．【分析】由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，，可得，可得B＝60°，选择①：利用正弦定理，余弦定理解得c，a的值，根据三角形的面积公式即可求解；选择②：利用余弦定理可求得ac＝9，结合a+c＝6，可得a，c的值，根据三角形的面积公式即可求解；选择③：利用余弦定理可求得a+c＝3，结合ac＝15，无解，可得△ABC不存在．【解答】解：由题设及正弦定理得，因为sin A≠0，所以，由A+B+C＝180°，可得，故．因为，故，因此B＝60°，选择①：sin A＝2sin C，即a＝2c，根据余弦定理有，＝，代入b＝3，解得c＝，a＝2，所以面积S＝＝，选择②：＝＝，代入a+c＝6，解得ac＝9，结合a+c＝6，所以a＝c＝3，所以面积S＝，选择③：＝＝，代入ac＝15，解得a+c＝3，结合ac＝15，无解，所以△ABC不存在．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等差数列的定义和（1）的结论，进一步进行证明．【解答】解：（1）当n＝1时，有，整理得：，解得：a1＝2又由，可得，两式相减得，即有a n+1＝2a n．故数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．．（2）由（1）知q≠1，所以．令，为使{b n}为等差数列，则b n是关于n的一次函数，所以λ＝﹣2，此时b n＝﹣2n﹣2，当n＝1时，b1＝﹣2×1﹣2＝﹣4．当n≥2时，b n﹣b n﹣1＝﹣2n﹣2﹣[﹣2（n﹣1）﹣2]＝﹣2，所以是以﹣4为首项，﹣2为公差的等差数列．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【分析】（1）在平面A1BD内找到和B1D1平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．（2）先利用条件BB1⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB1D，再证明MD⊥AC即可．（3）因为棱BB1上最特殊的点是中点，所以先看中点．取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，⇒BN⊥DC⇒面ABCD⊥面DCC1D1，⇒BN⊥面DCC1D1．而又可证得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC1D1D⇒平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解答】解：（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1．又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点F直线l1交椭圆于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．【分析】（1）通过离心率以及椭圆经过的点，求出a，b然后求解椭圆方程．（2）设直线l1：x＝my+1，代入方程化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，利用韦达定理结合△OPQ的面积为，利用基本不等式转化求解最值即可．【解答】解：（1）由得a＝2c，所以b2＝3c2，由点在椭圆上得解得c＝1，，所求椭圆方程为．（2）F（0，1），设直线l1：x＝my+1，代入方程化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由韦达定理得y1+y2＝，y1y2＝，△OPQ的面积为，所以求ABC的最大值即求|y2﹣y1|的最大值．（y1﹣y2）2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝，令m2+1＝t≥1，上式可表示成，y＝9t+6+，t≥1时，函数是增函数，所以t＝1时，y取得最小值12，|y2﹣y1|的最大值的最大值为：，△OPQ的面积为＝．S△OPQ＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（12分）在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD，PE∥CD，AB＝BC＝2，AD＝4，，∠PDA的余弦值为，，F为BE中点，G为PD中点（1）求证：FG∥平面ABCD（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值【分析】（1）取EC的中点H，连结FH，GH，证明FH∥BC，FH∥平面ABCD，HG∥CD，HG∥平面ABCD，然后证明平面FHG∥平面ABCD，推出FG∥平面ABCD．（2）在△P AD中，求出P A＝2，说明P A⊥AD，以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面BCE与平面ADE所成角的余弦值即可．【解答】（1）证明：取EC的中点H，连结FH，GH，∵F为BE中点，∴FH∥BC，∵FH⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴FH∥平面ABCD，∵G为PD中点，EP∥CD，∴HG∥CD，∵HG⊄平面ABCD，∴HG∥平面ABCD，∵FH∩HG＝H，∴平面FHG∥平面ABCD，∵FG⊂平面FHG∴FG∥平面ABCD．（2）解：在△P AD中，P A2＝PD2+AD2﹣2PD•AD•cos∠PDA＝，∴P A＝2，∴P A2+AD2＝PD2，∴P A⊥AD又∵平面P AD⊥平面ABCD平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴P A⊥平面ABCD，以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，A为原点建立空间直角坐标系．A（0，0，0），B（0，﹣2，0），C（2，﹣2，0），D（4，0，0），P（0，0，2），设，∴，∴x＝﹣1，y＝﹣1，z＝2，∴点E的坐标为（﹣1，﹣1，2），设平面ADE的一个法向量：＝（（x，y，z）），，∴，∴，设平面BCE的一个法向量，，∴，∴，设平面BCE与平面ADE所成角为θ∴，∴平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x＝my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．【分析】（Ⅰ）先求出p的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N的坐标即可求线段ON的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元，转化为关于y的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2＝2px经过点M（2，2），得22＝4p，故p＝1，c的方程为y2＝2x…（2分）C在第一象限的图象对应的函数解析式为y＝，则′＝，故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2＝（x﹣2），令y＝0得x＝﹣2，所以点N的坐标为（﹣2，0），故线段ON的长为2 …（5分）（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x＝﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0由l2：x＝my+b，令x＝﹣2，得y＝﹣，故E（﹣2，﹣）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b＝0则y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2b…（7分）直线MA的斜率为＝＝，同理直线MB的斜率为，直线ME的斜率为因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以+＝2×＝1+，即＝1+＝1+，…（10分）整理得：，因为l2不经过点N，所以b≠﹣2所以2m﹣b+2＝2m，即b＝2故l2的方程为x＝my+2，即l2恒过定点（2，0）…（12分）【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，结合韦达定理，利用设而不求的思想是解决本题的关键．。

深圳市高二上学期期中数学试卷含答案

深圳市高二上学期期中数学试卷含答案

深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学本试卷4页，22小题，全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则A．B．C．D．2．已知平面向量，，且//，则＝A．B．C．D．3．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，在区间上为增函数的是A．B．C．D．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为A．B．C．D．7．已知椭圆+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l 交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为A．B．C．D．8．下列导数运算正确的是A．B．C．D．9．已知，则A．B．C．D．10．己知函数恒过定点A．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是A．B．C．D． 511．若，，则的最小值为A．B．C．D．f x xf x恒成立，则不等式的12．设是定义在上的奇函数,且,当时，有()()解集为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝_____．14．已知实数x，y满足条件的最小值为_____．15．若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为_____．16．若数列的首项，且，则=_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤０，q：2﹣m ≤　x ≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝10，S6＝72，b n＝a n－30，(1)求通项公式a n；(2)求数列{b n}的前n项和T n的最小值．19．（本小题满分12分）中，内角的对边分别为，的面积为，若．（1）求角；（2）若，，求角．20．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，抛物线y2= –x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求实数k的值．21．（本小题满分12分）设函数在点处的切线方程为.（1）求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，.22．（本小题满分12分）已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．深圳市高级中学第一学期期中考试高二数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A A A B B C D B C D13．14．15．16．17．【答案】（1）；（2）【解】（1）由x2﹣2x﹣8≤０得﹣2≤x≤４，即p：﹣2≤x≤４，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴，解得：m≥４．（2）∵“ｐ∨q”为真命题，“ｐ∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤７．18．【答案】(1)；（2）.【解】(1)由a3＝10，S6＝72，得解得所以a n＝4n－2.(2)由(1)知b n＝a n－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{b n}前15项为负值时，T n最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.19．【答案】(1) ; (2) 或【解】(1) 中，(2) ，，由得且B>A或或20．【答案】（1）证明见解析；（2）.【证明与解答】（1）显然k≠０．联立，消去x，得ky2+y–k=0．如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠０，x2≠０，由根与系数的关系可得y1+y2=–，y1·y2=–1．因为A，B在抛物线y2=–x上，所以=–x1，=–x2，·=x1x2．因为k OA·k OB=·=–1，所以OA⊥OB．（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=ON·|y1|+ON·|y2|=ON·|y1–y2|=×1×，所以，解得k=±．21．【解析】⑴，由已知，，故a= - 2，b= - 2.，当时，，当时，，故f(x)在单调递减，在单调递增；⑵，即，设，，所以g(x)在递增，在递减，所以max26()(2)1eg x g．当x≥０时，.22．【答案】（1）;（2）．【解】（1）解：∵点在椭圆上，∴，又∵离心率为，∴，∴，∴，解得，，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，联立，得，设，，则，，∴，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，得的中点，∴直线的方程为，，令得，∴直线经过定点，当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点．。

高二数学试题解析版-2022-2023学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷

高二数学试题解析版-2022-2023学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷

2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为（）A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0 2．（5分）圆x2+y2+ax＝0的圆心横坐标为1，则a等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣23．（5分）在递增的等差数列{a n}中，已知a4与a6是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则a20＝（）A．19B．20C．21D．224．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝3，S5＝25，则a8＝（）A．13B．14C．15D．165．（5分）已知点A（﹣2，﹣1），B（3，0），若点M（x，y）在线段AB上，则的取值范围（）A．B．C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，3]6．（5分）已知数列{a n}满足：a n2＝a n﹣1•a n+1（n≥2），若a2＝3，a2+a4+a6＝21，则a4+a6+a8＝（）A．84B．63C．42D．217．（5分）直线2x+y﹣1＝0与直线x﹣2y﹣3＝0交于点P，则点P到直线kx﹣（k+1）y+1+2k ＝0（k∈R）的最大距离为（）A．B．C．D．8．（5分）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个⋯按照此规律，12小时后细胞存活个数（）A．2048B．2049C．4096D．4097二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）（多选）9．（5分）已知b∈R，圆C1：（x﹣1）2+（y﹣b）2＝4，C2：x2+y2＝1，则（）A．两圆可能外离B．两圆可能相交C．两圆可能内切D．两圆可能内含（多选）10．（5分）已知公差大于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10（多选）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A．若S n＝2n2﹣3，则{a n}是等差数列B．若{a n}是等差数列，且a3＝5，a2+a10＝2，则数列{a n}的前n项和S n有最大值C．若等差数列{a n}的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，则公差为2D．若{a n}是等差数列，则三点、、共线（多选）12．（5分）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，过点P（1，2）的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的为（）A．P可能为AB中点B．|AB|的最小值为3C．若，则l的方程为y＝2D．△ABC的面积最大值为三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1，则{a n}的通项公式为a n＝．14．（5分）过点A（1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝n，则＝．16．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0关于直线x+3y+2＝0对称，P（x，y）为圆C上一点，则2x﹣y的最大值为．四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知直线l：x﹣ky+2+k＝0（k∈R）．（1）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin A﹣sin C）2＝sin2B﹣sin A sin C．（1）求B；（2）若b＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，满足a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n•b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．20．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，，∠BAC＝45°，BC边上的中线为AM．（1）求AM的值；（2）求sin∠BAM．21．（12分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝．（Ⅰ）证明数列{}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，若数列{b n}的前n项和是T n，求证：T n＜2．22．（12分）函数f（x）＝log a（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2（r＞0），直线被圆C所截得的弦长为．（1）求m、n以及r的值；（2）设点P（2，﹣1），探究在直线y＝﹣1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由．2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为（）A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0【分析】由直线的倾斜角可求直线的斜率，根据直线方程的斜截式可求直线方程【解答】解：由题意可得，直线的斜率k＝﹣1根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y＝﹣x﹣1即x+y+1＝0故选：A．【点评】本题主要考查了直线方程的斜截式的简单应用，属于基础试题2．（5分）圆x2+y2+ax＝0的圆心横坐标为1，则a等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】把圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标，再根据圆心横坐标为1，求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+ax＝0，即圆（x+）2+y2＝，它的圆心横坐标为﹣＝1，a ＝﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．3．（5分）在递增的等差数列{a n}中，已知a4与a6是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则a20＝（）A．19B．20C．21D．22【分析】根据方程的解与递增的等差数列，可得，于是可求得公差d＝1，则由等差数列的通项性质可得a20的值．【解答】解：a4与a6是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，方程为（x﹣4）（x﹣6）＝0则或，由于递增的等差数列{a n}中，所以，则公差，所以a20＝a4+16d＝4+16＝20．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝3，S5＝25，则a8＝（）A．13B．14C．15D．16【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a8．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，S5＝25，∴，解得a1＝1，d＝2．∴a8＝1+7×2＝15．故选：C．【点评】本题考查等差数列的第8项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）已知点A（﹣2，﹣1），B（3，0），若点M（x，y）在线段AB上，则的取值范围（）A．B．C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，3]【分析】设Q（﹣1，2），分别求出k QA，k QB，根据表示直线QM的斜率即可得到结果．【解答】解：设Q（﹣1，2），则，因为点M（x，y）在线段AB上，所以的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了直线的斜率，是基础题．6．（5分）已知数列{a n}满足：a n2＝a n﹣1•a n+1（n≥2），若a2＝3，a2+a4+a6＝21，则a4+a6+a8＝（）A．84B．63C．42D．21•a n+1（n≥2）得数列{a n}是等比数列，设其公比为q，依题意，可【分析】由a n2＝a n﹣1求得q2＝2，从而可得a4+a6+a8的值．•a n+1（n≥2），【解答】解：∵a n2＝a n﹣1∴数列{a n}是等比数列，设其公比为q，∵a2＝3，a2+a4+a6＝3+3q2+3q4＝21，即q4+q2﹣6＝0，解得q2＝2或q2＝﹣3（舍），∴a4+a6+a8＝a2（q2+q4+q6）＝3（2+4+8）＝42．故选：C．【点评】本题考查数列递推式的应用，判断出数列{a n}是等比数列是关键，考查等比数列的通项公式的应用，属于中档题．7．（5分）直线2x+y﹣1＝0与直线x﹣2y﹣3＝0交于点P，则点P到直线kx﹣（k+1）y+1+2k ＝0（k∈R）的最大距离为（）A．B．C．D．【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R）的恒过定点，再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可．【解答】解：由题可列：，解得，所以点P的坐标为（1，﹣1），因为直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R），即k（x﹣y+2）+（1﹣y）＝0恒过定点Q（﹣1，1），所以点P到直线kx﹣（k+1）y+1+2k＝0（k∈R）的最大距离为．故选：B．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．8．（5分）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个⋯按照此规律，12小时后细胞存活个数（）A．2048B．2049C．4096D．4097【分析】根据题意，设每小时后细胞的存活数构成数列{a n}，归纳数列的通项公式，再根据通项公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设每小时后细胞的存活数构成数列{a n}，则a1＝2×2﹣1＝3，a2＝2×3﹣1＝5，a3＝2×5﹣1＝9，…由此得，a n＝2a n﹣1﹣1，a n﹣1＝2（a n﹣1﹣1）；所以，数列{a n﹣1}为等比数列，且公比为2，所以a n﹣1＝2n，变形可得a n＝2n+1，所以12小时后细胞存活个数是212+1＝4097．故选：D．【点评】本题考查了构造法求数列通项公式，涉及归纳推理的应用，属于基础题．二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）（多选）9．（5分）已知b∈R，圆C1：（x﹣1）2+（y﹣b）2＝4，C2：x2+y2＝1，则（）A．两圆可能外离B．两圆可能相交C．两圆可能内切D．两圆可能内含【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断．【解答】解：圆的圆心为C1（1，b），半径r1＝2，圆的圆心为C2（0，0），半径r2＝1；则，r1+r2＝3，r1﹣r2＝1，当b2＞8时，|C1C2|＞r1+r2，两圆外离；当0＜b2＜8时，r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，两圆相交；当b2＝0时，|C1C2|＝r1﹣r2，两圆内切；当b2＝8时，|C1C2|＝r1+r2，两圆外切；综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含．故选：ABC．【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．（多选）10．（5分）已知公差大于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【分析】根据给定条件，结合等差数列前n项和公式及等差数列的性质求出a9，用公差d表示首项，再判断各项作答．【解答】解：令等差数列{a n}的公差为d，有d＞0，由a9＝S17得：，解得a9＝0，有a8＝a9﹣d＝﹣d＜0，A不正确，B正确；a1＝a9﹣8d＝﹣8d，S16＝S17﹣a17＝a9﹣（a9+8d）＝﹣8d，即a1＝S16，C正确；S10﹣S8＝a9+a10＝a9+d＝d＞0，S8＜S10，D不正确．故选：BC．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A．若S n＝2n2﹣3，则{a n}是等差数列B．若{a n}是等差数列，且a3＝5，a2+a10＝2，则数列{a n}的前n项和S n有最大值C．若等差数列{a n}的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，则公差为2D．若{a n}是等差数列，则三点、、共线【分析】根据等差数列及等差数列前n项和S n的性质，逐项分析判断．【解答】解：A项，n＝1时，a1＝S1＝﹣1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2﹣3﹣2（n﹣1）2+3＝4n﹣2，当n＝1时，a1＝2≠﹣1，所以，{a n}不是等差数列；所以A不正确；B项，由已知可得，a6＝1，又a3＝5，所以，，，所以，S n有最大值；所以B正确；C项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为5d＝10，所以d＝2；所以C正确；D项，设三点分别为A，B，C，，则，，．则，，，所以三点共线，所以D正确；故选：BCD．【点评】本题考查数列的简单应用，是中档题．（多选）12．（5分）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，过点P（1，2）的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的为（）A．P可能为AB中点B．|AB|的最小值为3C．若，则l的方程为y＝2D．△ABC的面积最大值为【分析】判断点P在圆的内部，当CP⊥直线l时，P为AB的中点，且此时|AB|最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D．【解答】解：由圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，知圆心（3，4），半径为r＝3，对于A：因为（1﹣3）2+（2﹣4）2＝8＜9，即点P在圆的内部，当CP⊥直线l时，P为AB的中点，故A正确；对于B：当CP⊥直线l时，|AB|最小，因为k CP＝＝1，所以k l＝﹣1，则直线l的方程为x+y﹣3＝0，圆心（3，4）到直线l的距离d＝＝2，所以|AB|＝2＝2，故B错误；对于C：当直线l斜率不存在时，即x＝1，此时|AB|＝2＝2，符合，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为kx﹣y﹣k+2＝0，由|AB|＝2＝2，得d ＝2，则圆心（3，4）到直线l的距离d＝＝2，解得k＝0，即y＝2，所以满足题意的直线为y＝2或x＝1，故C错误；＝×|AB|×d＝×2×≤＝，对于D：S△ABC当且仅当9﹣d2＝d2，即d＝时取等号，所以△ABC的面积最大值为，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及三角形的面积问题，属中档题．三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1，则{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．【分析】由S n＝2a n﹣1和S n+1＝2a n+1﹣1相减得a n+1＝2a n+1﹣2a n，所以，由此可求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：由S n＝2a n﹣1，得S n+1＝2a n+1﹣1，二式相减得：a n+1＝2a n+1﹣2a n，∴，∴数列{a n}是公比为2的等比数列，又∵S1＝2a1﹣1，∴a1＝1，∴a n＝2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法和递推公式的灵活运用．14．（5分）过点A（1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为3x+2y﹣7＝0，4x+y﹣6＝0．【分析】①过两定点（2，3）、（4，﹣5）的直线方程为：y﹣3＝（x﹣2），过点A （1，2）的直线与直线平行时满足条件．②两定点（2，3）、（4，﹣5）所在线段的中点为（3，﹣1）．经过点A（1，2）与中点的直线满足条件．【解答】解：①过两定点（2，3）、（4，﹣5）的直线方程为：y﹣3＝（x﹣2），化为：4x+y﹣11＝0，过点A（1，2）的直线与直线：4x+y﹣11＝0平行时满足条件：y﹣2＝﹣4（x﹣1），化为：4x+y﹣6＝0．②两定点（2，3）、（4，﹣5）所在线段的中点为（3，﹣1）．则经过点A（1，2）与中点的直线满足条件：y﹣2＝（x﹣1），化为：3x+2y﹣7＝0．综上可得：满足条件的直线方程为：3x+2y﹣7＝0，4x+y﹣6＝0．故答案为：3x+2y﹣7＝0，4x+y﹣6＝0．【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝n，则＝．【分析】先求数列{a n}的前n项和S n，再利用裂项相消法求和即可．【解答】解：因为a n＝n，所以，所以，所以＝．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0关于直线x+3y+2＝0对称，P（x，y）为圆C上一点，则2x﹣y的最大值为20．【分析】由圆C关于直线x+3y+2＝0对称列方程求a，由此确定圆的圆心坐标和半径，设z＝2x﹣y，由直线z＝2x﹣y与圆C有公共点，列不等式求z的范围及最大值．【解答】解：方程x2+y2﹣2ax+4y＝0可化为（x﹣a）2+（y+2）2＝a2+4，所以圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0的圆心为C（a，﹣2），半径为，因为圆C：x2+y2﹣2ax+4y＝0关于直线x+3y+2＝0对称，所以a+3×（﹣2）+2＝0，所以a＝4，令z＝2x﹣y，则，所以|10﹣z|≤10，所以0≤z≤20，所以2x﹣y的最大值为20，故答案为：20．【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知直线l：x﹣ky+2+k＝0（k∈R）．（1）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程．【分析】（1）验证k＝0时，直线l是否符合要求，当k≠0时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；（2）先求直线在x轴和y轴上的截距，表示△AOB 的面积，利用基本不等式求其最小值．【解答】解：（1）当k＝0时，方程x﹣ky+2+k＝0可化为x＝﹣2，不经过第一象限；当k≠0时，方程x﹣ky+2+k＝0可化为，要使直线不经过第一象限，则，解得﹣2≤k＜0．综上，k的取值范围为[﹣2，0]．（2）由题意可得k＞0，由x﹣ky+2+k＝0取y＝0得x＝﹣2﹣k，取x＝0得，所以，当且仅当时，即k＝2时取等号，综上，此时S min＝4，直线l的方程为x﹣2y+4＝0．【点评】本题主要考查了直线方程的应用，还考查了直线交点坐标的求解，基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin A﹣sin C）2＝sin2B﹣sin A sin C．（1）求B；（2）若b＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知利用正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得cos B的值，结合范围0＜B＜π，可得B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac的值，进而根据余弦定理可求a+c的值，即可求解△ABC的周长．【解答】解：（1）将（sin A﹣sin C）2＝sin2B﹣sin A sin C，展开得sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，由正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得，因为0＜B＜π，所以．（2）根据余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣3ac，因为△ABC的面积为，所以ac＝1，因为b＝1，所以1＝（a+c）2﹣3，解之，得a+c＝2，所以△ABC的周长为a+c+b＝3．【点评】本题主要考查了正余弦定理等知识点在解三角形中的应用，考查转化与划归得方法与方程思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学素养，属于基础题．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，满足a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n•b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由等差数列的求和公式、等比数列的通项公式，求得首项和公差、公比，进而得到所求；【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项，可得b1q＝2，5×2+10d＝30，2（b4+2）＝b3+b5，即2（b1q3+2）＝b1q2+b1q4，解得d＝2，b1＝1，q＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；b n＝2n﹣1；（2）因为c n＝a n•b n＝n•2n；所以数列{c n}的前n项和T n＝1×21+2×22+3×23+......+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，2T n＝1×22+2×23+......+（n﹣2）•2n+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减可得﹣T n＝2+22+23+......+2n﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝2，，∠BAC＝45°，BC边上的中线为AM．（1）求AM的值；（2）求sin∠BAM．【分析】（1）在△ABC中，利用余弦定理求BC，在△ABM，△ACM中分别利用余弦定理求cos∠BMA，cos∠CMA，由此列方程求解，即可得出答案；（2）在△ABM中由余弦定理求cos∠BAM，利用同角三角函数的关系，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝2，，∠BAC＝45°，∴由余弦定理得，即，又BC边上的中线为AM，则，在△ABM中，由余弦定理得，在△ACM中，由余弦定理得，又∠BMA与∠CMA互补，则cos∠BMA+cos∠CMA＝0，解得AM＝5；（2）在△ABM中，由余弦定理得，∵∠BAC＝45°，∴，∴．【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21．（12分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝．（Ⅰ）证明数列{}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，若数列{b n}的前n项和是T n，求证：T n＜2．【分析】（Ⅰ）化简已知条件，即可证明数列{}是等比数列，求出首项与公比，然后求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用放缩法推出，然后利用等比数列求和，证明结论．【解答】解：（Ⅰ）由题设，数列是首项为2，公比的等比数列所以，；（Ⅱ）证明：，注意对任意n∈N*，2n﹣1≥2n﹣1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和以及放缩法的应用，考查计算能力．22．（12分）函数f（x）＝log a（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2（r＞0），直线被圆C所截得的弦长为．（1）求m、n以及r的值；（2）设点P（2，﹣1），探究在直线y＝﹣1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意和对数函数过定点可得m＝5，n＝﹣1，由圆的弦长公式可得r的方程，解方程可得；（2）假设在直线y＝﹣1上存在一点B（异于点P）满足题意，下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，若点T在S和Q时，则有，解得，然后由距离公式证明在直线y＝﹣1上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．【解答】解：（1）在函数f（x）＝log a（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）中，当x＝5时，y＝﹣1，∴必经过的定点为点（5，﹣1），即m＝5，n＝﹣1，由于直线AP被圆C所截得的弦长为，圆C半径为r，设圆心到直线AP的距离为d，由于圆心（5，﹣1）到直线的距离为，∴，代入d值解方程可得r＝5；（2）假设在直线y＝﹣1上存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．圆与直线y＝﹣1的交点为S（0，﹣1），Q（10，﹣1），设B（m，﹣1）（m≠2），而若点T在S和Q时，则有，即，解得，下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，则：，＝，∴在直线y＝﹣1上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．【点评】本题考查圆的方程的综合应用，涉及圆的弦长问题和距离公式以，属中档题．。

广东深圳实验学校高中部高二数学上学期期中试题(含解析)

广东深圳实验学校高中部高二数学上学期期中试题(含解析)

广东省深圳实验学校高中部高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.2.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，3.方程表示的曲线是A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 双曲线4.如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为设，，，则下列向量中与相等的向量是A.B.C.D.5.曲线与曲线的A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等6.设平面与平面的夹角为，若平面，的法向量分别为和，则A. B. C. D.7.与圆及圆都外切的圆的圆心在A. 一个椭圆上B. 一个圆上C. 一条抛物线上D. 双曲线的一支上8.以点1，，，4，为顶点的三角形是A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形9.已知点P在抛物线上，点Q在直线上，则的最小值是A. B. C. D.10.直三棱柱，，点，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是A. B. C. D.11.已知双曲线的离心率，若A，B，C是双曲线上任意三点，且A，B关于坐标原点对称，则直线CA，CB的斜率之积为A. 2B. 3C.D.12.已知空间直角坐标系中，P是单位球O内一定点，A，B，C是球面上任意三点，且向量，，两两垂直，若注：以X表示点X的坐标，则动点Q的轨迹是A. O为球心，为半径的球面B. O为球心，为半径的球面C. P为球心，为半径的球面D. P为球心，为半径的球面二、填空题（本大题共3小题）13.双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于______．14.已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是______．15.已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是______．三、解答题（本大题共6小题）16.已知空间三点2，，1，，．Ⅰ求以AB、AC为边的平行四边形的面积；Ⅱ若向量分别与、垂直，且，求的坐标．17.设抛物线上的点M与焦点F的距离为，到y轴的距离为．求抛物线的方程和点M的坐标；若点M位于第一象限，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：．18.如图，在三棱锥中，G是的重心三条中线的交点，P是空间任意一点．用向量，，表示，并证明你的结论；设，x，y，，请写出点P在的内部不包括边界的充分必要条件不必给出证明．19.已知动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是定值其中，．求动点M的轨迹方程；当a，c变化时，指出中轨迹方程表示的曲线形状．20.如图，四边形ABCD为梯形，四边形CDEF为矩形，平面平面CDEF，，，M为AE的中点．证明：平面MDF；求平面MDF与平面BCF的夹角的大小．21.已知直线l：经过椭圆E：右焦点，且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点，OM的斜率为为坐标原点．求椭圆的方程；若直线l与圆C：相切，且圆C的动切线与椭圆E相交于P，Q两点，求面积的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：整理抛物线方程得焦点在y轴，焦点坐标为故选：D．先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．本题主要考查了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向．2.【答案】C【解析】解：由平面向量基本定理得：对于A选项，，所以，，三个向量共面；对于B选项，同理：，，三个向量共面；对于D选项，，所以三个向量共面；故选：C．由平面向量基本定理判断．本题考查平面向量基本定理，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为：；，即；或者；方程表示的曲线是两条直线．故选：C．先把已知条件转化，再根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可求出结论．本题考查曲线与方程，重点是对于方程的理解，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意得，平行六面体中，；故选：A．在平行六面体中，根据空间向量的加法合成法则，对向量进行线性表示即可．本题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：曲线表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线表示焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选：D．分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：平面，的法向量分别为和，若两个平面的夹角为，两平面夹角范围是，则．故选：B．直接利用已知条件写出二面角的余弦值即可．本题考查空间向量的数量积求解二面角的公式，是基本知识的考查，基础题．7.【答案】D【解析】解：由，得，画出圆与的图象如图，设圆P的半径为r，圆P与圆O和圆M都外切，，，则，点在以O、M为焦点的双曲线的左支上，故选：D．化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案．本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，考查双曲线的定义，是基础题．8.【答案】A【解析】解：1，，，4，，，3，，5，，，，，，且，以点1，，，4，为顶点的三角形是等腰直角三角形．故选：A．分别求出，3，，5，，再求出模，由此能求出结果．本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．9.【答案】B【解析】解：设与直线平行且与抛物线相切的直线为，联立消去x得，．．则的最小值是．故选：B．设与直线平行且与抛物线相切的直线为，则可知的最小值即为两直线的距离．直线方程与抛物线方程联立，消去x根据判别式等于0求得b，根据距离公式求得答案．本题考查了直线与抛物线的综合问题，以及判别式来判断直线与圆锥曲线的关系．属于基础题．10.【答案】B【解析】解：直三棱柱，，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，点，分别是，的中点，，设，则0，，1，，2，，1，，1，，，设与所成角为，则．与所成角的余弦值为．故选：B．以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11.【答案】B【解析】解：由题意，设，，则，则，，两式相减可得，．故选：B．设出点A，B、C的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质：离心率的求解，考查了点差法，属中档题．12.【答案】B【解析】解：由得，，即．又，，两两垂直，所以Q是以PA，PB，PC为三条相邻棱的长方体中与顶点P相对的顶点．由，得又，所以，同理，．三式相加，得，代入式，得，即定值．所以，动点Q的轨迹是以O为球心，为半径的球面．故选：B．利用已知条件推出，然后说明结果即可．本题考查空间几何体的特征，空间向量的应用，距离公式的应用，是中档题；本题也可以采用排除法．分别考虑P与O重合和点P在球面上两种极端情形，研究即得答案．13.【答案】17【解析】解：将双曲线化成标准形式：，P到它的一个焦点的距离等于1，设舍负故答案为：17首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离．本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题．利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点．14.【答案】【解析】解：在PC上任取一点D并作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．过点O作，，因为平面APB，则，．≌，，≌，因为，所以点O在的平分线上，即．设，在直角中，，，则．在直角中，，则．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．过PC上一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．能证明点O在的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力、转化能力．15.【答案】【解析】解：设这组平行直线的方程为，联立，整理得，则，所以它们与椭圆交点的中点坐标为，即这些点均在上，故答案为：运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】解：Ⅰ，分分Ⅱ设y，，分分1，或分【解析】以AB、AC为边的平行四边形的面积我们选择，其中是的夹角．设出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可．本题考查向量背景下平行四边形的面积及向量垂直的充要条件．17.【答案】解：由抛物线的定义知，点M到准线的距离为．即有．解之，得，．所以，抛物线的方程为，点M的坐标为或．证明：联立直线与抛物线的方程，．解之，得或，即，或，．又，所以．故．【解析】由抛物线的定义知解得即可．联立直线与抛物线的方程，解之得即，或，．即可得即可证明本题考查了抛物线性质，斜率公式，考查了运算能力，属于中档题．18.【答案】解：．证明如下：．．设，x，y，，则点P在的内部不包括边界的充分必要条件是：，且，，．【解析】由题意根据空间向量的加法法则推出向量，使得它用基底表示即可；设，x，，则点P在直线AB上的充分必要条件是：，且，类比平面向量三点共线的结论写出即可．本题考查空间向量的加减法，以及向量用不共线的基底进行表示，注意三角形的重心的性质运用，还考察了类比推理能力，属于中档题．19.【答案】解：设，由已知，得．所以，两边平方，得，化简，得动点M的轨迹方程为因为，，所以当时，化为，它表示的曲线是直线x轴；当时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上，长半轴长为a，短半轴长为的椭圆；当时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上，实半轴长为a，虚半轴长为的双曲线．【解析】设出M的坐标．利用已知条件列出方程，化简求解即可．通过a，c的大小关系，化简方程，然后推出结果即可．本题考查圆锥曲线的轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】证明：法连结CE与DF相交于N，连结MN．因为四边形CDEF为矩形，所以N为CE中点．又M为AE的中点，所以，在中，．平面MDF．法因为四边形CDEF为矩形，且M为AE的中点，所以，从而与，是共面向量．又平面MDF，所以平面MDF．解：因为四边形CDEF为矩形，所以．又平面平面CDEF，平面CDEF，平面平面，所以平面ABCD．而，所以，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，如图．设，由已知，得，，，．设平面MDF的一个法向量为y，，则，且，所以，且，即，取，得，，即1，．同理，可求得平面BCF的一个法向量为1，．．所以，平面MDF与平面BCF的夹角为．【解析】法连结CE与DF相交于N，连结说明推出平面MDF．法说明，推出与，是共面向量．即可证明平面MDF．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面MDF的一个法向量，求出平面BCF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面MDF 与平面BCF的夹角即可．本题考查空间向量的数量积的应用，二面角以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力，是中档题．21.【答案】解：设，，则，两式相减并整理，得，即．所以又直线l：与x轴的交点为，由已知，得联立，解得，．所以，椭圆的方程为．由直线l：与圆C：相切，得，所以，圆C：．又设动切线PQ：，注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分由，消去x，得．所以．又直线PQ：与圆C：相切，所以，即，从而．所以，面积．令，解得，相应的．所以，使面积最大的直线PQ共有四条：和．故面积的最大值为．【解析】设，，利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解a，b推出结果．由直线l：与圆C：相切，得，求出圆的方程，设动切线PQ：，由，消去x，得利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可．本题考查直线与题意的方程的位置关系的综合应用，题意的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．深圳实验学校高中部第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

广东省2022-2023学年高二上学期期中数学试题含解析

广东省2022-2023学年高二上学期期中数学试题含解析

深圳2022-2023学年度第一学期期中考试试题高二数学（答案在最后）考试时长：120分钟，卷面总分：150分一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1.在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为1-且倾斜角为3π4的直线方程为．A.10x y ++=B.10x y +-= C.10x y -+= D.10x y --=【答案】A 【解析】【详解】由题意可得，直线的斜率1k =-，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）根据直线方程的斜截式可知所求的直线方程为=1y x --，即10x y ++=，故选：A ．2.圆220x y ax ++=的圆心横坐标为1，则a 等于（）．A.1B.2C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意可求出圆心坐标，由圆心横坐标为1，可求a 值.【详解】圆220x y ax ++=的圆心坐标为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴12a-=，解得2a =-．故选：D ．【点睛】本题考查利用圆的方程求圆心坐标，属基础题.3.在递增的等差数列{}n a 中，已知4a 与6a 是方程210240x x -+=的两个根，则20a =（）A.19B.20C.21D.22【答案】B 【解析】【分析】根据方程的根与递增的等差数列，可得4646a a =⎧⎨=⎩，于是可求得公差1d =，则由等差数列的通项性质可得20a 的值.【详解】解：4a 与6a 是方程210240x x -+=的两个根，方程为()()460x x --=则4646a a =⎧⎨=⎩或6446a a =⎧⎨=⎩，由于递增的等差数列{}n a 中，所以4646a a =⎧⎨=⎩，则公差64164a a d -==-所以2041641620a a d =+=+=.故选：B.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则8a =A.16 B.15C.14D.13【答案】B 【解析】【详解】设公差为d ，由253,25a S ==可得11543,5252a d a d ⨯+=+=∴1a 1,d 2==，则81715a a d =+=故选B5.已知点()2,1A --，()3,0B ，若点(),M x y 在线段AB 上，则21y x -+的取值范围（）A.[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.(][),13,-∞-+∞ D.[]1,3-【答案】A 【解析】【分析】设()1,2Q -，分别求出QA k ，QB k ，根据21y x -+表示直线QM 的斜率即可得到结果.【详解】设()1,2Q -，则()()21312QAk --==---，201132QB k -==---因为点(),M x y 在线段AB 上，所以21y x -+的取值范围是[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选：A.6.已知数列{}n a 满足：211n n n a a a -+=⋅()2n ≥，若23a =，24621a a a ++=，则468a a a ++=（）A.84B.63C.42D.21【答案】C 【解析】【分析】利用题意得到{}n a 是等比数列，故设其公比为()0q q ≠，可得到2433321q q ++=，可得到22q =，即可求得答案【详解】∵211n n n a a a -+=⋅()2n ≥，∴数列{}n a 是等比数列，设其公比为()0q q ≠，∵23a =，2424633321a a a q q ++=++=，即4260q q +-=，解得22q =或23q =-（舍去），∴()222468246246242a a a a q a q a q a a a ++=++=++=，故选：C.7.直线210x y +-=与直线230x y --=交于点P ，则点P 到直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的最大距离为（）A.2B.22C.32D.42【答案】B 【解析】【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的恒过定点，再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可.【详解】由题可列：210230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(1,1)-，因为直线()()21130kx k y k k -+++=∈R ，即(23)(1)0k x y y -++-=恒过定点(1,1)Q -，所以点P 到直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的最大距离为PQ ==，故选：B8.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个L 按照此规律，12小时后细胞存活个数（）A.2048B.2049C.4096D.4097【答案】D 【解析】【分析】根据给定的条件，由1小时、2小时、3小时后的结果总结出规律，再计算作答.【详解】依题意，1小时后的细胞个数为1321=+，2小时后的细胞个数为2521=+，3小时后的细胞个数为3921=+，…，则(N )n n *∈小时后的细胞个数为21n +，所以12小时后细胞存活个数是12214097+=.故选：D二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9.已知R b ∈，圆()()221:14C x y b -+-=，222:1C x y +=，则（）A.两圆可能外离B.两圆可能相交C .两圆可能内切D.两圆可能内含【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断.【详解】圆()()221:14C x y b -+-=的圆心为()11,C b ，半径12r =，圆222:1C x y +=的圆心为()20,0C ，半径21r =；则121C C =≥，12123,1r r r r +=-=，当28b >时，1212C C r r >+，两圆外离；当208b <<时，121212r r C C r r -<<+，两圆相交；当20b =时，1212C C r r =-，两圆内切；当28b =时，1212C C r r =+，两圆外切；综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含.故选：ABC.10.已知公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若917a S =，下列说法正确的是（）A.80a =B.90a = C.116a S = D.810S S >【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列前n 项和公式及等差数列的性质求出9a ，用公差d 表示首项，再判断各项作答.【详解】令等差数列{}n a 的公差为d ，有0d >，其前n 项和为n S ，由917a S =得：1917917172a a a a +=⨯=，解得90a =，有890a a d d =-=-<，A 不正确，B 正确；1988a a d d =-=-，16171799(8)8S S a a a d d =-=-+=-，即116a S =，C 正确；91010890S S a a a d d -=+=+=>，810S S <，D 不正确.故选：BC11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A.若223n S n =-，则{}n a 是等差数列B.若{}n a 是等差数列，且35a =，2102a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值C.若等差数列{}n a 的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2D.若{}n a 是等差数列，则三点1010,10S ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2020,20S ⎛⎫ ⎪⎝⎭、3030,30S ⎛⎫ ⎪⎝⎭共线【答案】BCD【解析】【分析】根据等差数列及等差数列前n 项和n S 的性质，逐项分析判断.【详解】A 项，1n =时，111a S ==-，2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-1n =时，121a =≠-，所以，{}n a 不是等差数列；B 项，由已知可得，61a =，又35a =所以，403d =-<，12303a =>.所以，n S 有最大值；C 项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为510d =，所以2d =；D 项，设三点分别为A ，B ，C ，112n S n a d n -=+，则1019102S a d =+，20119202a d S =+，30129302a d S =+.则()10,5AB d =uu u r ，()10,5BC d =uu u r ，AB BC =uu u r uu u r，所以三点共线.故选：BCD.12.设圆22:(3)(4)9C x y -+-=，过点(1,2)P 的直线l 与C 交于,A B 两点，则下列结论正确的为（）A.P 可能为AB 中点B.||AB 的最小值为3C.若||AB =，则l 的方程为2y =D.ABC 的面积最大值为92【答案】AD 【解析】【分析】判断点P 在圆的内部，当⊥CP 直线l 时，P 为AB 中点，且此时||AB 最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC ，利用基本不等式可判断D.【详解】圆22:(3)(4)9C x y -+-=，圆心(3,4)，半径3r =对于A ，22(13)(24)89-+-=<Q ，即点P 在圆的内部，当⊥CP 直线l 时，P 为AB 中点，故A 正确；对于B ，当⊥CP 直线l 时，||AB 最小，42131CP k -==-Q ，1l k ∴=-，则直线l 的方程为30x y +-=，圆心(3,4)到直线l 的距离d ==，||2AB ∴=，故B错误；对于C ，当直线l 斜率不存在时，即1x =，此时||AB ==当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由||AB ==，得2d =，则圆心(3,4)到直线l的距离2d ==，解得0k =，即2y =，所以满足题意的直线为2y =或1x =，故C 错误；对于D，2211992222ABCd d S AB d -+=⋅=⨯=V ，当且仅当229d d -=，即2d =时等号成立，所以ABC 的面积最大值为92，故D 正确.故选：AD三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14.过点()1,2A 且与两定点()2,3、()4,5-等距离的直线方程为_________.【答案】3270x y +-=，460x y +-=【解析】【分析】①过点()1,2A 且与过两定点()2,3、()4,5-的直线平行时满足条件，求出斜率，利用点斜式可写出直线方程；②经过点A （1，2）且过两定点()2,3、()4,5-中点时满足条件，求出中点，利用点斜式可写出直线方程．【详解】解：①过两定点()2,3、()4,5-的直线斜率为：53442--=--，则过点()1,2A 的直线且与过两定点()2,3、()4,5-的直线平行的直线为：24(1)y x -=--，即460x y +-=；②两定点()2,3、()4,5-所在线段的中点为()3,1-．则经过点A （1，2）且过两定点()2,3、()4,5-中点的直线为：122(1)31y x ---=--，即3270x y +-=．综上可得：满足条件的直线方程为：3270x y +-=，460x y +-=．故答案为：3270x y +-=，460x y +-=．【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a n =，则12111nS S S +++= __________．【答案】21nn +【解析】【分析】先求数列{}n a 的前n 项和为n S ，再利用裂项相消法求和即可；【详解】因为n a n =，所以()12n n n S +=，所以()1211211n n n n S n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121111111121222231n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111122121223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 故答案为：21n n +16.已知圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，(),P x y 为圆C 上一点，则2x y -的最大值为__________．【答案】20【解析】【分析】由圆C 关于直线320x y ++=对称列方程求a ，由此确定圆的圆心坐标和半径，设2z x y =-，由直线2z x y =-与圆C 有公共点，列不等式求z 的范围及最大值.【详解】方程22240x y ax y +-+=可化为()()22224x a y a -++=+，所以圆22:240C x y ax y +-+=的圆心为(),2C a -，因为圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，所以()3220a +⨯-+=，所以4a =，令2z x y =-，则≤，所以1010z -≤，所以020z ≤≤，所以2x y -的最大值为20，故答案为：20.四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.已知直线():20R l x ky k k -++=∈．（1）若直线l 不经过．．．第一象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程．【答案】（1）[]2,0-（2）S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=【解析】【分析】(1)验证0k =时，直线l 是否符合要求，当0k ≠时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k 的取值范围；(2)先求直线在x 轴和y 轴上的截距，表示AOB 的面积，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】当0k =时，方程20x ky k -++=可化为2x =-，不经过第一象限；当0k ≠时，方程20x ky k -++=可化为121y x k k=++，要使直线不经过第一象限，则10210kk⎧≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得20k -≤<．综上，k 的取值范围为[]2,0-．【小问2详解】由题意可得0k >，由20x ky k -++=取0y =得2x k =--，取0x =得2ky k+=，所以()11214124442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫==⋅⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k=时，即2k =时取等号，综上，此时min4S =，直线l 的方程为240x y -+=．18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-.（1）求B ；（2）若1b =，ABC 的面积为34，求ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）3.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；（2）利用三角形面积公式得到ac ，再由余弦定理求出a c +，即可求出三角形的周长；【详解】解：（1）将22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-展开得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=，由正弦定理得222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==因为0B π<<，所以3B π=（2）根据余弦定理，22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-因为ABC 的面积为1sin 24ac B =，所以1ac =因为1b =，所以21()3a c =+-，解得2a c +=ABC 的周长为+3a cb +=19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ；数列{}n b 为等比数列，满足122a b ==，530S =，42b +是3b 与5b 的等差中项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，求n T .【答案】（1）2n a n =，12n n b -=；（2）()1212n n T n +=+-⋅.【解析】【分析】（1）根据等差的前n 项和公式以及通项公式求出首项与公差即可求出等差数列{}n a 通项公式，再结合等差数列中的项与等比数列的通项公式求出首项与公差从而求出等比数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列{}n c 的和.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由122a b ==，530S =，42b +是3b 与5b 的等差中项，521030d ⨯+=，2d =则()2212n a n n =+-=；12b q =，()43522b b b +=+，即()32411122b q b q b q +=+，11b =，2q =，12n n b -=；（2）2n nn n b b a n ⋅==⋅，所以23122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232...2n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减可得23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅，12(12)212n n n +-=-⋅-，化简得，()1212n n T n +=+-⋅.20.如图，在ABC 中，已知2AB =，AC =，45BAC ∠=︒，BC 边上的中线为AM ．（1）求AM 的值；（2）求sin BAM ∠．【答案】（1）5AM =；（2）35.【解析】【分析】(1)在ABC 中，利用余弦定理求BC ，在ABM ，ACM △中分别利用余弦定理求cos BMA ∠，cos CMA ∠，由此列方程求AM ，(2)在ABM 中由余弦定理求cos BAM ∠，再由同角关系求sin BAM ∠.【小问1详解】由余弦定理，得(2222222cos 22222522BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯，即213BC =，13BM CM ==在ABM 中，由余弦定理，得2222cos 2213BM AM AB BMA BM AM AM+-∠==⋅，在ACM △中，由余弦定理，得222259cos 2213CM AM AC CMA CM AM AM+-∠==⋅由BMA ∠与CMA ∠互补，则cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，解得5AM =．【小问2详解】在ABM 中，由余弦定理，得2224cos 25AB AM BM BAM AB AM +-∠==⋅，因为45BAC ∠=︒，所以π0,4BAM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5BAM BAM ∠=-∠=．21.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝12n n+·a n (n ∈N *).（1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝4n na n a -，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n ＜2.【答案】（1）证明见解析；n4n 2n a =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式，进行求解即可；（2）由412442142n n n n n nna b n n a n ===---，进而利用112n n b -≤，得到231111112222n n T -≤++++⋯+，最后利用等比数列求和公式进行求证即可【详解】证明：（1）由题设得1112n n a a n n+=⋅+，又12a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为12的等比数列，所以121222n n n a n --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，12142222n n n nna n n --⎛⎫=⨯=⋅= ⎪⎝⎭（2）由（1）知412442142n n n n n nna b n n a n ===---，因为对任意*n ∈N ，1212n n --≥恒成立，所以，112n n b -≤所以23111111121222222n n n T -⎛⎫≤++++⋯+=-< ⎪⎝⎭故T n ＜2成立【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，难点在于利用不等式的放缩法得出112n n b -≤，属于中档题22.函数()log (4)1(0,1)a f x x a a =-->≠所经过的定点为(,)m n ，圆C 的方程为222()()(0)x m y n r r -+-=>10y ++-=被圆C（1）求m n 、以及r 的值；（2）设点(2,1)P -，探究在直线1y =-上是否存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到,P B两点的距离之比TB k TP =（k 为常数）．若存在，请求出点B 坐标以及常数k 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）5,1m n ==-，=5r ；（2）存在一点10(,1)3B --，．【解析】【分析】（1）由函数()f x过定点可求，的值，由直线与圆相交的弦长公式：求出的值；（2）假设存在，设点(,1)(2)B m m -≠，圆与直线1y =-的交点为(0,1),(10,1)S Q --，当T 分别在、时满足的距离比可得的值，可得点坐标，设圆上任一点(,)T x y，再利用两点间距离公式，由TBTP ==．【详解】（1）在函数()()()log 410,1a f x x a a =-->≠中，当5x =时，1y =-，所以其经过的定点为点()5,1-，即5m =，1n =-．由于直线被圆C，圆C 半径为r ，圆心()5,1-10y ++-=的距离为2d ==，那么2222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解之有=5r ．（2）假设在直线1y =-上存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比TBk TP =（k 为常数）．圆与直线1y =-的交点为()0,1S -，()10,1Q -，设()(),12B t t -≠，而若点T 取S 或Q 时，则SB QB SP QP =，即1028tt -=，解得103t =-．此时53TB TP =．下面证明：对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比53TB TP =．设(),T x y 为圆上任意一点，则()()225125x y -++=，即()22110y x x +=-+，由TB =，TP =，TBTP ==53==，所以在直线1y =-上存在一点10,13B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比53TBk TP ==．。

2021-2022学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题一、单选题1．过点，的直线的倾斜角为（ ）(2,0)A (B -A ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线AB 的斜率，再根据倾斜角的范围结合特殊角的三角函数值求解即得.【详解】经过，(20)A ，(B -AB k ==设该直线的倾斜角为，则，αtan α=0180α︒≤<︒所以.150α=︒故选：D 2．已知，，若，则实数的值为（ ）()2,1,3a =-()1,2,1b =-()a a bλ⊥-λA ．B ．C ．D ．22-143-145【答案】D 【分析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.()()a ab a a b λλ⊥-⇔⋅-= 【详解】解：因为，，()2,1,3a =-()1,2,1b =-所以，()2,12,3a b λλλλ-=-+--因为，()a ab λ⊥- 所以，即，解得，()0a a b λ⋅-= ()()()2212330λλλ--++-+-=2λ=故选：D.3．已知两平行直线与，则实数的值是（）1:0l x y -=2:220l x y b -+=bA ．B ．4C ．D ．±4±【答案】D 【分析】由题知，再根据平行线间的距离公式计算即可.2:02b l x y -+=【详解】解：将直线整理得，2:220l x y b -+=2:02b l x y -+=所以平行线间的距离公式得直线与1:0l x y -=2:02b l x y -+=解得4b =±故选：D4．四面体中，，，，点在线段上，且，为中OABC OA a = OB b = OC c = M OC 2OM MC =N BA 点，则为（ ）MNA ．B ．121232a b c -+ 211322a b c-++C ．D ．112223a b c +- 221332a b c ++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】解：根据题意可得，.()2111232223MNMO ON OC OA OB a b c=+=-++=+-故选：C.5．经过点（1，-1）且一个方向向量为（2，-3）的直线L 的方程是（ ）A ．B ．3210x y +-=32+10x y +=C ．D ．23+10x y +=230x y --=【答案】A【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合点斜式即可得解.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，又因为直线过点（1，-1），由()2,3-32-点斜式可得直线的方程为.3210x y +-=故选：A.6．已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于()2,3,2a =-()4,2,1b =-()10,3,c λ=a b c λ（ ）A ．B ．C ．D ．725292112-【答案】D【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解+b y x c a = 之可求得答案.【详解】解：因为，，三个向量共面，所以设，即()2,3,2a =-()4,2,1b =-()10,3,c λ=+b y x c a = ，()()()2,3,24,2,1+10,3,x y λ-=-所以，解得，24+1032+32+x y x y x y λ=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩3412112x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选：D.7．已知直线：与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实l 0x y m -+=224x y +=AB O 0OA OB ⋅=数为（ ）m A ．2B ．C ．D ．2±±【答案】C【分析】由题意，，故圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式即得=90AOB ∠(0,0)ld 解【详解】由题意，，由于圆半径为，=90AOB ∠ 2r =则圆心到直线的距离(0,0)l d 得，=2m 2m =±故选：C8．在正方体中，在正方形中有一动点P ，满足，则直线与1111ABCD A B C D -11DD C C 1PD PD ⊥PB 平面所成角中最大角的正切值为（ ）11DD C CA ．1BCD 【答案】D【解析】根据题意,可知是平面内,以为直径的半圆上一点.由即为直线与平P 11DD C C 1DD BPC ∠PB 面所成的角可知当取得最小值时,与平面所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,11DD C C PC PB 11DD C C 与半圆的交点为P,此时取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得,进而求得.PC PC tan BPC ∠【详解】正方体中,正方形内的点P 满足1111ABCD A B C D -11DD C C 1PD PD⊥可知是平面内,以为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:P 11DD C C 1DD当直线与平面所成最大角时,点位于圆心E 与C 点连线上PB 11DD C C P 此时取得最小值.PC 则即为直线与平面所成的角BPC ∠PB 11DD C C设正方体的边长为2,则,1PC EC EP =-=2BC =所以tan BC BPC PC ∠===故选:D【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.二、多选题9．（多选）若直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线的一般式方程可能为（ ）A ．B ．430x y -=430x y +=C ．D ．10x y -+=10x y +-=【答案】BD【分析】分情况讨论，当直线过原点时直线方程；当直线不过原点时：设直线方程为430x y +=，代入点求出的值即可得到直线方程．x y a +=(3,4)-a 【详解】解：①当直线过原点时：直线方程为，化为一般式为，43y x=-430x y +=②当直线不过原点时：设直线在两坐标轴上的截距都为，则直线方程为，a x y a +=又直线过点，代入得，即，(3,4)-34a -+=1a =直线方程为：，化为一般式为，∴1x y +=10x y +-=综上所求，直线的方程为或.430x y +=10x y +-=故选：BD.10．已知两条不同的直线l ，m 与两个不重合的平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中不正确的是（ ）A ．若l ∥m ，则必有α∥βB ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α⊥β，则必有m ⊥α【答案】ABD【分析】根据线面、面面位置关系，逐一分析选项，即可得出答案．【详解】解：对于A ：如图所示：设α∩β＝c ，l ∥c ，m ∥c 满足条件，但是α与β不平行，故A 错误；对于B ：假设α∥β，l ′⊂β，l ′∥l ，l ′⊥m ，则满足条件，但是α与β不垂直，故B 错误；对于C ：若l ⊂α，l ⊥β，根据线面垂直的判定定理可得α⊥β，故C 正确；对于D ：设α∩β＝c ，若l ∥c ，m ∥c ，虽然α⊥β，但是可有m ∥α，故D 错误，故选：ABD ．11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则（ ）A BD C --A ．⊥B ．是等边三角形AC BDACD C ．AB 与平面BCD 所成的角为60°D ．AB 与CD 所成的角为90°【答案】AB【分析】A 选项，作出辅助线，证明出线面垂直，进而得到线线垂直；B 选项，设出正方形边长为a ，由直二面角的条件得到，由勾股定理得到，从=90AOC ∠︒AC a =而得到，是等边三角形，B 正确；CD AD AC ==ACD C 选项，证明线面垂直，得到AB 与平面BCD 所成角为，求出其度数即可；ABO ∠D 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直角的夹角.【详解】取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为，，AB AD =BC DC =所以，,OC BD OA BD ⊥⊥因为，平面OAC ，OC OA O ⋂=,OC OA ⊂所以BD ⊥平面AOC ，因为平面AOC ，AC ⊂所以BD ⊥AC ，A 正确；不妨设正方形边长为a ，则CD =AD =a ，则，AO CO ==因为二面角为直二面角，，A BD C --,OC BD OA BD ⊥⊥所以即为二面角的平面角，且，AOC ∠A BD C --=90AOC ∠︒由勾股定理得：，AC a ==故，是等边三角形，B 正确；CD AD AC ==ACD 由AB 选项可知：，，，平面BCD ，AO OC ⊥AO BD ⊥OC BD O = ,OC BD ⊂所以AO ⊥平面BCD ，故AB 与平面BCD 所成角为，且，ABO ∠45ABO ∠=︒故AB 与平面BCD 所成的角为45°，C 错误；以O 为坐标原点，OA ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设，AB a =则，,0,0,0,,0,,,0A B C D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则，0,,0,0,0=,,0AB ⎛⎫⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭，,0=,CD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则21,,0,02AB CD a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故AB 与CD 所成的角不为90°，D 错误.故选：AB 12．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线()40x y x +=<<4P O 224x y +=A B 与，轴分别交于点，，则（ ）AB x y M N A ．点恒在以线段为直径的圆上B ．四边形面积的最小值为4O AB PAOBC ．的最小值为D ．的最小值为4ABOM ON+【答案】BCD【分析】对于A ，由动点及圆的性质即可判断；对于B ，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求PO PO解；对于C ，由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后A B OP AB 数形结合即可得解；对于D ，先由直线的方裎得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本AB M N 44OM ON a b +=+不等式即可求解．【详解】对于A ，在四边形中，不一定是直角，故A 错误；PAOB AOB ∠对于B ，连接，由题易知，所以四边形的面积PO Rt Rt PAO PBO ≌PAOB，又的最小值为点到直线的距离，即，1222S PA OA PA =⨯⋅==PO O 4x y +=所以四边形面积的最小值为，B 正确；PAOB 4=设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，(),P a b OP ()()0x x a y y b -+-=O 224x y +=得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则4ax by +=AB 4ax by +=P 4x y +=4a b +=，代入直线的方程，得，即，令，则4b a =-AB ()440a x y y -+-=()440a x y y -+-=x y =，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最440y -=1x =1y =AB ()1,1C OC =AB小值为，C 正确；=在中，分别令，得到点，，所以，因为点4a by +=0y =0x =4,0M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭40,N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭44OM ON a b +=+在直线上，所以且，，则(),P a b ()40x y x +=<<44a b +=04a <<04b <<，当且仅当时等号成立，所以()4411224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭2a b ==的最小值为4，D 正确．OM ON+故选：BCD.【点睛】结论点睛：与圆的切线有关的结论：（1）过圆上一点的切线方程为()()()2220x a y b r r -+-=>()00,P x y ；()()()()200x a x a y b y b r --+--=（2）过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为，C ()()()2220x a y b r r -+-=>()00,P x y C A ，则切点弦所在直线的方程为．B AB ()()()()200x a x a y b y b r --+--=三、填空题13．已知点，，则以线段为直径的圆的方程是___________.()3,2A -()5,4B -AB 【答案】()()221125x y ++-=【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标，再用两点间距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】因点，，则线段的中点，即所求圆的圆心为点，()3,2A -()5,4B -AB ()1,1C -()1,1C -圆的半径，5=所以以线段为直径的圆的方程是：.AB ()()221125x y ++-=故答案为：()()221125x y ++-=14．为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点P ABCD PA ⊥ABCD 3AB =4=AD 1PA =到的距离为__．P BD【答案】/135 2.6【分析】方法一：过作，交于，连结，则可得是点到的距离，然后A AE BD ⊥BD E PE PE P BD 求解即可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】方法一矩形中，，，，ABCD 3AB =4=AD 5BD ∴==过作，交于，连结，A AE BD ⊥BD E PE平面，平面，PA ⊥ ABCD BD ⊂ABCD ，PA BD ∴⊥又 ，，AE BD ⊥PA AE A = 平面， BD ∴⊥PAE ∵平面，PE ⊂PAE ，即是点到的距离，PE BD ∴⊥PE P BD ，，1122AB AD BD AE ⨯⨯=⨯⨯ 125AB AD AE BD ⨯∴==，135PE ∴===点到的距离为．∴P BD 135方法二∵平面，平面，PA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ∴，,PA AB PA AD ⊥⊥∵AB AD⊥∴三线两两垂直，PA AB AD 、、∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，A ,,AB AD AP ,,x y z，()()()001300040P B D ∴，，，，，，，，，()301BP ∴=-，，()340BD =- ，，，∴cos ,BP BD BP BD BP BD⋅===点到的距离为∴PBD 135d ==故答案为：13515．在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直xOy 224x y +=224440x y x y ++-+=l 线的方程为________.l 【答案】20x y -+=【分析】直线为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.l 【详解】若圆和圆关于直线对称，224x y +=224440x y x y ++-+=l 则直线为两个圆心的中垂线，l 的圆心为，224x y +=1(0,0)O 的圆心为.224440x y x y ++-+=2(2,2)O -，中点为121O O k =-(1,1)-可得直线为 ，整理得：.l 11y x -=+20x y -+=故答案为：.20x y -+=16．正四面体中，、分别为边、的中点，则异面直线、所成角的余弦ABCD M N BC AB DM CN 值为 _____．【答案】16【分析】根据点分别为棱、的中点，根据向量的运算得出，,M N BC AB ()1=22DM a b c+-，然后可设正四面体的棱长为2，从而进行数量积的运算可求得，并且根12CN a b=- 12DM CN ⋅=-，然后便可求出的值，从而可得出异面直线与所成cos ,DM CNDM CN 角的余弦值.【详解】为棱的中点，设， M BC ,,AB a AC b AD c === .()()()()111=+=+=2222DM DB DC AB AD AC AD a b c⎡⎤∴--+-⎣⎦ 又为棱的中点,N AB .∴1122CN CA AN AC AB a b=+=-+=-又的两两夹角都为，并设,,,a b c60︒===2a b c ∴()221111112224422DM CN a b c a b a a b b a c b c⎛⎫⋅=+-⋅-=-⋅--⋅+⋅ ⎪⎝⎭ .11121222=---+=-,1cos ,==6DM CN DM CN DM CN⋅∴-⋅异面直线与所成角的余弦值为.∴DM CN 16故答案为:.16四、解答题17．已知的三个顶点，，，求：ABC (4,6)A -(4,0)B -(1,4)C -(1)边上的高所在直线的方程；AC BD (2)的垂直平分线所在直线的方程．BC EF 【答案】(1)；240x y -+=(2).6810x y +-=【分析】(1)由斜率公式易知，由垂直关系可得直线的斜率，代入点斜式易得方程；ACk BD BD k (2)根据可得，再由中点坐标公式可得线段的中点，可得方程．BCk EFk BC 【详解】（1）由斜率公式易知，直线的斜率．2AC k =-∴BD 12BD k =又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．BD (4,0)B -BD 240x y -+=（2），．又线段的中点为，43BCk = 34EF k ∴=-BC 5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所在直线的方程为，EF ∴35242y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭整理得所求的直线方程为：．6810x y +-=18．如图，在长方体中，，，E 是CD 中点.1111ABCD A B CD -2AB =11BC CC ==（1）和所成角的大小；1BC 1D E（2）证明：.11B E AD ⊥【答案】（1）；（2）证明见解析；3π【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角的大小；（2）首先求出，，利用空间向量法证明即可；1B E1AD 【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，()1,2,0B ()10,2,1C ()10,0,1D ()0,1,0E ，，所以，，设和所成的角为，则()11,2,1B ()1,0,0A ()11,0,1BC =-()10,1,1D E =-1BC 1D Eθ，因为，所以，即和所成的角为；11111cos 2BC D E BC D Eθ⋅⋅=== 0,2π⎡⎤θ∈⎢⎣⎦3πθ=1BC 1D E 3π（2）由（1）可得，，所以，()11,1,1B E =---()11,0,1AD =-()()()()111101110B E AD ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=所以11B E AD ⊥19．已知圆过点，，且圆心在直线上．C ()0,1A ()2,1B C 10x y +-=(1)求圆的标准方程；C (2)若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程．l ()2,2C l 【答案】(1)；()2212x y -+=(2)或.2x =3420x y +=-【分析】（1）易知圆的圆心在直线上，结合圆心在直线上，可求圆心坐标，C 1x =C 10x y +-=根据两点间的距离公式求出半径即可得圆的标准方程；C （2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设2x =的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线l ()22y k x -=-距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.【详解】（1）由圆过点，，可得圆的圆心在直线上，C ()0,1A ()2,1B C 1x =又圆心在直线上，令可得，C 10x y +-=1x =0y =所以圆的圆心为,C ()1,0=所以圆的标准方程为.C ()2212x y -+=（2）当l 斜率不存在时，l 的方程为，2x =易知此时被圆C 截得的弦长为2，符合题意，所以；2x =当l 斜率存在时，设l 的方程为，2(2)220y k x kx y k -=-⇒-+-=则．d =又直线l 被圆C 所截得的弦长为2，所以，则，2==1d =，解得，1=34k =所以直线l 的方程为．()32234204y x x y -=-⇒-+=综上：l 的方程为或.2x =3420x y +=-20．如图，正三棱柱的所有棱长都为2．111ABC A B C -(1)求点'到平面的距离．B 11A BC (2)求平面与平面夹角的余弦值．1AA B 11A BC【答案】【分析】（1）取的中点，的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面BC D 11B C E D的一个法向量和，结合距离公式，即可求解；11A BC n =1(0,2,0)BB =（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，结合平面的1AAB m =11A BC 一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.n =【详解】（1）解：如图所示，取的中点，的中点，连接与，BC D 11B C E AD DE 因为三棱柱为正三棱柱，可得且平面平面，111ABC A B C -AD BC ⊥ABC ⊥11BCC B 所以平面，AD ⊥11BCC B 由矩形中，因为分别为的中点，可得11BCC B ,D E 11,BC B C DE BC ⊥以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，D ,,DB DE DA x y z 因为正三棱柱的所有棱长都为，可得，111ABC A B C -2AD =则，111(1,0,0),(0,(1,2,0),(1,2,0)B A B C -所以，111(2,2,0),(1,(0,2,0)BC BA BB =-=-=设平面的法向量为，则，11A BC (,,)n x y z =1120220n BA x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，所以，x =1yz ==-1)n =-则到平面的距离为.1B 11ABC d （2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得，1(1,0,0),(0,AB A 可得，1(1,0,(0,2,0)AB AA ==设平面的法向量为，则，1AA B (,,)m a bc =1020m AB a m BC b ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩取，所以，a =0,1b c ==m =又由平面的一个法向量为，11ABC 1)n =-可得，cos ,m n m n m n ⋅===即平面与平面11A BC 1AA B21．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，，O 为AC 的中点．AB BC ==4PA PB PC AC ====(1)证明：PO ⊥平面ABC ．(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M ﹣PA ﹣C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据平面几何知识可证得，，再由线面垂直的判定可得证；PO OB ⊥OP AC ⊥（2）建立空间直角坐标系，运用面面角、线面角的向量求解方法可求得答案.【详解】（1）以为，为的中点，所以，且.4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =OB因为，所以为等腰直角三角形，且.AB BC AC=ABC 1,22OB AC OB AC ⊥==由得.222OP OB PB +=PO OB ⊥由,平面,平面,得平面.,,OP OB OP AC OB AC O ⊥⊥⋂=OB ⊂ABC AC ⊂ABC PO ⊥ABC （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，O OBx Oxyz由题意得，.()()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,O B A C P-(0,2,AP ∴=取平面的一个法向量为.设，则.设平面PAC ()2,0,0OB = ()(),2,002M a a a -<≤(),4,0AM a a =- 的法向量为.PAM (),,n x y z =由，得可取，所以0,0⋅=⋅=AP n AMn ()20,40,y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩))4,n a a=--cos ,OB n =又，解得（舍去）或，cos ,OB=4a =-43a =所以，又，43n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(0,2,PC =- 设与平面所成角为，则.PC PAM θsin cos PC θ= 所以与平面PC PAM 22．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线相切．3480x y +-=（1）求圆C 的标准方程；（2）直线与圆C 交于A ，B 两点．:2l y kx =+①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.()2211x y -+=3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C 过原点，所以半径r =a ，(),0(0)C a a >又圆C 与直线相切，所以圆心C 到直线的距离（负值舍去），3480x y +-=|38|15a d a a -==⇒=所以圆 C 的标准方程为：.()2211x y -+=（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：，因为有两个交点，()()2214240kx k x ++-+=所以，即k 的取值范围是.()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（ⅱ）设，由根与系数的关系：，()()1122,,,A x y B x y 12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩所以.()1212121212122222OA OBx x y y kx kx k k kx x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+即直线OA ,OB 斜率之和为定值.。

2023-2024学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{a n }中，若a 5＝2，a 3a 8＝a 7，则{a n }的公比q ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．43．已知两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则a ＝（ ） A ．13B ．−13C ．﹣3D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=15．在等比数列{a n }中，3a 2a 4＝4a 3，且a 6＝2a 5，则{a n }的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：x 23−y 2=1的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，则△OPF 的面积为（ ） A ．1 B ．√32C ．√22D ．127．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，35] B ．(0，45]C ．[35，1)D ．[45，1)8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，点B 的坐标为（0，b ），若C 上的任意一点P 都满足|PB |≥b ，则C 的离心率取值范围是（ ） A ．(1，√5+12] B ．[√5+12，+∞) C ．(1，√2] D ．[√2，+∞)二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝1，则（ ） A ．a 2+a 8＝2B ．a 3a 7＝1C ．S 9＝9D ．S 10＝1010．已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，则下列说法正确的是（ ）A ．点（4，0）在圆M 内B ．圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称C ．半径为√3D ．直线x −√3y =0与圆M 相切11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√2|DF|，则双曲线的离心率的值可能是（ ） A ．23B ．√2C ．√52D ．√512．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以a n 为边长的正方形中的扇形面积为b n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．a 8＝21B ．a 2023是奇数C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023D ．S 2023a 2023⋅a 2024=π4三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．数列{a n }的通项公式a n =1√n+1+√n，若S n ＝9，则n ＝ ．14．已知直线l ：y ＝x 被圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）截得的弦长为2，则r ＝ ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．椭圆C 上存在一点A ，满足AF 1→⋅AF 2→=4c 2，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 16．已知A ，B 分别是椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则直线CD 过定点，定点坐标为 ． 四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：（x +1）2+y 2＝4与圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝10相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆C 1与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 2上滑动，求△MNC 2面积最大时的直线MN 的方程． 18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{b n }为等比数列．且b 1＝1，b n ＞0，b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2，n ∈N *，（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式． （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ﹣3y +7＝0相切． （1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +4﹣2a ＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （3，﹣1）？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1：（x +2）2+y 2＝1，圆O 2：（x ﹣2）2+y 2＝1，点H （1，0），一动圆M 与圆O 1内切、与圆O 2外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝4，数列{b n }的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log √3(T n )． （1）求T n ；（2）令c n =an b n，求正整数n ，使得“c n ﹣1＝c n +c n +1”与“c n 是c n ﹣1，c n +1的等差中项”同时成立；（3）设d n ＝2a n +7，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1，求数列{e n }的前2n 项和Y 2n ．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2√3，P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线PF 1，PO ，PF 2分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有PF 1→=2F 1M →． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN的最大值．2023-2024学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8解：由等差数列的性质可知a 4+a 8＝a 5+a 7＝20， 又a 7＝12，故a 5＝8，设等差数列的公差为d ，则d =a 7−a57−5=12−82=2， 所以a 4＝a 5﹣d ＝8﹣2＝6． 故选：C ．2．在等比数列{a n }中，若a 5＝2，a 3a 8＝a 7，则{a n }的公比q ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：依题意，由a 3a 8＝a 7， 可得a 1q 2•a 1q 7＝a 1q 6，化简整理，得a 1q 3＝1，即a 4＝1， ∴公比q =a5a 4=21=2．故选：B ．3．已知两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则a ＝（ ） A ．13B ．−13C ．﹣3D ．3解：根据题意，直线l 1：3x +y ﹣5＝0，其斜率k 1＝﹣3，直线l 2：x ﹣ay ＝0，其斜率k 2=1a， 若两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则有（﹣3）×1a=−1，解可得a ＝3， 故选：D ．4．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=1解：∵椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)， ∴c ＝1，b =√3，∴a 2＝b 2+c 2＝4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．故选：B ．5．在等比数列{a n }中，3a 2a 4＝4a 3，且a 6＝2a 5，则{a n }的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．27解：由等比数列的性质可知，a 2a 4=a 32， ∴3a 32=4a 3， 又∵a 3≠0，∴a 3=43， ∵a 6＝2a 5，∴公比q =a6a 5=2，∴a 1=a 3q2=434=13， ∴{a n }的前6项和S n =a 1(1−q 6)1−q =13(1−26)1−2=21．故选：C ．6．已知F 是双曲线C ：x 23−y 2=1的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，则△OPF 的面积为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：如图，不妨设F 为双曲线C ：x 23−y 2=1的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，a 2＝3，b 2＝1，则c ＝2， 点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，∠POF =π6，|PF |＝1，PF sin∠POF =OF sin∠OPF，sin ∠OPF =2×121=1，所以OP ⊥PF ，OP =√3， ∴S △OPF =12×√3×1=√32． 故选：B ．7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(0，35]B ．(0，45]C ．[35，1)D ．[45，1)解：△MF 1F 2的面积为12|F 1F 2|⋅|y M |，因为△MF 1F 2的内切圆半径为c2，所以△MF 1F 2的面积可表示为12（2a +2c ）×c2，所以12×2c ×|y M |=12（2a +2c ）×c 2，所以|y M |=a+c2，因为|y M |≤b ，所以a+c 2≤b ，两边平方得：（a+c 2）2≤b 2，而b 2＝a 2﹣c 2，所以（a+c 2）2≤a 2﹣c 2，整理得：5c 2+2ac ﹣3a 2≤0，因为离心率e =ca，所以5e 2+2e ﹣3≤0，解得：0＜e ≤35． 故选：A ． 8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，点B 的坐标为（0，b ），若C 上的任意一点P 都满足|PB |≥b ，则C 的离心率取值范围是（ ） A ．(1，√5+12] B ．[√5+12，+∞) C ．(1，√2] D ．[√2，+∞)解：设P （x ，y ），|PB|≥b ⇒√x 2+(y −b)2≥b ⇒x 2+y 2−2by ≥0(∗)， 由x 2a 2−y 2b 2=1⇒x 2=a 2(1+y 2b 2)，代入不等式*中，整理得c 2b 2y 2−2by +a 2≥0恒成立，则Δ=4b 2−4a 2c 2b2≤0⇒b 4≤a 2c 2⇒b 2≤ac ⇒c 2−a 2≤ac ⇒e 2−e −1≤0，解得1−√52≤e ≤1+√52，又e ＞1，则1＜e ≤1+√52； 故选：A ．二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝1，则（ ） A ．a 2+a 8＝2B ．a 3a 7＝1C ．S 9＝9D ．S 10＝10解：设数列{a n }的公差为d ，由a 2+a 8＝2a 5＝2，知选项A 正确；a 3a 7＝（a 5﹣2d ）（a 5+2d ）=a 52−4d 2＝1﹣4d 2，由于d 不确定，所以B 错误；由S 9=(a 1+a 9)⋅92=9a 5＝9，知选项C 正确； S 10＝S 9+a 10＝9+a 5+5d ＝10+5d ，由于d 不确定，所以D 错误． 故选：AC ．10．已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．点（4，0）在圆M 内 B ．圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称C ．半径为√3D ．直线x −√3y =0与圆M 相切解：x 2+y 2﹣4x +3＝0整理得：（x ﹣2）2+y 2＝1，∵x ＝4，y ＝0时x 2+y 2﹣4x +3＝3＞0，∴点（4，0）在圆M 外，A 错；∵圆心M （2，0）在直线x +3y ﹣2＝0上，∴圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称，B 对； ∵圆M 半径为1，故C 错；∵圆心M （2，0）到直线x −√3y =0的距离为d =|2|√1+3=1，与半径相等，∴直线x −√3y =0与圆M 相切，D 对． 故选：BD ． 11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√2|DF|，则双曲线的离心率的值可能是（ ） A ．23B ．√2C ．√52D ．√5解：不妨设双曲线的右焦点为F （c ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时直线l 的方程为y ＝k （x ﹣c ），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y =k(x −c)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2+2a 2k 2cx ﹣a 2（k 2c 2+b 2）＝0，此时b 2﹣a 2k 2≠0且Δ＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=−2a 2k 2c b 2−a 2k2，x 1x 2=−a 2(k 2c 2+b 2)b 2−a 2k2，所以|AB|=√1+k 2√(−2a 2k 2c b 2−a 2k2)2−4[−a 2(k 2c 2+b 2)b 2−a 2k2]=2ab 2(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，不妨设线段AB 的中点M （x 0，y 0），此时x 0=x 1+x 22=−a 2k 2c b 2−a 2k 2，y 0=k(x 0−c)=k(−a 2k 2c b 2−a 2k 2−c)=−b 2kcb 2−a 2k2，即M(−a 2k 2c b2−a 2k2，−b 2kc b2−a 2k2)，因为k ≠0，线段AB 的中垂线的斜率为−1k ，则线段AB 的中垂线所在直线方程为y +b 2kcb 2−a 2k 2=−1k (x +a 2k 2cb 2−a 2k2)， 令y ＝0，解得x =−k 2c 2b2−a 2k2，即D(−k 2c 3b 2−a 2k2，0)， 所以|DF|=|−k 2c 3b 2−a 2k2−c|=b 2c(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，因为|AB|≥√2|DF|，所以2ab 2(1+k 2)|b 2−a 2k 2|≥√2b 2c(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，整理得2a ≥√2c ， 则e =c a ≤22=√2， 又双曲线的离心率e ＞1，则双曲线的离心率取值范围为(1，√2]． 故选：BC ．12．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以a n 为边长的正方形中的扇形面积为b n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．a 8＝21B ．a 2023是奇数C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023D ．S 2023a 2023⋅a 2024=π4解：对于A ，由a 1＝1，a 2＝1，且a n =a n−1+a n−2(n ≥3，n ∈N ∗)，可得斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，则a 8＝21，故A 正确； 对于B ，由斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且2023＝3×674+1，所以a 2023是奇数，故B 正确； 对于C ，因为a 2＝a 3﹣a 1，a 4＝a 5﹣a 3，⋯，a 2022＝a 2023﹣a 2021，相加可得：a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023﹣1，故C 错误；对于D ，因为斐波那契数列总满足a n =a n−1+a n−2(n ≥3，n ∈N ∗)，且a 1＝a 2＝1，所以a 12=a 2a 1，a 22=a 2a 2=a 2(a 3−a 1)=a 2a 3−a 2a 1，a 32=a 3a 3=a 3(a 4−a 2)=a 3a 4−a 3a 2， 类似的有，a n 2=a n a n =a n (a n+1−a n−1)=a n a n+1−a n a n−1，其中n ≥2， 累加得a 12+a 22+a 32+⋯+a n 2=a n ⋅a n+1，则S n =π4(a 12+a 22+⋯+a n 2)=π4a n a n+1，故S 2023a 2023⋅a 2024=π4，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．数列{a n }的通项公式a n =1√n+1+√n，若S n ＝9，则n ＝ 99 ．解：∵a n =1√n+1+√n=√n +1−√n ，∴S n ＝（√2−1）+（√3−√2）+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， ∵S n ＝9， ∴√n +1−1＝9， n +1＝100， 解得n ＝99． 故答案为：99．14．已知直线l ：y ＝x 被圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）截得的弦长为2，则r ＝ √3 ． 解：由圆的方程（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2，则其圆心为（3，1）， 圆心到直线的距离d =|3−1|√1+1=√2，弦长的一半为1，r =√(√2)2+12=√3．故答案为：√3． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．椭圆C 上存在一点A ，满足AF 1→⋅AF 2→=4c 2，则椭圆的离心率的取值范围是 [√66，√55] ．解：设A （x 1，y 1），则由AF 1→⋅AF 2→=4c 2可得：(−c −x 1，−y 1)⋅(c −x 1，−y 1)=x 12−c 2+y 12=4c 2，可得x 12+y 12=5c 2，即A 点在以（0，0）为圆心，半径为√5c 的圆上；又A点在椭圆上，即可得圆x 12+y 12=5c 2与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1有交点，根据对称性可知b ≤√5c ≤a ，即5c 2≤a 2≤6c 2，所以可得离心率e ∈[√66，√55]． 故答案为：[√66，√55]． 16．已知A ，B 分别是椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则直线CD 过定点，定点坐标为 (−23，0) ． 解：∵椭圆方程：x 24+y 23=1，∴A （﹣2，0），B （2，0），又k 1＝2k 2，设l AC ：y ＝k 1（x +2），l BD ：y ＝k 2（x ﹣2）．设C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）． 联立{y =k 1(x +2)x 24+y 23=1，可得(3+4k 12)x 2+16k 12x +(−12+16k 12)=0，∴x A +x C =−16k 123+4k 12，∴x C =−16k 123+4k 12−x A =−16k 123+4k 12−(−2)=6−8k 123+4k 12，因为k 1＝2k 2， ∴x C =6−8k 123+4k 12=6−32k 223+16k 22，∴C(6−32k 223+16k 22，24k 23+16k 22)，联立{y =k 2(x −2)x 24+y 23=1，可得(3+4k 22)x 2−16k 22x +(−12+16k 22)=0，得x B +x D =16k 223+4k 22，∴x D =16k 223+4k 22−x B =16k 223+4k 22−2=−6+8k 223+4k 22，∴D(−6+8k 223+4k 22，−12k 23+4k 22)，由C(6−32k 223+16k 22，24k 23+16k 22)，D(−6+8k 223+4k 22，−12k 23+4k 22)得，l CD ：9k 2x+(8k 22−3)y +6k 2=0，即8k 22y +(9x +6)k 2−3y =0过定点(−23，0)．故答案为：(−23，0)．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：（x +1）2+y 2＝4与圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝10相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆C 1与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 2上滑动，求△MNC 2面积最大时的直线MN 的方程．解：（1）由圆C 1：（x +1）2+y 2＝4，可得圆C 1的圆心为C 1（﹣1，0），半径为r 1＝2， 圆C 1与圆C 2的方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：x +3y ﹣1＝0， 圆心C 1到x +3y ﹣1＝0的距离为d 1=√105，所以PQ =2√r 12−d 12=6√105； （2）M （1，0），C 2（0，3），当△MNC 2的面积最大时，NC 2⊥MC 2， 又k MC 2=3−00−1=−3，所以k NC 2=13，所以直线NC 2的直线方程为y =13x +3， 由{x 2+(y −3)2=10y =13x +3，解得{x =−3y =2或{x =3y =4， 所以N （﹣3，2）或N （3，4），所以MN 方程：x +2y ﹣1＝0或2x ﹣y ﹣2＝0．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{b n }为等比数列．且b 1＝1，b n ＞0，b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2，n ∈N *，（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式． （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）， 由b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2 可得： {b 1q +2a 1+d =105a 1+10d =5b 1q 2+3(a 1+d)⇒{q =2d =2， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝2n +1， 数列{b n } 的通项公式是b n =2n−1．（2）∵a n b n =(2n +1)×2n−1，数列{a n •b n }的前n 项和T n ， ∴T n =3+5×2+7×22+⋯+（2n +1）×2n ﹣1，2T n =3×2+5×22+⋯+（2n ﹣1）×2n ﹣1+（2n +1）×2n ，∴﹣T n ＝3+2×（2+22+2n ﹣1）﹣（2n +1）×2n=3+2×2(2n−1−1)2−1−（2n +1）×2n ＝2n +1﹣1﹣（2n +1）×2n ，∴T n =(2n −1)×2n +1．19．（12分）已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ﹣3y +7＝0相切． （1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +4﹣2a ＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （3，﹣1）？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设圆心为M（x0，0），且x0是整数．则点（x0，0）到直线4x﹣3y+7＝0的距离为3．得022=3，所以x0＝2．轨迹方程：（x﹣2）2+y2＝9；（2）联立轨迹方程与直线方程，（x﹣2）2+y2＝9与ax﹣y+4﹣2a＝0，因为直线与圆有两个交点，所以Δ＞0，得a∈(−∞，−√73)∪(√73，+∞)，（3）存在实数a＝1，使得弦AB的垂直平分线l过点P（3，﹣1）．理由如下：设l的方程为y=−1a(x−3)−1，由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M（2，0）必在l上，所以a＝1，所以存在实数a＝1，使得弦AB的垂直平分线l过点P（3，﹣1）．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O1：（x+2）2+y2＝1，圆O2：（x﹣2）2+y2＝1，点H（1，0），一动圆M与圆O1内切、与圆O2外切．（1）求动圆圆心M的轨迹方程E；（2）是否存在一条过定点的动直线l，与E交于A、B两点，并且满足HA⊥HB？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．解：（1）由圆O1方程知：圆心O1（﹣2，0），半径r1＝1；由圆O2方程知：圆心O2（2，0），半径r2＝1，设动圆M的半径为r，∵动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，∴|MO1|＝r﹣1，|MO2|＝r+1，∴|MO2|﹣|MO1|＝2，且2＜|O1O2|＝4，∴动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，∴a＝1，c＝2，b2＝4﹣1＝3，∴动圆圆心M 的轨迹方程E 为：x 2−y 23=1(x ≤−1)；（2）设直线l 为x ＝my +n ， 把x ＝my +n 代入x 2−y 23=1，并整理得（3m 2﹣1）y 2+6mny +3n 2﹣3＝0， ∴Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2﹣1）（3n 2﹣3）＞0，即3m 2+n 2﹣1＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则y 1+y 2=−6mn 3m 2−1，y 1y 2=3n 2−33m 2−1， ∴x 1x 2=(my 1+n)(my 2+n)=m 2y 1y 2+mn(y 1+y 2)+n 2=m 2×3n 2−33m 2−1+mn ×−6mn3m 2−1+n 2=−3m 2−n 23m 2−1＞0，∴3m 2﹣1＜0，又∵x 1+x 2＝（my 1+n ）+（my 2+n ）＝m （y 1+y 2）+2n =m ×−6mn 3m 2−1+2n =−2n3m 2−1＜0，∴n ＜0，∵HA ⊥HB ，∴HA →⋅HB →=0，∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2＝0，∴x 1x 2﹣（x 1+x 2）+y 1y 2+1＝0， ∴−3m 2−n 23m 2−1−−2n 3m 2−1+3n 2−33m 2−1+1=0，即n 2+n ﹣2＝0，解得n ＝﹣2或n ＝1，当n ＝1时，直线l 为x ＝my +1，过H （1，0），不合题意，舍去； 当n ＝﹣2时，直线l 为x ＝my ﹣2，过定点（﹣2，0）．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝4，数列{b n }的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log √3(T n )． （1）求T n ； （2）令c n =a nb n，求正整数n ，使得“c n ﹣1＝c n +c n +1”与“c n 是c n ﹣1，c n +1的等差中项”同时成立； （3）设d n ＝2a n +7，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1，求数列{e n }的前2n 项和Y 2n ． 解：（1）由S n =log √3(T n )，令n ＝1得，a 1=S 1=log 312(T 1)=2log 3(b 1)=2log 313=−2，设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＝a 1+3d ＝4，解得d ＝2，∴a n ＝﹣2+2（n ﹣1）＝2n ﹣4，S n =n(a 1+a n )2=n(−2+2n−4)2=n 2−3n ， 即log √3(T n )=n 2−3n ，可得T n =(√3)n 2−3n．（2）存在，理由如下： 由（1）可得：T n =(√3)n2−3n，当n ≥2时，则T n−1=(√3)(n−1)2−3(n−1)=(√3)n2−5n+4，可得b n =T nT n−1=(√3)2n−4=3n−2； 当n ＝1时，b 1=13也满足上式，所以b n =3n−2(n ∈N ∗)． 故c n =a nb n =2n−43n−2， 要使c n ﹣1＝c n +c n +1成立，即2n−63n−3=2n−43n−2+2n−23n−1，解得n ＝4，此时c 3=23，c 4=49，c 5=29，满足：2c 4＝c 3+c 5， 即c 4为c 3，c 5的等差中项， ∴存在n ＝4符合题意．（3）d n ＝2a n +7＝2（2n ﹣4）+7＝4n ﹣1，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1=(−1)n(4n+1)(4n−1)(4n+3)=(−1)n2(14n−1+14n+3)， Y 2n =12[−(13+17)+(17+111)−(111+115)+⋯+(18n−1+18n+3)]=12(−13+18n+3)=−4n24n+9． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2√3，P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线PF 1，PO ，PF 2分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有PF 1→=2F 1M →． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN的最大值．解：（1）由题意可知P （0，b ），F 1（﹣c ，0），设M （x ，y ）， 因为PF 1→=2F 1M →，可得（﹣c ，﹣b ）＝2（x +c ，y ），所以x =−32c ，y =−b2，而M 在椭圆上，所以94c 2a2+b 24b 2=1，即9c 24a 2+14=1，而2c ＝2√3，则c =√3，解得a 2＝9，b 2＝6，所以椭圆C 的标准方程为：x 29+y 26=1；（2）设P （x 0，y 0），PM →=λPF 1→，PN →=μPF 2→，则M （（1﹣λ）x 0，−√3λ，（1﹣λ）y 0）， 代入椭圆的方程：[(1−λ)x 0−√3λ]29+(1−λ)2y 026=1，即（1﹣λ）2（x 029+y 026）−2√3λ(1−λ)x 09+13λ2＝1， 因为P 在椭圆上，所以x 029+y 026=1，所以（1﹣λ）2−2√3λ(1−λ)x 09+13λ2＝1，可得λ=x 0+3√3x 0+23， 同理可得μ=0√3x 0−23，所以S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN=|PF 1|⋅|PQ||PM|⋅|PQ|+|PF 2|⋅|PQ||PN|⋅|PQ|=12λ+12μ=12（0√3x 0+3√3+0√3x 0−3√3）＝1+9x 02−27，因为x 02∈[0，9），所以S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN∈（12，23]，且当x 0＝0时，即P 为短轴的顶点时，取到最大值23．。

2023-2024学年广东省深圳市名校高二上学期期中联考数学试题

2023-2024学年广东省深圳市名校高二上学期期中联考数学试题

2023-2024学年广东省深圳市名校高二上学期期中联考数学试题1. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点B 与点A(−3,6,1)关于平面Oxy 对称，则B 的坐标为（ ）A ． (3,6,1)B ． (−3,−6,1)C ． (−3,6,−1)D ． (−3,−6,−1)2. 已知向量a →=(−1,1,2),b →=(−2,0,−1)，则2a →−b →=（ ）A ． (−4,2,3)B ． (4,−2,−3)C ． (0,−2,−5)D ． (0,2,5)3. 经过A(0,√3),B(3,0)两点的直线的倾斜角为（ ）A ． 5π6B ． π6C ． 2π3D ． π34. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A ． AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ．C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ．AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D ． D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗5. 若直线l 的斜率大于1，则l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ． (π4,+∞) B ． (π4,π2) C ． (π4,π2]D ． (π4,π)6. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB⟂AC,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AD →在向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为（ ）A ． 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C ． 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ D ． 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗7. 已知直线l 1的倾斜角是直线l 2的倾斜角的2倍，且l 1的斜率为−34，则l 2的斜率为（ ）A ．3或 −13B ．3C ． 13 或 −3D ． 138. 在三棱锥A −BCD 中，AB =AC =AD =6,AB,AC,AD 两两垂直，E 为AB 的中点，F 为AD 上更靠近点D 的三等分点，O 为ΔBCD 的重心，则O 到直线EF 的距离为（ ）A ．2B ．1C ． 2√265D ． √2659. 已知直线l 的倾斜角为2π3，则l 的方向向量可能为（ ）A ． (1,−√3)B ． (√3,−1)C ． (−2,2√3)D ． (2√3,−2)10. 已知{a →,b →,c →}是空间的一个基底，则可以与向量α→+c →,b →−c →构成空间的一个基底的向量是（ ）A ． a →+b →B ． a →C ． 2a →+2b →+c →D ． a →−b →+2c →11. 如图，在圆台OO′中，AB,A′B′分别为圆O,O 的直径，AB ∥A′B′,AB =3A′B′=12，圆台OO′的体积为104π3,C 为内侧AB̂上更靠近B′的三等分点，以O 为坐标原点，下底面垂直于AB 的直线为x 轴，OB,OO′所在的直线分别为y,z 轴，建立空间直角坐标系，则（ ）A ． O′ 的坐标为 (0,0,2)B ． AC →=(−√3,7,2)C ．平面 ABC 的一个法向量为 (2,1,√3)D ． O′ 到平面 ABC 的距离为 2√21712. 在正四面体ABCD 中，M,N 分别是AD,BC 的中点，AB =2√6，则（ ）A ． MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =24B ． MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗C ． ⟨BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩>π3 D ．异面直线 MN 与 BD 所成的角为 π313. 已知a →=(0,1,m),b →=(0,n,−3)分别是平面α,β的法向量，且α//β，则mn =__________. 14. 已知点A(1,2),B(2,3)，点C 在x 轴上，ΔABC 为直角三角形，请写出C 的一个坐标：________．15. 在空间直角坐标系中，向量a =(sinα,−cosα,1),b ⃗ =(2cosθ,1,2sinθ)，则a →·b →的最大值为________．16. 在三棱锥P −ABC 中，底面ABC 为正三角形，PA⟂平面ABC ，PA =AB ，G 为ΔPAC 的外心，D 为直线BC 上的一动点，设直线AD 与BG 所成的角为θ，则θ的取值范围为__________．17. 已知直线l 1经过A(m,3),B(1,m)两点，l 2经过P(2,1),Q(4,2)两点．(1)若l 1//l 2，求m 的值；(2)若l 1,l 2的倾斜角互余，求m 的值．18. 在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD 的三个顶点为A(0,−1,1),B(0,1,2),C(3,1,3)．(1)求D 的坐标；(2)求四边形ABCD 的面积．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PC⟂底面ABCD ，且PC =1．(1)证明：BD⟂PA ．(2)若PB⃗⃗⃗⃗⃗ =3PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求二面角P −AC −E 的余弦值． 20. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑P −ABC 中，PA⟂平面PBC ，BC⟂平面PAB ，D 为PC 的中点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BC →=c →，用a ，b ⃗ ，c 表示DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2,E,F,G 分别是AA 1,BC,C 1D 1的中点(1)证明：B 1D⟂平面EF .(2)在直线DB 上是否存在点P ，使得B 1P||平面EFG ？若存在，请指出P 的位置；若不存在.请说明理由.22. 如图，A,B,C 为圆柱底面圆周上三个不同的点，AA 1,BB 1,CC 1分别为半圆柱的三条母线，且C 是弧AB 的中点，O,E 分别为AB,BB 1的中点.(1)证明：A1C1||平面ACE.(2)若AA1=4AB=8,F是弧A1B1上的动点（含弧的端点），求OF与平面ACE所成角的正弦值的最大值.。

广东省深圳科学高中高一数学上学期期中试题(国际体系)新人教A版

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年级：高一 科目：数学(国际体系） 考试时长：90分钟 卷面总分：100分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效．选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净．解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框．一、选择题（只有一个答案正确，8小题，每小题4分，共32分）. 1．已知{}x y R y M =∈=，{}0>∈=x R x N ，则（ ）.A ．MN B ．N M = C ．φ=N M D ．NM2 下列函数中与函数x y =相等的是（ ）.A 2x y = B xx y 2=C )10(log ≠>=a a a y x a 且D xa a y log =)10(≠>a a 且3．函数()()x xx f ++-=1lg 11的定义域是（ ）. A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)4．如果奇函数f(x)在],[b a 具有最大值1，那么该函数在],[a b --有（ ）.A ．最小值1B ．最小值-1C ．最大值1D ．最大值-15. 图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象， 则d c b a ,,,的大小关系是（ ）.A. c d b a <<<<<10B. d c a b <<<<<10C. b a c d <<<<<10D. b a d c <<<<<106. 对数式)5(log )2(a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）. A. ),5()2,(+∞-∞ B. )5,2( C. )5,3()3,2( D. )4,3(7．设偶函数()f x 的定义域为R ，且[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2)f -，()f π，(3)f -的大小关系是（ ）.A ．()(2)(3)f f f π>->-B ．()(3)(2)f f f π>->-xyO y=log a xy=log b x y=log c x y=log d x1C ．()(3)(2)f f f π<-<-D ．()(2)(3)f f f π<-<-8．已知集合{}813≤=xx A ，()a B ,∞-=，若B B A = ，则实数a 的取值范围是( ) .A. ),4[+∞B. ]4,0(C. ),4(+∞D. ),2(+∞二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）.9. 已知函数()f x 在区间[-2，2]上是减函数，则不等式)21()(-<f x f 的解集 是 .10．函数()223lo +-=x g f(x)a 恒过定点 .11．若函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=->=+-002221x e x x xx f x ，则()()()0f f f =_ ___. 12. 8.0log 3，5log 2，()6.02-的大小关系是 .13．已知]4,21[∈x ，则函数x y 21log =的值域是 .14. 733log 8lg 125lg ++= .三、解答题(4小题，共44分， 解答要写明过程或演算步骤). 15. （本题满分4+6=10分）（1）化简：2115113366221()(3)()3a b a b a b ⨯-÷；（2）计算: 5566232021)4()4(23)827()6.9()49(-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-----ππ.16、（本题满分4+6=10分）求下列不等式的解集:11ln (1)<-)(x ;.17．（共12分）深圳科学高中大约共有600台空调，空调运行所释放的氟里昂 会破坏大气上层的臭氧层. 假设臭氧层含量W 呈指数型函数变化，满足关系t e W W 02.00-=，其中0W 是臭氧的初始量. (参考数据 216932.0=-e ) （1）判断函数t e W W 02.00-=的单调性，并用定义证明.（2）多少年后将会有一半的臭氧消失?18.(共12分)二次函数)(x f y =的最小值为1,且3)2()0(==f f .10,1 )2(212≠>⎪⎭⎫ ⎝⎛>--a a a a x x 且其中(1) 求)(x f 的解析式;(2) 若)(x f 在区间]1,2[+a a 上不单调,求a 的取值范围.深圳科学高中2013-2014学年第一学期期中考试试题答案年级：高一 科目：数学（国际体系）考试时长：90分钟 卷面总分：100分一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１A 2D 3C 4D 5D 6C 7B 8C二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． ]2,21(-； 10． )2,1(； 11． 1；12．<8.0log 3()6.02-5log 2< ； 13．]2,0[ ； 14． 10三、解答题(4大题，共44分) 15. （本题满分10分）（1）化简：2115113366221()(3)()3a b a b a b ⨯-÷（2）计算: 5566232021)4()4(23)827()6.9()49(-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-----ππ解析：（1）原式65312161213231)3(-+-+-=b a ……………… ……………3分 a 9-= ……………… …… ……… …… ……4分(1) 原式)4(423231232)32(3212-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛=--⋅⋅ππ ………7分44232312322-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--ππ ……… …… ……9分 123-=21= ……………… …… ……… …… ……10分 16、（本题满分10分）求下列各式中的x 的取值范围:1)1(ln )1(<-x ;解析: (1) lne 1)1(ln =<-x , …………… …… ……… … ……1分则 ⎩⎨⎧<>e 101-x-x …………… …… ……… … ……2分解得，⎩⎨⎧+<>e11x x ……………… …… ……… … ……3分所以，不等式的解集为)1,1(+e . ………… …… ……… …… ……4分 （2）……………… …… ……… …… ……5分① 当10<<a 时，xa y =在R 上为减函数，所以212+-<-x x ……………… …… ……… …… ……6分 解得1<x . ……………… …… ……… …… ……7分 ② 当1>a 时，xa y =在R 上为增函数，所以212+->-x x ……………… …… ……… …… ……8分 解得1>x . ……………… …… ……… …… ……9分 综上可得，当10<<a 时，解集为)1,(-∞；1.0,1)2(212≠>⎪⎭⎫ ⎝⎛>--a a a a x x 且其中()212+-->x x a a当1>a 时，解集),1(+∞. ……… …… ……… …… ……10分17．（共12分）深圳科学高中大约共有600台空调，空调运行所释放的氟里昂会破坏大气上层的臭氧层. 假设臭氧层含量W 呈指数型函数变化，满足关系t e W W 02.00-=，其中0W 是臭氧的初始量. (参考数据 216932.0=-e) （1）判断函数te W W 02.00-=的单调性，并用定义证明.（2）多少年后将会有一半的臭氧消失？ 解析:（1）函数t e W W 02.00-=的定义域为),0[+∞,在),0[+∞上为减函数. ……2分证明: 对任意的),0[,21+∞∈t t 且21t t <,有 …… ……… …… ……3分()212102.002.0002.0021t t t t e eW e W W W ----==. … …… ……5分又012≥>t t ,所以021<-t t ,又1002.0<<-e, 所以()12102.0>--t t e ,即21W W >. … …… ……7分所以, 函数te W W 02.00-=在),0[+∞上为减函数. … …… ……8分(3) 一半的臭氧消失时，021W W =，所以 … ……9分 002.0021W e W W t ==-，06932.002.021--==e e t ,解得，66.34=t . … ……11分即66.34年后，将会有一半的臭氧消失. … ……12分18. (共12分)二次函数)(x f y =的最小值为1,且3)2()0(==f f . (1) 求)(x f 的解析式;(2) 若)(x f 在区间]1,2[+a a 上不单调,求a 的取值范围. 解析:(1) )(x f 为二次函数且)2()0(f f =，所以对称轴为1220=+=x . ……2分 又)(x f y =的最小值为1，故可设)0(1)1()(2>+-=a x a x f . ……4分 因为3)0(=f ，所以31)0(=+=a f ，即2=a .所以1)1(2)(2+-=x x f . … …… ……8分 （2）由条件可知，112+<<a a ， … …… ……10分 解得,210<<a . … …… ……12分。

2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1．已知集合A ={x|x−1x+3＜0}，B ={x||x|＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜1}B ．{x |﹣3＜x ＜2}C ．{x |﹣2＜x ≤1}D ．{x |﹣2≤x ≤1}2．已知直线l ，m 和平面α，β．若α⊥β，l ⊥α，则“l ⊥m ”是“m ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在△ABC 中，CM →=3MB →，AN →+CN →=0，则（ ）A ．MN →=14AC →+34AB →B ．MN →=23AB →+76AC →C ．MN →=16AC →−23AB →D ．MN →=14AC →−34AB →4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r ＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2√3D ．35．已知sin(α−π4)=−35，且α为锐角，则cos2α＝（ ） A ．−1225B ．1225C ．−2425D ．24256．已知正四面体ABCD ，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（ ） A ．23B ．√36C ．√2121D ．4√21217．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，O 为椭圆的对称中心，F 为椭圆的一个焦点，P 为椭圆上一点，PF⊥x 轴，PF 与椭圆的另一个交点为点Q ，△POQ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．√32B ．√5−12C ．√3+14D ．358．已知正三棱锥A ﹣BCD 的外接球是球O ，正三棱锥底边BC ＝3，侧棱AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BE ＝DE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．[9π4，3π]B ．[2π，3π]C ．[11π4，4π]D ．[9π4，4π]二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知空间中三点A （﹣1，2，1），B （1，3，1），C （﹣2，4，2），则（ ）A ．向量AB →与向量AC →垂直B ．平面ABC 的一个法向量为n →=（l ，2，﹣5）C ．AC →与BC →的夹角余弦值为√6611D ．|AB →|=210．已知f(x)=√3sinωx +cosωx(ω＜0)的最小正周期为π，则（ ） A ．f(π4)=√3B ．f （x ）的图象关于直线x =−π6对称 C ．f （x ）在(0，π3)上单调递增D ．f （x ）在（0，2π）上有四个零点11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣1，0），B （2，0），动点M 满足MB ＝2MA ，直线l ：x ﹣my +1＝0，则以下说法正确的是（ ） A ．动点M 的轨迹方程为（x +2）2+y 2＝4 B ．直线l 与动点M 的轨迹一定相交C ．若直线l 与动点M 的轨迹交于P 、Q 两点，且PQ =2√3，则m ＝±1D ．动点M 到直线l 距离的最大值为312．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，G 为C 1D 1的中点，点P 在线段B 1C 上运动，点Q 在棱C 1C 上运动，M 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ） A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1D B ．PQ +QG 的最小值为3√2C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3，π2]D ．当MA +MB ＝4时，三棱锥A ﹣MBC 体积最大时其外接球的表面积为28π3．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数3+i 是实系数一元二次方程x 2﹣ax +b ＝0的一个根，则b ＝ ．14．已知⊙M ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，直线l ：2x +y +2＝0，点P 为直线l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，切点为A ，则切线段P A 长的最小值为 ．15．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系xOy 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为n →=(a ，b ，c)的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0．根据上述知识解决问题：现有一三脚架（三条脚架可看作三条边，它们的交点为顶点）放于桌面，建立合适空间直角坐标系xOy ，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面α的方程为x ﹣2y +z ＝0，若三脚架顶点Q 的坐标为（0，2，3），则点Q 到平面α的距离为 ． 16．已知△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 上的四等分点（靠近点A ）且CD ＝1，（a ﹣b ）sin A ＝（c +b ）（sin C ﹣sin B ），则a +3b 的最大值是 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图像如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求f （x ）与g （x ）的解析式；（2）求方程g(x)=√2在区间（0，2π）内的所有实数解的和．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ﹣c ＝（√3sin A ﹣cos A ）b ． （1）求角B 的大小；（2）D 为AC 边上一点，DB ⊥AB ，BC ＝4，BD =√3，求边AB 的长．19．（12分）已知△ABC 的顶点A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0． （1）求直线BC 的方程；（2）若△ABC 的外接圆为圆M ，过点P(√2，2)作圆M 的切线，求切线方程． 20．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，AC ＝AA 1，AC 1⊥A 1B ． （1）求证：面ACC 1A 1⊥面ABC ；（2）若BC ＝1，AC ＝2，∠A 1AC ＝60°，在棱AC 上是否存在一点P ，使得二面角B ﹣A 1P ﹣C 的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由．21．（12分）已知椭圆M 焦点在x 轴，离心率为2√23，且过点（3，0），直线l ：x ＝ky +m （m ≠3）与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过定点C （3，0）． （1）求椭圆M 的标准方程； （2）求△ABC 面积的最大值．22．（12分）已知集合M 是满足下列性制的函数f （x ）的全体，存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a +x ）＝kf （a ﹣x ）成立，称数对（a ，k ）为函数f （x ）的“伴随数对”． （1）判断f （x ）＝x 2是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数f （x ）＝sin x ∈M ，求满足条件的函数f （x ）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”，当1≤x ＜2时，f （x ）＝cos （π2x ）；当x ＝2时，f （x ）＝0，求当2014≤x ≤2016时，函数y ＝f （x ）的解析式和零点．2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1．已知集合A ={x|x−1x+3＜0}，B ={x||x|＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜1} B ．{x |﹣3＜x ＜2} C ．{x |﹣2＜x ≤1} D ．{x |﹣2≤x ≤1}解：因为x−1x+3＜0⇒(x −1)(x +3)＜0⇒−3＜x ＜1，所以A ＝{x |﹣3＜x ＜1}．因为|x |＜2⇒﹣2＜x ＜2，所以B ＝{x |﹣2＜x ＜2}． A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜1}． 故选：A ．2．已知直线l ，m 和平面α，β．若α⊥β，l ⊥α，则“l ⊥m ”是“m ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为α⊥β，l ⊥α，若m ⊥β，则可得l ⊥m ，必要性成立；若l ⊥m ，则m ∥α或m ⊂α都有可能，但是m ⊥β不一定成立，充分性不成立． 所以“l ⊥m ”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 故选：B ．3．在△ABC 中，CM →=3MB →，AN →+CN →=0，则（ ）A ．MN →=14AC →+34AB →B ．MN →=23AB →+76AC →C ．MN →=16AC →−23AB →D ．MN →=14AC →−34AB →解：由CM →=3MB →，AN →+CN →=0，可得BM →=14BC →，AN →=12AC →，所以MN →=AN →−(AB →+BM →)=12AC →−AB →−14BC → =12AC →−AB →−14(AC →−AB →) =14AC →−34AB →．故选：D ．4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r ＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2√3D ．3解：令圆锥底面圆半径为r ′，则2πr ′=πr ，解得r ′=12r ， 从而圆锥的高ℎ=√r 2−r′2=√32r ， 因此圆锥的体积V =13πr′2ℎ=13π(12r)2⋅√32r =3π，解得r =2√3．故选：C ．5．已知sin(α−π4)=−35，且α为锐角，则cos2α＝（ ） A ．−1225B ．1225C ．−2425 D ．2425解：由sin(α−π4)=−35，且α为锐角，所以α∈(0，π2)， 可得α−π4∈(−π4，π4)，所以cos(α−π4)=√1−sin 2(α−π4)=45； 因此cosα=cos[(α−π4)+π4]=cos(α−π4)cos π4−sin(α−π4)sin π4=7√210， cos2α=2cos 2α−1=2×(7√210)2−1=2425． 故选：D ．6．已知正四面体ABCD ，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（ ） A ．23B ．√36C ．√2121D ．4√2121解：如图，设正四面体ABCD 的棱长为2，取AD 的中点F ，连接MF 、CF ，因为M 、F 分别为AB 、AD 的中点，则MF ∥BD 且MF =12BD =1，因此∠CMF 或其补角为直线CM 与直线BD 所成的角， 因为△ABC 为等边三角形，M 为AB 的中点， 则CM ⊥AB ，且CM =ACsin60°=√3，同理CF =√3，在等腰△CMF 中，cos ∠CMF =12MFMC =123=√36，所以直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为√36． 故选：B ．7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，O 为椭圆的对称中心，F 为椭圆的一个焦点，P 为椭圆上一点，PF⊥x 轴，PF 与椭圆的另一个交点为点Q ，△POQ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．√32B ．√5−12C ．√3+14D ．35解：如图，不妨设F （c ，0），P （c ，y 0）， 因为点P （c ，y 0）在椭圆上，所以c 2a 2+y 02b 2=1，解得y 0=±b 2a ，所以P(c ，b2a)，又△POQ 为等腰直角三角形，所以|PF |＝|OF |， 即b 2a=c ，即a 2﹣c 2＝ac ，所以e 2+e ﹣1＝0， 解得e =√5−12或e =−1−√52（舍）． 故选：B ．8．已知正三棱锥A ﹣BCD 的外接球是球O ，正三棱锥底边BC ＝3，侧棱AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BE ＝DE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．[9π4，3π]B ．[2π，3π]C ．[11π4，4π]D ．[9π4，4π]解：如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接O 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则O 1D ＝3sin60°×23=√3，AO 1=√AD 2−DO 12=3，在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，在△DEO 1中，O 1E =√3+94−2×√3×32×cos30°=√32，∴OE =√O 1E 2+OO 12=√34+1=√72， 过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时， 截面的面积最小，此时截面圆的半径为： r =√22−(√72)2=32，最小面积为π×(32)2=9π4， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． ∴所得截面圆面积的取值范围是[9π4，4π]．故选：D ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知空间中三点A （﹣1，2，1），B （1，3，1），C （﹣2，4，2），则（ ） A ．向量AB →与向量AC →垂直B ．平面ABC 的一个法向量为n →=（l ，2，﹣5） C ．AC →与BC →的夹角余弦值为√6611D ．|AB →|=2解：三点A （﹣1，2，1），B （1，3，1），C （﹣2，4，2）， A 中，AB →=（2，1，0），AC →=（﹣1，2，1），所以AB →•AC →=2×（﹣1）+1×2+0×1＝0，所以AB →⊥AC →，所以A 正确；B 中，设平面ABC 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅AB →=0n →⋅AC →=0，即{2x +y =0−x +2y +z =0， 令x ＝1，则n →=（1，﹣2，5），所以B 不正确；C 中，BC →=（﹣3，1，1），AC →•BC →=−1×（﹣3）+2×1+1×1＝6， |AC →|=√(−1)2+22+12=√6，|BC →|=√(−3)2+12+12=√11，所以cos ＜AC →，BC →＞=AC →⋅BC→|AC →|⋅|BC →|=6√6⋅√11=√6611，所以C 正确； D 中，|AB →|=√22+12+02=√5≠2，所以D 不正确． 故选：AC ．10．已知f(x)=√3sinωx +cosωx(ω＜0)的最小正周期为π，则（ ） A ．f(π4)=√3B ．f （x ）的图象关于直线x =−π6对称 C ．f （x ）在(0，π3)上单调递增D ．f （x ）在（0，2π）上有四个零点解：函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx ＝2sin （ωx +π6）（ω＜0）的最小正周期为π， ∴T =2π−ω=π，即ω＝﹣2， 则f （x ）＝2sin （﹣2x +π6）＝﹣2sin （2x −π6）， A ，∵f （π4）＝﹣2sin （π2−π6）＝﹣2sinπ3=−√3，∴A 错误，B ，当x =−π6时，则f （−π6）＝﹣2sin （−π2）＝2，∴直线x =−π6为对称轴，∴B 正确，C ，∵x ∈（0，π3），∴2x −π6∈（−π6，π2），∴f （x ）＝﹣2sin （2x −π6）在x ∈（0，π3）上单调递减，∴C 错误，D ，令2x −π6=k π，k ∈Z ，则x =π12+kπ2，k ∈Z ，当k ＝0，即x =π12时，符合题意，当k ＝1，即x =7π12时，符合题意， 当k ＝2，即x =13π12时，符合题意，当k ＝3，即x =19π12时，符合题意，∴D 正确， 故选：BD ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足MB＝2MA，直线l：x﹣my+1＝0，则以下说法正确的是（）A．动点M的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4B．直线l与动点M的轨迹一定相交C．若直线l与动点M的轨迹交于P、Q两点，且PQ=2√3，则m＝±1D．动点M到直线l距离的最大值为3解：设点M（x，y），因为动点M满足MB＝2MA，且A（﹣1，0），B（2，0），所以√(x−2)2+y2=2√(x+1)2+y2，整理可得x2+y2+4x＝0，即（x+2）2+y2＝4，对于A，动点M的轨迹是以N（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，动点M的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4，故A正确；对于B，因为直线l：x﹣my+1＝0过定点C（﹣1，0），而点C（﹣1，0）在圆（x+2）2+y2＝4内，所以直线l与动点M的轨迹一定相交，故B正确；对于C，因为PQ=2√3，所以圆心到直线的距离d=√r2−(|PQ|2)2=1，所以d=|−2+1|√1+(−m)=1，解得m＝0，故C错误；对于D，因为圆心N到直线l的距离为1，所以动点M到直线l距离的最大值为1+2＝3，故D正确．故选：ABD．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C 上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）A．直线BD1⊥平面A1C1DB．PQ+QG的最小值为3√2C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π3，π2]D ．当MA +MB ＝4时，三棱锥A ﹣MBC 体积最大时其外接球的表面积为28π3．解：对于A 选项，连接B 1D 1，则B 1D 1⊥A 1C 1，由题可知，BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，且A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则B 1B ⊥A 1C 1， 又B 1D 1∩B 1B ＝B 1，∴A 1C 1⊥平面D 1B 1B ，BD 1⊂平面D 1B 1B ，则BD 1⊥A 1C 1， 同理可得BD 1⊥DC 1，∵DC 1∩A 1C 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，则选项A 正确；对于B 选项，如图展开平面C 1CDD 1，使平面B 1BCDD 1C 1共面，过G 作GP ⊥B 1C ，交B 1C 与点P ，交C 1C 与点Q ，则此时|PQ |+|QG |最小， 由题可知，B 1G ＝3，则GP =3√22， 即|PQ |+|QG |的最小值为3√22，则B 选项错误；对于C 选项，由题可知，A 1B 1∥C 1D 1∥CD ，A 1B 1＝C 1D 1＝CD ， 所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，则A 1D ∥B 1C ， 所以AP 与B 1C 所成角即为异面直线AP 与A 1D 所成角， 又点P 在线段B 1C 上运动，可知△AB 1C 是等边三角形，所以直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3，π2]，则C 选项正确； 对于D 选项，∵|MA |+|MB |＝4，∴当M 、A 、B 三点共面时， 点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，又因为|AB |＝2，所以椭圆的长轴长为4，短轴长为2√3，故点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭球表面， 设AB 的中点为E ，要使三棱锥A ﹣MBC 的体积最大，即M 到平面ABC 的距离最大， 所以当M ∈平面ABB 1A 1，当ME ⊥平面ABC ，且ME =√3时，三棱锥A ﹣MBC 的体积最大， 此时△MAB 为等边三角形，设其中心为O1，三棱锥A﹣MBC的外接球的球心为O，△ABC的外心F，连接OF，OA，OO1，则OF=O1E=√33，AF=√2，所以AO2=OF2+AF2=73，即三棱锥A﹣MBC体积最大时其外接球的表面积S=4π×OA2=28π3．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数3+i是实系数一元二次方程x2﹣ax+b＝0的一个根，则b＝10．解：复数3+i是实系数一元二次方程x2﹣ax+b＝0的一个根，则3﹣i也是实系数一元二次方程x2﹣ax+b＝0的一个根，故（3+i）（3﹣i）＝b，即b＝10．故答案为：10．14．已知⊙M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：2x+y+2＝0，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线P A，切点为A，则切线段P A长的最小值为1．解：⊙M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4的圆心坐标为M（1，1），半径为2，如图，|MA|＝2，要使|P A|最小，则|PM|最小，为圆心M到直线l：2x+y+2＝0的距离，即√22+12=√5．∴|P A|的最小值为√(√5)2−22=1．故答案为：1．15．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系xOy 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为n →=(a ，b ，c)的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0．根据上述知识解决问题：现有一三脚架（三条脚架可看作三条边，它们的交点为顶点）放于桌面，建立合适空间直角坐标系xOy ，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面α的方程为x ﹣2y +z ＝0，若三脚架顶点Q 的坐标为（0，2，3），则点Q 到平面α的距离为 √66． 解：平面α的方程为x ﹣2y +z ＝0，取P （0，0，0）， 则平面的法向量为n →=(1，−2，1)，PQ →=(0，2，3)， 则cos〈PQ →，n →〉=PQ →⋅n→|PQ →|⋅|n →|=−4+313×6=−√7878，故点Q 到平面α的距离为|PQ →||cos〈PQ →，n →〉|=√13×√7878=√66．故答案为：√66． 16．已知△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 上的四等分点（靠近点A ）且CD ＝1，（a ﹣b ）sin A ＝（c +b ）（sin C ﹣sin B ），则a +3b 的最大值是 8√33． 解：因为（a ﹣b ）sin A ＝（c +b ）（sin C ﹣sin B ）， 由正弦定理得a （a ﹣b ）＝（c +b ）（c ﹣b ）， 则a 2﹣ab ＝c 2﹣b 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，所以cos ∠ACB =a 2+b 2−c 22ab =12，又∠ACB ∈（0，π），则∠ACB =π3；设∠ACD ＝θ，则∠BCD =π3−θ，且0＜θ＜π3， 在△ACD 中，有ADsinθ=CD sinA，则AD •sin A ＝sin θ，在△BCD 中，有BDsin(π3−θ)=CD sinB，则BD ⋅sinB =sin(π3−θ)，又BD =3AD =3c4，即c 4(sinA +3sinB)=sinθ+sin(π3−θ)， 又由正弦定理知c =2Rsin ∠ACB =√3R （R 为△ABC 的外接圆半径）， 所以√3R 4(sinA +3sinB)=sinθ+√32cos −12sinθ=12sinθ+√32cosθ=sin(θ+π3， 则√38(2RsinA +6RsinB)=sin(θ+π3)，即a +3b =3+π3)，又π3＜θ+π3＜2π3，故当θ+π3=π2，即θ=π6时， 可得(a +3b)max =83=83√3． 故答案为：8√33． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图像如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求f （x ）与g （x ）的解析式；（2）求方程g(x)=√2在区间（0，2π）内的所有实数解的和．解：（1）根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象， 可得A ＝2，14×2πω=7π12−π3，所以ω＝2，再根据五点法作图，可得2×π3+φ＝π，求得φ=π3， 所以函数f （x ）＝2sin （2x +π3），将函数f （x ）＝2sin （2x +π3）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）＝2sin[2（x −π4）+π3]＝2sin（2x −π6）的图象，综上可得，f （x ）＝2sin （2x +π3），g （x ）＝2sin （2x −π6）； （2）若g （x ）＝2sin （2x −π6）=√2，可得sin （2x −π6）=√22， 因为0＜x ＜2π， 所以−π6＜2x −π6＜23π6， 所以2x −π6=π4或2x −π6=3π4或2x −π6=9π4或2x −π6=11π4， 所以x =5π24或x =11π24或x =29π24或x =35π24， 可得方程在区间（0，2π）内的所有实数解为5π24，11π24，29π24，35π24，故所有解的和为5π24+11π24+29π24+35π24=103π．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ﹣c ＝（√3sin A ﹣cos A ）b ． （1）求角B 的大小；（2）D 为AC 边上一点，DB ⊥AB ，BC ＝4，BD =√3，求边AB 的长． 解：（1）由已知结合正弦定理可得sinA −sinC =(√3sinA −cosA)sinB ，∴sinA −sin(A +B)=(√3sinA −cosA)sinB ，∴sinA −sinAcosB =√3sinAsinB ， 又∵sin A ＞0，∴√3sinB +cosB =1，∴sin(B +π6)=12． 又∵B ∈（0，π），∴B +π6∈(π6，7π6)，∴B +π6=5π6，∴B =2π3． （2）∵D 为AC 边上一点，∴S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ， ∴12AB •BC •sin ∠ABC =12AB •BD +12BD •BC •sin ∠DAC ，即12⋅AB ⋅4⋅√32=12⋅AB ⋅√3+12⋅√3⋅4⋅12，解得AB ＝2．19．（12分）已知△ABC 的顶点A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0．（1）求直线BC的方程；（2）若△ABC的外接圆为圆M，过点P(√2，2)作圆M的切线，求切线方程．解：（1）因为线段AB的垂直平分线的方程为x+y＝0，所以点A，B关于直线x+y＝0对称．因为A（﹣1，﹣1），所以B（1，1）．又C（1，﹣1），所以直线BC的方程为x＝1．（2）因为CA⊥CB，A（﹣1，﹣1），B（1，1），所以△ABC外接圆的方程为（x+1）（x﹣1）+（y+1）（y﹣1）＝0，即x2+y2＝2．所以圆M的圆心为（0，0），半径为√2．当切线的斜率不存在时，x=√2满足题意．当切线的斜率存在时，设切线方程为y−2=k(x−√2)，即kx−y+2−√2k=0．因为圆心M到切线的距离d=|2−√2k|√1+k =√2，解得k=√24，所以切线方程为y−2=√24(x−√2)，即√2x−4y+6=0．综上所述，切线方程为x=√2或√2x−4y+6=0．20．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，AC＝AA1，AC1⊥A1B．（1）求证：面ACC1A1⊥面ABC；（2）若BC＝1，AC＝2，∠A1AC＝60°，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角B﹣A1P﹣C的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由．（1）证明：∵AC＝AA1，四边形ACC1A1是平行四边形，∴四边形ACC1A1是菱形，∴AC1⊥A1C，又AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，∴AC1⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴BC⊥AC1，∵侧面BCC 1B 1是矩形，∴BC ⊥CC 1， AC 1∩CC 1＝C 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂⊥平面ABC ， ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABC ．（2）解：由（1），以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴，平面ACC 1A 1上过点C 且垂直于AC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 平面ACC 1A 1上过点C 且垂直于AC 的直线为z 轴．B （0，1，0），A 1（1，0，√3），设P （t ，0，0）， BP →=（t ，﹣1，0），BA 1→=（1，﹣1，√3），由BC ⊥平面ACC 1A 1，可取平面ACC 1A 1的法向量为m →=（0，1，0）． 设A 1BP 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则n →•BP →=n →•BA 1→=0， ∴tx ﹣y ＝0，x ﹣y +√3z ＝0， 取n →=（√3，√3t ，t ﹣1），∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√3t √3+3t +(t−1)=√22，化为t 2+t ﹣2＝0，t ＞0，解得t ＝1，即CP ＝1．∴在棱AC 上存在一点P ，使得二面角B ﹣A 1P ﹣C 的大小为45°，此时点P 为AC 的中点． 21．（12分）已知椭圆M 焦点在x 轴，离心率为2√23，且过点（3，0），直线l ：x ＝ky +m （m ≠3）与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过定点C （3，0）． （1）求椭圆M 的标准方程； （2）求△ABC 面积的最大值． 解：（1）由题意，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，由于椭圆离心率为2√23且过点（3，0）， 所以{c a =2√23a =3，解得a ＝3，c =2√2，b =√a 2−c 2=1，故椭圆M 的标准方程为：x 29+y 2=1．（2）联立{x =ky +mx 29+y 2=1，可得（k 2+9）x 2+2kmy +m 2﹣9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则当Δ＞0时， 有y 1+y 2=−2kmk 2+9，y 1y 2=m 2−9k 2+9，若以AB 为直径的圆经过定点C （3，0），所以CA →⋅CB →=0，由CA →=(x 1−3，y 1)，CB →=(x 2−3，y 2)，得（x 1﹣3）（x 2﹣3）+y 1y 2＝0，将x 1＝ky 1+m ，x 2＝ky 2+m 代入可得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0， 代入韦达定理可得：(k 2+1)×m 2−9k 2+9+k(m −3)×(−2km k 2+9)+(m −3)2=0，化简可得：5m 2﹣27m +36＝0，解得m =125或m ＝3（舍）， 则直线l ：x =ky +125，故直线过定点Q(125，0)， 则S △ABC =12|QC ||y 1﹣y 2|=12×（3−125）y 12×|y 1﹣y 2| =310√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=310√(−2k×125k 2+9)2−4((125)2−9k 2+9)=95√25(k 2+9)−14425(k 2+9)2， 设t =1k 2+9，0＜t ≤19，则S △ABC =95√−14425t 2+t ，当t =25288∈(0，19]时，S △ABC 取得最大值为38．22．（12分）已知集合M 是满足下列性制的函数f （x ）的全体，存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a +x ）＝kf （a ﹣x ）成立，称数对（a ，k ）为函数f （x ）的“伴随数对”． （1）判断f （x ）＝x 2是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数f （x ）＝sin x ∈M ，求满足条件的函数f （x ）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”，当1≤x ＜2时，f （x ）＝cos （π2x ）；当x ＝2时，f （x ）＝0，求当2014≤x ≤2016时，函数y ＝f （x ）的解析式和零点． 解：（1）f （x ）＝x 2的定义域为R ．假设存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a +x ）＝kf （a ﹣x ）成立， 则（a +x ）2＝k （a ﹣x ）2，化为：（k ﹣1）x 2﹣2a （k +1）x +a 2（k ﹣1）＝0， 由于上式对于任意实数x 都成立，∴{k −1=02a(k +1)=0a 2(k −1)=0，解得k ＝1，a ＝0．∴（0，1）是函数f （x ）的“伴随数对”，f （x ）∈M ． （2）∵函数f （x ）＝sin x ∈M ，∴sin （a +x ）＝k sin （a ﹣x ），∴（1+k ）cos a sin x +（1﹣k ）sin a cos x ＝0， ∴√k 2+2kcos2a +1sin （x +φ）＝0， ∵∀x ∈R 都成立，∴k 2+2k cos2a +1＝0， ∴cos2a =−12(k +1k )，|k +1k |≥2， ∴|cos2a |≥1，又|cos2a |≤1， 故|cos2a |＝1．当k ＝1时，cos2a ＝﹣1，a ＝n π+π2，n ∈Z ． 当k ＝﹣1时，cos2a ＝1，a ＝n π，n ∈Z ．∴f （x ）的“伴随数对”为（n π+π2，1），（n π，﹣1），n ∈Z ． （3）∵（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”， ∴f （1+x ）＝f （1﹣x ），f （2+x ）＝﹣f （2﹣x ）， ∴f （x +4）＝f （x ），T ＝4．当0＜x ＜1时，则1＜2﹣x ＜2，此时f （x ）＝f （2﹣x ）＝﹣cos (π2x)； 当2＜x ＜3时，则1＜4﹣x ＜2，此时f （x ）＝﹣f （4﹣x ）＝﹣cos (π2x)； 当3＜x ＜4时，则0＜4﹣x ＜1，此时f （x ）＝﹣f （4﹣x ）＝cos (π2x)．∴f （x ）={−cos(π2x)，0＜x ＜1cos(π2x)，1＜x ＜2−cos(π2x)，2＜x ＜3cos(π2x)，3＜x ＜40，x =0，1，2，3，4．∴f （x ）={−cos(π2x)，2014＜x ＜2015cos(π2x)，2015＜x ＜20160，x =2014，2015，2016．∴当2014≤x ≤2016时，函数y ＝f （x ）的零点为2014，2015，2016．。

广东省深圳科学高中高二数学上学期期中试题(荣誉、实验体系)新人教A版

广东省深圳科学高中高二数学上学期期中试题(荣誉、实验体系)新人教A版

1年级：高二 科目：数学（实验、荣誉体系） 考试时长：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效．选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净．解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框． 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式20x x ->的解集是( )A. (0)-∞，B. (01)，C. (1)+∞，D. (0)(1)-∞+∞，，2．已知集合{}{}0,,0,1,2A a B ==，则“1a =”是“A B ⊆”的（ ）条件A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要3. 已知函数()()y f x x N *=∈，()(1)1,()13(1)(2)nf f n f n n ==-⋅-≥，则(4)f 等于（ ）A ．27B ．27-C ．9D ．9-4．在命题“若2760x x -+=，则1x =”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 （ ）A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+6．设{}n a 是一个等比数列，它的前3项的和为10，前6项的和为30，则它的前9项的和为( ) A ．50 B ．60 C ．70 D ．907.数学协会是我们学校的一个研究型社团，深受同学们的喜爱，在2013年9月27、28日下午的社团招新活动中，较多的同学加入了数学协会。

设命题p 是“甲同学加入了数学协会”，命题q 是“乙同学加入了数学协会”，则命题“甲、乙至少有一位同学没有加入数学协会”可表示为（ ）A ．p q ⌝⌝∨ B ．p q ∨ C ．p q ⌝∨ D ．p q ⌝⌝∧8.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，111010998,,S S S S S S >=<，则下列结论错误的是（ ）A ．0<dB ．812S S >C ．010=aD ．109S S 和均为n S 的最大值 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．等比数列1,1,2,2的第5项等于 . 10．函数9(0)y x x x=+>的最小值为 .11．命题“对任意的x R ∈，都有20x ≥”的否定为 . 12．在等差数列{}n a 中，34567500a a a a a ++++=，则28a a += .13．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-200y y x y x ，则y x z 2-=的最小值是________________ .14．已知数列{}),3(,,,:21≥n a a a a n n 令集合{},1,n j i a a x x T j i ≤<≤+==)(T card 表示集合T 中元素个数.若{}n a 满足:)1(1≥=-+n c c a a n n 为常数，，则)(T card =_____ _.（举例说明:若{}:n a 1,2,3,4，则{}7,6,5,4,3=T ，)(T card =5.）三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式220ax x c ++<的解集为{}32x x -<<，（1）求,a c 的值； （2）解关于x 的不等式：2202a x ax c ++>16． (本小题满分12分)给定两个命题:p ：关于x 的方程220x x a -+=有实数根； q ：对任意实数x ，都有210ax ax ++>恒成立. 如果p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.17．(本小题满分14分)在等差数列{}n a 中，1320a a +=，且3a 是1a 与6a 的等比中项，求数列{}n a 的首项1a 、公差d 及前n 项和n S .18．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和3122n n S a =-， （1）求1a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）设(3)n n b n a =-⋅，求{}n b 前n 项和n T .19．(本小题满分14分)深圳科学高中致力于培养以科学、技术、工程和数学见长的创新型高中学 生，“工程技术”专用教室是学校师生共建的创造者的平台，该教室内某设备D 价值24万元，D 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第5年， 每年初D 的价值比上年初减少2万元；从第6年开始，每年初D 的价值为 上年初的25％，（1）求第5年初D 的价值5a ；（2）求第n 年初D 的价值n a 的表达式；（3）若设备D 的价值n a 大于2万元，则D 可继续使用，否则须在第n 年初对D 更新，问：须在哪一年初对D 更新？20．(本小题满分14分)已知函数()f x 是定义域为(],1-∞的增函数， （1）若1(2)()f x f x-<-，求x 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得22(sin )(sin )f a x f a x -≤-对一切x R ∈恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出a 的值.深圳科学高中2013-2014学年第一学期期中考试试题答案年级：高二 科目：数学（实验、荣誉体系） 考试时长：120分钟 卷面总分：150分二、填空题9. 8 10. 6 11. 存在0,x R ∈使得200x <12. 200 13. - 6 14. 1,(0)2 3.(0)c n c =⎧⎨-≠⎩三、解答题15.解：（1）由题意知0>a 且2-和3是方程022=++c x ax 的两个根------3分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-∴23232ac a ------------------------------------------------------------6分 ⎩⎨⎧-==∴122c a------------------------------------------------------------7分（2）由（1）知不等式可化为01242>-+x x -------------------8分 即()()062>+-x x -------------------10分 ∴原不等式的解集为{}26>-<x x x 或 ----------------12分 16.解：①若p 为真命题，则由044≥-=∆a 得1≤a ------------------3分 ②若q 为真命题，则0=a --------------------------------------5分或⎩⎨⎧<-=∆>0402a a a -----------------------------7分 40<≤∴a -----------------------------------------9分q p ∧ 为真命题，q p ,∴均为真命题 -------------------------10分 ⎩⎨⎧<≤≤∴401a a ∴实数a 的取值范围为[]1,0----------------------12分17.解：由已知有⎪⎩⎪⎨⎧⋅==+61233120a a a a a -----------------------------------------------2分⎩⎨⎧==+∴da d d a 121410------------------------------------------------5分①当0=d 时，n na S a n 10,1011===；------------------------------------------ 8分②当0≠d 时，由⎩⎨⎧==+da d d a 121410得⎩⎨⎧==+11410a d d a ，⎩⎨⎧==∴281d an n n n n d n n na S n 7)1(82)1(21+=-+=-+=∴ --------------------------------12分综上可得n S d a n 10,0,101===或n n S d a n 7,2,821+===. --------------14分18.解：（1）由212311-=a S 且11a S =得11=a -------------2分 （2） 当2≥n 时，112323---=-=n n n n n a a S S a -------------4分n n a a 21231=∴-，)2(31≥=∴-n a a n n -------------5分{}n a ∴是一个以1为首项，3为公比的等比数列13-=∴n n a -------------7分 （3）13)3(-⋅-=n n n b ， -------------8分1232103)3(3)4(31303)1(3)2(--⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-+⨯-=∴n n n n n T ① -------------9分n n n n n T 3)3(3)4(31303)1(3)2(314321⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-+⨯-=- ②-------------11分① - ②得n n n n n T 3)3(33333221232⨯--++++++-=--- n n nn n n 3)3(2)31(323)3(31)31(321⨯-----=⨯----+-=- ------------13分4743)12(2323)3(4)31(3111+⋅-+-=⋅-+-+=∴+-n n n n n n n T -----------14分19.解： （1）由题可知，当5≤n 时，D 的价值组成一个以24为首项、- 2为公差的等差数列，所以1624245=⨯-=a （万元） -----------------4分（2）当5≤n 时，262)1(224+-=--=n n a n ---------6分 由题可知，当5≥n 时，D 的价值组成一个以16为首项、41为公比的等比数列，所以当6≥n 时， n n n n a a ---=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=75554411641 ---------8分⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≤≤+-=∴*-*),6.(4),51(,2627N n n N n n n a n n -----------9分 （3）当5≤n 时，2>n a 恒成立；当6≥n 时，由 247≤-n 得216213=>n ----------13分 答：须在第7年初对D 更新. -----------14分20.解：（1）由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-x x x x 121112得1-≤x -------5分（2）假设存在实数a ，使得22(sin )(sin )f a x f a x -≤-对一切x R ∈恒成立，则⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-1sin sin sin 2222x a x a x a 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-xa x x a a 2222sin 1sin sin --8分只需⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-min22max22)sin 1()sin (sin x a x x a a ， -------10分又4121sin sin sin 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x 且1sin 1≤≤-x ，2)sin (sin max 2=-∴x x又1)sin 1(min2=+x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-∴1222a a a -------13分解得1-=a∴存在实数1a =-，使得22(sin )(sin )f a x f a x -≤-对一切x R ∈恒成立.------14分。

高二数学上学期期中试题国际班 试题(共15页)

高二数学上学期期中试题国际班 试题(共15页)

耀华实验2021-2021学年高二数学上学期期中(qī zhōnɡ)试题〔国际班〕1.What is the midpoint of the line segment2.joining (–1, 7) and (0, 9)?A) B)C) D)wE) (–1, 16)3.What is an equation of the parabola with4.vertex at (0, 0) and directrix x = –3?A) y2 = –3x B) x2 = –3yC) y2 =x D) x2 = 12yE) y2 = 12x5.An equation for a cross section of a6.flashlight’s parabolic reflector can be modelled by y2 = 6x. The light bulb is at the focus of the parabolic reflector. What is the focus?A) B)C) D)E) (0, 0)7.What is the radius of the circle9x2 + 9y2 = 63?A) 1B) C) 7D) E) 638.What is an equation of the line tangent to9.the circle x2 + y2 = 32 at (4, 4)?A) y = x –8 B) y = x + 8C) y = –x + 8 D) y = xE) y = –x + 410.What is an equation of the ellipse with11.center at the origin, a vertex at (–5, 0),12.and a focus at (–2, 0)?A) B)C) D)E)13.What are the co-vertices of the ellipse14.3x2 + 2y2 = 72?A) (±2, 0)B) (0, ±6)C) (±6, 0)D) (±2, 0)E) 615.What are the asymptotes of the hyperbola16.9x2– 16y2 = 576?A) y = ±x B) y = ±xC) y = ±3x D) y = ±4xE) y = ±x17.Which line is a line of symmetry for the18.parabola (x – 1)2 = 4( y – 1)?A) y = 1B) y = –1C) x = 1D) x = –1E) x = 019.Which equation represents a hyperbola?A) x2 + 9y2 + 6x – 90y + 225 = 0B) x2– 9y2 + 6x + 90y – 225 = 0C) x2 + y2 + 6x – 10y + 25 = 0D) x2 + 6x – 4y + 14 = 0E) x2 + 3y2 + 6x – 30y + 78 = 020.Which ordered pair is a solution of the21.system below?x2 + y2– 8x – 9 = 0–3x + 4y – 13 = 0A) (4, 1)B) (4, 5)C) (5, 7)D) (7, –4)E) (1, 4)22.How many solutions does the system23.consisting of the equations x2 + y2 = 1624.and x2 + 4y2 = 36 have?A) 0 B) 1C) 2D) 3 E) 425.How many solutions does the system26.consisting of the equations 2x –y – 9 = 027.and 4x2 + 9y2– 18x – 27 = 0 have?A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 428. A ship’s LORAN system locates the ship29.on the hyperbolas with the equations given30.below. Find the ship’s location if it is north31.and east of the origin.x2–y2– 12x + 24 = 0–x2 + y2– 9 = 0A) (0, 3) B) (0, –3)C) D)E)In Exercises 15-17, refer to the spinnershown. The spinner is divided into sections with the same area.32.You spin the spinner 12 times. It stops on 19 two times. What is the experimental probability of stopping on 19?A)B)C)D)13E)33.You spin the spinner 20 times. It stops on34.an odd number 8 times. What is the experimental probability of stopping on an odd number?A)14B)C)D)35E)3435.What are the odds against stopping on a number greater than 1?A) 5 : 1 B) 6: 1 C) 1 : 2D) 1 : 6 E) 1 : 536.There are 10 cheerleading squads performing in a competition. The order of the performances is determined at random. What is the probability that your squad performs first and your friend’s squad performs second?A)B)C)1 5D)E)37.You are planting flowers in a large pot. There38.are 6 types of flowers to choose from and39.you would like to use 2 different types. How40.many combinations of flowers are possible?A) 2 B) 6 C) 10D) 15 E) 2041. A vase holds 4 red tulips, 2 yellow tulips,42.and 3 pink tulips. You randomly choose a tulip, place it in a different vase, then randomly choose another tulip. What is the probability that you choose a yellow tulip, then a red tulip?A)B)C)1 6D)E)43. A survey asked students how many44.emails they receive each day. The results are shown in the bar graph. What is the experimental probability (rounded to three decimal places) that arandomly selected student receives at most 20 emails a day?A) B) 0.221 C)D) E)45. A card is randomly selected from a standard deck of 52 cards. What is the probability of drawing a face card or a red card?A)B)C)D)E)46.Events A and B are dependent, with47.P(A) = 0.3 and P(A and B) = 0.24. What is P(B|A)?A)B) 0.08 C)D) 0.72 E)48.Out of the 50 students on student council,49.29 are either on the honor roll or write for the school paper. There are 38 students council members who are on the honor roll and 5 that write for the school paper. What is the probability that a randomly selected student council member is both on the honor roll and writes for the school paper?A)B)C)D)E)50.What is the probability of the spinner landing51.on 5, then landing on an even number?A) 0.05 B) 0.3 C)D) 0.6 E)52.If P(A) = 0.36, what is P()?A)B) 0.54 C)D) 0.64 E)53.For your literature class, you are to read54. 5 different novels. Your teacher gave you a list of 27 novels, of which 15 are historical novels and 12 are science fiction novels. How many different sets of exactly 3 historical novels and 2 science fiction novels can you read?A) 521 B) 3201 C) 30,030D) 52,100E) 360,36055.There are 10 houses in your neighborhood56.having a yard sale. You want to go to at least 5 of the houses having a yard sale. How many different combinations of yard sales can you attend?A) 386 B) 638 C) 848D) 1286E) 9,858,24057.Which is the coefficient of x3 in the58.expansion of (4x – 1)10 ?A)–7680 B) 120 C) 840D) 7680E) 13,44059.What is the probability of tossing a number60.cube 30 times and getting the number five61.exactly 8 times?A) 0.02 B) 0.04 C)D) E)62.The histogram shows a probability63.distribution for a random variable X. What is the probability that X is at most 4?A) 0.05 B) 0.15 C)D) E)64.The city council of a small town wants65.to survey the town’s residents about whether they think the local sales tax should be raised. The city council called every 12th resident from the telephone company’s database. Identify the type of sample described.A) Convenience sampleB) Random sampleC) Self-selected sampleD) Systematic sampleE) None of these66.In a survey of 1200 teenagers, 48% said they are involved in an extracurricular activity. What is the margin of error for the survey?A) ±2.9% B) ±3.3% C) ±3.9%D) ±4.2%E) ±4.8%67. A survey about favorite Olympic sports reported a margin of error ±3.5%. How many people were surveyed?A) 400 B) 525 C) 724D) 800E) 816Section Two: Gridded Answer68.What is the radius of the circlex2– 10x + y2 + 4y – 20 = 0?69. A cellular phone tower services a 20-mile radius. A rest stop on the highway is 5 miles70.east and 12 miles north of the tower. If you continue driving due east, for how many more miles will you be in range of the tower?71.There are 10 finalists for a game show. The producer of the show wants to choose 4 of the finalists to appear on the show. In how many ways can the producer choose the finalists?72.Let n be a randomly selected integer from 1 to 40. What is the probability that n is prime given it is greater than 25?73. A company conducts a poll for a governor’s election. How many people did the company poll if the margin of error is ±2%?74. 4 children are selected from 2 boys and 5 girls. How many different ways if at least one boy and one girl are chosen?Section Three: Extended Response75.When shooting two consecutive free throws76.during the regular season, a basketball player makes the first free throw 78% of the time. If he makes the first free throw, he makes the second one 88% of the time, but he only makes the second free throw 52% of the time after missing the first one.a. Make a probability tree diagram to model this situation.b.When he shoots a pair of free throws in the team’s first playoff game, what is the probability (round to three decimal places) that he makes at least one free throw? Justify your result.2021年秋季(qiūjì)期中考试高二国际 SAT2数学试卷答案Section One (每一小(yī xiǎo)题2分，一共68分)Section Two (每一小题3分，一共18分)Section Three (Part A 10分，Part B 4分，一共(yīgòng)14分)a.b.The probability of making at least one of the two freethrows is the complement of missing both freethrows, or 1 – 0.22(0.48) = 0.8944.内容总结（1）耀华实验2021-2021学年高二数学上学期期中试题〔国际班〕What is the midpoint of the line segmentjoining (–1, 7) and (0, 9)。

广东省深圳科学高中1314学年高二上学期期中考试数学试题(国际体系)(附答案)

广东省深圳科学高中1314学年高二上学期期中考试数学试题(国际体系)(附答案)

深圳科学高中2013-2014学年第一学期期中考试试题年级：高二 科目：数学（国际体系）考试时长：90分钟 卷面总分：100分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效．选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净．解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框．一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1. ，则( ) A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项2. 设a ,b 是非零实数,若a<b ,则下列不等式成立的是( )A.a 2<b 2B.ab 2<a 2bC.2211ab a b <D.b a a b< 3. 不等式12x x -+>0的解集是( ) A.{x|x<-2或x>1}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-1或x>2}D.{x|-1<x<2}4. 已知正项数列{n a }中，22212111,2,2(2)n n n a a a a a n +-===+≥，则6a 等于( )A.16B.8C.D.4 5. 在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =( )A.45B.50C.55D.606. 甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A.60%B.30%C.10%D.50% 7. 数列{n a }的前n 项和为n S ，若2217Sn n n =-，则当n S 取得最小值时，n 的值为( )A. 4或5B. 5或6C. 4D. 58. 一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随意地飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个面的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的. 假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是()A.18B.116C.127D.38二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9.2+与2-的等比中项是_________.10. 2x2＋5x－3<0的解集为________________.11. 一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程将超过2200km，用不等式表示为.12. 下列事件:①对任意实数x,有x2<0;②三角形的内角和是180°;③骑车到十字路口遇到红灯;④某人购买福利彩票中奖;其中是随机事件的为__________.13. 已知等比数列的前20项的和为30，前30项的和为70，则前10项的和为_______.14. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后_______分钟，该病毒占据内存32MB(1 MB=102 KB).三、解答题(本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本题10分)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球.(1)写出所有不同的结果;(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率.16．(本题10分)关于x的不等式22(1)(1)10a x a x----<的解集为R，求实数a的取值范围.17．(本题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n , 且S n =4a n -3(n=1,2,…).(1)证明: 数列{a n }是等比数列;(2)若数列{b n }满足b n+1=a n +b n (n=1,2,…)，b 1=2，求数列{b n }的通项公式.18．（本题12分）已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=12，且2a 1，a 2，a 3+1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)记b n =3n n a 的前n 项和为T n ,求T n .深圳科学高中2013-2014学年第一学期期中考试试题答案年级：高二 科目：数学（国际体系）考试时长：90分钟 卷面总分：100分一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１B ， 2C ， 3A ， 4D ， 5C ， 6D ， 7C ， 8C.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． ±1； 10． {x |－3<x <12}； 11． 8(x+19)>2200； 12． ③④； 13． 10； 14．42．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a ，b 的2个黑球和编号为c ，d ，e 的3个红球，从中任意摸出2个球.(1)写出所有不同的结果;(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率.解:(1)用树状图表示所有的结果为所以所有不同的结果是ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.---------------------------------5分(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A,则事件A 包含的基本事件为ac,ad,ae,bc,bd,be,共6个基本事件,----------7分所以P(A)=610=0.6,即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6. ---------------10分16．(本题10分)关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，求实数a 的取值范围.【解】 (1)若a 2－1＝0，即a ＝±1时，——————————1分 若a ＝1，不等式变为－1<0，解集为R ；——————————2分若a ＝－1，不等式变为2x －1<0，解集为{x|x<12}．——————3分 ∴a ＝1时满足条件．(2)若a 2－1≠0，即a≠±1时，原不等式解集为R 的条件是22210(1)4(1)0a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩.——————6分 解得－35<a<1.————————9分 综上所述，当－35<a≤1时，原不等式解集为R.——————-10分17．(本题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n , 且S n =4a n -3(n=1,2,…).(1)证明: 数列{a n }是等比数列;(2)若数列{b n }满足b n+1=a n +b n (n=1,2,…)，b 1=2，求数列{b n }的通项公式.(1)证明:因为S n =4a n -3(n=1,2,…),则S n-1=4a n-1-3(n=2,3,…),当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4a n -4a n-1，————————3分整理,得143n n a a -=.————————4分 由S n =4a n -3,令n=1,得a 1=4a 1-3,解得a 1=1.————————5分 所以{a n }是首项为1,公比为的等比数列.————————6分(2)解:由(1)得a n =143n -⎛⎫ ⎪⎝⎭,————————8分由b n+1=a n +b n (n=1,2,…),得b n+1-b n =143n -⎛⎫ ⎪⎝⎭.则b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1)=2+114143314313n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯- ⎪⎝⎭-(n ≥2).————————10分 当n=1时,14313n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=2=b 1,————————11分 所以b n =14313n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.————————12分18．（本题12分）已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=12，且2a 1，a 2，a 3+1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)记b n =3n na 的前n 项和为T n ,求T n . 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,∵2a 1,a 2,a 3+1成等比数列,∴22a =2a 1·(a 3+1),————————2分 ∴(a 1+d )2=2a 1(a 1+2d+1). 则有21111()2(21)3(31)3122a d a a d a d ⎧+=++⎪⎨⨯-+=⎪⎩,————————4分 解得a 1=1,d=3或a 1=8,d=-4(舍去),————————5分∴a n =a 1+(n-1)d=1+(n-1)3=3n-2.————————6分(2)b n =3n n a =(3n-2)·13n , ∴T n =1×13+4×213+7×313+…+(3n-2)×13n .①———————7分 ①×13得,13T n =1×213+4×313+7×413+…+(3n-5)×13n +(3n-2)×113n +,②————8分 ①-②,得23T n =13+3×213+3×313+3×413+…+3×13n -(3n-2)×113n +——————9分 =13+3×2111333113n -⨯--(3n-2)×113n +=56-11123n -⨯-(3n-2)×113n +.——10分 ∴T n =251132144323n n n ---⨯-⨯ =5651443n n +-⨯.————————12分。

2019_2020学年深圳市高级中学高中部高二上学期期中数学试卷及答案版

2019_2020学年深圳市高级中学高中部高二上学期期中数学试卷及答案版

A向右平移芒3 个单位长度 C. 向左平移巴6 个单位长度
B. 向右平移竺个单位长度 D. 向左平移？3 个单位长度
;l ,
如图，正方体ABCD
-
A1B1C1趴的棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点，A
1
M〉
1 -------+
= -A
3
1
B
,
---+ 1----+
AN=-AC I 则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）．
A. - 1X020 +- 9y12 =1
B.
L+
100
兰
91
=1
c 邑25 十兰16 =1
巴2 25
＋
1ly
2 6
＝
1
设向量r1
=
-+
(3, 邓），b为单位向量，且
d//=
(
).
A (享， — 严(— 享，；） C. (-享，书
B. (卢）
D. (古）或（－亨分）
力， ． 已知函数!(工）是偶函数，当兀 >0时，!(兀）＝咬，则下列函数在区间(—oo,O) 上与函数!(工）的单调
角为（ ）． B
A. 30°
B. 45°
C. 60°
C1 D. 90°
在!::::.ABC中，A=巴，AB=3y13,AC=3,D在边BC上，且CD=2DB,则AD= ( ) .
6
A. 2-/7
B. yl2I
C. 5
D湿
第2页（共5页）
— 设椭圆mX 2 + — y4 =1 (m2 > 4)与双曲线—22 -— y42 =1在第一象限的交点为T I Fi I 凡为其共同的左

2023-2024学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题。

本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若i 为虚数单位，则复数z =2−i1−i的实部为（ ） A ．12B ．32C ．−12D ．−322．直线l ：x ﹣y +1＝0关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．x +y ﹣1＝0B ．x ﹣y +1＝0C ．x +y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝03．已知|a →|=3，|b →|=4，且a →与b →的夹角θ＝150°，则|a →+b →|为（ ） A ．√25−10√3B ．√25−11√3C ．√25−12√3D ．√25−13√34．在三棱锥P ﹣ABC 中，AP 、AB 、AC 两两互相垂直，AP ＝3，AB ＝1，AC =√15，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．20πC ．25πD ．36π5．数学上规定，圆锥的顶点到该圆锥底面圆周上任意一点的连线叫圆锥的母线；沿圆锥的任意一条母线剪开展开成平面图形即为一个扇形；展开后的扇形的半径就是圆锥的母线，展开后的扇形的弧长就是圆锥底面周长；通过展开，就把求立体图形的侧面积转化为了求平面图形的面积．设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，则展开后的扇形半径为l ，弧长为圆锥底面周长2πr ，扇形的面积公式为：S =12×扇形半径×扇形弧长=12×l ×2πr =πrl ．故圆锥侧面积公式为S ＝πrl ．已知圆锥的底面直径为2√3，轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π6．正三棱锥O ﹣ABC 的侧棱长为4，底面边长为6，则顶点O 到底面ABC 的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数（x ，y ）表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝60°，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算cos ∠MPN 的值为（ ）A ．√714B ．√77C ．√715D ．2√7158．已知直线l ：x +y ﹣1＝0截圆Ω：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）所得的弦长为√14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l '：（1+2m ）x +（m ﹣1）y ﹣3m ＝0过定点P ，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值范围为（ ） A ．[2−√2，2+√3] B ．[2−√2，2+√2] C ．[√6−√2，√6+√3] D ．[√6−√2，√6+√2] 二、多项选择题。

2022-2023学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中数学试题一、单选题 1．复数11i-的虚部是（ ） A ．12B ．1C ．1i 2D ．i【答案】A【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可得虚部. 【详解】()()11i 1i 11=i 1i 1i 1i 222++==+--+，故虚部为：12故选：A210-=的倾斜角为（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°【答案】C【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =，所以直线的斜率为k =所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒. 故选：C3．已知某圆锥的底面圆半径为5， 它的高与母线长的和为25， 则该圆锥的侧面积为（ ） A ．15π B ．20π C ．60π D ．65π【答案】D【分析】根据圆锥轴截面的性质直接计算其母线，进而可得侧面积. 【详解】设该圆锥的母线长为l ，则它的高为25l -， 由()222255l l --=，解得13l =， 所以该圆锥的侧面积为65rl ππ=， 故选：D.4．已知a ，b 为不共线的非零向量，5AB a b =+，28BC a b =-+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】B【分析】根据给定条件，求出,BD AC ，再利用共线向量逐项判断作答.【详解】a ，b 为不共线的非零向量，5AB a b =+，28BC a b =-+，33CD a b =-， 则5BD BC CD a b =+=+，13AC AB BC a b =+=-+， 因1528≠-，则AB 与BC 不共线，A ，B ，C 三点不共线，A 不正确； 因AB BD =，即AB 与BD 共线，且有公共点B ，则A ，B ，D 三点共线，B 正确； 因2833-≠-，则BC 与CD 不共线，B ，C ，D 三点不共线，C 不正确； 因11333-≠-，则AC 与CD 不共线，A ，C ，D 三点不共线，D 不正确. 故选：B5．已知：空间四边形ABCD 如图所示，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且13CG BC =，13CH DC =，则直线FH 与直线EG （ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直【答案】B【解析】由已知EF 为三角形ABD 的中位线，从而//EF BD 且12EF BD =，由11.33CG BC CH DC ==，得在四边形EFHG 中，//EF HG ，即E ，F ，G ，H 四点共面，且EF HG ≠，由此能得出结论． 【详解】如图所示，连接EF ,GH.四边形ABCD 是空间四边形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点， EF ∴为三角形ABD 的中位线//EF BD ∴且12EF BD =又11.33CG BC CH DC ==，CHG CDB ∴∽，且//HG BD ，13HG BD =∴在四边形EFHG 中，//EF HG即E ，F ，G ，H 四点共面，且EF HG ≠， ∴四边形EFGH 是梯形， ∴直线FH 与直线EG 相交，故选：B【点睛】方法点睛：证明两直线相交，首先要证明两直线共面，再证明它们不平行.所以本题先证明E ，F ，G ，H 四点共面，再证明直线FH 与直线EG 不平行.6．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π6B =，63c =，且ABC 有两解，则b 的值可能是（ ） A ．33 B ．43 C ．63D ．73【答案】B【分析】根据已知条件，结合ABC 有两解，作出示意图，确定3363b <<，可得答案. 【详解】作π6ABM ∠=,作AD BM ⊥ 于D 点，则sin 33AD c B ==,因为ABC 有两解，故以A 为圆心，以b 为半径作圆弧，需交BM 于两点，即为点C , 所以3363b <<3 故选：B7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）A ．1A F 与1D E 不可能平行B ．1A F 与BE 是异面直线C ．点F 的轨迹是一条线段D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值 【答案】A【分析】设平面1D AE 与直线BC 交于G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取1B B ，11B C 的中点M ，N ，连接1A M ，MN ，1A N ，证明平面1//A MN 平面1D AE ，即可分析选项ABC 的正误；再由//MN EG ，得点F 到平面1D AE 的距离为定值，可得三棱锥1F ABD -的体积为定值判断D ． 【详解】解：设平面1D AE 与直线BC 交于G ，连接AG ，EG ， 则G 为BC 的中点，分别取1B B ，11B C 的中点M ，N ， 连接1A M ，MN ，1A N ， 如图.∵11//A M D E ，1A M平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE ， 又1A M 、MN 是平面1A MN 内的两条相交直线，∴平面1//A MN 平面1D AE ，而1//A F 平面1D AE ，∴1A F ⊂平面1A MN ， 得点F 的轨迹为一条线段，故C 正确；并由此可知，当F 与M 重合时，1A F 与1D E 平行，故A 错误；∵平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，∴1A F 与BE 是异面直线，故B 正确； ∵//MN EG ，则点F 到平面1D AE 的距离为定值，∴三棱锥1F ABD -的体积为定值，故D 正确． 故选：A ．8．若对圆()()22111x y -+-=上任意一点(),P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a ≤ B ．46a -≤≤C ．4a ≤-或6a ≥D ．6a ≥【答案】D【分析】利用几何意义得到要想34349x y a x y -++--的取值要想与x ，y 无关，只需圆()()22111x y -+-=位于直线340x y a -+=与3490x y --=之间，利用点到直线距离公式列出不等式，求出4a ≤-或6a ≥，通过检验舍去不合要求的解集.(),P x y 到直线340x y a -+=与3490x y --=的距离之和，要想34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，只需圆()()22111x y -+-=位于直线340x y a -+=与3490x y --=之间， 所以圆心()1,1到340x y a -+=的距离大于等于半径，1≥，解得：4a ≤-或6a ≥，当4a ≤-时，340x y a -+=与3490x y --=位于圆心的同一侧，不合要求，舍去； 当6a ≥时，340x y a -+=与3490x y --=位于圆心的两侧，满足题意. 故选：D二、多选题9．已知椭圆C ：221641x y +=，则下列结论正确的是（ ）A ．长轴长为12BC．焦点坐标为：0⎛± ⎝⎭， D【答案】CD【解析】先化简椭圆方程为标准方程22111164x y +=，再求出椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标和离心率得解.【详解】由椭圆方程221641x y +=化为标准方程可得22111164x y +=，所以1124a b c ===，，， 所以长轴长为21a =，焦距2c =0⎛± ⎝⎭，， 短轴长为122b =，离心率c e a ==故选：CD10．已知方程2222210x y ax ay a a +-+++-=，则下列选项中a 的值能满足方程表示圆的有（ ） A ．1- B ．0C ．12D ．2-【答案】ABC【分析】将圆的方程化为标准方程()2223124a x y a a a ⎛⎫ -++=--⎪⎝⎭，则23104a a -->，解得即可得出答案.【详解】解：2222210x y ax ay a a +-+++-=，即方程()2223124a x y a a a ⎛⎫ -++=--⎪⎝⎭方程表示圆的条件是23104a a -->，即223a -<<．所以选项A ，B ，C 能表示圆，选项D 表示一个点，不能表示圆． 故选：ABC.11．衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，则（ ）A ．点P 第一次达到最高点，需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C ．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D ．点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式为ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】先根据题意求出点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC 选项.【详解】如图所示，过点O 作OC ⊥水面于点C ，作OA 平行于水面交圆于点A ，过点P 作PB ⊥OA 于点B ，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为2ππ6030=（rad /s ），且点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，t （秒）后，可知0π30POP t ∠=，又水轮半径为4米，水轮中心O 距离水面2米，即2OC =m ，04OP =m ，所以00π6OP C AOP ∠=∠=，所以ππ306POA t ∠=-，因为4OP =m ，所以ππ4sin 306t PB ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，故ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，D 选项正确；点P 第一次达到最高点，此时ππsin 1306t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，令ππ02π36t -=，解得：20t =（s ），A 正确；令ππ4sin 22306t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：530t k =+，Z k ∈，当5k =时，155t =（s ），B 选项正确；ππ4sin 22306t ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，令ππ0π306t <-<，解得：535t <<，故有30s 的时间点P 距水面超过2米，C 选项错误；故答案为：ABD12．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，2AB =，1AA a =，点M 为1CC 点的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，下列四个结论中正确的为（ ）A ．当3a =且点P 位于底面1111D CB A 的中心时，四棱锥P ABCD -外接球的表面积为253πB ．当2a =时，存在点P 满足4PA PM +=C ．当2a =时，存在唯一的点P 满足90APM ∠=︒D ．当2a =时，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为2 【答案】ACD【分析】根据给定条件，结合球的截面小圆性质求出球半径计算判断A ；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断B ，C ，D 作答.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，取底面ABCD 的中心H ，即四边形ABCD 外接圆圆心，连接PH ，BH ，如图，四棱锥P ABCD -是正四棱锥，PH ⊥底面ABCD ，3,2PH BH ==，显然四棱锥P ABCD -的外接球球心O 在直线PH 上，连BO ，令球半径为R ，则|3|OH R =-， 由222BO OH BH =+得：222(3)(2)R R =-+，解得523R =，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为22543S R ππ==，A 正确； 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点1A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，当2a =时，则(0,0,2),(2,0,2),(2,2,1)A B M ，延长1MC 至点M '，使111C M MC '==， 连接AM '交底面1111D C B A 于点P '，连接,,P M P M PM ''''，则点(2,2,1)M '-，因MM '⊥平面1111D C B A ，则线段MM '被平面1111D C B A 垂直平分，即有P M P M '''=，PM PM '=，PA PM PA PM AM AP P M AP P M '''''''+=+≥=+=+，当且仅当点P 与P '重合时取等号，因此min ()4PA PM AM '+=>，B 不正确； 设(,,0)P x y ，02,02x y ≤≤≤≤，(,,2),(2,2,1),(2,,2),(2,2,1)AP x y MP x y BP x y AM =-=---=--=-，因22(2)(2)2(1)(1)AP MP x x y y x y ⋅=-+-+=-+-，则当且仅当1,1x y ==，即点(1,1,0)P 时，0AP MP ⋅=成立，所以存在唯一的点P 满足90APM ∠=︒，C 正确；当BP AM ⊥时，2220BP AM x y ⋅=+-=，即1x y +=，而0,0x y ≥≥，因此点P 的轨迹是以点(1,0,0)与点(0,1,0)D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知4a =，3b =，6a b ⋅=-，则a 与b 所成的夹角大小是______. 【答案】2π3##2π3##120° 【分析】根据向量夹角公式，由题中条件，即可直接求解.【详解】因为4a =，3b =，6a b ⋅=-，记a 与b 所成的夹角为θ， 所以61cos 432a b a bθ，因此23πθ=. 故答案为：23π. 14．空间向量(1,1,1),(1,0,1),(1,2,)a b c m ===，若三个向量,,a b c 共面，则实数m 的值为______． 【答案】1【分析】利用空间向量共面定理即得. 【详解】因为三个向量,,a b c 共面，可设a b c λμ=+，即(1,1,1)(1,0,1)(1,2,)m λμ=+，∴1121m λμμλμ=+⎧⎪=⎨⎪=+⎩， 解得1,12m λμ===.故答案为：1.15．在四面体-P ABC 中，PC ⊥平面ABC ，5PA PB ==，4PC =，32AB =，则四面体-P ABC 外接球的表面积为______． 【答案】34π【分析】根据线面垂直的性质定理及勾股定理，结合长方体的体对角线为外接球的直径，求出半径，再利用球的表面积公式即可求解． 【详解】如图所示，PC ⊥平面ABC ，5PA PB ==，4PC =，由勾股定理得，3AC BC ==，又32AB =222AC BC AB +=，则AC BC ⊥．设外接球的半径为R ，则()2222222243334R PC AC BC =++=++=，解得34R = 所以外接球的表面积为24π34πS R ==． 故答案为：34π 16．1F ､2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠=∠=︒，若1235MF MF MN λ+=，则椭圆E 的离心率为___________. 【答案】78##0.875【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定1||MF 与2||MF 的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答.【详解】由1235MF MF MN λ+=得：以13MF 、25MF 为一组邻边的平行四边形的以点M 为起点的对角线对应的向量与MN 共线，由1260F MN F MN ∠=∠=︒知，MN 平分12F MF ∠，因此这个平行四边形是菱形，有123|5|||MF MF =， 又12|||2|MF MF a =+，于是得1253|,|4||4MF a MF a ==，令椭圆E 的半焦距为c ，在12F MF △中，12120F MF ∠=，由余弦定理得：22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠，即22225353494()()444416c a a a a a =++⋅=，则有2224964c e a ==，解得78e =，所以椭圆E 的离心率为78.故答案为：78四、解答题17．求经过点(A -和点(1,B 的椭圆的标准方程. 【答案】221155y x +=.【分析】根据给定条件，设出椭圆的方程，利用待定系数法计算作答.【详解】设椭圆的方程为：221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因该椭圆经过点(A -和(1,B ，于是得431121m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得11,515m n ==，即有221515x y +=， 所以椭圆的标准方程为：221155y x +=.18．已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=. (1)求证：对m R ∈ ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)若直线l 与圆C 交于,A B 两点，当AB =m 的值． 【答案】（1）略（2）m =【详解】试题分析：（1）先证明直线l 恒过定点()1,1P ，再证明点P 在圆C 内即可．（2）将直线方程与圆方程联立消元后得到一个二次方程，运用根据系数的关系及弦长公式求得m =进而得到直线l 的倾斜角为3π或23π.试题解析：（1）证明：直线()11l y m x -=-的方程可化为，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点()1,1P ．∵||1PC =< ∴点P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点.（2）由()2215,10,x y mx y m ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 整理得()22221250mx m x m +-+-=，显然()22222(2)41(5)4(45)0m m m m ∆=--+-=+>．设()()1122,,,A x y B x y ，12,x x 则是一元二次方程的两个实根，∴2212122225,11m m x x x x m m -+==++，∵12AB x -==，解得23,m =∴m =l 的斜率为∴直线l 的倾斜角为3π或23π. 点睛：圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则222()2lr d =-．(2)代数法：设直线与圆相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，由方程组()()222,y kx m x a y b r =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消y 后得到关于x 的一元二次方程，从而求得1212,x x x x ＋，则弦长为||AB (k 为直线斜率)．在代数法中，由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的准确性，同时也要注意整体代换的运用，以减少运算量．19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形且对角线AC 与BD 交于点O ，60,DAB PO ︒∠=⊥底面ABCD ，点E 是PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BDE ；(2)若三棱锥P BDE -的体积为3，求OP 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6OP =【分析】（1）由中位线证得EO AP ∥，即可证得AP ∥平面BDE ；（2）取OC 中点F ，证得EF ⊥平面ABCD ，再由P BDE C BDE E BCD V V V ---==结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：连接OE ．∵点O ，E 分别为,AC CP 的中点，∴EO AP ∥，∵OE ⊂平面,BDE PA ⊄平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ；（2）取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点，∴EF 为POC △的中位线，∴EF OP ∥，且12EF OP =．由菱形的性质知，BCD△为边长为2的等边三角形．又OP ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，12332BCD S =⨯=△E 是PC 的中点， ∴113332P BDE C BDE E BCD V V V OP ---===⨯∴6OP =．20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--=.（1）求A ； （2）若3b =，且BC 边上的高为3ABC 的面积. 【答案】（1）6π；（2）3 【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积． 【详解】（1）由22sin cos 2c a B C ab--=得222sin 2cos ab B ab C c a -=-，由余弦定理得222222sin ab B c a b c a +--=-，所以2sin a B b =， 由正弦定理得2sin sin sin A B B =，B 是三角形内角，sin 0B ≠， 所以1sin 2A =，又A 为锐角，所以6A π=．（2）由（1）22222332cos 2cos 166a b c bc A c c c π=+-=+-⋅⋅2716c =，7a =， 所以11sin 2322ABC S bc A a ==⨯△2131173222⨯=⨯47c =321b == 111sin 214773222ABC S bc A ===△【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．21．如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD 垂直，P 是半圆弧上一点（端点除外），AD 是半圆的直径，AB =1，AD =2．(1)求证：平面P AB ⊥平面PDC ；(2)是否存在P 点，使得二面角B PC D --3若存在，求四棱锥P - ABCD 的体积；若不存在，说明理由， 【答案】(1)证明见解析 (2)23【分析】（1）根据矩形性质和面面垂直性质定理可证CD ⊥平面ADP ，结合直径所对圆周角为直角可证AP ⊥平面PDC ，然后由面面垂直判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可得二面角B PC D --3P 坐标，然后计算可得体积.【详解】（1）在矩形ABCD 中，CD AD ⊥，又平面ABCD ⊥平面ADP ，平面ABCD ⋂平面,ADP AD CD =⊂平面ABCD ， 所以，CD ⊥平面ADP ，又AP ⊂平面ADP ，所以CD AP ⊥，P 是AD 为直径的半圆上一点，所以DP AP ⊥， 又,,CDDP P CD DP =⊂平面PDC ，所以，AP ⊥平面PDC ，又AP ⊂平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PDC（2）取BC 中点E ，以AD 的中点O 为坐标原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示空间直角坐标系，由平面ABCD ⊥平面ADP 可知，半圆在平面xOz 平面内，设(,0,)P a b ，则221,0a b b +=>，又(1,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,0,0)A B C D --， 由（1）可知，平面PDC 的一个法向量为,(1,0,)AP AP a b =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，又(1,1,),(2,0,0)BP a b BC =--=-，则(1)020BP n a x y bz BC n x ⎧⋅=--+=⎨⋅=-=⎩，取1z =，则(0,,1)n b =，设二面角B PC D --的大小为α，222|cos ||cos ,|(1)1AP n a b b α==-++若3sin α=1|cos |2α=，又21b a -()222111222222a a a a a -+==-⋅--，又(1,1)a ∈-， 得0,1a b ==所以，四面体P ABCD -的体积1233ABCD V S b =⋅=22．曲线Γ上动点M 到A （﹣2，0）和到B （2，0）的斜率之积为﹣14．（1）求曲线Γ的轨迹方程；（2）若点P （x 0，y 0）（y 0≠0）为直线x ＝4上任意一点，P A ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）24x +y 2＝1；（2）3【分析】（1）设点M （x ，y ），利用求轨迹的步骤列方程得解（2）因为SACBD ＝S △ACB +S △ADB ，设直线AP 的方程为y ＝6t（x +2），与椭圆方程联解得到C ，D的纵坐标，再换元利用基本不等式及函数单调性得解 【详解】（1）设点M （x ，y ），因为曲线Γ上动点M 到A （﹣2，0）和到B （2，0）的斜率之积为﹣14，所以22y y x x ⋅+-＝﹣14， 化简得24x +y 2＝1．所以曲线Γ的轨迹方程为：24x +y 2＝1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （4，t ）（不妨设t ＞0）， 则直线AP 的方程为y ＝6t（x +2），即x ＝6yt﹣2，代入椭圆的方程可得： （6yt﹣2）2+4y 2＝4， 化简得（9+t 2）y 2﹣6ty ＝0， 所以y ＝0或y ＝269tt +， 所以y 1＝269tt +， 同理可得y 2＝221tt -+， 所以SACBD ＝S △ACB +S △ADB ＝12|AB |×|y 1﹣y 2| ＝2（269t t +﹣221t t -+）＝16•3423109t tt t +++ ＝16•223910t tt t +++＝16•233()4t tt t+++，令u ＝t +3t，0t >，其中u ≥则SACBD ＝2161644u u u u =++， 令g （u ）＝2161644u u u u =++，ug （u ）在+∞）上单调递减，所以g （u ）最大值为g （164＝所以四边形ACBD 面积的最大值【点睛】熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系及函数单调性是解题关键.。

广东省深圳市深圳中学2022-2023学年高二数学期中考试

广东省深圳市深圳中学2022-2023学年高二数学期中考试

试卷类型：A深圳中学2022-2023学年度第一学期期中考试试题年级：高二 科目：数学命题人：金朝阳 审题人：贺汇雅 考试时长：120分钟 卷面总分：150分注意事项：1、答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。

选择题作答必须用2B 铅笔， 修改时用橡皮擦干净。

一、 单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为−1且倾斜角为3π4的直线方程为2．圆x 2+y 2+ax =0的圆心横坐标为1，则a 等于A ．1B ．2C ．−1D ．−23．在递增的等差数列{a n }中，已知a 4与a 6是方程x 2−10x +24=0的两个根，则a 20=A ．19B ．20C ．21D ．22 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=3, S 5=25，则a 8=A ．13B ．14C ．15D ．16 5．已知点A (−2,−1)，B (3,0)，若点M (x,y )在线段AB 上，则y−2x+1的取值范围6．已知数列{a n }满足a n 2=a n−1⋅a n+1 (n ≥2)，若a 2=3, a 2+a 4+a 6=21，则a 4+a 6+a 8=A ．84B ．63C ．42D ．217．直线2x +y −1=0与直线x −2y −3=0交于点P ，则点P 到直线kx −(k +1)y +1+2k =0（k ∈R ）的最大距离为A ．√2B ．2√2C ．3√2D ．4√28．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，12小时后细胞存活个数A ．2048B ．2049C ．4096D ．4097A ．x +y +1=0B ．x +y −1=0C ．x −y +1=0D ．x −y −1=0A ．(−∞,−12]∪[3,+∞) B ．[−12,3] C ．(−∞,−1]∪[3,+∞)D ．[−1,3]二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分） 9．已知b ∈R ，圆C 1:(x −1)2+(y −b )2=4，C 2:x 2+y 2=1，则10．已知公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9=S 17，下列说法正确的是A ．a 8=0B ．a 9=0C ．a 1=S 16D ．S 8>S 1011．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的是A ．若S n =2n 2−3，则{a n }是等差数列B ．若{a n }是等差数列，且a 3=5，a 2+a 10=2，则数列{a n }的前n 项和S n 有最大值C ．若等差数列{a n }的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，则公差为2D ．若{a n }是等差数列，则三点(10,S 1010)、(20,S 2020)、(30,S3030)共线 12．设圆C:(x −3)2+(y −4)2=9，过点P(1,2)的直线l 与C 交于A ，B 两点，则下列结论正确的为三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n −1，则{a n }的通项公式a n =_____． 14．过点A(1,2)且与两定点(2,3)、(4,−5)等距离的直线方程为_____． 15．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =n ，则1S 1+1S 2+⋯+1S n=_____．16．已知圆 C:x 2+y 2−2ax +4y =0关于直线x +3y +2=0对称，P (x,y )为圆C 上一点，则2x −y 的最大值为_____．四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17．已知直线l ：x −ky +2+k =0(k ∈R )． （1）若直线不经过．．．第一象限，求k 的取值范围； （2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程． A ．两圆可能外离 B ．两圆可能相交 C ．两圆可能内切D ．两圆可能内含A ．P 可能为AB 中点B ．|AB|的最小值为3C ．若|AB |=2√5，则l 的方程为y =2D ．△ABC 的面积最大值为9218．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sinA−sinC)2=sin2B−sinAsinC．（1）求B；，求△ABC的周长．（2）若b=1，△ABC的面积为√3419．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，满足a1=b2=2，S5=30，b4+2是b3与b5的等差中项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n⋅b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．20．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6√2，∠BAC=45°，BC边上的中线为AM．（1）求AM的值；（2）求sin∠BAM．21．数列{a n}中，a1=2，a n+1=n+1a n (n∈N∗)．2n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（1）证明数列{a nn，若数列{b n}的前n项和是T n，求证：T n<2．（2）设b n=a n4n−a n22．函数f(x)=log a(x−4)−1(a>0，a≠1)所经过的定点为(m , n)，圆C的方程为(x−m)2+(y−n)2=r2 (r>0)，直线√3x+y+1−2√3=0被圆C所截得的弦长为√73．（1）求m，n以及r的值；（2）设点P(2 , −1)，探究在直线y=−1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比|TB|=k(k为常数)．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存|TP|在，请说明理由．。

2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则等于( )A.B.C.D.2. 中，点、、分别为、、的中点，则 A.B.C.D.3. 吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式．开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高．从河里打捞上来的条开河鱼的重量（单位：千克）分别为，，，，，则这组数据的中位数是________.A.B.C.D.4. 设，，则“”是“”的( )A.充要条件A ={x|<4}2xB ={x|y =}x −1−−−−−√A ∩B (2,+∞)[1,+∞)(1,2)[1,2)△ABC D E F AB BC CA −=(AF −→−DB −→−)FD−→−FC−→−FE−→−BE−→−61.58 1.43 1.63 1.85 1.71 1.67.1.631.671.641.65x >0y ∈R x >y x >|y |B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球6. （理）在正方体中，点在上，且，则（ ）A.B.C.D.7. 定义在上的偶函数满足，且在区间上是增函数，若，是锐角三角形的两个内角，则( )A.B.C.D.8. 以和为端点的线段的中垂线方程是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）22ABCD −A 1B 1C 1D 1E A 1C 1|E |=||A 114A 1C 1=x +y +z AE −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−x =1,y =，z =1212x =，y =1，z =1212x =1,y =，z =1312x =1,y =，z =1414R f (x)f (x +2)=f (−x)[−3,−2]A B f (sin A)>f (cos B)f (sin A)<f (cos B)f (sin A)>f (sin B)f (cos A)>f (cos B)A(1,3)B(−5,1)AB 3x −y +8=0x −3y +8=03x +y +8=03x +y +4=09. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是 A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为C.目标被命中的概率为D.目标被命中的概率为10. 已知函数 若，且，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.11. 已知是边长为的等边三角形，，分别是， 上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.在方向上的投影为12. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为，，下列结论正确的是( )A.的离心率为B.的渐近线方程为1213()+1213×1213×+×122312131−×1223f(x)={−−2x ，x ≤0，x 2|x|，x >0，log 2<<<x 1x 2x 3x 4f()=f()=f()=f()x 1x 2x 3x 4+=−1x 1x 2=1x 3x 41<<2x 40<<1x 1x 2x 3x 4△ABC 2D E AC AB =AE −→−EB −→−=2AD −→−DC −→−BD CE O ⋅=−1AB −→−CE −→−+=OE −→−OC −→−0→|++|=OA −→−OB −→−OC −→−3–√2ED −→−BC −→−76P C:−=1x 2y 23C F 1F 2C 2C y =±x 3–√3C.动点到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点在双曲线的左支上时，的最大值为卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 如图，已知正方形边长为，点，分别为线段，上一点，且，，为内一点（含边界），设（，为实数），则的最大值为________．14. 已知直线，直线．若直线的倾斜角为，则________；若，则两平行直线间的距离为________．15. 已知函数的图像恒过定点，若点在一次函数的图像上，其中，则的最小值是________．16. 已知棱长为的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知两直线与，求与间的距离．18. 已知甲袋中装有只白球，只黑球；乙袋中装有只白球，只黑球．在甲袋中任取球，求取出的两球颜色不同的概率；若在甲、乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率．19. 已知函数图象的对称中心到对称轴的最短距离为．将的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，其中点是函数图象的一个对称中心．求的解析式；若，且，求的值．20. 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形．PP C|P|F1|PF2|214OABC3M N BC AB2BM=MC AN=NB P△BNM=λ+μOP−→−OA−→−OC−→−λμλ−μ13:ax+y−1=0l1:x−y−3=0l2l1π3a= //l1l2A A2:6x−8y−3=0l1:3x−4y+6=0l2l1l22423(1)2(2)f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)π8f(x)2π3g(x)(,0)π12g(x)(1)g(x)(2)g(A)=6–√3<A<5π243π4cos2AABCD−A1B1C1D1ABCD2证明：平面；求异面直线与所成角的大小．21. 某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答．竞答分为必答题（共题）和选答题（共题）两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.求甲恰好答对道必答题的概率；在选答阶段，若选择回答且答对奖励分，答错扣分，选择放弃回答得分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列． 22. 如图，在四棱锥中，，，且，，，和分别是棱和的中点．求证：；求直线与平面所成的角的正弦值．(1)//A 1C 1ACD 1(2)CD AD 1524525(1)4(2)52012X P −ABCD ∠PAB =90°AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘E F CD PC (1)CD ⊥BF (2)PB PCD参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，所以．故选．2.【答案】D【考点】向量的减法及其几何意义【解析】本题考查的知识点是向量的减法及其几何意义，由、、分别为、、的中点，我们易得，然后根据图形分析答案中的四个变量，易求出与相等的向量，即可求出答案．【解答】解：如下图所示：A B A ={x|<4}={x|x <2}2x B ={x|y =}={x|x ≥1}x −1−−−−−√A ∩B ={x|1≤x <2}=[1,2)D D E F AB BC CA −==AF −→−DB −→−12BC −→−DF −→−DF −→−中，点、、分别为、、的中点则．故选．3.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】解：将条开河鱼的重量按照从小到大的顺序排列为，，，，，1.，则中位数为.故答案为：.4.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设，，△ABC D E F AB BC CA−AF −→−DB −→−=−12AC −→−12AB−→−=(−)12AC −→−AB −→−===12BC −→−DF −→−BE −→−D 6 1.43 1.581.63 1.67 1.7185(1.63+1.67)=1.65121.65x >0y ∈R x >|y |当，时，满足，但不满足，故“”推不出“”，充分性不成立；而“”“”，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件.故选.5.【答案】C【考点】互斥事件与对立事件【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴不正确对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴不正确对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴正确对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴不正确6.【答案】D【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用向量的加减运算，借助于空间向量的基本定理，空间任意一个向量都可用不共面的基向量唯一表示可求．【解答】解：由题意，，故选．7.【答案】x =1y =−1x >y x >|y |x >y x >|y |x >|y |⇒x >y x >y x >|y |C A A B B C C D D =+=+=+(+)AE −→−AA 1−→−E A 1−→−AA 1−→−14A 1C 1−→−−AA 1−→−14AB −→−AD −→−DB【考点】函数的周期性运用诱导公式化简求值函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】【解答】解：因为偶函数满足，所以，即函数是周期为的函数，又在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是减函数；又，是锐角三角形的两个内角，所以即，因此，即，所以 .故选．8.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程【解析】先求出线段的中垂线的斜率，再求出线段的中点的坐标，点斜式写出的中垂线得方程，并化为一般式．f (x)f (x +2)=f (−x)f (x +2)=f (−x)=f (x)f (x)2f (x)[−3,−2]f (x)[−1,0]y f (x)[0,1]A BA +B >，π20<A <，π20<B <，π20<−B <A <π2π20<sin(−B)<sin A <1π20<cos B <sin A <1f (sin A)<f (cos B)B AB AB AB【解答】解：直线的斜率为，所以线段的中垂线得斜率，又线段的中点为，所以线段的中垂线得方程为即，故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,D【考点】相互独立事件【解析】①目标恰好被命中一次即是：甲中而乙不中，乙中而甲不中，再依据结论：若，相互独立，则，即可得到正确结论；②目标恰好被命中两次表示甲中并且乙中，再依据结论，即可得到正确结论；③目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；④结合题意，目标没命中为目标被命中的对立事件，依据结论：若，相互对立，则，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，甲、乙两人射击是否命中目标相互独立．目标恰好被命中一次的概率为，故错误；由于目标恰好被命中两次，则两人全部命中，其概率为，故正确；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为，故错误；由于目标没命中的概率是，则目标被命中的概率为，故正确．故答案为．10.【答案】B,C,D【考点】分段函数的应用函数的图象AB =1−3−5−113AB k =−3AB (−2,2)AB y −2=−3(x +2)3x +y +4=0D A B P(AB)=P(A)⋅P(B)A B P(A)=1−P(B)×(1−)+×(1−)12131312×1213×(1−)+×(1−)+×121313121213(1−)×(1−)=×121312231−×1223BD【解析】此题暂无解析【解答】解：画出函数的大致图象如下图，得出，，故错误，正确；由图可知，故正确；因为，，所以，故正确．故选．11.【答案】B,C,D【考点】向量的模向量的加法及其几何意义平面向量数量积向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，为中点，则，如图，以为原点，，分别为轴， 轴正方向建立平面直角坐标系．f(x)+=−2x 1x 2=1x 3x 4A B 1<<2x 4C −2<<−1x 1=(−2−)x 1x 2x 1x 1=−−2=−(+1+1∈(0,1)x 21x 1x 1)2=∈(0,1)x 1x 2x 3x 4x 1x 2D BCD E AB CE ⊥AB E EA EC x y所以，，，，.设，，因为，，而，所以 ，解得，所以，所以是的中点.选项， ，所以，故选项错误；选项，因为是的中点，所以，故选项正确；选项， ，所以，故选项正确；选项， ，，所以在方向上的投影为：，故选项正确．故选．12.【答案】A,C【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率基本不等式在最值问题中的应用点到直线的距离公式E (0,0)A (1,0)B (−1,0)C (0,)3–√D (,)1323–√3O (0,y)y ∈(0,)3–√=(1,y)BO −→−=(−,y −)DO −→−1323–√3//BO −→−DO −→−y −=−y 23–√213y =3–√2O(0,)3–√2O CE A ⊥AB −→−CE −→−⋅=0AB −→−CE −→−A B O CE +=OE −→−OC −→−0→B C ++=2+=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−OC −→−OE −→−|++|=||=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−3–√2C D =(,)ED −→−1323–√3=(1,)BC −→−3–√ED −→−BC −→−==⋅ED −→−BC −→−|BC|+213276D BCD【解析】此题暂无解析【解答】解：对于双曲线 ，，，，∴双曲线的离心率为，渐近线方程为，故选项正确，选项错误；设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为：和，则点到两条渐近线的距离之积为： ，故选项正确；当动点在双曲线的左支上时， ，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，故选项错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】向量在几何中的应用【解析】如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，表示各点的坐标，根据向量的坐标运算得到，构造目标函数，利用可行域即可求出最值．【解答】C :−=1x 2y 23a =1b =3–√c =2C e ==2cay =±x 3–√A B P (,)x 0y 0−=1x 20y 203C x −y =03–√3x +y =03–√3P |−||+|x 03√3y 0x 03√3y 01+()3√32−−−−−−−−−√1+(−)3√32−−−−−−−−−−√==|−|x 20y 2034334C P C |P |≥c −a =1F 1|P |=2a +|P |=|P |+2F 2F 1F 1|P |F 1|PF 2|2=|P |F 1(|P |+2)F 12=|P |F 1|P +4+4|P |F 1|2F 1=1|P |++4F 14|P |F 1≤=12+4|P |⋅F 14|P |F 1−−−−−−−−−−√18|P |=2F 1|P |F 1|PF 2|218D AC 56OA x OC y λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919OA OC解：如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，则，，，，∵，，∴，，设，∵（，为实数），∴，∴，即，∴，令，即，由，，得到直线的方程为，则，满足的区域为，如图所示，当目标函数，过点时，最大，则，∴故答案为：14.【答案】,【考点】两条平行直线间的距离直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，对于直线，变形可得，若其倾斜角为，则其斜率，则有，即．对于直线，直线，若，则有，解得，则的方程可以变形为．OA x OC y O(0,0)A(3,0)C(0.3)B(3,3)2BM =MC AN =NB M(1,3)N(3,)32P(x,y)=λ+μOP −→−OA −→−OC −→−λμ=λ(3,0)+μ(0,3)=(3λ,3μ)OP −→−{x =3λy =3μλ=x 3μ=y3λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919z =3x −y y =3x −z M(1,3)N(3,)32MN 3x +4x −15=0x y1≤x ≤3≤y ≤3323x +4y −15≥0z =3x −y N(3,)32Z =3×3−=9−=z max 3232152(λ−μ)max =×=13191525656−3–√22–√:ax +y −1=0l 1y =−ax +1π3k =tan =π33–√−a =3–√a =−3–√:ax +y −1=0l 1:x −y −3=0l 2//l 1l 2a ×(−1)+1×1=0a =−1l 1x −y +1=0==2|1−(−3)|则两平行直线间的距离．故答案为：；．15.【答案】【考点】函数的概念及其构成要素空间两点间的距离公式【解析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解．【解答】由可得当时，，故点在一次函数的图像上，，即．当且仅当，即时等号成立，故的最小值是故答案为：16.【答案】【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）d ==2|1−(−3)|+(−112)2−−−−−−−−−√2–√−3–√22–√8A (4,1)2m +n =1+=(+)(2m +n)1m 2n 1m 2ny =(x −3)+1(a >0,a ≠1)log a x =4y =1A (4,1)A y =x +n m 21=×4+n m22m +n =1m >0,n >0+=(+)(2m +n)=++4≥2+4=81m 2n 1m 2n n m 4m n ⋅n m 4m n−−−−−−−√=n m 4m n m =,n =1412+1m 2n 8.8.【答案】解：，，把的方程化为，与间的距离．【考点】两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：，，把的方程化为，与间的距离．18.【答案】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815无【解答】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．19.【答案】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以 ，因为，所以．所以 ．【考点】正弦函数的周期性两角和与差的余弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6同角三角函数间的基本关系函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）答案未提供解析．【解答】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以 ，因为，所以．所以 ．20.【答案】（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）异面直线与所成角为．【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD AD 190∘【解答】解：（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）解：∵平面，平面，∴，∴异面直线与所成角为．21.【答案】解：甲恰好答对道必答题的概率为依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为【考点】相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】解：甲恰好答对道必答题的概率为A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD ⊥ADD 1A 1A ⊂D 1ADD 1A 1CD ⊥AD 1CD AD 190∘(1)4P =()=.C 45()45415256625(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)4P =()=.C 45()45415256625=121依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为22.【答案】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，∵，，且，，∵，，(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角两条直线垂直的判定【解析】（1）推导出四边形为矩形，从而平面，进而平面，由此能证明．（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的正弦值．【解答】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n → ⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6ABED AB ⊥PAD CD ⊥BEF CD ⊥BF A AB x AD y A ABCD z PD PBC (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z∵，，且，，∵，，∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n →⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6。

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年级：高二 科目：数学（国际体系）考试时长：90分钟卷面总分：100分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效．选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净．解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框．一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1. ，则( ) A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项2. 设a ,b 是非零实数,若a<b ,则下列不等式成立的是( )A.a 2<b 2B.ab 2<a 2bC.2211ab a b <D.b a a b< 3. 不等式12x x -+>0的解集是( ) A.{x|x<-2或x>1}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-1或x>2}D.{x|-1<x<2}4. 已知正项数列{n a }中，22212111,2,2(2)n n n a a a a a n +-===+≥，则6a 等于( )A.16B.8C.D.4 5. 在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =( )A.45B.50C.55D.606. 甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A.60%B.30%C.10%D.50%7. 数列{n a }的前n 项和为n S ，若2217Sn n n =-，则当n S 取得最小值时，n 的值为( ) A. 4或5 B. 5或6 C. 4 D. 58. 一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随意地飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个面的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的. 假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是( )A.18B.116C.127D.38二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9.2+与2-的等比中项是_________.10. 2x2＋5x－3<0的解集为________________.11. 一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程将超过2200km，用不等式表示为.12. 下列事件:①对任意实数x,有x2<0;②三角形的内角和是180°;③骑车到十字路口遇到红灯;④某人购买福利彩票中奖;其中是随机事件的为__________.13. 已知等比数列的前20项的和为30，前30项的和为70，则前10项的和为_______.14. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后_______分钟，该病毒占据内存32MB(1 MB=102 KB).三、解答题(本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本题10分)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球.(1)写出所有不同的结果;(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率.16．(本题10分)关于x的不等式22(1)(1)10a x a x----<的解集为R，求实数a的取值范围.17．(本题12分)设数列{a n}的前n项和为S n , 且S n=4a n-3(n=1,2,…).(1)证明: 数列{a n}是等比数列;(2)若数列{b n}满足b n+1=a n+b n(n=1,2,…)，b1=2，求数列{b n}的通项公式.18．（本题12分）已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=12，且2a 1，a 2，a 3+1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)记b n =3n na 的前n 项和为T n ,求T n .深圳科学高中2013-2014学年第一学期期中考试试题答案年级：高二 科目：数学（国际体系）考试时长：90分钟 卷面总分：100分一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１B ， 2C ， 3A ， 4D ， 5C ， 6D ， 7C ， 8C.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． ±1； 10． {x |－3<x <12}； 11． 8(x+19)>2200； 12． ③④； 13． 10； 14．42．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a ，b 的2个黑球和编号为c ，d ，e 的3个红球，从中任意摸出2个球.(1)写出所有不同的结果;(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率.解:(1)用树状图表示所有的结果为所以所有不同的结果是ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.---------------------------------5分(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A,则事件A 包含的基本事件为ac,ad,ae,bc,bd,be,共6个基本事件,----------7分所以P(A)=610=0.6,即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6. ---------------10分16．(本题10分)关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，求实数a 的取值范围.【解】 (1)若a 2－1＝0，即a ＝±1时，——————————1分若a ＝1，不等式变为－1<0，解集为R ；——————————2分若a ＝－1，不等式变为2x －1<0，解集为{x|x<12}．——————3分∴a ＝1时满足条件．(2)若a 2－1≠0，即a≠±1时，原不等式解集为R 的条件是22210(1)4(1)0a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩.——————6分解得－35<a<1.————————9分综上所述，当－35<a≤1时，原不等式解集为R.——————-10分17．(本题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n , 且S n =4a n -3(n=1,2,…).(1)证明: 数列{a n }是等比数列;(2)若数列{b n }满足b n+1=a n +b n (n=1,2,…)，b 1=2，求数列{b n }的通项公式.(1)证明:因为S n =4a n -3(n=1,2,…),则S n-1=4a n-1-3(n=2,3,…),当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4a n -4a n-1，————————3分整理,得143nn a a -=.————————4分由S n =4a n -3,令n=1,得a 1=4a 1-3,解得a 1=1.————————5分所以{a n }是首项为1,公比为的等比数列.————————6分(2)解:由(1)得a n =143n -⎛⎫⎪⎝⎭,————————8分由b n+1=a n +b n (n=1,2,…),得b n+1-b n =143n -⎛⎫⎪⎝⎭.则b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1)=2+114143314313n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯- ⎪⎝⎭-(n ≥2).————————10分 当n=1时,14313n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=2=b 1,————————11分 所以b n =14313n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.————————12分18．（本题12分）已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=12，且2a 1，a 2，a 3+1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)记b n =3n n a 的前n 项和为T n ,求T n . 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d , ∵2a 1,a 2,a 3+1成等比数列,∴22a =2a 1·(a 3+1),————————2分∴(a 1+d )2=2a 1(a 1+2d+1). 则有21111()2(21)3(31)3122a d a a d a d ⎧+=++⎪⎨⨯-+=⎪⎩,————————4分 解得a 1=1,d=3或a 1=8,d=-4(舍去),————————5分 ∴a n =a 1+(n-1)d=1+(n-1)3=3n-2.————————6分(2)b n =3n n a =(3n-2)·13n , ∴T n =1×13+4×213+7×313+…+(3n-2)×13n .①———————7分 ①×13得,13T n =1×213+4×313+7×413+…+(3n-5)×13n +(3n-2)×113n +,②————8分①-②,得23T n =13+3×213+3×313+3×413+…+3×13n -(3n-2)×113n +——————9分 =13+3×2111333113n -⨯--(3n-2)×113n +=56-11123n -⨯-(3n-2)×113n +.——10分∴T n =251132144323n n n ---⨯-⨯=5651443n n +-⨯.————————12分。

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