动态系统的状态空间描述
状态空间模型及其在控制系统中的应用
状态空间模型及其在控制系统中的应用状态空间模型是一种控制系统分析与设计的数学工具，它在控制系统领域中具有广泛的应用。
本文将从理论和实际应用的角度，论述状态空间模型的定义、性质以及在控制系统中的应用。
一、状态空间模型的定义与性质状态空间模型是一种描述系统动态行为的数学模型，它由状态方程和输出方程组成。
状态方程描述系统的演化规律，而输出方程则用于描述输出与状态之间的关系。
状态空间模型通常以矩阵的形式表示，其中状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和传递函数矩阵为模型的核心元素。
状态空间模型具有以下几个性质：1. 线性性质：状态空间模型适用于线性系统，而对于非线性系统需要进行线性化处理。
2. 可观测性：状态空间模型能够通过系统的输出来确定系统的状态，从而实现对系统状态的估计和监测。
但是，不可观测系统状态无法通过输出来确定。
3. 可控性：状态空间模型中的系统状态能够通过给定的输入来控制，即通过系统输入能够实现对系统状态的调节。
二、状态空间模型在控制系统中的应用状态空间模型在控制系统中有着广泛的应用。
以下分别从系统分析和系统设计两个方面介绍其应用。
1. 系统分析通过状态空间模型可以对系统进行建模和分析，利用数学方法研究系统的稳定性、控制性能等。
通过分析状态空间模型可以得到系统的特征根，进而判断系统的稳定性。
同时，状态空间模型可以用于系统的频域分析，通过传递函数矩阵进行系统性能的评估，如阻尼比、过冲量等。
2. 系统设计状态空间模型在控制器设计中起到关键作用。
利用状态反馈控制方法可以通过反馈系统的状态信息来实现对系统的控制。
同时，利用观测器设计可以通过系统的输出对系统的状态进行估计和监测，实现有限的状态反馈控制。
状态空间模型还可以用于系统的模型预测控制，通过对状态方程进行数学描述和求解，实现对系统的优化控制。
三、状态空间模型的应用案例下面将介绍一个实际的应用案例，展示状态空间模型在控制系统中的应用。
案例：飞机自动驾驶系统设计针对飞机自动驾驶系统的设计，可以通过状态空间模型进行系统建模和控制器设计。
动态系统的状态空间描述
输出 y 空间
2. 系统的状态空间
若以n个状态变量x1(t), x2(t), …, xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维 欧氏空间, 并称为n维状态空间, 记为Rn 状态向量的端点在状态空间中 的位置, 代表系统在某一时刻的 运动状态
x2
x(t0)
x(t1) x(t2) x(t)
二维空间的状态轨线
概述(1/4)
概 述
动态系统(又称为动力学系统), 抽象来说是指能储存输入信息 (或能量)的系统, 例如: 含有电感和电容等储能(电能)元件的电网络系统 含有弹簧和质量体等储能(机械能)元件的刚体力学系统 存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等 动态系统与静态系统的区别在于 静态系统的输出取决于当前的瞬时输入, 而动态系统的 输出则不仅依赖于系统当前的输入, 还与系统过去的输入 有关。如: 电阻器的端电压是当前电流与电阻值之乘积, 电容器 的端电压则是当前及过去的电流之积分值与电容值 之比
系统的状态空间模型(8/11)
对前面引入的状态空间模型的意义, 有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性,
决定系统状态变量的动态变化
输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,
主要决定系统的动态特性
输入矩阵B又称为控制矩阵, 表示输入对状态变量变化的影响 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响, 许多系统不 存在这种直联关系, 即直联矩阵D 0
线性系统状态空间模型的结构图(2/5)
x(t )
∫
x(t)
x1 x2
x1+x2
x
k
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
状态空间描述
状态空间描述
状态空间可以简单地理解为描述系统所处状态的一种抽象概念，它把一个复杂的系统抽象成多个独立状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化规律。
状态空间描述了系统之间状态的可能变化，从而表明了每个状态之间的连接情况。
1. 什么是状态空间
状态空间是描述系统所处状态的一种抽象概念，它能够将一个复杂的系统抽象成多个独立的状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化情况。
2. 状态空间的概念
状态空间是一种用于描述系统状态变化的空间，它通过多个状态表达了一个系统的演化情况，并将一个复杂的系统变化的规律映射到状态变化的空间中。
因此，它是表达某个系统演化情况的一种理想方法。
3. 状态空间的总体结构
状态空间是有限的，它由一个特定的状态集合构成，包括一组状态及其间的连接关系，这些连接关系通过不同的操作表示出来。
因此，状态空间的总体结构可以概括为包含了状态和连接情况的一维空间。
4. 状态空间变化
状态空间随着操作的不断变化，其所描述的系统也会不断变化，这就
形成了一个动态的状态空间，这里面存在着状态之间的连接关系，这
些连接关系是由可调整转移概率和操作决定的。
5. 对应建模
状态空间模型将状态空间中的各状态映射到离散时间模型，从而对模
型问题进行建模，通过状态空间模型可以计算出每个状态的概率，从
而能够较为准确地表述系统的状态情况，以找出问题的解决途径。
6. 状态空间可视化
状态空间可以使用可视化图像，将各状态之间的连接关系图示出来，
常见的可视化表示方法有马尔科夫网络图像，状态树图像和拓扑图像，这些可视化图像能够清晰地展示出状态空间的总体结构，从而简化问
题的解决过程。
状态变量和状态变量模型状态空间表达式的建立状
0 x1 有： 1 x2 L
1 0 x C 1 1 u R x 2 L L
简写为：x Ax Bu
（2）如果令状态变量为： x1 uc , x2 uc ，则：
a1n a2 n , n n维系统矩阵 , 表征各状态变量间的关 系 ann
b11 b B 21 bn1
2019/3/20
b12 b22 bn 2
b1r b2 r n r维输入矩阵 , 表征输入对每个变量的 作用 , bnr
di1 R1 R1 1 i i L1 1 L1 2 L1 u1 dt di2 R1 R1 R2 1 i i u 1 2 2 dt L L L 2 2 2 uA i1 R1 i2 R1 u2 1 L1
u2
2019/3/20
17
3）状态空间表达式为： R1 1 1 1 R i i L1 L1 u1 1 L1 L1 1 R1 R1 R2 1 0 i u i L2 2 L2 2 L2 2 i1 u1 uA R1 R1 0 1 i2 u2
简写为：x Ax Bu
12
[系统动态方程的模拟结构图]：
常用符号：
积分器
比例器
ki
加法器
注：1、积分器个数与状态变量个数一致。 2、加法器不标“＋”、“－”号，一律默认为加法 “＋”。 模拟结构图：
D
u
B
x
A
x
C
现代控制理论 第1章 状态空间描述
得动态方程组 1 x2 x k b 1 x 2 y y u y m m m k b 1 x1 x2 u m m m y x 1
问题：到底有 何区别？
13
状态空间表达式为
1 0 x k x 2 m
如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的个数 等于系统中独立储能元件的个数
5
基本概念
状态方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示
假设：causal system ——现在的输出只取决 于现在和过去的输入， 而与将来的输入无关。
输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导数与所有 状态变量和输入变量的数学表达(常微分方程ODE)称为状态方程，一般形式 为：
1896192019872006状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式化输入化输入输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式系统的线性变换对角线标准型和约当标准型系统的线性变换对角线标准型和约当标准型由状态空间表达式导出传递函数阵由状态空间表达式导出传递函数阵离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式从系统黑箱的输入输出因果关系中获悉系统特性传递函数描述属系统的外部描述系统的内部描述白箱系统完整地表征了系统的动力学特征状态空间表达式属系统的内部描述状态变量
x1 f1 ( x1 , x2 f 2 ( x1 , xn f n ( x1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , um , t ) , um , t ) , um , t )
标量形式，繁琐!
6
矢量形式
状态空间方程 零极点
状态空间方程零极点
状态空间方程是描述动态系统行为的数学模型，通常用矩阵形
式表示。
它包含状态方程和输出方程。
状态方程描述系统的状态随
时间的演化，而输出方程则描述系统的输出与状态之间的关系。
状
态空间方程通常用于分析系统的稳定性、可控性和可观测性等特性。
零极点是指线性时不变系统的传递函数在复平面上的零点和极点。
零点是使传递函数为零的点，而极点是使传递函数变为无穷大
的点。
零极点分布的特性反映了系统的动态响应和稳定性。
零极点
的位置可以影响系统的频率响应、阻尼比、过渡时间等性能指标。
从数学角度来看，状态空间方程可以通过矩阵运算和线性代数
的方法进行分析，可以利用特征值和特征向量来研究系统的稳定性
和动态特性。
而零极点则可以通过传递函数的分解和极点分布来分
析系统的频率响应和稳定性特征。
从工程应用角度来看，状态空间方程和零极点分析可以帮助工
程师设计控制系统、优化系统性能，以及预测系统的动态响应。
通
过对状态空间方程和零极点的分析，可以更好地理解系统的动态特性，从而进行系统设计和调试工作。
总的来说，状态空间方程和零极点分析是控制理论和工程实践中重要的工具，通过对系统动态特性的深入理解，可以为系统设计和控制提供重要的参考和指导。
《状态空间描述法》课件
案例二：飞行器姿态控制系统设计
总结词
飞行器的姿态控制是保证飞行安全的关键环 节。通过状态空间描述法，可以建立飞行器 姿态控制系统的数学模型，为控制系统设计 提供依据。
详细描述
飞行器的姿态控制涉及多个动态变量，如角 速度、角位移、俯仰角、偏航角等。状态空 间描述法能够全面地描述这些变量之间的关 系，建立起飞行器姿态控制的数学模型。基 于这个模型，可以设计各种控制器，如PID 控制器、模糊控制器等，以实现对飞行器姿 态的精确控制。
PART 05
状态空间描述法的应用实 例
REPORTING
案例一：倒立摆控制系统设计
要点一
总结词
要点二
详细描述
倒立摆是一个不稳定的系统，其控制目标是使摆杆保持稳 定，避免倒塌。状态空间描述法在倒立摆控制系统中被广 泛应用，通过建立状态方程和输出方程，对系统进行精确 的数学描述，为控制系统设计提供基础。
状态空间图
• 状态空间图：以图形方式表示系统状态变量、输 入和输出的关系，有助于直观理解系统的动态行 为。
PART 03
状态空间描述法的实现
REPORTING
建立状态方程和输出方程
状态方程
描述系统内部状态变量的动态关系，通 常表示为x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)。
VS
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入的关系， 通常表示为y(t)=Cx(t)+Du(t)。
如何克服局限性
降维处理
并行计算和分布式计算
对于高维系统，可以通过降维处理来 降低系统的维度，从而简化状态空间 描述法的计算。
采用并行计算和分布式计算技术可以 降低大规模系统的计算复杂性，提高 计算效率。
动态系统的建模与分析方法
动态系统的建模与分析方法动态系统是由一组相互作用的元素所组成的，其特点是随时间的推移而变化，常常被用来描述现实世界中复杂的自然现象和社会现象。
例如，经济模型、气候模型、生态模型、交通模型等等。
为了对这些复杂的现象进行理解和预测，需要对动态系统进行建模和分析。
本文将介绍动态系统的建模和分析方法。
一、动态系统的基本概念在开始介绍建模和分析方法之前，首先需要了解一些动态系统的基本概念。
1.状态和状态变量：状态是指动态系统所处的状态，其通常由一组状态变量描述。
例如，气候模型中的状态变量可以包括气温、湿度、风速等。
2.状态空间：状态空间是指所有可能的状态所组成的空间，通常由状态变量的取值范围定义。
3.状态转移：状态转移是指系统从一种状态转移到另一种状态的过程，通常由状态转移函数描述。
例如，气候模型中的状态转移函数可以描述气温、湿度、风速等如何随时间变化。
4.控制变量：控制变量是指可以对系统进行控制的变量，其值可以由外部因素所决定。
例如，气候模型中的控制变量可以包括太阳辐射、海洋表面温度等。
二、建模方法建模是指将现实世界中的动态系统抽象为一个数学模型，以便于对其进行定量分析和预测。
动态系统的建模方法可以分为以下几种。
1.微分方程法微分方程法是最常用的动态系统建模方法之一。
它将动态系统的状态描述为一个或一组关于时间的微分方程，以描述状态随时间的演化规律。
例如，经济学家常常使用微分方程来描述物价的变化，生态学家则使用微分方程来描述生态系统中物种的数量变化。
2.差分方程法差分方程法是一种离散化的建模方法，它将动态系统的状态描述为一个或一组关于时间序列的差分方程，以描述状态随时间的变化规律。
例如，交通规划师可以使用差分方程来描述道路网络中车辆数量和速度的变化规律。
3.系统动力学法系统动力学法是一种基于不同元素之间的相互作用和反馈机制来描述系统行为的建模方法，通常涉及到决策制定和政策评估等问题。
使用系统动力学法建立的模型可以用来预测政策改变或新政策的影响。
状态和状态空间模型
其中
x
x1
x2
u [ui ]
y [uC ]
A
- R/L
1/C
-1/L
0
B
1/L
0
C [0
1]
• 总结出状态空间模型的形式为x Ax Bu Nhomakorabeay
Cx
Du
其中x为n维的状态向量;
u为r维的输入向量;
y为m维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为nr维的输入矩阵;
– 系统的状态和状态变量 – 系统的状态空间
1. 系统的状态和状态变量
• 动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的 字面意思就是指系统过去、现在将来的运 动状况。
– 正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空 间分析方法十分重要。
– “状态”的定义如下。
• 定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描 述系统时间域动态行为的一个最小变量组。
• 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态 变量的输出空间的投影,一个子集。
x
状态空间
空间映射
输出 y 空间
2. 系统的状态空间
• 若以n个状态变量 x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维欧氏空间, 并称为n维状态空间,记为Rn.
• 状态向量的端点在状态空间 中的位置,代表系统在某一时 刻的运动状态。
描述线性系统 的主要状态空 间模型,切记!
C为mn维的输出矩阵;
D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。
• 状态空间模型的意义,有如下讨论:
– 状态方程描述的是系统动态特性,
• 其决定系统状态变量的动态变化。
– 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的 关系。
系统工程-状态空间模型概述
tf
L ( x ( t ), u ( t ), t )d t x (t 0 ) x 0
t0
s .t .
x f ( x ( t ), u ( t ), t )
k f 1
或者
max J ( u )
uU
k k0
L ( x ( k )), u ( k ), k )
x (k0 ) x0
在动态经济学中则是研究经济当事人在一 个较长时期内的行为最优化，从而导致动 态最优化问题。越来越受到人们重视的最 优经济增长问题就是一个动态最优化问题。 这使得动态最优化或最优控制理论在动态 经济学中得到了非常广泛的应用，并且常 被称为跨期最优化问题。
动态最优化问题的一般形式是
max J ( u )
x f ( x (t ), u (t ), t )
这里 x (t ) [ x (t ), , x (t )] 是维状态向量，是维控制 向量（或决策向量）。状态向量全面描述了系统 的状况，是决策者在时刻面临的状态。状态向量 的每一个分量称为状态变量，由维状态向量构成 的线性空间称为状态空间。
这里不再详细讨论。
有时经济模型中不出现控制向量，这时数 学模型为一阶微分方程组
x f ( x ( t ), t )
x (t0 ) x 0
x (k0 ) x0
或一阶差分方程组
x ( k 1) f ( x ( k ), k )
它们描述了状态变量自身随时间的演化。 据此可以求出状态变量随时间演化的情况， 可以分析它们的均衡状态，及均衡状态的 稳定性。
0
s .t .
x 0 .1 x u
状态空间表达式的解PPT课件
06 结论
状态空间表达式解法的总结
解法概述
详细总结了状态空间表达式的解法，包 括其基本原理、主要步骤和常用技巧。
优缺点分析
对状态空间表达式的解法进行了全面 的优缺点分析，以便读者更好地理解
和使用。
应用实例
列举了几个实际应用的状态空间表达 式问题，并展示了如何运用解法进行 求解。
与其他方法的比较
将状态空间表达式的解法与其他常见 的方法进行了比较，突出了其独特性 和优势。
状态空间表达式的重要性
01
状态空间表达式具有直观性和通 用性，能够全面地描述系统的动 态特性，包括系统的稳定性、可 控性和可观测性等。
02
它为控制系统分析和设计提供了 强大的数学工具，使得复杂系统 的分析和控制成为可能。
状态空间表达式的应用领域
控制系统设计
状态空间表达式广泛应用于控制系统 设计和分析中，如线性控制系统、非 线性控制系统、多变量控制系统等。
等。
判定方法
03
通过计算系统的极点、零点和增益等参数，判断解的稳定性。
解的唯一性
定义
如果给定相同的初始条件和输入信号，状态空 间表达式的解是唯一的，则称该解是唯一的。
判定方法
通过求解线性代数方程组或使用数值计算方法， 验证解的唯一性。
唯一性条件
只有在无病态或适定性条件下，解才是唯一的。
解的收敛性
稳定性分析
分析系统的稳定性，判断系统是否能够保持稳定运行。对于不稳定 的系统，需要采取措施进行控制和调整。
04 状态空间表达式的解的性 质
解的稳定性
定义
01
如果状态空间表达式的解在初始条件的影响下，最终会趋于稳
定状态，则称该解是稳定的。
状态空间模型例子
状态空间模型常用于描述一个动态系统的变化过程，其中包含了系统的状态转移和状态变量的测量。
以下是一个简单的状态空间模型的例子：
考虑一个汽车在道路上的行驶过程，其中有两个状态变量，分别是速度和位置。
状态转移方程描述了汽车在给定的速度和加速度下，下一时刻的速度和位置。
测量方程描述了通过传感器测量到的速度和位置。
假设状态转移方程为：
x(t+1) = x(t) + v(t)*dt + 0.5*a*dt^2
y(t+1) = y(t) + v(t)*dt + 0.5*g*dt^2
其中，x(t) 和y(t) 分别是t 时刻的水平和垂直位置，v(t) 是速度，a 是加速度，g 是重力加速度，dt 是时间步长。
测量方程为：
z1(t) = x(t) + noise1
z2(t) = y(t) + noise2
其中，z1(t) 和z2(t) 分别是t 时刻的测量位置，noise1 和noise2 是测量噪声。
这个状态空间模型可以用于描述汽车在道路上的行驶过程，并预测未来的位置和速度。
同时，通过比较预测值和实际测量值，可以估计系统的参数和状态。
第1章 动态系统的状态空间描述
式(1-29)简记为 ( A, B,C, D) ,即
x Ax Bu y Cx Du
(1-30)
式中, x x1 x2 xn T 是n维状态向量;
y y1 y2 ym T 是m维输出向量;
u u1 u2 ur T 是r维输入向量;
a11 a12 a1n
(2)内部描述
状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基 于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程 组成:
一个是反映系统内部状态变量x1,x2,…,xn 和输入变量 u1,u2,…,ur间因果关系的数学表达式，称为状态方程，其 数学表达式的形式对于连续时x 间系统为一阶微分方程组， 对于离散时间系统为一阶差分方程组;
a22
a2n
an1
an2
ann
称为系统矩阵或状态矩阵;
b1
B
b2
称为输入矩阵或控制矩阵；
bn
C [c1 c2 cn ] 称为输出矩阵或观测矩阵；
D是标量，反映输出与输入的直接关联。
2.多输入多输出线性定常连续系统
对于有r个输入u1,u2,…,ur ,m个输出y1,y2,…,ym的多输人 多输出n阶线性定常连续系统，状态方程的一般形式为
化的动态过程信息。因此,式（1-4）、式(1-5)是图1-4所示电网
络系统的一种完全描述。
3.系统状态空间描述的基本概念
(1)动态系统的状态
动态系统的状态是完全地描述动态系统运 动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可 以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系 统运动信息的集合为状态。 (2)状态变量
用MATLAB分析状态空间模型
用MATLAB分析状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统的数学模型。
在MATLAB中，可以使用状态空间方法对系统进行分析和控制。
本文将从状态空间模型的定义、矩阵表示、稳定性以及控制器设计等方面进行详细介绍。
一、状态空间模型的定义状态空间模型是一种描述动态系统的数学模型，其中系统的行为是通过状态变量的演化来表示的。
状态空间模型通常由一组一阶微分方程表示，形式如下：dx(t)-------------------=Ax(t)+Bu(t)dty(t)=Cx(t)+Du(t)其中，x(t)是状态变量向量，表示系统的内部状态；u(t)是输入向量，表示对系统的外部输入；y(t)是输出向量，表示观测到的系统输出；A、B、C和D分别是系统的状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接传递矩阵。
二、状态空间模型的矩阵表示在MATLAB中，可以使用矩阵表示状态空间模型。
假设有一个由状态变量x、输入变量u和输出变量y组成的系统，可以通过矩阵表示如下：x'=Ax+Buy=Cx+Du其中，x'表示状态变量x的导数。
在MATLAB中，可以使用matrix函数创建状态矩阵A、输入矩阵B、输出矩阵C和直接传递矩阵D。
例如，可以使用如下代码定义一个状态空间模型：A=[12;34];B=[1;1];C=[10];D=0;sys = ss(A, B, C, D);在上述代码中，创建了一个状态空间模型sys，其中状态矩阵A是一个2×2的矩阵，输入矩阵B是一个2×1的矩阵，输出矩阵C是一个1×2的矩阵，直接传递矩阵D是一个标量。
三、状态空间模型的稳定性分析在控制系统设计中，稳定性是一个重要的指标。
对于线性时不变系统，可以使用状态空间模型进行稳定性分析。
MATLAB提供了一些函数用于稳定性分析，如eig、pole和isstable等。
eig函数用于计算系统的特征值，特征值的实部决定了系统的稳定性。
状态空间描述(三)
➢该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统 的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后 面的章节中可以看到。
上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示
n =bn-a1n-1-…-an0
即i(i=0,1,…,n)满足如下方程组
1 0
a1
1
0 00 b0
0
0
1
b1
a2
a1
1
0
2
b2
an an1 an2 1n bn
则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导 数项的状态空间模型
y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu (1-22) 其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶 次。
这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动 态系统的如下状态空间数学模型--状态空间模型
x Ax Bu
y
Cx
Du
➢ 本节问题的关键是如何选择状态变量。
（a）化为能控标准形
➢选择状态变量为如下相变量
1.3.2 由系统微分方程建立状态空间表达式
本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分 方程建立系统的状态空间模型,分别讨论
由不含输入量导数项和 由含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型。
本节关键问题:
关键
如何选择状态变量
1. 微分方程中不包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行 为,不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分 方程为
xn1 y(n1) n2u n3u
数学中的动力系统理论
数学中的动力系统理论在数学中的动力系统理论是研究动力学系统行为的数学分支。
这个理论的发展深深地影响了现代数学和其他学科的发展，并为解释自然界的现象提供了强大的工具。
本文将介绍动力系统理论的基本概念和一些重要的应用。
一、动力系统的基本概念动力系统是指随时间演化的系统。
它可以用一组微分方程或差分方程来描述系统的演化规律。
一个动力系统通常由状态空间、演化规律和初始条件三个要素组成。
1. 状态空间状态空间是描述系统可能状态的集合。
通常用一个n维欧几里得空间来表示，其中n代表系统的自由度。
状态空间中的每一点代表着系统某一时刻的状态。
2. 演化规律演化规律是表示系统状态如何随时间变化的规则。
在连续动力系统中，演化规律由一组微分方程表示；而在离散动力系统中，演化规律由一组差分方程表示。
3. 初始条件初始条件是系统在某一时刻的状态。
它决定了整个系统在之后的演化过程中的行为。
二、动力系统的稳定性分析动力系统理论的一个重要方面是研究系统的稳定性。
稳定性分析可以帮助我们判断系统在长时间演化中的行为，并预测系统的未来状态。
1. 平衡点和不动点平衡点是指系统中状态不随时间变化的点。
在连续动力系统中，平衡点满足微分方程的右端为零；在离散动力系统中，平衡点满足差分方程的右端为零。
2. 稳定性类型根据线性化理论，可以将平衡点分为不同的稳定性类型。
其中最常见的类型是稳定点、不稳定点和半稳定点。
稳定点指的是当初始条件足够接近平衡点时，系统状态会趋向于平衡点；不稳定点指的是当初始条件足够接近平衡点时，系统状态会远离平衡点；半稳定点指的是当初始条件足够接近平衡点时，系统状态会在某些方向上趋向平衡点，而在其他方向上远离平衡点。
三、动力系统的应用动力系统理论在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下列举几个重要的应用领域：1. 天体力学动力系统理论被广泛应用于研究行星运动、天体轨道、恒星动力学等天文学问题。
通过分析动力系统的稳定性和轨道形状，科学家能够预测行星和其他天体的未来运动。
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系统的状态空间模型(8/11)
对前面引入的状态空间模型的意义, 有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性 , 状态方程 决定系统状态变量的动态变化 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系 输出方程 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况, 主要决定系统的动态特性 输入矩阵B又称为控制矩阵, 表示输入对状态变量变化的影响 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响, 许多系统不 存在这种直联关系, 即直联矩阵D = 0
Ch.2 控制系统的状态空 间模型
本章简介(1/1)
本章简介
本章讨论动态系统的状态空间描述 主要介绍状态空间分析中 状态空间描述的概念及状态空间模型的建立 状态空间模型与其它数学模型之间的转换 状态空间模型的线性变换 MIMO系统的传递函数阵 离散时间动态系统的状态空间模型 本章将力图让同学们建立起状态、状态空间与状态空间 变换的概念, 掌握状态空间模型的建立方法, 打下状态空 间分析的基础
− 0
∫ u(τ )dτ
− y (t 0 )给定
若知道 y(t0−), y(t) 就与u(t)在(−∞, t0)时间段的值不相关了 可以把 y(t0−) 看作是 t0− 时刻的状态，状态方程就是:
& (t ) = C −1u (t ), t ≥ t 0 , y
系统的状态和状态变量(4/4)
状态变量与输出变量的关系 状态变量描述系统全部动态行为 输出变量只描述系统外在表现的动态行为, 并非系统的全 部动态行为 状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化规律 输出变量仅仅是状态变量的外部表现, 是状态变量在输出 空间的投影 x 空间映射
状态方程
&1 = a11 x1 + a12 x2 + b11u1 + b12 u 2 x & 2 = a21 x1 + a22 x2 + b21u1 + b22 u 2 x
输出方程
y1 = c11 x1 + c12 x2 + d11u1 + d12 u 2 y 2 = c21 x1 + c22 x2 + d 21u1 + d 22 u 2
系统的状态空间模型(5/11)
对本例, 经整理可得如下状态方程 R 1 1 dx1 dt = − L x1 − L x2 + L ui dx 1 2 = x1 dt C 写成向量与矩阵形式为：
&1 - R / L - 1 / L x1 1 / L x = + ui x 0 x2 0 &2 1 / C
u1 u2 ur
x1 x2
M
动力学部件
xn
M
输出部件
M
y1 y2 ym
图2-1 动力学系统结构示意图
系统的状态空间模型(2/11)
与输入输出描述不同, 状态空间描述中把系统动态过程的描 述考虑为一个更为细致的过程 输入引起系统状态的变化 而状态和输入则决定了输出的变化 状态空间模型由 描述系统的动态特性行为的状态方程 状态方程和 状态方程 描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方程 输出方程 所组成
系统的状态和状态变量(3/4)
一个简单的一维系统 如图所示系统: 电流u(t), 电压y(t) 系统的输入输出关系
y (t ) = C =C
−1
−1
∫ ∫
t
−∞ t0
u (τ )dτ u (τ )dτ + C
−1 t t0 −1 t t0
u(t)
C
y(t)
−∞
∫ u (τ )dτ
简单的一维系统
= y (t ) + C
系统的状态空间模型(9/11)
上述线性定常连续系统的状态空间模型可推广至 非线性系统 时变系统 1. 非线性时变系统
x ′ = f ( x , u, t ) y = g ( x , u, t )
其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分别为如下关于状态向量x,输入向量u和 时间t的n维和m维非线性向量函数 f(x,u,t)=[f1(x,u,t) f2(x,u,t) … fn(x,u,t)]τ g(x,u,t)=[g1(x,u,t) g2(x,u,t) … gm(x,u,t)]τ
x ′ = Ax + Bu Σ( A, B, C ) : y = Cx
Σ( A, B) : x ′ = Ax + Bu
线性系统状态空间模型的结构图(1/5)
2.1.3 线性系统状态空间模型的结构图
线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来, 以 形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系 在采用模拟或数字计算机仿真时, 它是一个强有力的工 具 系统结构图主要有三种基本元件: 积分器 加法器 比例器
其中各矩阵为时间t的函数, 随时间变化而变化
系统的状态空间模型(11/11)
4. 线性定常系统
x ′ = Ax + Bu y = Cx + Du
为简便,常将线性时变系统的状态空间模型简记为 ∑(A(t), B(t), C(t), D(t)) 类似地,线性定常系统的状态空间模型亦可简记为 ∑(A, B, C, D) 几种简记符的意义:
系统的状态空间模型(4/11)
2. 选择状态变量 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容) 的个数 对本例 x1(t)=iL, x2(t)=uC 3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程, 整理得一规范形式的 一阶矩阵微分方程组—状态方程 每个状态变量对应一个一阶微分方程, 导数项的系数为1, 非导数项列写在方程的右边
系统的状态空间模型(7/11)
由上述例子, 做简单扩展, 可总结出状态空间模型的形式为
& = Ax + Bu x y = Cx + Du
x为n维的状态向量 u为r维的输入向量 y为m维的输出向量 A为n×n维的系统矩阵 B为n×r维的输入矩阵 C为m×n维的输出矩阵 D为m×r维的直联矩阵(前馈矩阵, 直接转移矩阵)
概述(1/4)
概 述
动态系统(又称为动力学系统), 抽象来说是指能储存输入信息 (或能量)的系统, 例如: 含有电感和电容等储能(电能)元件的电网络系统 含有弹簧和质量体等储能(机械能)元件的刚体力学系统 存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等 动态系统与静态系统的区别在于 静态系统的输出取决于当前的瞬时输入, 而动态系统的 输出则不仅依赖于系统当前的输入, 还与系统过去的输入 有关。如: 电阻器的端电压是当前电流与电阻值之乘积, 电容器 的端电压则是当前及过去的电流之积分值与电容值 之比
2.1 状态和状态空间模型
系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上 的。因此, 对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论, 必 须准确掌握和深入理解 状态 状态变量 状态空间 状态空间模型
系统的状态和状态变量(1/4)
2.1.1 状态空间的基本概念
1. 系统的状态和状态变量
动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的字面意思就是指系 统过去、现在、将来的运动状况 正确理解“状态”的定义与涵义, 对掌握状态空间分析方 法十分重要 定义2-1 动态系统的状态, 是指能够完全描述 完全描述系统时间域动 完全描述 态行为的一个最小变量组 最小变量组 该变量组的每个变量称为状态变量 可以是能直接测量或不能直接测量的量 可以是物理量, 也可以是非物理的抽象数学变量
x1
随着时间的推移, 状态不断地变化, t≥t0各瞬时的状态在 状态空间构成一条轨迹, 称为状态轨线, 如上图所示
系统的状态空间模型(1/11)
2.1.2 系统的状态空间模型
引入了状态和状态空间概念之后, 就可来建立动力学系统的 状态空间描述。从结构角度, 一个动力学系统可用下图表示 x1, x2, L, xn 为状态变量组, u1, u2, L, ur 及y1, y2, L, ym 为 系统的输入变量组和输出变量组
4. 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程 对本例
x1 uC = x2 = [0 1] x2
系统的状态空间模型(6/11)
5. 将上述状态方程和输出方程列写在一起, 即为描述系统的状 态空间模型
& = Ax + Bu x y = Cx
其中:
x1 x = u = [ui ] y = [uC ] x2 - R/L - 1/L 1/L A= B = C = [0 1] 1/C 0 0
概述(4/4)
对模型精度的不同要求也会导致不同的数学模型 线性模型可能是非线性模型的近似 集中参数模型可能是分布参数模型的近似 一个合理的数学模型应是对其准确性和简化程度作折中考虑, 忽略次要因素, 在现实条件和可能下, 在一定精度范围内, 尽可能抓住主要因素, 并最终落脚于实际应用的目标、条 件(工具)与环境 模型并不是越精确越好、 模型并不是越精确越好、越复杂越好
线性系统状态空间模型的结构图(2/5)
& (t ) x
∫
x(t)
x1
x1+ x2 x2 x2
x
k
kx
(a) 积分器
(b) 加法器
(c) 比例器
系统结构图中的三种基本元件
线性系统状态空间模型的结构图(3/5)
例: 双输入-双输出线性定常系统的结构图
状态空间模型
&1 a11 a12 x1 b11 b12 u1 x = + x u & a a x b b 22 2 2 21 21 22 2 y1 c11 c12 x1 d11 d12 u1 + y = c u c x d d 22 2 2 21 22 2 21