一类具阻尼的二阶奇异微分方程周期解的存在性

∫0 e
1 。 其中 v ∈ H T
un dt ≤ ε n v ′ ( t ) v′ ( t ) − f λ ( un ( t ) ) v ( t ) + g ( t ) v ( t )
1 HT
,
(9)
1 我们只须证 {un }n∈ 在 H T 中有界。
事实上，在(9)中，取 v ( t ) ≡ −1 ，我们得到
Keywords
Variational Methods, Singular Differential Equations, Periodic Solutions, Existence
一类具阻尼的二阶奇异微分方程周期解 的存在性
王燕华，李胜军*
海南大学，信息科学技术学院，海南 海口 收稿日期：2017年5月7日；录用日期：2017年5月24日；发布日期：2017年5月27日
王燕华，李胜军
尼奇异微分方程 u′′ ( t ) + q ( t ) u′ ( t ) −
1 u
γ
(t )
= g ( t ) 至少有一个非平凡周期方程，周期解，存在性
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
下面，对 λ ∈ [ 0,1] ，我们考虑方程
我们知道 f λ 关于 u ∈ 是连续的。
u ′′ ( t ) + q ( t ) u ′ ( t ) + f λ ( u ( t ) ) = g (t ) .
设
(2)
Q ( t ) = ∫ q ( s ) ds , Fλ ( u ) = ∫ f λ ( s ) ds 0 1
350
王燕华，李胜军
u ′ ( 0 ) − u ′ (T ) = u ( 0 ) − u (T ) = 0 .
进一步，由(5)，有
u ′′ ( t ) + q ( t ) u ′ ( t ) + f λ ( u ( t ) ) = g (t ) .
故泛函 Φ λ ( u ) 的临界点就是方程(2)的 T-周期。
Existence of Periodic Solutions of a Second-Order Singular Damped Differential Equation
Yanhua Wang, Shengjun Li*
College of Information Science and Technology, Hainan University, Haikou Hainan Received: May 7 , 2017; accepted: May 24 , 2017; published: May 27 , 2017
在常数 c1 > 0 以及序列 {ε n }n∈ ⊂ + (当 n → +∞ 时， ε n → 0 )使得
∫0 e
和
T Q( t )
T
Q( t )
1 ′ 2 un ( t ) − Fλ ( un ( t ) ) + g ( t ) un ( t ) dt ≤ c1 , 2
(8)
u ′′ ( t ) + q ( t ) u ′ ( t ) −
T
1 = g (t ) uγ (t )
(1)
T-周期解的存在性，其中 q, g ∈ C ( / T , ) , γ > 1 ， ∫ q ( t ) dt = 0 ，显然非线性项 −
0
1 在原点具有排 uγ (t )
斥奇异性，即 lim − +
T
u →+∞
0
成立，则方程(1)至少有一个非平凡 T-周期解。
2. 引理
首先，定义截断函数 f λ : → ( 0 < λ < 1) 如下：
349
王燕华，李胜军
1 f (u ) = u ≥ λ, − γ , u fλ ( u ) = 1 f (λ ) = u < λ. − γ , λ
T
0
u ′ ( t ) dt
2
)
1 2
= Φλ (u )
∫0 e
2 1 2 u ′ ( t ) + Fλ ( u ( t ) ) + g ( t ) u ( t ) dt.
(3)
t ∈ [ 0, T ] ， 则 L ( t , x, y ) 满足[3]中定理 1.4 的所有条件。 我们知道函数 Φ λ 连续可微， 且在 H1T 其中 x, y ∈ ，
∫0 e
于是，
T
Q( t )
f λ ( un ( t ) ) − g ( t ) dt ≤ ε n T .
351
王燕华，李胜军
∫0 e
T
Q( t )
f λ ( un ( t ) ) dt ≤ ε n T +
∫0 e
q L1 q L1
u →0
1 u
γ
(t )
= −∞ 。最近，方程 (1) 周期解的存在性也受到少数几个专家学者的关注。
在文献[7]中，应用度的同伦不变性，对同伦方程的解进行先验估计，然后利用经典的重合度理论，得到 方程至少有一个正周期解；在文献[8]和[9]中，通过考虑其 Green 函数的正性，分别应用 Leray-Schauder 二择一原理和 Schauder 不动点定理，研究了其周期解的存在性。一般情况下，当 ∫ q ( t ) dt > 0 ，对于方
u ′ ( t ) v′ ( t ) − f λ ( u ( t ) ) v ( t ) + g ( t ) v ( t ) dt .
(4)
0 ，则对所有的 v ∈ H1T ， 证明：由 Φ′ λ (u ) =
T Qt
0 的解，则 u 是方程(2)的 T-周期解。 引理 1 如果 u ∈ H1T 是欧拉方程 Φ′ λ (u ) =
T 0
(H2) lim F ( u ) = +∞ ，其中 F ( u ) = ∫ +
u →0
u
1
1 ds ； uγ ( s )
1 (H3) M : sup γ = : 0 < s < +∞ 是有界的； u s ( )
(H4) lim ( F ( u ) − gu ) = +∞ ，其中 g 定义为 g := ∫ g ( t ) dt 。
摘
*
要
奇异微分方程在天文学、物理学、生物学等学科中有着广泛的应用，本文应用变分方法，证明了二阶阻
通讯作者。
文章引用: 王燕华, 李胜军. 一类具阻尼的二阶奇异微分方程周期解的存在性[J]. 应用数学进展, 2017, 6(3): 348-356. https:///10.12677/aam.2017.63040
() 0= Φ′ λ (u ) v = ∫0 e u′ ( t ) v′ ( t ) dt + ∫0 e
T Q( t )
− fλ ( u ( t ) ) v ( t ) + g ( t ) v ( t ) dt .
即
() = ∫0 e u′ ( t ) v′ ( t ) dt
T Qt
∫0 e
T 0
程(1)很难应用变分法。本文，我们考虑 ∫ q ( t ) dt = 0 的情形，通过合理的假设，在适当的 Sobolev 空间
T 0
上建立方程(1)的相应的变分结构，利用“山路引理”，证明方程(1)至少有一个非平凡的 T-周期解。 定理 1. 假定条件 (H1) q, g ∈ C ( / T ) , γ > 1 ，且 ∫ q ( t ) dt = 0 ；
e
Q( t )
(5) (6) (7)
u′ ( t ) = ∫ e
t 0
Q( s )
g ( s ) − fλ ( u ( s ) ) ds + c ,
∫0 e
T
Q( t )
0, g ( t ) − fλ ( u ( t ) ) dt =
其中 c 为常数。由(6)，(7)，存在 u ′ ( t ) ，满足
T
Q( t )
fλ ( u ( t ) ) v ( t ) − g ( t ) v ( t ) dt .
容易知道 e
Q( t )
u ′ ( t ) 有弱导数，且
′ Qt (t ) eQ u′ ( t ) e ( ) = g ( t ) − fλ ( u ( t ) ) ,
x1 ∈ X \ Ω ，假定
max {ϕ ( x0 ) , ϕ ( x1 )} < inf ϕ ( u ) .
x∈∂Ω
令
c = inf max ϕ ( h ( s ) ) ,
h∈Γ s∈[ 0,1]
其中，
Γ =
{h ∈ C ([0,1] , X ) : h ( 0 )=
x0 , h (1) = x1 ,
Open Access
1. 引言及主要结果
变分学是研究泛函极值(以及更一般的临界值)的一个数学分支； 变分问题内容非常丰富， 从经典力学 到规范场论，物质运动的规律都遵从变分原理。临界点理论是近几十年来变分学发展最快的分支，同时 也有许多应用，特别是在微分方程解的存在性的证明中它是直接方法的一个重要补充[1]-[6]。 本文应用“山路引理”研究奇异阻尼微分方程
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2017, 6(3), 348-356 Published Online May 2017 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2017.63040