常微分方程A
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
常微分方程的基本概念
齐次方程化为可分离变量的方程去求解.
x
例1.4 求微分方程 y' y 1 的通解. x
解 令 y ux
则有 整理得 两边积分得 得
u x du u 1 dx
du dx x
u ln x ln C ln C x
y x ln C x
例1.5 求微分方程 x y ydx x2dy 0 的通解.
高等数学
常微分方程的基本概念
1.1 定义
定义1.1 含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.
如果微分方程中的未知函数是一元函数,则称这种方程为常微分方程.
如果微分方程中的未知函数是多元函数,则称方程为偏微分方程.
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.n 阶微分方程
的一般形式是
1.2 可分离变量的微分方程
定义1.3 如果一阶微分方程 经整理后能写成如下形式
F x, y, y' 0
g( y)dy f (x)dx 则称式(6-7)为可分离变量的微分方程.
(6-7) (6-8)
可分离变量方程解法是,对变量分离方程式(6 - 8),两边取
不定积分,即
g( y)dy f (x)dx
1.3 一阶齐次微分方程
定义1.4 如果一阶微分方程能化为
dy dx
f
y x
的形式,就称为一阶齐次微分方程,简称为齐次方程.
(6-10)
对于齐次方程,解法是令u y y xu 得
x
dy u x du f u
dx
dx
分离变量得
f
du
u u
dx x
这就是可分离变量的方程,也就是说,通过代换 u y , 可以把
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
《常微分方程》全套课件(完整版)
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
常微分方程基本概念
注1:称函数y (x, c1,, cn )含有n个独立常数,是指
存在(x, c1,, cn )的某一邻域,使得行列式
c1
(, ',, (n1) )
(c1, c2 ,, cn )
'
c1
(n1)
c1
c2
cn
'
c2
'
cn 0
(n1) (n1)
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.
求满足定解条件的求解问题称为定解问题.
常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初
始条件是指如下的n个条件:
当x
x 0时,
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
,,
d (n1) y dxn1
y (n1) 0
这里x0 , y0 , y0(1) ,, y0(n1)是给定的 n 1个常数.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的特解.
例如 y sinx, y cosx都是方程 y" y 0的特解. 可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0,得到 : y sinx,
c1 0, c2 1,得到 : y cosx.
3 定解条件
tx
dx dt
3
x
0;
d4x d2x (4) dt4 5 dt2 3x sin t;
都是常微分方程
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ;
x y
常微分方程
●凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
●未知函数是一元函数的，叫做常微分方程。
未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程。
●微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。
●在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数(解微分方程)，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。
这个函数就叫该微分方程的解。
●如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
●设微分方程中的未知函数为y=y(x),如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是x=x0时，y=y0,或写成y|x=x0=y0,其中x0，y0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：x=x0时，y=y0,y′=y0′,或写成y|x=x0=y0,y′|x=x0=y0′，其中x0，y0和y0′都是给定的值，上述这种条件叫做初始条件。
●确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。
●求微分方程y′=f(x,y)满足初始条件y|x=x0=y0的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作{y′=f(x,y);y|x=x0=y0}●可分离变量方程。
一阶可分离变量方程：dy/dx=f(x)/g(y),可分离变量为：∫g(y)dy=∫f(x)dx,设g(y)、f(x)的原函数分别为G(y)、F(x),则可解出方程的通解：G(y)=F(x)+C。
●例：求微分方程dy/dx=2xy的通解。
解：方程是可分离变量的，分离变量后得dy/y=2xdx,两端积分∫dy/y=∫2xdx,得ln|y|=x2+C1,从而y=±e C1e x2。
因±e C1仍是任意常数，把它记作C，便得方程的通解y=Ce x2。
●齐次方程。
如果一阶微分方程dy/dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可写成y/x的函数，即f(x,y)=φ(y/x),则称这方程为齐次方程。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结一、基本概念。
1. 常微分方程。
- 定义：含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。
例如：y' + 2y = 0，其中y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y 对x的一阶导数。
- 阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。
2. 解与通解、特解。
- 解：如果函数y = φ(x)代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称y=φ(x)是该微分方程的解。
- 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。
例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解（C_1,C_2为任意常数）。
- 特解：在通解中确定了任意常数的解称为特解。
比如在y = C_1e^x+C_2e^-x 中，当C_1 = 1,C_2 = 0时，y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：g(y)dy = f(x)dx。
- 解法：对等式两边分别积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。
例如对于方程y'=(x)/(y)，可化为ydy = xdx，积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C，即y^2=x^2+C_1（C_1 = 2C）。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))。
- 解法：令u=(y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的解法求解。
例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u = (y)/(x)，得到x(du)/(dx)=tan u，再分离变量求解。
什么叫做常微分方程
什么叫做常微分方程导论：在数学中，方程是研究数学问题最基本的工具之一。
所谓方程，就是包含未知数的等式或不等式，通过求解方程，我们可以找到满足条件的未知数的值。
常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是一类描述自然和科学现象中变化率的数学方程。
本文将介绍常微分方程的定义、特点以及一些解法。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数和它的导数之间关系的方程。
通常，常微分方程可以写成以下形式：dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
这个方程就是一个一阶常微分方程。
如果方程中含有更高阶的导数，那么它就是高阶常微分方程。
常微分方程的求解目标是找到满足方程的函数。
二、常微分方程的特点1. 未知函数与导数之间的关系：常微分方程是通过已知函数和它的导数来描述未知函数与其自身的变化关系。
换句话说，通过已知的输入和输出值，我们可以推断未知函数的变化规律。
2. 存在多个解：与代数方程不同的是，常微分方程往往具有多个解。
这是因为常微分方程描述的是函数的变化规律，而同一个变化规律可以对应不同的函数形式。
3. 初始条件：为了确定常微分方程的解，需要给出初始条件。
初始条件通常是未知函数在某个点的函数值和导数值。
通过给出初始条件，我们可以唯一确定一个解。
三、常微分方程的解法常微分方程的解法众多，常见的解法包括分离变量法、常数变易法、齐次方程法等等。
以下是其中两种常用的解法：1. 分离变量法：分离变量法适用于可以将方程中的变量分开的情况。
首先将方程两边的变量分开，变成一个只包含y的方程和一个只包含x的方程，然后对两个方程进行积分，最后解出y的表达式。
2. 常数变易法：常数变易法适用于一些特殊形式的常微分方程。
首先假设待解方程的解为y = u(x) * v(x)，其中u(x)和v(x)都是关于x 的函数，然后将y及其导数带入原方程，得到关于u(x)和v(x)的方程组，通过求解该方程组，最后解出u(x)和v(x)，再将它们代入y= u(x) * v(x)，得到方程的解。
常微分方程
曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积是
曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程。
（2018第25题）
设曲边梯形面积值为S,则S=1
设曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V,
则V=1 π2(x)dx
据题意V=πtS
24
4
在点（x,
3
24
+
+
处的切线斜率，求f(x)。（2019第25题）
）
3
微分方程求解
4
曲线y=
24
3 1
y’= +
6 3
4
就是y=
24
+
3
4
在点（x,
3
24
）处的切线斜率
3
+
+
OBPM梯形的面积=x[4+f(x)]/2
2
曲线三角形面积=
2
3
2x+xf(x)/2+=
例：求微分方程y’’+y=xcos2x的一个特解。
微分方程求解
设f(x)=sinx-0
− 为连续函数，试求
f(x)。（2015第25题）
f(x)=sinx-0 −
f(x)=sinx-x0 +0
对两边求导
1 2
c= ,t= y+
3
3
2
将t由x替代，曲线的方程为x=
常微分方程基本概念
目录
• 常微分方程的定义与分类 • 常微分方程的解法 • 常微分方程的应用 • 常微分方程的数值解法 • 常微分方程的稳定性 • 常微分方程的近似解法
01 常微分方程的定义与分类
定义
定义1
常微分方程是包含一个或多个未知函数的导 数的方程。
定义2
常微分方程是描述一个或多个未知函数随时间变化 的数学模型。
非线性系统的稳定性
01
非线性系统的稳定性是指系统在受到扰动后，能否 保持在一定的平衡状态。
02
非线性系统的稳定性可以通过分析系统的动态行为 来判断。
03
非线性系统的稳定性判据包括：局部稳定性和全局 稳定性。
稳定性判据
劳斯-霍尔维茨判据
用于判断线性时不变系统的稳定性，通过 计算系统的极点和零点来确定系统的稳定
参数法适用于一些难以直接求解的常微分 方程，通过引入参数，对方程进行变形， 使其转化为可求解的形式。这种方法在求 解某些特殊类型的常微分方程时非常有效 。
积分因子法
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常微分方程的方法。
详细描述
积分因子法适用于具有特定形式的常微分方程，通过引入积分因子，将原方程转化为易于求解的形式。这种方法 在求解某些特殊类型的常微分方程时非常有效。
牛顿第二定律
01
描述物体运动规律时，常使用常微分方程来表达加速度与力和
质量的关系。
波动方程
02
在研究波动现象，如声波、光波和水波时，常微分方程用来描
述波的传播规律。
热传导方程
03
在研究热量传递和扩散时，热传导方程用来描述温度随时间和
空间的变化规律。
生物问题
种群动态
第六讲 常微分方程
第六讲 常微分方程 一 知识点详解（一）常微分方程的概念 1内容展开（1） 定义：含有未知一元函数及其导数和自变量的方程称为常微分方程，简称微分方程 （2） 微分方程的阶：微分方程中含有的未知函数的导数色最高阶称为微分方程的阶 （3） 微分方程的解：1） 解得定义：将()y f x =带入微分方程，使方程称为恒等式，则称()y f x =是微分方程的解 2） 通解：微分方程的解中含有自由常数，且含独立自由常数的个数等于微风方程的阶数，则称该解为通解3） 特届：不含任意常数的解称为微分方程的特解。
求特解时，初始条件的个数等于微分方程的阶数 （二）一介微分方程 1 内容展开（1）变量可分离微分方程 1）方程形式()()'y f x g y =2) 解法 当()0g y ≠时，()()()()'dyy f x g y f x dx g y =⇔= 两边求不定积分()()dy f x dx C g y =+⎰⎰其中拨C 为任意常数，其中()dyg y ⎰表示函数()1g y 的一个原函数，()f x dx ⎰表示函数()f x 的一个原函数若0y 使()00g y =，则0y y =也是原方程的一个特解注：①尽可能把y 写成x 的函数，也尽可能把y 从对数中“解脱”出来 ②不要漏掉()00g y =这种常数解 （2）齐次微分方程 1）方程形式 'y y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭2）解法 令y u x =由于''y u xu =+，所以微分方程'y y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭变为()()'1u f u u x =-，这是关于未知函数u 的一个变量可微分方程，由此方程解得未知函数()u u x =，进而得到微分方程的解()()y x xu x =（3）一阶线性微分方程 1）方程形式 ()()'y p x yq x +=当右端项()q x 恒为零时称其为一阶齐次线性微分方程，否则称其为一阶非齐次线性微分方程 2）解法()()()p x dx p x dy y e q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (4)伯努利方程1）方程形式 形如()()()',0,1n y p x y q x y n +=≠2）解法 令1n u y -=，则伯努利方程变为()()()()'11u n p x u n q x +-=-，这是关于未知函数()u u x =的一个一阶线性微分方程 （5）全微分方程1）方程形式 ()(),,0p x y d x Q x y d y+=，若P Qy x∂∂=∂∂，该方程称为全微分方程 2）解法()()()()00,,,,x y x y P x y dx Q x y dy C +=⎰2 记忆方法（1）齐次微分方程和一阶齐次线性微分方程最终都要化为变量可分离微分方程求解 （2） 齐次微分方程的基本方法是：令y u x=; (3) 一阶非齐次线性微分方程的求解就是记公式 3 例题讲解【例6.1】微分方程()'1y x y x-=的通解是（） 解析：可分离变量微分方程()()11,y x x dy dy dx dx x y x--== 1,dy dx dx y x =-⎰⎰⎰即ln ln y x x C =-+所以xy Cxe -=【例6.2】微分方程'2ln xy y x x +=满足()119y =-的解为（） 解析： 将'2ln xy y x x +=化为'2ln y y x x+=带入通解公式得 222ln 2ln ln ln dx dxx x x x y e x e C e x e dx C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰221ln x xdx C x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 2ln 39x x C x x=-+由()119y =-求得0C =所以1ln 33x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【例6.3】 微分方程312dy y y dx x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y=（）解析：令y ux =，有dy du u x dx dx =+原方程化为312du u x u u dx +=-即 32du dx u x =-，积分得21ln x C u =+即22ln x y x C=+ 由于1,1,x y ==得C=1，所以得解y =（三）可降阶微分方程 1内容展开 （1） 方程()()n yf x =求n 次定积分得解（2） 方程()''',y f x y =这类方程的特点是不显含未知函数y ，显含自变量x ，令()'p x y =，则微分方程()''',y f x y =变为()',p f x p =，这是关于()p p x =的一个一阶微分方程（3） 方程()''',y f y y =这类方程的特点是不显含自变量x ，显含未知函数y ，令()'p y y =，则2'2d y d p d p d y p p d x dx dy dx===，因此微分方程()''',y f y y =变为()',p p f y p =这是一个以y 为自变量，()p y 为未知函数的一阶微分方程2记忆方法1） 方程形如()''',y f x y =时，令()'p x y = 2） 方程形如()''',y f y y =时，令()'p y y =3例题讲解【例6.4】微分方程()2'''0yy y+=满足初始条件'011,2x x yy ====的特解是（） 解析：令''',d p d p d y d p y p y p d x d y d x d y ===⋅=原方程化为：20dp yp p dy+=得00dpp yp dy=+=或 0p =不满足初始条件'01x y ==舍弃0dpyp dy +=按分离变量法解之得1C p y=由初始条件'012x y ==解得112C =于是得12dy dx y=解之得22y x C =+以'01x y ==带入，得21C =且取+号所以y =（四）二阶线性微分方程解得性质1内容展开()()()'''y p x y q x y f x ++= ①非齐次()()'''0y p x y q x y ++= ②齐次（1） 若12,y y 是②得解，则123c y c y +也是②的解，其中12,c c 为任意常数 （2） 若12,y y 是②得两个线性无关的解12y c y ⎛⎫≠⎪⎝⎭，则1122yc y c y =+ 是②的通解 （3） 若12,y y 是①的解，则12y y -为②得解（4） 若y是②的通解，*y 是①的特解，则*y y y =+ 是①的通解 （5） 若*1y 是()()()'''1y p x y q x y f x ++=得解，*2y 是()()()'''2y p x y q x y f x ++=的解，则**12y y +是()()()()'''12y p x y q x y f x f x ++=+得解 2记忆方法与线性代数中方程组得解的理论是类似的 3例题讲解 无（五） 高阶常系数线性微分方程 1 内容展开（1） 二阶常系数齐次线性微分方程1） 方程形式 '''0y ay by ++=，其中a,b 是常数 2） 解法（特征方程法）方程20a b λλ++=称为它的特征方程，特征方程的根12,λλ称为它的特征根 ①当12λλ≠且均为实数时，微分方程的通解是()1212xxy x C e C eλλ=+②当12λλ=时，微分方程的通解是()1112xxy x C e C xe λλ=+③当1,2i λαβ=±时，微分方程的通解是()()12cos sin x y x e C x C x αββ=+ （2） 高于二阶常系数齐次线性微分方程方法和二阶常系数线性微分方程类似（3） 二阶常系数非齐次线性微分方程 1） 方程形式()'''y ay by f x ++=2） 解法：由解得性质知，需找到对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，下找特解： ①右端项为()xn f x Pe μ=其中()n P x 为n 次多项式设方程的特解形式为()()*k x n yx x Q x e μ=，其中A) ()1110nn n n n Q x a x a xa x a --=++++ ，为n 次多项式的一般形式；B) k 的取值：当μ不是'''0y ay by ++=的特征根时，k=0 当μ是'''0y ay by ++=的单特征根时，k=1 当μ是'''0y ay by ++=的复特征根时，k=2 将()()*k x n yx x Q x e μ=代入微分方程()'''xn y a y b y P x e μ++=求出特定系数(),0,1,2,3,k a k n =②右端项为()()cos xn f x e P x x αβ=的方程，其中()n P x 为n 次多项式设方程的特解形式为()()()*cos sin k x n n yx x e Q x x W x x αββ=+⎡⎤⎣⎦其中“A ）()1110,nn n n n Q x a x a x a x a --=++++ ()1110,n n n n n W x b x b x b x b --=++++B)k 的取值：当i αβ±不是'''0y ay by ++=的特征根时，k=0 当i αβ±是'''0y ay by ++=的特征根时，k=1 将()()()*cos sin k x n n y x x e Q x x W x x αββ=+⎡⎤⎣⎦代入()'''c o s x n y a y b y eP xαβ++=求出待定系数(),0,1,2k k a b k n =注：数三只要求自由项为多项式函数，指数函数，正炫函数，余弦函数的二阶常系数非齐次方程 2记忆方法（1） 方程右端含有三角函数时，所设特解中有与微分方程右端项中最高次幂相同的多项式函数，相同的指数函数和kx （k 的取值取决于右端项中的指数函数x e μ中的μ的作为特征根的重数）（2） 方程右端含有三角函数时，所设特解中有与微分方程右端项中最高次幂相同的多项式函数，相同的指数函数，相同系数正炫函数与余弦函数，和k x （k 的取值取决于右端项中的指数函数x e μ和三角函数()cos sin x x ββ和中的i αβ±是否为特征根）3例题讲解【例6.5】求微分方程'''2432x y y y e -+=的通解解析：与所给方程对应的齐次线性微分方程为'''430y y y -+=它的特征方程为2430r r -+=得特征根121,3r r ==所以，对应齐次线性微分方程的通解为312x x Y C e C e =+由于2不是特征方程的根，故设该非齐次线性微分方程的特解为*2xy Ae=，将()()'''*2*2*2,2,4x x xy Ae y Ae y Ae ===带入原方程，有222244232x x x x Ae Ae Ae e -⋅+=解得2A =-所以*22x y e =-所以，原方程通解为*32122x x x y Y y C e C e e =+=+- （六） 欧拉方程 1内容展开（1） 方程形式 形如()2'''x y axy by f x ++=的微分方程称为2阶欧拉方程，其中a ，b是常数（2） 解法，当0x >时，令'x e =，欧拉方程变为()2'2(1)d y dya by f e dt dt+-+=，这时一个以t 为自变量，y 为未知函数的2阶线性常系数微分方程当0x <时，作变量代换'x e =-，可类似求解 2记忆方法当0x >时令'x e =；当0x <时，令'x e =- 3例题讲解 无 （七） 差分方程 1内容展开 （1）定义一阶常系数齐次线性差分方程 10t t y ay ++=一阶常系数非齐次线性差分方程 ()1t t y ay f t ++=其中()f t 为已知常数，a 为非零常数 （2）其次差分方程的通解通过迭代，并由数学归纳法可得一阶常系数齐次线性差分方程的通解为：()()tC y t C a =⋅-其中C 为任意常数（3） 非齐次差分方程的解得性质1） 若*y 是非齐次差分方程的一个特解，()C y t 是齐次差分方程的通解，则非齐次差分方程的通解为()*t C t y y t y =+2） 若1t y y 和分别是差分方程()11t t y ay f t ++=和()12t t y ay f t ++=的解，则1t y y +是差分方程()()112t t y ay f t f t ++=+得解 （4） 非齐次差分方程的特解形式非齐次差分方程()1t t y ay f t ++=的特解*t y 形式的设定如下表2记忆方法其次差分方程1t t y ay ++的通解为()()tC y t C a =⋅- 非齐次差分方程()1t t y ay f t ++=的特解*t y 形式设定如下3例题讲解【例6.6】差分方程121050t t y y t ++-=的通解为（） 解析：原方程的一般形式为1552t t y y t ++=对应的其次差方程为150t t y y ++=，其通解为()()'5C y t C =-（C 为任意常数）()52f t t =是t 的一次多项式且51a =≠-，故设原方程的特解*t y At B =+带入原方程得()()5152A t B At B t ++++=即5662At A B t ++=比较系数知 55,1272A B ==-故*51126t y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭从而原差分方程的通解为()()'*515126t C t y y t y C t ⎛⎫=+=-+- ⎪⎝⎭三 典型例题【例6.7】设函数()y x 连续，求解方程：()()2012xy s ds y x x +=⎰1） 分析：题目中遇到变项积分一般都是要求导数的 2） 解析：易判断()y x 可导，等式两端对x 求导得：()()'122y x y x x +=在原方程中令()000x y ==得从而得初值问题()'2400y y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩这是含初始条件时的一阶非齐次线性微分方程，由公式有：222421dx dx xy e xe C x Ce --⎛⎫⎰⎰=+=-+ ⎪⎝⎭⎰代入初始条件()001y C =⇒=所以221x y x e -=-+3） 备注：变限积分与微分方程综合考察时，注意确定初始条件，方法—令积分上下限取值相同 【例6.8】求微分方程''cos y y x x +=+1） 分析：自由项是函数之和时二阶常系数非齐次线性微分方程的特解利用解得叠加原理 2） 解析：原方程对应的 齐次方程''0y y +=的特征方程为210λ+=，特征根1,2,i λ=±故齐次方程的通解为12cos sin yC x C x =+ 设非齐次方程''y y x +=的特解为1y Ax B =+代入方程，得A=1，B=0所以1y x = 设非齐次方程''cos y y x +=的特解为2c o s s i n y Ex x Dx x =+代入方程得10,2E D ==所以21sin 2y x x = 由于12y y +为原方程''cos y y x x +=+的一个特解，所以原方程的通解为12121cos sin sin 2y yy y C x C x x x x =++=+++ 3）备注：数学三不要求自由项是函数之和时二阶常系数非齐次线性微分方程，但大家要学会自由项为一项时的二阶常系数非齐次线性微分方程，即数学三考生要学会解微分方程''y y x +=和''cos y y x +=。
完整版常微分方程总结
问题：
C2 [ y2 P(x) y2 Q(x) y2 ] 0 证毕
y C1y1(x) C2 y2 (x)是不是所给二阶方程的通解？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 .
2. 可分离变量方程的求解方法:法:
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
f (x) 0 f (x)
(Y P(x)Y Q(x)Y )
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伯努利 方程
dx x x
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第五节
第七章
可降阶高阶微分方程
一、
型的微分方程
二、
型的微分方程
三、
型的微分方程
解法：降阶
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一、y ( n)
f
(x)
型的微分方程
既不含未知函数y,也 不含未知函数的导数
令 z y(n1) ,
因此
解法: 连续积分n
但是
并不是通解！
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
常微分方程
（8-3）有形如式（8-5）的解，那么其
中的CC′（x）e-∫p（x）dx=Q（x）
求得C（x）=∫e∫p（x）dxQ（x）dx+C 将所得C（x）代回式（8-6）中，可得到非齐次
齐次线性微分方程（8-3）的求解问题也
就解决了. 这种通过把齐次方程通解中的任意常数
例
下面通过几何学、物理学的几个实例来具体说明微分方程的基本概念.
【例8-1】设曲线过点（1,2）且在曲线上任意点（x,y）处的切线斜率为2x,求该曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为y=f（x）,则由题意及导数的几何意义可知dy/dx=2x或dy=2xdx
上式两端同时积分,得y=∫2xdx=x2+C（C为任意常数） 又根据曲线过点（1,2）的条件知y|x=1=2,即12+C=2 解得C=1,故所求曲线的方程为y=x2+1
第 八 章
常微分方程
8.1 常微分方程的基本概念
8.2 一阶微分方程 8.3 可降阶的高阶微分方程 8.4 二阶常系数线性微分方程
目录
8.5 应用示例——新产品推广模型问题
8.6 数学实验八
8.1 常微分方程的基本概念
在解决实际问题时,常常需要建立与问题有关的各变量之间的函数关 系.这种关系有时能直接建立,有时却只能根据一些基本的科学原理建 立所求函数与其变化率之间的关系式,再从中解出所求的未知函数.
8.1 常微分方程的基本概念
上述两个实例讨论的都是已知未知函数导数（或微分）所满足的方程，求解未知函数的问 题，这就是微分方程问题. 定义8.1 含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分 方程称为常微分方程,简称为微分方程或方程;未知函数是多元函数的微分方程称为偏 微分方程.本书只讨论常微分方程.例8-1和例8-2中所建立的方程都是常微分方程. 不同类型的微分方程在解法上有很大的差异.因此,在解微分方程之前必须正确识别微 分方程的类型.所谓微分方程的类型主要指方程的阶、线性与非线性、变系数与常系 数、齐次与非齐次等.
偏微分方程和常微分方程
偏微分方程和常微分方程
偏微分方程和常微分方程是数学中两个不同的概念。
常微分方程是一个只包含一个自变量和其导数的方程，如y'=f(x,y)。
常微分方程用于描述单个变量随时间变化的规律，例如物理学中的运动方
程或生物学中的人口增长方程。
相反，偏微分方程包含多个自变量和它们的偏导数，如u(x, y, t)
满足的偏微分方程。
偏微分方程通常用于描述多个变量之间的关系，例如
物理学中的波动方程、热传导方程或流体力学中的Navier-Stokes方程。
总的来说，常微分方程用于描述单个系统的变化，而偏微分方程用于
描述涉及多个系统的变化。
微分方程中的常微分方程与偏微分方程
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它是描述自然现象和工程问题的数学模型。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程描述的是只涉及一个自变量的函数的导数关系，而偏微分方程描述的是涉及两个及以上自变量的函数的导数关系。
常微分方程即只包含一个自变量的导数的方程。
它可以描述一维变量的变化情况，比如物体在时间轴上的运动。
以牛顿第二定律为例，当只考虑一个物体在直线上的运动时，可以得到一个常微分方程： $m\frac{d^2x}{dt^2} = F$，其中 $m$ 是物体的质量，$\frac{d^2x}{dt^2}$ 表示物体在时间 t 上的加速度，$F$ 是物体所受的力。
常微分方程的解是一个函数，描述了物体在时间轴上的位置随时间的变化。
偏微分方程是涉及两个及以上自变量的函数的导数关系方程。
与常微分方程不同，偏微分方程描述的是多维变量的变化情况，比如物体在空间中的传热过程。
以热传导方程为例，假设物体的温度分布是一个函数 $u(x, y, z, t)$，可以得到三维空间中的偏微分方程：$\frac{\partial u}{\partial t} = k \cdot \nabla^2 u$，其中 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 表示温度随时间的变化率，$k$ 是热传导系数，$\nabla^2 u$ 表示温度的二阶空间导数。
偏微分方程的解也是一个函数，描述了物体在空间中的温度分布随时间的变化。
常微分方程和偏微分方程在理论和应用上都有重要的意义。
在理论上，它们为数学分析提供了丰富的对象和工具，丰富了数学的研究领域。
在应用上，常微分方程和偏微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和求解问题。
无论是描述天体运动、传热过程、生物动力学，还是分析控制系统、优化问题，微分方程都起到了重要的作用。
常微分方程和偏微分方程的研究方法各不相同。
对于常微分方程，传统的求解方法主要包括分离变量法、变量代换法、级数法等。
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三、求下列方程的通解或通积分（每小题６分，共24分）
1. )1(d d 2y x x y y -=
2. 2)(d d x y x y x y -=
3. x y x y
2e 3d d =+
4．1)ln (='-'y x y
四、计算题（每小题10分，共20分）
1．求方程x y y e 2
1
=-''的通解．
2．求下列方程组的通解．
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x t
y y x t
x
43d d 2d d
五、证明题（每小题10分，共20分） 1．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程
y x x
y
sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．
2．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(),(x q x p 在),(b a 上连续．试证明：若存在),(0b a x ∈使方程的两个解)(1x y ，)(2x y 同在0x 处取极值，则)(1x y ，)(2x y 不能是方程的基本解组．
答案：
三、求下列方程的通解或通积分（每小题６分，共24分） 1．解 当1≠y 时，分离变量得
x x y y
y
d d 12
=- （3分）
等式两端积分得 12
d d 1C x x y y
y
+=-⎰⎰
1222
1
1ln 21C x y +=-
12
22e ,e 1C x C C y --±==- 方程的通积分为
2
e 12x C y --= （6分）
2．解 令xu y =，则x
u
x u y d d +='，代入原方程，得 2d d u u x
u
x
u -=+，2d d u x
u
x
-= （2分）
当0≠u 时，分离变量，再积分，得
C x x
u
u +=-⎰⎰d d 2
（4分）
C x u
+=ln 1
，C x u +=
ln 1 即通积分为： C
x x
y +=
ln
（6分）
3．解 齐次方程的通解为
x C y 3e -= （2分）
令非齐次方程的特解为
x x C y 3e )(-= 代
入
原
方
程
，
确
定
出
C x C x +=5e 5
1
)(
（4分）
原方程的通解为 x C y 3e -=+
x
2e 5
1 （6分）
4．解 令p y ='，则原方程的参数形式为
⎪⎩
⎪
⎨⎧='+=p y p p x ln 1 （2分）
由基本关系式
y x
y
'=d d ，有 p p p
p x y y )d 11(d d 2
+-
⋅='= p p
)d 1
1(-= （4分）
积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为
⎪⎩
⎪⎨⎧
+-=+=C p p y p
p x ln ln 1 （6分）
四、计算题（每小题10分，共20分）
1．解 对应的齐次方程的特征方程为： 012=-λ 特征根为： 1,121-==λλ
故齐次方程的通解为：
x x C C y -+=e e 21
（4分）
因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为
x Ax x y e )(1= （6分）
代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 2
1e e e 2=-+， 可解出 41
=A ．
故
原
方
程
的
通
解
为
x x x x C C y e 4
1
e e 21++=-
（10分）
2．解 方程组的特征方程为 043
12=--=-λ
λλE A
即 0562=+-λλ 特
征
根
为
5
1=λ，
12=λ
（2分）
51=λ对应的解为
t b a y x 51111e ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
其中11,b a 是51=λ对应的特征向量的分量，满足
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--00543
15
211b a 可
解出
3
,111==b a ．
（5分）
同样，可解出12=λ对应的特征向量的分量为
1,122-==b a ． （8分）
故原方程组的通解为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡t t t t C C y x e e 3e e 2551． （10
分）
五、证明题（每小题10分，共20分）
1．证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理
条
件
． （2分） 显
然
1
±=y 是方程的两个
常
数
解． （4分）
任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10<y ．记过该点的解为
)(x y y =，由上面分析可知，一方面)(x y y =可以向平面无穷远处无限延
展；另一方面又上方不能穿过1=y ，下方不能穿过1-=y ，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为),(∞+-∞． （10分）
2．证明 由已知条件，该方程的任一解都在区间),(b a 上存在． （2分）
若)(),(21x y x y 在0x 处取极值，则必有
0)()(0201
='='x y x y （4分）
成立，于是由解)(),(21x y x y 构成的朗斯基行列式)(x W 在0x 处的值为 )()()
()
()(02
01
02010x y x y x y x y x W ''==
)()(0201x y x y = 0
（8分）
故)(),(21x y x y 不能构成该方程组的基本解组，因为构成基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ，
),(b a x ∈． （10分）。