数学实验第3章 高等数学计算[1]

f2=diff(f1); q=solve(f2); double(q) ans=-5.2635 -1.3682-0.8511i -1.3682+0.8511i q=q(1); ezplot(f,[-9 6]) hold on plot(double(q),double(subs(f,q)),’ro’) title(‘函数的拐点’) R( x ) 2(3 x 3 24 x 2 51 x 41) ( x 2 x 3) 3 text(-7,2,’拐点’)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-6
-4
-2
0 2 x 4/(5+4 cos(x))2 sin(x)
4
6
1
0.5
0
-0.5
-1 -6 -4 -2 0 x 2 4 6
可视化符号函数分析界面
1、单变量函数分析的交互界面 单变量函数分析界面用于考察两个一元函数各自性质 及其相关关系。该函数计算器由funtool.m文件生成。 在MATLAB命令窗口中键入命令 funtool 系统将产生三个新窗口。其中，1号和2号窗口 （Figure No. 1，Figure No. 2）是函数曲线窗口，3号 窗口（Figure No. 3）是函数运算控制器。系统初始状 态时时刻，三个窗口中只有3号窗口处于激活状态，另 两个处于睡眠状态。用鼠标单击1号（或2号）窗口， 可激活该窗口，同时使原处于激活状态的窗口转换到 睡眠状态。
第3章 高等数学计算
符号表达式及其应用
微积分基本运算
Taylor级数展开 常微分方程求解
MATLAB的符号计算
在数学、物理及各类工程应用中, 除了数值计算外, 还常常需用符号计算. 一般的计算机语言平台只能 实现数值计算, 早期的MATLAB也不能实现符号计 算。1993年MathWorks公司购买了MAPLE的使用 权,并开发出实现符号计算的工具箱——Symbolic Math Toolbox. 符号计算需要使用专门函数，功能包括有微积分、 线性代数、方程求解、积分变换等。在MATLAB数 值计算和字符串操作中,变量通过赋值语句创建.但 是符号计算中的变量在使用前，必须要用关键词 syms (或其它函数)创建。
化简符号表达式方法——simplify
例3.4 用符号计算验证三角恒等式
sinx1 cos x2 cos x1 sinx2 sin(x1 x2 )
syms x1 x2; y1= sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2); y2=simple(y1) expand(y2) y2 = sin(x1-x2) ans = sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2)
1 2 1 4 sin x 1 ( x ) ( x ) 2 2 24 2
1 2 2 x 1 (ln x )t (ln x ) t 2
t
例9. 麦克劳林展开函数
syms x f=1/(5+4*cos(x)) T=taylor(f,8) Pretty(T)
1 f ( x) 5 4 cos(x )
f1=diff(f); ( 3 x 2 16 x 17) R( x ) ( x 2 x 3) 2 c=solve(f1) c= [-8/3-1/3*13^(1/2)] [-8/3+1/3*13^(1/2)] ezplot(f) hold on plot(double(c),double(subs(f,c)),’ro’) title(‘函数的极大值和极小值’) text(-5.5,3.2,’局部极小值’) text(-2.5,2,’局部极大值’) hold off
2 4 49 6 1/9 + 2/81 x + 5/1458 x + --------- x 131220
例3.7计算 f = 1/(5+4cos(x)) 关于x的导数
1/(5+4 cos(x))
syms x f=1/(5+4*cos(x)) ezplot(f) f1=diff(f,x,1) ezplot(f1) f1 = 4/(5+4*cos(x))^2*sin(x)
将当前函数插入典型函数表中代演示 将1号窗口中函数从典型函数表中删除 返回初始演示状态 close
关闭函数计算器
3x2 6x 1 例5.求函数R( x ) 的渐近线、极值、 2 x x3
拐点，并作图.
syms x
n=3*x^2+6*x-1； d=x^2+x-3; f=n/d; limit(f,inf) ans=3 roots=solve(d) roots=[-1/2+1/2*13^(1/2)] [-1/2-1/2*13^(1/2)]
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例4.将f(x)=1/x3与g(y)=tg(y)复合并化简 h1 = syms x y 1/tan(y)^3 f=1/x^3;g=tan(y);
h1=compose(f,g); pretty(h1) h2=compose(g,f),pretty(h2) 复合与化简命令:
1 ----------3 tan(y)
p5=limit(1/x,x,0,'left')
p6=limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) %求第六个极限 v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)]; p7=limit(v,x,inf,'left') %定义向量函数
%求第七个极限
x2 1 sin x 得：1 . lim x 0 1 lim 2 x2 x 4 4 x
练习:分别用simple和simplify对符号表达式 cos(x)^2-sin(x)^2 进行化简，观察结果
微积分基本运算
int(f,v) — 对f表达式的v变量求积分 int(f,v,a,b) — 对v变量求区间[a,b]上的定积分 diff(f,v) — 对指定变量v求微分,
diff(f,v,n) —对指定变量v求n阶微分
cos x 第一个文本框中的函数f(x)换为 1 x 2，第二个文本 1 框中的函数g(x)换为 5 4 cos x
则另两个窗口的函数图形会发生变化，如下图所示。
3
swap insert delete reset
交换 f(x) 和g(x).
cycle
顺序演示典型函数表中函数 help demo 帮助文件 自动演示
f = exp(-1/5*x) * sin(1/2*x)
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符号表达式中变量替换
S1=subs(S, ‘old’, ‘new’)修改表达式
例2. 输入不同的参数a,b绘制函数的图形 f(x)=exp(a x)sin(b x) function mlab32(a1,b1) syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,a1); f2=subs(f1,b,b1); ezplot(f2,[0,2*pi])
mlab32(-0.6,0.5)
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数据转化为数值数据: double(A) numeric(A) 例3. 计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 0 x 2
绕X轴旋转的旋转曲面体积
S2 [ f ( x )]2 dx
0 2
function V=mlab32(a1,b1) syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,a1); V=mlab32(-.2,.5) f2=subs(f1,b,b1); double(V) V=pi*int(f2*f2,x,0,2*pi); ans = 3.1111
1 4 . xlm i 0 x
x2 2 . lxi 2 2 m x 4
1 5 . xlm i 0 x
%定义符号变量
%求第一个极限 %求第二个极限
p3=limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) %求第三个极限 p4=limit(1/x,x,0,'right') %求第四个极限 %求第五个极限
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syms 符号变量1 符号变量2 … 例1. 用符号表达式定义 f = e – 0.2x sin (0.5x)并绘图. syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot( f ) ezplot(f,[0,2*pi]) 绘表达式f=f(x)的图
绘图区域
-2*pi<x<2*pi ezplot(f, [a,b]) 绘图区域：a<x<b
例19、 对下列函数做台劳级数展开
（1）e-x在 x=0处作5阶展开，（2）ln x 在x =1处作5阶展开
（3）sin x在x =/2 处5阶展开；（4）xt 在 t =0处作2阶展开。 syms x t T1=taylor(exp(-x))
returns 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4-1/120*x^5
函数的台劳（taylor）级数展开 一元函数f(x) 的台劳（taylor）级数展开命令格式为 taylor(f，n，a) 其中，f为函数表达式，n确定级数最高项次数为(n – 1)， a指定函数在某一点展开。
taylor(f) 得到函数f.的五阶麦克劳林多项式逼近；
taylor(f,n) 得到函数f.的(n-1)阶麦克劳林多项式逼近 taylor(f,a) 得到f的关于点a的台劳多项式逼近。 taylor(f,x) 使用自变量x做台劳级数展开。
T2=taylor(log(x),6,1) x-1-1/2*(x-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/4*(x-1)^4+1/5*(x-1)^5 T3=taylor(sin(x),6,pi/2)