基于非线性状态空间投影的混沌序列消噪算法

第36卷第4期2010年4月北京工业大学学报JOURNAL OF BE I J I N G UN I V ERSI TY OF TECHNOLOGYVol .36No .4Ap r .2010基于非线性状态空间投影的混沌序列消噪算法任明荣,王　普,方　滨(北京工业大学电子信息与控制工程学院,北京　100124)摘　要:针对混沌信号和噪声在状态空间中吸引子的不同表现形式,研究了一种基于非线性状态空间投影的混沌时间序列消噪算法.对仿真信号和实际测量信号都进行了实验,得到了较好的噪声消除效果.其中仿真信号是受到50%高斯白噪声污染的Lorenz 信号;实测信号是从孕妇腹部测得的一导联混合信号.模拟仿真和半实物仿真都体现了该算法在混沌信号消噪方面的应用价值.关键词:非线性状态空间投影;消噪;混沌时间序列;胎儿心电信号;Lorenz 信号中图分类号:T N 96516文献标志码:A 文章编号:0254-0037(2010)04-0445-05收稿日期:2008210220.基金项目:北京工业大学博士科研启动基金(52002011200706);北京工业大学校青年科研基金(52002011200806).作者简介:任明荣(1977—),女,辽宁东港人,讲师. 近年来,对混沌时间序列的研究已成为一个热点问题,尤其是通过测量时间序列重构系统动力学模型、对系统进行预测分析等等.然而,在混沌序列中噪声的存在会严重影响预测、控制及对系统特性的估计.文献[1]表明,当噪声水平超过时间序列的1%时,采用距离小于吸引子3%时,就不能正确估计吸引子的相关维数.因此,要进一步分析研究混沌时间序列就必须先消除混沌序列中的噪声.任何噪声消除方法都假设在某一个客观标准下,可以将时间序列近似分为噪声和有用信号[2].传统的滤波方法(如基于频谱的傅里叶分析方法)假设有用信号频谱和噪声的频谱在不同的频率范围内,但是,对于混沌时间序列,由于其本身的频谱与随机噪声的频谱具有相同的宽频谱特征,所以传统的线性滤波方法并不适用.非线性动力学理论能较好地解决混沌时间序列消噪问题.在非线性动力学分析中相空间理论是重要工具,该理论指出系统的动力学行为在相空间中表现为吸引子的形式,混沌运动表现为奇怪吸引子,噪声在相空间中随机分布[3].在基于相空间理论的非线性时间序列降噪方法中非线性局部投影算法是较为重要的方法[1],并在很多方面取得了较好的应用[426].1　非线性局部投影算法原理根据Taken 定理[7],系统观测序列{x n }以向量x n ={x n -(m -1)τ,x n -(m -2)τ,…,x n -τ,x n }(1)形成m 维空间,只要m ≥2d +1,则原动力系统的任何微分或拓扑不变量可以在重构的相空间中计算.其中,d 是系统吸引子的维数,τ为延时时间,m 为嵌入维数.即原动力系统可以用非线性方程近似估计F (x n )=F (x n -(m -1)τ,…,x n ,x n +1)=0(2)对式(2)在某一邻域r 内局部线性化,得到a (n )・R (x n -x (n ))=0+O (‖x n -x (n )‖2)(3)其中,x (n )=1|u (n )|∑n ′∈u (n )x n ′是延时矢量x n 在邻域u (n )中的质心,|u (n )|是在邻域内延时向量的个数;R 为对角矩阵,其作用主要抑制相点的第1个元素和最后1个元素,保留稳定的中间点,因此R 11和R mm 的值比较大,其他R ii =1;a (n )为方向阵.当存在观测噪声时,即北　京　工　业　大　学　学　报2010年y n =x n +δn (4)式(3)变为a (n )・R (y n -y (n ))=εn(5)即存在一个误差εn .式(5)说明,由于噪声在相空间中随机分布,使得吸引子在相空间中a(n )方向上不能被局部线性化.当非线性动力系统没有受到噪声污染时,系统可以用m 0维空间描述;当受到噪声污染时维数会增加变成m 维(m >m 0).因此在子空间Q =m -m 0中存在的延时向量y n 一定是受到了噪声的干扰,没有受到干扰的x n 是不会延伸到这个空间中.所以,在该子空间中存在互相正交的向量a q,q =1,…,Q 能分别满足式(3)、(5).确定该空间,并修正存在于该空间的延时向量y n 就可以达到消噪的目的.局部投影算法就是将z n =R (y n -y(n ))在子空间Q 中投影,该投影为z (n )0=∑Q q =1〈z n ,a q 〉a q .为确定该子空间需要保证∑n ′∈u (n)∑Q q =1〈z n ′,a q 〉a q 最小,同时,向量a q ,q =1,…,Q 为单位正交向量,即,a q ・a q ′=0,q ≠q ′.于是该问题就变成了一个有约束条件的最小值计算.可以用拉格朗日乘子法解决L =∑n ′∈u (n)∑Q q =1〈z n ′,a q 〉a q -∑Qq =1λq (a q ・a q -1)(6)求解该方程,对每个q 有C a q -λq a q =0(7)式中C 是m ×m 阶的协方差矩阵C ij =∑n ′∈u (n )(z n ′)i (z n ′)j (8)其中(z n ′)i 表示取向量z n ′的第i 个元素,i,j =1,…,m.方程(7)就是求C 的特征值λq 和特征向量a q .方程(6)的最小值就是由Q 个最小的特征值所对应的特征向量所确定的.因此,对延时向量z n 的修正算法为^z n =z n -∑Qq =1〈z n,a q 〉a q (9)原始向量y n 的修正算法为^y n =y n -R -1∑Q q =1〈R (y n -y (n )),a q 〉a q (10)2　非线性局部投影算法的步骤对以上分析进行总结,得出非线性局部投影算法的步骤:1)利用互信息法[8]和虚假邻域法[9]分别确定延时时间τ,嵌入维数m ,重构相空间y n ={y n -m +1,y n -m +2,…,y n };2)根据经验法和观察法确定局部线性化邻域半径r ;3)计算邻域半径内向量的个数|u(n )|及向量的质心y (n )=1|u (n )|∑n ′∈u (n )y n ′;4)计算协方差矩阵C (n )ij =∑n ′∈u (n )[R (y n ′-y (n ))]i [R (y n ′-y (n ))]j ;5)寻找关于协方差矩阵C (n )ij 的Q 个最小特征值组成的正交特征向量a q ,q =1,…,Q,按照式(10)对实际信号进行修正,消除噪声部分;其中Q 值的选取是使Q 个特征值的累计贡献率小于25%,即∑Qi =1λi ∑m i =1λi ≤25%(11)6)返回步骤2)直到所有相点都处理完毕;644　第4期任明荣,等:基于非线性状态空间投影的混沌序列消噪算法7447)为了将y n重构回原来的标量信号,可以简单的将每个矢量信号中标量y n取平均值.3　局部投影算法的应用311　L orenz信号消噪 Lorenz信号是一个典型的混沌信号,其方程为d x=σ(y-x)d td y=x(θ-z)-yd td z=xy-bzd t首先将该算法用于消除Lorenz方程中x轴受到50%高斯白噪声污染,50%的含义是指噪声的标准偏差是干净的Lorenz方程的x轴时间序列标准偏差的50%.方程中参数(σ,θ,b)=(10,28,8/3),初始值(x,y0,z0)=(15134,13168,37191).采用四阶龙格库塔积分算法,步长h=0101.数据长度取为3000点, 0抛弃前2000个不稳定的数据点.根据非线性局部投影算法的步骤对Lorenz信号消噪,其中延时时间τ= 1,嵌入维数m=5;R11和R mm的值为103;根据式(11)确定Q值;根据经验值确定4次投影中邻域半径r分别为19、12、7、5,从图1中可以明显看出消噪的效果.经过4次局部投影后,噪声已经明显减少了,说明该方法在混沌信号消噪方面的有效性.图1　受到噪声污染的Lorenz信号消噪过程Fig.1　Pr ocess of denoising Lorenz signal312　胎儿心电信号的提取20世纪70年代,生物学家发现人类心脏是一个复杂的非线性动力学系统,并存在混沌现象[10].从孕妇体表测得的混合信号中,除了包括胎儿心电信号、母亲心电信号,还包括50Hz工频干扰、基线漂移、随机干扰等.其中母亲心电信号的幅值要远大于胎儿心电信号的幅值,其频谱与胎儿心电信号的频谱几乎重合,因此基于傅里叶变换的方法在胎儿心电信号提取中并不适用.为了实时监测胎儿心脏的健康状况必须滤除母亲心电信号及其他噪声[11].图2(a)是实际测得的孕妇腹部采集的一个导联的混合信号,该信号是通过放置于孕妇腹部的电极采集的.数据来源于Database f or the I dentificati on of Syste m(Da I Sy)[11],采样率为250Hz.混合信号中,除了北　京　工　业　大　学　学　报2010年包含母亲、胎儿心电信号外,还含有各种噪声.图2(b )和(c )是经过第1次投影后分离出的胎儿心电信号和母亲心电信号,其中各参数的值分别为:嵌入维数m =11;延时时间τ=4;利用观察法确定邻域半径r =20;根据式(11)确定Q 值;R 11和R mm 的值为103.图2(b )是提取的胎儿心电信号波形,从图中可以看出,虽然QRS 波形清晰可见,但是提取的胎儿心电信号波形中包含有大量的噪声,提取效果受到一定的影响.为此对提取的胎儿心电信号进行第2次投影,分别分离出胎儿心电信号和噪声分量,如图3所示.其中邻域半径r =10,其他参数同上.从图3的波形中可以看出提取的胎儿心电信号的噪声几乎完全消除.图2　第1次投影提取胎儿心电和母亲心电信号Fig .2　The extracti on of FECG and MECG f or the first ti m e 图3　对图2(b )的胎儿心电信号再一次投影提取的胎儿心电信号和噪声Fig .3　The extracti on of FECG and noise for the second ti m e4　结束语由于混沌信号的宽频谱特性,传统的基于傅里叶分析的滤波方法不再适用.作者利用混沌信号在状态空间中吸引子的不同表现形式,研究了一种非线性局部投影的混沌信号噪声消除算法,并将该算法应用于Lorenz 仿真信号及实测的孕妇腹部混合信号,分别用于去除高斯噪声和提取微弱的胎儿心电信号,都得到了较好的效果,表现出该算法在混沌信号消噪方面的强大潜能.参考文献:[1]K OSTE L I CH E J,SCHRE I B ER T .Noise reducti on in chaotic ti m e 2series data:a survey of common methods[J ].PhysicalReview E,1993,48(3):175221763.[2]PETER G,RA I N ER H,HOLGER K .On noise reducti on methods f or chaotic data[J ].Chaotic,1993,3(2):1272141.[3]HOLGER K,THOMAS S .Nonlinear ti m e series analysis[M ].England:Ca mbridge University Press,2003.[4]徐金梧,吕勇,王海峰.局部投影算法及其在非线性时间序列分析中的应用[J ].机械工程学报,2003,39(9):1462150.XU J in 2wu,L ΒYong,WANG Hai 2feng .Local p r ojecti on method and it’s app licati on on nonlinear ti m e series[J ].Chinese Journal of M echanical Engineering,2003,39(9):1462150.(in Chinese )[5]HEGGER R,K ANTZ H,MAT ASSI N IL.Noise reducti on for hu man s peech signals by l ocal p r ojecti ons in e mbed 2ding s paces[J ].I EEE Transacti ons on Circuits and Syste m s I :Funda mental Theory and App licati ons,2001,48(12):145421461.[6]李亚安,贾雪松,孙进才.基于局部投影理论的水声信号降噪处理研究[J 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Reducti on of Chaoti c Ti m e Ser i esUsi n g Non2li n ear St ate Space Projecti onREN M ing2r ong,WANG Pu,F ANG bin(College of Electr onic I nfor mati on and Contr ol Engineering,Beijing University of Technol ogy,Beijing100124,China) Abstract:For the difference of attract or bet w een chaotic signal and noise in state s pace,W e p resent a non2linear state s pace p r ojecti on algorithm t o reduce the noise of chaotic ti m e series.Good results have been achieved on both m i m ic signals and p ractical measure ment signal.The m i m ic signal is x2axial of Lorenz equati on conta m inated with50%Gaussian white noise.The p ractical measure ment signal is get fr om one single cutaneous potential recording of a p regnant mother carrying the fetus.The results indicate the effectiveness of the algorithm in reducing noise of chaotic ti m e series.Key words:Non2linear state s pace p r ojecti on;Noise reducti on;Chaotic ti m e series;FECG;Lorenz signal(责任编辑　郑筱梅)。