构建仿射坐标系解题
高中数学构建仿射坐标系解题
构建仿射坐标系解题湖北省阳新县高级中学邹生书直角坐标系和斜角坐标系统称为仿射坐标系，直角坐标系是仿射坐标系的特例，斜角坐标系是直角坐标系的类比推广.本文通过类比直角坐标系下点的坐标、向量坐标、直线方程等有关知识，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题.一、仿射坐标系下的向量共线问题我们知道在直角坐标系下共线向量有如下结论：若，则。
同样在仿射坐标系下此结论仍然成立。
例1已知向量，则实数的值是( )解法1(常规解法)因，故，.又，所以，解得，故选.解法2由，知不共线，以原直角坐标系的原点作为原点，以作为单位基底建立仿射坐标系，则，因为，所以，所以，故选.例2已知向量其中不共线，向量.问是否存在这样的非零实数，使向量与共线?解法1（常规解法）因为，若与共线，因，所以存在实数，使得，即，所以，消去得，故存在这样的非零实数，只要，就能使向量与共线.解法2因不共线，在向量平面内任取一点作为原点，以作为单位基底建立仿射坐标系，则，同法1得.若向量与共线，则，解得，故存在这样的非零实数，只要，就能使向量与共线.二、仿射坐标系下向量的线性表示问题例3如图1，在中，，和交于点.试用向量和表示向量.解以为坐标原点，以作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系如图1所示.因为，所以，.所以直线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即①.直线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即②.解①②得，则点的坐标为，所以.图1例4在平行四边形中，，与相交于点，若，则( )解以为坐标原点，以作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系如图2所示.因为，所以，.所以直线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即①.直线在仿射坐标系下的“斜率”为，故直线在仿射坐标系下的“点斜式”方程为②.解①②得，则点的坐标为，所以，故选.图2三、仿射坐标系下的线性规划问题下面在类比思想的引领下用仿射坐标系下的线性规划解法解一类向量创新问题.例5(2011南昌联考)已知是内任一点(不包括三角形边上的点)，且满足，则的取值范围是＿＿解以为原点以作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图3所示，设则，又因为，于是有，则，设即该方程表示直线，当直线过点时，，当直线过点时，。
建立仿射坐标系,证明两个重要定理
。 一
Ｙ ’ ｏ
ＢＤ ＣＥ Ａ Ｆ
— ＤＣ ‘
： 一
。 面
－ — —
ｚ （４ （ ×， ×一 ） ｙ ４ 一 － ）
即 ４ － ｙ＝ ４ ｘｑ ３ ． （） ４
二 ． 兰 ．ｂ ｙｏ Ｘ （ 一 ） 口 ｏ６ 一 ｏ Ｙ ｏ
一 一 １ ．
轴 于 Ｍ ， Ｘ＝ ２ ＰＸＭ ＝６ 。 Ｉ Ｍ Ｉ Ｐ ， Ｏ ， Ｐ ＝２＊
ｓｎ６ 。 ｉ ０一 ，ＸＭ Ｉ １ 所 以 ｌ 一 ，
原点 的两 条数 轴 ， 成 了平 面仿 射 坐标系 ． 构 如 两条 数轴 上 的度 量 单 位 相 等 ， 称 此 仿 射 坐 则 标 系为笛 卡 尔 坐标 系． 条 数轴 互 相 垂 直 的 两
设 向量 Ｐ，。 ｅ 是平 面 内一 组基底 ， ｉ ｅ 当ｔ 。
＋ｉ ｅ＝０时 ， 有 ． 一 ＝０ ｔ ２ ２ 恒 ： 【 ２ ． １
中， 立仿射 坐标系 ， 建
设 Ａ（ ０ ， ３ ０ ， ０， ） Ｂ（ ， ） Ｃ
（ ， ） Ｅ （ ， ）， （ Ｏ ４ ， ２ ０ Ｆ ０， 图２
在平 面 斜 坐 标 系 中 ， ｅ ，ｚ为 ｘ ｙ平 记 ｅ Ｏ 面 上 的单 位 向量 ， 平 面 上 任 一 向量 ｍ可 表 则
示 为 ：ｌ Ｊ一埘 ｌ ， ＋ ２或 者 说 ： （ ． ， ｍ一 ｚ，
１ 建 立仿射 坐标 系 。 明两个 重 要定理 证
３ ， 在仿 射坐标 系 下 ， ）则 直线 Ｂ Ｆ的方程 为
由 （）（） １ ， ２ 可知 Ｍ（ ，） １２ ．
所以 一（ ，） 而 ＝（ ， ）－Ｐ １２ ， ２ｏ ， 一 Ａ
图１ （ ， ） 于是 由 ｏ３ ， 一ｚ ＋ 可知
仿射原理坐标轴变幻解析
仿射原理坐标轴变幻解析在几何学中，仿射原理是一个重要的概念，它描述了平面上的点在坐标轴变幻中的性质变化。
本文将通过解析仿射原理下的坐标轴变幻，探讨其背后的数学原理和几何意义。
一、仿射原理简介仿射原理是指，在平面上的点在坐标轴变换中，经过一系列线性和平移变换后，其位置关系保持不变。
也就是说，无论进行何种坐标轴的变换，点与点之间的相对位置和角度保持不变。
这个原理的重要性在于它可以解释许多几何问题，并为几何变换和坐标变换提供了便利。
二、仿射原理与坐标轴变幻的关系在坐标轴变幻中，我们通常涉及平移、旋转、缩放和错切等变换。
这些变换可以分别表示为矩阵乘法的形式，从而方便进行计算和推导。
下面我们将通过具体的例子来说明。
首先，考虑对坐标轴进行平移变换。
假设有一个平面上的点P(x, y)，我们想将它平移到新的坐标系中的点P'(x', y')。
根据仿射原理，我们可以将这个平移变换表示为如下的矩阵乘法形式：[x'] [a c][x] [e][y'] = [b d][y] + [f]其中(a, b, c, d)表示平移变换的矩阵，(e, f)表示平移变换的向量。
接下来，考虑对坐标轴进行旋转变换。
假设有一个平面上的点P(x, y)，我们想将它旋转到新的坐标系中的点P'(x', y')。
同样地，根据仿射原理，我们可以将这个旋转变换表示为如下的矩阵乘法形式：[x'] [cosθ -sinθ][x] [e][y'] = [sinθ cosθ][y] + [f]其中θ表示旋转的角度，(e, f)表示旋转变换的向量。
类似地，我们可以通过矩阵乘法的形式表示其他坐标轴变换，如缩放和错切等。
三、仿射原理坐标轴变幻的几何意义通过以上的解析，我们可以看到仿射原理在坐标轴变换中的重要作用。
它帮助我们理解了点的位置关系在变换中的不变性，从而揭示了几何对象在变换中的特性。
仿射变换大全秒杀解解析几何(含答案)_20190319135006
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若椭圆 C1 的方程为 + =1（m＞n＞0），椭圆 C2 的方程为 + =λ
（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的λ倍相似椭圆．已知椭圆 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆．若 过椭圆 C 上动点 P 的切线 l 交椭圆 C2 于 A，B 两点，O 为坐标原点，试证明当切线 l 变化时|PA|=|PB| 并研究△OAB 面积的变化情况．
k PQ
2kPQ
；令
PQ 倾斜角为
， PQ 中点为 M
， OM
2 cos
，
PM QM 1 2 cos 2
，
故
SOPQ 2 cos 1 2 cos 2
2 cos 2 1 2 cos 2 1 ，
2
当 仅 当 2 cos 2 1 2 cos 2 cos 2 时 ， 等 号 成 立 ， 此 时
坐标拉伸秒杀椭圆问题（一）
秒杀秘籍：利用伸缩法解决椭圆问题
x2 a2
y2 b2
1
x x x x
y
a b
y
y
b a
y
x'2 y'2
a2
拉伸后点的坐标变化：A（
x0
,
y0
）→
A'(x0 ,
a b
y0 )
,横坐标不变，纵坐标拉伸
a b
倍。
斜率的变化：如图纵坐标拉 伸了 a 倍，故 k ' a k
2．x2+y2=1 经过伸缩变换
，后所得图形的焦距（ ）
A．4 B．2
仿射坐标在高中数学解题中的应用
仿射坐标在高中数学解题中的应用作者：杨新鹏来源：《数学教学通讯·高中版》2016年第07期[摘要] 高中阶段的几何题，往往采用的是建立直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决，但是由于直角坐标系的特殊性，并非所有的题目都容易建立直角坐标系，仿射坐标系在建系上比较灵活，而且学生容易掌握.[关键词] 仿射坐标系；直角坐标系；高中数学解题高中阶段的平面几何和立体几何题，往往采用的是建立直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决，但是由于直角坐标系的特殊性，并非所有的题目都容易建立直角坐标系，仿射坐标系在建系上比较容易，而且学生容易掌握. 在某些题中运用仿射标系可以给运算带来简便.仿射坐标系：平面内任意给定一点O和两个不共线的向量e1，e2，则任意一个向量都可以表示成e1，e2的线性组合，=xe1+ye2，则把e1，e2称为平面内的一组基，则有序数组（x，y）称为m在仿射坐标系[O；e1，e2]中的坐标，类似地可以定义空间中的仿射坐标.易知：当e1，e2（e1，e2，e3）为两两垂直的单位向量时，仿射坐标系变为直角坐标系，仿射坐标系具有以下性质：（1）？摇仿射坐标系中向量坐标的加减运算、数乘运算、线性表示与直角坐标系保持一致，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.（2）？摇在仿射坐标系中共线向量的判别条件与直角坐标系保持一致，即对应坐标成比例.（3）？摇在仿射坐标系中线段的定比分点公式与直角坐标系保持一致.证明：向量的运算法则在射影坐标系下保持不变，由向量坐标的运算、共线向量的性质，易知结论（1）（2）（3）成立，由（3）可知，射影坐标系可以解决等分点问题.例1 在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=________.解：如图2所示，建立仿射坐标系，设A（0，0），B（b，0），C（0，c），则M0，c，Nb，c，？摇？摇？摇=b+-c，x=，y=-.例2 平面内给定两个向量，已知a=（3，2），b=（2，9），若满足（a+4b）∥（-3a-kb），则求k的值.解：因为a=（3，2），b=（2，9）两向量不共线，所以以a和b为基底的单位向量建立平面方射坐标系，则（a+4b）=（1，4），（-3a-kb）=（-3，-k）.？摇因为（a+4b）∥（-3a-kb），所以1×（-k）=4×（-3），即k=12.例3 证明：四面体对棱中点的连线交于一点.？摇证明：如图3，四面体A-BCD中，E，F，G，H，M，N为棱的中点，取空间仿射坐标系，则各点坐标分别为： E，0，0，F0，，，G，，0，H0，0，，N0，，0，M，0，.设EF与GH交于一点O（x，y，z），设=λ1，=λ2，由定比分点公式可得：x==，y==，z==.解得：λ1=λ2=1. 所以O，，. 设EF与MN交于点O′（x′，y′，z′），同理可得O′，，，所以四面体对棱中点的连线交于一点.（4）仿射坐标系中的直线方程可用两点式、截距式.证明：如图4，在仿射坐标系[O；，]中，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x，y）为直线上任意一点，因为C，D，E三点共线，所以有=λ，即（x-x1，y-y1）=λ（x2-x1，y2-y1），有x-x1=λ（x2-x1），y-y1=λ（y1-y1），所以=（x2≠x1，y2≠y1），当（x2=x1，y2=y1）时，方程为x=x1或y=y1，如图5.截距式证明与以上类似，如图6.例4 证明三角形三边的中线交于一点.证明：如图7在△ABC中，E，F，G分别为三边的中点，以A为原点，建立仿射坐标系[A；AB，AC]，则A（0，0），B（1，0），C（0，1），E，0，F0，，G，，所以直线AG，BF，CE的方程为：y=x，y=-x+，y=-2x+1.可以得到AG与BF的交点为：，，BF与CE的交点为，，所以直线AG，BF，CE交于一点.（5）仿射坐标系下向量的乘法和距离表示.？摇证明：在仿射坐标系下，设向量a，b的坐标分别为（a1，a2），（b1，b2），则a·b=（a1e1+a2e2）·（b1e1+b2e2）=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2，同理在空间仿射坐标系下：a·b=（a1e1+a2e2+a3e3）·（b1e1+b2e2+b3e3）=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a1b3e1·e3+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2+a2b3e2·e3+a3b1e3·e1+a3b2e3·e2+a 3b3e3·e3.由此可得到向量在仿射坐标系下模表示：a== ，a== ，因此有两点之间的距离公式：=-=（x2-x1，y2-y1），=，或=在具体的题目中，如果将每组基的模取为1，由a·b=a1b1+a2b2+a3b3+（a1b2+a2b1）cosθ1，2+（a1b3+a3b1）cosθ1，3+（a2b3+a3b2）cosθ3，2则（1）（2）（3）（4）可以简化为：？摇a==？摇（1*）a==？摇（2*）AB=？摇（3*）AB=？摇（4*）易见：当基两两垂直，且模为1时，以上表达式与直角坐标系一致. 所以当坐标系不是标准直角坐标系时，只要知道坐标轴之间的夹角，就可以建立仿射坐标系，解决距离、夹角、证明垂直等问题.例5 三棱锥中A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.证明：以C为原点建立仿射坐标系[C；，，]，则C（0，0，0），D（3，0，0），A （0，0，3），B（0，2，0），所以N（0，1，0），M，0，，=（0，1，-3），=，0，.由AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，得到cos∠ACD=，cos∠ACB=，cos∠BCD=，所以由（4*）式：==2，==2，所以cosθ===.仿射坐标系作为比直角坐标系更一般的坐标系，使用相对灵活，可以简化一些题目的运算，在高中阶段，平面向量的基本定理中已经引入基底的概念，故学生学习仿射坐标的难度不大，学有余力的学生可以学习仿射坐标系，其使用关键在于基底的选取，选取恰当的坐标系，可以起到事半功倍的效果.。
三维仿射坐标系的数量积
三维仿射坐标系的数量积三维仿射坐标系的数量积，也称为点积或内积，是向量代数中的一个重要概念。
在三维空间中，我们可以用向量来表示位置、方向和旋转，而数量积就是一种用来度量向量之间关系的运算。
它是一种将两个向量映射为一个标量的运算，其结果表示了这两个向量之间的夹角和大小关系。
首先，让我们来看看两个向量的数量积如何计算。
设有两个三维向量a和b，它们的分量分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，那么它们的数量积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3这个公式看起来很简单，但它蕴含了丰富的信息。
首先，我们可以看到数量积的结果是一个标量，也就是说它只有大小，没有方向。
这意味着数量积可以用来度量两个向量之间的夹角。
具体来说，如果a·b的结果为正，那么这两个向量的夹角小于90度；如果a·b的结果为负，那么这两个向量的夹角大于90度；如果a·b的结果为零，那么这两个向量是正交的，夹角为90度。
另外，数量积还可以用来度量两个向量之间的大小关系。
具体来说，如果a·b的结果越大，那么a和b之间的关系就越紧密；如果a·b的结果越小，那么a和b之间的关系就越松散。
因此，数量积可以帮助我们理解向量之间的相似性和差异性。
除了上述的基本性质，数量积还有一些重要的性质和定理。
首先，数量积满足交换律和分配律，也就是说对任意向量a、b和c，有下面的等式成立：a·b = b·aa·(b+c) = a·b + a·c这些性质意味着数量积是一种可交换和可结合的运算，它在向量计算中具有重要的作用。
另外，数量积还和向量的模长有密切的关系。
具体来说，如果a和b的模长分别为|a|和|b|，而它们的夹角为θ，则有下面的等式成立：a·b = |a|·|b|·cosθ这个等式被称为数量积的几何解释，它告诉我们，数量积等于两个向量模长的乘积和它们的夹角的余弦值的乘积。
阿波罗尼奥斯问题的仿射解法
阿波罗尼奥斯问题的仿射解法
阿波罗尼奥斯问题（Apollonius Problem）是古希腊数学中一
个经典的几何问题，要求给定三个圆和一个点，找出与这三个圆相切的圆。
这个问题可以用仿射解法来解决。
首先，我们将问题转化为平面坐标系中的求解问题。
设三个圆的半径分别为r1、r2、r3，圆心分别为(A, r1)、(B, r2)、(C, r3)，要求的与三个圆都相切的圆的圆心为(M, r)。
接下来，我们确定一个变换，将三个已知的圆的圆心和要求的圆的圆心通过仿射变换映射到x轴上。
显然，这个变换不改变问题的解。
假设常数a、b、c分别为(M, r)经过仿射变换之后的坐标
（a≠0）。
根据仿射变换的特性，有以下推导：
1. 根据仿射变换的性质，映射前后的距离比例保持不变。
因此，三个已知圆的半径和圆心到要求圆心的距离的比例为：
r1 / d1 = r2 / d2 = r3 / d3
其中，d1、d2、d3为圆心到要求圆心的距离。
2. 将(A, r1)映射到x轴上，可以得到一个方程：
(a - A)² + r1² = b²
3. 将(B, r2)映射到x轴上，可以得到另一个方程：
(a - B)² + r2² = b²
4. 将(C, r3)映射到x轴上，可以得到第三个方程：
(a - C)² + r3² = b²
通过上述三个方程，可以解得a和b的值。
最后，通过反向变换，将（a，b）映射回平面坐标系，就得到了要求的与三个圆相切的圆的圆心和半径。
仿射坐标系中坐标运算
仿射坐标系中坐标运算在数学中，坐标系是一个非常重要的工具，它可以帮助我们描述平面中点的位置。
而在仿射坐标系中，坐标运算则显得更加重要。
本文将介绍如何在仿射坐标系中进行坐标运算。
在仿射坐标系中，坐标运算与普通坐标系中有很多相似之处，但也有其独特的地方。
首先，在仿射坐标系中，每个点都有一个横坐标和一个纵坐标，这和普通坐标系中的情况是一样的。
不过，在仿射坐标系中，这两个坐标通常是相互关联的，它们共同组成了一个点。
其次，在仿射坐标系中，坐标运算中的加减法运算与普通坐标系中有一些不同。
在普通坐标系中，加减法运算可能是两个点的横坐标或纵坐标之和或之差，但在仿射坐标系中，加减法运算可能是两个点的横坐标或纵坐标之和或之差的相反数。
此外，在仿射坐标系中，坐标运算中的乘法运算也与普通坐标系中有一些不同。
在普通坐标系中，乘法运算可能是两个点的横坐标或纵坐标之积，但在仿射坐标系中，乘法运算可能是两个点的横坐标或纵坐标之和的倒数。
在了解了仿射坐标系中坐标运算的基本概念之后，我们接下来要探讨如何运用这些运算来解决一些实际问题。
例如，在几何学中，我们经常会遇到一些关于点、线、面的问题，这些问题是如何通过坐标运算来解决的，而在仿射坐标系中，这些问题同样可以通过坐标运算来解决。
例如，如何求解点（2，3）关于直线x-y+2=0的对称点？在普通坐标系中，我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1.首先，我们需要确定点（2，3）关于直线x-y+2=0的对称点在直线上，因此我们可以将点（2，3）代入直线方程中，得到2-3+2=1。
2.接下来，我们需要找到与点（2，3）对称的点在直线上，因此我们可以通过求点（2，3）关于直线x-y+2=0的对称点在直线上垂足的坐标，再将该点坐标取相反数，即可得到答案。
根据坐标运算的基本概念，我们可以通过以下步骤来求解点（2，3）关于直线x-y+2=0的对称点：1.求点（2，3）关于直线x-y+2=0的对称点A的坐标。
用仿射变换解决初等几何中的一些问题
步阐述了仿射几何学对欧氏几何学的指导作用，从而揭示仿射几何学 也有 EF∥BC。
与欧氏几何学的内在联系。
三、共点线或共线点的问题
关键词：仿射变换 仿射性质 初等几何 应用
由于仿射变换保持同素性和结识点之一，而仿射变换则是仿射 将共线点变为共线点，因此，当命
G′、H′，在等腰梯形 A′B′C′D′中易证 E′、F′、G′、H′四点共线，故由仿射性 道：平行四边形经过仿射变换后仍为平行四边形，特殊的可变为正方形;
梯形经过仿射变换后仍为梯形，特殊的可变为等腰梯形。
质可知 E、F、G、H 四点共线。
在初等几何中，但凡仅涉及图形的点线结合性、平行性、简比、多边
二、两条直线平行的问题
［4］李长明，周焕山.初等数学研究［M］.高等教育出版社，1999.1.
由于仿射变换保持两条直线的平行性不变，因此，当命题要证两条
直线平行时可考虑仿射变换。
A
A′
例 ：设 在 △ABC 中 ，AD 是
BC 边上的中线，DE、DF 分别是
∠ADB 和∠ADC 的平分线，DE、 E
起来，将一般问题化为特殊问题来处理，从而使解题的难度大大降低，
解：设椭圆的标准方程为xa22
+
y2 b2
=1（a＞b＞0），如
问题就能轻而易举地得到解决。利用仿射变换的仿射性质，仿射变换可
x′=x
解决以下一些初等几何问题。 一、共线的两线段相等或成定比的问题
右图，将该椭圆经过仿射变换
y′=
a b
后其对 y
y B′
B
A′
O
Ax
由于仿射变换保持共线三点的简比不变，因此，当命题要证共线的 应图形为圆 x′2+y′2=a2，在此仿射变换之下，点
仿射坐标系在中学几何中的应用
仿射坐标系在中学几何中的应用1.建立仿射坐标系来解决初等几何问题对于仿射性质的几何命题，建立直角坐标系不易求解，可考虑建立直角坐标系，由于仿射坐标系两坐标轴的夹角及单位点的选取，都比直角坐标有较大的任意性，因此在仿射坐标系下常常可以非常便利，可避免一些繁琐的三角运算，起到柳暗花明的功效^ 建立仿射坐标系的一般方法如下：1、坐标轴的选取要尽量利用图中已有的直线和已知的点.2、单位点的选取可以在 x轴上取一已知点坐标设为（1,0）, y轴上取一已知点坐标设为（0,1 ）.3、x轴上及y轴上其它的已知点可设为（a,0）和（0,b）.4、直线Ax+By+c=0上的点的坐标设定要满足此直线方程.5、过两已知点A、B直线上的点的坐标也可设为A+?-B .6、x轴上的两线段（或平行x轴的线段）之比值可用端点x坐标的差之比表示，y轴上的两线段（或平行y轴的线段）之比值可用端点y坐标差之比表示.1.1线段间的比例问题例1.证明三角形中位线定理=1,既E3 (1,1).由直线E2E3与直线0A的斜率相等为y2—'=0, x2 - x1知E2E3110A.又E2E3=x 2— x1 = 1, OA = 2 —1=2,可知E2E3 =-|OA .例2.在MBC中,E在AC上，D为BC中点.E、D交AB于F,则证明：以AB为x轴，AC为y轴，A为原点，建立仿射坐标系(图5).设坐标B (1,0),E (0,1), C (0, b).则BC中点D坐标为(0.5,0.5b),得出直线ED的方程为y= (b-2)1 ...鹏和泊由联立得交点F坐标为(二,°),可推出:证明O —e)G2 ,如图4所示M0B中,使:0E^ = 0^,E I,E2,E3分别为OA,OB,AB的中点，建立仿射坐标系则A, B的坐标分别为(2,0), (0,2).因为E3坐标为二1,y =AE AF1 _0AE 1-0 1 AF 2 b 0 1 EC -b -1 "b-1' BF - 1 b -1-02 -b可见用仿射坐标系来解此题多么方便.1.2 关于图形面积问题例3,在&ABC的三边AB, BC, CA 上各取AZ, BY,CZ 各等于该边的-,求证面积3c 1 - - S XYZ =-S ABC证明：如图6,取B 为原点,BC 为x 轴，BA 为y 轴建立仿射坐标系,设A(0,3 ) .C(3,0). 从而知Y (2,0) .Z(0,1).据定比分点公式Z (1,2).1所以 S XYZ =-S ABC若已知顶点坐标 A( 1 x , 1 y)，玲(x 2 , y .) C!U x(y,1 △ABC 的面积=-2 X 1 X 2 X 3y 1 1y 2 1 y 1的绝对值1所以 saBC=30 0 1912.SX YZ= 21.3 关于点共线和直线共点的问题M 1,M 2,M 3分别是三直线Ax + B i y+G =0上的点，也可以证明SM 〔=SM 2 = SM 3.(点S 般可以是原点，也可以是其它的点)(4)如图7.设在MBC 的三边各取一点L 、M N,则L 、M N 共线的充要条件是故L 、M N 三点共线的充要条件是LN 与LM 共线.X i 要证三点 A(x i ,y i ),B(X 2, y 2),C(X 3,y 3)共线,可证 X 2 X 3y 1y 2y 3=0 ，也可证AB=^BC .要 直线 Ax + B i y+G=0 ( i=1,2,3)共点A 1A 2 A 3B 1 B 2 B 3gC 20 .若 C 3也与 CMNB LC MA-1证明：建立仿射坐标系｛B;BC,BA),则B(0,0),A(0,1),C(1,0),设L 、M N 分有向线段BC CA AB 的比分别为馥、人v .则11L(k)、M(溟,二卜 N (0，G )1所以LN =(一厂，K)山=().图7( -------- )=01 11化简得，出V =-1,也就是ANX月LMCMt -1NB LC MA例4.证明对于任意梯形两底的中点、两对角线的交点及两腰的交点4点共线.图8证明：设ABCM任意梯形，其中AB//CD, P为两腰交点，M,N分别为两底的中点，如图8建立仿射坐标系，则下列各点的坐标分别为A(0,0) , B (1,0), C (c,1 ), D (0,1), M (0.5,0), N (0.5c, 1),直线 AP, BP,AC,BD的方程分别为：AR x=0 BP : x+ (1-c) y=1AC x-cy=0 BD : x+y=1于是AP, BP的交点P坐标为'0,— |';AC与BD的交点Q的坐标为'—,-I.1 -c 1 c 1 c直线MN勺方程为：2x+ (1-c) y=1 (1)而点P,Q的坐标满足方程(1),故M,N,P,Q, 4点共线例5.用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点.证明：设四面体ABCD图9)的棱AB, AC, AD BC CD DB的中点分别为B',C',D',E,F,G .寸八占”由 TTT 一八”,取仿射标架{A;AB,AC,AD},则各点的坐标分别为第4页共13页图9A (0,0,0 ) ,B (1,0,0 ),C (0,1,0 ),D (0,0,1 )'1'c 1'1 B ,0,0 ,C0 0,— ,0 ,D0,0,, 2 221 1 c 1 C 1G 0 _ 2‘2' ' '2'2 ,G 2,0,2假设 B'F 与D'E 交于 P(x,y,z),设 B 'P = kPF ,D 'P = l 1 1 0k- 0 k- v 2 7 2 ,y 二 ,z 二1 k 1 k c । 1 1 0 l、/ 272 ,y=▼，…一… …一、. ，， 一 ......... C 1 1、解得k=l=1 ,从而父点P 存在，且P 的坐标为.-,-,-L （4 44JP 'TJ,11所以P 与P 重合，即B 'F ,D 'E ,C G交于一点 4 4 41.4关于向量的线性关系问题一一. 一. ............................................................ ...................................................... . ........... ... T 、，一…右已知A （x 1, %,乙）和B （x 1, y 1,z 1 ）两点.而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为两部分1 1 1 1 E , — ,0 ,F IPE ,则P 的坐标为1—k 021 k 0 l 12设B 'F 与C 'G 交于P,同理可得AM、MB,使它们的值的比等于某数九（九#1）,即徵=九，可求出分点坐标 MBM i乂上22,32_冬芽）刍M为中点时，M的坐标为「上孥,立总,立2；I 1 +九'1十九'1 I 2 2 2 J例 10.在AABC 中，OA = a,OB = b.点 M 点 N 分别在AB OA±,且 AM MB=2:1,•ION NA=3:1, OMtf BN 交于点 P,用 3、b 表示 OP.解：建立如图10所示仿射坐标系.则A (1,0), B(0,1).图101 2 3 .....由AM MB=2:1.ON:NA=3:1,及定比分点坐标公式.可得M (一 ,—), N(—,0).则直线 OM BN的方程分别为:2x-y = 0,4x 3y-3 = 0设P(x,y).联立方程组，得3 3x .y =一10 53 3故OP - a -b10 5例7.如图11所示平行四边形ABCD中，M为DC中点.N为BC中点.设T 3T TT T .............. —一 ................ 个……AB =吹AD = d、AM = mi AN = n；( 1)以b、d为基底，表小MN ； (2) A以m> n为基底表示AB第9页共13页图11解(1)建立仿射坐标系{A;b,d}.则 A (0,0), D (0,1 ) ,B(1,0),C(1,1),1 1 1 1 _________________ 公式.得M (1,1),N(1,」).所以MN=(1,二)即得2 2 2 2 .......... --f 1 -1 1(2)由(1)得 AM =(—,1),AN =(1,—).即2 2AD, F 1F n = AB — AD 24- 2T—n — m33 2.建立仿射坐标系在数学解题中的几点注意事项建立仿射坐标系不是所有题目都能用此方法解题而是要在解题过程中对题目进行合理 有效的分析。
构建仿射坐标系解题
构建仿射坐标系解题直角坐标系和斜角坐标系统称为仿射坐标系，直角坐标系是仿射坐标系的特例，斜角坐标系是直角坐标系的类比推广.本文通过类比直角坐标系下点的坐标、向量坐标、直线方程等有关知识，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题.一、仿射坐标系下的向量共线问题我们知道在直角坐标系下共线向量有如下结论：若，则。
同样在仿射坐标系下此结论仍然成立。
例1已知向量，则实数的值是( )解法1(常规解法)因，故，.又，所以，解得，故选.解法2由，知不共线，以原直角坐标系的原点作为原点，以作为单位基底建立仿射坐标系，则，因为，所以，所以，故选.例2已知向量其中不共线，向量.问是否存在这样的非零实数，使向量与共线?解法1（常规解法）因为，若与共线，因，所以存在实数，使得，即，所以，消去得，故存在这样的非零实数，只要，就能使向量与共线.解法2因不共线，在向量平面内任取一点作为原点，以作为单位基底建立仿射坐标系，则，同法1得.若向量与共线，则，解得，故存在这样的非零实数，只要，就能使向量与共线.二、仿射坐标系下向量的线性表示问题例3如图1，在中，，和交于点.试用向量和表示向量.解以为坐标原点，以作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系如图1所示.因为，所以，.所以直线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即①.直线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即②.解①②得，则点的坐标为，所以.图1例4在平行四边形中，，与相交于点，若，则( )解以为坐标原点，以作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系如图2所示.因为，所以，.所以直线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即①.直线在仿射坐标系下的“斜率”为，故直线在仿射坐标系下的“点斜式”方程为②.解①②得，则点的坐标为，所以，故选.图2三、仿射坐标系下的线性规划问题下面在类比思想的引领下用仿射坐标系下的线性规划解法解一类向量创新问题.例5(2011南昌联考)已知是内任一点(不包括三角形边上的点)，且满足，则的取值范围是＿＿解以为原点以作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图3所示，设则，又因为，于是有，则，设即该方程表示直线，当直线过点时，，当直线过点时，。
仿射坐标系,二阶曲面的标准方程
仿射坐标系，二阶曲面的标准方程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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构建坐标系妙解几何题
构建坐标系妙解几何题
书写几何题的能力是一个学生在数学上成就和掌握的重要体现，其核心是构建
正确的坐标系。
构建坐标系有很多方法，最常用的是直角坐标系，因其不管加减乘除，其图形均能以矩形坐标系进行表示，是一种直接、简单的方式。
在构建直角坐标系的过程中，应注意xy轴的确定，根据习惯一般确定一条坐
标轴为x轴，另一条坐标轴为y轴。
一般情况下，可选取其中一条直线的一点作为原点，把另一条直线的一点作为参考点，根据题意确定xy轴，保证所作图形有一
定的尺度，以便于书写几何题和满足题目要求。
此外，书写几何题时，象征点在坐标系上的位移，对方向的选择也要注意，通
常象征点的移动方向按照数学中逆时针的原则，按照右手定则的原则得出的位移方向是逆时针的，左手定则是顺时针的，可以直接用数学右手定则确定。
最后，书写几何题还要记住平面几何图形的基本要素，比如直线、弧段、射线、线段以及它们的关系等，做出合理的数学推理，并合理确定坐标写出解题步骤，以便解答几何题。
以上就是构建坐标系书写几何题的简明方法，它不仅是学生书写几何题的基础，也是数学课中常见的体现形式。
只有熟练掌握构建坐标系的技巧，才能将几何题写得更准确、更有逻辑，以期达到预期的解题效果。
仿射坐标系下的外积
仿射坐标系下的外积在几何学中，仿射坐标系是一种用来描述空间中点位置和方向的数学工具。
它是一种基于向量和矩阵运算的坐标系，在这个坐标系中，点的位置被表示成一个（n+1）维矢量，其中n是空间的维数。
在仿射坐标系中，向量运算是基础操作，其中之一就是求向量的外积。
这里，我们将介绍在仿射坐标系下的外积及其相关性质。
首先，我们需要了解什么是向量。
在几何学中，向量用来描述两个点之间的位移。
向量有大小和方向，通常表示为一个带箭头的线段。
向量可以通过坐标表示，例如在二维平面中，向量可以表示为(x, y)。
在三维空间中，向量可以表示为(x, y, z)。
在仿射坐标系中，向量可以表示为n+1维坐标，因为在n维空间中，光线也被视为一种特殊的向量，可以用一条直线表示。
在这个形式中，前n维用来表示向量的三个坐标(x, y, z)，最后一维通常标记为w，称为齐次坐标。
现在，我们将介绍向量的外积。
在二维空间中，向量的外积是一个标量，它表示两个向量的夹角正弦值的大小。
在三维空间中，向量的外积是一个向量，它垂直于原始向量并与它们的长度和方向有关。
在仿射坐标系中，向量的外积由一个矩阵计算公式来表示。
这个矩阵的行向量由两个原始向量组成，而列向量则会生成一个新的向量。
两个向量的外积结果，将是一个新的长度为1的向量和一个正负值的标量。
新向量的方向垂直于原始向量。
在n维空间中，向量的外积的结果可以通过一个n行n列的矩阵来表示。
但实际上，只要我们知道了向量的维度，我们就知道了如何计算外积。
矩阵计算公式如下：如果我们有两个向量A（a1，a2，...，an，1）和B（b1，b2，...，bn，1），则它们的外积将是C = AB-BA，其中AB是由两个矩阵的乘积表示的矩阵，BA是由另外两个矩阵的乘积组成的一个矩阵。
另外，外积满足反交换律。
这意味着A * B = -B * A。
外积还满足线性性质，即A（B+C）= AB+AC。
在计算机图形学中，外积被广泛用于计算表面法线。
仿射变换 方程怎么解
仿射变换方程怎么解以仿射变换方程怎么解引言：仿射变换是一种常见的几何变换方法，可以用于对图像进行旋转、平移、缩放和错切等操作。
本文将介绍仿射变换方程的解法，帮助读者更好地理解和应用仿射变换。
一、什么是仿射变换？仿射变换是指在平面上对点进行旋转、平移、缩放和错切等操作的变换方式。
它可以通过一个线性变换和一个平移向量来表示。
具体而言，对于平面上的点 (x, y)，经过仿射变换后的点 (x', y') 可以通过以下公式计算得出：x′=xx+xx+xx′=xx+xx+x其中，a、b、c、d、e 和 f 是仿射变换的参数。
二、仿射变换方程的解法1.已知三对点坐标的情况下当给定三对点的坐标时，我们可以利用这些已知点来求解仿射变换方程的参数。
假设已知的点分别为 (x1, y1) -> (x1', y1')，(x2, y2) -> (x2', y2') 和 (x3, y3) -> (x3', y3')，则可以得到以下三个方程：x1′=xx1+xx1+xx1′=xx1+xx1+xx2′=xx2+xx2+xx2′=xx2+xx2+xx3′=xx3+xx3+xx3′=xx3+xx3+x通过解这个方程组，我们可以求解出a、b、c、d、e 和f 的值，从而得到仿射变换的参数。
2.已知变换矩阵的情况下除了通过已知点来求解仿射变换方程的参数，我们还可以通过已知变换矩阵的方式来解方程。
假设已知的变换矩阵为 M，即[x′1 x′1] = [x1 x1 1] x其中，[x′1 x′1] 是经过仿射变换后的点的坐标，[x1 x1 1] 是原始点的齐次坐标。
则根据仿射变换的定义，可以得到以下方程：x′1=x1x+x1x+xx′1=x1x+x1x+x通过解这个方程组，我们可以求解出仿射变换的参数。
三、应用实例仿射变换在计算机图形学和计算机视觉领域有着广泛的应用。
仿射坐标系
A(1,2,3) , C ( 2,3,4) ,
B( 2,3,4) , D(2,3,1) .
思考题解答 A:IV; B: 载
a2 b2
0 a1b2 a2b1 0
a1b2 a2a1 0 b2 a2
同理可由 a1 b1
a3 b3
0推出b3
a3 .
于是 ，所以 // .
推论1.3 设[O;e1 ,e2]是平面 上的一个平面仿射
坐标系， 上的三点A、B、C的坐标分别是（a1 ,a2）,
(b1 ,b2)和（c1 ,c2）,则
仿射标架[O;e1 ,e2 ,e3]三要素:
[1] 原点
[2]三个不共面的向量 [3]三个向量的顺序
[1]轴：x轴、y轴、z轴
x轴是经过原点O、平行于e1、和e1方向相同 的数轴; y轴对应e2 , z轴对应e3 .
[2]坐标平面：xoy，zox,zoy
[3]卦限： 空间仿射坐标系共有八个卦限
Ⅲ
对（e1 ,e2 ,e3）分解（x, y,z)
向量集合一一对应 三元有序数组的集合
取定空间中的一个点O,对任意一个向量，以O 为起点作向量，则存在唯一的点A,使得 OA
以固定点O为起点作 A
向量集合一一对应 空间点集
空间点集 一一对应 三元有序数组的集合
A [O ;e1 ,e2,e3](x, y,z)
思考：向量的坐标和向量 AB的坐标的关系。
二、直角坐标系
[1] 空间直角坐标系(向量集合、 空间、三元有序数组）
z 竖轴
三要素：
原点O （0,0,0)
三个两两垂直不共面
的单位向量
横轴
三个坐标轴的正方向
从一道练习的多种解法谈起
2 2 C 1 x y ⎨ 令 = 1 = x + y ， OC ' OC OC ' AB从一道练习的多种解法谈起连永欣福建师范大学附属中学（350007）在人教 A 版必修五第三章不等式的参考练习中遇到一个初等的规划问题：题 若变量 ， 满足约束条件⎧x 2 + y 2 ≤ 1，求 x≥ 0 ，y ≥ 0 4 还未涉及的内容，绝大部分老师的意见分为两类， 一是对证明过程中利用均值不等式的部分进行配方处理，这实际上是均值不等式的证明过程进入本题 的解答；二是删除本题．x + y 的最大值．⎩， 但事实上，本题完全可以避开均值不等式，而 解 依题意画出可行域（非线性）如图 1，考虑x + y = b ，这是斜率为 -1 ，随 b 变化的一族平行直线．b 为直线在 y 轴上的截距，当直线与可行域相交时，截距的最大值即为所求．如图可知，当且仅当 直线与可行域相切时，截距 b 达到最大值 ．故且有着完全不同的诸多解法．如：解法 2 （内积法）如图 3，连接弦 AB ，取弧 AB 中点 D ，连接OD 交弦弦 AB 于 D ' ，设OC 与OD 夹角为θ，则OC = xOA + yOB ，x + y 的最大值为 ．2 ∴OA ⋅ OC = xOA 1+ yOA ⋅ O B = x - y ，然而，对于该图，笔者联想到一道相关试题， 题目是以向量为背景给出的，实则本题的一个拓展：22 1OB ⋅ OC = xOA ⋅ OB + yOB = - x + y ，2yBB ∴ (OA + OB ) ⋅ OC = (x - 1 y ) + (- 1 x + y ) = x + y ，O A x A 图 1图 22 2 2∴ x + y = 2(OA + OB ) ⋅ OC = 2OD ⋅ OC题 2 如图 2 所示，给定两个平面单位向量OA 和OB ，它们的夹角∠AOB =2π，若点C 在以O 为圆心3的圆弧 AB 上运动，设 OC = xOA + yOB ，则 x + y 的最大值为 ．此题是作为必修 4 复习题出现的，参考答案中给出的解法利用到了均值不等式：解法 1 （均值不等式）= 2 | OC || OD | ⋅cos θ≤ 2 ．当且仅当θ= 0 （即 C 为弧 AB 中点）时，等号成立．评析 作为本道习题的解法，通过内积运算，恰当的将两个相互制约的变量 x ，y 统一表示成为了一个变量θ，此即消元法，从而避免了使用均值不等式的工具，算是完成了本题的讲评．当然，问题到此还远没结束．此时有同学提出 2 OC = xOA + yOB ，∴ OC = (xOA + yOB )2，了一个观点，从形式上看，关系OC = xOA + yOB 与2 ∴ OC 2 = x 2OA 2y 2 OB+ 2xyOA ⋅ OB ．A ，B ，C 三点共线的条件类似，能否利用此得到解答2 依题意有OA 2 = OB 2= OC1=1， OA ⋅ OB = - ． 2 呢？另外，我们通常习惯的坐标法，在此是否有效？ 通过小组讨论，同学们得到了如下的两种解法：代入上式可得 x 2 + y 2 - xy = 1 （*），从而1 = x 2 + y 2 - xy = (x + y )2- 3xyB D 'DC yB C x x + y (x + y )2A A ≥ (x + y )2 - 3( )2 = ．图 3图 4图 52 4解法 3 （共线法）当且仅当 x = y （即 C 为弧 AB 中点）时，等号成立．注解 （*）式亦可由平行四边形四边平方和和对角线平方和关系得到[6]．评析 鉴于本题利用到了均值不等式，作为必修OC ' OC OA OB x + y x + y x + y故C ' ，A ，B 三点共线，此时C ' 在弦 AB 上运动．1=| | / | |=| |≥ d (O ，l ) = 1． x + y 2 y B C A x3其中 d (O ，l AB ) 表示原点 O 到 AB 所在直线的距离．∴ x + y ≤ 2 当且仅当C ' 为垂足（即弦 AB 的中点， 亦即C 为弧 AB 的中点）时，等号成立．解法 4 （坐标法）如图 4，以O 为原点， OA 所在方向为 x 轴，作直角坐标系 xOy ，令∠AOC =θ，依题意得各点的坐标为： A (1，0) ， B (- 1 ， 3) ， C (cos θ，sin θ) ，2 2代入OC = xOA + yOB ，得到：⎧cos θ= x - 1 y ， ⎧x = cos θ+ 3sin θ， ⎪ 2 即 ⎪3即为(x ，y ) ．故只要求当(x ，y ) 在圆弧 AB 上运动时，x + y 的最大值．令 x + y = b ，得到一族平行直线（#），当且仅当 x+ y = b 与圆弧 AB 相切时取得最大值．根据对称性， 容易得到当相切时 b = 2 ．从而 x + y ≤ 2 ，当且仅当与圆弧 AB 相切（即C 为弧 AB 中点）时等号成立．注解 这里解法 5 中的关键在于论断（#）：在斜坐标系中的规划问题．在斜坐标系中，直线与坐标 系的截距依然与直角坐标时含义一致，但斜率的含 义已经改变．故寻找平行直线族 x + y = b 时我们使用 截距式[4]而非使用斜截式，故直线族在此与 x 轴正向 ⎨ ⎪sin θ= y ， ⎩ 2 ⎨⎪ y = ⎩sin θ，3 的夹角为 5π6 ，而非通常的3π ．4∴ x + y = cos θ+ 3 sin θ= 2 sin(θ+ π) ≤ 2 当 且 仅6评析 解法 5，利用到了斜坐标系的相关知识， 但更重要的是体现出的数形结合、直观感知的重要 当θ= π（即C 为弧 AB 中点）时，等号成立．3评析 以上的解法 3 很好的利用了条件本身的结构形式，构造出了新的相关条件，而产生了较为简 便的解法，与解法 2 类似．而解法 4，同样消元转化成关于角度θ的函数最值，从而可以利用三角恒等变换这一强大工具．更重要地，解法 3、解法 4 都是学生根据题目的条件，作了些看似简单的转化，并通过讨论自主得 到的．所以在课堂上重视学生的些许结论，包括那 些看似不起眼的结论，或许能得到完全新的、或者 更简单的解法与思路．回到所学的规划问题，事实上，我们可以得到一个更为简单的解法：解法 5 （斜坐标法）如图 5，以O 为原点，OA 所在方向为 x 轴，OB 所在方向为 y 轴作斜坐标系 xOy ，此时， C 的坐标数学思想方法．当然，这对学生本身关于包括（线 性）规划、斜坐标系等知识有深入的了解，要求较 高．但无可厚非，作为填空题，解法 5 是最为快速有效的．以上 5 种解法看似各不相同，但最终都解决了这道题目，也从某种程度上体现的数学的统一性[5]． 关于斜坐标系的相关内容与方法更详细的探讨 可以参考[1，2 ，4 ] ．参考文献[1]邹生书．构建仿射坐标系解题[J]．河北理科教学研究，2012（2）：36-39 [2]胡迎霞．斜坐标系的探究[J]．上海中学数学，2009（3）：36-37[3]傅建红．斜坐标系下向量（点）坐标、直线方程及相关性质[J]．数学教学，2014（3）：24-28 [4]邓赞武．斜角坐标系中的直线方程及其应用[J]．中学数学研究，2008 （2）：41-43． [5]阿蒂亚（英）．数学的统一性[M]．大连：大连理工大学出版社，2009 [6]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．数 学，必修 4（A 版）[M]．北京：人们教育出版社，2007导数应用中的函数不等式证明方法探索吴邦良四川省绵阳外国语学校（621000）近年来，在新课标下的高考对导数应用的考查非常重视，全国卷或各省市卷都出在押轴题上，其中关于函数不等式的证明问题是命题热点，现对其中一类用“放缩法证明函数不等式”的方法进行探索，与读者分享．题型 已知函数 f (x )，g (x )，求证： f (x ) > g (x ) ．其中函数 f (x ) 或 g (x ) 中含有sin x ， cos x ， e x ， ln x ．方法 1 有理式替代法2 3 ⎪。
仿射坐标系在中学几何中的应用
仿射坐标系在中学几何中的应用1.建立仿射坐标系来解决初等几何问题对于仿射性质的几何命题，建立直角坐标系不易求解，可考虑建立直角坐标系，由于仿射坐标系两坐标轴的夹角及单位点的选取，都比直角坐标有较大的任意性，因此在仿射坐标系下常常可以非常便利，可避免一些繁琐的三角运算，起到柳暗花明的功效.建立仿射坐标系的一般方法如下：1、坐标轴的选取要尽量利用图中已有的直线和已知的点.2、单位点的选取可以在x 轴上取一已知点坐标设为（1,0），y 轴上取一已知点坐标设为（0,1）.3、x 轴上及y 轴上其它的已知点可设为（a,0）和(0,b).4、直线Ax+By+c=0上的点的坐标设定要满足此直线方程.5、过两已知点A 、B 直线上的点的坐标也可设为A B λ+.6、x 轴上的两线段（或平行x 轴的线段）之比值可用端点x 坐标的差之比表示，y 轴上的两线段（或平行y 轴的线段）之比值可用端点y 坐标差之比表示.1.1 线段间的比例问题例1．证明三角形中位线定理图4证明 如图4所示AOB ∆中，123,,E E E 分别为OA,OB,AB 的中点，建立仿射坐标系12O e e -，使1122,e OE e OE ==，则A ，B 的坐标分别为（2,0），（0,2）.因为3E 坐标为02021,122x y ++====，既3E （1,1）.由直线23E E 与直线OA 的斜率相等为21210y yx x -=-,知23E E ||OA.又23212311,202,2E E x x OA E E OA =-==-==可知. 例2．在ABC ∆中,E 在AC 上，D 为BC 中点.E 、D 交AB 于F ，则AE AFCE BF=.图5证明：以AB 为x 轴，AC 为y 轴，A 为原点，建立仿射坐标系（图5）.设坐标B （1,0），E （0,1），C （0，b ）.则BC 中点D 坐标为（0.5,0.5b ），得出直线ED 的方程为y=（b-2）x+1，和x 轴联立得交点F 坐标为（1,02b-），可推出：110112,111102AE AF b EC b b BF b b ---====----- 可见用仿射坐标系来解此题多么方便.1.2 关于图形面积问题若已知三角形三顶点坐标1122(,),(,),(,A x yB xy C x y .则112233x y 11=x y 12x y 1ABC ∆的面积的绝对值例3．在ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 上各取AZ ，BY,CZ 各等于该边的23，求证面积13S XYZ S ABC ∆∆=.图6证明：如图6,取B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立仿射坐标系，设A （0,3）.C(3,0).从而知Y （2,0）.Z(0,1).据定比分点公式Z （1,2）.所以0311900122301S ABC ∆==.0111320122121S XYZ ∆== 所以 13S XYZ S ABC ∆∆=1.3 关于点共线和直线共点的问题要证三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 共线，可证1122331101x y x y x y =，也可证AB BC λ=.要证三直线0i i i A x B y C ++=（i=1,2,3）共点.可证1112223330A B C A B C A B C =.若123i 123,,0i i M M M x B y C SM SM SM ++===分别是三直线A 上的点，也可以证明.（点S 一般可以是原点，也可以是其它的点）.（4）如图7.设在ABC ∆的三边各取一点L 、M 、N,则L 、M 、N 共线的充要条件是:1AN BL CMNB LC MA⨯⨯=-图7证明：建立仿射坐标系{;,}B BC BA ，则B(0,0),A(0,1),C （1,0），设L 、M 、N 分有向线段BC 、CA 、AB 的比分别为v λμ、、.则1(,0)M(,))11+1L λμλμμν++1、、N(0,1+ 所以111(,),(,)11111LN LM λλλνμλμ=-=-+++++.故L 、M 、N 三点共线的充要条件是LM LN 与共线.即111()011111λλλμνμλ-⨯-⨯-=+++++ 化简得AN CM-1,= -1NB MABL LC λμν=⨯⨯也就是例4．证明对于任意梯形两底的中点、两对角线的交点及两腰的交点4点共线.图8证明：设ABCD 为任意梯形，其中AB//CD ，P 为两腰交点，M,N 分别为两底的中点，如图8建立仿射坐标系，则下列各点的坐标分别为A(0,0)，B （1,0），C （c,1），D （0,1），M （0.5,0），N （0.5c ，1），直线AP ，BP,AC,BD 的方程分别为：AP ：x=0 BP ：x+（1-c ）y=1 AC ：x-cy=0 BD ：x+y=1于是AP ，BP 的交点P 坐标为10,1c ⎛⎫ ⎪-⎝⎭;AC 与BD 的交点Q 的坐标为1,11cc c ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.直线MN 的方程为： 2x+（1-c ）y=1 （1）而点P,Q 的坐标满足方程（1），故M,N,P,Q ，4点共线例5．用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点.证明：设四面体ABCD(图9)的棱AB ，AC ，AD ，BC ，CD ，DB 的中点分别为''',,,,,B C D E F G .取仿射标架{;,,}A AB AC AD ，则各点的坐标分别为图9 A （0,0,0），B （1,0,0），C （0,1,0），D （0,0,1）'''111,0,0,0,,0,0,0,,222B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111,,0,0,,,,0,.222222E F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭假设'D'E B F 与交于P(x,y,z)，设'',,B P kPF D P lPE ==则P 的坐标为111000222,,111k k k x y z k k k+⋅+⋅+⋅===+++ 111000222,,111l l l x y z l l l+⋅+⋅+⋅===+++ 解得k=l=1，从而交点P 存在，且P 的坐标为111,,.444⎛⎫⎪⎝⎭设'',B F C G '与交于P 同理可得'111,,,444P ⎛⎫⎪⎝⎭所以P 与'P 重合，即''',,B F D E C G 交于一点.1.4 关于向量的线性关系问题若已知()()111111A ,,,,x y z x y z 和B 两点.而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为两部分AM MB 、，使它们的值的比等于某数()1,λλ≠即,AMMBλ=可求出分点坐标121212,,.111x x y y z z M λλλλλλ+++⎛⎫ ⎪+++⎝⎭当M 为中点时，M 的坐标为121212,,.222x x y y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭例10．在ABC ∆中，,OA a OB b ==.点M 、点N 分别在AB 、OA 上，且AM ：MB=2:1，ON ：NA=3:1，OM 与BN 交于点P ，用b a 、表示OP .解：建立如图10所示仿射坐标系.则A （1,0），B(0,1).图10由AM ：MB=2:1.ON:NA=3:1,及定比分点坐标公式.可得123(,),(,0)234M N .则直线OM 、BN 的方程分别为：20,4330x y x y -=+-= 设P(x,y).联立方程组，得33.105x y ==故33105OP a b =+ 例7. 如图11所示平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点.N 为BC 中点.设AN ;AB b AD d AM m n ====、、、（1）以b d 、为基底，表示MN ；（2）A 以n m 、为基底表示AB图11解（1）建立仿射坐标系{;,}A b d.则A（0,0），D（0,1）,B(1,0),C(1,1),由中点坐标公式.得1111(,1),(1,).MN=-2222M N所以（，）即得11MN=b-d22（2）由（1）得11(,1),(1,).22 AM AN==即12m AB AD=+12AB AD=+n反解得4233 AB n m =-2.建立仿射坐标系在数学解题中的几点注意事项建立仿射坐标系不是所有题目都能用此方法解题而是要在解题过程中对题目进行合理有效的分析。
3. 仿射坐标系
§3 仿射坐标系一、 仿射坐标系与度量系数[仿射坐标] 在三维欧氏空间 中，若取一个直角坐标系，其坐标单位矢量为i ，j ，k 时，则空间中的矢量a 可表示为a ＝a x i ＋a y j ＋a z k一般地，在空间中给定了三个不共面的矢量e 1，e 2，e 3，则空间中任一矢量a 可按这三个矢量分解，令其系数为a 1,a 2,a 3(这里1,2,3不是指数，而是上标)则a 可表示为a ＝a 1e 1＋a 2e 2＋a 3e 3或简计作 a ＝a i e ia ＝{a 1,a 2,a3}＝{ a i }这种坐标系{e 1,e 2,e 3}称为仿射坐标系，e 1,e 2,e 3称为坐标矢量，a 1,a 2,a 3称为矢量a 的仿射坐标.[欧氏空间中度量系数] 当矢量a 写成上面的形式时，则它的长度a 由(a )2＝(a i e i )(a j e j )＝(e i e j )a i aj 给出.令e i e j ＝g ij (＝g ji ) (i ，j ＝1,2,3)则称g ij 为仿射坐标系的度量系数.1矢量a 的长度由(a )2＝g ij a i aj 计算.2 两个矢量a ＝a i e i ，b ＝b j e j的夹角θ由cos θ＝g a b g a a g b bij i j ij ijij i j⋅计算.3 因为g ij a i a j是正定二次型，所以由g ij 所作的行列式欧几里得空间简称欧氏空间，它的定义见第二十一章，§4.这种缩写是张量算法中的写法.如果每个指标在乘积中出现一次，就表示它取一切可能的值；如果每个指标在乘积中出现两次，就表示取一切可能的值，而后再把各项相加，求其总和.这种规定称 为爱因斯坦约定. 这是张量写法.g g g g g g g g g g =>1112132122233132330 混合积(e １,e ２,e ３)2=()()()()()()()()()332313322212312111e e e e e e e e e e e e e e e e e e =g (e １,e ２,e ３)=g[克罗内克尔符号] 对称矩阵()g g g g g g g g g g ij=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥111213212223313233 的逆矩阵用()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211g g g g g g g g g g ij来表示.由逆矩阵的性质，有g ij =g ji和g ikg kj =δj i式中δj i =10,,i ji j=≠⎧⎨⎩称为克罗内克尔符号.[互易矢量] 利用这个g ij规定e i =g ije j因而有e j =g ij e ie ie k =(g ije j )e k =g ij(e j e k )=g ijg jk =δk ie i e j=(g ile l )(g jme m )=g il g jm(e l e m )=g il g jmg lm =g ilδl j =g ij对e １,e ２,e ３，可以得到e 1=1g(e 2×e 3), e 2=1g (e 3×e 1), e 3=1g(e 1×e 2)e1,e2,e3称为关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量. g ij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.二、逆变矢量与协变矢量[逆变矢量与协变矢量] 如果矢量a在坐标系{e１,e２,e３}中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式a＝a1e1＋a2e2＋a3e3=a i e i给出，则a1,a2,a3称为矢量a的逆变坐标(或称为抗变坐标)，而矢量{a i}称为逆变矢量(或称为抗变矢量).如果关于坐标矢量e１,e２,e３的互易矢量为e1,e2,e3，矢量a在坐标系{e1,e2,e3}中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式a＝a1e1＋a2e2＋a3e3=a j e j给出，则a1,a2,a3称为矢量a的协变坐标，而矢量{a j}称为协变矢量.在直角坐标系中，矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地，在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系a i=a·e i=(a j e j)·e i=a j(e j·e i)=a j g ji[逆变矢量与协变矢量的标量积]如果a , b为两个矢量，a1 ,a2 ,a3 ; b1 ,b2 ,b3分别为它们的逆变坐标，则a·b=g ij a i b j如果a , b为两个矢量，a1 ,a2,a3 ; b1,b2 ,b3分别为它们的协变坐标，则a·b=g ij a i a j如果a的逆变坐标为a1,a2,a3,b的协变坐标为b1,b2 ,b3 , 则a·b=a i b i三、n维空间[n维空间的定义] 如果空间中的点与n个独立实数x1，···，x n的有序组的值建立一对一且双方连续的对应，那末，以这样的点作为元素的集合称为n维实数空间 (简称n维空间)，记作R n.所以空间中一点M对应于一组有序数x１，···，x n；反之，一组有序数x１，···，x n对应于一点M.这样的一组有序数(x１，···，x n)称为n维空间R n中一点M的坐标.[n维空间中的矢量] 在n维空间R n中取一定点O，坐标为(0,0,···,0)，另外一点M(x1，x2，···，x n)，r为对应于两点O和M的矢量，称为点M的矢径.假定在R n中可以引进仿射坐标系，使得矢径r与点M(x i)的坐标的关系是r＝x1e1＋···＋x n e n＝x i e in维实数空间另一定义见第二十一章，§3.式中e 1，···，e n 是R n中n 个线性无关的矢量，这种坐标系{e 1,···,e n}称为R n 中的仿射坐标系，x 1，···，x n称为R n中矢量r 的仿射坐标.在三维空间中所讨论的许多结果，在n 维空间中都成立，只要把公式中所出现的指标认为从1到n 就行了.[逆变矢量与协变矢量] 在n 维空间R n 中考虑一个任意坐标变换()x x x x i i n''=⋅⋅⋅1,,()'=''⋅⋅⋅'i n 12,,, (1)其中函数x i '关于x i有连续的各阶导数(讨论中所需要的阶数)，变换的雅可比式不等于零：()()0,,,,,,2121≠⋅⋅⋅∂⋅⋅⋅∂'''nn xx x x x x 因而(1)有逆变换()x x x x x i i n =⋅⋅⋅'''12,,,设a 1,···,a n 为x i的函数，如果在坐标变换下，它们都按坐标微分一样地变换，即ii i i a xx a ∂∂=''则称a i 为坐标系(x i)中一个矢量的逆变坐标，a i '为坐标系()x i '中同一个矢量的逆变坐标.称矢量{}a i 为逆变矢量. 如果a i 按i i ii a xx a ''∂∂=的形式变换，则称a i 为坐标系(x i)中一个矢量的协变坐标，称 a i '为坐标系()x i '中同一矢量的协变坐标，称矢量{}a i 为协变矢量.逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同的，但是它们之间有关系式ij jk k i xx x x δ=∂∂∂∂'' 式中δj i 为克罗内克尔符号.这里用x i '表示同一点M （x i ）在另一个坐标系中的坐标，就是说{}x i 和{}x i '表示同一点.用同一个核文字(如x )表示同一个对象，用指标上加一撇表示不同的坐标系（如x x ii ,'等），这种记法叫核 标法.例 标量场的梯度是一个协变矢量.设n 维空间的标量场为()ϕx x x n 12,,⋅⋅⋅,它沿一无限小位移d x i 上的变更i i x d d ∙=ϕϕ是一个在坐标变换下的不变量，式中ii x ∂∂=∙ϕϕ是ϕ的梯度的分量.因此在坐标变换下， i i i i ii i i x xx x x ''∙∙''∂∂==d d d .ϕϕϕ则i i ii xx ∙''=ϕ∂∂ϕ.所以i ∙ϕ是一个协变矢量.。
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构建仿射坐标系解题
湖北省阳新县高级中学邹生书
直角坐标系和斜角坐标系统称为仿射坐标系，直角坐标系是仿射坐标系的特例，斜角坐标系是直角坐标系的类比推广.本文通过类比直角坐标系下点的坐标、向量坐标、直线方程等有关知识，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题.
一、仿射坐标系下的向量共线问题
我们知道在直角坐标系下共线向量有如下结论：若，则。
同样在仿射坐标系下此结论仍然成立。
例1已知向量，则实数的值是( )
解法1(常规解法)因，故，
.又，所以
，解得，故选.
解法2由，知不共线，以原直角坐标系的原点作为原点，
以作为单位基底建立仿射坐标系，则，因为，所以，所以，故选.
例2已知向量其中不共线，向量.问是
否存在这样的非零实数，使向量与共线?
解法1（常规解法）因为
，若与共线，因，所以存在实数，使得，即，所以，消去得，故存在这样的非零实数，只要，就能使向量与共线.
解法2因不共线，在向量平面内任取一点作为原点，以作为单位基底建立仿射坐标系，则，同法1得
.
若向量与共线，则，解得，故存在这样的非零实数，只要，就能使向量与共线.
二、仿射坐标系下向量的线性表示问题
例3如图1，在中，，和交于点.试用向量和表示向量.
解以为坐标原点，以作为仿射坐标系的单位基底，
建立平面仿射坐标系如图1所示.因为，所以
，.所以直
线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即①.
直线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即②.解①②得，则点的坐标为，所以.
图1
例4在平行四边形中，，与相交于点，若，则( )
解以为坐标原点，以作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系如图2所示.因为，所以
，.所以直线在仿射坐
标系下的“截距式”方程为即①.直线在仿射坐标系下的“斜率”为，故直线在仿射坐标系下的“点斜式”方程为②.解①②得，则点的坐标为，所以，故选.
图2
三、仿射坐标系下的线性规划问题
下面在类比思想的引领下用仿射坐标系下的线性规划解法解一类向量创新问题.
例5(2011南昌联考)已知是内任一点(不包括三角形边上的点)，且满足，则的取值范围是＿＿
解以为原点以作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图3所示，设则，又因为，于是有，则，设即该方程表示直线，当直线过点时，，当直线过点时，。
因是内任一点，所以的取值范围是.
图3
例6(2009年高考安徽理科第14题)如图4，给定两个长度为1的两个向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，其中，则的最大值是
图4 图5解以为原点以作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图5所示.设则，又因为，于是有，则，设该方程表示直线.而直线的方程是，所以平行于，当直线与圆弧相切于点时，直线在轴上的截距最大，，故的最大值是2.
例7(2011年唐山市)在平行四边形中，分别为的中点，记
三边及其内部组成的区域为，，当点在上运动时，
则的最大值为
解以为原点以作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图6所示，设则，又因为，于是有，则，设即该方程表示直线，因为直线的“斜率”，所以当直线过点时，。
图6
例8如图7，正六边形中，是内（包括边界）的动点，设
，则的取值范围是＿＿
图7 图8解如图8，以为原点以作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系.设则，又因为，于是有，则
，设该方程表示的直线与直线平行.由图2知，，当直线与重合即直线过点时在轴上的截距最小，;当直线过点时在轴上的截距最大，，故的取值范围是.
例9(06年湖南高考题改编)如图9，，点在由射线线段及的延长线围成的阴影区域内)不含边界)运动，且.(1)实数对可以是（）
(2)的取值范围是＿＿;当时，的取值范围是＿＿
解（特殊化）特别地，取且并建立直角坐标系如图1所示，则
.又直线的方程为，直线的方程为，因点在阴影区域内，所以，经检验知，(1)应选.
(2)因直线与直线和直线交点的纵坐标分别为和，由图12知，当时，的取值范围是.
图9 图10
坐标法是数学方法中最重要的方法之一，解析几何的核心思想是“坐标法”，坐标法就是数形结合思想的体现.综上所述，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题具有独特的解题功能，方法坐标化运算化、解法直观快捷，学生容易掌握便于运用“仿射坐标系”是在学生熟悉的“直角坐标系”相关知识和思想方法的类比拓展，符合“最近发展处”的理论要求.构建仿射坐标系解题，同时也是培养学生类比推理能力、知识思想方法迁移能力和创新思维能力的良好载体.
2011-12-14 人教网。