2014版高中数学复习方略课时提升作业：10.7离散型随机变量及其分布列(北师大版)

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课时提升作业(七十一)
一、选择题
1.设随机变量X的概率分布列为P(X=i)=a()i,i=1,2,3,则a的值是( )
(A)(B)(C)(D)
2.(2013·九江模拟)在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于的是
( )
(A)P(X=2) (B)P(X≤2) (C)P(X=4) (D)P(X≤4)
3.设随机变量Y的分布列为:
则“≤Y≤”的概率为( )
(A)(B)(C)(D)
4.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )
(A)0 (B)(C)(D)
5.(2013·新余模拟)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(<X<)的值为( )
(A)(B)(C)(D)
6.(能力挑战题)一只袋内装有m个白球,n-m个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了X个白球,下列概率等于的是( ) (A)P(X=3) (B)P(X≥2)
(C)P(X≤3) (D)P(X=2)
二、填空题
7.设随机变量X的概率分布为
则P(|X-3|=1)= .
8.(2013·黄山模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设X为取出的4个球中红球的个数,则P(X=2)= .
9.(2013·淮南模拟)从6名男生和2名女生中选3名志愿者,其中至多有一名女生的概率为.
10.随机变量Y的分布列如下:
则①x= ;②P(Y>3)= ;
③P(1<Y≤4)= .
三、解答题
11.(2013·榆林模拟)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现在采用分层抽样法(层内采用不放回简单随机抽样)
从甲,乙两组中共抽取3人进行技术考核.
(1)求从甲,乙两组各抽取的人数.
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率.
(3)令X表示抽取的3名工人中男工人的人数,求X的分布列.
12.(2013·咸阳模拟)某校有一贫困学生因病需手术治疗,但现在
还差手术费1.1万元,团委计划在全校开展爱心募捐活动,为了增
加活动的趣味性吸引更多学生参与,特举办“摇奖100%中奖”活
动.凡捐款10元者,享受一次摇奖机会,如图是摇奖机的结构示意
图,摇奖机的旋转盘是均匀的,扇形区域A,B,C,D,E所对应的圆心角的比值分别为1∶2∶3∶4∶5.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时,转动圆盘片刻,待停止后,固定指针指向哪个区域(边线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图指针指向区域C,可获得价值3元的学习用品).
(1)预计全校捐款10元者将会达到1 500人次,那么除去购买学习用品的款项后,剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗?
(2)如果学生甲捐款20元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值6元的学习用品的概率.
13.(能力挑战题)一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.
(1)若袋中共有10个球,
①求白球的个数;
②从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.
(2)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于,并指出袋中哪种颜色的球的个数最少.
答案解析
1.【解析】选B.1=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a[+()2+()3],解得a=.
2.【解析】选C.15个村庄中,7个村庄交通不方便,8个村庄交通方便,表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄,故P(X=4)=.
3.【解析】选C.∵+m+=1,∴m=,
∴P(≤Y≤)=P(Y=2)+P(Y=3)=.
4.【思路点拨】本题先求出分布列,再根据分布列的性质求出概率P(X=0).
【解析】选C.设失败率为p,则成功率为2p.
∴X的分布列为:
则“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,
由p+2p=1得p=,即P(X=0)=.
5.【思路点拨】根据分布列的性质求解.
【解析】选D.由(+++)×a=1.
知a=1,∴a=.
故P(<X<)=P(X=1)+P(X=2)=×+×=.
6.【解析】选D.X=2,即前2个拿出的是白球,第3个是黑球,于是前2个拿出白球,即,再任意拿出1个黑球即可,即,而在这3次拿球中可以认为按顺序排列,此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序,即.
P(X=2)==.
7.【解析】+m++=1,解得m=,P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=+=.
答案:
8.【解析】X可能取的值为0,1,2,3,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
又P(X=3)==,
∴P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1---=.
答案:
9.【解析】设所选女生为X人,则X服从超几何分布,其中N=8,则P(X≤
1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
答案:
10.【解析】由概率分布的性质可得:
0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1,解得:x=0.
显然P(Y>3)=P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)
=0.1+0.15+0.2=0.45.
P(1<Y≤4)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)
=0+0.35+0.1=0.45.
答案:①0 ②0.45 ③0.45
11.【解析】(1)×10=2,×5=1.
故从甲组抽取2人,从乙组抽取1人.
(2)从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为=.
(3)X可取值:0,1,2,3,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
X的分布列为
【变式备选】一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球,从中任意取出3个球.
(1)求取出的3个球颜色相同且编号是3个连续整数的概率.
(2)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率.
(3)记X为取出的3个球中编号的最大值,求X的分布列.
【解析】(1)设“取出的3个球颜色相同且编号是3个连续整数”为事件A,则P(A)==.
答:取出的3个球的颜色相同且编号是3个连续整数的概率为.
(2)设“取出的3个球中恰有2个球编号相同”为事件B,则P(B)===. 答:取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率为.
(3)X的取值为2,3,4,5.
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==,
P(X=5)==.
所以X的分布列为
12.【解析】(1)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A,B,C,D,E.
则其概率分别为
P(A)==,P(B)=,P(C)==,P(D)=,P(E)==.
设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为Y,则Y的分布列为:
EY=1×+2×+3×+4×+5×=.
若捐款10元者达到1 500人次,那么购买学习用品的款项为1 500EY=3 500(元), 除去购买学习用品的款项后,剩余款项为1 500×10-3 500=11 500(元),
故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗.
(2)记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F,则P(F)=××
+×+××=.
即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为.
13.【解析】(1)①记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A,设袋中白球的个数为x,则
P(A)=1-=,得x=5或x=14(舍去).故白球有5个.
②随机变量X的取值为0,1,2,3,
P(X=0)==;P(X=1)==;
P(X=2)==;P(X=3)==.
故X的分布列为:
(2)设袋中有n个球,其中有y个黑球,
由题意得y=n,所以2y<n,2y≤n-1,故≤.
记“从袋中任意摸出2个球,至少有1个黑球”为事件B,
则P(B)=
=〃+〃+〃
=+×≤+×=.
所以白球的个数比黑球多,白球个数多于n,红球的个数少于,故袋中红球个数最少.
【方法技巧】随机变量分布列的求法
(1)搞清随机变量每个取值对应的随机事件,思考目标事件如何用基本事件来表示,求出随机变量所有可能的值.
(2)利用对立事件和互斥事件求出取每一个值时的概率,计算必须准确无误.
(3)注意运用分布列的两条性质检验所求概率,确保正确后列出分布列.
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