第七章 直线与圆的方程
第07章 直线与圆的方程
2.直线的斜率
倾斜角( ≠ °)的正切值叫这条直线的
斜率,即K=tan( ≠ °).
3.直线的倾斜角与斜率的关系
tan (其中为直线的倾斜角，且 ≠ °)：
当为锐角时，k>0;
当 = °时，k不存在；
当为钝角时，k<0;当 = °时，k=0.
(4)经过点P(2,4)，且倾斜角为90°的直线方程.
答案: + − =
(2) − + =
(3) − + =
(4) =
知识点1：根据已知条件求直线方程
2.根据下列已知条件求直线方程：
(1)求经过点A(4,1)，且在两坐标轴上截距相等
的横坐标都是 .
(2)方程 = 表示斜率为0，与y轴垂直的直线，直线上的横
坐标都是 .
知识点1：根据已知条件求直线方程
1.根据下列已知条件求直线方程：
(1)斜率为-4，且过点(3,2)；
(2)过点A(1,1),B(-3,-2)两点；
(3)过点(-4，-1)，且倾斜角的余弦值为 ;
坐标是（
）.
（2）已知点A（-1,2），B（1,0），若点A与C关于
点B对称，则点C的坐标是（
）.
答案:()(, )
()(, −)
第二节 直线的倾斜角和斜率
知识清单
1.直线的倾斜角
(1)定义: 一条直线向上的方向与x轴的正方
向所成的最小正角叫直线的倾斜角.
规定:当直线l与x轴平行或重合时,倾斜角为0°.
A.[− , ]
C. , ∪ [ , )
直线与圆的方程
七、直线与圆的方程考试要求：1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。
掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2、掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式。
能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3、了解二元一次不等式表示平面区域。
4、了解线性规划的意义，并会简单地应用。
5、了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
仁与直线x+^3y-\= 0垂直的直线的倾斜角为：、.71 入 2/T * 5/rA. —B. —C.——D.——6 3 3 62、过坐标原点且与点(药,1)的距离都等于1的两条直线的夹角为：A. 90°B. 45°C. 30°D・ 60°3、直线厶的方程为y = -2x+\ ,直线厶与直线厶关于直线y = x对称，则直线厶经过点A. (-1, 3)B. (1, -3)C. (3, -1)D. (一3, 1)4、直线ax + 2y-1 =0与x + (a_l)y + 2 = 0平行，则a 等于：3A•二 B. 2 C. -1 D. 2 或一1 2\ + 3y-3<05、已知人y满足x>0 = —的取值范围是：x-14,1, 2]D. (-s,_l]u[2,+s)y Sx + 1,6、设*, y 满足约束条件：Pl'Jz = x + y 的最大值与最小值分别为:2x+y<7若x + 2y+ 3X0 ,则(x + 1)2 +(y+ 2)'的最小值为:A. y[5 8、 已知圆的方程为x - 2x + y - 4y - 5 = 0,则圆心坐标为 ___________________ ,圆与直线y 二5相交所得的弦长为 ______________ .9、 设加>0,则直线2(x+y) + \ + m = 0与圆x 2 + y 2 = m 的位置关系是：A.相切B.相交C.相切、相离或相交D.相交或相切 10、若直线心+纱一3 = 0和圆疋+ +4x-1 = 0切于点P (-l, 2),则ab 的值为：A. 2B. -2C. 一3D. 311、若直线 2eix-hy + 2 = 0(a>0,b>0)被圆，+b+2—4y + l = 0截得的弦长为B. (-s,-2] 51，+s)A. I ，3B. 5, |C. 5, 3D. 4, 3D.则丄+丄的最小值是a b4,A. 2 12. 过原点向圆x 2+y 2-6y+ —=0作两条切线, 413、已知直线ax + by-\=O(a,b 不全为0)与圆x 2 + / =50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A. 66 条B. 72 条C. 74 条D. 78 条14. 若点P 在曲线y = /-3/+(3-馆)尤+°上移动，经过点P 的切线的倾斜角4为Q ,则角a 的取值范围是：. s 兀、 s 兀、]I r 2/r 、 入 r 2/r 、 « rzx 兀、]i z /r 2/r-A. [0,—)B. [0,y)Ul —7-^) 0. [-^~,龙) D< [0, —)U( —7-]15. 如图一圆形纸片的圆心为0, F 是圆内一定点，M 是I上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片痕为CD,设CD 与0M 交于P,则点P 的轨迹是：B. 双曲线C. 抛物线 D .圆16、与两圆x 2+y 2 =l/tx 2+y 2-8x + 12= 0都外切的动圆的圆心在:A. 一个椭圆上B.双曲线的一支上B.4则两条切线间圆的劣弧长为: A.兀D.A.椭圆C.椭圆的一部分上D.双曲线上17、若点P(x, y)满足等式5V(x-l)2+(y-2)2 M 5y +11,则点P的轨迹是:A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线x = \ + cos O J18、圆C: (&为参数)的普通方程为_____________ ,设0为坐标y = sin &,原点，点M ( , y0)在C上运动，点P (x, y)是线段0M的中点，则点P的轨迹方程为___ O19、过点C (6, -8)作圆x2 + y2 = 25的切线于切点A、B,那么C到直线AB的距离为：A. 15 Be — C. 5 D. 10220、已知圆(x-3)・yJ4和直线y=mx的交点分别为P, Q两点，0为坐标原点，«'J \OP\ - \O(J\的值为_________________ 。
直线与圆的方程
直线与圆的方程方程是数学中重要的概念，是由变量、符号和数字组成的式子，它表示一种规律，可用来描述空间图形的形状和位置关系，其中最基本表示形状的方程是直线和圆的方程。
直线的方程是最基本的平面几何图形，它是两点之间最短的路径，用一元一次方程来表示，例如y=ax+b，其中a和b是实数。
值得注意的是，a是斜率，而b是截距，只有当两个参数都确定，才能确定一条直线，而不确定的参数只能确定一条平行于此直线的直线。
另一种形状的方程是圆的方程。
圆是有界的平面图形，由一个内切圆环和它的内切圆环组成，它的方程是（x-a）2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径，只有当圆心和半径都确定，才能确定一个圆，而不确定的参数只能确定一个相似的圆。
圆的表示方式又有两种，一种是非积分的极坐标形式，如r=a cos （θ）+b sin（θ），其中a和b是实数，θ代表角度。
另一种是标准形式，其方程为（x-x0）2+(y-y0)2=a2，其中（x0，y0）是圆心坐标，a是半径。
圆和直线这两种方程本质上是不同的，此外，它们在坐标系中表示出来的形状也是不同的，直线是一种平行于坐标轴的线，而圆则是一个有界的圆环，它的中心在坐标原点，其半径为a。
圆和直线的方程极大地丰富了几何图形的表达能力，通过对它们的方程的推导和求解，可以更好地理解图形的性质，从而推动几何学的发展，推动数学的发展。
从定义上讲，直线和圆的方程是可以相互转换的。
比如，可以将一元一次方程y=ax+b换成(x-a)2+(y-b)2=r2，这样，直线就可以转换成圆，圆也可以转换成直线。
另一方面，通过对直线和圆的方程求解，可以用它们来解决复杂的数学问题，比如求两个圆的位置关系，求一条直线与一个圆的位置关系，求一条直线与另一条直线的位置关系等等，这些复杂的数学应用可以用直线和圆的方程来解决。
由此可见，直线和圆的方程是数学中至关重要的概念，它丰富了图形的表达能力，并可用来解决复杂的数学问题，是数学发展的基础。
直线与圆的方程
直线与圆的方程在几何学中，两个最基本的概念是“直线”和“圆”，本文将讨论它们的方程。
直线直线是指一条无限长的直线，它可以任意的方向进行无限的伸展。
一般的，直线由两个不同的点来定义，这两个点在无穷小的范围里面都可以位于直线上，这两个点被称为斜率的定义点。
首先，直线的定义形式：直线的定义方程可以用一般式来表示，即 y=ax+b。
中y为直线上的点的垂直距离，a为斜率，x为点在直线上的横距离，b为斜率定义点的垂直距离，比如一条直线由两点A（x1，y1），B（x2，y2）确定，则斜率a=(y2-y1)/(x2-x1)，定义点的垂直距离b=y1-ax1，可以得出直线方程。
另一种定义形式：直线可以椭圆角表示，即 Ax+By+C=0。
其中A,B,C是任意实数，则斜率a=-A/B，定义点的垂直距离b=-C/B，即可得出直线方程。
圆圆是一个有着指定半径的圆形。
它有着一个中心点，每一点都离中心点的距离都相等，任何一条线段的端点都在圆的边缘上。
圆的定义方程是：（x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
其中a,b是圆心坐标，r为半径，x，y分别为圆上任意一点的坐标。
这里，有两个特殊的圆，一个是圆心在原点的圆，即：x^2 + y^2 = r^2；另一个是圆心在点(a,b)的圆，即：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
总结本文介绍了两个几何基本的概念，直线和圆。
直线可以有两种表示形式，一般式为 y=ax+b，椭圆角式为Ax+By+C=0；而圆的定义方程分两种，一种是圆心在原点的圆，即：x^2 + y^2 = r^2；另一种是圆心在点(a,b)的圆，即：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
直线与圆的方程
直线与圆的方程
1 直线与圆
直线与圆是几何学中的一个基本概念，它是构成几何学中知识和技能的基础。
本文旨在详细介绍直线与圆的方程及其应用。
一、直线与圆的方程
直线与圆的方程是一种用来描述直线与圆的关系的数学方程式，它包含了圆的圆心坐标、半径、以及与圆的相交关系的参数，比如切点、关联直线本身的方程参数、直线的切点等。
其普通方程形式可总结为：
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
其中，$(a,b)$ 为圆心坐标，$r$ 为半径，$x,y$ 为直线参数。
二、应用
2.1 圆弧
圆弧，即圆周上的一部分，是根据圆曲线来定义从一点到另一点的弧形物体。
圆弧的弧度可由圆弧两端点以及圆心求出，以及圆弧方程
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
其中，$(a,b)$ 为圆心坐标，$r$ 为半径，$x,y$ 为直线参数，可得到弧线长度。
2.2 极坐标
极坐标是一明确的平面坐标及其表示方法，它设定一个坐标原点，然后由极径和极角构成一个坐标表示法。
而极坐标方程也可以由直线
与圆的方程得到：
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
其中，极径 $\rho=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$，极角
$\varphi=\arctan\frac{y-b}{x-a}$。
三、总结
本文介绍了直线与圆的方程及其应用，明确了直线与圆的普通方
程形式，分析了圆弧的定义及圆弧方程，以及极坐标的应用。
这些概
念及方程应用在几何学及其它学科中都是至关重要的，让我们更好地
描述物体以及预测物体运动等。
高二数学 第七章 《直线和圆的方程》同步辅导教材
高二数学第七章《直线和圆的方程》同步辅导教材一、知识结构二、学习指导1、本章让学生初步接触解析几何的基本思想，即在坐标系这个工具之下，理解形与数（方程）的对应关系。
从形到数，给出了两个最基本图形直线和圆对应的方程，在此基础上，将图形的几何位置关系研究通过数的知识来解决，如两条直线平行及垂直的关系，反映在它们对应的方程的系数关系上。
从数到形，在二元一次方程（等量关系）的基础上，介绍了二元一次不等式的几何意义，并用这个几何意义解决一类二元函数的最值问题。
以形助数的思想，既可以理解为解析几何的运用（方程的几何意义是曲线），又可以理解为是对解析几何的补充。
从而说明了数和形之间是辩证统一的。
2、倾斜角和斜率是描述直线方向的两个重要参数。
倾斜角是区间角[0，π），倾斜角与斜率之间是正切函数的关系，斜率k∈（-∞，+∞）。
直线方程的五种形式中，点斜式、斜截式、两点式、截距式都具有明确的几何意义，从几何条件看，主要是两种条件：两点及点斜。
直线方程的一般式偏重于数，说明什么的二元方程与直线对应。
求直线方程主要用待定系数法，关键是选择适当的形式，若选择k作为参数，应注意其不存在的情形。
含参数的直线方程为直线系，直线系的特征无非是两种：平行直线系与旋转直线系。
3、在二元一次方程与直线对应的基础上，借助于分类讨论的思想，课本介绍了二元一次不等式的几何意义，利用它可以解决用数的方法（单调性及基本不等式）所不能解决的一类二元函数问题。
作为这类二元函数的模型，课本介绍了《运筹学》中的重要分支简单线性规划，体现了学实用数字的新教材理念。
4、圆是一种简单的图形，通过圆的学习，一方面体会曲线和方程的对应关系，另一方面通过在圆的解题过程中大量运用圆的几何性质，揭示了数与形的紧密联系。
5、本章主要方法：坐标法，待定系数法，配方法，向量法；本章主要思想方法：数形结合，消元思想，分类讨论。
三、典型例题例1、点A（1，0）到直线l的距离为2，点B（-4，0）到l的距离为3，求l的条数。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程1.直线的定义：直线是由一切与它上面两点P、Q相应的全体点构成的集合。
在坐标平面中，直线可以由一般式方程、对称式方程、斜截式方程、截距式方程等多种形式表示。
2.一般式方程：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
一般式方程表示直线的一种常用形式，它能够直观地反映直线的方向和位置。
3.对称式方程：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。
对称式方程通过给出直线上两个点的坐标，从而确定直线的方程。
4. 斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程将直线的方程转化为了y和x的关系，便于直观地理解直线的特征。
5.截距式方程：x/a+y/b=1，其中a和b为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程能够直观地表达直线与坐标轴的交点，并通过截距反映直线的位置和倾斜情况。
二、圆的方程1.圆的定义：圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的轨迹。
在坐标平面中，圆可以由一般式方程、截距式方程、标准方程等多种形式表示。
2.一般式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般式方程为圆的一种常用形式，能够直观地描述圆的位置和形状。
3.截距式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
截距式方程通过圆的截距反映了圆的位置和形状。
4.标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
通过圆的标准方程，可以直观地反映圆的位置、形状以及与坐标轴的交点等信息。
5. 圆的三角方程：由半径与直径、半径与斜边等关系来定义圆的方程，例如sinθ = r/l，其中θ为圆心角的弧度，l为圆弧的长度。
圆的三角方程常用于解决涉及圆的三角学问题。
高中数学第七章直线和圆的方程--线性规划与圆的方程
一、线性规划1．二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）2. 目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t =a x +b y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域.其中可行解),(),,(1100y x B y x A (一般是区域的顶点)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）;（2）设t =0，画出直线0l ;（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解),(),,(1100y x B y x A ;（4）最后求得目标函数的最大值及最小值二、曲线的方程和方程的曲线4．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 定义的理解：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法5．求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)三、圆的方程6．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆B(-52,52)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=0063x y x y (98,178)3x+5y=05x+3y-15=0x-y+1=0C BA O 3x-5y-3=0-1-1157. 圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+-.两个基本要素：圆心),(b a C ，半径为r ，若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+ 8．圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线才是圆，把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形例1画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.解：先画直线2x +y -6=0（画成虚线）.取原点（0，0），代入2x +y -6,∵2×0+0-6=-6＜0,∴原点在2x +y -6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y -6＜0表示的区域如图：例2 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域.解：不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合，x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域: 例3求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x 解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（817,89）的直线所对应的t 最大.所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11.z m ax =3×89+5×817=14 例4 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程 解：设点),(y x M 是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，那么点M 属于集合P ={M ｜｜MA ｜-｜MB ｜=2}即 y y x --+22)2(=2整理得 222)2()2(+=-+y y x , ∴281x y = 因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0，虽然原点O 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知3x-4y-7=0r M C(1,3)xO y曲线，所以曲线的方程应是：281x y = (x ≠0) 例5 已知△ABC ，)2,0(),0,2(--B A ，第三个顶点C 在曲线132-=x y 上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程解：设△ABC 的重心为G ),(y x ，顶点C 的坐标为),(11y x ，由重心坐标公式得320,30211y y x x +-=++-=⎩⎨⎧+=+=∴232311y y x x 代入13211-=x y 得31)23(322-+=+x y 31292++=∴x x y ，即为所求轨迹方程在这个问题中，动点C 与点G 之间有关系，写出C 与G 之间的坐标关系，并用G 的坐标表示C 的坐标，而后代入C 的坐标所满足的关系式化简整理即得所求,这种方法叫相关点法 例6 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程 解：已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程 因为圆C 和直线0743=--y x 相切，所以半径r 就等于圆心C 到这条直线的距离 根据点到直线的距离公式，得516)4(3|73413|22=-+-⨯-⨯=r 因此，所求的圆的方程是 25256)3()1(22=-+-y x 例7求过三点)2,4(),1,1(),0,0(N M O 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x ，∵)2,4(),1,1(),0,0(N M O 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D ∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x 542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-F D 得圆心坐标为（4，-3）. 或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22=++-y x ,从而求出圆的半径5=r ，圆心坐标为(4,-3)例8 求圆心在直线x -y -4=0上，且经过两圆03422=--+x y x 和03422=--+y y x 的交点的圆的方程 解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为)1(0)34(342222-≠=--++--+λλy y x x y x则其圆心坐标为)12,12(λλλ++ ∵所求圆的圆心在直线04=--y x 上， ∴31,041212-==-+-+λλλλ ∴所求圆的方程为032622=-+-+y x y x。
直线与圆的方程
直线与圆的方程
几何学是数学的一个分支，几何学研究形状、大小和空间关系，多年来被广泛用于建筑学、机械设计、工业制图、航空航天、地理学和其他各个领域。
其中最基本的几何图形是直线和圆。
本文将介绍它们的方程，以及如何利用它们来求解几何问题。
直线的方程：
直线是平面上一组点之间连续的无穷线段，抽象出来可以用一个简单的方程来表示。
最常用的直线方程，也叫做一般式，是这样的： Ax+By+C=0
其中A、B、C是常数，满足A≠0或B≠0的要求。
例如，一条直线上的点(x1,y1)，其斜率为m，则其方程可以写成：
y-y1=m(x-x1)
把上述公式化简，得到Ax+By+C=0的形式：
m(x-x1)+y1=0
解得：A=m，B=-1，C=y1
圆的方程：
圆是二维坐标系中最常见的几何图形，它是一组点与指定中心点距离都相等的点组成。
圆的方程一般写成：
(x-a)+(y-b)=r
其中a、b是圆心的坐标，r是圆的半径。
可以看出，直线的方程是一元一次方程，而圆的方程则是一元二次方程。
结合这两种几何图形的方程，我们可以解决更复杂的几何问
题。
例如，求圆O与直线l的交点：
首先将l的一般式写成Ax+By+C=0，假设圆O的方程为
(x-a)+(y-b)=r，将l的一般式代入圆的方程，得到：
A(x-a)+B(y-b)+C=0
可以看出上述公式是一元四次方程，将它消化为二元二次方程，然后求解即可求得圆O与直线l的交点。
总之，直线和圆都具有自己的方程，它们对于解几何学问题非常重要，熟悉它们的方程及其运用对于几何学的学习有很大的帮助。
第七章 直线与圆的方程
能力思维 能力思维方法
1.已知二直线 1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定 ,n 已知二直线l 试确定m 已知二直线 和 试确定 的值, 的值,使 相交于点P(m,-1); ①l1与l2相交于点 ; ②l1‖l2; 轴上的截距为-1. ③l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为 轴上的截距为
第七章 直线与圆的方程 第1节 直线方程
要点疑点 要点疑点考点
1.倾斜角,斜率,截距 倾斜角,斜率, 倾斜角 直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角 轴正方向所成的最小正角, 直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角,叫做这条 直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是 , ] 倾斜角的取值范围是[ 直线的倾斜角 倾斜角的取值范围是[0,π] (2)若直线的倾斜角为 若直线的倾斜角为α(α≠90°),则k=tanα,叫做这条直 若直线的倾斜角为 °, = , 线的斜率.经过两点 经过两点P 线的斜率 经过两点 1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线 , 的直线 的斜率
解题回顾】 若直线l 的方程分别为A 【 解题回顾 】 若直线 1 , l2 的方程分别为 1x+B1y+C1=0和 和 A2x+B2y+C2=0 , 则 l1‖l2 的 必 要 条 件 是 A1B2-A2B1=0 , 而 l1⊥l2的充要条件是 1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论,常依 的充要条件是A 解题中为避免讨论, 解题中为避免讨论 据上面结论去操作. 据上面结论去操作
C C2 为:d = 1 A2 + B 2
课前热身
1.已知点 ,2),直线 已知点P(1, ,直线l:2x+y-1=0,则过点 且与直线 平行 且与直线l平行 已知点 ,则过点P且与直线 的直线方程为__________,过点P且与直线 且与直线l垂直的直线方 的直线方程为 zx+y-4=0 , 过点 且与直线 垂直的直线方 程为___________;过点P且直线 夹角为45° 且直线l夹角为 程为 x-2y+3=0 ;过点 且直线 夹角为 °的直线方程为 3 3x+y-5=0或x+3y-7=0 ;点P到直线 的距离为 5 5 直线 或 ____________________; 到直线L的距离为 到直线 的距离为____, , 5 L与直线 与直线4x+2y-3=0的距离为 的距离为_________ 与直线 的距离为 10 2.若直线 1:mx+2y+6=0和直线 2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不 若直线l 和直线l 若直线 和直线 平行但不 重合, 的值是______. 重合,则m的值是 -1 的值是 3.若直线 1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第一象限, .若直线l 的交点在第一象限, 与 的交点在第一象限 的取值范围是______________. 则k的取值范围是 -2/3<k<2 的取值范围是 < <
第七章“直线和圆的方程”简介
第七章“直线和圆的方程”简介《全日制普通高级中学教科书(试验修订本)·数学》第二册(上)第七章是直线和圆的方程。
教科书是根据《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》(以下简称《新大纲》)必修课的直线和圆的方程部分编写的。
《新大纲》的直线和圆的方程的主要内容属于《全日制中学数学教学大纲》(修订本)(以下简称《原大纲》)高中阶段的平面解析几何的内容。
《原大纲》平面解析几何部分的教学内容包括直线、圆锥曲线、参数方程、极坐标等内容。
《新大纲》的第7部分将《原大纲》直线部分的有向线段、两点间的距离公式、线段的定比分点等内容移至前面章，将《原大纲》参数方程的部分内容、圆的参数方程由原来的选学内容移入本章改为必学内容。
增加了二元一次不等式表示区域、简单的线性规划问题及研究性课题、实习作业的新内容。
基本保留了圆方程部分的内容。
◆本章的主要内容如下：◆直线的倾斜角和斜率。
直线方程的点斜式、两点式。
直线方程的一般式。
◆两条直线平行与垂直的条件。
两条直线的夹角。
点到直线的距离。
◆用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。
◆研究性课题和实习作业。
◆曲线与方程的概念。
由已知条件列出曲线方程。
圆的标准方程和一般方程。
圆的参数方程。
从上面可知，本章的最主要的内容是直线方程、圆的方程以及线性规划的初步知识。
本章共需25课时，课时具体分配如下（供参考）：7.1直线的倾斜角和斜率约2课时7.2直线的方程约3课时7.3两条直线的位置关系约5课时7.4简单的线性规划约3课时7.5研究性课题和实习作业：线性规划的实际应用约4课时7.6曲线和方程约3课时7.7圆的方程约3课时小结与复习约2课时一、内容与要求本章七小节的内容大致可以分为三个部分：第一部分包括直线的倾斜角和斜率、直线的方程、两条直线的位置关系；第二部分包括简单的线性规划、研究性课题和实习作业；第三部分包括曲线和方程、圆的方程。
直线和圆都是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用。
直线与圆的方程
直线与圆的方程
几何学中的直线与圆是最基本的几何图形之一，它们的方程系统被应用到许多方面，从算术检查到解决社会问题。
因此，了解直线和圆的方程是很重要的。
首先，让我们来看看直线的方程。
直线能够用一般式表示，即
y=mx+b，其中m为斜率，b为截距，而x和y则分别代表x轴和y轴的坐标。
从此方程可以看出，当斜率m为零时，直线就是一条平行于y轴的水平直线，而当b为零时，直线就是一条平行于x轴的垂直直线。
接下来，让我们来看看圆的方程。
圆形可以用半径r和圆心坐标（h,k）表示，即（x - h） +y - k）＝r，其中r为半径，h和k分别表示x轴和y轴的圆心坐标。
由该方程可知，当半径r为零时，圆形就是一个中心位于原点的唯一的点。
此外，此几何图形的方程系统还与一些许多非几何图形有关，例如抛物线和双曲线。
这些非几何图形可以通过将直线和圆的方程参数不断迭代、调整，来得到更复杂的几何图形。
比如，圆的半径可以不断变化，而斜率m也可以不断变化，最终可以得到二次曲线的方程。
在应用上，几何的直线和圆的方程经常用于做算术检查。
这是因为数学检查要求学生仔细检查表达式的正确性和准确性，并确保所有答案都是准确的。
同时，此几何方程也可以用于解决一些社会问题，例如解决土地使用问题和流域管理问题，它可以用来识别影响社会和环境的因素，并及时调整社会发展的方向。
综上所述，直线和圆是几何学中最基本的几何图形之一，它们的方程系统对于数学检查和解决社会问题都有很大的帮助。
它们的参数可以不断调整，从而得到复杂的几何图形，这是一个非常强大的工具。
07-第七章_直线和圆的方程
直线的方程〖考纲要求〗理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。
〖双基回顾〗1、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按__________________________________________________________,那么角就叫做直线的倾斜角。
规定：当直线和x 轴平行或重合时其倾斜角为：_ __，所以直线的倾斜角的取值范围是：_______________.2、直线的斜率是指：_____________________________________________.3、经过两面点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)的直线的斜率公式为：k =_______________.4、直线方程的五种形式及其应用范围：方程名称方程形式 应用条件 点斜式斜截式两点式一般式〖课前训练〗1、直线9x －4y =36的纵截距为………………………………………………………………………（ ）(A )9 (B )－9 (C ) －4 (D ) 94- 2、直线l 1：y =ax +b ，l 2：y =bx +a （a 、b 是不等的正数）的图象应该是…………………………（ ）3、直线经过点P （－2，－1）并且在两坐标轴上的截距和为0，则此直线方程为 .4、两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，在方向向量为a =(1,k )的直线上且AB =t ，则|y 1－y 2|=________（用t ,k 表示）. 〖典型例题〗1、若2π-<α<0，则直线y =xcot α的倾斜角是……………………………………………………（ ） （A ）α （B ）απ-2 （C ）2πα- （D ）απ+2、下列四个命题中真命题是…………………………………………………………………………（ ）(A )经过点P (x o ,y o )的直线都可以用方程y －y o =k (x －x o )表示.(B )经过任意两不同点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示.(C )不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示. (D )经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示.(A ) (B ) (C ) (D ) l 1 l 2 y O x y O x y O x y O x l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 25、求将直线x －y 3+=2绕点()3,2逆时针旋转12π后所得直线方程.6、求过点P (0,1)的直线，使它夹在两已知直线l 1：2x ＋y －8=0和l 2：x －3y ＋10=0间的线段被点P 平分。
高二数学课件 第七章 直线和圆的方程(课件) §7.6 圆的方程 (3)
2．圆心为原点，半径为r
的圆的参数方程：
y
x r cos
y
r
sin
rP
y
Ox
x
其中为参数.
3．圆心为点(a，b)，半
径为r的圆的参数方程：
x a r cos y
P
y
b
r
sin
bv
r y
其中为参数.
O
ax x
4．参数方程和普通方程 的定义：见教材P80.
例1 (教材P80例6)如图所示, 已知点P是圆x2 + y2 = 16上的一
个动点, 点A(12, 0)是x轴上的定
点, 则线段PA的中点M的轨迹是
什么？分析：应先根据y线段中点坐
标
公
式
将
点
M
的
横
、
P(
纵
坐 4cos
,4 sin )
标M 表
示
出来，然后判断其关O系 ，从A(而12,0确) x
定其曲线类型．解答见教材.
说明:也可直接用相关点法求解.
例2 若实数x，y满足x2 + y2 2x + 4y = 0，求x y的最大 值． 分析一：将圆方程化为参数 方程来解． 3 10
例3 已知对于圆x2 + ( y 1)2 = 1上任意一点P(x，y)，不等式x + y +m 0恒成立，求实数m的取值 范围． m 2 1.
注：若令u = x y，则 x + y + m 0恒成立m umax， 因而也可仿例2的解法二、解法 三求解． 练 习 ： 教 材 P81 练 习 1 、 2 、
分析二：令x y = u，代入 圆方程，利用判别式来解．
第七章《直线和圆的方程》教材分析及教学建议
y2 ⅳ. 对于 z= x 1 ，z 可看作是点(x,y)与点(1,2)连
线的斜率.
（5）在讲解“曲线和方程”的概念时， 要让学生深刻认识和理解定义：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解：
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点.
四、 内容分析: §7.1直线的倾斜角和斜率 重点：直线倾斜角和斜率概念。 难点：斜率概念的学习和过两点直线的斜率公式 的建立。直线方程和方程的直线的概念；
倾斜角分两种情况： a. 当直线和 x 轴平行或重合，规定为 ； b. 当直线与 x 轴相交时，规定把 x 轴绕交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。 斜率与斜率公式： a. 倾斜角不为 的正切值叫做直线的斜率； b. 倾斜角为 的直线斜率不存在； c. 斜率公式的推导，直线的方向向量。
问题四：已知直线过点（2，3）且在两坐标 上的截距相等，求直线的方程.
问题五：过圆（x-1）2+y2=1外一点（2，4） 作圆的切线，求所作切线的方程.
（4）在进行线性规划内容的教学时，要注意数形 结合思想方法的渗透，通过对目标函数的几何意义 的提炼，找到合理、简捷的解题方法。
问题六 已知 x、y 满足条件 x+2y-2≤0, x≥0,y≥0.
求 x 2 y 2 的最小值. 问题二：已知实数 x,y 满足 x2+y2=1，求
x
y
2
的取值范围.
y=kx,
问题三：已知方程组 y= . x2 1 试讨
论 k 的取值范围，使得该方程组分别有一解、
二解和无解.
（3） 重视分类思想在教学中的渗透。例如： 直线倾斜角的定义、直线斜率的定义、如何用 直线的点斜式和斜截式设直线方程、过圆外一 点求圆的切线方程时要注意什么、设直线的截 距式方程时又要注意什么等。
直线与圆的方程
直线与圆的方程直线和圆是数学中最基础的几何形体，它们之间有着密切的关系。
本文就直线和圆方程之间的关系进行深入研究，希望对读者能有所帮助。
先来说说关于直线和圆方程的基本内容，直线是一种平行投影由两个点确定，它可以用两点式表示为：$$frac{x-x_0}{x_1-x_0}=frac{y-y_0}{y_1-y_0}$$ 中 $(x_0,y_0)$ $(x_1, y_1)$直线上的任意两点，则直线的斜率m可以表示为：$$m=frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$$ 此，直线的一般方程可以写成：$$y-y_0=m(x-x_0)$$而圆，是一种具有确定半径的曲线，它具有一个特殊的参数方程：$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 中 $(x_0, y_0)$圆的圆心，r是圆的半径。
现在，我们来讨论直线和圆之间的关系。
当两条直线交于一点P 时，它们一定可以确定一个有限的圆，即其圆心在相交点P处，以P 为圆心，且其半径等于相交点P到另外一条直线的距离。
接下来，我们来讨论最常见的直线与圆方程相关的问题，即直线方程是： $$y-y_0=m(x-x_0)$$方程是：$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 设此时直线和圆有两个交点，求这两个交点的坐标。
由直线的一般式可以知道，直线上任一点 $(x, y)$离 $(x_0,y_0)$距离是： $$d=frac {|y-y_0-m(x-x_0)|}{sqrt{m^2+1}}$$ 圆方程表示，当圆上任一点 $(x, y)$离 $(x_0, y_0)$距离是：$$d=sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r$$ 这两个距离等式相等可得：$$frac {|y-y_0-m(x-x_0)|}{sqrt{m^2+1}}=r$$ 令$$a=frac{1}{sqrt{m^2+1}} b=frac{-2x_0}{sqrt {m^2+1}}c=frac{x_0^2+y_0^2-r^2}{sqrt {m^2+1}} $$ 上述方程可以化为二次方程的形式： $$ax^2+bx+c=0$$设 $$D=b^2-4ac$$ $$D>0,$$有两个不同的实数根$$x_1=frac{-b+sqrt D}{2a}, x_2=frac{-b-sqrt D}{2a}$$ 于是有相应的两个满足方程的点 $$(x_1, y_1)=(x_1,mx_1+y_0-mx_0)$$ $$(x_2, y_2)=(x_2, mx_2+y_0-mx_0)$$ 若 $$D=0,$$有两个相同的实数根$$x_1=x_2=frac{-b}{2a}$$ 于是有一个满足方程的点 $$(x,y)=(x_1, mx_1+y_0-mx_0)$$最后，当 $$D<0$$，方程没有实数根，直线和圆无法相交。
高二数学教案第七章 直线和圆的方程教材分析
第七章直线和圆的方程教材分析本章的最主要的内容是直线方程、圆的方程以及线性规划的初步知识（直线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式、两点式.直线方程的一般式.两条直线平行与垂直的条件.两条直线的夹角.点到直线的距离.用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题. 研究性课题和实习作业. 曲线与方程的概念由已知条件列出曲线方程. 圆的标准方程和一般方程.圆的参数方程）.本章共需22课时，课时具体分配如下（供参考）：7.1直线的倾斜角和斜率约2课时7.2直线的方程约3课时7.3两条直线的位置关系约5课时7.4简单的线性规划约3课时研究性课题和实习作业：线性规划的实际应用约1课时7.5曲线和方程约3课时7.6圆的方程约3课时小结与复习约2课时一、内容与要求本章六小节的内容大致可以分为三个部分：第一部分包括直线的倾斜角和斜率、直线的方程、两条直线的位置关系；第二部分包括简单的线性规划、研究性课题和实习作业；第三部分包括曲线和方程、圆的方程直线和圆都是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用.初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究.初中代数研究了一次函数的图象和性质，高一数学研究了平面向量、三角函数.直线和圆的方程是以上述知识为基础的，同时是平面解析几何学的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.简单的线性规划是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的—个简单应用.通过这部分内容的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，以培养学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力为了建立直线的方程，本章首先引入了直线的倾斜角和斜率的概念，导出经过两点的直线的斜率公式.然后，利用经过两点的斜率公式，推导出直线方程的点斜式，利用点斜式，推导出直线方程的两点式；作为以上直线方程的特殊形式，介绍了直线方程的斜截式、截距式.指出了在平面直角坐标系中直线与二元一次方程的关系，介绍了直线方程的一般式.接着，研究了判定平面直角坐标系中两条直线平行和垂直的充要条件、两条直线的夹角和交点、点到直线的距离等问题作为直线方程的一个简单应用，介绍了简单的线性规划问题.首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个实例，介绍了线性规划问题及有关的几个基本概念及一种基本的图象解法，并利用几道例题说明线性规划在实际中的应用.安排了一个研究性课题和实习作业，使学生了解身边实际问题中线性规划的应用在第一部分研究了直线的方程的基础上，第三部分进一步讨论了一般的曲线的方程、方程的曲线概念，并着重研究了求曲线的方程的问题.作为一般曲线的具体例子，介绍了圆的标准方程、一般方程和参数方程.此外，本章安排了介绍向量与直线、笛卡儿和费马的两个阅读材料本章的重点是直线的方程、两条直线的位置关系、曲线和方程以及圆的方程，这些都是平面解析几何的重要基础知识.直线的方程、圆的方程是最基本的曲线方程.直线的方程是研究两条直线位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程及其它圆锥曲线方程的基础.曲线的方程、方程的曲线概念，是解析几何的基本概念，理解和掌握这两个基本概念，是求曲线的方程和讨论曲线的性质的基础.本章的教学要求有：1．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程2．掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系3．会用二元一次不等式表示平面区域4．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用5．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念.理解圆的参数方程7．结合教学内容进行对立统一观点的教育8．实习作业以线性规划为内容，培养解决实际问题的能力二、本章的特点(一)注意渗透数学思想方法数学思想方法是重要的数学基础知识.本章注意通过教学内容渗透从中反映出来的数学思想方法数与形是数学的两个最基本的研究对象，但是，在数学的早期发展历史上，人们对数与形的研究是相对独立和隔离的，从中发展出相对独立的代数学和几何学，直到解析几何学的产生，才使数与形这两个对象完美地结合起来.本章主要内容属于解析几何学的基础知识，学生初次接触借助于坐标方法研究图形.教科书注意渗透数形结合这一解析几何学中反映出来的重要数学思想方法.在本章引言中，教科书直接指出：“通过坐标系，把点和点的坐标、曲线和曲线方程联系起来，达到了形与数的结合”.引言中的实际问题都涉及到怎样把形转化为数，又把数转化成形的问题，分别属于计算机图形学、三维动画技术等领域，解析几何学的知识是这些现代技术的重要基础.在本章的一些参考例题和习题中都注意配备能比较明显体现数形结合这一重要数学思想方法的问题，在本章的“小结与复习”的需要注意的问题的(1)中又再次提出要注意这种重要数学思想.当然，数形结合这一重要数学思想是通过本章的主要内容为途径来体现的，新教科书直接提出这一思想，使之更加突出.教科书还通过阅读材料进一步介绍这种思想(二)注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益.与《原大纲》比较，《新大纲》在“直线和圆的方程”这部分内容之前增加了简易逻辑、平面向量等新的教学内容，把原位于“直线和圆的方程”这部分内容之后的充要条件移入第一章“集合与简易逻辑”中，客观上使这部分内容有了更新处理方法的可能例如，在处理两条直线平行的条件时，为了更好地反映解析几何利用方程讨论曲线性质的基本思想，教科书直接给出了用斜截式的斜率和截距表达的充要条件.在给出曲线的方程、方程的曲线概念以后，直接指出，如果曲线C 的方程是(,)0f x y =，那么点000(,)P x y 在曲线C 上的充要条件是00(,)0f x y =.在讨论二元一次不等式表示平面区域时，应用集合观点来描述直线和被直线划分所得的平面区域，并用集合的语言来表达这些点的集合，比较准确和简明.在介绍圆的参数方程时，首先讨论圆心在原点的圆的参数方程，利用三角函数的定义，直接得到圆的参数方程，沟通了这一知识与三角函数之间的联系“平面向量”是《新大纲》中新增加的一个重要内容，而“直线和圆的方程”与“平面向量”有着较为密切的联系，本章比较注意应用向量这一有力的工具来处理有关的内容.例如，在推导经过两点的直线的斜率公式时，过原点作向量，而直线OP 的倾斜角和直线12P P 的倾斜角相等，从而比较简捷地利用正切函数定义求得斜率公式.在讨论两条直线垂直的条件时，利用方向向量和斜率的关系，得到用斜率表达的垂直充要条件.教科书还安排了一个阅读材料“向量与直线”来帮助学生了解向量在直线问题中的应用(三)重视理论联系实际，注意培养用数学的意识注意贯彻理论联系实际的教学原则，培养学生应用数学的意识.本章的引言就从当今时代广泛应用的计算机技术中所涉及数学知识出发引入问题，让学生了解数学在今天的信息时代的重要地位，以激发学生学习的兴趣，树立正确的学习目的.本章的引言指出，在科研、工程设计、工艺美术、印刷、广告设计乃至影视艺术等各种领域，都已广泛应用各种计算机软件进行文字、图象的处理和创作.用这些软件，可以画各种多边形和圆等图形，并对这些图形进行各种操作.然后提出了两个问题：为什么用计算机能对文字、图形等作各种处理呢?我们怎样用某种计算机语言编写绘制图形的程序呢?这样，从某种角度提出了学习直线和圆的方程知识的意义.当然，在具体教学中，也可以根据实际教学情况，从其他的问题来引入新课本章还安排了“简单的线性规划”的内容，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对于数学知识的应用的重视.本章在介绍了二元一次不等式表示平面区域以后，用一个具体的例子说明了线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等有关的几个基本概念，介绍了线性规划问题的图解方法，举例说明了线性规划在实际中的应用第7．5节还安排了以线性规划为内容的研究性课题和实习作业.研究性课题主要原因是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究.在研究性课题中要充分体现学生的自主活动和合作活动.研究性活动应以所学的数学知识为基础，并且密切结合生活和生产实际，让学生了解所学知识在实际中的应用，并培养他们分析问题、解决问题的能力三、教学中应注意的问题(一)把握好本章的教学要求在本章中，对于直线方程的斜截式和截距式，《新大纲》没有把它们作为一种独立的直线方程形式提出来，教科书只是把它们分别作为直线方程的点斜式和两点式的特殊形式给出，对于斜截式，教材只配备少量习题和练习，对于截距式则只是出现一下，让学生能初步了解，没有专门练习和习题再作巩固训练，教学中要掌握好教学要求的度.在讨论两条直线的交点的问题时，不再就直线的一般形式对系数作讨论而得出一系列判定直线相交、平行、重合的条件，而仅要求学生能根据具体的直线方程组的解的情况来判断直线是否相交，如相交，会求出交点坐标.教学时不要拓宽加深.对于二元一次不等式表示平面区域以及线性规划问题，教科书都没有形式化地给出有关概念的定义，不作一般性讨论，而仅以特殊例子加以说明，教学中也不必引入形式化的定义(二)注意面向全体学生面向全体学生就是要对每一个学生负责，既要为所有学生打好共同基础，也要注意发展学生的个性和特长，进行因材施教本章的内容是进一步学习圆锥曲线、导数、微分、积分等的基础.因而，要学好整个高中数学，就必须打好本章知识的基础，否则将会给后续内容的学习带来许多困难.所以在教学中要注意关心每一个学生的学习，及时发现教学中的问题，查漏补缺，打好一个共同的基础，完成教学大纲的教学要求.此外，本章内容又为发展学生的个性和特长提供了许多可能，教科书也为此提供素材.例如，在一些问题的解答以后，教科书提出问题，要求学生用其他的方法解题.在推导了点到直线的距离公式后，提出研究一下用其他方法推导上面的距离公式.教科书安排了两个阅读材料，对本章所涉及的一些基本问题和数学史实、数学思想方法作了简要的介绍，可以要求学有余力的学生认真阅读和体会，帮助他们加深对所学知识的理解.例如阅读材料“向量与直线”介绍了把平面向量的一些知识应用于直线方程，讨论直线与直线的位置关系，使学生能复习平面向量的有关知识，加深对直线方程问题的理解.阅读材料“笛卡儿和费马”介绍了解析几何学产生的历史背景，以及两位数学家笛卡儿和费马在创立这门学科中的主要贡献，并就解析几何的创立对数学的发展所产生的重大影响作了介绍.通过阅读材料的学习，学生能从中了解一些重要的数学思想方法，并进而培养浓厚的学习兴趣，正确的学习目的，实事求是的科学态度，以及独立思考、勇于探索创新的精神(三)注意复习相关的教学内容本章的教学内容属于平面解析几何学的基础，研究的对象是直线和圆，属于几何图形，研究方法是坐标法，要综合应用代数、三角函数、平面几何、平面向量等多方面的知识，这就要求在教学中结合教学内容复习相关的知识.尤其是本章中应用平面向量来处理直线的问题较多，如直线的斜率、圆心不在原点的圆的参数方程等问题中都涉及应用向量这一有力工具来处理，教学中要注意复习相关知识四、关于教学内容的取舍关于直线方程的形式，《新大纲》规定的教学内容有点斜式、两点式、参数式和一般式，原大纲则还有斜截式和截距式.现在以例题形式作为点斜式、两点式的特殊形式保留了斜截式和截距式，一般认为，直线方程的点斜式和两点式给出了根据一定条件求直线方程的途径，但在具体应用中，由于点斜式和两点式的形式比较原始和复杂，参数比较多，常把它们化为斜截式和一般式；斜截式与初中的一次函数有相同的形式易于互相沟通，形式比较简单，参数有简明的几何意义；截距式的形式比较简明对称，参数意义明显，能为画直线图形提供方便。
第七章直线与圆的方程
课题：直线的方程一. 复习目标：1. 深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式；2. 掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练 写出直线方程. 二. 知识要点：1. 过两点P(X 1,y 1)、P 2(X 2, y 2)(X 1 H X 2)的直线斜率公式： _______2. ______________________________________ 直线方程的几种形式：点斜式： ________________________________________ ;斜截式：_ 两点式： _____________ ;截距式： _____________ ; 一般式：_ 三. 课 _ 1 •设0忘(壬'兀)，则直线XCOS 9 + y Sin 0 +1=0的倾斜角a 为2(A) 8——22. 已知a,b 亡N (A) 13. 已知M BC 的顶点A(_1,2) , B(3, 6)，重心G(0, 2)，则AC 边所在直线方程 为 ______________ ；经过点A(—2, 2)且与X 轴、y 轴围成的三角形面积是1的 直线方程是 _________________ ；过点(2,1)，且它的倾斜角等于已知直线y =3x +2的倾斜角的一半的直线l 的方程是■44. ______________________________________________________ 若直线I 的方向向量是a =(g 1),则直线I 的倾斜角是 __________________________ ；若点 M (2,-3)， N (-3, -2)，直线I 过点P(11)且与线段M N 相交，则直线I 的斜率 k的取值范围为—— 四.例题分析：例1 .已知直线l i 的方程为y =2x ，过点A(2, -1)作直线12，交y 轴于点C ,1交1i 于点B ，且|BC|=—|AB|，求12的方程.2例2.⑴已知P(1,3) P 2(7, 2)，试求P T W 被直线2x-5y+7=0所分成的比入； ⑵已知P(X 1,y 1)，P 2 (X 2, y 2)，若直线Ax + By +C =0与直线P P 2相交于点P ，—鼻A x +B y +CC 兀(C) 9 + —2，则过不同三点(a,0)，(0, b)，(1,3)的直线的条数为((B) 2(C) 3(D)多于 3-0(D)兀 (B) £P不与P2重合，求证：点P分P1P2的比- 1 By1 C .A X2+ By2+c例3.过点P(1,4)引一条直线I ,使它在两条坐标轴上的截距都是正数， 且它们的和最小，求直线I 的方程.例4 .虫ABC 的一个顶点A(2, 3)，两条高所在直线方程为X —2y+3=0和X + y -4=0，求三边所在直线方程.五.课后作业:1 11. 若ab c 。
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第七章 直线与圆的方程§7.1直线的方程1、下面命题中正确的是（ ）（A ）经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0=k(x-x 0)表示.（B ）经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)表示 （C ）不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示（D ）经过点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b 表示 2、如果AC 〈0且BC 〈0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ）(A)、第一象限 (B)、第二象限 (C)、第三象限 (D)、第四象限3、过点P （1，1）作直线L 与两坐标轴相交所得三角形面积为10，直线L 有（ ） （A ）、一条 （B ）、两条 （C ）、三条 （D ）、四条4、直线2x-y-4=0绕它与x 轴的交点逆时针旋转450，所得的直线方程是_______5、直线L 过点A （0，-1）,且点B （-2，1）到L 的距离是点)2,1(C 到L 的距离的两倍，则直线L 的方程是_______6、已知ϕ是直线L 的倾斜角，且sin ϕ+cos ϕ=51，则直线L 的斜率为__________.7、直线L 在两坐标轴上的截距之和为12，又直线L 经过点（-3，4），则直线L 的方程为_________8、当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点_______ 9、过点P （1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程.10、已知两点A （-1，-5）,B （3，-2），直线L 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线L 的斜率.11、已知圆C ：(x-2)2+(y-1)2=1,求过A （3，4）的圆C 的切线方程. 12、求函数θθcos 31sin +-=y 的值域.答案： 1:B; 2:B ; 3:D; 4:y=-3x+6; 5x-y-1=0; 6:-34;7:3x+9y-27=0或16x-4y+64=0 ;8: (1,1) 9:解：设所L 的方程为：)0,0(1>>=+b a by a x∵直线L 经过点P （1，4） ∴141=+ba∴942545))(41(=⋅+≥++=++=+abb a ab ba b a bab a当 且仅当=ba 4ab 即a=3,b=6时a+b 有最小値为9，此时所求直线方程为2x+y-6=0。
10．解：设直线L 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α。
∴k AB =tan2α=.431352=++- 又tan243tan 1tan 22=-=ααα31tan =∴α 或3tan -=α00≤2α＜1800，∴00≤α＜900∴0tan ≥α∴αtan 31∴直线的斜率为3111.解：设过A （3，4）的直线y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0由,1134122=+-+-kkk 得k=34∴切线方程为)3(344-=-x y ，即4x-3y=0但过A （3，4）向圆可作两条切线，一条从斜率不存在的直线中去找，一条切线为x=312.解：θθcos 31sin +-可以看成两点A()sin ,cos θθ,B(-3,1) 连线的斜率，B 为定点，A 为动点,动点A如图,只需求直出直线l 1的斜率k 1即可不难求出k 1=-43，又k 2=o∴由图可知，定点B 与动点A 连 线的斜率K 的范围为，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,43， 故原函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,43。
§7.2 直线与直线的位置关系1、已知集合M={(x,y)∣x+y=2}，N={(x,y)∣x-y=4},那么集合M ∩N 为( )1xA. {3,-1} BCD{(3,-1)}2、已知点M(a,b)，若点N 与M 关于x 轴对称，点P 与N 关于y 轴对称，点P 与点Q 关于直线x+y=0对称，则点Q 的坐标为( )A. (a,b)B. (b,a)C. (-a,-b)D.(-b,-a) 3、已知直线2x+2y-2=0和mx-y+1=0的夹角为4π，那么m 的值为( ) A. -31或-3 B.31 或3 C. -31或3 D.31或-34、已知两直线l 1:y=x ，l 2:ax-y=0,其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0,12π)内变动时，a 的取值为( ) A. (0,1) B. (33,3) C.(33,1) (1,3) D.(1,3)5、已知直线ax+3y+1=0与直线x+(a-2)y+a=0，当a= 时，两直线平行， 当a= 时，两直线重合；当a ∈ 时，两直线相交.6、已知曲线C ：y=x 2，则它关于x-y-2=0对称的曲线方程是 7、直线ax+4y-2=0与2x-5y+c=0垂直于点(1,m)，则a= c= m=8、已知P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角20(παα<<)，所得的直线方程为l 1:3x-y-4=0，若继续绕P 点逆时针方向转απ-2，则得直线l 2的方程为x+2y+1=0，求直线l 的方程.9、已知正方形ABCD 的相对顶点A(0,-1)和C(2,5),求顶点B 和D 的坐标。
10、已知椭圆C 的直角坐标方程为13422=+yx，试确定m 的取值范围，使得对于直线y=4x+m ，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称。
1、D2、B3、C.4、C 5. 3,-1,{a 3≠a 且R a a ∈-≠,1}6.x=y 2+4y+6 7、10,-12,-28、解:P 点的坐标为直线3x-y-4=0与 x+2y+1=0的交点，即（1，-1）所求的直线与l 2垂直，故斜率k=2，所以l 的方程为y+1=2(x-1),即:2x-y-3=0 9、解：AC 中点P(1,2),因为k AC =3，所以K BD =-31,直线BD 的方程y-2=-31(x-1),即x+3y-7=0,直线AC 的方程为3x-y-1=0,又∴=,102AC B 和D 的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--073101013y x y x ，解之得{41==x y 或{23-==x y 即B 、D 的坐标分别为（4，1）及（－2，3）。
10、解：椭圆C 有不同的两点关于直线l:y=4x+m 对称，其充要条件是直线l 1:y=41-x+n 与椭圆C 有两个不同的交点P,Q ，且P.Q 的中点在l 上。
由⎩⎨⎧=++-=12434122y x nx y ⇒13x 2－8nx+16n 2-48=0x 1≠x 2所以∆=64n 2-52(16n 2-48)>0, 所以 213213<<-n又131222)(412,1342212121=++=+=+nx x y y n x x ,PQ 中点在l 上,所以1313213132,134,13161312<<-∴-=∴+=m n m m n n§7.3线性规划1、已知)34,21(),1,1(),0,0(321P P P ，则在不等式0132≤+-y x 表示的平面区域内的点是（ ）A 、21,P PB 、2PC 、32,P PD 、3P2、不等式0654>--y x 表示的平面区域在直线0654=--y x 的（ ）A 、右上方B 、右下方C 、左上方D 、左下方3、如图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组表示成（ ）A 、⎩⎨⎧≥+->-+02201y x y xB 、⎩⎨⎧≤+-<-+02201y x y xC 、⎩⎨⎧>+-≥-+02201y x y xD 、⎩⎨⎧≥+-<-+02201y x y x4、已知x , y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-102x y x y x 则y x z 42+=的最值为（ ）A 、2,16min max -==z zB 、2,14min max -==z zC 、2,2min max -==z zD 、14,2min max -==z z5、下列说法正确的是（ ）A 、线性规划问题中的最优解是指目标函数的最大值或最小值;B 、线性规划问题中的可行解是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 、y 的值;C 、如果线性规划问题中的可行域的边界是一条折线，那么最优解必是某一顶点的坐标;D 、线性规划问题中的最优解是指使目标函数取得最大值或最小值的变量x 、y 的实际可能的值.6、△ABC 的三顶点为)0,1(),2,1(),4,2(C B A -，则△ABC 的内部可用二元一次不等式组表示为 。
7、已知集合}1),{(≤+=y x y x A ,{}0),(22≤-=x y y x B ，B A M =，则M 的面积等于 。
8、设x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2033022x y x y x ，则22y x z +=的最小值为 ，最大值为 。
9、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
若软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？10、某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，所用原料为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2m 2和3 m 2，用A 种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B 种可造甲、乙两种产品各6个。
问A 、B 两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料（面积）最省？11、A 1，A 2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B 1，B 2两车站外运，用汽车将煤运到车站，A 1的煤运到B 1，B 2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A 2的煤运到B 1，B 2的运费分别为7元/吨和8元/吨。
问如何编制调运方案，可使总运费最少？1、C2、B3、A4、B5、D6、⎪⎩⎪⎨⎧>-+<-->+-010448832y x y x y x 7、1 8、97,549、设软件买x 片，磁盘买y 盒，则⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+N y x y x y x ,2,35007060可行解有7个，故不同的选购方式有7种。
10、设A 种取x 块，B 种取y 块，总用料为z m 2⎪⎩⎪⎨⎧∈≥+≥+N y x y x y x ,55654563 y x z 32+=可行域如图，最优解为A (5,5)，x =5，y=5时，25min =Z ，即A 、B 两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料（面积）最省为25m 2。
11、设A 1运到B 1x 万吨，A 2运到B 1y 万吨，总运费为z 万元，则A 1运到B 2()x -8万吨，A 2运到B 2()y -18万吨，y x y x y y x x z ,,2184)18(87)8(53--=-++-+=满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤-+-≤+180801618820y x y x y x 可行域如图，当12,8==y x 时，156min =z ， 即A 1的8万吨煤全运到B 1，A 2运12万吨运到B 1， 剩余6万吨运到B 2，这时总运费最少为156万元。