2019高考数学复习配套课件：第三部分向量与几何第二单元立体几何初步 (4份打包)2

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立体几何初步(复习课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第二册)

第八章立体几何初步
复习课件
【章节知识结构框架】
考点一基本立体图形
例1．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形
为截面，长方形为底面，则四边形的形状为(
A．平行四边形
B．梯形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．矩形
)
【解答】解：平面// 平面，且平
面 ∩平面 = ，
故选：．
解题技巧
空间几何体体积问题的三种类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，
则可直接利用公式求解．
(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利
用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几
矩形的面积为 × = ，
侧面为两个全等的等腰三角形、，两个全等
的等腰梯形、，
设点、在底面内的射影点分别为、，
过点在平面内作 ⊥ ，连接，过点在
平面内作 ⊥ ，连接，
(2)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公
理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断．
(3)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直
得到线线垂直．
考点八异面直线所成角
例8．在长方体 − 中， = = ，
= ，点、分别是棱、的中点，、
+ =
+ = ，

所以梯形 = 梯形 = + ⋅ = ，

在中，斜高为 =

+ =
所以 = = ⋅ = ，

高中数学第三章空间向量与立体几何本章整合课件新人教A版选修2_1

∴ �� = (2,2,0), �� = (−2,2,2),
∴ �� ·�� = −2 × 2 + 2 × 2 = 0,
∴BD⊥EG,故
BD
与
EG
所成的角为
π.
2
专题一专题二专题三
综合应用
(2)由已知,得�� = (2,0,0)是平面AEFD 的法向量.
令 x=1,得 n=(1,-1,1).
设平面 DEG 与平面 AEFD 所成锐二面角的大小为 θ,
则
cos
θ=|c>
|
=
|�� ·�� | |�� ||�� |
=
2 23
=
3,
3
∴平面 DEG 与平面 AEFD 所成钝二面角的正弦值为 6.
设平面 DEG 的法向量为 n=(x,y,z),
∵ �� = (0,2,2), �� = (2,2,0),
∴
��·�� = 0, 即 ��·�� = 0,
�� + �� = 0, �� + �� = 0,
设��
=a,
��
=b,
��1
=c,则��
=
1 2
(a+b+c).
又�� = �� − �� =b-a,

2019秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系课件选修2_1

①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．解：(1)①因为 a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)，所以 a＝－2b，所以 a∥b，所以 l1∥l2. ②因为 a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)，所以 a·b＝0，所以 a⊥b，所以 l1⊥l2. (2)①因为 u＝(－1，1，－2)，v＝3，2知平面 α 内有一点 M(1，－1，2)，平面 α 的一
个法向量 n＝(2，－1，2)，则下列点中在平面 α 内的是
() A．(－4，4，0)
B．(2，0，1)
C．(2，3，3)
D．(3，－3，4)
答案：C
2．两条不同直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(－2，
1，1)，b＝(6，－3，－3)，则( )
①a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)； ②a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)． (2)设 u，v 分别是不同的平面 α，β 的法向量，根据下列条件判断 α，β 的位置关系；
①u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12； ②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)．
(3)设 u 是平面 α 的法向量，a 是直线 l 的方向向量，根据下列条件判断平面 α 与 l 的位置关系：
所以 u·v＝－3＋2＋1＝0，所以 u⊥v，所以 α⊥β. ②因为 u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)，所以 u＝－32 v，所以 u∥v，所以 α∥β. (3)①因为 u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)，所以 u·a＝－12－4＋16＝0，所以 u⊥a，所以 l⊂α 或 l∥α. ②因为 u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．
5．已知平面 α 和平面 β 有公共的法向量 n＝(1，－1， 1)，则平面 α，β 的位置关系为________．

高中数学第3章空间向量与立体几何3.2第2课时空间向量与垂直关系课件新人教A版选修2_1

2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝
(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于( )
A．4
B．－4
C．2
D．－2
B [因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则－62＝－26＝1t2，解得t＝
－4，故选B．]
3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0， 1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．
∵M 为 BC 中点，
∴M14， 43，0．
∴M→N＝－41， 43，14，A→B1＝(1,0,1)， ∴M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0． ∴M→N⊥A→B1，∴AB1⊥MN．
应用向量法证明线面垂直
【例 2】如图所示，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2， D 为 CC1 的中点．
⇔_(_a_1，__b_1_，__c_1_)＝__k_(_a_2_，__b_2，__c_2_) __(k∈R)
若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量
面面垂直 v＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β ⇔ u⊥v ⇔__a_1_a_2＋__b_1_b_2_＋__c_1c_2_＝__0___
2基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于 0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
[跟进训练] 1．如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1．
取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点，以O→B，O→O1，O→A分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(－1,1,0)， A1(0,2， 3)，A(0，0， 3)，B1(1,2,0)．所以A→B1＝(1,2，－ 3)，B→A1＝ (－1,2， 3)，B→D＝(－2,1,0)．

2018_2019学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第1课时空间向量与平行、垂直关系课件新人教A版选修2_1

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 0⇔_______________________ ．
(2)线面垂直设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 u ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R) λu⇔_______________________________________ ． (3)面面垂直若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2，
＝0.
(3)面面平行设平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，
u＝λv c2) ，则 α∥β⇔u∥v⇔__________ ⇔a1 ＝ λa2 ， b1 ＝ λb2 ， c1 ＝
λc2(λ∈R)． 3．空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b ＝ (b1 ， b2 ， b3) ，则 l⊥m⇔a⊥b⇔a· b ＝
－1 → 解析：选 B.由题意，得AB＝(－1，－2－y，z－3)，则＝ 2 －2－y z－3 3 3 ＝，解得 y＝－，z＝，所以 y＋z＝0，故选 B. 1 3 2 2
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
4 u1＝2，3，1，平面的法向量为
u2
＝(3，2，z)，则当直线与平面垂直时 z＝________． 3 答案： 2
设平面 α 的法向量为(1， 3，－2)，平面 β 的法向量为(－2，－6，k)，若 α∥β，则 k＝__________．

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法1空间向量与平行关系课件新人教A版选修

思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？答案
可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.
梳理
引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
解答
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量A→B，A→C.
n·A→B＝0，
(3)列方程组：由n·A→C＝0
列出方程组.
n·A→B＝0， (4)解方程组ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn·A→C＝0.
§3.2 立体几何中的向量方法(一) 空间向量与平行关系
学习目标
1.掌握空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
内容索引
问题导学题型探究当堂训练
问题导学
知识点一直线的方向向量与平面的法向量
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面
所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA
＝1 2
BC＝ AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，解使答CE∥平面PAB？若存在，
求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
当堂训练
1.若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
思考
怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向

第2课时
空间向量与垂直关系
考
纲
定
位
重ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
难
突
破
1.能利用平面法向量证明两个平重点：求直线的方向向量与平面垂直．面的法向量．
2.能利用直线的方向向量和平面难点：利用方向向量与法向量的法向量判定并证明空间中的垂直关系. 处理线线、线面、面面间的垂直关系.
01 课前自主梳理
02 课堂合作探究
A(3,0,0)，
9 E3，3，4，D1(0,0,4)，
→ ∵D1B＝(3,3，－4)，
9 → → AE＝0，3，4，AC＝(－3,3,0)， 9 → → 0，3，＝0， ∵D1B· AE＝(3,3，－4)· 4
→ →. ∴D B ⊥ AE 1 → →， ∴D B ⊥ AC 1
答案：a或2a
探究一 [典例1]
利用空间向量证明线线垂直
已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底
1 面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ CC1. 4 求证：AB1⊥MN.
[证明]
法一基向量法
→ ＝a，AC → ＝b，AA → ＝ c，设AB 1 则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a|＝|b|＝|c|＝1，a· c＝b· c＝ 0， 1 → → 1 → AB1＝a＋c，AM＝ (a＋b)，AN＝b＋ c， 2 4 1 1 1 → → → MN＝AN－AM＝－ a＋ b＋ c， 2 2 4
解析：建立如图所示的坐标系，
则B1(0,0,3a)，D 2a 2a ，，3a， 2 2
C(0， 2a,0)．设E( 2a,0，z)，(0≤z≤3a)， → ＝( 2a，－ 2a，z)，则CE → B 1E＝( 2a,0，z－3a)．由题意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a. ∴AE＝a或2a.

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法(第2课时)空间向量与空间角课件人教A版选修2_1

若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150°，则
l1 与 l2 这两条异面直线所成的角等于( )
A．30°
B．150°
C．30°或 150°
D．以上均错
答案：A
已知向量 m 是直线 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，
若 cos〈m，n〉＝－12，则直线 l 与平面 α 所成的角为(
于是|cos〈n，A→N〉|＝|n·A→→N|＝8255， |n||AN|
则直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8255.
求二面角如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱长都相等， AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形．
问题导学预习教材 P105～P110，并思考下列问题： 1．如何利用空间向量求两异面直线所成的角？ 2．如何利用空间向量求直线与平面所成的角？ 3．如何利用空间向量求二面角的平面角？
空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为 θ，
它们的方向向量为 a，b，则 ______0__，__π2_______
如图，已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q ABCD 的高分别为 1 和 2，AB＝4.求异面直线 AQ 与 PB 所成角的余弦值．
解：由题设知，ABCD 是正方形，连接 AC，BD，交于点 O，则 AC⊥BD.连接 PQ，则 PQ 过点 O. 由正四棱锥的性质知 PQ⊥平面 ABCD，故以 O 为坐标原点，以直线 CA，DB， QP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，A(2 2，0，0)，Q(0，0，－2)，B(0，2 2， 0)，

2019年(人教A版)数学高考第二轮复习数学复习(专题4)立体几何(3)》ppt课件

专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1 ＝4，点 E 在线段 BB1 上，且 EB1＝1，D、F、G 分别为 CC1、 C1B1、C1A1 的中点．
求证：(1)B1D⊥平面 ABD； (2)平面 EGF∥平面 ABD.
专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
3．平面的法向量求法在平面内任取两不共线向量 a，b，设平面的法向量 n＝(x， y，z)，利用nn··ab＝＝00，，建立 x、y、z 的方程组，取其一组解．
专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
7．用向量求空间角与距离的方法 (1)求空间角：设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b，平面 α、β 的法向量分别为 n、m. ①异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ，则 cosθ＝||aa|·|bb||. ②直线 l1 与平面 α 所成的角为 θ，则 sinθ＝||aa|·|nn||. ③平面 α 与平面 β 所成的二面角为 θ，则|cosθ|＝||nn|·|mm||.
专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
[点评] 注意到直三棱柱中，侧面AA1C1C为矩形，对角线 AC1与A1C互相平分，故连接AC1与A1C交于点E，则DE∥BC1，第二问易证．在解答立体几何问题时，可以用向量法，也可以用综合几何方法，原则是方便、快捷、正确、规范就行．
专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学

高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算1空间向量及其加减法2课件新人教A版选修2

于平面MAB内的充要条件是存在有序实数
论
对(x，y)，使 MP
＝ x MA＋y MB ，
或对空间任意一点O
若在l上取 AB ＝a，则①式可化来说，有 OP ＝OM
为
OP＝ OA ＋t AB.
＋xMA＋ y MB .
小结
1.λa是一个向量.当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 2.平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立． 3.共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．
4.直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
5.共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来.另外，还可以用OP ＝xOA＋yOB＋zOC ，且 x ＋y＋z＝1 判断 P,A,B,C 四点共面．
跟踪训练
5．在下列条件中，使 M 与 A,B,C 一定共面的是( ) A．OM ＝3OA－2OB－OC B．OM ＋OA＋OB＋OC ＝0 C． MA＋ MB＋ MC ＝0 D．OM ＝14OB－OA＋12OC 解析：∵ MA＋ MB＋ MC ＝0， ∴ MA＝－ MB－ MC ， ∴M 与 A,B,C 必共面．
DF ＝－CF
②
将②代入①中，两式相加得 2 EF ＝ AD＋ BC .
所以 EF ＝12 AD＋12BC ，即 EF 与 BC , AD共面．
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数 x，y 使向量 EF ＝x AD＋yBC 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用 AD, BC 表示 EF .

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系课件新人教A版选修21

(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，即nn11· ·AD→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，得xz11＝＝－0，2y1，令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1，2)．因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1．又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE．
(2)D→B＝(2，2，0)，D→E＝(1，0，2)．设平面 BDEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ∴nn··DD→→BE＝＝00，， ∴2x＋x＋22z＝y＝0，0，∴yz＝＝－－12x， x. 令 x＝2，得 y＝－2，z＝－1． ∴n＝(2，－2，－1)即为平面 BDEF 的一个法向量．
【自主解答】以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1， 0)，D12，0，0，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量．
第九页，共47页。
图322
【解】设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，则 D(0，0，0)，B(2， 2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)．
(1)连接 AC，因为 AC⊥平面 BDD1B1，所以A→C＝(－2，2，0)为平面 BDD1B1 的一个法向量．
第十五页，共47页。
－x1＋4z1＝0，即32y1＋4z1＝0. 令 x1＝1，得 z1＝14，y1＝－23．
第二十八页，共47页。
nn22· ·DD→→EF＝＝00，，即32x2y＋2＋34y2z＋2＝40z2，＝0，令 y2＝－1，得 z2＝38，x2＝32． ∴n1＝1，－23，14，n2＝32，－1，38， ∴n1＝23n2，即 n1∥n2， ∴平面 AMN∥平面 EFBD．

高中数学第二章空间向量与立体几何章末复习课ppt课件

2
|μ·v| |μ||v|
知识点二用坐标法处理立体几何问题
步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进展相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论.
关键点如下： (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标确实定.将几何问题转化为向量的问题，必需确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最中心的问题. (3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以经过向量计算来处理，如何转化也是这类问题处理的关键.
题型探求
类型一空间向量及其运算
例1 如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S 到A、B、C、D的间隔都等于2.给出以下结论：
①S→A＋S→B＋S→C＋S→D＝0； ②S→A＋S→B－S→C－S→D＝0； ③S→A－S→B＋S→C－S→D＝0； ④S→A·S→B＝S→C·S→D； ⑤S→A·S→C＝0.
面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的
法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝
|cos〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量
n1与n2，那么平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角
表示M→N.
(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ②可以在平面内找到一个向量与知直线的方向向量共线. ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量. (3)证明面面平行的方法 ①转化为线线平行、线面平行处置. ②证明这两个平面的法向量是共线向量.

2019高考数学复习配套课件：第三部分向量与几何第二单元立体几何初步 (4份)3

有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。成功就是把复杂的问题简单化，然后狠狠去做。目标再远大，终离不开信念去支撑。只要你确信自己正确就去做。做了有人说不好，不做还是有人说不好，不要逃避批判。你若坚持，定会发光，时间是所向披靡的武器，它能集腋成裘，也能聚沙成塔，将人生的不可能都变成可能。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。无所求则无所获。人若有志，万事可为。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。青春一经“典当”，永不再赎。语言是心灵和文化教养的反映。快乐不是因为拥有的多而是计较的少。行动不一定带来快乐，而无行动则决无快乐。失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。当我微笑着说我很好的时候，你应该对我说，安好就好。知识好像砂石下的泉水，掘得越深，泉水越清。最好的，不一定是最合适的；最合适的，才是真正最好的。无所求则无所获。

2019届高考数学大二轮复习专题五空间几何5.3空间向量与立体几何课件

设 n＝(x，y，z)为平面 AQC1 的一个法向量，
A→Q·n＝0，则A→C1·n＝0，
即
23x＋32y＝0，
2y＋2z＝0.
不妨取 n＝( 3，－1,1)．
设直线 CC1 与平面 AQC1 所成角为 θ，
则
sin
θ＝|cos〈C→C1，n〉|＝
→ |CC1·n| →
＝
52×2＝
1．利用空间向量证明平行与垂直的步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； (3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题．
2．[警示] 利用空间向量证明平行、垂直关系时，对于法向量的平行、垂直一定交代清楚涉及向量所在的直线、平面是否满足定理的条件．例如证明 l∥α，需要证明 l 的方向向量与平面的法向量垂直，但一定要交代 l⊄α 这一条件．
则 B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设 BA＝a，则 A(a,0,0)，所以B→A＝(a,0,0)，B→D＝(0,2,2)， B→1D＝(0,2，－2)， B→1D·B→A＝0，B→1D·B→D＝0＋4－4＝0，即 B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又 BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面 ABD，因此 B1D⊥平面 ABD. (2)由(1)知，E(0,0,3)，Ga2，1，4，F(0,1,4)，则E→G＝a2，1，1，E→F＝(0,1,1)， B→1D·E→G＝0＋2－2＝0，B→1D·E→F＝0＋2－2＝0，即 B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又 EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面 EGF，因此 B1D⊥平面 EGF. 结合(1)可知平面 EGF∥平面 ABD.