2005年IMO中国国家集训队测验题2

从而 k1, k2 ,…, km 所在的主子方阵 B 必是好方阵．
另证 记 An 中第 i 行，第 j 列的元素为 ai, j ，Kn 表示 n 阶完全图. 我们对 Kn
的边按如下方式染色：对于连接顶点 i, j(1 ≤ i < j ≤ n) 的边
（1） 若 ai, j = a j,i = 0 ，则染红色； （2） 若 ai, j = 0, a j,i = 1，则染绿色； （3） 若 ai, j = 1, a j,i = 0 ，则染蓝色； （4） 若 ai, j = a j,i = 1 ，则染白色.
∠ABP = ∠180° − ∠ACB, ∠ACP = 180° − ∠ABC ，
故
BD = SΔABP = AB ⋅ BP ⋅ sin ∠ABP
CD SΔACP AC ⋅CP ⋅sin ∠ACP
P
=
AB sin ∠ACB AC sin ∠ABC
=
AB2 AC 2
.
所以，F，B，C，E 四点共圆. （2） 设 G 是 ΔABC 的陪位重心（或“共轭
A
F1 K
M1 1
E1
2
G
J N1
S1
D T1
C
AM12 = M1G ， AN12 N1G
故由（1）知， F1, M1, N1, E1 四点共圆，同理 F1, M1, S1,T1 四点共圆， S1,T1, N1, E1 也 四点共圆，于是有
∠S1M1N1 = 180° − ∠BM1S1 − ∠N1M1A = 180° − ∠F1T1S1 − ∠ABC
i=1 j=1
i =1
固定 x, bn−1,…,b0 ，上式是关于α1,α2 ,…,αm 的多元整系数对称多项式，故
F (x) = G(x, bn−1,…, b0; am−1,…, a0 ) ， 其中 G 是多元整系数多项式.
因为 bn−1,…, b0 , am−1,…, a0 是整数，故 F (x) 是首一的整系数多项式，且以α + β
2
a1,i1 = a1,i2 = = a1,iM = x1, x1 ∈{0,1}.
2
在 i1, i2 ,…, iM 中，又可选出 j1, j2 ,…, jM ，使得
2
4
显然也有
a j1,1 = a j2 ,1 = = a jM ,1 = y1, y1 ∈{0,1} ，
4
a1, j1 = a1, j2 = = a1, jM = x1, x1 ∈{0,1}.
则直线 AA1 ， BB1， CC 1 共点.
证（1）欲证 F，B，C，E 共圆，只需证 AF ⋅ AB = AE ⋅ AC .
由于
AF = DE = AB ⋅ CD , AE = FD = AC ⋅ BD ,
BC
BC
（*）
A F
于是欲证（*）式，只需证： BD CD
=
AB2 AC 2
.
因为
E
B
D
C
BS = AS = AS = SC , ① BP AP AQ CQ 又 PT = SΔAPT = sin ∠BAS = SB , QT SΔAQT sin ∠CAS SC
所以，结合①，得 PT = BP ，而 ∠BPT = ∠CQT ，所以 QT CQ
ΔBPT ∼ ΔCQT ，
故
∠BTP = ∠CTQ .
为根，即α + β 也是好数.
回到原问题，由于 10012 +1 , 10022 +1 , , 20002 +1 都是好数，所以
A = 10012 +1 + + 20002 +1
是好数，由引理易则 A 必是整数. 因为
x2 +1 − x =
1
2005 国家集训队选拔考试（二）解答
每题 7 分
第一天 3 月 21 日 上午 8：20—12：20 辽宁，沈阳
一、 △ABC 内接于圆 w，圆γ与边 AB，AC 分别切于点 P，Q，
与圆 w 相切于点 S. 连接 AS 和 PQ，AS 与 PQ 的交点为 T. 求证：
∠BTP = ∠CTQ .
证 连接 SB，SC，SP，SQ，PR，过点 S 作 两 圆 的 公 切 线 SL ， 如 图 所 示 ， 则 ∠SPR = ∠ASL ， ∠ABS = ∠ASL ．所以 ∠SPR = ∠PBS ． 又 ∠SRP = ∠SPB ， 所 以 ， ∠PSB = ∠PST ，即 SP 平分 ∠BSA ，同理，SQ 平分 ∠ASC . 故
i =1
i =1
所以 A 不是整数．矛盾！
三、一个元素都是 0 或 1 的方阵称为二进制方阵. 若二进制方阵
其主对角线（左上角到右下角的对角线）以上（不包括主对角线）的
元素都相同，而且主对角线以下（不包括主对角线）的元素也相同，
则称它为一个“好方阵”. 给定正整数 m. 证明：存在一个正整数 M，
使得对任意正整数 n > M 和给定的 n × n 二进制方阵 An ，可选出整数
根为α1 = α ,α2 ,…,αm . β 是首一的整系数多项式 g(x) = xn + bn−1xn−1 + + b0 的根，
其所有根为 β1 = β , β2 ,…, βm .
mn
m
∏∏ ∏ F(x) =
(x − αi − β j ) = ⎡⎣(x − αi )n + bn−1(x − αi )n−1 + + b0 ⎤⎦ ，
= 180° − ∠ACB − ∠ABC = ∠BAC = ∠S1E1N1 ，
于是 M1, S1,T1, N1, E1 五点共圆，由对称性，点 F1 也在此圆上.
设此六点圆心为 O，由于 A1 与 O 的位似中心是 A，故直线 AA1 过点 O. 同
理直线 BB1,CC1 也过点 O.
六、n 为正整数，Sn = {(a1, a2 ,…, a2n ) | ai = 0或1, 1 ≤ i ≤ 2n}, 对 Sn 中任意两个元素 a = (a1, a2 ,…, a2n ) 和 b = (b1, b2 ,…, b2n ) ，令
4
记行、列号都取自 j1, j2 ,…, jM 的元素组成的主子方阵为 B1 ，则 B1 的第一行
4
全为 x1 ，第一列全为 y1 （主对角线上的元素不计，下同）.删去 B1 的第一行和第
一列，同上操作可得 B2 ．类似地，可得方阵列 B1, B2 ,…, B4m ，其中 Bi+1 是 Bi 的主
f (x) = G(x; y12 ,…, yn2 )
的根. 若 A 为有理数，则 A 为整数．因为
1000
1000
∑ (1000 + i) < A = ∑ (1000 + i)2 +1
i =1
i =1
1000
1000
< ∑ ((1000 + i) + 0.001) = ∑ (1000 + i) +1 ,
按照上面的染色方式，则一个单色完全子图 Km 对应于 An 的一个“好子方阵”. 事 实 上 ， 若 vi1 , vi2 ,…, vim , 是 Km 的 顶 点 ， 我 们 可 以 删 去 指 标 j ∈{1, 2,3,…, n} \{i1,i2,…,im}的 n − m 行和 n − m 列，得到一个“好子方阵” Bm . 我们取 M 使得，对任何 n > M ，四染色的 Kn 必定包含一个单色子图 Km .根据
子 方 阵 且 Bi 的 阶 数 是
M 4i
， Bi 的 第 一 行 全 为 xi
，第一列全为
yi (xi , yi ∈{0,1},1 ≤ i ≤ 4m) ．在 4m 组 (xi , yi ) 中，必有 m 组相同（设为 (x, y) ），设
这 m 组 (x, y) 在原方阵中的行号为 k1, k2 ,…, km （由取法，列号也是 k1, k2 ,…, km ），
中心”，即
AB2 AC 2
=
BD , CD
AB2 BC 2
=
AJ JC
,
CA2 BC 2
=
AK BK
），
过 G 分别作 M 1N1 // BC, S1E1 // AB, F1T1 // AC ，如 图所示，则 F1, M1, S1,T1, N1, E1 六点共圆. 证明如 B 下：
由△ AM1N1 与△ ABC 位似易知
S ≥ A 中最前面的 n 个分数的分母之和.
∑ ∑ ∑ ≥ k i(i −1) = k i2 − k i = (k +1)k(k −1) ，
i=2
i=2
i=2
3
所以，欲证
S
≥
1
3
n2
，只需证
3
3
(k
+
1)k (k 3
−1)
≥
1 3
⎛ ⎜⎝
k
(k + 2
1)
⎞ ⎟⎠
2
⇔ 8(k −1)2 ≥ k(k +1) ⇔ f (k) = 7k 2 −17k + 8 ≥ 0 . 因 为 f (k) 是 开 口 向 上 的 二 次 函 数 ， 且 对 称 轴 为 17 < 2 ， 所 以 当 k ≥ 2 时 ，
+ εn yn ) ，
显然 F 关于 yi 是偶函数，1 ≤ i ≤ n ，故
F (x; y1, y2 ,…, yn ) = G(x; y12 ,…, yn2 ) ， 其中 G 是多元整系数多项式．
本题中，取 n = 1000, yi = (1000 + i)2 +1,1 ≤ i ≤ n .则 A 是首一的整系数多项式