非奇异弱链对角占优矩阵的逆矩阵无穷大范数的上界

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水 Ｒ ～
， ， …
显 然对 于不 可约矩 阵下列 关 系式成 立 Ｓ Ｄ Ｄ Ｉ ＤＤ＝ ＝ ＞ＷＣ Ｄ Ｄ： ＝ ＞ Ｈ 设 ＝（ ａ ）Ｅ 一，Ａ （ ｎ ． ， ）表 示去 掉 Ａ 的前 ｎ ， 行 与前 ｎ ． 列 得到 的 Ａ 的主子矩 阵 。
收稿 日期 ：２ ０ １ ２ —１ ２ —２ ０
基金项 目：文山学院重点学科数学建设 项 目 （ １ ２ ＷＳ Ｘ Ｋ ０ １ ） 。
作者简 介 ：蒋建新 （ １ ９ ８ １ 一），男 。甘肃天水 人 ，文山学 院数理系讲师 ，硕士 ，主要从事微分方程理论及其应用研 究。
２ ４
蒋建新 ：非奇异弱链对角占优矩阵的逆矩阵无穷大范数 的上界
（ ５）
若 （ ）； Ⅳ，贝 ４ △≥ ａ 。 （ １ － ｄ ｌ ， １ ）≥ ａ ｌ ｌ （ １ 一 ） ｏ
引 理 ３ 设 ， Ｂ ∈ Ｃ 一 ， 若 ＜ ＞ 是 非 奇 异 矩 阵 ， 则 Ｉ 一 ｌ ≤ ＜ ＞ ～ Ｂ 。
２
的上界
引理 ４ 设 ＝（ 口 ）∈ 是Ｓ Ｄ Ｄ， Ｉ Ｄ Ｄ，或 ∞ 矩阵，则 一 ＝（ ） 满足
引理 ｌ … 若 ＝（ 口 ）∈Ｒ ＾ 是 Ｗ Ｃ Ｄ Ｄ的 矩阵 ， 则Ｂ － Ａ‘ ， ｎ ∈Ｒ‘ ｘ ‘ ’ 也是 Ｗ Ｃ Ｄ Ｄ 的 矩阵， 且 ‘ ＝（ ） 存在 ， ≥０ ， （ ｉ ， ｊ ＝ ２ ，３ ，…，， １ ） 。 引理 ２ … 若 ＝（ 口 ）Ｅ 是 Ｗ Ｃ Ｄ Ｄ的 矩阵 ， Ｂ ＝ Ａ‘ ’ ｎ ’ Ｅ Ｒ‘ ｈ（ ｎ － １ ） ， Ａ － ｌ ＝（ ａ ） ， Ｂ － ’ ＝（ ） 。
文推广了前人的研究结果。
Ｃ （ Ｒ— ｘ ）表示 ， ｌ ×ｎ复 （ 实 ）矩 阵的集合 ，Ⅳ＿ ｛ ｌ ，２ 。… ，ｎ ｌ ，Ａ－（ ａ ）∈ Ｒ 且口 ≠ ０ 。
南 Ｉ 口 ） ＝ ｛ ｆ ∈ Ⅳ ： ＜ ｌ ｝ ；
＝
；
，：
二
，
≠ ， 七 ≤ ， ， ， ｍ ≤ 疗。
关键词 ：弱链对角 占 优矩阵；Ｍ 矩阵；范数；上界 中圈 分类 号 ：０１ ５ １ ． ２ １ 文 献标识 码 ： Ａ 文章编 号 ：１ ６ ７ ４ — ９ ２ ０ ０（ ２ ０ １ ３ ）０ ３ — ０ ０ ２ ４ — ０ ４
１ 预 备知识
弱 链 对 角占 优Ｍ矩 阵Ａ 的 逆 矩 阵Ａ 的 无 穷 大 范 数 ８ 的 上 界 应 用于 寻 找ｌ 范 数 与 加 权ｐ ｅ ｒ ｒ ｏ ｎ 范 数
， ： ；
一
｛ 【
≤ 刀 Ｊ ｝ 。
定义 １ … 设 ＝（ 口 ）Ｅ Ｒ 月 ， 若 （ ） ． Ⅳ， 则称 为严格对角 占优矩阵 （ Ｓ Ｄ Ｄ） ；５ ． ４不可约， ≤１ ， 且－ ， （ ｛ ）≠（ ２ ｊ ，则称 为不可约对角占优矩阵 （ Ｉ Ｄ Ｄ） ；若 ≤ １ ，Ｊ（ ）≠（ ２ ｊ ，且对 ｉ ∈Ｊ（ ） ，必 … ， ，其 中 ｆ 。 ＝ ｆ ≠ ，…，ｆ ， ≠ｉ ｋ ，０≤ ， ≤ｋ － １ ， ∈Ｊ（ ） ，则称 为弱链对角 占优矩阵
（ ＷＣ ＤＤ） 。
定义 ２ … 设 ＝ （ ） Ｅ ， 若口 ≤Ｏ ， Ａ非奇异且 一 ≥ｏ （ Ａ 一 是非负矩阵 ） ， 则称 是非奇异 矩阵。 定义 ３ … 设 ＝（ ａ Ｕ ）∈ 是非奇异 矩阵当且仅当 的 比较矩阵 ＜Ａ ＞ 是 Ｍ 矩阵 ， 其中
则
１
＝
，
（ １ ）
（ ２ ）
去 ｋ
－ －
，
２
￣ｌ ｊ－
去 塞 竹 ，
（ ３） （ ４）
＝ ＋ ∑￣ ｋ （ － ａ ｋ 。 ） ， 其 中 ， Ａ ＝ ａ 。 。 一 ∑口 。 （ ∑ 口 ｆ 。 ） ＞ ０ 。
ｋ ＝２ ｉ ＝ ２
本 文 在 陈 国 良 ， 李 耀 堂， 李 艳 艳， 蒋 建 新 等 人 研 究 的 严 格 对 角占 优 矩 阵 的 ｌ ｌ 的 上 界 和 黄 廷 祝 研 究 的 非
奇 异 弱 链 对 角 占 优 矩 阵 的 Ｉ ｌ 。 ， 上 界 的 基 础 上 给 出 了 非 奇 异 弱 链 对 角 占 优 矩 阵 Ｉ ｌ 。 Ｉ Ｉ ｏ 。 的 上 界 ， 也 就 是 说 本
第２ ６ 卷 第３ 期 ２ ０ １ ３年 ６月
文 山学院 学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＷＥ ＮＳ ＨＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲ Ｓ ｒ Ｉ Ｙ
Ｖ０ １ ． ２ ６ Ｎｏ ． ３
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３
非奇异弱链对 角 占优矩阵的逆矩 阵无穷大范数 的上界
蒋建新
（ 文 山学 院 数 理 系。云 南 文 山 ６ ６ ３ ０ ０ ０）
摘 要 ： 文 章 研 究 了 非 奇 异 弱 链 对 角 占 优 矩 阵 的 逆 矩 阵 。 无 穷 大 范 数 ｌ ‘ Ｉ Ｉ ｏ ｏ 上 界 的 估 计 问 题 ， 利 用 弱 链 对 角 占 优 矩 阵 的 逆 矩 阵 元 素 的 上 界 估 计 式 给 出 了 Ｉ Ｉ ’ ’ ｌ 上 界 的 新 的 估 计 式 ， 这 些 估 计 式 改 进 了 现 有 的 结 果 。
的上下 界 ，解决 线性 微 分 系统 ｘ ＝ － Ａ ｘ ， （ ０ ） ＝ Ｘ ｏ＞０的解 （ ｔ ）等许 多 应用 领域 。早 在 １ ９ ９ ６年 ，Ｐ ． Ｎ ． Ｓ ｈ ｉ ｖ ａ ｋ ｕ ｍ ａ ｒ 就结合物理背景研究 了该问题 ， 随后黎稳 ， 黄廷祝 ， 朱燕等人都陆续发表了关于此问题的研究结果 ，