运筹学基本常考要点

第三章 线性规划的对偶理论
1．1问题和对偶问题的对应关系：○1原问题目标函数求最大值，对偶问题目标函数求极小值；○2原问题约束条件的数目等于对偶问题决策变量的数目；○3原问题决策变量的树木等于对偶问题约束条件的数目；○4原问题的价值系数成为对偶问题的资源系数；○5原问题的资源系数成为对偶问题的价值系数；○6原问题的技术系数矩阵于对偶问题的技术系数矩阵互为专置；○7原问题约束条件问小于等于号，对偶问题约束条件为大于等于号；○8原问题决策变量大于等于零，对偶问题决策变量大于等于零。
1．2对偶单纯形法：○1构造初始单纯形表，要求检验书非负；○2判断约束条件右端项b是否全为非负，若是，则已得最优解；若b列还存在负分量，转下一步；○3选择出基变量：在b列的负分量中选取最小的分量min{bi|bi<0},该分量所在的行为主行，主行确定出基变量。○4选择入基变量：若主行中所有的元素均为非负，则问题无可行解；若主行中存在负元素，计算?=min{?j/-aij| aij<0}(这里的aij为主行中的元素)，最小比值发生的列所对应的变量即为入基变量；○5迭代运算：同单纯形发一样，对偶单纯形法的迭代过程也是一主元素为轴所进行的旋转运算。
方案的优化基本步骤：
在负检验数中找出最小的检验数，该检验数所对应的变量即为入基变量。在入基变量所处的闭合回路上，赋予入基变量最大的增量，即可完成方案的优化。在入基变量有最大增量的同时，一定存在原来的某一基变量减少为“0”，该变量即为出基变量。切记出基变量的“0”运量要用“空格”来表示，而不能留有“0”。
2．5增加一个新的变量的分析：○1将新增加变量的拘束系数向量P’反映进单纯形表，即P’=BB-1P；○2计算新增变量在最终单纯形表中的检验数?。○3若?非负则得最终形表，若为负则继续求解。
2．5增加一个新的约束条件的分析：将最优解代入新增加的约束条件，如果新增约束条件成立，则最优解不变。若不成立，将新增约束条件直接反映进最终形表中，首先需要将基变量所对应的系数列向量变为单位向量，然后再按单纯形表法求解。
2．3价值系数变化的分ຫໍສະໝຸດ 有两种情况： 情况1：当价值系数发生变化的变量在最终单纯形表中为非基变量。由于xj是非基变量，它的变化只会影响xj本身的检验数?j,而与其他变量的检验数无关，计算变化后的?j并令其非负，即可以求得保持最优解不边时的cj的变化范围。
情况2：当价值系数发生变化的变量在最终单纯形表中为基变量。因为基变量的变化会引起CBde bianhua ,进而可能引起整个检验数行的变化。因此，为为了保持最优解的不变应保持所有的检验数大于等于零。
2．1 0-1整数规划问题求解一般步骤：（隐枚举法）
(1)目标函数极小化，约束条件取“》=”的形式。
(2)目标函数系数非负化。
(3)变量按其在目标函数中的系数从小到大排列。
(4)令所有的变量都为“0”，得到问题的一个“零解”，检验“零解”是否是可行解，如果是可行解，那么它一定就是最优解；如果不是可行解，转入下一步。
(3)将无论后续决策变量取什么值都不可能存在可行解的分枝剪去。
3.1指派问题求解一般步骤：（匈牙利法）
(1)找出效率矩阵每一行的最小元素，并分别从每行中减去这个最小元素。
(2)再找出矩阵中每一列的最小元素，并分别从每列中减去这个最小元素。
(3)从第一行开始，若该行只有一个“0”元素，就对“0”元素加“（）”，花去与“（0）”元素同列的其他“0”元素；若该行有多个“0”元素（已划去的不计在内），则跳过该行转入下一行，一直到最后的一行为止。
空格处单位运量调整所引起的运费增量就是空格的检验数。仿照此步骤可以计算初始方案中所有空格的检验数。
2．4利用位势法求检验数以及利用闭合回路进行方案调整的基本操作：
第一步：把方案表中基变量格填入其相应的运价并令 ；让每一个基变量 都有 ，可求得所有的位势；
第二步：利用 计算各非基变量 的检验数
第四章 运输问题
1．1输问题的数学模型
2．1运输问题表上作业法的基本步骤。
（1）找出初始基可行解：即要在 阶产销平衡表上给出“ ”个数字格（基变量）；
（2）求各非基变量（空格）的检验数，判断当前的基可行解是否是最优解，如已得到最优解，则停止计算，否则转到下一步；
(3)确定入基变量，若 ，那么选取 为入基变量；
(5)按照排列顺序依次令各变量取“1”或“0”。将问题分成两个子问题分别检查其解是否是可行解，利用定界方法，直至得到最优解。
2．2实施剪枝情况：
(1)多个分枝的子问题都是可行解，保留目标值最小的分枝并将该目标值作为最优目标值的上界，将目标值较大的分枝剪去。
(2)将分枝边界值已超过最优目标值上界的分枝剪去。
2．1灵敏度分析包括：资源系数变化的分析，价值系数变化的分析，技术系数变化的分析，怎增加一个新的变量的分析和增加一个新的约束条件的分析。
2.2资源系数变化的分析: ○1给b一个增量 b并利用b’=B-1b将变化直接反映进最终单纯形表；○2判断b’是否大于等于0，如果是，则最优解不变，如果不是，就代入最终形表中继续求最优解。
3．2指派问题的拓展
(1)人数大于任务数：引入假想的任务，其对应的效率矩阵元素为“0”，同运输问题一样，将不平衡问题转换成平衡的指派问题。
(2)任务数大于人数：两种情况处理情形○1只选择于人员数量相等的任务来完成，其他任务留下不管；○2允许一个人同时完成多项任务，所有任务都必须完成。对第一种情况，可以引入家乡的人使人数与任务数相等，其对应的效率矩阵元素也为“0”，同过将不平衡转换成平衡问题来解决。对于第二种情况，同样引入假想的人使人数与任务数相等，当由于其实假想的人放映的是兼做的任务，而不再是剩余的任务，所对应的效率矩阵也不会在是“0”了，设想已经得到一个最优指派方案而言，被兼做的任务一定是由完成这项工作时间最短的人来完成。
(4)确定出基变量，找出入基变量的闭合回路，在闭合回路上最大限度地增加入基变量的值，那么闭合回路上首先减少为“0”的基变量即为出基变量；
（5）在表上用闭合回路法调整运输方案；
（6）重复2、3、4、5步骤，直到得到最优解。
2．2“最小元素法”和“伏格尔”法的基本思想及基本操作。
最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此类推，一直到给出基本方案为止。
(7)对没有打勾的行和打勾的列用直线覆盖，从而得到覆盖效率矩阵所有“0“元素的最少直线数。
(8)为了设法使每行都有一个“（0）”元素，就要继续对矩阵进行变换
○1从未被直线覆盖的元素中找出最小元素；
○2未被直线覆盖的行减去这个最小元素；
○3被直线覆盖的列加上这个最小的元素；
(9)回到第三步反复进行，知道矩阵每一行有有一个“（0）”，即找到最优解。
其中A是m x n阶技术系数矩阵，b是m x 1阶资源系数矩阵（列向量），C是1 x n阶价值系数矩阵（行向量），X是n x 1阶决策变量矩阵（列向量）。
1．3对一般线性规划模型而言，求解结果可能出现唯一最优解，无穷多最优解，无界解和无可行解四中情况。
2．1线性规划问题的标准形式符合以下条件：1所有的决策变量非负；2所有的约束条件的偶用等式来辨识；3目标函数为最大化（max）或最小化（min），本教材限定为最小化；4所有约束条件的右端项非负。用矩阵可以把线性规划问题的标准形式表示为：
3．1产大于销的运输问题解法：假想一个销地，就相当于在远产销关系表上增加一列，假想销地列对应的运价都应取为“0”。至此，已经将产大于销的运输问题环城产销平衡的运输问题，进一步求解可利用运输问题的表上作业法来完成。
3．2销大于产的运输问题解法：假想一个产地，所假想的产地的原价都应该为“0”，将销大于产的运输问题转换成产销平衡的问题来解决。
伏格尔法把费用增量定义为给定行或列次小元素与最小元素的差（如果存在两个或两个以上的最小元素费用增量定义为零）。最大差对应的行或列中的最小元素确定了产品的供应关系，即优先避免最大的费用增量发生。当产地或销地中的一方在数量上供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列，再重复上述步骤，即可得到一个初始的基可行解。
2．3闭合回路的构成以及利用闭合回路法求检验数的基本操作：
判断基可行解的最优性，需计算空格（非基变量）的检验数。闭合回路法即通过闭合回路求空格检验数的方法。从给定的初始方案的任一空格出发寻找闭合回路，闭合回路顶点所在格括号内的数字是相应的单位运价，单位运价前的“+”、“-”号表示运量的调整方向。
第2章 线性规划
1.1线性规划数学模型的一般形式表示为:
Max(min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn<=(=,>=)b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn<=(=,>=)b2
…
Am1x1+am2x2+…+amnxn<=(=,>=)bm
x1, x2,…xn>=0
1．2线性规划数学模型的一般形式也可以用矩阵向量表示为：
Max(min)a=CX
AX<=(=,>=)b
X>=0
(3)目标函数求极大值：对此类问题的处理方法将效率矩阵的每一个元素乘“-1”，将目标函数转化为求极小值。这时，只要理由效率矩阵的任一行（或列）减去（或加上）人一常数对原指派问题的最优解不发生影响这一性质，就可以使效率矩阵中全部元素变为非负，从而应用匈牙利法进行求解。
Min z=CX
AX=b
X>=0
b>=0
2.2松弛变量：对不等式约束条件可以通过引入一个代表不等式两边差的新变量来实现，这一个新的变量称之为松弛变量。