2011新课标高考数学(理)一轮复习讲义(带详细解析)：第四编 三角函数

第四编 三角函数、解三角形§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2009·汕头模拟)若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( ) A ．2k π＋β (k ∈Z ) B ．2k π－β (k ∈Z ) C ．k π＋β (k ∈Z ) D ．k π－β (k ∈Z )解析 因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝2k π (k ∈Z )．所以α＝2k π－β (k ∈Z )． 答案 B 2．(2010·湛江调研)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第几象限( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析 ∵P (tan α，cos α)在第三象限，∴⎩⎨⎧tan α<0cos α<0，由tan α<0，得α在第二、四象限， 由cos α<0，得α在第二、三象限 ∴α在第二象限． 答案 B 3．(2010·漳州调研)若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的 面积为 ( )A.1sin 21B.2sin 22C.1cos 21D.2cos 22解析 由题意得扇形的半径为1sin 1.又由扇形面积公式得，该扇形的面积为12·2·1sin 21＝1sin 21.答案 A4．(2009·衢州模拟)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12.∵m >0，∴m ＝12. 答案 B5．(2010·新乡模拟)已知角α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角．又∵⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0， ∴α2是第三象限角． 答案 C6．(2009·湘潭联考)已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于 ( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35(sin α>0)．答案 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·惠州模拟)若点P (m ，n ) (n ≠0)为角600°终边上一点，则mn＝________.解析 由三角函数的定义知 nm＝tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan 60°＝3， ∴m n ＝13＝33. 答案 338．(2009·洛阳第一次月考)已知P 在1秒钟内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点，则θ＝________. 解析 ∵0°<θ<180°且 k ·360°＋180°<2θ<k ·360°＋270°(k ∈Z )， 则必有k ＝0，于是90°<θ<135°，又14θ＝n ·360°(n ∈Z )，∴θ＝n7×180°，∴90°<n 7·180°<135°，72<n <214，∴n ＝4或5，故θ＝720°7或900°7.答案 720°7或900°79．(2010·濮阳模拟)若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于________．解析 sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，∵角α的终边落在直线y ＝－x 上， ∴角α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0，当α是第四象限角时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.答案 0三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·平顶山联考)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ≠0)，角β终边上 的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． 解 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－2a5a 2，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝a5a 2， tan α＝－2a a ＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝a5a 2，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝2a5a 2，tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－2a 5a 2·a 5a 2＋a 5a 2·2a 5a 2＋(－2)×12＝－1.11．(13分)(2009·南平调研)设θ为第三象限角，试判断sin θ2cos θ2的符号．解 ∵θ为第三象限角，∴2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2<θ2<2n π＋34π，此时θ2在第二象限．∴sin θ2>0，cos θ2<0.因此sin θ2cos θ2<0.当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，(2n ＋1)π＋π2<θ2<(2n ＋1)π＋3π4(n ∈Z )，即2n π＋3π2<θ2<2n π＋7π4(n ∈Z )此时θ2在第四象限．∴sin θ2<0，cos θ2>0，因此sin θ2cos θ2<0，综上可知sinθ2cos θ2<0.12．(14分)(2010·茂名联考)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解 由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1 ＝12－312＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×(12)2＋12＋2(12)2＋1＝135.§4.2 三角函数的诱导公式一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·全国Ⅰ文，1)sin 585°的值为( )A ．－22 B.22C ．－32D.32解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－22. 答案 A 2．(2010·郑州模拟)若α、β终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是 ( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan β D ．sin α＝－sin β 解析 方法一 ∵α、β终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.方法二 设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P与点P ′到原点的距离相等设为r ，则sin α＝sin β＝yr.答案 A3．(2009·重庆文，6)下列关系式中正确的是 ( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11° 解析 sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. 由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 答案 C 4．(2010·青岛调研)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (2 009)＝3，则f (2 010)的值是 ( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．1 解析 f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β＝3. ∴a sin α＋b cos β＝－3.∴f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－3. 答案 C5．(2009·湛江三模)已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于 ( ) A.17 B ．－17C ．－7D ．7 解析 sin(2π－α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45.又α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴cos α＝35. ∴sin α＋cos αsin α－cos α＝17. 答案 A6．(2009·东莞模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α等于 ( ) A.233 B.13 C ．－13 D ．－223解析 cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α.又－π<α<－π2，∴－712π<5π12＋α<－π12，∴sin ⎝⎛⎭⎫512π＋α＝－223， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝－223. 答案 D二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·常德三模)cos ⎝⎛⎭⎫－35π3的值是________． 解析 cos ⎝⎛⎭⎫－35π3＝cos 35π3＝cos ⎝⎛⎭⎫12π－π3＝cos π3＝12.答案 128．(2010·合肥联考)已知cos(π－α)＝817，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. 解析 cos(π－α)＝－cos α＝817，∴cos α＝－817.又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1517.∴tan α＝sin αcos α＝158.答案 1589．(2009·烟台模拟)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α·cos α·tan 2α＝cos α·(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.答案 －916三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·揭阳联考)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos(π＋θ)cos θ[cos(π－θ)－1]＋cos(θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos(θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ 的值．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos(2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos(π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 11．(13分)(2010·菏泽模拟)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π.求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23.① 将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79，又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0. ∴sin α－cos α>0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169， ∴sin α－cos α＝43.(2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫1－718＝－2227. 12．(14分)(2009·丽水联考)是否存在角α，β，其中α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设满足题设要求的α，β存在，则α，β满足⎩⎨⎧sin α＝2sin β ①3cos α＝2cos β ②①2＋②2，得sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，即sin 2α＝12，sin α＝±22.∵－π2<α<π2，∴α＝π4或α＝－π4.(1)当α＝π4时，由②得cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6.(2)当α＝－π4时，由②得cos β＝32，β＝π6，但不适合①式，故舍去．综上可知，存在α＝π4，β＝π6使两个等式同时成立．§4.3 三角函数的图象与性质一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·福建理，1)函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．－12 C.12D ．1解析 ∵f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x .∴当x ＝k π－π4，k ∈Z 时，f (x )min ＝－12.答案 B2．(2009·全国Ⅰ理，8)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最 小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称知，f ⎝⎛⎭⎫43π＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝ 0.∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )．|φ|的最小值为⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 答案 A3．(2010·枣庄调研)已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析 T =6，则45T≤t ， ∴t ≥215， ∴tmin=8. 答案 C4．(2010·嘉兴模拟)已知在函数f (x )＝3sinπxR图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点 恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ∵x 2＋y 2＝R 2，∴x ∈[－R ，R ]． ∵函数f (x )的最小正周期为2R ，∴最大值点为⎝⎛⎭⎫R 2，3，相邻的最小值点为⎝⎛⎭⎫－R2，－3， 代入圆方程，得R ＝2，∴T ＝4. 答案 D5．(2009·浙江理，8)已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是`( )解析 图A 中函数的最大值小于2，故0<a <1，而其周期大于2π.故A 中图象可以是函数f (x )的图象．图B 中，函数的最大值大于2，故a 应大于1，其周期小于2π，故B 中图象可以是函数f (x )的图象．当a =0时，f (x )=1，此时对应C 中图象，对于D 可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D 中图象不可能为函数f (x )的图象． 答案 D 6．(2009·巢湖期末)给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形． 其中正确的序号为 ( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤解析 ①y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π2⇒y ＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的最大值为2， 因为2<32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°， 但tan 45°>tan(30°＋360°)，即tan α<tan β不成立；④把x ＝π8代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4＝sin 3π2＝－1，所以x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴；⑤把x ＝π12代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin π2＝1， 所以点⎝⎛⎭⎫π12，0不是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心． 综上所述，只有①④正确． 答案 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2010·株州调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________________，函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．解析 ①要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .②由y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 得y ＝－12sin ⎝⎛⎭⎫23x －π4， 由π2＋2k π≤23x －π4≤32π＋2k π， 得98π＋3k π≤x ≤21π8＋3k π，k ∈Z ， 故函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤98π＋3k π，21π8＋3k π (k ∈Z )．答案 ⎝⎛⎦⎤2k π，π3＋2k π (k ∈Z ) ⎣⎡⎦⎤98π＋3k π，21π8＋3k π (k ∈Z )8．(2008·辽宁理，16)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最 小值，无最大值，则ω＝________. 解析 如图所示， ),3πsin()(+=x x f ω 且)3π()6π(f f =，又f (x )在区间)3π,6π(内只有最小值、无最大值，∴f (x )在x =4π23π6π=+处取得最小值．∴2ππ23π4π-=+k ω(k ∈Z)． ∴ω=8k -310(k ∈Z)．∵ω>0，∴当k =1时，ω=8-;314310= 当k =2时，ω=16338310=，此时在区间 内存在最大值．故ω=314. 答案 3149．(2010·绍兴月考)关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)解析 函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错． 利用诱导公式得f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，知②正确． 由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π6＋π3＝4sin 0＝0，因此点⎝⎛⎭⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点⎝⎛⎭⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确．答案 ②③三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·怀化模拟)设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .11．(13分)(2008·天津文，17)已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)f (x )＝21＋cos 2ωx2＋sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2⎝⎛⎭⎫sin 2ωx cos π4＋cos 2ωx sin π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是 2＋2，此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝π16＋k π2，k ∈Z .12．(14分)(2009·肇庆模拟)设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2.(1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解 f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. (2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.§4.4 函数y =A sin(ωx +φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2009·山东文，3)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x ＝2cos 2x . 答案 A2．(2010·泉州模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 →y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin x . 答案 A3．(2010·莱芜一模)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，m ＝2.∵T ＝π2，∴ω＝2πT＝4.∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.∵x ＝π3是其对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫4×π3＋φ＝±1. ∴4π3＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )． ∴φ＝k π－5π6 (k ∈Z )．当k ＝1时，φ＝π6.答案 D4．(2009·全国Ⅱ文，9)若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( )A.16B.14C.13D.12 解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4向右平移π6后得到 解析y ＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π4.又因为y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋k π，∴π12＝ωπ6＋k π(k ∈Z )，由ω>0得ω的最小值为12. 答案 D 5．(2009·杭州一模)电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t =1001秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安 解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．答案 A6．(2009·天津理，7)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象 ( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析 因为T ＝π，则ω＝2πT＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， g (x )＝cos 2x ，将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度时，y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝ cos 2x . 答案 A二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·江苏，4)函数y =A sin(ωx +φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[-π，0]上的图象如图所示，则ω= .解析 由函数y =A sin(ωx +φ)的图象可知：.π32,3ππ)32()3π(2=∴=---=T T.3π,32π2=∴==ωωT 答案 3 8．(2008·全国Ⅱ改编)若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．解析 设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)， x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)， 则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫a －π4≤ 2. 答案 29．(2009·云浮期末)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为 ________．解析 ∵f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4T T 上递增， 故,4,43π2,3π2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-T T 即4T ≥3π2.∴ω≤43.∴ωmax =43.答案 4T三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·周口调研)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象可知，函数的最大值M =3， 最小值m =-1，则A =,1213,22)1(3=-==--b ， 又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f (x )=2sin(2x +φ)+1，将x =6π，y =3代入上式，得1)3π(=+ϕ，∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ， 即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π，∴f (x )=2sin )6π2(+x +1.(2)由2x +6π=2π+k π，得x =6π+21k π，k ∈Z ，∴f (x )=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为 216π+=x k π，k ∈Z. 11．(13分)(2009·合肥联考)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6 ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12. 由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32. ∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12.∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π，∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6. 12．(14分)(2009·金华模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.§4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·青岛模拟)sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析 原式＝sin 45°·cos 15°－cos 45°·sin 15°＝sin 30°＝12.答案 C2．(2009·岳阳调研)已知sin(45°＋α)＝55，则sin 2α等于( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45解析 sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55，∴sin α＋cos α＝105.两边平方，得1＋sin 2α＝25.∴sin 2α＝－35.答案 B3．(2010·阳江一模)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6－cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值是 ( )A.2＋33 B ．－2＋33C.2－33D.－2＋33解析 sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6－cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝2＋33. 答案 A4．(2009·济宁模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3 等于( )A ．－34B ．－14C.34D.14解析 a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14. 答案 B5．(2010·舟山一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是 ( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79解析 cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－79. 答案 A6．(2009·哈尔滨期末)在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53 解析 tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝3，即2331－tan A tan B＝3，解得tan A tan B ＝13.答案 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2010·长春一模)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析 ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2. ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)·tan α＝43. 答案 438．(2009·宁波模拟)3－sin 70°2－cos 210°＝________.解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－sin 70°)3－cos 20°＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 答案 29．(2009·铜陵模拟)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴32π<α＋β<2π，π2<β－π4<34π， ∴cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665. 答案 －5665三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·珠海模拟)化简：(1)2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ； (2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.解 (1)原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin π6sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋cos π6cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π6－π4＋x＝22cos ⎝⎛⎭⎫x －π12. (2)原式＝cos 2α1－tan α1＋tan α⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α1＋sin 2α(1＋sin 2α)＝1.11．(13分)(2009·烟台三模)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]． 12．(14分)(2009·宁德期末)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值． 解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.解之，得tan α＝－43，或tan α＝12.∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0， 故tan α＝12(舍去)．∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3 ＝－255×12－55×32＝－25＋1510.§4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·汕头模拟)△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，又∵b 2＝ac ，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .答案 D2．(2009·清远期末)△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于 ( )A ．3∶1 B.3∶1C.2∶1 D ．2∶1解析 cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3. ∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案 D3．(2010·滨州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或34解析 1sin 30°＝3sin C ，∴sin C ＝32. ∵0°<C <180°，∴C ＝60°或120°.(1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32； (2)当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34. 答案 D4．(2008·四川文，7)△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53B.54C.55D.56解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B， ∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.答案 B5．(2008·福建理，10)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为 ( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32， 即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3. 答案 D6．(2010·湖州一模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且a b＝3，则角C 的值为 ( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°解析 由b 2＋c 2－bc ＝a 2，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 又a b ＝3，∴sin A sin B ＝3， ∴sin B ＝33sin A ＝33×32＝12， ∴B ＝30°，∴C ＝180°－A －B ＝90°.答案 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·上海春招)在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC ＝________. 解析 根据三角形内角和定理知∠BAC ＝180°－75°－60°＝45°.根据正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB， 即BC sin 45°＝3sin 60°，∴BC ＝3sin 45°sin 60°＝3×2232＝ 6. 答案 68．(2009·泰安调研)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴sin C ＝22. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12a ×AD .∴AD ＝ 3. 答案 39．(2010·中山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则∠A ＝________.解析 S ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(2bc cos A )＝12bc cos A ， 又S △ABC ＝12bc sin A ，∴sin A ＝cos A ，即tan A ＝1.又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π4. 答案 π4三、解答题(共40分)10．(13分)(2009·淮南调研)在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C 1＋cos 2B，试判断△ABC 的形状． 解 由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos C c cos B， 所以cos C cos B ＝b c. 方法一 利用正弦定理边化角．由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，所以cos C cos B ＝sin B sin C， 即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B .因为B 、C 均为△ABC 的内角，所以2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，所以B ＝C 或B ＋C ＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法二 由余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b 22ac＝b c， 即(a 2＋b 2－c 2)c 2＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以a 2c 2－c 4＝a 2b 2－b 4，即a 2b 2－a 2c 2＋c 4－b 4＝0，所以a 2(b 2－c 2)＋(c 2－b 2)(c 2＋b 2)＝0，即(b 2－c 2)(a 2－b 2－c 2)＝0，所以b 2＝c 2或a 2－b 2－c 2＝0，即b ＝c 或a 2＝b 2＋c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．11．(13分)(2010·芜湖模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求角A 和tan B 的值． 解 由b 2＋c 2－bc ＝a 2，得b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 即cos A ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3. 又c b ＝12＋3，sin C sin B ＝12＋3， C ＝π－A －B ＝2π3－B ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝⎝⎛⎭⎫12＋3sin B ， 整理得32cos B ＋12sin B ＝12sin B ＋3sin B . ∴12cos B ＝sin B ，则tan B ＝12. 12．(14分)(2010·广东五校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72. (1)求角C 的大小；(2)求△ABC 的面积．解 (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72， 得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， ∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72， 整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12， ∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ，由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.§4.7 正弦定理、余弦定理应用举例一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山模拟)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为 ( ) A.4003 m B.4003 3 m C.2003 3 m D.2003m解析 作出示意图如图，由已知：在Rt △OAC 中，OA =200，∠OAC =30°，则OC =OA ·tan ∠OAC =200tan 30°=33200. 在Rt △ABD 中，AD =33200，∠BAD =30°， 则BD =AD ·tan ∠BAD =33200·tan 30°=3200， ∴BC =CD -BD =200-3200=3400. 答案 A2．(2010·池州模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一 条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°， 则这艘船的速度是每小时 ( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)． 答案 C3．(2009·六安期末)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a kmC.2a km D ．2a km解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝2a 2－2a 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，∴AB ＝3a . 答案 B4．(2009·黄山第一次月考)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75° 距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时 B ．346海里/小时 C.1722海里/小时 D ．342海里/小时 解析 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°， ∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．答案 A5．(2009·汕尾联考)如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2+6)海里/小时B ．20(6-2)海里/小时C ．20(6+3)海里/小时D ．20(6-3)海里/小时解析 由题意知SM =20，∠SNM =105°，∠NMS =45°，∴∠MSN =30°，∴︒=︒105sin 2030sin MN . ∴MN= =10( - )．∴货轮航行的速度v ＝10(6－2)12＝20(6－2)海里/小时． 答案 B6．(2010·滁州调研)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始____ h 后，两车的距离最小． ( )A.6943 B ．1 C.7043D ．2解析 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD =80t ，BE =50t.因为AB =200，所以BD =200-80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理：DE 2=BD 2+BE 2-2BD ·BE cos 60°=(200-80t)2+2 500t 2-(200-80t)·50t =12 900t 2-42 000t+40 000.当t =4370时，DE 最小． 答案 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·辽源模拟)在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________. 解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4. 由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.答案 －2 38．(2009·北京海淀区4月一模)在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则∠A ＝________， AB ＝________. 解析 由正弦定理2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴∠A ＝45°. ∴∠C ＝75°.∴AB sin 75°＝2sin 45°.∴AB ＝3＋1. 答案 45° 3＋1 9.(2010·舟山调研)甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．解析 如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ，则BC =tv ，AC =3tv ，B =120°， 由正弦定理知BAC CAB BC sin sin =∠， ∴︒=∠120sin 3sin 1CAB ， ∴sin ∠CAB =21，∴∠CAB =30°，∴∠ACB =30°， ∴BC =AB =a ，∴AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos 120°=a 2+a 2-2a 2·)21(-=3a 2，∴AC =3a .答案 北偏东30° 3a三、解答题(共40分)10．(13分)(2009·福州模拟)如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP =θ，求。