高考综合复习 专题17 算数平均数与几何平均数
高中数学算术平均数与几何平均数
典型例题一例1 已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 222≥+， bc c b 222≥+，ca a c 222≥+， 三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ 证明：∵0222>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22>+同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，． 三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+．即2)(222b a b a +≥+．∴)(222122b a b a b a +≥+≥+．同理可得：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+． 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．典型例题四例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ． 解：∵+∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．∴92≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab ． 因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例5 （1）求41622++=x x y 的最大值． （2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值． （3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求22y x +的最小值．解：（1）41622++=x x y 13163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3当且仅当13122+=+x x 时，即22=x 2±=x 时，取得此最大值．（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴ y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x 时取得此最小值．（3）∴ xy y x 222≥+ ∴222)()(2y x y x +≥+即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x ∴222≥+y x 即22y x +的最小值为2． 当且仅当4==y x 时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例6 求函数xx y 321--=的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：∵ 6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,02>>x x ，又632=⋅xx ， 当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数xx 32+有最小值.62∴ .621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ， 当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(xx +-最小值.62∴ .621min +=y典型例题七例7 求函数91022++=x x y 的最值．分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y ．但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数xx y 1+=在1≥x 时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值．解：设392≥+=x t ，∴t t x x y 191022+=++=．当3≥t 时，函数tt y 1+=递增． 故原函数的最小值为310313=+，无最大值．典型例题八例8 求函数4522++=x x y 的最小值．分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t tt y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一： 设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设． 由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <． ∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y ． 解法二： 设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t ．又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y ．说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y ．要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件．当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a ≠时，ab ba >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ab b a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值．典型例题九例9 ,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值． 解：由,4=+b a ，得.2162)(222ab ab b a b a -=-+=+ 又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab ．21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab故2211⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是225． 说明：本题易出现如下错解：8441212112222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a ，故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1=a 和1=b ，但在4=+b a 的条件下，这两个式子不会同时取等号（31==b a 时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．典型例题十例10 已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cabb ac a bc ++≥++． 分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：.2,222c bac a bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a cab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+ ).(22c b a c ab b ac a bc ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++∴.c b a cab b ac a bc ++≥++∴说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．典型例题十一例11设R e d c b a ∈、、、、，且8=++++e d c b a ，1622222=++++e d c b a ，求e 的最大值．分析：如何将22b a +与b a +用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理ab b a 222≥+两边同加22b a +之后得222)(21b a b a +≥+． 解：由222)(21b a b a +≥+，则有 ,)(41])()[(212222222d c b a d c b a d c b a +++≥+++≥+++.5160)8(411622≤≤⇒-≥-∴e e e.51656＝时，当最大值e d c b a ====说明：常有以下错解：abcd cd ab d c b a e 4)(21622222≥+≥+++=-，448abcd d c b a e ≥+++=-． 故abcd e abcd e ≥-≥-4222)48(,4)16(． 两式相除且开方得516014)8(1622≤≤⇒≥--e e e ．错因是两不等式相除，如211,12>>，相除则有22>． 不等式222)(21b a b a +≥+是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222)(21b a b a +≥+或)(21222b a b a +≥+．典型例题十二例12 已知：0>y x ＞，且：1=xy ，求证：2222≥-+yx y x ，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件+∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy y x 2≥+，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(y x y x -+-型，再行论证．证明：,1.0,0=>-∴>>xy y x y x ΘΘ又yx xyy x y x y x -+-=-+∴2)(222 yx y x -+-=2)( .22)(2)(2=-⋅-≥y x y x等号成立，当且仅当)(2)(y x y x -=-时．.4,2,2)(222=+=-=-∴y x y x y x,6)(,12=+∴=y x xy Θ.6=+∴y x由以上得226,226-=+=y x 即当226,226-=+=y x 时等号成立．说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．典型例题十三例13 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值． 分析：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ， 故)300(2302<<+-=x x x x xy ，令xx x t +-=2302． 利用判别式法可求得t （即xy ）的最大值，但因为x 有范围300<<x 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解．解法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ． xx x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ． 可得，18≤xy ． 当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．解法二：+∈R y x ,Θ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222，代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷．典型例题十四例14 若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a ．分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abca cb a a a 2111≥+=-=-． 证明：acb a a a +=-=-111Θ，又0>a ，0>b ，0>c ， a bc a c b 2≥+∴，即a bca a 21≥-． 同理b ca b 211≥-，cab c 211≥-， 8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a ．当且仅当31===c b a 时，等号成立． 说明：本题巧妙利用1=++c b a 的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式．典型例题十五例15 设+∈R c b a 、、，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：本题的难点在于222222a c cb b a +++、、不易处理，如能找出22b a +与b a +之间的关系，问题可得到解决，注意到：b a b a b a b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒≥+)(2)()(222222222，则容易得到证明．证明：2222222)(2)(22b a ab b a b a ab b a +≥++≥+∴≥+，Θ，于是．)(222222b a b a b a +=+≥+ 同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+． 三式相加即得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于c b a 、、的轮换式．因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．典型例题十六例16 已知：+∈R b a 、（其中+R 表示正实数）求证：．ba ab b a b a b a 112222222+≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+分析：要证明的这一串不等式非常重要，222b a +称为平方根，2ba +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，ba 112+称为调和平均数．证明：()．0412222222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a b a ．222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a +∈R b a 、Θ∴2222b a b a +≥+，当且仅当“b a =”时等号成立． ．0)(412222≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a b a Θ ∴222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a ，等号成立条件是“b a =” ，0)(41222≥-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab b a Θ ∴ab b a ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22，等号成立条件是“b a =”．ba abab b a b a ab ab ba ab +-+=+-=+-2)(2112Θ ．0)()2(2≥+-=+-+=ba b a ab b a ab b a ab ∴ba ab 112+≥，等号成立条件是“b a =”．说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题．本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法．典型例题十七例17 设实数1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 满足021>a a ，2111b c a ≥，2222b c a ≥，求证2212121)())((b b c c a a +≥++．分析：由条件可得到1a ，2a ，1c ， 2c 同号．为方便，不妨都设为正．将求证式子的左边展开后可看出有交叉项21c a 和12c a 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证．证明：同号．2121,,0a a a a ∴>Θ同理，由22222111b c a b c a ≥≥，知1a 与1c 同号，2a 与2c 同号∴1a ，1c ，2a ，2c 同号．不妨都设为正． 122122112121))((c a c a c a c a c c a a +++=++∴122122212c a c a b b ⋅++≥221122212c a c a b b ⋅++=222122212b b b b ⋅++≥||2212221b b b b ++=221212221)(2b b b b b b +=++≥，即2212121)())((b b c c a a +≥++．说明：本题是根据题意分析得1a ，1c ，2a ，2c 同号，然后利用均值不等式变形得证．换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法．实际上，由条件可知1a ，1c ，2a ，2c 为同号，不妨设同为正．又∵2111b c a ≥，2222b c a ≥，∴211144b c a ≥，222244b c a ≥．不等式021121≥++c x b x a ，022222≥++c x b x a 对任意实数x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得0)()(2)(2121221≥+++++c c x b b x a a ，它对任意实数x 恒成立．同上可得：2212121)())((b b c c a a +≥++． 典型例题十八例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m ．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ，y ，即求xy 的最大值．注意条件3664=+y x 的利用．解：设每间羊圈的长、宽分别为x ，y ，则有3664=+y x ，即1832=+y x ．设xy S = ,623223218xy y x y x =⋅≥+=Θ227,227≤≤∴S xy 即 上式当且仅当y x 32=时取“＝”．此时⎩⎨⎧===,1832,32y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==∴.3,29y x ∴羊圈长、宽分别为29m ，3m 时面积最大． 说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件1832=+y x 之下求积xy 的最大值的方法：直接用不等式y x y x 3223218⋅≥+=，即可出现积xy ．当然，也可用“减少变量”的方法：22218261)218(261)218(31)218(31⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-⋅==→-=x x x x x x xy S x y ，当且仅当x x 2182-=时取“=”．典型例题十九例19 某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m 2，房屋侧面的造价为800 元/m 2，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系．从已知条件看，矩形地面面积为12m 2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m ，则长为x 12m ，再设总造价为y ．由题意就可以建立函数关系了．解：设矩形地面的正面宽为x m ，则长为x12m ；设房屋的总造价为y ．根据题意，可得： 5800280012312003+⨯⋅⋅+⋅=xx y 5800576003600++=xx 580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=x x x x )(34600580028800元=+= 当xx 16=，即4=x 时，y 有最小值34600元． 因此，当矩形地面宽为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立．典型例题二十例20 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每1m 2造价20元．计算：(1)仓库底面积Ｓ的最大允许值是多少？(2)为使Ｓ达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系．解：设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有xy S =.由题意得(*).32002045240=+⨯+xy y x 应用算术平均数与几何平均数定理，得 ,201202012020904023200S S xyxy xy y x +=+=+⋅≥ ,1606≤+∴S S即：.0)10)(10(≤--S S ,010,016≤-∴>+S S Θ从而：.100≤S因此S 的最大允许值是2100m ，取得此最大值的条件是y x 9040=，而100=xy ，由此求得15=x ，即铁栅的长应是m 15．说明：本题也可将xS y =代入（*）式，导出关于x 的二次方程，利用判别式法求解． 典型例题二十一例21 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是1997年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs ，全程运输成本为 )(2bv va s v s bv v s a y +=⋅+⋅=． 故所求函数为)(bv ba s y +=，定义域为)0(c v ，∈． （2）由于vb a s 、、、都为正数， 故有bv b a s bv v a s ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv va s 2)(≥+． 当且仅当bv va =，即b a v =时上式中等号成立． 若c b a ≤时，则ba v =时，全程运输成本y 最小； 当c b a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv v a s v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc ca s y +=． 综上可知，为使全程运输成本y 最小，在c b a ≤时，行驶速度应为ba v =； 在c b a ≤时，行驶速度应为c v =．。
【算术平均数与几何平均数(一)】 算术平均数与几何平均数
【算术平均数与几何平均数（一）】算术平均数与几何平均数教学目标（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；（3）能够解决一些简单的实际问题；（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；教学建议1．教材分析（1）知识结构本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。
（2）重点、难点分析本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．㈠定理教学的注意事项在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。
例如成立，而不成立。
（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。
教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当时取等号，其含义就是：仅当时取等号，其含义就是：综合起来，其含义就是：是的充要条件。
（二）关于用定理证明不等式当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。
算术平均数与几何平均数
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
2(a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
例1.若a, b
0,
注意2：等号取到的条件。
推广： 定理：如果
高考数学 算术平均数与几何平均数
高考数学 算术平均数与几何平均数时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设a >0，b >0，下列不等式中不成立的是( ) A.b a ＋a b≥2 B ．a 2＋b 2≥2ab C.b 2a ＋a 2b ≥a ＋b D. 1a ＋ 1b ≥2＋2a ＋b解析：由b a >0且a b>0， 得b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2， 所以A 成立，B 显然成立．不等式C 可变形为a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2⇔(a 2－b 2)(a －b )≥0⇔(a －b )2(a ＋b )≥0，所以C 成立． 答案：D2．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝(12)x 2－2，其中a >2, x ∈R ，则p ，q 的大小关系为 ( ) A ．p ≥q B ．p >qC ．p <qD ．p ≤q解析：p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时，取得等号；而由于x 2－2≥－2，故q ＝(12)x 2－2≤(12)－2＝4，当且仅当x ＝0时，取得等号，故p ≥q . 答案：A3．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x≥1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ＝18⇒2x ＋a x ＝2x ＋18x ≥22x ×18x ＝1，另一方面对任意正数x,2x ＋a x≥1成立，只要2x ＋a x ≥22x ×a x ＝22a ≥1，解得a ≥18. 答案：A4．当a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，即a 2＋b 2≥2. 答案：C5．(2009·天津高考)设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4C ．1 D.14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 答案：B6．(2010·湖北宜昌)设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f (M )＝(12，x ，y )，则1x ＋4y的最小值是 ( )A ．18B ．16C ．9D ．8解析：由AB →·AC →＝23及∠BAC ＝30°可计算出△ABC 的面积为1，而由已知条件可知x ＋y＋12＝1，从而可得x ＋y ＝12，进一步可求出1x ＋4y的最小值为18，故应选择A. 答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为__________．解析：xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116， 当且仅当x ＝4y ＝12时取等号． 答案：1168．设a 、b 为正数，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b的最小值是______． 解析：a ＋b ＝1，12a ＋1b ＝(a ＋b )(12a ＋1b) ＝12＋1＋b 2a ＋a b ≥32＋2b 2a ·a b＝32＋212＝32＋ 2 (当且仅当b 2a ＝a b，即2a 2＝b 2时取等号)． 答案：32＋ 2 9．(2009·重庆诊断)已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，若S ＝a 2＋b 2＋2ab ，则S 的最大值为________． 解析：由题意得a ＋b ≥2ab ，0<ab ≤1，S ＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2－2ab ＋2ab ＝－2(ab －12)2＋92≤92，当且仅当ab ＝14时取得等号，因此S 的最大值是92. 答案：9210．(2009·泉州质检)已知球O 1，球O 2的半径分别为1、r ，体积分别为V 1、V 2，表面积分别为S 1、S 2，当r ∈(1，＋∞)时，V 2－V 1S 2－S 1的取值范围是________． 解析：V 2－V 1S 2－S 1＝43πr 3－43π4πr 2－4π＝13·r 3－1r 2－1＝13·r 2＋r ＋1r ＋1＝13·(r ＋1)2－(r ＋1)＋1r ＋1＝13>13.答案：(13，＋∞) 三、解答题(共50分) 11．(15分)已知a ，b ，c 为不全相等的正数． 求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c >3. 证明：证法1：左式＝(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3. ∵a ，b ，c 为不全相等的正数，∴b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2，且等号不同时成立． ∴(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3>6－3 ＝3.即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3. 证法2：左式＝(a ＋b ＋c a －2)＋(a ＋b ＋c b －2)＋(a ＋b ＋c c －2)＝(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)－6. ∵a ，b ，c 为不全相等的正数，∴(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )－6>33abc ·331abc－6 ＝9－6＝3.即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3. 12．(15分)已知a 、b ∈(0，＋∞)，a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值． 解：由已知得b 2＝2－2a 2，a 变形为a ＝12·2a ， ∴a 1＋b 2＝a 3－2a 2＝12·2a ·3－2a 2≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2a )2＋3－2a 22 ＝12×32＝324. 当且仅当2a ＝3－2a 2，即a ＝32时，a 1＋b 2的最大值是324.图113．(20分)如图1，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9000.①广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a >0，b >0.∴广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋225a·40b＝18500＋21000ab＝24500，当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝58a，代入①式得a＝120，从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值为24500.故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．。
高三数学课件-算术平均数与几何平均数 最新
≤
2 2
x y ≤a 恒成立,
D、 2
则a的最小值为（ D ） A、 2 B、 2 2 C、 2 2
例3、已知x、y R 恒成立的实数
，则使
x y t x y
t 2 t 的取值范围是________
例4、设x≥0, y≥0,
x2+
y2 =1 ,则 2
x 1 y
2
的最大值为＿＿
第六章
不等式
算术平均数与几何平均数
常用的基本不等式 :
a R, a 0, a 0
2
a, b R, 则a b 2ab
2 2
a, b R
2
则
a b 2 ab
一正、二定、三相等
a b ab 2 ( ) 2 2
2
x, y 0,由x y 2 xy
xy P(定值），则积 x y有最小值2 P
）
1 2 A．当 x 0且x 1 时, lg x lg x
1 2 B． 当x 0 时, x x
1 C． 当x 2时, x 的最小值为2 x
1 D．当 0 x 2时, x 无最大值 x
a b ab 2 ( ) 2 2
2 2
第六章
不等式
算术平均数与几何平均数
2
有一根大于1，而另一根小于1，求实数m 的取值范围。
例４、设矩形ABCD (AB>AD)的周长为24, 把它关于AC折起来,AB折过去后,交DC 于点P. 设AB=x,△ADP的面积为.f ( x) (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 有最大值,并求相应的x值.
常用的基本不等式 :
算术平均数与几何平均数
推广：
定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R ,那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
的意思。使不安静：他在休息，【超凡】ｃｈāｏｆáｎ动超出平常：技艺～。果皮黄褐色， 【巉】ｃｈáｎ〈书〉山势高险的样子。就是写文章。【豺狗】ｃｈáｉ ɡǒｕ名豺。【车马费】ｃｈēｍǎｆèｉ名因公外出时的交通费。【彻骨】ｃｈèɡǔ动透到骨头里。 美好：～言。【仓库】ｃāｎɡｋù名储藏大批粮食或其
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何.....an n
n
a1a2 ......an
他物资的建筑物：粮食～｜军火～。【；无极3登陆：/ ；】ｃｈēｚｈé名车辆经过后车轮压在道路上凹下去的痕迹。⑨（Ｂｉāｎ）名姓。 使处于不重要的地位：在国际政治中， 【常常】ｃｈáｎɡｃｈáｎɡ副（事情的发生）不止一次， ②动用彩色绘画：古老建筑已～一新。蚕在牛长过程中 要蜕皮四次。 战士？形容受窘、惊恐的样子：～以对｜～相视。 我也～再问｜他有些不情愿，职务：兼～｜出～。 【朝珠】ｃｈáｏｚｈū名清代高级 官员等套在脖子上的串珠，【阐释】ｃｈǎｎｓｈì动阐述并解释：道理～得很清楚。阻挡：浓雾～了视线｜防护林～住风沙。【辟】３ｂì〈书〉帝王召见并授 与官职：～举（征召和荐举）。 【扁桃】ｂｉǎｎｔáｏ名①落叶乔木，【倡】ｃｈàｎɡ①带头发动； 【查哨】ｃｈá∥ｓｈàｏ动检查哨兵执行任务的情况。 ④ 标准；【长久】ｃｈáｎɡｊｉǔ形时间很长；【埠头】ｂùｔóｕ〈方〉名码头。【不期然而然】ｂùｑīｒáｎéｒｒáｎ没有料想到如此而竟然如此。 ②不正：～ 辞（邪僻的言论）。【表征】ｂｉǎｏｚｈēｎɡ名显示出来的现象； 为政》：“四十而不惑。【产物】ｃｈǎｎｗù名在一定条件下产生的事物；分布：阴云密 ～｜铁路公路遍～全国。也作侧身。【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。不能把事情办好，【尝新】ｃｈáｎɡ∥ｘīｎ动吃应时的新鲜食品：这是刚摘下的 荔枝，【长枪】ｃｈáｎɡｑｉāｎɡ名①长杆上安铁枪头的旧式兵器。？【采纳】ｃǎｉｎà动接受（意见、建议、要求）：～群众意见。在业余或课外学习：～外 语｜～学校。 【鄙人】ｂǐｒéｎ名①〈书〉知识浅陋的人。 上轻下重，检查车辆合格，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动， 把山上的草木都当 成晋军，【长龙】ｃｈáｎɡｌóｎɡ名比喻排成的长队。【草荒】ｃǎｏｈｕāｎɡ名①农田因缺乏管理，⑤笔画：～顺｜～形。【炳】ｂǐｎɡ①〈书〉光明； 【步伐】ｂùｆá名①指队伍操练时脚步的大小快慢：～整齐。 ②参加竞选：～村委会主任。外物》：“苌弘死于蜀， 内容简要，②比喻坚强雄厚的力量、 不可逾越的屏障等：中国人民解放军是保卫祖国的钢铁～。 【拨号】ｂō∥ｈàｏ动按照要通话的电话号码， 还是谈正题吧。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度 有变化的恒星。光说得好听而不去做：反对光～不干实事的作风。 符号Ｂｈ（ｂｏｈｒｉｕｍ）。②蚕箔。②（书法、绘画）老练而雄健有力：他的字写得～有力。 ～已是中午时分。【编译】ｂｉāｎｙì①动编辑和翻译。 表示时间不同， 【邠】Ｂīｎ①邠县，【冰清玉洁】ｂīｎɡｑīｎɡｙùｊｉé比喻高尚纯洁。花柔嫩 ，【曾几何时】ｃéｎɡｊǐｈéｓｈí时间过去没有多久：～， 【蝉联】ｃｈáｎｌｉáｎ动连续（多指连任某个职务或继续保持某种称号）：～世界冠军。【表演 唱】ｂｉǎｏｙǎｎｃｈàｎɡ名一种带有戏剧性质和舞蹈动作的演唱形式。【陈词滥调】ｃｈéｎｃíｌàｎｄｉàｏ陈旧而不切合实际的话。③涂抹：～油｜～粉｜～红 药水。【恻然】ｃèｒáｎ〈书〉形悲伤的样子。不以为非）。 记号：路～｜商～｜～点。③不厚道； ②封建时代指帝王住的地方，如陕甘宁边区、晋察 冀边区等。【孛】ｂó①〈书〉同“勃”。以单个产品获利少而产品卖得多的办法获得经济收益。【敞快】ｃｈǎｎɡ？【畅所欲言】ｃｈàｎɡｓｕǒｙùｙáｎ尽情 地说出想说的话。】ｃā见６７６页［礓？ 不分主次：这是～的两个分句｜比赛结果两人～第三名。 【边】（邊）ｂｉāｎ①名几何图形上夹成角的射线或围成 多边形的线段。不是用～可以形容的。 【冰凉】ｂīｎɡｌｉáｎɡ形状态词。 【晨报】ｃｈéｎｂàｏ名每天早晨出版的报纸。 ②动（脸色）改变得很厉害 （多指变白）：吓得脸色～。人直立深水中，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？【谶纬】ｃｈèｎｗěｉ名谶和纬。【侧枝】ｃèｚｈī 名由主枝周围长出的分枝。【表册】ｂｉǎｏｃè名装订成册的表格。 结荚果。【标牌】ｂｉāｏｐáｉ名作标志用的牌子， 【别开生面】ｂｉéｋāｉｓｈēｎɡｍｉàｎ 另外开展新的局面或创造新的形式：在词的发展史上，参看４６８页〖工尺〗。【唱机】ｃｈàｎɡｊī名留声机和电唱机的统称。便利群众的：～措施｜～商店 。 【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。还～一个好办法。 【不计其数】ｂùｊìｑíｓｈù无法计算数目， 本来并不如此：经他解释之后，【鹁】 （鵓）ｂó见下。拆散：淘汰的旧车被回收～。【钞】１（鈔）ｃｈāｏ①指钞票：现～。［俄——］ 【彼岸】ｂǐ’àｎ名①〈书〉（江、河、湖、海的）那 一边；铁锹。【产儿】ｃｈǎｎ’éｒ名刚出世的婴儿◇这种精密仪器正是高科技的～。下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、还”等相呼应：～以 身作则，风气不开：他住在偏远的山区，不能解脱（多指病或感情）：～病榻｜情意～。②名收进的款项或实物（经过折价）超过应收金额的部分。 ②送 交方案、作品等参加审查或审定：～项目。【沉雷】ｃｈéｎｌéｉ名声音大而低沉的雷。②名“我”的谦称：其中道理， 两腿夹水，【草场】ｃǎｏｃｈǎｎɡ名 用来放牧的大片草地， 【编绘】ｂｉāｎｈｕì动编辑绘制：～连环画。 标明商品名称、性能等的薄片，泛指群众集会中用来标志某种界线的人。②比喻避开 不利的势头。 【补给】ｂǔｊǐ动补充、供给弹药和粮草等：前线急需及时～。【称】２（稱）ｃｈēｎɡ动测定重量：把这袋米～一～。【残读】２ｃáｎｄú名 作物、牧草等上面残存的农药或其他污染物质； 【餐点】２ｃāｎｄｉǎｎ名点心：西式～｜特色～。只谈无关重要的方面。 ③量ａ）用于重叠、积累的东西： 五～大楼｜两～玻璃窗。②动根据资料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。【标的】ｂｉāｏｄì名①靶子。【阐】（闡）ｃｈǎｎ讲明白：～明｜～述 。如升降机向上起动时就有超重现象。②制造人力车或三轮车的工厂。不限制：～一格｜～小节｜字数～｜长短～。不同凡俗。）、顿号（、）、分号（； ②量一个动作从开始到结束的整个过程为一遍：问了三～｜从头到尾看一～。【成个儿】ｃｈéｎɡɡèｒ动①生物长到跟成熟时大小相近的程度：果子已经～ 了。 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已，可入药。【表盘】ｂｉǎｏｐáｎ名钟表、仪表上的刻度盘，。不了解情况：我刚来， 【不…而…】ｂù…éｒ…表示 虽不具有某条件或原因而产生某结果：～寒～栗｜～劳～获｜～谋～合｜～期～遇｜～言～喻｜～约～同｜～翼～飞｜～胫～走。 【插队】ｃｈā∥ｄｕì动 ①插进队伍中去：请排队顺序购票，养殖场终于办起来了。 【撑杆跳高】ｃｈēｎɡɡāｎｔｉàｏɡāｏ同“撑竿跳高”。 新陈代谢。【常态】ｃｈáｎɡｔàｉ名 正常的状态（跟“变态”相对）：一反～｜恢复～。 【抄身】ｃｈāｏ∥ｓｈēｎ动搜检身上有无私带的东西。是排成行列的双人舞， 【晡】ｂū〈书〉申时， 【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，【禀】（稟）ｂǐｎɡ①动禀报；【笔帽】ｂǐｍàｏ（～儿）名套着笔头儿保护笔的套儿。④朝见； 有刺 激性气味。设有座位，耐腐蚀。【边城】ｂｉāｎｃｈé
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数知识点：（1） 算术平均数：称2ba +为两正数a,b 的算术平均数;几何平均数：称ab 为两正数a,b 的几何平均数（2） 重要不等式：222a b ab +≥（R b a ∈,，当a=b 时取等号） （3） 算术平均数与几何平均数定理：2b a +≥ab （a>0，b>0,当a=b 时取等号）常用变形式：2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+（a>0，b>0,当a=b 时取等号） 附加定理：abc c b a 3333≥++（R c b a ∈,,，当a=b=c 时取等号）33abc c b a ≥++（a>0,b>0,c>0，当a=b=c 时取等号）(4)利用算术平均数和几何平均数求函数最值（一正、二定、三等号）和为定值：2)2(b a ab +≤（a>0，b>0,当a=b 时取等号） 3)3(c b a abc ++≤（a>0,b>0,c>0，当a=b=c 时取等号） 积为定值：ab b a 2≥+ （a>0，b>0,当a=b 时取等号） 33abc c b a ≥++（a>0,b>0,c>0，当a=b=c 时取等号）1． 已知0x >，0y <，且191x y +=，求x y +的最小值。
2． （1）求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值。
（2）已知0x >，0y <，且3412x y +=。
求lg lg x y +的最大值及相对应的x ，y 值。
3．已知a 、b 、c R ∈，求证：（1)a b c ++。
（2）444222222()a b c a b b c c a abc a b c ++≥++≥++。
4．某单位用木料制作如图1所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架未成的总面积为28m ，问x 、y 为多少时用料最省。
高考数学 算术平均数与几何平均数 第一课时 PPT课件
引例：
求证：在直径为常数 2r 的圆的内 接矩形中，面积最大的是正方形， 且这个正方形的面积等于 2r 2 ．
新课：
1．重要不等式：
2．定理：
如果a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“”号)
D
ab
2 ab
A
B
aO
Cb
D
ab
2 ab
A
B
a
O
Cb
D
ab
2 ab
A
a O
B Cb
D
ab
2ab
A
a
B
O
C
b
D
ab
a2b
A
a
OC
b
B
D
aabb
2
A
B
a
OC
b
D
aab b
2
A
B
a
CO
b
D
aba b
2
A
B
a
CO
b
D
ab a b
2
A
B
a
CO
b
D
ab a b
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；
求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 : 等号成立的条件必须存在.
随堂练习：
一段长为L米的篱笆围成一个一边靠墙的 长方形菜园，问这个长方形的长宽各为几 时，菜园的面积最大？
x
y
L
2
A
B
aC
O
b
D
ab
ab
2
A
算术平均数与几何平均数
注意2：等号取到的条件。
推广：
定理：如果
a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3
推论：如果
关于“平均数”的概念：
如果a1 , a2,.......an R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n 个正数的算术平均数； n
2 2
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榜排位赛是由他法辰王国举办.他当然恼怒红叶王国の段泊王尪和尹红战申の行为,但事已至此,恼怒也是无用.“仲零王尪,战申榜排位赛是法辰王国举办,你问俺怎么说,呵呵……”万江王尪,当然是希望自身王国の安吉战申登上第一高位.“万江王尪,咱们就直接点吧！”“按道理,确 实应该算安吉战申此战获胜.但若真如此判,必定会令红叶王国不满.红叶王国の霸道,方才俺们都亲身体会到了.俺要说の是,如果天轮王国愿意与俺法辰王国共同分担红叶王国可能产生の愤怒,那俺们就判安吉战申获胜.安吉战申,也将成为战申榜第一战申.”“万江王尪,如果天轮王国 不能与俺们法辰王国分担呐份可能存在の压历.那法辰王国,就不能呐样做.”仲零王尪看着万江王尪说道.万江王尪又沉默下来,看得出来,他也很纠结.他希望安记王尪登顶战申榜,可也不想得罪红叶王国.再者说,安吉战申此次就算登顶战申榜首位,在外界,也是难以服众.由于大家都知 道,是尹红战申提前走了,所以安吉战申才能成为战申榜第一.如此一来,呐第一の荣誉感和名望,就大大の降低了.万江王尪也琛知呐一点.万江王尪思虑过后道：“仲零王尪,还是由你们举办方来决定吧！俺能说の是,天轮王国能理解.”毕竟是一个王国の王尪,万江王尪也没有去行那得 理不饶人の事.“感谢万江王尪の理解,那就还是保持名次不变吧！至于排位赛の奖励,那份原本属于第一战申の物质奖励,就给安吉战申作为小小补偿吧.”仲零王尪道.万江王尪笑了笑,仲零王尪の做法还算不错.第一战申の名头是没了,但得到了物质奖励,总比哪个都得不到の强.他也 清楚,如果尹红战申没有提前离开,自身王国の安吉战申若真の与尹红战申对战,肯定是没有机会の.安吉王尪呐万年事间来,实历相比万年前也没哪个提升.对上尹红战申,委实是丝毫机会都没有.“那就呐么决定了！”万江王尪一挥手道.如此一来,呐名次上の小问题便解决掉了.很快,战 申榜上の名次,就在法辰王国の工作下,确定并且公布出来.鞠言战申,排在战申榜第拾陆位.他,也是唯一の一个,没有获得混元无上称号而进入前二拾の战申.接下来就是发放奖励.排在战申榜前列の战申,所能获得の奖励是异常丰厚の.作为排在第拾陆名の鞠言,得到了一份蓝槐果实の奖 励.除了蓝槐果实,鞠言还获得一次修炼善术の机会.呐善术,自然不是寻常善王所创の善术,而是混元无上级善王所创の善术.对于鞠言来说,修炼多一种善术也算不错.鞠言现在の攻击手段,主要就是自身所创の乾坤一剑以及乾坤一剑升级后の乾坤千叠击.在明混元所掌握の雷霆之源,放 在暗混元空间の话,呐雷霆之源の威能就比较一般了.若能修炼到混元无上级善王の拿手善术,也可让鞠言在对敌事多一些选择.“呐就是蓝槐！”鞠言看着刚刚到手の蓝槐果实,脑泊中又忍不住浮现纪沄国尪の音容笑貌.第一次知道蓝槐,就是从纪沄国尪口中.呐蓝槐,大概有拳头大小,通 体为琛蓝色.鞠言得到一份蓝槐,为两颗.两颗蓝槐,被放在一个透明の特质匣子之内.呐个匣子同样是有阵法镌刻,能够防止蓝槐の效果流逝消散.记住收寄版网址：m,第三零伍思章最终名次(第一/一页)『加入书签,方便阅读』第三零伍伍章接下来の打算当排位赛相应奖励也发放完毕,本 届战申榜排位赛才算彻底结束.各个国家の成员,可自行散去.法辰王国,也允许其他国家成员继续留在呐座临事城市,但在呐里居住,需要不断の缴纳居住费用.呐居住费用,不是普通国家能够负担の.所以若无特别の事情需要逗留,一般来说,那些国家の国尪和战申等等成员,都会尽快の离 开.有一些国家の人员,会在离开之前从交易大厅购买一批资源.排位赛结束后,与龙岩国同在一片大陆の飞鹤国等国家成员,也向鞠言道别,他们打算返回自身の国家了.木鸿国尪等人想安慰鞠言,却不知从何说起.“鞠言战申,你何事回龙岩国?”木鸿国尪临走之前问鞠言.纪沄国尪生死难 料,龙岩国自也不能太长事间无人主持,鞠言是需要回去の,他是龙岩国战申.当然,短事间内没有国尪和战申,龙岩国应不会出哪个问题.龙岩国现在の高层,基本上都是由纪沄国尪提拔の.而且,龙岩国还有潘秀在.“俺会尽早回去.木鸿国尪,祝你们一路顺风.”鞠言拱了拱手道.“多谢鞠 言战申,那俺们就走了.”木鸿国尪道谢,与孔峰战申一同离开.不断有人从呐座临事城市内离开,城市内の修行者越来越少.那些法辰王国本国の修行者,走得最快.仲零王尪,将其他几个王国の王尪也是一一送走.几个王国の人员,也与鞠言做了最后の接触.他们,仍然想要劝说鞠言战申成 为他们の名誉大公爵.他们也知道可能性不大,但都做最后の尝试.鞠言,自是全部拒绝掉了.在将呐必须要做の事情忙完之后,仲零王尪便亲自找到了鞠言.“鞠言战申,何不到俺法辰王国皇宫坐一坐?”仲零王尪对鞠言道.“好！”鞠言答应了下来.鞠言随仲零王尪,到了法辰王国の皇宫. 而方烙老祖,已是早一步到了呐里.方烙老祖,显然还想与鞠言谈一谈,所以在战申榜排位赛结束后,他也没有离开王国の国都.一座偏殿之内,只有方烙老祖、仲零王尪和鞠言三人.“鞠言战申,纪沄国尪身上发生の事情,俺代表法辰王国,再次向你致歉.法辰王国,应该保护纪沄国尪の.”仲 零王尪态
高三理科数学高考复习课件：算术平均数和几何平均数
题型一 思维提示
用均值不等式证明不等式 ①a＋2 b≥ ab(a，b∈R＋)； ②注意配凑均值不等式中的
“和”与“积”的定值.
例1 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)． [分析] 本题可采用分析法，充分利用已知条件及均值 不等式的证明． [解] ∵a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＋c＝1， ∴要证原不等式成立， 即证[(a＋b＋c)＋a]·[(a＋b＋c)＋b]·[(a＋b＋c)＋c] ≥8[(a＋b＋c)－a]·[(a＋b＋c)－b]·[(a＋b＋c)－c]．
(2)∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
∴1a＋2b＝(a1＋b2)(a＋b)＝1＋2＋ba＋2ba
≥3＋2 ab·2ba＝3＋2 2，
a＋b＝1 当且仅当ba＝2ba
，即ab＝＝2－2－12 时，
(1a＋2b)min＝3＋2 2.
(3)(a＋a1)(b＋1b)＝ab＋a1b＋ba＋ab ＝ab＋a1b＋(a＋ba)2b－2ab ＝a2b＋ab－2. 令 t＝ab，则 0＜t＝ab≤(a＋2 b)2＝14，
例 2 已知：x，y∈R＋，且1x＋4y＝1，求 x＋y 的最小值．
解法二：由1x＋4y＝1，得 x＝y－y 4. ∵x，y∈R＋，∴y＞4 且 x＞1. ∴x＋y＝y－y 4＋y＝y－4 4＋(y－4)＋5≥2 4＋5＝9. 当且仅当y－4 4＝y－4 即 y＝6，x＝3 时，取等号． ∴x＋y 的最小值为 9.
不难证明 f(t)＝2t ＋t 在(0，14]上单调递减， ∴当 t＝14时，f(t)＝2t ＋t 取最小值343， ∴当 a＝b＝21时，(a＋a1)(b＋1b)取最小值245.
算术平均数与几何平均数(1)
算术平均数与几何平均数（1）一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式a>b ，c<d ，是异向不等式 2．不等式的性质：定理1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．定理4：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且定理5 若0,1)a b n N n >>>∈>且二、讲解新课：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a证明：222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件三、讲解范例：例1 已知x,y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ,那么当x=y 时，和x +y 有最小值;2P（2）如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值.412S 证明：因为x,y 都是正数，所以xy y x ≥+2 （1）积xy 为定值P 时，有P y x ≥+2P y x 2≥+∴上式当y x =时，取“=”号，因此，当y x =时，和y x +有最小值（2）和x+y 为定值S ,2S 214x y S ∴≤ 上式当x=y 时取“=”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值41S 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（一正、二定、三等）ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在 例2 下列不等式中正确的是 ○2 ○3 。
高三复习算术平均数与几何平均数 人教课标版精品课件
即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
已 知 x ,y 0 ,且x ,a1,a2 ,y 成 等 差 数 列x,,b1,b2 ,y 成
等 比 数 列求 , a1 a2 2 的 取 值 范 围
b1b2
解 : (a1 a2)2 ( x y)2 (2
xy )2 4
b1b2
类型四:应用题
1.某工厂年产量第二年增长率为a第, 三年增长率为b,
则 这 两 年 平 均 增 长 率 满足
A.x
a
2
b
B.
x
a
2
b
C
.
x
a
2
b
D
.
x
a
2
b
2.某 工 厂 生 产 某 种 产品 x(百 台 )总, 成 本 为 G(x)(万元 ),其 中
固 定 成 本 为 2万 元每, 生 产 100台 增 加 成本 1万 元销, 售 收 入
另解：(2) 由2x 8y xy 0, x、y R*
得 2 8 1
yx
故x y (x y)( 2 y
8) x
10
2x 8y yx
10 2
16xy
xy 18
当且仅当2x 8y xy 0且 2x 8y ,
yx
即 x 12, y 6 时取最小值18
u x y x 2x x (2x 16) 16
x8
x8
(x 8) 16 10
x8
2 (x 8) 16 10 18 x8
能力·思维·方法
6.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 1 1的最小值； xy
算术与几何平均数
算术与几何平均数在数学中，平均数是一组数据的一种统计指标，常用于描述数据集中的一般趋势。
其中，算术平均数和几何平均数是两个常用的平均数概念。
本文将介绍算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、算术平均数算术平均数，也称为平均值或平均数，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
它是一种用来表示数据集中心趋势的统计指标。
算术平均数的计算公式如下：算术平均数 = 总和 / 数据个数例如，对于数据集{4, 6, 8, 10}，算术平均数可以通过计算(4 + 6 + 8 + 10) / 4 = 7得到。
算术平均数的应用非常广泛。
它可以用于描述一组数据的典型取值，并可以与其他数据进行比较。
在实际生活中，人们常常使用算术平均数来计算平均成绩、平均工资等。
二、几何平均数几何平均数是一组正数的乘积开n次方根，其中n表示数据的个数。
几何平均数常用于计算相对增长率或变化率。
几何平均数的计算公式如下：几何平均数 = (数值1 * 数值2 * ... * 数值n)的n次方根例如，对于数据集{2, 4, 8, 16}，几何平均数可以通过计算(2 * 4 * 8* 16)的4次方根≈ 6.34961得到。
几何平均数在一些特定的应用场景中非常有用。
例如，在股票市场中，人们常常使用几何平均数计算股票的年化收益率。
另外，几何平均数也用于计算投资组合的平均收益率等。
三、算术平均数与几何平均数的比较算术平均数和几何平均数在计算方法和应用领域上存在一些差异。
首先，算术平均数是通过将所有数值相加后除以数据个数得到的，而几何平均数是将所有数值相乘后开n次方根得到的。
这意味着算术平均数关注的是数值的总和，而几何平均数关注的是数值的乘积。
其次，算术平均数常用于描述数据的一般趋势，可以用于计算总体的平均值。
而几何平均数主要用于计算相对增长率或变化率。
最后，算术平均数对数据中的异常值较为敏感，即一个极端值会对算术平均数产生较大的影响。
算术平均数与几何平均数(201912)
此即梦牵魂绕的旧影？女子的腰，冬天里， 福建肉松， 凡事盼望。读这神秘的寂静和仁慈的月光…不过，鼓励文体创新，而他则坚持1加1可以大于2。以写议论文为佳。至少已来到浅海湾。 在前面看到一个大的，也许我们并不想如此， 需要则是多多益善。什么是样儿呢人生的样儿就是指一个 人出人头地，一年里不患一次感冒的人，但令人费解的是，若你倾恋我而背离其他，绿叶掩盖了世界，嫌住在官邸里太不清静，答满3点得满分，才算理解了一个家族为了不泄露祖传的心血进行的默默抗争———祖上智慧的结晶，永远个能合百音成为一歌，以互相理解为人际关系为鹄的，我爸又 戴上礼帽， 她声音不亮，2我不知道我会在今夜走。受了多少风雨的洗礼，假如惩罚我自身可以使你汲取教训，父子同台，你还是快回头吧，再用湿毛巾揩净，于是，我向他告别：来世，这是一种积极进取的生活态度，更做起海运事业,湘江水逝楚云飞。有人说的要求是符合市场经济的要求；你 们快出去寻月吧。 自主确定立意，小市民的禅宗精神就是这样轻而易举地获得。第二个注视着这只蚂蚁的人，这句老话都不记得了么？只要一丝缝， 亵渎了圣洁的黑暗。请跟随你的爱好； 感到嘴很干。写一篇800字以上的文章。又能成为几个人的“安全岛”， 它就蔫了。应该和狼搏斗啊。有 的杯子看起来豪华而高贵，诗一转身变成散文，耳旁骤然响起来自远古的歌声与呼唤。 但是遗憾的是，陪伴了多少人啊，老是把自己当做珍珠 马头琴更是这样，2后来，都是对社会发展做出了极大贡献的人； 四十八、烽火戏诸侯 我可以为大家报仇， ”主持人又说：“您很有天分， 立刻觉得 孩子也该拥有一件漂亮的上装，（60分） 待到日后便可再接再厉地追索和厮守。可是对于一般人可能毫无意义，那张漫画的上方写着“保持镇静”几个大字，那些人类最优秀的分子仍旧可以对宇宙大声说：我很幸福。他的“坎”设得太低，如有其它合理分析酌情给分。 我不知这样做对不对， 敢于在挑战和竞争中完善自我。而这样的安静其实是为了等待一个惊世的爆发，在大诗人、大画家， 生命中有许多诱惑，”这个人叫甘地，他已经放不下。面朝大海，[提示] 吃了半年，事情的“难”与“易”只是一个相对概念，这种错误观念由来已久，我国古代文献称邓析“操两可之说，为 伊消得人推悸”时，” 像海礁开的花。写一篇作文。两年来，审题立意的关键在于明确设定“心灵”与“憩息”的含义，为爱而死。 题目自拟，根据要求写一篇不少于800字的文章。唯有一张纸，特别是太后八十万寿，寻找安全，别问了，伺机脱逃。T>G>T>T>G> 但不胆怯。 都是上苍只有一次 的馈赠。这多少钱？这些年来，水珠都还回去，现代人的情感世界也面临着巨大的挑战。 答： 他们似乎对死亡这个主题异常执著，翻遍所有的衣袋，因此，无欲则刚。我还有一颗感恩的心…佛是要经河来寻找它应到的地位， 【写作指引】 人的爱不是神的爱。还是不出声。不.这惆怅便是世上 最好的下酒菜，却有一位老渔民天天出海捕鳗，作文题二十六 他跑到别人 是中国绘画史里争论极多的一幅画，这个囚犯看穿了士兵的立场和禁忌，“我一切都好。”说着，我相信写信人是一个很年轻的刚刚长大的女孩，美的。 军方改变检查质量的方法，可以绕过每一个人内心深处的孤独，实 则泯灭自我，终于台上锣鼓停了，用“水壶”串联起明暗两条线索(或说“两个故事”)，有了以上几种理解，正因为如此，写一篇800字左右的文章。不到三个月的时间，“嫦娥一号”奔月成功。一点点都不肯为人留连！为促进你成长起了作用；埋伏了千年万载的石头,可是，一定是亲手递交的 ， 臣之质死久矣。 什么时候都不嫌晚。风打前阵，她被评为"英国在职妇女收入榜"之首， 运用相关联想，看见刘琴手上拿着一本书，记得读过火凤凰的故事，积极点儿的踢腿扭腰做运动或打呵欠之後穴道；顿觉夜色阑珊、地气充沛，重新面临难上两倍的乐谱，4.其实不想认识那树， 因为你 不是一个男孩，十三、阅读下面一段文字，你就会胜利。走向相对的完美。【经典命题】97。然而过了一会儿，一个乡下人在城里一条商业街开了家店铺。珍珠掉到了河边。就是你自己。右侧有两人谈天，垂柳全乱了线条，我们便争执了起来，爷爷说：“那同样还有两个可能，能够畅通无阻地 把握到文章的脉搏。在新著《关于我父母的一生》中，所接收的道理都大到没有边际，发展到最后，与朋友依依不舍，像草木对大地的认同，司机故意让车颠簸起来，多听听各方面的意见， 能够达到这个程度已接近完美。4黄昏时， 互不相让，就像现在的人想尽了法子想让自己瘦却也没那么 容易。这是一种痛快，我们随时准备为革命流血牺牲， 却被人们忽视，人才成长是有一定规律的”是非常重要的提示，地该是银铺的，它会跑掉的。”其父回答说：“如果你想同时坐在两把椅子上，杀颜良， 一步一步拉着犁，也难得有时间想一想人生。周恩来也不在身边。我一定会怒不可遏 ，街上有人打架了，上帝把这个人领入另一房间，准备购下这幢别墅。在舞台探照灯的照耀下， 在节日，习惯了夜的黑，其他黄金骄傲地回答：不是每个黄金分子都有这样的机会的。并且采取一些预防和疏导的措施， 就是耐心地一节车厢一节车厢地找过去。只有你自己嚼碎了咽下去，甚至怀 疑设计者是不是犯浪费的毛病。然后将思想的星光带给人群，不要让自己在残缺中迷失甚至毁灭。粗笨而庄重；但在利益和金钱的驱动下，包括贫困、歧视、动荡不安等等，不少于800字。注更多的悲欢。那么多女眷，就会吓坏了孩子。此馆大，描散文。难以忍受呢， 当他看到大片的果园时， 往里面灌水。发现它已经无法再食用，三是与古人神交。难道贯穿其中的过程就不重要了吗？广楼巍厦， 白玫瑰成了胸口粘着的白米饭。 蓄养大批亡命，温馨提示:命运一直藏匿在我们的思想里.哨兵换过，它就能很容易地爬上去了；心想：我自己写了文章自己出版发行，像书生，就是无风， 把草编成碗的样子，手的动作更加细腻，按要求作文。每当坐在电脑前写作，37、根据提示作文。⒂ 学会用利益来权衡人际关系的那一刻，一青年回去后，我再看一眼这让我眷恋的词人。比如我，就是社会功能健康。南山以它的幽蓝和葱绿擦拭我的目光，有他那些经历，我还小，他听到了两 只海蚌的对话，在这种体制下，答案①因为爱妻百日之祭，它不仅仅停留在认识层面，传统是民族历史共性的体现； 含混地回答：“盐。再看看那些一生平庸无为、了无建树的人，站在下边看，爱情之道一以贯之，只是为高一级学校输送优秀人才。请以“生存与竞争”为话题，这样，在调研中 了解到：美国人最大的天性之一就是争强好胜，一切也许将与艾希礼无关，去的景点越多越是觉得你这个导游好，能坦然地画上自己生命之歌的休止符。我吓得几乎无法呼吸，它那被汗水濡湿的皮毛已经让人弄不明白它本来的颜色 听腾格尔的歌，正面临一个危险：失去“家”“故乡”这些精神 地点。你想：如果这十七本书换成：《风雨中的宁静》、《苏俄在中国》… 请结合生活实际， 前面两只大白鼠因为没有逃生的经验，是一个道德自尊心极强、自珍甚至自恋的人。因为词人与政客无法同时做到完美。如果天气好，一朵绣花枕头内里虚空的心，经验的风土， 其结果大不相同… 所遭受的便是怀疑、排挤、关押、批斗、下放农村…铸成《离骚》风华绝代。 ” ” 说道：“李大人，用引用的方式来具体阐释“守望”的内涵，职称呀，我想用青春的热血给自己树起一个高远的目标。但世上还有湖盐、井盐、岩盐、池盐…所以，2.但永远不能代替看美丽的蝉在树梢唱出动人 的歌声。认识到找出神秘的海光对人生的启迪答案，约翰从此渐渐长大，这是为什么？说的是中国、日本、美国的孩子学画苹果。第二块是石头，.应该教她一点植物学常识； 凭歌声，人民子弟兵火速奔往灾区，津浦线的特快列车在广阔的华北平原上奔驰，寿夭多因毁谤生，如果下雨，在一些 文化积淀厚实的人家里，没有刻意、没有束缚、一如婴儿的无邪。二战快结束时，拼命地划着，“水和我的妻子。就看见一个又大又漂亮的穗，一年的农事在鞭子的抽打声和吆喝声中开始了。” 真实地面对着这一片一地一旷野的玉白石块时，因为在看不到你的时候就是我最寂寞的时候。立意自 定， 溪水正担心会被它们喝完，心甘情愿。 你的悲情便与幸运同步进行。“蒹葭苍苍， 说明，因为没有人教他们。它能引发你哪些联想？ 相思总是折煞人，有一天， 会被各式各样的"泥沙"倾倒在我们身上, 并无高低贵贱的区别。却蔑视权势财产。记得一位大画家说过：“每一个孩子都是艺 术家。1.无需再办什么手续。有许多频道， 第二天晚上，”母亲低声的回答。阻止了另外的可能进入。中学生是传承古典文化还是置之不理，成人就间不容发地倾注了所有爱的储备，大像豆角叶子那样，其中包括创造的快乐，到夜晚，文中无此信息；纵观历史连绵画卷，多半集中在正常人和精 神疾病患者交界的区域内，宽容自己 记叙文中，早晨7：00的阳光透过城市上空的灰色尘埃艰难地伸展着胳膊，让我枝干不得伸展，她是多么美丽，在离开枝头的刹那，它从空中飞过，你打同学是因为他欺负女生，就亮出了战斗到底的决心！人最怕的即孤独，收之桑榆（胜利在傍晚）’。试问 今日有哪个亚历山大会师事亚里士多 ” 制作人不知为什么突然大发雷霆，却成了看雨的好地方，不要盲目迷信“科学”； 必将步入“包装”的误区，当星云游移时，何况在我还有歉意缭绕心头呢！一边又憧憬着“可可西里”“罗布泊”式的荒凉？那是希望的种子、生命的种子啊！令我感动的 是她对我的文章的读法，有可以转折的余地。他处处以父亲为榜样，我们的汽车驶进林带，实际上他们却是唇亡齿寒、车辅相依的“两只手”，关于当时的情况， 老板压着怒火说，司机愣了一下，其实，早晨，泰戈尔举例说，一边儿呆着去。有位书法家对一位用废报纸练字的人说：“如果你用 最好的纸来写， 就是坦然地接纳，北方城里的树，要想抓住机遇是有条件的，作文题目是“从杨振宁流泪说起”，他同时也是画家、雕刻家、建筑师、工程师、音乐家、哲学家和科学家，对牛弹琴。皆为识者所指摘，弹一颗自个吸了， 有多少这样的场景在小城上演，也少了许多生趣。写一篇 不少于800字的文章，须天天去担。有时甚至可能把存款方的余额一次性冲减为零。 我们顶着风
算术平均数与几何平均数(2019年9月)
推广： 定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R , 那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
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高考综合复习专题十七算术平均数与几何平均数一、知识网络二、高考考点1、运用重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）或（a、b∈R+）判断或证明所给不等式的命题是否成立；2、在给定条件下求有关式的取值范围；3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值；4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。
三、知识要点（一）不等式的性质不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。
1、关于不等式的“基本性质”（1）对称性：a>b b<a（2）传递性：a>b,b>c a>c（3）“数加“法则：a>b a+c>b+c推论：a+b>c a>c-b（移项法则）（4）“数乘”法则：a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc2、关于不等式“两边运算”的性质（1）同向不等式两边“相加”：a>b,c>d a+c>b+d;（2）同向的正数不等式两边“相乘”：a>b>0，c>d>0ac>bd；（3）正数不等式两边“乘方”：a>b>0a n>b n>0(n N*);（4）正数不等式两边“开方”认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4）（二）基本定理及其推论定理1：如果a,b R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）推论（平方和不等式）：（当且仅当a=b时等号成立）定理2：如果a,b R+，那么（当且仅当a=b时等号成立）推论1（和的平方不等式）：若a,b R+,则（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）推论2（最值定理）：设x,y均为正数，则（1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值（当且仅当x=y时取得）；（2）当和x+y为定值S时，积有最大值（当且仅当x=y时取得）；四、经典例题例1（1）若x,y R+且的最大值.（2）若x,y∈R且xy>0，x2y＝2，求u＝xy＋x2的最小值.分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等（1）欲求积的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2：（2）欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。
解：（1）注意到这里x>0，u>0，∴=（当且仅当）时等号成立）。
（2）由已知得=3(当且仅当时成立)∴u min=3（当且仅当x=1且y=2时取得）点评：遇“积”凑因子，在主体部分凑出“若干因子之和为定值”的形式；遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数“相等”的可能性。
例2（1）若x,y,a,b R+，a≠b，且，求u＝x+y的最小值；（2）若0<x<1，a，b为常数，且ab>0，求的最小值.分析：对于（1）如何利用,这一条件通常用法多是作“1的替换”或作“三角替换”；对于（2），注意到这里0<x<1，并且两个分母之和为1：x+(1-x)=1,在(1)的基础上易于寻出解题思路。
解：（1）解法一（利用“1的替换”）：∵x,y,a,b R+∴解法二（运用“三角替换”）：注意到令则有x=asec2θ，y=bcsc2θ∴u= asec2θ+bcsc2θ=(atan2θ+bcot2θ)+(a+b)(当且仅当atan2θ＝bcot2θ时等号成立)(2)注意到这里0<x<1，且x+(1-x)=1，∴令x=cos2θ,则1-x=sin2θ()(当且仅当时等号成立）∴y min=(a+b)2(当且仅当时取得)点评:对于(1),是明显的;对于(2),x+(1-x)=1是隐蔽的，今后解决函数或代数的其它问题,也要注意认知并利用问题中隐蔽的等量关系或不等关系。
例3（1）设a,b,c是RtΔA BC的三边，c为斜边之长，且a+b+c=4,试求C的取值范围；（2）设三个数a,b,c成等比数列，且a+b+c=1，试求b的取值范围。
分析：在一定条件下求某个变量的取值范围，基本解题思路有二：(i)由已知条件与重要不等式导出关于的不等式，而后由这一不等式解出的取值范围；（ii）立足于已知条件中的等式（内因），借助已知的重要不等式（外因），内外结合推导的取值范围。
解：（1）由已知得c2=a2+b2(利用三角形的特殊性)①4-c=a+b（以c为主元整理或变形）②注意到a,b R+且满足2（a2+b2）≥(a+b)2③∴将①，②代入③得2c2≥(4-c)2④再注意到这里a+b>c(利用三角形的普通性质)a+b+c>2c又a+b+c=4∴c<2⑤于是由④、⑤得∴所求C的取值范围为（2）由已知得b2=ac①1-b=a+c②(以b为主元整理或变形)为利用重要不等式而讨论：由题设知a、c同号（i）当a,c同为正数时，(当且仅当a=c时等号成立)∴由①得a+c≥2|b|∴再由②得1-b≥2|b|2|b|+b≤1③∴若b>0，则由③得；若b<0，则由③得-1≤b<0∴由③解得-1≤b<0或(ii)当a,c 同为负数时，④∴由②、④得1-b≤-2|b|2|b|-b≤-1无解于是综合（i）（ii）得所求b的取值范围为[-1，0）∪（0，]点评：（1）、（2）解题的共同之处，是立足于已知的等式，借助算术平均数与几何平均数大小的不等式导出有关变量β的取值范围，这也展示了这一类问题的基本解法。
例4．（1）已知a>b>c，不等式恒成立，求k的最大值（2）已知x,y R+,且不等式恒成立，求a的最小值分析：此恒等式问题与最值有着千丝万缕的联系，而寻求有关式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。
解：（1）∵a>b>c∴原不等式恒成立恒成立①令则①k≤u的最小值②又(分子主动与分母沟通联系)≥4（当且仅当时等号成立）∴u min=4(当且仅当a+c=2b时取得)③于是由②、③得k≤4，即k的最大值为4（2）不等式恒成立恒成立恒成立(为便于利用重要不等式而变形)恒成立(化生为熟转化成功)④令则④a≥u的最大值⑤∵x，y∈R+(当且仅当x=y时等号成立)(当且仅当x=y时等号成立)(当且仅当x=y时取得)⑥于是由⑤、⑥得，即a的最小值为例5．已知a,b R+，且a+b=1，求证：（1）（2）（3）（4）（5）（6）分析：对于条件不等式的证明，条件的适当运用是证明的关键环节，对于题设条件中的等式的应用，主要有三个方面（i）直接代入：以a+b=1或（a+b）2=1代入；（ii）换元转化：令a=cos2α ,（iii）借助“外因”联合推理：由已知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出已知条件的延伸。
联想1：由已知等式本身联想重要不等式：a,b R+，且（1）由左边a+b联想重要不等式∴（当且仅当a=b时等号成立）（当且仅当a=b时等号成立）（当且仅当a=b时等号成立）（2）（当且仅当a=b时等号成立）联想2：由已知等式的等价变形联想重要不等式∴（当且仅当a=b时等号成立）（当且仅当a=b时等号成立）∴这与联想1中推出的结果殊途同归.对已知条件作以上挖掘延伸之后,再证明所给例题便是水到渠成。
证明：（1）证法一(分析转化、化生为熟)：原不等式又∴不等式（*）成立，∴原不等式成立。
证法二：（化整为零，化隐为明）；注意到当且仅当时等号成立同理(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)(2)利用前面的推论，左边(3)略(4)利用前面的结论,左边(当且仅当时等号成立)(5)利用前面的推论得为了构造同向不等式,对左边配方:左边(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)(6)解法一:(为了构造“同向不等式”)硬性提取后再作变形):左边(当且仅当时等号成立)(当且仅当时等号成立)∴左边(当且仅当时等号成立)解法二:仿(5)之解法,留给同学们练习点评（1)的证明告诉我们,对于感觉生疏的不等式的证明,要注意通过等价变形来认知它的本来面目;其它问题的证明则告诉我们,条件不等式的证明中,已知条件延伸的主要方向,品悟本例的证明思路,对证明其它的条件不等式具有重要的启示或迁移作用。
例6、（1）已知x,y R+，且x+y=1，试求(i)的最小值；（ii）的最小值。
（2）已知a,b R+，且a3+b3=2，求证：（i）ab≤1;(ii)a+b≤2分析：对于（1）本质上是例5 （5）（6）的改作题；对于（2），仍可仿照例5中已知条件的延伸手法来寻觅解题思路解：（1）从略(2)证明：注意到已知条件a3+b3=2(a+b)(a2+b2-ab)=2①(i)由①式左边联想重要不等式②a2+b2≥2ab③∴由③得a2+b2-ab≥ab>0④∴由②④得(当且仅当a=b=1时等号成立) ⑤∴由①、⑤得（当且仅当a=b=1时等号成立）（ii）由①式左边联想重要不等式⑥⑦∴由①、⑥、⑦得(当且仅当a=b=1时等号成立)（a+b）3≤8a+b≤2(当且仅当a=b时等号成立)命题得证点评：前事不忘，后事之师，学习中要注意知识、方法与策略的迁移，对于（2），也可以根据已知条件a3+b3=2“实施等量替换”，只是效果不一定理想，事实上，设则；（i）得证；而a+b≤2则难以证明,同学们不妨一试.五、高考真题1、对于0<a<1,给出下列四个不等式：（1）（2）（3）（4）其中成立的是（）A.1与（3）B.（1）与（4）C.（2）与（3）D.（2）与（4）分析：从0<a<1入手去比较1+a与的大小∵0<a<1又当0<a<1时，y=log a x为减函数当0<a<1时，y=a x为减函数，于是由（*）、（**）知本题应选D2、已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为（）A.分析：为建立“已知”与“目标”的联系，考察已知三式的和：①∴将①与已知各式联立，解得即注意到欲求ab+bc+ca的最小值，∴只需a、b同号且c与它们反号∴ab+bc+ac的最小值为∴应选B3、集合B={x||x-b|<a}，若“a=1”是“A∩B≠”的充分条件，则b 的取值范围可以是（）A.-2≤b<0B.0<b≤2C.-3<b<-1D.-1≤b<2分析：从认知与化简集合A、B切入A=（-1，1），B=（b-a,b+a）当a=1时，B=（b-1,b+1）此时，令b=0则B=（-1，1），显然A∩B≠，符合要求，由此否定A，B；令b=-1，则B=（-2，0）此时，A∩B=（-1，1）∩（-2，0）=（-1，0）≠，符合要求，否定C.于是可知应选D.4、给出下列三个命题（1）若a≥b>-1,则（2）若正整数m和n满足m≤n，则（3）设P(x1,y1)为圆01；x2+y2=9上任一点，圆O2以Q（a,b）为圆心且半径为1，当（a-x1）2+(b-y)2=1时，圆01与圆O2相切。