2007年上海市普通高等学校春季招生数学考

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2007年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷

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——培根学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。

——阿卜·日·法拉兹2007年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟. . 填空题 (本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．计算=++∞→)1(312lim 2n n n n . 2．若关于x 的一元二次实系数方程02=++q px x 有一个根为i 1+(i 是虚数单位)，则=q .3．若关于x 的不等式01>+-x a x 的解集为),4()1,(∞+-∞- ，则实数=a . 4．函数2)cos sin (x x y +=的最小正周期为 .5．设函数)(x f y =是奇函数. 若3)2()1(3)1()2(++=--+-f f f f ，则=+)2()1(f f .6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6，则点P 的横坐标=x .7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则实数=m .8．若向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()1=+⋅b a a ，则向量a ，b 的夹角的大小为 . 9．若21x x 、为方程11212+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x 的两个实数解，则=+21x x .10．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

——培根学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。

——阿卜·日·法拉兹演节目. 若选到男教师的概率为209，则参加联欢会的教师共有人. 11．函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,2,0,12x xx x y 的反函数是 .二．选择题 (本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.12．若集合{}2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A ”的(A) 充分不必要条件. (B) 必要不充分条件.(C) 充要条件. (D) 既不充分也不必要条件.[答] ( )13．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界）. 若21OP b OP a +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足(A) 0,0>>b a . (B) 0,0<>b a .(C) 0,0><b a . (D) 0,0<<b a .[答] ( )14．下列四个函数中，图像如图所示的只能是(A) x x y lg +=. (B) x x y lg -=.(C) x x y lg +-=. (D) x x y lg --=.[答] ( )15．设b a 、是正实数，以下不等式① b a ab ab +>2，② b b a a -->，③ 22234b ab b a ->+，④ 22>+abab页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

2007年上海市春季高考数学试卷及解析

2007年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算=．2．（4分）若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i（i是虚数单位），则q=．3．（4分）若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），则实数a=．4．（4分）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是．5．（4分）设函数y=f（x）是奇函数．若f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f（1）+f（2）+3，则f（1）+f（2）=．6．（4分）在平面直角坐标系xoy中，若抛物线y2=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x=．7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线与直线x=m有且只有一个公共点，则实数m=．8．（4分）若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．9．（4分）若x1、x2为方程2x=的两个实数解，则x1+x2=．10．（4分）在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有人．11．（4分）函数的反函数是．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．12．（4分）若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（4分）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜014．（4分）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx15．（4分）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E，F分别是A'B'和AB的中点，求异面直线A'F与CE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（14分）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P（2，1）到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．18．（14分）在直角坐标系中，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积．19．（14分）某人定制了一批地砖．每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3：2：1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？20．（18分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．21．（18分）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．第1列第2列第3列…第n列第1行111 (1)第2行q第3行q2……第n行q n﹣1（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，B n，试用n，q表示B1+B2+…+B n的值；（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，c n，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，c n的前m项c1，c2，…，c m（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．2007年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2007•上海）计算=．【分析】变形为，然后取极限即可得到结果．【解答】解：==，故答案为：．2．（4分）（2007•上海）若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i（i是虚数单位），则q=2．【分析】根据实系数一元二次方程得虚根成对原理可知：1﹣i也是方程x2+px+q=0的一个根，再根据根与系数的关系即可得出．【解答】解：根据实系数一元二次方程得虚根成对原理可知：1﹣i也是方程x2+px+q=0的一个根，根据根与系数的关系可得（1+i）（1﹣i）=q，∴q=2．故答案为：2．3．（4分）（2007•上海）若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），则实数a=4．【分析】a不等式即（x+1）（x﹣a）＞0，再再由它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），可得﹣1和4是（x+1）（x﹣a）=0的两个实数根，由此可得a的值．【解答】解：关于x的不等式即（x+1）（x﹣a）＞0．再由它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），可得﹣1和4是（x+1）（x﹣a）=0的两个实数根，故a=4，故答案为4．4．（4分）（2007•上海）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是π．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数y=1+sin2x，根据最小正周期等于求出结果．【解答】解：函数y=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，故它的最小正周期等于=π，故答案为：π．5．（4分）（2007•上海）设函数y=f（x）是奇函数．若f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f （1）+f（2）+3，则f（1）+f（2）=﹣3．【分析】先由函数y=f（x）是奇函数，求得f（﹣2）=﹣f（2），f（﹣1）=﹣f（1）代入f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f（1）+f（2）+3求解．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数∴f（﹣2）=﹣f（2），f（﹣1）=﹣f（1）∴f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f（1）+f（2）+3可解得f（1）+f（2）=﹣3故答案为：﹣3．6．（4分）（2007•上海）在平面直角坐标系xoy中，若抛物线y2=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x=5．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=6，则P到准线的距离也为6，即x+=6，将p的值代入，进而求出x．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+=6，∴x=5，故答案为：5．7．（4分）（2007•上海）在平面直角坐标系xOy中，若曲线与直线x=m 有且只有一个公共点，则实数m=2．【分析】由曲线方程可知：曲线为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（y轴右侧），从而根据曲线与直线x=m有且只有一个公共点，可求实数m的值．【解答】解：由题意，曲线为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（y轴右侧）与直线L：x=m（L∥y轴）有且只有一个公共点∴m=2故答案为28．（4分）（2007•上海）若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．【分析】先由已知条件求出•=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值．【解答】解：设，的夹角为θ．∵•（+）=1，∴+•=1，又∵||=，∴•=﹣1．∴cosθ===﹣．又∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为．9．（4分）（2007•上海）若x1、x2为方程2x=的两个实数解，则x1+x2=﹣1．【分析】先将方程两边化成同底的指数函数，根据函数的单调性建立等式关系，最后利用根与系数的关系求出两根的和．【解答】解：2x==根据指数函数的单调性可知x=设x1、x2为x=的两个根即x2+x﹣1=0的两个根x1、x2，根据根与系数的关系可知x1+x2=﹣1故答案为﹣110．（4分）（2007•上海）在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有120人．【分析】设出女教师的人数，用女教师人数表示出到会的总人数，根据从这些人中随机挑选一人表演节目，若选到女教师的概率为，列出方程，解出女教师人数，从而得到总人数．【解答】解：设男教师有x人，由题得=，∴x=54，∴2x+12=108+12=120．故答案为：120．11．（4分）（2007•上海）函数的反函数是．【分析】由原函数的分段解析式分别解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域），最后再写成分段函数的形式即可．【解答】解：∵y=x2+1（x≥0），∴x=，y≥1，故y=x2+1（x≥0）的反函数为y=（x≥1），同样地，y=（x＜0）的反函数为y=（x＜0），∴函数的反函数是．故答案为：．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．12．（4分）（2007•上海）若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当m=2时，可直接求A∩B；反之A∩B={4}时，可求m，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m=2，则A={1，4}，B={2，4}，A∩B={4}，“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件；若A∩B={4}，则m2=4，m=±2，所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件．则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．故选A．13．（4分）（2007•上海）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【分析】根据所给的图形知，点P落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a与方向相同，b与方向相反，得到a与b 的符号．【解答】解：∵=a+b，由于点P落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a与方向相同，b与方向相反，∴a＞0，b＜0．故选：B．14．（4分）（2007•上海）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx【分析】先求出所给函数的导数，再结合导数的符号，判断函数的单调性，然后利用函数的单调性进行判定，可得正确选项．【解答】解：在y=x+lgx中，＞0，∴y=x+lgx是（0，+∞）上单调递增函数，∴A不成立；在y=x﹣lgx中，，当0＜x＜lge时，＜0，当x＞lge 时，＞0．∴y=x﹣lgx的增区间是（lge，+∞），减区间是（0，lge），∴B成立；在y=﹣x+lgx中，．当0＜x＜lge时，＞0，当x ＞lge时，＜0．∴y=﹣x+lgx的减区间是（lge，+∞），增区间是（0，lge），∴C不成立；在y=﹣x﹣lgx中，＜0，∴y=﹣x﹣lgx是（0，+∞）上单调递减函数，∴D不成立．故选B．15．（4分）（2007•上海）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】由a，b为正实数，对于①①利用基本不等式变形分析取值特点即可；对于②利用含绝对值不等式的性质即可加以判断；对于③取出反例数值即可；对于④利用均值不等式进行条件下的等价变形即可．【解答】解：∵a、b是正实数，∴①a+b≥2⇒1≥⇒≥．当且仅当a=b时取等号，∴①不恒成立；②a+b＞|a﹣b|⇒a＞|a﹣b|﹣b恒成立；③a2+b2﹣4ab+3b2=（a﹣2b）2≥0，当a=2b时，取等号，例如：a=2，b=1时，左边=5，右边=4×1×2﹣3×22=﹣4∴③不恒成立；④ab+≥2=2＞2恒成立．答案：D三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（12分）（2007•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E，F 分别是A'B'和AB的中点，求异面直线A'F与CE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】（法一）如图建立空间直角坐标系，把要求的角转化为向量的夹角，用坐标运算求解；（法二）：连接EB，可证A'FBE是平行四边形，可得异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角，在Rt△CEB中，可得，由反正切可得所求的角．【解答】解：（法一）如图建立空间直角坐标系．…（2分）由题意可知A′（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0）．∴．…（6分）设直线A′F与CE所成角为θ，则．…（10分）∴，即异面直线A'F与CE所成角的大小为．…（12分）（法二）：连接EB，…（2分）∵A'E∥BF，且A'E=BF，∴A'FBE是平行四边形，则A'F∥EB，∴异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角．…（6分）由CB⊥平面ABB'A'，得CB⊥BE．在Rt△CEB中，，则，…（10分）∴．∴异面直线A'F与CE所成角的大小为．…（12分）17．（14分）（2007•上海）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P（2，1）到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．【分析】利用逆向”问题的意义可以是：（1）求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程．或者（2）若点P（2，1）到直线l：ax+by=0的距离为2，求直线l的方程．利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（2，1）到直线3x+4y=0的距离为．“逆向”问题可以是：（1）求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程．设所求轨迹上任意一点为P（x，y），则，所求轨迹为3x+4y﹣10=0或3x+4y+10=0．（2）若点P（2，1）到直线l：ax+by=0的距离为2，求直线l的方程．由，化简得4ab﹣3b2=0，b=0或4a=3b，所以，直线l的方程为x=0或3x+4y=0．18．（14分）（2007•上海）在直角坐标系中，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积．【分析】（1）由已知易得c值与线段MF2的长度，在直角三角形MF1F2中勾股定理求出a即可写出椭圆C的标准方程．（2）此题可转化为求以线段为底边的两个三角形的和问题，一个三角形的高为b，另一个为|y n|．故只须求y n即可．【解答】解：（1）由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a．由题意|MF2|=1，∴|MF1|=2a﹣1．又由Rt△MF1F2可知，a＞0，∴a=2，又a2﹣b2=2，得b2=2．∴椭圆C的方程为．（2）直线BF2的方程为．由得点N的纵坐标为．又，∴．19．（14分）（2007•上海）某人定制了一批地砖．每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3：2：1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【分析】（1）图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，由此能够证明四边形EFGH是正方形．（2）设CE=x，则BE=0.4﹣x，每块地砖的费用为W，求出W的表达式，借助二次函数的性质能求出E，F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省．【解答】解：（1）证明：图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，∴EF=FG=GH=HE．又CE=CF，∴△CEF为等腰直角三角形．∴四边形EFGH是正方形．（2）设CE=x，则BE=0.4﹣x，每块地砖的费用为W，制成△CEF、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a，2a，a（元），则=a（x2﹣0.2x+0.24）=a[（x﹣0.1）2+0.23]（0＜x＜0.4）由a＞0，当x=0.1时，W有最小值，即总费用最省．当CE=CF=0.1米时最省．20．（18分）（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【分析】（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2 sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=105°∴AB=2Rsin75°=4sin105°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=21．（18分）（2007•上海）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．第1列第2列第3列…第n列第1行111 (1)第2行q第3行q2……第n行q n﹣1（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，B n，试用n，q表示B1+B2+…+B n的值；（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，c n，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，c n的前m项c1，c2，…，c m（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．【分析】（1）根据题意分别求出B1、B2，利用归纳法求出B n，再由分组求和法求出和式的值；（2）根据题意分别求出c1，c2，c3，再进行作差：c1+c3﹣2c2，化简后判断出符号，即得证；（3）①先设c1，c2，c3成等比数列求出公比q，再去检验是否为q，求出m和q；②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，有条件分别求出各项，再求出对应的公比，再由k≠m进行判断．【解答】解：（1）由题意得，B1=q，B2=1+q，B3=1+（1+q）=2+q，…，B n=（n﹣1）+q，∴B1+B2+…+B n=1+2+…+（n﹣1）+nq=．（2）由题意得，c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，，由，即c1+c3＞2c2．（3）①先设c1，c2，c3成等比数列，由得，3+2q+q2=（2+q）2，．此时c1=1，，∴c1，c2，c3是一个公比为的等比数列．如果m≥4，c1，c2，…，c m为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列．由上所述，此时，，，由于，因此，对于任意m≥4，c1，c2，…，c m一定不是等比数列．综上所述，当且仅当m=3且时，数列c1，c2，…，c m是等比数列．②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n ﹣1，则，若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则由，得，，，同理，若第m+1列的前三项y1，y2，y3是等比数列，则．当k≠m时，．所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．。

普通高等学校春季招生考试数学试题

普通高等学校春季招生测试数学试题本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．第一卷1至2页．第二卷3至8页．共150分．测试时间120分钟．第一卷〔选择题共60分〕考前须知：1.答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、测试科目用铅笔涂写在做题卡上．2.每题选出答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上．3.测试结束,监考人将本试卷和做题卡一并收回．参考公式：正棱台、圆台的侧面积公式三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= l c c S )'(21+=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= 其中'c 、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= 球体的体积公式 334R V π=球)]cos()[cos(21sin sin β-α-β+α-=βα 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．〔1〕集体{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是〔A 〕32〔B 〕31 〔C 〕16 〔D 〕15〔2〕函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有〔A 〕)()()(y f x f xy f = 〔B 〕)()()(y f x f xy f +=〔C 〕)()()(y f x f y x f =+〔D 〕)()()(y f x f y x f +=+〔3〕=++∞→1222lim n n n n n C C〔A 〕0 〔B 〕2 〔C 〕21 〔D 〕41 〔4〕函数)1(1≤--=x x y 的反函数是〔A 〕)01(12≤≤--=x x y 〔B 〕)10(12≤≤-=x x y〔C 〕)0(12≤-=x x y〔D 〕)10(12≤≤-=x x y〔5〕1F 、2F 是椭圆191622=+y x 的两焦点,过点2F 的直线交椭圆于点A 、B ,假设5||=AB ,那么=+||||11BF AF〔A 〕11〔B 〕10〔C 〕9〔D 〕16〔6〕设动点P 在直线1=x 上,O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆,那么动点Q 的轨迹是〔A 〕圆〔B 〕两条平行直线〔C 〕抛物线〔D 〕双曲线〔7〕x x f 26log )(=,那么)8(f 等于〔A 〕34 〔B 〕8 〔C 〕18 〔D 〕21 〔8〕假设A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角,那么点)cos sin ,sin (cos A B A B P --在〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限〔9〕如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角〔圆锥轴截面中两条母线的夹角〕是〔A 〕︒30〔B 〕︒45〔C 〕︒60〔D 〕︒90〔10〕假设b a ,为实数,且2=+b a ,那么ba33+的最小值是〔A 〕18〔B 〕6〔C 〕32〔D 〕432〔11〕右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中, ①ED BM 与平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成︒60角④DM 与BN 垂直以上四个命题中,正确命题的序号是〔A 〕①②③ 〔B 〕②④〔C 〕③④〔D 〕②③④〔12〕根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S 〔万件〕近似地满足)12,,2,1)(521(902 =--=n n n nS n 按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是〔A 〕5月、6月〔B 〕6月、7月〔C 〕7月、8月〔D 〕8月、9月第二卷〔非选择题共90分〕考前须知： 1.第二卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2.答卷前将密封线内的工程填写清楚．二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分．把答案填在题中横线上．〔13〕球内接正方体的外表积为S ,那么球体积等于_______________．〔14〕椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ,以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是_______________．〔15〕αγβα(1sin sin sin 222=++、β、γ均为锐角〕,那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________．〔16〕m 、n 是直线, α、β、γ是平面,给出以下命题：① 假设m n m ⊥=⋂⊥,,βαβα,那么βα⊥⊥n n 或； ②假设α∥β,γβγα⋂=⋂,m ,那么m ∥n ；③假设m 不垂直于α,那么m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④假设m =⋂βα,n ∥m ,且βα⊄⊄n n ,,那么n ∥n 且α∥β．其中正确的命题的序号是_______________〔注：把你认为正确的命题的序号都．填上〕三、解做题：本大题共6小题,共74分．解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤．〔17〕方程022=++n mx x 有实根,且2、m 、n 为等差数列的前三项．求该等差数列公差d 的取值范围．〔18〕设函数)0()(>>++=b a bx ax x f ,求)(x f 的单调区间,并证实)(x f 在其单调区间上的单调性．〔19〕)1(17≠∈=z C z z 且．〔Ⅰ〕证实0165432=++++++z z z z z z ；〔Ⅱ〕设z 的辐角为α,求ααα4cos 2cos cos ++的值．〔20〕VC 是ABC ∆所在平面的一条斜线,点N 是V 在平面ABC 上的射影,且N 位于ABC ∆的高CD 上．AB VC a AB 与,=之间的距离为VC M h ∈,．〔Ⅰ〕证实∠MDC 是二面角M –AB –C 的平面角；〔Ⅱ〕当∠MDC =∠CVN 时,证实VC AMB 平面⊥；〔Ⅲ〕假设∠MDC =∠CVN =)20(πθθ<<,求四面体MABC 的体积．〔21〕某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入本钱为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求,方案提升产品档次,适度增加投入本钱．假设每辆车投入本钱增加的比例为)10(<<x x ,那么出厂价相应提升的比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．年利润=〔出厂价–投入本钱〕⨯年销售量．〔Ⅰ〕写出本年度预计的年利润y 与投入本钱增加的比例x 的关系式；〔Ⅱ〕为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入本钱增加的比例x 应在什么范围内？〔22〕抛物线)0(22>=p px y ．过动点M 〔a ,0〕且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．〔Ⅰ〕假设a p AB 求,2||≤的取值范围；〔Ⅱ〕假设线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ,交x 轴于点N ,试求MNQ Rt ∆的面积．普通高等学校春季招生测试数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和水平,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么．二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继局部的给分,但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误,就不再给分．三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：此题考查根本知识和根本运算．每题5分,总分值60分．〔1〕A 〔2〕C 〔3〕D 〔4〕C 〔5〕A 〔6〕B 〔7〕D〔8〕B〔9〕C〔10〕B〔11〕C〔12〕C二、填空题：此题考查根本知识和根本运算．每题4分,总分值16分．〔13〕π242SS 〔14〕2516 〔15〕692〔16〕②④三、解做题〔17〕本小题主要考查等差数列,一元二次方程与不等式的根本知识．考查综合运用数学根底知识的水平．总分值12分．解：依题意,有d n d m 22,2+=+=, ……2分由方程有实根,得0242≥⨯-n m ,即 0)22(8)2(2≥+-+d d , ……6分整理,得012122≥--d d ,……8分解得 346346+≥-≤d d 或,∴ ),346[]346,(+∞+⋃--∞∈d ．……12分〔18〕本小题主要考查函数的根本性质,考查推理水平．总分值12分．解：函数bx ax x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-⋃--∞b b ． ),()(b x f --∞在内是减函数),()(+∞-b x f 在内也是减函数．……4分证实),()(+∞-b x f 在内是减函数．取21,x x ),(+∞-∈b ,且21x x <,那么 b x ax b x a x x f x f ++-++=-221121)()())(())((2112b x b x x x b a ++--=,……6分∵ 0))((,0,02112>++>->-b x b x x x b a , ∴ 0)()(21>-x f x f , 即),()(+∞-b x f 在内是减函数．……9分同理可证),()(b x f --∞在内是减函数．……12分〔19〕本小题考查复数的根本概念和运算．总分值12分．解：〔Ⅰ〕由 )1(65432z z z z z z z ++++++ 765432z z z z z z z ++++++=654321z z z z z z ++++++=,得0)1)(1(65432=++++++-z z z z z z z ． ……4分由于 1≠z ,所以 0165432=++++++z z z z z z ． ……6分〔Ⅱ〕由于1||,17==z z 可知,所以 1=⋅z z ,而17=z ,所以16=⋅z z ,z z =6,同理3452,z z z z ==, 65342z z z z z z ++=++．由〔Ⅰ〕知 165342-=+++++z z z z z z , 即 14242-=+++++z z z z z z , 所以 42z z z ++的实部为21-, ……8分而z 的辐角为α时,复数42z z z ++的实部为 ααα4cos 2cos cos ++, 所以 214cos 2cos cos -=++ααα ……12分〔20〕本小题考查运用直线与直线、直线与平面的根本性质证实线面关系的水平．总分值12分．〔Ⅰ〕证实：由,ABC AB CD N ABC VN AB CD 平面平面⊂∈⊥⊥,,,, ∴AB VN ⊥．∴VNC AB 平面⊥．……2分又V 、M 、N 、D 都在VNC 所在平面内,所以,DM 与VN 必相交,且CD AB DM AB ⊥⊥,, ∴∠MDC 为二面角C AB M --的平面角．……4分〔Ⅱ〕证实：由,∠MDC =∠CVN ,在DMC VNC ∆∆与中, ∠NCV =∠MCD , 又∵∠VNC =︒90, ∴∠DMC =∠VNC =︒90．故有VC AB VC DM ⊥⊥又,, ……6分 ∴AMB VC 平面⊥．……8分〔Ⅲ〕解：由〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕,VC M AB D VC MD AB MD ∈∈⊥⊥,,,且,∴h MD =．又∵∠θ=MDC ．在MDC Rt ∆中,θtg h CM ⋅=．……10分ABM C MABC V V -=三棱锥四面体ah tg h S CM ABM 213131⋅⋅=⋅=∆θθtg ah 261=． ……12分〔21〕本小题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的水平．总分值12分．解：〔Ⅰ〕由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯+⨯-+⨯=x x x x y ,……4分整理得 )10(20020602<<++-=x x x y ．……6分〔Ⅱ〕要保证本年度的利润比上年度有所增加,必须⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即 ⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x……9分解不等式得 310<<x ．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入本钱增加的比例x 应满足33.00<<x ．……12分〔22〕本小题考查直线与抛物线的根本概念及位置关系,考查运用解析几何的方法解决数学问题的水平．总分值14分．解：〔Ⅰ〕直线l 的方程为：a x y -=,将 px y a x y 22=-=代入, 得 0)(222=++-a x p a x ．……2分设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ,那么 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a (4)分又a x y a x y -=-=2211,, ∴ 221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．……6分∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB , ∴ p a p p 2)2(80≤+<．解得 42pa p -≤<-． ……8分〔Ⅱ〕设),(33y x Q ,由中点坐标公式,得p a x x x +=+=2213,p a x a x y y y =-+-=+=2)()(221213． ……10分∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=．又 MNQ ∆为等腰直角三角形, ∴ 22||21p QM S MNQ ==∆． ……14分。

2007年高考数学上海市理科(详细解答)

（3）设“果圆”的方程为，．记平行弦的斜率为．当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是．的中点满足得．，．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在
某一椭圆上．当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数，常数．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在上为增函数，求的取值范围．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．
①；②；
③ 若，则； ④ 若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是
．
10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知是两个
相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异
面直线的充分条件：
．
11．已知为圆上任意
共轭复数，b=2，a=－1，那么p==－4，q==5，∴ 选A。
13．设是非零实数，若，取a=－2，b=1，则选项A不成立，取a=1，
b=2，则选项B与D不成立，所以选C。实际上已知，则，∴ ，选项C成
立。
14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形
中，若，若∠A是直角，则，k=－6，若∠B是直角，则，，得k=－1，

2007年高考.上海卷.文科数学试题及解答

已知函数 f (x) x 2 a ( x 0 ，常数 a R) ． x
（1）当 a 2 时，解不等式 f (x) f (x 1) 2x 1；
（2）讨论函数 f (x) 的奇偶性，并说明理由．
20．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9
兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分．
生产量的增长率为 34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003 年的年生产量的增长率为 36%）．
（1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420
第 2页（共 6页）
求正四棱锥 P ABCD 的体积V ．
P
D
C
17．（本题满分 14 分）
A
在 △ABC 中， a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边．若 a 2,
求 △ABC 的面积 S ．
B
C π ， cos B 2 5 ，
4
25
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦，年
分．

普通高等学校春季招生考试数学卷.doc

普通高等学校春季招生考试数学卷数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：正棱台、圆台的侧面积公式三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin β-α+β+α=βα l c c S )'(21+=台侧 )]sin()[sin(21sin cos β-α-β+α=βα 其中'c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长)]cos()[cos(21cos cos β-α+β+α=βα 球体的体积公式 334R V π=球)]cos()[cos(21sin sin β-α-β+α-=βα 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集体{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是（A ）32（B ）31 （C ）16 （D ）15（2）函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有（A ）)()()(y f x f xy f =（B ）)()()(y f x f xy f +=（C ）)()()(y f x f y x f =+（D ）)()()(y f x f y x f +=+（3）=++∞→1222lim n n n n n C C（A ）0 （B ）2 （C ）21 （D ）41 （4）函数)1(1≤--=x x y 的反函数是（A ）)01(12≤≤--=x x y （B ）)10(12≤≤-=x x y（C ）)0(12≤-=x x y（D ）)10(12≤≤-=x x y（5）极坐标系中，圆θ+θ=ρsin 3cos 4的圆心的坐标是（A ）)53arcsin ,25(（B ）)54arcsin ,5(（C ）)53arcsin ,5(（D ）)54arcsin ,25( （6）设动点P 在直线1=x 上，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆，则动点Q 的轨迹是（A ）圆（B ）两条平行直线（C ）抛物线（D ）双曲线（7）已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）21 （8）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点)cos sin ,sin (cos A B A B P --在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（A ）︒30（B ）︒45（C ）︒60（D ）︒90（10）若实数b a ,满足2=+b a ，则ba33+的最小值是（A ）18（B ）6（C ）32（D ）432（11）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中， ①ED BM 与平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成︒60角④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（A ）①②③ （B ）②④（C ）③④（D ）②③④（12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S （万件）近似地满足)12,,2,1)(521(902 =--=n n n nS n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（A ）5月、6月（B ）6月、7月（C ）7月、8月（D ）8月、9月第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项： 1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）已知球内接正方体的表面积为S ，那么球体积等于_______________．（14）椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．（15）已知α=γ+β+α(1sin sin sin 222、β、γ均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________．（16）已知m 、n 是直线， α、β、γ是平面，给出下列命题：① 若m n m ⊥=⋂⊥,,βαβα，则βα⊥⊥n n 或； ②若α∥β，n m =γ⋂β=γ⋂α,，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④若m =⋂βα，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥n 且α∥β．其中正确的命题的序号是_______________（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）设函数)0()(>>++=b a bx ax x f ，求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性．（18）已知)1(17≠∈=z C z z 且．（Ⅰ）证明0165432=++++++z z z z z z ；（Ⅱ）设z 的辐角为α，求ααα4cos 2cos cos ++的值．（19）已知VC 是ABC ∆所在平面的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，且在ABC ∆ 的高CD 上．AB VC a AB 与,=之间的距离为VC M h ∈点,．（Ⅰ）证明∠MDC 是二面角M –AB –C 的平面角；（Ⅱ）当∠MDC =∠CVN 时，证明VC AMB 平面⊥；（Ⅲ）若∠MDC =∠CVN =)20( π<θ<θ，求四面体MABC 的体积．（20）在1与2之间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这2+n 个数成等差数列．记n n n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,．（Ⅰ）求数列{}n A 和{}n B 的通项；（Ⅱ）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．（21）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润=（出厂价–投入成本）⨯年销售量．（Ⅰ）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（22）已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，p AB 2||≤．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB Rt ∆面积的最大值．普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B （7）D（8）B（9）C（10）B（11）C（12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）π242SS （14）2516 （15）692（16）②④三、解答题（17）本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力．满分12分．解：函数bx ax x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-⋃--∞b b )(x f 在),(b --∞内是减函数，)(x f 在),(+∞-b 内也是减函数 ……4分证明)(x f 在),(+∞-b 内是减函数取),(,21+∞-∈b x x ，且21x x <，那么 bx ax b x a x x f x f ++-++=-221121)()( ))(())(-( 2112b x b x x x b a ++-=……6分∵0))((,0,02112>++>->-b x b x x x b a ∴0)()(21>-x f x f即)(x f 在),(+∞-b 内是减函数 ……9分同理可证)(x f 在),(b --∞内是减函数 ……12分（18）本小题主要考查复数的基本概念和基本运算，考查综合运用复数的知识解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由 )1(65432z z z z z z z ++++++ 765432z z z z z z z ++++++=654321z z z z z z ++++++=，得0)1)(1(65432=++++++-z z z z z z z ． ……4分因为 1≠z ，01≠-z ，所以 0165432=++++++z z z z z z ． ……6分（Ⅱ）因为1||,17==z z 可知，所以 1=⋅z z ，而17=z ，所以16=⋅z z ， z z =6，同理3452,z z z z ==，65342z z z z z z ++=++．由（Ⅰ）知 165342-=+++++z z z z z z ，即 14242-=+++++z z z z z z ，所以 42z z z ++的实部为21-， ……8分而z 的辐角为α时，复数42z z z ++的实部为 ααα4cos 2cos cos ++，所以 214c o s 2c o s c o s -=++ααα……12分（19）本小题主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由已知，ABC AB CD N ABC VN AB CD 平面平面⊂∈⊥⊥,,,，∴AB VN ⊥．∴VNC AB 平面⊥．……2分又V 、M 、N 、D 都在VNC 所在平面内，所以，DM 与VN 必相交，且CD AB DM AB ⊥⊥,， ∴∠MDC 为二面角C AB M --的平面角．……4分（Ⅱ）证明：由已知，∠MDC =∠CVN ，在DMC VNC ∆∆与中， ∠NCV =∠MCD ，又∵∠VNC =︒90， ∴∠DMC =∠VNC =︒90．故有VC AB VC DM ⊥⊥又,， ……6分 ∴AMB VC 平面⊥．……8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ），VC M AB D VC MD AB MD ∈∈⊥⊥,,,且，∴h MD =．又∵∠θ=MDC ．在MDC Rt ∆中，θtg h CM ⋅=．……10分ABM C MABC V V -=三棱锥四面体ah tg h S CM ABM 213131⋅⋅=⋅=∆θθtg ah 261=． ……12分（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法．满分12分．解：（I ）∵2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，∴221123121=⨯======+--- k n k n n n a a a a a a a a ，∴n n n n n n n na a a a a a a a a a A 2)21())(())()((121231212=⨯==--- ∴22nn A =……4分∵2,,,,,,1321n b b b b 成等差数列，∴3211=+=+n b b ， ∴n n b b B n n 2321=⋅+=所以，数列{}n A 的通项22nn A =，数列{}n B 的通项n B n 23= ……6分（II ）∵22nn A =，n B n 23=， ∴22249,2n B A n n n==，要比较n A 与n B 的大小，只需比较2n A 与2n B 的大小，也即比较当7≥n 时，n 2与249n 的大小．当7=n 时，1282=n ，4949492⨯=n ，得知2492n n >，经验证9,8==n n 时，均有命题2492n n >成立．猜想当7≥n 时有2492n n >．用数学归纳法证明． ……9分（i ）当7=n 时，已验证2492n n >，命题成立．（ii ）假设)7(≥=k k n 时，命题成立，即2492k k >，那么 214922k k ⨯>+ 又当7≥k 时，有122+>k k ∴)12(49221++⨯>+k k k 2)1(49+=k 这就是说，当1+=k n 时，命题2492n n >成立．根据（i ）、（ii ），可知命题对于7≥n 都成立．故当7≥n 时，n n B A >……12分（21）本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯⨯+⨯-+⨯=x x x x y ，……4分整理得 )10( 20020602<<++-=x x x y ．……6分（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 ⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即 ⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x……9分解不等式得 310<<x ．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足33.00<<x ．……12分（22）本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）直线l 的方程为a x y -=，将 px y a x y 22=-=代入，得 0)(222=++-a x p a x ．……2分设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a……4分又a x y a x y -=-=2211,， ∴ 221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．……6分∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ， ∴ p a p p 2)2(80≤+<．解得 42pa p -≤<-． ……8分（Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为),(33y x ，则由中点坐标公式，得p a x x x +=+=2213， p a x a x y y y =-+-=+=2)()(221213． ……10分∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=．又 MNQ ∆为等腰直角三角形， ∴ 2||||==QM QN ， ∴ ||||21QN AB S NAB ⋅=∆． ……12分22222||22p p p AB p =⋅≤=即NAB ∆面积最大值为22p ……14分。

2007年高考试题及答案-文科数学-上海卷

1CCB1B1AA2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程9131=-x 的解是．2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f．3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ． 4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=∙+⎪⎝⎭的最小正周期=T ．5．以双曲线15422=-yx的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．6．若向量a b ，的夹角为60，1==b a ，则()a a b-= ． 7．如图，在直三棱柱111C B A A B C -中，90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ，完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是． 9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）． 10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立：ABlC① 01≠+aa ； ②2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是． 11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB ．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A B，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（）Ａ．32a b =-=，Ｂ．32a b ==-，Ｃ．32a b =-=-，Ｄ．32a b ==，13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y xＣ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x14．数列{}n a 中，22211100010012n n na n n n n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥，则数列{}n a 的极限值（）Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1 Ｄ．不存在15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为 60，求正四棱锥ABCD P -的体积V ．17．（本题满分14分）在ABC △中，a bc ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．PBCAD（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ；（2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123ma a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m = ，，，），我们称其为“对称数列”．yO 1A2B2A1B. . .M 1F 0F 2Fx. 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n = ，，，．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+by ax (0)x ≥与半椭圆12222=+cx by (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx by(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．PBCADO2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． 1-=x 2． )0(11≠+x x3． 4arctan π- 4． π 5． x y 122= 6．21 7． 66arccos8． 39． 3.010． ② ④11． π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，二、选择题（第12题至第15题）题号 1213 1415答案ACB D三、解答题（第16题至第21题）16．解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO ，O 是正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面 A B C D 所成的角．PAO ∠＝ 60，2=PA ．∴ 3=PO ．1=AO ，2=AB ，112332333ABC D V PO S ∴==⨯⨯=．17．解：由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫⎝⎛-=--=B C B A ，由正弦定理得 710=c ，∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯= ．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61． 19．解：（1）1212)1(222->----+x x x x x ，0122>--x x ，0)1(<-x x ． ∴ 原不等式的解为10<<x ．（2）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-，)(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)a f x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f ff ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．20．解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++= ()122212242-++++= ()3211222625-=--==67108861．（3）51100223(501)149d d ==+⨯-=，．由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列．当50n ≤时，n n d d d S +++= 21 n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+=．当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21()n d d d S ++++= 525150 (50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯75002299232+-=n n ．综上所述，22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．21．解：（1） ()()2222012(0)00F c F b c F b c ---，，，，，，()222220212121F F bccb F F bc ∴=-+===-=，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤，0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x ab+=≥和半椭圆22221(0)y x x bc+=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x ab+=≥上的情形即可．2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x ac ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=．当22()2a a c x a c-=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到，此时P 的横坐标是222)(cc a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．。

2007年高等学校招生考试上海卷

1CCB1B1AA2007年高等学校招生考试（上海卷）数学试卷(文史类)一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程9131=-x 的解是． 2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ．4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=∙+ ⎪⎝⎭的最小正周期=T ．5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．6．若向量a b ，的夹角为60，1==b a ，则()a ab -= ．7．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ，完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是． 9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）． 10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是． 11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（）Ａ．32a b =-=，Ｂ．32a b ==-，Ｃ．32a b =-=-，Ｄ．32a b ==， 13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x14．数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥，则数列{}n a 的极限值（）Ａ．等于0 Ｂ．等于1Ｃ．等于0或1Ｄ．不存在15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，求正四棱锥ABCD P -的体积V ．PCA D17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ；（2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m = ，，，），我们称其为“对称数列”．例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n = ，，，．121．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．PBCADO2007年高等学校招生考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． 1-=x 2． )0(11≠+x x3． 4arctan π- 4． π 5． x y 122= 6．217． 66arccos8． 39． 3.010． ② ④11． π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，二、选择题（第12题至第15题）三、解答题（第16题至第21题）16．解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO ，O 是正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面 A B C D 所成的角．PAO ∠＝ 60，2=PA ．∴ 3=PO ．1=AO ，2=AB ，11233ABCD V PO S ∴===17．解：由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ，由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯= ．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解：（1）1212)1(222->----+x x x x x ， 0122>--x x ， 0)1(<-x x ． ∴ 原不等式的解为10<<x ．（2）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．20．解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++= ()122212242-++++= ()3211222625-=--==67108861．（3）51100223(501)149d d ==+⨯-=，．由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列．当50n ≤时，n n d d d S +++= 21 n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+=．当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21()n d d d S ++++= 525150 (50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯75002299232+-=n n ．综上所述，22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．21．解：（1）((012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b+=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=．当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到，此时P 的横坐标是222)(cc a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．。

年上海春季高考数学试题版含答案

年上海春季高考数学试题版含答案TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一. 填空题（本大题满分048分） 1. 计算：=+-∞→3423limn n n .2. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .3. 函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f .4. 不等式0121>+-x x的解集是 . 5. 已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 .6. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .9. 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .10. 若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 .11. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则（结论用数学式子表示）. 二．选择题（本大题满分016分） 13. 抛物线x y 42=的焦点坐标为( )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(. 14. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）-ba11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c bc a .（D ）||||c b c a >. 15. 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16. 若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A ∩B 等于( )（A ）]1,(∞-. （B ）[]1,1-. （C ）∅. （D ）}1{.三．解答题（本大题满分086分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分12分)在长方体1111D C B A ABCD -中，所成已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1角的大小（结果用反三角函数值表示）. 18. (本题满分12分) 已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值；（2）求函数)(x f 的值域.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1. 43.2. 2.3. []8,5),5(31∈-x x .4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1. 5. )10,0(. 6. 4x x --. 7. 48. 8.316. 9.257. 10. 2. 11. 4. 12. )1(2121n m na a a m a a a nm <≤+++≤+++ 和.题号13 14 15 16 代号B C A B 17. [解法一] 连接D A 1，D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. ……4分连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ， ……6分则DA B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠259552322525=⋅⋅-+=. ……10分 ∴ 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos. ……12分 [解法二] 以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系. ……2分则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、，得 )3,0,4(),3,4,0(11--=-=B A . ……6分设B A 1与C B 1的夹角为θ，则259cos =θ， ……10分 ∴ B A 1与C B 1的夹角大小为259arccos，即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos . ……12分 18. [解法一] i 2i21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， ……4分 i 3|i |i25+=-+-=∴z . ……8分若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分 [解法二] 设ib a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b ai 2-=∴w ， ……4分以下解法同[解法一].19. [解]（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ， ……2分x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+= ……4分 53354+=. ……8分（2）⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ， ……10分 ππ≤≤x 2， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ，∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分20. [解]（1）设曲线方程为7642+=ax y ，由题意可知，764640+⋅=a .71-=∴a . ……4分 ∴ 曲线方程为764712+-=x y . ……6分（2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x 得036742=--y y ，4=y 或49-=y （不合题意，舍去）.4=∴y . ……9分得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴C 点的坐标为)4,6(， ……11分4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令. ……14分 21. [解]（1） ……4分（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A . ……8分由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142. ……10分（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ， ……12分 ∴>,2k 124<-k. 又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24kx -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k .064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ，则0)(min >x g . ……14分 ② 当124-<-k，即6>k 时，取1-=x ， min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分 [解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ，令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ， ……12分在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(；当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点. ……14分如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分22. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 4分（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， …… 8分 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞. …… 12分（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. …… 14分研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围.…… 16分研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 18分。

2007年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)

通过了三个星期的学习使我对视听语言有了进一步的认识，熟话说：“内行看门道，外行看热闹。

”以前看东西很肤浅，而现在开始思考为什么会这样或者那样，这些东西我能学到什么。

以前的学生上视听语言课没有配备的机子条件没有我们好，所以没有了实践的机会只得自己课下去探索，在这里我要感谢老师，是他争取到的机器能让我们得到课堂上的实践。

在这三星期的学习里我也学到了一些技巧，比如要避免大全景少用推拉，拍摄时间不宜超过六秒除非是要特殊表达的，要三级或二级跳，内反拍外反拍等。

除了实用技巧外还学到了以四要素为基础去评定那些不成熟的作品。

在剪辑音乐MV时要先把音乐放进去后再跟着节拍进行适当的调整，且画面与声音一定要协调，在剪辑中也可简慢或放快运动中的动作使之更能体现出运动之美，在谈论要素时千万不能把要素说成元素，因为视听语言也只发展了一百多年而已在学术界还没有元素这一说。

我今后也要特别注意的就是拍摄时避免完全以肩部视角去看“世界”，在贴近拍运动特写的同时还要保护好机子放灵活些，讲的体会也就这些了。

黄少郁经过这几个星期的学习，感慨颇深，却不知如何说起。

起初以为视听语言一如平常的专业课，放放动画片，讲讲理论知识，然后就枯燥的结束这门课程。

一切却出乎我的意料之外。

也许是我起初想的太肤浅，毕竟从来没接触过。

从接触摄象机那一刹那开始，我知道我之前想的纯属我个人的主观想法而已，老师通过让我们实际操作，自己动手，让同学自己从中体会，而不是按照书本上的内容死板的教课。

这是我第一次去面对镜头诠释我们自己想的东西，可是事与原违。

拍出来的东西与我们想象的相差甚远，第一次体会到理想与现实的背离，我才知道，拍摄并不是我们想象的那么简单，我们这一组虽然拍的不是很好，但是我们从中学到了很多，让我们知道了团结做一件事情的意义与快乐。

也给我们自己的大学生活灌注了一份快乐与回忆。

其实，让我感触最深的是我们班那群热爱摄影的男生，他们的作品与刻苦让我们为之叫好。

通过这门课的拍摄与认识，让我对视听语言一无所知到略懂一些，虽然不知道自己以后的方向，但是这门课确实让我受益匪浅。

2008年上海市高考春季招生数学试题与解答

2008年上海市高考春季招生数学试题与解答
无
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2008(000)002
【总页数】3页(P35-37)
【作者】无
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.2007年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题 [J],
2.2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷 [J],
3.2007年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及参考答案 [J], 边选
4.1998高考数学试题部分选择题、填空题解答及部分解答题不同于标准答案的解法 [J], 童诗翁
5.文理不分高考数学考试的探索——基于2017年高考上海市数学试题分析 [J], 张远增[1];任升录[2]
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2007年高考上海数学(文)祥细答案(20201103193321)

O 是正方形 ABCD 的中心， PAO 是直线 PA 与平面
A
A B C D所成的角．
PAO ＝ 60 ， PA 2 ． PO 3 ．
AO 1， AB 2 ，
1
1
23
V
PO 3
SABCD
3
32
． 3
A
D
C
B P
D
C
O
B
17．（本题满分 14 分）
在 △ ABC 中， a，b，c 分别是三个内角 A， B，C 的对边．若 a
2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）
数学试卷 ( 文史类 )
考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有 21 道试题，满分 150 分．考试时间 120 分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一．填空题（本大题满分 44 分）本大题共有
（ 2）设 c n 是 49 项的“对称数列” ，其中 c25，c26，，c49 是首项为 1，
公比为 2 的等比数列，求 cn 各项的和 S ；
（ 3）设 d n 是 100项的“对称数列” ，其中 d51，d52，，d100 是首项为 2 ，
公差为 3 的等差数列．求 d n 前 n 项的和 Sn ( n 1，2，，100 ) ．
共点，则圆弧 AC ， CB 与线段 AB 围成图形面积 S 的
A
取值范围是
．
【答案】 0，2 π 2
【解析】如图，当 O1与 O2外切于点 C 时， S 最大，
此时，两圆半径为 1， S 等于矩形 ABO2O1 的面积
减去两扇形面积，
1 Smax 2 1 2 (

上海9院校参与2007年春季高考招生

晨报讯上海市教育考试院昨天对外公布了2007年春季招生计划，共有9所院校参与招生，计划招生1862名，其中本科1120名、高职(专科)742名。

据了解，与2006年的春季招生相比，2007年春季招生的人数和招生学校都有所减少。

凡参加春季招生考试报考本科院校的考生，语文、数学、外语和综合能力测试(20%计入总分)四门考试成绩总分必须达到本市划定的本科、高职报考资格线以上，可以选择报考一所或若干所高校，考生若同时被多所高校录取，可自主选择其中一所高校并在规定时间内报到。

本市参与2007年春季招生的9所院校分别为上海大学、上海师范大学、上海工程技术大学、上海商学院、上海师范大学天华学院、上海医药高等专科学校、上海工商外国语职业学院、上海农林职业技术学院、上海思博职业技术学院。

2007年高考.上海卷.文科数学试题及解答

1CC B1B1AA 2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程9131=-x 的解是． 2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ．4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=∙+⎪⎝⎭的最小正周期=T ． 5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．6．若向量a b ，的夹角为60，1==，则()a ab -= ．7．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ，21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ，完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是．9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立：① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是．11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB ．两个半径相等的动圆分别与相切于A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（）Ａ．32a b =-=，Ｂ．32a b ==-，Ｃ．32a b =-=-，Ｄ．32a b ==，13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x14．数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥，则数列{}n a 的极限值（）Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1 Ｄ．不存在15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，求正四棱锥ABCD P -的体积V ．17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos =B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420P B C A D1兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ；（2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点PPBCADO2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． 1-=x 2． )0(11≠+x x3． 4arctan π- 4． π 5． x y 122= 6．217． 66arccos8． 39． 3.010． ② ④11． π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，二、选择题（第12题至第15题）三、解答题（第16题至第21题）16．解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO ，O 是正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面 A B C D 所成的角．PAO ∠＝ 60，2=PA ．∴ 3=PO ． 1=AO ，2=AB ，11233ABCD V PO S ∴==17．解：由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ，由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解：（1）1212)1(222->----+x x x x x ， 0122>--x x ， 0)1(<-x x ． ∴ 原不等式的解为10<<x ．（2）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-，)(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，， ∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． 20．解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ，∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++=()122212242-++++= ()3211222625-=--==67108861．（3）51100223(501)149d d ==+⨯-=，．由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列．当50n ≤时，n n d d d S +++= 21n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+=．当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21()n d d d S ++++= 525150(50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯75002299232+-=n n ．综上所述，22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．21．解：（1）((012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b+=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥上的情形即可．2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=．当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(c c a a x -=时取到，此时P 的横坐标是222)(cc a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．。

上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案

2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷2000年12月24日考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数x x x f (1)(2+=≤)0的反函数=-)(1x f．2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z = ．3．函数x xy cos 1sin -=的最小正周期为4．二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 6．圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为7．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n 13lim8．若非零向量→α、→β满足|→→+βα|=|→→-βα|，则→α与→β所成角的大小为9．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是（结果用分数表示）10．若记号“*” 表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b 2ba +=，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是11．关于x 的函数)sin()(φ+=x x f 有以下命题：（1）对任意的)(,x f φ都是非奇非偶函数；（2）不存在,φ使)(x f 既是奇函数，又是偶函数；（3）存在,φ使)(x f 是奇函数；（4）对任意的,φ)(x f 都不是偶函数．其中一个假命题的序号是．因为当φ= 时，该命题的结论不成立．12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄．甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%．乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为元．（假定利率五年内保持不变．结果精确到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．若a 、b 为实数，则a >b >0是22b a >的（）(A) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件(B) 充要条件(D) 既非充分条件也非必要条件14．若直线x =1的倾斜角为α，则α （）(A) 等于0(B) 等于4π(C) 等于2π (D) 不存在15．若有平面α与β，且l P P l ∉∈⊥=,,,αβαβα ，则下列命题中的假命题（）(A) 过点P 且垂直于α的直线平行于β (B) 过点P 且垂直于l 的平面垂直于β (C) 过点P 且垂直于β的直线在α内 (D) 过点P 且垂直于l 的直线在α内16．若数列{}n a 前8项的值各异，且n n a a =+8对任意的N ∈n 都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为（）(A) {}12+k a (B) {}13+k a(C) {}14+k a(D) {}16+k a三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知R 为全集，A =)3(log |{21x x -≥}2-，B =25|{+x x ≥}1，求B A ． 18．（本题满分12分）已知)24(tan 12sin sin 22παπααα<<=++k ，试用k 表示ααcos sin -的值． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米．（1）求a 关于h 的函数解析式；（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．在长方体ABCD －A1B1C1D1中，点E 、F 分别在B B1、DD1上，且AE ⊥A1B ，AF ⊥A1D ．（1）求证：A1C ⊥平面AEF ；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．试根据上述定理，在AB =4，AD =3，AA 1=5时，求平面AEF 与平面D1B1BD 所成角的大小．（用反三角函数值表示）21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分．已知椭圆C 的方程为1222=+y x ，点),(b a P 的坐标满足222b a +≤1．过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点．求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．已知{}n a 是首项为2，公比为21的等比数列，n S 为它的前n 项和．（1）用n S 表示1+n S ；（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立．2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题参考解答一、填空题1．x x (1--≥)1． 2．1-i 3．2π． 4．20． 5．116922=-y x ． 6．1)1()1(22=-+-y x ． 7．2e ． 8．︒90． 9．54． 10．),(*)()(c a b a bc a ++=+),*()*()*(c b c a c b a +=+,*)(*)(*)()(*b c a a c b c b a c b a +=+=+=+ c a b c b a +=+)*()*(等．≤411．（1），)(Z ∈k k π；（1），)(2Z ∈+k k ππ；（4），)(2Z ∈+k k ππ等．（两个空格全填对时才能得分．其中k 也可以写成任何整数）12．219.01．二、选择题13．A ． 14．C ． 15．D ． 16．B ．三、解答题17．[解]由已知)3(log 21x -≥4log 21．由⎩⎨⎧>--,033x x 解得-1≤x ＜3．所以1|{-=x A ≤}3<x ．由25+x ≥1，解得-2＜x ≤3．所以2|{-=x B ＜x ≤}3．于是 x x x A 或1|{-<=≥}3，故}312|{=-<<-=x x x B A 或．18．[解]因为αααααcos sin 2tan 12sin sin 22=++，所以ααcos sin 2=k ．因而k -=-=-1cos sin 21)cos (sin 2αααα．又24παπ<<，于是0cos sin >-αα．因此k -=-1cos sin αα．19．[解]（1）设'h 为正四棱锥的斜高．由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'41,2'2142222h a h a h a解得 )0(112>+=h h a ．（2）)0()1(33122>+==h h hha V ．易得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h h V 131．因为h h 1+≥212=⋅h h ，所以V ≤61．等式当且仅当hh 1=，即1=h 时取得．故当1=h 米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米． 20．[证]（1）因为B A CB 1平面⊥，所以C A 1在平面B A 1上的射影为B A 1．由B A 1AE ⊥，B A AE 1平面⊂，得C A 1AE ⊥．同理可证C A 1AF ⊥．因为C A 1AF ⊥，C A 1AE ⊥，所以C A 1AEF 平面⊥．[解]（2）过A 作BD 的垂线交G CD 于．因为AG D D ⊥1，所以BD B D AG 11平面⊥．设C A AG 1与所成的角为α，则α即为平面AEF 与平面BD B D 11所成的角．由已知，计算得49=DG ．如图建立直角坐标系，则得点),0,3,4(),5,0,0(),0,3,49(),0,0,0(1C A G A}5,3,4{},0,3,49{-==．因为与A 1所成的角为α，所以25212||||cos 11=⋅=C A AG α， 25212arccos=α．由定理知，平面AEF 与平面BD B D 11所成角的大小为25212arccos． 21．[解]（1）设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，点Q 的坐标为),(y x Q ．当21x x ≠时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为b a x k y +-=)(．由已知12,1222222121=+=+y x y x ， ①b a x k y b a x k y +-=+-=)(,)(2211， ②由①得0))((21))((21212121=-++-+y y y y x x x x ， ③ 由②得b ak x x k y y 22)(2121+-+=+， ④ 由③、④及21212121,2,2x x y y k y y y x x x --=+=+=，得点Q 的坐标满足方程 02222=--+by ax y x ． ⑤当21x x =时，k 不存在，此时l 平行于y 轴，因此AB 的中点Q 一定落在x 轴上，即Q 的坐标为（0,a ）．显然点Q 的坐标满足方程⑤．综上所述，Q 的坐标满足方程 02222=--+by ax y x ．设方程⑤所表示的曲线为L ，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+=--+,12,0222222y x by ax y x 得 024)2(2222=-+-+b ax x b a ．因为)12(8222-+=∆b a b ，由已知222b a +≤1，所以当222b a +=1时，0=∆，曲线L 与椭圆C 有且只有一个交点),(b a P ．当222b a +＜1时，0<∆，曲线L 与椭圆C 没有交点．因为（0，0）在椭圆C 内，又在曲线L 上，所以曲线L 在椭圆C 内．故点Q 的轨迹方程为02222=--+by ax y x ．（2）由⎩⎨⎧==--+,0,02222x by ax y x 解得曲线L 与y 轴交于点)0,0(、),0(b ．由⎩⎨⎧==--+,0,02222y by ax y x 解得曲线L 与x 轴交于点)0,0(、)0,(a ．当0,0==b a ，即点),(b a P 为原点时，)0,(a 、),0(b 与)0,0(重合，曲线L 与坐标轴只有一个交点)0,0(．当0=a ，且||0b <≤2，即点),(b a P 不在椭圆C 外且在除去原点的y 轴上时，点)0,(a 与)0,0(重合，曲线L 与坐标轴有两个交点),0(b 与)0,0(．同理，当0=b ，且||0a <≤1，即点),(b a P 不在椭圆C 外且在除去原点的x 轴上时，曲线L 与坐标轴有两个交点)0,(a 与)0,0(．当||0a <<1,且||0b <)1(22a -<，即点),(b a P 在椭圆C 内且不在坐标轴上，曲线L 与坐标轴有三个交点)0,(a 、),0(b 与)0,0(．22．[解]（1）由)211(4n n S -=，得∈+=-=++n S S n n n (221)211(411N )．（2）要使21>--+c S c S K K ，只要K K S c S c ---)223(＜0．因为)211(4k k S -=＜4，所以)(0212)223(N ∈>-=--k S S S k k k ，故只要 )(223N ∈<<-k S c S k k ．①因为k k S S >+1（N ∈k ），所以 223-k S ≥12231=-S ，又4<k S ，故要使①成立，c 只能取2或3．当2=c 时，因为Ｓ１＝２，所以当k ＝１时，k S c <不成立，从而①不成立．因为2232-S c >=25，由N)∈<+k s s k k (1,得 2232231-<-+k k S S ，所以当k ≥２时，223-k S c >，从而①不成立．当3=c 时，因为21=S ，32=S ，所以当2,1=k 时，k S c <不成立，从而①不成立．因为2233-S c >=413，又 2232231-<-+k k S S ，所以当k ≥3时，2233-S c >，从而①不成立．故不存在自然数c 、k ，使21>--+cS cS K K 成立．。

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上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。

若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。

11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

普通高等学校春季招生考试数学试题

普通高等学校春季招生考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后；用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用像皮擦干净后；再选涂其它答案；不能答在试题卷上．3.考试结束；监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：正棱台、圆台的侧面积公式三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= l c c S )'(21+=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= 其中'c 、c 分别表示上、下底面周长；l表示斜高或母线长)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= 球体的体积公式 334R V π=球)]cos()[cos(21sin sin β-α-β+α-=βα 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的．（1）集体{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是（A ）32（B ）31 （C ）16 （D ）15（2）函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有（A ）)()()(y f x f xy f = （B ）)()()(y f x f xy f +=（C ）)()()(y f x f y x f =+（D ）)()()(y f x f y x f +=+（3）=++∞→1222lim n n n n n C C（A ）0 （B ）2 （C ）21 （D ）41 （4）函数)1(1≤--=x x y 的反函数是（A ）)01(12≤≤--=x x y （B ）)10(12≤≤-=x x y（C ）)0(12≤-=x x y（D ）)10(12≤≤-=x x y（5）已知1F 、2F 是椭圆191622=+y x 的两焦点；过点2F 的直线交椭圆于点A 、B ；若5||=AB ；则=+||||11BF AF（A ）11（B ）10（C ）9（D ）16（6）设动点P 在直线1=x 上；O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆；则动点Q 的轨迹是（A ）圆（B ）两条平行直线（C ）抛物线（D ）双曲线（7）已知x x f 26log )(=；那么)8(f 等于（A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）21 （8）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角；则点)cos sin ,sin (cos A B A B P --在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（9）如果圆锥的侧面展开图是半圆；那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（A ）︒30（B ）︒45（C ）︒60（D ）︒90（10）若b a ,为实数；且2=+b a ；则ba 33+的最小值是（A ）18 （B ）6（C ）32 （D ）432（11）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中； ①ED BM 与平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成︒60角④DM 与BN 垂直以上四个命题中；正确命题的序号是（A ）①②③ （B ）②④（C ）③④（D ）②③④（12）根据市场调查结果；预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S （万件）近似地满足)12,,2,1)(521(902 =--=n n n nS n 按此预测；在本年度内；需求量超过1.5万件的月份是（A ）5月、6月（B ）6月、7月（C ）7月、8月（D ）8月、9月第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项： 1.第Ⅱ卷共6页；用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题；每小题4分；共16分．把答案填在题中横线上．（13）已知球内接正方体的表面积为S ；那么球体积等于_______________．（14）椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ；以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形；该三角形的面积是_______________．（15）已知αγβα(1sin sin sin222=++、β、γ均为锐角）；那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________．（16）已知m 、n 是直线； α、β、γ是平面；给出下列命题：① 若m n m ⊥=⋂⊥,,βαβα；则βα⊥⊥n n 或；②若α∥β；γβγα⋂=⋂,m ；则m ∥n ；③若m 不垂直于α；则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若m =⋂βα；n ∥m ；且βα⊄⊄n n ,；则n ∥n 且α∥β．其中正确的命题的序号是_______________（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）三、解答题：本大题共6小题；共74分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．（17）方程022=++n mx x 有实根；且2、m 、n 为等差数列的前三项．求该等差数列公差d 的取值范围．（18）设函数)0()(>>++=b a bx ax x f ；求)(x f 的单调区间；并证明)(x f 在其单调区间上的单调性．（19）已知)1(17≠∈=z C z z 且．（Ⅰ）证明0165432=++++++z z z z z z ；（Ⅱ）设z 的辐角为α；求ααα4cos 2cos cos ++的值．（20）已知VC 是ABC ∆所在平面的一条斜线；点N 是V 在平面ABC 上的射影；且N 位于ABC ∆的高CD 上．AB VC a AB 与,=之间的距离为VC M h ∈,．（Ⅰ）证明∠MDC 是二面角M –AB –C 的平面角；（Ⅱ）当∠MDC =∠CVN 时；证明VC AMB 平面⊥；（Ⅲ）若∠MDC =∠CVN =)20(πθθ<<；求四面体MABC 的体积．（21）某摩托车生产企业；上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆；出厂价为万元/辆；年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求；计划提高产品档次；适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ；则出厂价相应提高的比例为x ；同时预计年销售量增加的比例为x ．已知年利润=（出厂价–投入成本）⨯年销售量．（Ⅰ）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加；问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（22）已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ；0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．（Ⅰ）若a p AB 求,2||≤的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交AB 于点Q ；交x 轴于点N ；试求MNQ Rt ∆的面积．普通高等学校春季招生考试数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力；并给出了一种或几种解法供参考；如果考生的解法与本解答不同；可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题；当考生的解答在某一步出现错误时；如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度；可视影响的程度决定后继部分的给分；但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误；就不再给分．三、解答右端所注分数；表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分；满分60分．（1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B （7）D（8）B（9）C（10）B（11）C（12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分；满分16分．（13）π242SS （14）2516 （15）692（16）②④三、解答题（17）本小题主要考查等差数列；一元二次方程与不等式的基本知识．考查综合运用数学基础知识的能力．满分12分．解：依题意；有d n d m 22,2+=+=； ……2分由方程有实根；得0242≥⨯-n m ；即 0)22(8)2(2≥+-+d d ； ……6分整理；得012122≥--d d ；……8分解得 346346+≥-≤d d 或； ∴ ),346[]346,(+∞+⋃--∞∈d ．……12分（18）本小题主要考查函数的基本性质；考查推理能力．满分12分．解：函数bx ax x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-⋃--∞b b ． ),()(b x f --∞在内是减函数),()(+∞-b x f 在内也是减函数．……4分证明),()(+∞-b x f 在内是减函数．取21,x x ),(+∞-∈b ；且21x x <；那么 b x ax b x a x x f x f ++-++=-221121)()())(())((2112b x b x x x b a ++--=；……6分∵ 0))((,0,02112>++>->-b x b x x x b a ； ∴ 0)()(21>-x f x f ；即),()(+∞-b x f 在内是减函数．……9分同理可证),()(b x f --∞在内是减函数．……12分（19）本小题考查复数的基本概念和运算．满分12分．解：（Ⅰ）由 )1(65432z z z z z z z ++++++ 765432z z z z z z z ++++++=654321z z z z z z ++++++=；得0)1)(1(65432=++++++-z z z z z z z ． ……4分因为 1≠z ；所以 0165432=++++++z z z z z z ． ……6分（Ⅱ）因为1||,17==z z 可知；所以 1=⋅z z ；而17=z ；所以16=⋅z z ；z z =6；同理3452,z z z z ==； 65342z z z z z z ++=++．由（Ⅰ）知 165342-=+++++z z z z z z ；即 14242-=+++++z z z z z z ；所以 42z z z ++的实部为21-； ……8分而z 的辐角为α时；复数42z z z ++的实部为 ααα4cos 2cos cos ++；所以 214cos 2cos cos -=++ααα ……12分（20）本小题考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质证明线面关系的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由已知；ABC AB CD N ABC VN AB CD 平面平面⊂∈⊥⊥,,,； ∴AB VN ⊥．∴VNC AB 平面⊥．……2分又V 、M 、N 、D 都在VNC 所在平面内；所以；DM 与VN 必相交；且CD AB DM AB ⊥⊥,； ∴∠MDC 为二面角C AB M --的平面角．……4分（Ⅱ）证明：由已知；∠MDC =∠CVN ；在DMC VNC ∆∆与中； ∠NCV =∠MCD ；又∵∠VNC =︒90； ∴∠DMC =∠VNC =︒90．故有VC AB VC DM ⊥⊥又,； ……6分 ∴AMB VC 平面⊥．……8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）；VC M AB D VC MD AB MD ∈∈⊥⊥,,,且；∴h MD =．又∵∠θ=MDC ．在MDC Rt ∆中；θtg h CM ⋅=．……10分ABM C MABC V V -=三棱锥四面体ah tg h S CM ABM213131⋅⋅=⋅=∆θθtg ah 261=． ……12分（21）本小题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯+⨯-+⨯=x x x x y ；……4分整理得 )10(20020602<<++-=x x x y ．……6分（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加；必须⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即 ⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x……9分解不等式得 310<<x ．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加；投入成本增加的比例x 应满足33.00<<x ．……12分（22）本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系；考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）直线l 的方程为：a x y -=；将 px y a x y 22=-=代入；得 0)(222=++-a x p a x ．……2分设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ；则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a……4分又a x y a x y -=-=2211,； ∴ 221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．……6分∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ； ∴ p a p p 2)2(80≤+<．解得 42pa p -≤<-． ……8分（Ⅱ）设),(33y x Q ；由中点坐标公式；得p a x x x +=+=2213； p a x a x y y y =-+-=+=2)()(221213．……10分∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=．又 MNQ ∆为等腰直角三角形； ∴ 22||21p QM S MNQ ==∆． ……14分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试上海卷理

2007年上海市高考数学理科试卷与答案、填空题1、函数f f x \= _—的定义域为\ 丿 x —32、已知\1 : 2x my • 1 = 0与12 : y = 3x -1，若两直线平行，则 m 的值为 ____________x3、函数f x的反函数f ' X 二」x_1/ ------------4、方程9x -6 3x -7 =0的解是 ____________6、已知x, y R ■，且x 4y =1，则x y 的最大值为 ______________7、有数字1、2、34、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为2 2&已知双曲线 x — =1,则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方4 5程为9、若a,b 为非零实数，则下列四个命题都成立：1 2 2 2 | ① a 十一式 0②（a+b ）=a + 2ab 十 b③若 a| = | b ，则 a = ±ba④若a 2二ab ，则a 二b 则对于任意非零复数 a,b ，上述命题仍然成立的序号是 ____________ 。

10、平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。

已知两个相交平面厂与两直线11、 12，又知11, 12 在'内的射影为S,S 2，在-内的射影为讥。

试写出S^S 与*满足的条件，使之一定能成为l 1,l 2是异面直线的充分条件 ______________________2 211、已知圆的方程 X 2 • y -1 1，P 为圆上任意一点（不包括原点）。

直线OP 的倾斜角为0弧度，|OP =d ，则d=f （T ）的图象大致为 __________ 二、选择题12、已知2 ai,b i 是实系数一元二次方程x 2 px 0的两根，贝U p,q 的值为5、函数x 二 sin x-sin x3 —的最小正周期是 2x13、已知a,b 为非零实数，且 a :: b ，则下列命题成立的是A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个215、已知f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 k ，若f k - k 成立,则f k V :: i k 1 2成立，下列命题成立的是2f 3 _9成立，则对于任意 k _1,均有f k _k 成立三、解答题16、体积为1的直三棱柱 ABC - ABG 中，.ACB = 90，AC 二BC = 1，求直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角。