中科大 系统建模与仿真

系统建模与仿真第3章连续系统的模型中国科学技术大学曾凡平课程复习2.1 典型的试验信号–阶跃、速度、加速度、脉冲、指数、正弦和余弦2.2 拉普拉斯变换–定义、典型信号的拉氏变换、性质和定理2.3 拉普拉斯反变换–反变换的部分分式、留数计算法、Matlab 方法。

2.4 微分方程的拉普拉斯变换解法∑=−−⋅−⋅=n k k k n nn f s s F s t f L 1)1()()0()()]([第3章连续系统的模型•系统的动态特性可以用微分方程描述，微分方程是其他数学模型（传递函数、状态空间表达式）的基础。

线性定常集中参数系统的输入x (t ) 与输出y (t ) 之间的关系可以以下的微分方程描述：()()()())()()()()()()()(111101111t x b dtt dx b dt t x d b dt t x d b t y a dtt dy a dt t y d a dt t y d m m m m m m n n n n n n ++++=++++−−−−−−""N =max(n ,m )称为系统的阶次，对应的系统称为N 阶系统。

第3章连续系统的数学模型3.1 线性系统的微分方程模型3.2 传递函数3.3系统的方框图及化简3.1 线性连续系统的微分方程模型•用分析法建立系统的微分方程要经过以下步骤：(1) 确定系统的输入和输出变量。

–系统中有很多变量，有些变量是外界施加到系统的，这些变量称为输入（也称为激励）；有些是体现系统状态变化的变量，称为状态变量，系统的输出是状态变量的一部分。

(2) 将系统分解为各个环节，依次确定各环节的输入和输出，根据环节所遵循的物理规律列写个环节的微分方程。

(3) 消去中间变量，写出系统的微分方程。

3.1.1 简单系统的微分方程1. 电路(电子)系统：•对于电路系统，根据电压平衡和电流平衡列写微分方程。

①任意一个闭合回路的电压之和为0。

②任意一个节点的电流之和为0。

)()()(/)()()(122221t u t u dt t du RC dtdqi C q t u t u Ri t u =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=(1)一阶电路系统RC电路RL网络)()()(t u t i R dt t di L =⋅+•取u (t )为输入，i (t )为输出，则得到一阶微分方程。

RC 有源网络：运算放大器的两个输入端之间的电压为0，输入电流等于0。

电压和电流平衡)(1)(11t V Rt i =)(1)(0t V Rt i R =dtt dV C t i C )()(0=0)()()(1=++t i t i t i C R )(1)(1)(100t V RCt V RC dt t dV −=+(2) 二阶电路系统RLC 无源网络)()()()(21t V dtt di L t i R t V ++⋅=电压平衡电容器的电流正比于电压的变化率dtt dV C t i )()(2=)()()()(122222t V t V dt t dV RC dt t V d LC =++)(1)(1)()(122222t V LC t V LC dt t dV L R dt t V d =++RC 二阶有源网络)(1)(1)(111)(12131221322131211222t V C C R R t V C C R R dt t dV C R C R C R dt t V d =+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++2.机械系统：用牛顿运动定律列写方程(1)机械平移系统•m : 物体(系统)的质量•b : 阻尼系数•k : 弹簧的比例系数•F (t ): 外力•y (t ): 物体的位移dtt dy b t y k t F dt t y d m )()()()(22⋅−⋅−=⋅)(1)()()(22t F mt y m k dt t dy m b dt t y d =⋅+⋅+(2)机械转动系统•角加速度乘于转动惯量等于合力矩J:T: Tt b dtt d J Tdt t d J +−==∑)()()(ωωωb为一阶系统Tt b dtt d J =+)()(ωω转动惯量(相当于物体的质量)b:阻尼系数T:外加转动力矩(相当于外力) ω(t):角速度输入量ω(t): 受控量3.机电系统(带载直流电动机系统)U(t)：外加电压Ｅa：反电势La：电感Ra：内阻Ｍ：电机力矩Ｊ：转动惯量ＭＬ：反向力矩(因磨擦导致) Ka ：反电动势系数(与转速成正比) km：力矩系数(正比与电流)列写带载直流电动机系统的运动方程aa aa a I R dtdI L E t U ⋅++=)(电压平衡dtd JM M L Ω=−力矩平衡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+−=Ω⋅+Ω⋅+Ω⋅⋅L m a L m a a m a m a aM R R M k L t U k k J R k J L I M)(,消去电磁时间常数aa a R L T /=机电时间常数em am k k R J T ⋅⋅=am a a I K M k E =Ω=机与电的联系•设计得非常好的电动机的电磁时间常数极小，可忽略。

•一般情况下，T a可忽略不计，T a << T m，模型可简化为4.热学系统加热器的模型C:液体比热F:流量M:液体质量013.1.2 复杂系统的微分方程•以上系统的结构较为简单，从输入到输出所经过的路径是单向的，即信息的传递是单向的，这样的系统称为开环系统。

如果输出不仅取决于输入，还取决于过去的输出，即系统中存在信息反馈，则称为闭环系统。

•开环系统的结构简单，容易设计，但是系统的输出容易受到干扰的影响而偏离期望值。

闭环系统的结构复杂，但是其抗干扰能力较强。

由于现实世界中的干扰普遍存在，因此，系统大多以闭环的形式存在。

•随动系统就是典型的闭环系统，也是一种复杂的闭环系统。

我们以火炮控制系统为例，介绍复杂系统的微分方程的列写。

举例：火炮控制系统的数学模型θ(1•(1) 分析系统的工作原理，确定各环节的作用及输入和输出。

•从原理图知，瞄准具带动点位计的滑动头变化，即为系统的输入，炮台底座跟随瞄准具的转动，为系统的输出；电位计组输出一个电压差，经过功率和电压放大后驱动电动机，电动机的输出轴通过减速传动机构，驱动炮台底座的转动；当电位计组输出的电压差为零，炮台底座停止转动。

(2) 列写各个环节的微分方程[])()(2111t t K u θθ−=电位器组1322u K K u =电压和功率放大2u K dt d T m m ⋅=+ωω电动机ωθ42)(K dt t d =减速器(3) 消去中间变量，并做适当的整理，得到系统的微分方程)()()()(122222t K t K dtt d dt t d T m θθθθ=++其中，4321/K K K K K K m •对照RLC 无源网络的数学模型和火炮控制系统的数学模型，我们发现，虽然二者是不同的物理系统，然而，只要选择适当的参数，则这两个系统的微分方程是完全一样的。

因此，从研究的角度看，二者的动力学特性是完全一致的。

我们把数学描述相同的不同物理系统称为相似系统。

正因为相似系统的运动规律完全一致，我们可以用简单的物理系统来模拟复杂系统的动力学特性，这是系统仿真的基础。

=3.1.3 非线性系统的线性化•在为实际对象列写运动方程时，经常会遇到非线性关系，即受控量与输入量之间的函数关系要用非线性方程来描述的情况。

非线性方程的性质复杂，工程上常常希望能用线性关系近似代替非线性关系。

•线性化的数学基础是微偏线性化，即在静态工作点进行泰勒级数展开。

所以工程上建立的是小范围近似线性模型。

•[例] 电磁铁中的磁通Ф和线圈中的励磁电流Ｉ是非线性关系，系统正常工作时常常会处于一个平衡位置，称为静态工作点。

在静态工作点(Ф0, Ｉ0)附近，Ф和Ｉ的变化近似为线性关系：ΔΦ=IkΔ⋅•一般来说，已知非线性函数y = f(x)，在其静态工作点附近进行线性化的方法是在静态工作点求函数的微分，即进行Taylor 级数展开()()......)(!31)(!21)()()(332200000+Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=Δ+===x dx x df x dx x df x dx x df x f x x f x x x x x x 忽略二次以上的项，则得到线性化的增量方程：x dx x df x f x x f x x Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=Δ+=0)()()(00x dx x df x f x x f x x Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−Δ+=0)()()(00xk y •从以上的讨论可知，微偏线性化后的系数k 与静态工作点有关。

•工作点不同，系数k 的数值也不同。

因此，将线性化推广到其他的工作点时要慎重。

Δ⋅=Δ即:改写为:第3章连续系统的数学模型3.1 线性系统的微分方程模型3.2 传递函数3.3系统的方框图及化简3.2 传递函数•传递函数是与系统的微分方程有关的另一种复数域数学模型。

传递函数便于间接分析系统的结构参数变化对系统性能的影响，是系统模型的极其重要的描述形式，也是系统设计的重要基础。

3.2.1 传递函数的定义•传递函数是线性定常系统在零初始条件下，输出量与输入量的拉普拉斯变换之比，常用G (s )表示。

若系统的微分方程为：)()(......)()()(......)()(0'1)(0'1)1(1)(t r b t r b t r b t y a t y a t ya t y a m m n n n n ⋅+++⋅=+++⋅+−−则系统的传递函数为：∑∑=⋅⋅===n i i m i ii s a s b s F s M s R s Y s G 0)()()()()(•对于任意的系统，传递函数的具体形式各不相同，但其输入与输出函数的关系可以形象地表示为传递函数方框图，简称为方块图或方块图。

•对微分方程的两边进行拉普拉斯变换，并考虑到零初始条件，整理后即可得到传递函数。

同理，对传递函数所表示的分式交叉相乘，利用微分定理进行反变换，则得到对应的微分方•例3-1 对于火炮控制系统，假定机电时间常数T m 为0.1，比例系数K 为100，求传递函数。

•解：火炮控制系统的微分方程为)()()()(122222t K t K dt t d dt t d T m θθθθ=++传递函数为Ks s T Ks s s G m ++==212)()()(θθ10001010001001.0100)(22++=++=s s s s s G3.2.2 传递函数的性质(1) 传递函数只取决于系统的结构和参数，而与系统输入信号的形式无关。