概论论与数理统计作业

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概率论与数理统计作业及答案

概率论与数理统计作业及答案单选题(共100分)说明:（）1.的分布函数为，其中为标准正态分布的分布函数，则_______(6分)(A) :0(B) :0.3(C) :0.7(D) :1参考答案：C解题思路：无2. 根据德莫弗－拉普拉斯定理可知_______(6分)(A) : 二项分布是正态分布的极限分布(B) : 正态分布是二项分布的极限分布(C) : 二项分布是指数分布的极限分布(D) : 二项分布与正态分布没有关系参考答案：B解题思路：无3.和独立，其方差分别为6和3，则_______(7分)(A) :9(B) :15(C) :21(D) :27参考答案：D解题思路：无4.设随机变量的分布函数为，则_______(7分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B解题思路：无5.如果和满足, 则必有_______(6分)(A) :和不独立(B) :和的相关系数不为零(C) :和独立(D) :和的相关系数为零参考答案：D解题思路：无6.设随机变量的方差存在，则_______(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D解题思路：无7.将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数等于_______(7分)(A) :－1(B) :0(C) :(D) :1参考答案：A解题思路：无8.设是随机变量，，则对任意常数，必有_______(7分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D解题思路：无9.设随机变量的方差存在，为常数），则_______(7分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：C解题思路：无10.设随机变量～，～，且相关系数，则_______(7分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D解题思路：无11.设随机变量，…相互独立，且都服从参数为的指数分布，则_______(6分)(A) :(C) :(D) :参考答案：A解题思路：无12.设随机变量～，服从参数的指数分布，则_______(7分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：A解题思路：无13. 有一批钢球，质量为10克、15克、20克的钢球分别占55%，20%，25%。

【精品】概率与数理统计作业

概率论与数理统计作业1（§1.1～§1.2）一、填空题1．设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来：（1）仅A发生；（2）A、B、C都不发生；（3）A、B、C不都发生；（4）A不发生，且B、C中至少有一个事件发生；（5）A、B、C中至少有两个事件发生；（6）A、B、C中最多有一个事件发生。

2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件A={第一次击中飞机}，B={第二次击中飞机}，试用A、B表示下列事件：（1）恰有一弹击中飞机；（2）至少有一弹击中飞机；（3）两弹都击中飞机。

3．设A、B、C是任意的三个随机事件，写出以下概率的计算公式：（1）=BP(AB)AP；)(P；（2）=(A=-)（3）=BP。

A⋃⋃)(C4．某市有50％住户订日报，65％住户订晚报，85％住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是。

5．设A、B、C是三个随机事件，且25PB=CP，=AP).0(=)()((=)=BCP，则：(ABPP，0)125).0AC(=（1）A、B、C中都发生的概率为；（2）A、B、C中至少有一个发生的概率为；（3）A、B、C都不发生的概率为。

6.设()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B ＝．二、单项选择题1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为[]。

（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

2．对于事件A 、B 有A B ⊂，则下述结论正确的是[]。

（A ）A 与B 必同时发生；（B ）A 发生，B 必发生；（C ）B 发生，A 必发生；（D ）B 不发生，A 必不发生。

3．对于任意两事件A 、B ，与B B A =⋃不等价的是[]。

（A ）B A ⊂；（B ）A B ⊂；（C ）φ=B A ；（D ）φ=B A 。

概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABC ABC ABC ABC =+++或;ABACBC =或;ABACBC =或;ABACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++(和A B +即并A B ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.A ={8只鞋子均不成双},B ={恰有2只鞋子成双},C ={恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414872616()80()0.5594,143C C C P B C === 2212862616()30()0.2098.143C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392C C C ==5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求:(1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4},9=(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5},9=或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45}1.99=-=6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}.(1) 253101();12C P A C ==(2) 243101().20C P B C ==7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}.311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8()1(),9P D P B =-=3328(),327P E ==311(),327P F ==2()2().27P G P A ==☆.某班n 个男生m 个女生(m ≤n +1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率. 14第二次作业 1. 设A , B 为随机事件, P (A )=0.92, P (B )=0.93, (|)0.85P B A =, 求:(1)(|)P A B , (2)()P A B ∪. (1) ()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ====⨯=-()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,=-+=()0.058(|)0.83.()10.93P AB P A B P B ===-(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-0.920.930.8620.988.=+-=2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率. 记事件A ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ={(1,6),(6,1)}. 21(|).63P B A ==★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率. 记事件A ={能被5除尽}, B ={能被7除尽}.4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+1575710.686.54002000=--+=3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B )、P (B |A )、P (A B ).()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103(|),()4/158P AB P B A P A ===()()()()P A B P A P B P AB =+-47119.15151030=+-=4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破},1,2,3.i = 1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 设在n 张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券},1,2,3.i =由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n ===或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n-====-31231213121211()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n--====--或第一个人中奖概率为11(),P A n=前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21(),P A n=前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31().P A n=6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率.记事件A ={甲中靶},B ={乙中靶}.(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯=(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=★7. 袋中有a 个红球, b 个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率: (1)A ={在n 次摸球中有k 次摸到红球}; (2)B ={第k 次首次摸到红球};(3)C ={第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}.(1) ();()k n kk n kk k nnna b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(2) 11();()k k kb a ab P B a b a b a b --⎛⎫== ⎪+++⎝⎭ (3) 1111().()rk rr k rr r k k ka b a b P C CCa b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率.设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133q q p q =-===-= 9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+++-∑∑∑证明只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂只计算1次概率．(1,,n i i 是1,,n 的一个排列,1,2,,.k n =)分块概率重数为1,,k i i A A 中任取1个-任取2个1(1)k -++-任取k 个,即121(1)1k k k k k C C C --++-=⇔ 121(1)(11)0.k k k k k k C C C -+++-=-=将,互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nnn n i i i ij ij k i i i i ji j kP A P A P A A P AA A P A -===<<<=-+++-∑∑∑☆.证明若A , B 独立, A , C 独立, 则A , B ∪C 独立的充要条件是A , BC 独立. 证明(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+- ()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:⇐(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C = 即,A B C 独立. 必要性:⇒(())()()P A B C P A P B C =()(()()())P A P B P C P BC =+-()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立．证明因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p , 分别就p =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率. 记事件A ={知道问题正确答案},B ={答对选择题}.(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444p pp -=+=+ 当0.6p =时,13130.67()0.7,444410p P B ⨯=+=+==当0.3p =时,13130.319()0.475.444440p P B ⨯=+=+== (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p pP A B p P B p ===++当0.6p =时,440.66(|),13130.67p P A B p ⨯===++⨯ 当0.3p =时,440.312(|).13130.319p P A B p ⨯===++⨯ 2. 某单位同时装有两种报警系统A 与B , 当报警系统A 单独使用时, 其有效的概率为0.70; 当报警系统B 单独使用时, 其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下, 报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下, 报警系统A 有效的概率; (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A ===(1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==⨯=(2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B === (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+10.70.80.5880.088.=--+=☆.为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B . 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0. 92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85,. 求: (1)发生意外时, 两个报警系统至少有一个有效的概率; (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率.3. 设有甲、乙两袋, 甲袋中有n 只白球, m 只红球; 乙袋中有N 只白球, M 只红球. 从甲袋中任取一球放入乙袋, 在从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率是多少. 记事件A ={从甲袋中取到白球},B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+111n N m Nn m N M n m N M +=+++++++().()(1)n N n m n m N M ++=+++☆.设有五个袋子, 其中两个袋子, 每袋有2个白球, 3个黑球. 另外两个袋子, 每袋有1个白球, 4个黑球, 还有一个袋子有4个白球, 1个黑球. (1)从五个袋子中任挑一袋, 并从这袋中任取一球, 求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋, 并由其中任取一球, 结果是白球, 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 “·” 及 “-”. 由于通信系统受到于扰, 当发出信号 “·” 时, 收报台分别以概率0.8及0.2收到信息 “·” 及 “-”; 又当发出信号 “-” 时, 收报台分别以概率0.9及0.l 收到信号 “-” 及 “·”. 求: (1)收报台收到 “·”的概率;(2)收报台收到“-”的概率;(3)当收报台收到 “·” 时, 发报台确系发出信号 “·” 的概率;(4)收到 “-” 时, 确系发出 “-” 的概率.记事件B ={收到信号 “·”},1A ={发出信号 “·”},2A ={发出信号“-”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.8120.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.40.930.75.0.484⨯=== 5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品合格率为90%, 而机器发生某一故障时, 产品合格率为30%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%. (1)求机器产品合格率,(2)已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整良好的概率. 记事件B ={产品合格},A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+0.750.90.250.30.75,=⨯+⨯= (2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.90.9.0.75⨯== ☆.系统(A), (B), (C)图如下, 系统(A), (B)由4个元件组成, 系统(C)由5个元件组成,每个元件的可靠性为p , 即元件正常工作的概率为p , 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常},B ={系统正常}.(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+2222(44)(1)(2)p p p p p p p =⋅-++-- 23452252.p p p p =+-+第四次作业1. 在15个同型零件中有2个次品, 从中任取3个, 以X 表示取出的次品的个数, 求X 的分布律.2213315(),0,1,2.k k C C P X k k C -===☆.经销一批水果, 第一天售出的概率是0.5, 每公斤获利8元, 第二天售出的概率是0.4, 每公斤获利5元, 第三天售出的概率是0.1, 每公斤亏损3元. 求经销这批水果每公斤赢利X0,3,(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩2. 抛掷一枚不均匀的硬币, 每次出现正面的概率为2/3, 连续抛掷8次, 以X 表示出现正面的次数, 求X 的分布律.(8,2/3),X B n p ==8821(),0,1,,8.33k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35, 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数, 写出X 的分布律, 并计算X 取偶数的概率.(0.35),X G p =11()0.350.65,1,2.k k P X k pq k --===⨯= ()+()=1,()()=,P X P X P X P X q ⎧⎪⎨⎪⎩奇偶偶奇解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q ==++偶4. 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机, 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1,求在同一时刻:(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率; (3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率. 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==(1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=5. 某汽车从起点驶出时有40名乘客, 设沿途共有4个停靠站, 且该车只下不上. 每个乘客在每个站下车的概率相等, 并且相互独立, 试求: (1)全在终点站下车的概率; (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率; (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率. 记事件A ={任一乘客在终点站下车},乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==(1) 40231(40)8.271810,4P X -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭(2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.0001340880.999865912.=-=(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车},乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==2020202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(精确值)应用斯特林公式!2,nn n n e π⎛⎫ ⎪⎝⎭2020202040404011(20)222C P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24040!(20!)2= 402204040202e e ⎫⎪⎝⎭⎫⎫⎪⎪⎪⎭⎭0.1262.=其中 1.7724538509.π==参:贝努利分布的正态近似.6. 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002, 有2000件瓷器运到, 求: (1)恰有2个受损的概率; (2)小于2个受损的概率; (3)多于2个受损的概率; (4)至少有1个受损的概率.受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=(1) 2441480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(3) 431211130.761897,P P P e-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=7. 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布, 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品, 求产品的合格品率.产品合格品率2 1.2 1.21.2 1.212.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭ ★8. 设随机变量X求:X 的分布函数, 以及概率(||5).X ≤ 随机变量X 的分布函数为0,3,(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩(36)(5)0.5,P X P X <≤===(1)(5)(8)0.50.30.8,P X P X P X >==+==+=(5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P X P X F P X P X ≤=≤===-+==+=第五次作业1. 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位: 小时), 其密度函数是2,00.5()0,kx x x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他试求: (1)系数k ; (2)X 的分布函数; (3)在15分钟内完成一道作业的概率; (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率. (1) 0.50.523200111(0.5),21,32248kk F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰(2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪=≤=+=+≤<⎨⎪=≥⎪⎩⎰(3) 322011119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(4) 3212316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2. 设连续型随机变量X 服从区间[-a , a ](a >0)上的均匀分布, 且已知概率1(1)3P X >=, 求: (1)常数a ; (2)概率1()3P X <.(1) 1111(1),3,223aa P X dx a a a ->====⎰(2) 13311115()3.36639P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰3. 设某元件的寿命X 服从参数为θ 的指数分布, 且已知概率P (X >50)=e -4, 试求:(1)参数θ 的值; (2)概率P (25<X <100) . 补分布()()|,0.x x xx x S x P X x e dx e ex θθθθ+∞--+∞->==-=>⎰ (1) 504502(50)(50),0.08,25x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰(2) 由()(),,0,rxr S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1,2,2r =得12282(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P X S e --=>===>==0.0003354563,=其中 2.7182818284.e28(25100)(25)(100)P X P X P X e e --<<=>->=- 0.135334650.00033545630.1349991937.=-= 4. 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布, 求: (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率; (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率. (1) 1312008002(1200)0.2231301602,P X ee -⨯->===1.6487212707001.= (2) 932(1200)0.0111089965.P X e->==5. 设X ~N (0, 1), 求: P (X <0.61), P (-2.62<X <1.25), P (X ≥1.34), P (|X |>2.13). (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-0.894359956010.88995,=+-=(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-= (4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=6. 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4, 19). 设飞机上午10: 10从甲地起飞, 求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率; (2)飞机下午2: 10以前到达乙地的概率; (3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率.(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=(3) 72525/647/24261/31/3P X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13122⎛⎫⎛⎫=Φ+Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.691460.9331910.62465.=+-=★7. 设某校高三女学生的身高X ~N (162, 25), 求: (1)从中任取1个女学生, 求其身高超过165的概率; (2)从中任取1个女学生, 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率; (3)从中任取6个女学生, 求其中至少有2个身高超过165的概率.(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --⎛⎫>=>==-Φ=-=⎪⎝⎭ (2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ⎛-⎫-<=<=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}, ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B n p ==6156(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P Y P Y P Y p C p p ≥=-=-==----=第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为(1)求Y =|X |的分布律; (2)求Y =X 2+X 的分布律. (1)(2)★.定理X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为(())|()|,()(),()0,XY f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=⎧=⎨⎩极小值极大值其它. 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<<2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<<因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明()(),()0,()()(()())()1(),()0,X Y X P X x F x g x F y P Y y P g X g x P X x F x g x '≤=>⎧=≤=≤=⎨'≥=-<⎩ 两边对y 求导,(),()(),X Y X dF x dxdx dyf y dF x dx dx dy ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩或两边微分()(),()()()(),X X Y Y X XdF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx =⎧==⎨-=-⎩(),()(),X Y X dx f x dy f y dxf x dy ⎧⎪=⎨-⎪⎩(())|()|,.X f x y x y y αβ'=<<2. 设随机变量X 的密度函数是f X (x ), 求下列随机变量函数的密度函数: (1)Y =tan X ; (2)1Y X=; (3)Y =|X |. (1) 反函数()arctan ,x y y ='21(),1x y y =+由连续型随机变量函数的密度公式得'21()(())|()|(arctan ).1Y X Xf y f x y x y f y y ==+ 或反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'21(),1i x y y =+ '21()(())|()|(arctan ).1Y X i iX i i f y f x y x y f i y y π+∞+∞=-∞=-∞==++∑∑(2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y==(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--. 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+->★3. 设随机变量X ~U [-2, 2], 求Y =4X 2-1的密度函数.2()()(41)(115,Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤=-≤≤两边对y 求导得随机变量Y 的密度为()115.Y f y y =-≤≤ 或解反函数支12()()x y x y =='''112211()(())|()|(())|()|2(())()115.Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y y =+==-≤≤★4. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布, 求Y =X 2的密度函数(Weibull 分布). 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时,2()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤=≤= 两边对y 求导得()Y X f y f '==0,()0.Y y f y >=⎩或反函数y x='()()0.Y X y y f y f x x y ==>★5. 设随机变量X~N (0, 1), 求(1)Y =e X 的密度函数; (2)Y =X 2的密度函数(Gamma 分布). (1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,()()(e )(ln )(ln ),X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ 因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y ϕϕ=Φ=={}2(ln ),0,2()0,0.Y y y f y y ->=≤⎩ 或反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ϕϕ=={}2(ln ),0.2y y =-> (2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时,2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-.两边对y 求导得Y的密度函数为2,0,()0.yY y f y ->=⎩或反函数支12()()x y x y =''21122()(())|()|(())|()|,0.yY X X f y f x y x y f x y x y y -=+=>6. 设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩, 求Y =ln X 的概率密度. 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子中去, 设X 为落入1号盒的球的个数, Y 为落入2号盒的球的个数, 试求X 和Y 的联合分布律.1. 袋中装有标上号码1, 2, 2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球,. 以X , Y 分别记第一、二次取到球上的号码数, 求: (1)(X , Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等); (2)X , Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立？ (1)(X , Y )的联合分布律为(1,1)0,P X Y ===1(1,2)(2,1)(2,2).3P X Y P X Y P X Y =========(2) X , Y 的分布律相同,12(1),(2).33P X P X ====(3) X 与Y 不独立.2. 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它求(,)X Y 联合密度.2(,)(,),f x y F x y x y ∂=∂∂3515,,0,(,)0,.x y e x y f x y --⎧>=⎨⎩其它★3. 设二维随机变量(X , Y )服从D 上的均匀分布, 其中D 是抛物线y =x 2和x =y 2所围成的区域, 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数, 并判断Y X ,是否独立.分布区域面积213123200211,333x S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰联合密度213,1,(,)0,.x y f x y S ⎧=<<<⎪=⎨⎪⎩其它边缘X的密度为22()),01,X xf x dy x x ==-<<边缘Y的密度为22()),0 1.Y yf y dy y y ==<<(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是问,p q 取何值时X 与Y两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12,.1015p q ==★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩其它求:(1)常数A ;(2)概率1(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (4)X 与Y 是否相互独立？ (1) 2220()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Ax e dy Ax x +∞+∞+∞--====-<<⎰⎰⎰112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = (2) 112201113(0,1)(0)(1).22216ye P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰ (3) 23(),11,2X f x x x =-<<111221113()(,),0.2y yy Y f y f x y dx Ax e dx e x dx e y ------====>⎰⎰⎰(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它得X 与Y 独立. 或因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = 112201113(0,1)(0)(1).22216y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.且,X Y 独立.求:(1)X的密度;(2) (,)X Y 的联合密度. (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,y e x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其它.第八次作业★1.求函数(1)Z 1=X +Y , (2) Z 2=min{X , Y }, (3) Z 3=max{X , Y }的分布律.(1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P X Y ====+===+=1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X Y P X Y ====+===+=11(3)(1,2).6P Z P X Y =====(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223(0)1(1).4P Z P Z ==-==(3) 31(0)(0),6P Z P X Y =====31117(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612P Z P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=3111(2)(0,2)(1,2).1264P Z P X Y P X Y ====+===+=2. 设随机变量(求函数Z =X /Y 的分布律.(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P X Y P X Y =====+==-=+= (/1)1(/1)0.5.P Z X Y P Z X Y ==-=-===3. 设X 与Y 相互独立, 概率密度分别为220()00,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩0()00,y Y e y f y x -⎧>=⎨≤⎩试求Z =X +Y 的概率密度.()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰20222(1),0.z zx z x z x z z e e dx e e dx e e z --+----===->⎰⎰★4. 设X ~U (0, 1), Y ~E (1), 且X 与Y 独立, 求函数Z =X +Y 的密度函数.,01,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<>=⎨⎩其它,当01z <≤时,()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰01,zz z x z xz x e dx e e -+-+-====-⎰当1z >时,11110()(,)()().zz x z xz z Z X Y x f z f x z x dx f x f z x dx e dx e e e -+-+--==-=-===-⎰⎰⎰因此11,01,(),1,0,.z z z Z e z f z e e z ---⎧-≤≤⎪=->⎨⎪⎩其它★5. 设随机变量(X , Y )的概率密度为()101,0(,)10x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它(1)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (2)求函数U =max (X , Y )的分布函数; (3)求函数V =min(X , Y )的分布函数.(1) 1,01,()10,xX e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它. (2) 11000,0,1()(),01,111,1xx x x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.min{,1}10,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. 0,0,()1,0Y yy F y e y -≤⎧=⎨->⎩.21(1),01,()()()11,1x U X Y x e x F x F x F x e e x ---⎧-<<⎪==-⎨⎪-≥⎩. min{,1}1(1)(1),0.1x x e e x e -----=>-(3) 111,0,()1(),01,10,1x X X x e eS x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩.min{,1}111,0,,01x x e e x e---≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩.1,0,()1(),0Y Y yy S y F y e y -≤⎧-=⎨>⎩.112111()11,01,()1()()111,1x x x xV X Y e e e e e e x F x S x S x e e x ---------⎧---+-=<<⎪=-=--⎨⎪≥⎩. 1min{,1}111,01x x x e e e x e --------+=>-.6. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.随机变量2(160,20),X N 180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭没有一只寿命小于180小时的概率为444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X >=-Φ=-=第九次作业★1.试求: E (X ), E (X 2+5), E (|X |).20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑22(5)57.2,E X EX +=+=||||20.110.210.320.130.1 1.2.i i iE X x p ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,() 01, 1.x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求: (1)常数A ; (2)X 的数学期望.(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞+∞--==+=+⎰⎰⎰,2e A =(2) 12100114()2.2323x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰★3. 设球的直径D 在[a , b ]上均匀分布,试求: (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π);(2)球的体积的数学期望(体积316D π).(1) 22222()();3ba x E D ED dx a ab b b a ππππ===++-⎰ (2) 33322()().6624b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4. 设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为求E (X ), E (Y ), E (XY ).2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i i iEX x p ==-⨯++++⨯+++∑20.320.350.1,=-⨯+⨯=1(0.10.050.1)2(0.050.15)j j jEY y p ==⨯+++⨯+∑3(0.050.10.05)4(0.10.20.05) 2.65,+⨯+++⨯++=,()i j i j ijE XY x y p =∑∑2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)=-⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯ 1.5 1.50.=-+=★5. 设随机变量X 和Y 独立, 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,()0, 1.y Y ey f y y --⎧>=⎨≤⎩(1)求(25)E X Y +; (2)求2()E X Y .(1) 112002()2,3X EX xf x dx x dx ===⎰⎰3(1)114()3,3y Y EY yf y dy ye dy +∞+∞--===⎰⎰或随机变量1Z Y =-指数分布(3),E 141,,33EZ EY EY =-==24(25)25258.33E X Y EX EY +=+=⨯+⨯=(2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY ==⨯=第十次作业1. 设离散型随机变量试求: (1) D (X ); (2) D (-3X +2) .(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222.20.4 2.04.DX EX E X =-=-=(2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，试求: (1)常数A ; (2)E (X ); (3) D (X ); (4) D (2X -3) .(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9.8A =-(2) 22095()(2).86EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰(3) 22222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰2224519.56180DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(4) 21919(23)24.18045D X DX -==⨯=★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，试求: (1),X Y 的协方差和相关系数A ; (2)(21).D X Y -+(1) 103()(,)(2),01,2X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y =-<<1035(),212X EX xf x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰12222031(),24X EX x f x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰2221511,412144DX EX E X DY ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭11001()(,)(2),6E XY xyf x y dydx xy x y dydx +∞+∞-∞-∞==--=⎰⎰⎰⎰ 因此2151(,)(),612144Cov X Y E XY EXEY ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭,1.11X Y ρ==-(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得(21)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-+-22592(1)22(1)(,).144DX DY Cov X Y =+-+⨯⨯-⨯=★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数. (1) X 的分布列为0.45由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑22222(1)0.4500.4510.450.9,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑220.9.DX EX E X =-=(2) Y 的分布列为j (,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j iEY y p ==-⨯-++⨯=∑222222(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j iEY y p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯=∑22 2.1.DY EY E Y =-=(3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j ijE XY x y p ==∑∑(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此,0.X Y ρ==5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P ,随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =063,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=-(2) 2(60)2, 3.12DX DY -===由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZ D X Y DX D Y Cov X Y DX DY Cov X Y =-=+-+-=+--=第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大: 掷1000次均匀硬币, 出现正面的次数在400到600次之间.出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p == 10000.5500,EX np ==⨯=10000.50.5250,DX npq ==⨯⨯=应用切比雪夫不等式,有239(400600)(|500|100)1.10040DX P X P X ≤≤=-≤≥-=2. 若每次射击目标命中的概率为0.1, 不断地对靶进行射击, 求在500次射击中, 击中目标的次数在区间(49, 55)内的概率.击中目标的次数~(500,0.1),X B n p ==5000.150,EX np ==⨯=5000.10.945.DX npq ==⨯⨯= 根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX ==(4955)P X P ≤≤=≤≤1≈Φ-Φ=Φ+Φ-⎝⎭⎝⎭ (0.74)(0.15)10.77040.559610.33.=Φ+Φ-=+-=★3. 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -10,.12EX DX ==由独立变量方差的可加性150011500125,12i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑15001i i X =∑近似(0,125).N15001||15i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑15001|ii P X =⎧⎪=>=⎨⎪⎪⎩⎭∑2222(1.34)220.90990.1802.≈-Φ=-Φ=-⨯=⎝⎭(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑1||n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝0.95,⎛Φ≥ ⎝1.645,≥2124.4345.1.645n ≤= 因此,最多可有4个数相加,误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90. 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行, 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95.正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==(0.8)P X n≥3P ⎛=≥==-⎭0.95,3⎛≈Φ≥ ⎝⎭1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地, 正品率为0.8, 为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只, 问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n ==(1000)P X≥P =≥=0.95,≈Φ≥1.645,0.810000.n ≥-≥ 解得1637.65,n ≥因此n 至少取1638.★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X =的概率. 正面次数(40,1/2),X B n p ==400.520,400.50.510.EX np DX npq ==⨯===⨯⨯= 离散值20X =近似为连续分组区间19.520.5,X <<(20)(19.520.5)P X P X =<<0.16P ⎫=<=⎪⎭2((0.16)0.5)2(0.56360.5)0.1272.=Φ-=⨯-= 第十二次作业★1. 设X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X 10为来自N (0, 0.32)的一个样本, 求概率1021{ 1.44}i i P X =>∑.标准化变量(0,1),1,2,...,10.0.3iXN i =由卡方分布的定义,10222211~(10).0.3ii Xχχ==∑1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑10222211 1.44(10)160.1,0.30.3i i P X χ=⎧⎫==>=≈⎨⎬⎩⎭∑ 略大,卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.χ= ★2. 设X 1, X 2, X 3, X 4, X 5是来自正态总体X ~(0, 1)容量为5的样本, 试求常数c , 使得统计量t 分布, 并求其自由度.由独立正态分布的可加性,12(0,2),X X N +标准化变量(0,1),U N =由卡方分布的定义,22222345~(3),X X X χχ=++U 与2χ独立.由t 分布的定义,(3),T t ===因此c =自由度为3.★3. 设112,,,n X X X 为来自N (μ1, σ2)的样本, 212,,,nY Y Y 为来自N (μ2, σ2)的样本, 且两样本相互独立, 2212,S S 分别为两个样本方差, 222112212(1)(1)2pn S n S S n n -+-=+-. 试证明22().p E S σ=证由221112(1)~(1),n S n χσ--及()211(1)1E n n χ-=-得()2211112(1)(1)1,n S E E n n χσ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭221.ES σ= 类似地222.ES σ=222112212(1)(1)2pn S n S ES E n n ⎛⎫-+-= ⎪+-⎝⎭22212121212(1)(1).22n n ES ES n n n n σ--=+=+-+-。

概率论与数理统计配套习题

Z
=
1, 0,
如果 X + Y 为零或偶数；如果 X + Y 为奇数．
第三章连续型随机变量及其分布第五次作业
3.1 设随机变量 X 服从二项分布 B(2,0.4) ．试求 X 的分布函数,并作出它的图像.
8
学号
专业
姓名
作业号
3.4
cx3, 已知随机变量 X 的密度函数为 f (x) =
0 < x < 1; 确定常数 c 的值,并求出 P(−1 < X < 0.5) 与分布函数.
∞
数为 λ p 的泊松分布.[提示： P(Y= k=) ∑ P( X= n)P(Y= k X= n) .] n=k
7
学号
专业
姓名
作业号
2.26 已知 X 与Y 的联合概率函数如下.（1）分别求U = max{X ,Y},V = min{X ,Y}的概率函数；（2）试
求U 与V 的联合概率函数.
X
Y -2 -1 0 1 4
1.27 已知甲袋中装有 a 只红球, b 只白球;乙袋中装有 c 只红球, d 只白球．试求下列事件的概率:(1)合并两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.
1.15 某商店出售晶体管,每盒装 100 只,且已知每盒混有 4 只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取 1 只发现是不合格品,商店要立刻把 10 只合格品的晶体管放在盒子中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取 3 只进行测试,试求他发现全是不合格品的概率.

概率论与数理统计作业

第一章随机事件与概率1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{}反正正、正反、反正、反=Ω{}正正、正反=A ,{}正正=B ,{}正正、正反、反正=C2.设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：（1）AB =∅，（2）B A ⊂，（3）81)(=AB P解:（1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P（2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375.0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。

Ai 表第i 次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。

4．进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：（1）直到第r 次才成功；（2）在n 次中取得)1(n r r ≤≤次成功；解: (1)p p P r 1)1(--= (2)r n rr np p C P --=)1( 5. 设事件A ，B 的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：（a ）必然对，（b ）必然错，（c ）可能对也可能错，并说明理由。

（1）若A ，B 互不相容，则它们相互独立。

（2）若A 与B 相互独立，则它们互不相容。

（3）()()0.6P A P B ==，则A 与B 互不相容。

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=BA ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。

《概率论与数理统计》作业习题

习题一1. 设Ａ、Ｂ与Ｃ为三个事件，试用Ａ、Ｂ与Ｃ表示下列各个事件:(1) 只有Ａ出现; (2) 只有Ａ不出现; (3) 至多一个事件出现; (4) 至少一个事件出现;(5) 恰好一个事件出现。

2. 在某系的学生中任选一人，设Ａ＝{被选出的是男学生}，Ｂ＝{•被选出的是一年级学生}，Ｃ＝{被选出的是田径运动员}; 试回答下列各个问题:(1) 事件ＡＢC的含义; (2) 事件ABC的含义; (3) 事件A B C的含义; (4) ＡＢＣ＝Ｃ的条件。

3. 可上抛一枚硬币来决定乒乓球比赛的先发球权，方法是两选手分别猜{•正面朝上} 或{反面朝上}，根据上抛的结果，猜中的选手先发球，试说明此方法的公平性。

4. 上抛两枚硬币，若Ａ＝{有一枚正面朝上}，Ｂ＝{有两枚正面朝上}，Ｃ＝{至少有一枚正面朝上}，试求Ｐ(Ａ)、Ｐ(Ｂ)与Ｐ(Ｃ)。

5. 丢掷一粒骰子，若Ａ＝{1， 3， 5}，Ｂ＝{朝上的点数不超过5}，Ｃ＝{朝下的点数为素数}，试求Ｐ(Ａ)、Ｐ(Ｂ)与Ｐ(Ｃ)。

6. 丢掷两粒骰子，若Ａ＝{朝上的点数之和恰好是9}，Ｂ＝{朝上的点数之和超过4}，试求Ｐ(Ａ)与Ｐ(Ｂ)。

7. 口袋中有4个红球3个白球，如果(1) 从中任取一球，求取得红球的概率; •(2) 从中任取两球，求取得一个红球一个白球的概率。

8. 口袋中有4个红球3个白球，如果用取后放回的方法，每次取一个，共取两次，Ａ＝{两次都取红球}，Ｂ＝{第二次取出红球}，Ｃ＝{先取出红球后取出白球}， D＝{两次取出红球、白球各一个}，试求这四个事件的概率。

9. 若正方形由x轴、y轴、直线x＝1和 y＝1 所围成， •正方形内部的点坐标为(x， y)且Ａ＝{x＋y< 1/2}，Ｂ＝{x＋y > 1/2 且x< 1/2， y< 1/2}，Ｃ＝{ y< x２}，试求这三个事件的概率。

10. 某棉麦连作地区，因受气候条件的影响，棉花减产的概率为0.08，小麦减产的概率为0.06，棉麦都减产的概率为0.04，试求(1)•棉花和小麦至少有一样减产的概率， (2) 棉花和小麦至少有一样不减产的概率，棉花和小麦都不减产的概率。

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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。

概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业概率论与数理统计是一门涉及概率、统计推断和随机变量等方面的学科，具有广泛的应用领域。

本文旨在对概率论与数理统计作业进行详细阐述，并提供相关观点和支持。

一、概率论与数理统计的概述概率论与数理统计是数学的一个分支，它研究的是随机事件的规律性和统计现象的推断方法。

概率论用于描述和分析随机事件的概率规律，而数理统计则用于推断总体特征和评估参数的不确定性。

它们之间密切相关，互相促进，共同为决策提供依据。

二、概率论的基本概念和原理1. 随机事件与概率：随机事件是指试验过程中可能出现的不确定结果，概率是对随机事件发生的可能性进行度量的工具。

2. 概率分布与密度函数：概率分布描述了随机事件的可能取值及其对应的概率，密度函数则用于描述连续型随机变量的概率分布。

3. 期望值与方差：期望值是对随机变量的平均值进行度量，方差则描述随机变量取值的离散程度。

三、数理统计的基本原理和方法1. 抽样与统计量：抽样是从总体中取得一部分数据的过程，统计量则是利用样本数据对总体特征进行推断的指标。

2. 参数估计与假设检验：参数估计是通过样本数据对总体参数进行估计，假设检验则是对总体特征是否满足某种假设进行推断。

3. 相关分析与回归分析：相关分析用于描述和分析两个或多个变量之间的相关关系，回归分析则用于建立变量间的数学模型。

四、概率论与数理统计在现实生活中的应用1. 风险管理和保险：利用概率论和数理统计的方法对各种风险事件进行评估和管理，为保险的设计和定价提供依据。

2. 金融市场分析：通过概率论和数理统计的手段对金融市场中的价格波动和风险进行分析，为投资策略的制定提供支持。

3. 医学研究和临床实践：采用统计学的方法对疾病发生率和治疗效果等进行分析，为医学研究和临床决策提供依据。

五、其他学者的观点和研究成果1. 张三在其论文中指出，概率论是现代数学的重要组成部分，为科学研究和决策提供了基本工具。

2. 李四的研究表明，数理统计在社会科学和经济学中有着广泛的应用，对数据的分析和解释起到关键作用。

概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业
【原创版】
目录
1.概率论与数理统计的定义和重要性
2.概率论的基本概念和应用
3.数理统计的基本概念和应用
4.如何有效学习和掌握概率论与数理统计
5.总结
正文
概率论与数理统计是我们在学术和实际生活中都会接触到的重要学科，它们为我们理解和预测各种现象提供了有力的工具。

首先，概率论是研究随机现象的理论，它为我们提供了描述和度量随机事件可能性的方法。

其基本概念包括随机事件、概率分布、条件概率等，广泛应用于金融、保险、生物、通信等领域。

其次，数理统计是基于概率论的理论，它主要研究如何从样本数据中推断总体的性质和参数。

其基本概念包括描述性统计、推断性统计、假设检验等，常用于数据分析、科学研究、社会调查等。

对于如何有效学习和掌握概率论与数理统计，我们需要从以下几个方面入手：一是理解基本概念和原理，二是多做练习，通过实践来加深理解，三是掌握一些常用的概率分布和统计方法，四是了解其在实际应用中的案例，以提高我们的应用能力。

总的来说，概率论与数理统计是一门重要的学科，它为我们理解和预测世界提供了有力的工具。

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概率论与数理统计作业题

概率论与数理统计练习题——————————————————————————————————1．事件,,A B C中恰好有两个事件发生的事件是( ).(A) ABC ABC ABC ABC (B) AB AC BC(C) ABC ABC ABC (D) A B C2．事件,A B至少有一个事件发生的事件是( ).(A) AB (B) A B (C) AB AB (D) AB3．事件,,A B C同时发生的事件是( ).(A) ABC (B) AB AC BC(C) ABC (D) A B C ——————————————————————————————————4．已知事件A与B互不相容，P(A)=, P(B)=, 则P(A∪B)= ( ).(A) (B) (C) (D) .5．已知P(A)=, P(B)=, P(A∪B)=, 则P(AB)=( ).(A) (B) (C) (D) .6．已知P(A∪B)=, P(B)=, P(AB)=, 则P(A)=( ).(A) (B) (C) (D) ——————————————————————————————————7．某办公室有10名员工分别编号从1到10任意选3人记录其号码则最小号码为5的概率为（）(A)112(B)120(C)15(D)168．设某批产品共50件其中有5件次品现从中任取2件则其中无次品的概率为（）(A)110(B)910(C)198245(D)992459．从1～9九个数字中任取3个排成一个三位数则所得三位数为偶数的概率是（）(A) 49(B) 59(C) 13(D)19——————————————————————————————————10．已知P(A)=, P(B)=, P(AB)=, 则P(A ︱B)=( ). (A)(B)(C) 08 (D) 11．设P (A )05P (B )06P (B |A )08则P (AB )( ).(A)(B)(C) (D)12．设P (A )05P (B )06P (B |A )08则P (A ∪B )( ).(A)(B) (C)(D)——————————————————————————————————13．已知事件A 与B 相互独立，P(A)=, P(B)=, 则P(AB)= ( ).(A)(B)(C)(D)14．已知事件A 与B 相互独立，P(B) =, P(AB) =, 则P(A)= ( ).(A)(B)(C) (D)15．设1()3P A =,1()2P B =，且A 与 B 相互独立则P (A ∪B )( ).(A)13 (B)12(C)23(D)56.——————————————————————————————————16．对于任意两个事件A B有P (AB )( )(A).P(A )P (B ) (B).P (A )P (B )P (AB )(C).P (A )P (AB )(D).()()-()P A P B P AB +17．已知P (A )=，()P AB =，则()P A B -=（）。

《概率论与数理统计》练习题(含答案)

《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（）（A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（）（A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（）（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，）应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答：若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ）解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（）（A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（）（A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。

概率论与数理统计练习题(含答案)

数理统计练习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，P (B |A )=0.8，则P (A +B )=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。

3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(−−X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。

2、设X ∼B (2,p )，Y ∼B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。

概率论与数理统计作业题及参考答案

东北农业大学网络教育学院概率论与数理统计作业题（一）一、填空题1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为。

2．用随机变量X 来描述掷一枚硬币的试验结果. 则X 的分布函数为。

3．已知随机变量X 和Y 成一阶线性关系，则X 和Y 的相关系数=XY ρ 。

4．简单随机样本的两个特点为：5．设21,X X 为来自总体),(~2σμN X 的样本，若2120041X CX +为μ的一个无偏估计，则C = 。

二、选择题1．关系（）成立，则事件A 与B 为互逆事件。

（A ）Φ=AB ；（B ）Ω=B A ；（C ）Φ=AB Ω=B A ；（D ）A 与B 为互逆事件。

2．若函数)(x f y =是一随机变量X 的概率密度，则（）一定成立。

)(A )(x f y =的定义域为[0,1] )(B )(x f y =非负)(C )(x f y =的值域为[0,1] )(D )(x f y =在),(+∞-∞内连续3．设Y X ,分别表示甲乙两个人完成某项工作所需的时间,若EY EX <,DY DX >则 ( ) (A ) 甲的工作效率较高,但稳定性较差 (B ) 甲的工作效率较低,但稳定性较好 (C ) 甲的工作效率及稳定性都比乙好 (D ) 甲的工作效率及稳定性都不如乙4．样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，μ=EX 为已知，而2σ=DX 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（）(.A ).∑==4141i i X X (B ).μ241++X X (C ).∑=-=4122)(1i i X X k σ (D ).∑=-=4122)(31i i X X S 5．设θ是总体X 的一个参数，θˆ是θ的一个估计量，且θθ=)ˆ(E ，则θˆ是θ的（）。

（A ）一致估计（B ）有效估计（C ）无偏估计（D ）一致和无偏估计三、计算题1．两封信随机地投向标号1，2，3，4的四个空邮筒，问：（1）第二个邮筒中恰好投入一封信的概率是多少；（2）两封信都投入第二个邮筒的概率是多少？2．一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求（1）这4个中的次品数X 的分布列；（2）)1(<X p3．已知随机变量X 的分布密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其他,021,210,)(x x x x x f ，求DX EX ,.4．设随机变量X 与Y（1）求X 与Y 的边缘分布列（2）X 与Y 是否独立？5．总体X 服从参数为λ的泊松分布)(λp ，λ未知，设n X X X ，，， 21为来自总体X 的一个样本：（1）写出)(21n X X X ，，，的联合概率分布；（2）}{max 1i ni X ≤≤，21X X +，212XX n-，5，∑=ni iX 12)(λ－中哪些是统计量？6．某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对05.0=α，求出滚珠平均直径的区间估计)96.1,645.1(025.005.0==Z Z概率论与数理统计作业题（二）一、填空题1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为。

《概率论与数理统计》作业册练习题

习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ).(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. (2) 设A ，B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是( ).(A) (AU B)-B ＝A (B) (AU B)-B A ⊂ (C) (AU B)-B A ⊃ (D) (A —B)U B ＝A2. 设A,B,C 为三个事件,试用A,B,C 的运算关系表示下列事件: (1)A 发生,B 与C 不发生; (2)A 与B 都发生,C 不发生; (3)A,B,C 都发生; (4)A,B,C 都不发生; (5)A,B,C 不都发生;(6)A,B,C 中至少有一个发生; (7)A,B,,C 中多于一个发生; (8)A,B,C 中至少有两个发生.习题1-31. 选择题(1) 随机事件A 与B 互不相容, 且P （A ）＞P （B ）＞0，则结论正确的是 ( ). (A) P(A)=1-P(B) (B) P(AB)=P(A)P(B) (C) P(A ⋃B)=1 (D) P(AB)1= (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0,则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 不一定是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. (3) 若事件A 与B 相容，则有（）. (A)()()()P AB P A P B =+ (B)()()()()P A B P A P B P AB =+- (C)()1()()P A B P A P B =-- (D) ()1()()P AB P A P B =-2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).3. 已知()0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B =, 则()P AB .4. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( ).(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥. (B) 若()1P B A =, 则()0P AB =.(C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.2.填空题(1)()0.92,()0.93,(|)0.85,(|)___,()___.P A P B P B A P A B P A B =====则(2) 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________.(3) 已知P(A )=0.3，P(B )=0.4，P(B A )=0.5，P(B |A B )=____________.3. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.4. 在某工厂里有甲、乙、丙3台机器生产螺丝钉它们的产量各占25%、35%、40%,并且在各自的产品里,不合格品各占5%、4%、2%.现从产品中任取一只，求(1)恰好取到不合格品的概率;(2)求此不合格品分别是机器甲、乙、丙生产的概率.5.某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ). (A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立. (C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件. (2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥.(3)设A ，B ，C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝p ，则p 的最大值为( ).(A)0.5 (B)l (C)1/3 (D)0.25 2. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .3.一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为8180，求此射手每次射击的命中率.总习题一1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)()A B 与C . (B)()AC 与C .(C) ()A B 与C . (D) AB 与C .2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.3. 某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为p ，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为p ，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为2p ． ⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率． ⑵ 求他第二次考试及格的概率．⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率． ⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率4. 甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7。

《概率论与数理统计》作业（一）

《概率论与数理统计》作业（一）得分：一、填空题（每空2分，共20分）1、设A 、B 为两个随机事件，写出下列事件：⑴、A 、B 至少有一个发生，其对立事件； ⑵、A 、B 都发生，其对立事件； ⑶、A 发生，B 不发生，其对立事件。

2、设A 、B 为任意两个随机事件，写出下列运算法则： ⑴、=+)()(A P A P ；⑵、若A B ⊃,则=-)(A B P ； ⑶、=+)(B A P ； ⑷、=⋅)(B A P 。

二、单项选择题（每题4分，共20分）1、A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（） ⑴、甲种产品滞销，乙种产品畅销； ⑵、甲、乙两种产品均畅销；⑶、甲种产品滞销，或乙种产品畅销； ⑷、甲种产品滞销。

2、设0)(=AB P ，则（）⑴、A 和B 不相容； ⑵、A 和B 独立 ⑶、0)(=A P 或0)(=B P ⑷、)()(A P B A P =- 3、设A B ⊂，则（）⑴、)()()(A P B P A B P -=- ⑵、)(1)(A P B A P -= ⑶、)()(B P A B P = ⑷、)()(A P B A P =4、若A 、B 相互独立，4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，则=)(B P （） ⑴、0.2 ⑵、0.3 ⑶、0.4 ⑷、0.55、设事件A 、B 相互独立，,0)(0)(>>B P A P ，则（） ⑴、φ=AB ⑵、)()()(B P A P B A P ⋅=- ⑶、)(1)(A P B P -= ⑷、0)(=A B P 三、计算题（每题5分，共60分）1、10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率。

2、一批产品中，一、二、三等品率分别为0.8、0.16、0.04，若规定一、二等品为合格品，求产品的合格率。

3、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为154，刮风（用B 表示）的概率为157，既刮风又下雨的概率为101。

《概率论与数理统计》作业

A． p1 p2
B． p1 p2
C． p1 p2
D． p1 p2
14.
设的概率密度为
f (x)
Ax, 0,
0 x 1 其它
A．0.1
B．2
C．1
，则A = D．0.5
15. 任何一个连续型随机变量的概率密度 f (x) 一定满足
A． 0 f (x) 1
B．在定义域内单调不减
C．
y)
0
x
2
,0
y
2
，
0
其他
则 A=( )
① 0.1
② 0.5
③1
④2
6. 若事件 A、B 为互逆事件，则 P( A B) （）
①0
②0.5
③1
7. 设ξ～N(0，1)，令η=aξ+b,则 Dη=( )(a,b 为常数)
①a－b
②a＋b
③a
8. 若母体ξ的方差为 2 ，则 2 的无偏估计为（）
应选取服从
分布的统计量．
20. AB AC BC表示的是随机事件 A、B、C 中至少有
发生的事件．
21. 命中率为 p 的射手射击至第 k 次才首次击中目标的概率为
．
22. 随机变量服从区间[a, b] 上的均匀分布，则它的期望为
．
23. 设 ~ N(5,1), ~ N(3,16) ，与相互独立，令 3 , 则 E
3. 设随机变量的方差 D 存在，设 a, b 均为常值，试证明 D(a b) a 2 D
4. 证明必然事件、不可能事件与任何事件相互独立.
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《概率论与数理统计》作业

1、已知为三个事件,则中至少有两个发生这一事件可以表示为 ,,A B C ,,A B C .2、设事件互不相容,且,则,A B (),()P A p P B q ==()P AB = .3、设A ,B 为随机事件,且P (A )=0.7,P (A −B )=0.3,则P (AB )= .4、设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0, P (AC )=1/12,则A ,B ,C 至少有一个发生的概率为 .5、盒子里有4个红球鞋,5个白球,现从中任取两个,恰好有2个红球的概率为 . 二、计算题 1、从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少？2、从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取三件,求其中恰的一件次品的概率.3、在电话号码簿中任取一电话号码,求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都等可能地取自0,1,2,……,9).4、一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.5、从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.6、两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.1、设事件,A B 满足：11(|)(|,()33P B A P B A P A ===,则 ()P B =.2、设()()()2212()P A B =U ,,53P A P A B P B A ===,则 .3、设随机事件满足,则 ,A B ()0.6,()0.9,(|)0.5P A P A B P B A ==U =()P B =.4、设事件两两独立,且,,A B C 1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<,,则 ()9/16P A B C =U U ()P A =__________.5、设在一次试验中,事件A 发生的概率为p . 现进行次独立试验,则n A 至少发生一次的概率为 ,而事件A 至多发生一次的概率为 . 二、计算题1、某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率是1/2,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下还未打破,第三次落下被打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.2、将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2:1.问(1) 接收站收到信息A 的概率是多少?(2) 若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少？3、加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.4、掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. (1)问正好在第6次停止的概率;(2)问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.1、设随机变量X 的分布律为{},1,2,,aP X k k N N===L ,则 a =.2、设随机变量X 的分布函数为0,,0)(≥<−⎩⎨⎧=−x x e A x F x. (12)P 则= A ;ξ<≤= . 3、设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=其它0211122x x x f 则X 的分布函数 ()=x F ．4、设,且,则 ~()X P λ(1)(2P X P X ===)(1)P X ≥=, 2(03)P X <<=.5、设随机变量X 的分布律为X 1− 1 02k p 2.01.03.04.0 则随机变量2X Y =的分布律为． 6、设随机变量X 的分布函数为0,10.4,11()()0.8,131,3x x F x P X x x x <−⎧⎪−≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩则X 的分布律为．二、计算题(请写在背面并标好题序,如果背面不够写请写在信笺上并装订好再交上来)1、设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求:(1)X 的分布律; (2)X 的分布函数;(3){}133,1,1,12222P X P X P X P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤<≤≤≤<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭<.2、有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? 3、已知随机变量X 的密度函数为,求: ||(),x f x Ae x −=−∞<<+∞(1)A 值; (2){}0P X <<1; (3)随机变量X 的分布函数. ()F x 4、设()2~3,2X N (1)求{}{}{}{}25,410,2,P X P X P X P X <≤−<≤>>3; (2)确定使c {}{}P X c P X c >=≤. 5、设()~0,1X N (1)求的概率密度; (2)求的概率密度.X Y e =22Y X =+11、设二维离散型随机变量(,)X Y 具有概率分布律\36912151810.010.030.020.010.050.0620.020.020.010.050.030.0730.050.040.030.010.020.0340.030.090.060.150.090.02X Y则X 和Y 的边缘分布律分别为和 . 2、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为42(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y −−⎧−−>=⎨⎩其他> 则二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为 . 3、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为ππsin sin ,0,0(,)220,x y x y F x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则πππ0,463P x y ⎧<≤<≤=⎨⎩⎭⎫⎬ .4、设随机变量,X Y 的概率密度分别为， 0,0(),0X xx f x e x −<⎧=⎨≥⎩0,0(),0Y y y f y e y −<⎧=⎨≥⎩且,X Y 相互独立,则二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为 . 5、设随机变量,X Y 相互独立,且,则()(~100,0.2,~50,0.2X b Y b )~Z X Y =+ . 二、计算题1、设随机变量(,)X Y 的概率密度为(6),02,24(,)0,k x y x y f x y −−<<<<⎧=⎨⎩其他(1)确定常数;(2)求k {}1,3P X Y ≤≤;(3)求{}1.5P X ≤;(4)求{}4P X Y +≤;(5)求边缘概率密度. 2、袋中有五个号码1从中任取三个,记其中最小的号码为,2,3,4,5.X ,最大的号码为Y .(1)求X 与Y 的联合概率分布;(2)X 与是否相互独立? Y 3、设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率.(160,400)N1、设随机变量,,X Y Z 相互独立,且,则 ()5,()11,()8E X E Y E Z ===(231)E X Y ++=; (4)E YZ X −=.2、设随机变量X 的分布律为123101X P p p p −且已知,则2()0.1,()0.9E X E X ==1p = ;2p = ;3p = .3、设随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0(,)0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他则 ()E XY =.4、已知,,则= 4.1)(=X E 24)(2X E .0)(=X D .5、已知随机变量,且~(2)X P 22−=X Z ,则 _________, _________.()=Z E ()D Z =6、设连续型随机变量X 的密度函数为()1221−+−=x x e x f π()+∞<<∞−x 则_______.()=X D 7、设随机变量~(,)X U a b ,且,()3=X E ()34=X D ,则 a =, b =. 8、已知随机变量,则~(,),()12,()8X b n p E X D X ==p = ; n =.9、设且~(1,9),~(2,4)X N Y N ,X Y 相互独立,则(23)E X Y −= , (23)D X Y −=. 10、已知,则 ()2,()3,cov(,)1D X D Y X Y ===−cov(321,42)X Y X Y −++−=. 二、计算题1、设(,)X Y 的联合分布律为\1010.20.10.120.100.1300.30.1X Y −1求(),(),Y E X E Y E X ⎛⎞⎜⎟⎝⎠.2、设随机变量X 的概率密度为,0(,)2,120,1x x f x y x x ≤<⎧⎪=−≤≤⎨⎪⎩其他求.(),()E X D X 3、设随机变量,X Y 的概率密度分别为22e ,0()0,0x X x f x x −⎧>=⎨≤⎩ 44e ,0()0,0y Y y f y y −⎧>=⎨≤⎩求.2(),(23E X Y E X Y +−)4、设二维随机变量(,)X Y 在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求(0,0),(0,1),(1,0)cov(,)X Y 和XY ρ.1、如果12,,,n X X X L 为来自总体X 的样本,X 的分布函数为,则()F x 12,,,n X X X L 的联合分布函数为 ;如果X 的概率密度为()f x ,则12,,,n X X X L 的联合概率密度为 .2、设1234,,,,5X X X X X 是来自总体的样本,则 (0,1)X N ∼521i i Z X ==∑∼.3、设2~(,)X N μσ,12,,,n X X X L 为来自总体X 的样本,则()E X = ,()D X = .4、设12~(),,,,n X P X X X λL 为来自总体X 的样本,则()E X =______,()D X =______.5、如果,且它们相互独立,则2(4),(5)X Y χχ∼∼2X Y +∼ .6、如果,则 2(10)X χ∼()E X =; ()D X =.7、 20.025(30)χ=, 20.05(61)χ=.8、设,且2(0,1),~(100)X N Y χ∼,X Y 相互独立,则统计量~t = .9、 0.01(20)t =, 0.25(50)t =.10、设,且相互独立,则统计量22(20),(30)U V χχ∼∼,U V 3~2UF V= .11、 0.05(9,12)F =,则 ()0.9512,9F =.12、设12,,,n X X X L 相互独立,2(,)i i X N iμσ∼,则 1ni i i a X η==∑∼.X 13、设12,,,n X X X L 是来自正态总体2~(,)X N μσ的样本,则X ∼ ,. ∼14、设12,,,n X X X L 相互独立,(,则 0i X N ∼,1)21~ni i T X ==∑.15、设两个随机变量X 与Y 相互独立,并且2(0,1),()X N Y n χ∼∼,则T =∼ . 二、计算题1、设总体,从总体X 中抽取一个容量为100的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. (2~60,15X N )2、从一正态总体中抽取容量为10的样本,假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上,求总体的标准差.1、设总体()~1,X b p ,12,,,n X X X L 是从总体X 中抽取的一个样本,则参数p 的矩估计量为=pˆ___________． 2、设总体X 的分布律为()()22123211X P θθθθ−−10<<θ是未知参数,12,,,n X X X L 是从中抽取的一个样本,则参数θ的矩估计量 =θˆ. 3、设,()~X E λ12,,,n x x x L 为X 的一组样本观察值,则的最大似然估计为 θ. 4、设2~(,)X N μσ,123,,,4X X X X 是来自总体X 的样本,设1230.10.30.24X X X α+++X 是(0)μμ≠的无偏估计,则 α=.5、设总体,根据来自2~(,0.04)X N μX 的容量为16的样本,测得样本均值为10.05x =,则总体均值μ的置信水平为的置信区间为 0.95.二、计算题1、设总体(1),0~()0,x x X f x θθ⎧+<=⎨⎩其他1<其中,1θ>−12,,,n X X X L 是X 的一个样本,求的矩估计量及极大似然估计量.θ2、设某种砖头的抗压强度(2,N )μσ,今随机抽取20块砖头,测得数据如下(kg.cm -2):64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 (1)求μ的置信概率为0.95的置信区间. (2)求的置信概率为0.95的置信区间. 2σ三、证明题设X 1，X 2是从正态总体(2,N )μσ中抽取的样本 11221231211311ˆˆˆ;;3344222;X X X X X μμμ=+=+=+X 试证123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计量,并求出每一估计量的方差.1、已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布.现在测了5炉铁水,其含碳量(%)分别为()2~ 4.55,1.108X N 4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变,总体平均值有无显著性变化(=0.05)? α2、某种矿砂的5个样品中的含镍量(%)经测定为: 3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布,问在=0.01下能否接收假设:这批矿砂的含镍量为3.25. α3、测量某种溶液中的水分,从它的10个测定值得出()()0.452%,0.037%x s ==.设测定值总体为正态,μ为总体均值,为总体标准差,试在水平下检验.σ0.05α=(1).()()01:0.5%;:0.5%H H μμ=<(2)()0:0.04%H σ=;()1:0.04%H σ<.。