易学通·重难点一本过高二数学(人教版选修2-2)：第三章 导数及其应用 含解析

重点列表：
重点详解： 1.导数的概念
(1)定义
如果函数y ＝f(x)的自变量x 在x0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝
f(x0＋Δx)－f(x0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f(x)从x0到x0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx
＝f （x0＋Δx ）－f （x0）Δx .如果当Δx →0时，Δy Δx
有极限，我们就说函数y ＝f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或y ′
0|x x =，
即f ′(x0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x0＋Δx ）－f （x0）Δx . (2)导函数
当x 变化时，f ′(x)便是x 的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y ＝f(x)
的导函数有时也记作y ′，即f ′(x)＝y ′＝0
lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .
(3)求函数y ＝f(x)在点x0处导数的方法
①求函数的增量Δy ＝ ；
②求平均变化率Δy Δx
＝ ； ③取极限，得导数f ′(x0)＝0
lim →∆x Δy Δx . 2.导数的意义
(1)几何意义
函数y ＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .
(2)物理意义
函数S ＝s(t)在点t0处的导数s ′(t0), 就是当物体的运动方程为S ＝s(t)时，物体运动在t0时刻的瞬时速度v ，即 .设v ＝v(t)是速度函数，则v ′(t0)表示物体在t ＝t0时刻的 .
3.基本初等函数的导数公式
(1)c ′＝ (c 为常数)，
(x α) ′＝ (α∈Q*)；
(2)(sinx) ′＝______________，
(cosx) ′＝ ；
(3)(lnx) ′＝ ，
(logax) ′＝ ；
(4)(ex) ′＝ ，(ax) ′＝ .
4.导数运算法则
(1)f(x)±g(x)] ′＝ .
(2)f(x)g(x)] ′＝ ；
当g(x)＝c(c 为常数)时，即cf(x)] ′＝ .
(3)⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥
⎤
f （x ）
g （x ） ′＝ (g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为 .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
【参考答案】
1.(1)可导 f ′(x0)
(3)①f(x0＋Δx)－f(x0) ②f （x0＋Δx ）－f （x0）
Δx
2.(1)f ′(x0) y －y0＝f ′(x0)(x －x0)
(2)v ＝s ′(t0) 加速度
3.(1)0 αx α－1 (2)cosx －sinx (3)1x 1xlna
(4)ex axlna
4.(1)f ′(x)±g ′(x) (2)f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x) cf ′(x)
(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）
[g （x ）]2
5.yx ′＝y ′u ·u ′x
重点1：导数的概念。