高二数学两条直线的交点坐标2
两条直线的交点坐标高二上学期数学(人教A版2019选修一)
x 0 ，即4x 3 y 30
0.
2
解2: 由已知可设直线l 的方程为(2x 2 y 1) (6x 4 y 1) 0 .
∵直线l 经过原点，
∴ 1 0，解得 =1.
∴直线l 的方程为(2x 2 y 1) 1 (6x 4 y 1) 0，即4x 3 y 0.
3.直线恒过定点问题 【例题】求证: 不论m为何实数, 直线 (m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒过某一 定点.
【方法总结】 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验 证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中 λ 是参数，这就说明了它表示的直 线必过定点，其定点可由方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00， 解得． 若整理成 y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
y
12
，得 0
x
2,y
3.
∴两条直线的交点坐标为(2, 3). 图形如图示.
y
l1 4
3 2 1
-2 -1 O -1 -2
l2 -3
-4
M
1 2 34 56x
l2 y l1
6
5
4
3
M
2
1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 -2
例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.
(1) l1 : 2x 3 y 12 , l2 : x 2 y 4 ;
(2) l1 : x 2 ,
l2 : 3x 2 y 12 0.
高二数学 求两直线的交点坐标
A1B2-A2B1=0
例1 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和l2： (a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，求a 的值.
例2 已知直线l1：x-ay-1=0和
l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
5.
4.直线族方程的应用
例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点 P在第一象限，求k的取值范围.
y B o P A x
小结
1.求两条直线的交点坐标 2.任意两条直线可能只有一个公共点，也可能 没有公共点（平行） 3.任意给两个直线方程，其对应的方程组得解 有三种可能可能： 1）有惟一解 2）无解 3）无数多解
对于两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 和 l2 : A2 x B2 y C2 0 ,
若方程组
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C 2 0
有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的 位置关系如何？
两直线有一个交点， 重合、平行
（1）l1：x y 0,
l2：x 3y 10 0 ; 3
6 3 （2） l1：x y 4 0, l2：x 2y 1 0;
6 3 （3）l1：x 4y 5 0, l2：x 8y 10 0.
例3 求经过两直线3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交 点，且斜率为3的直线)y+1=0表示一条
直线，则实数m的取值范围是
m≠0 __________.
高二数学两条直线的交点坐标2
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高二数学课件：第八章 第二节 直线的交点坐标与距离公式
热点考向
2
距离公式的应用
【方法点睛】
1.两点间的距离的求法
两点间的距离，可利用两点间的距离公式求解；当两点连线平
行于x轴时，其距离等于这两点横坐标之差的绝对值；当两点连
线平行于y轴时，其距离等距离最大的直线l的方程，最大距离是 5 5.
5
(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 5 的直线，因此
不存在过点A且与原点距离为6的直线.
【反思·感悟】 1.在解答本题时，直线斜率存在时,根据题设 条件，由点到直线的距离公式得关于斜率的方程，这是很关键 的问题,同时注意讨论斜率不存在的情况； 2.另外，求距离的最值时，除了考虑距离公式所要求的条件， 以防漏解、错解外，还要注意数形结合思想的应用.
1.对称中心的求法
若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公 式求得a、b的值，即 a x1 x 2 ，b y1 y 2 ；
2 2
2.轴对称的两个公式
若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A≠0)对称，
则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l. 故有
24 3
因此，过点P与AB平行的直线的方程为：
1 y 2 (x 1) ,即x+3y-5=0； 3
又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)， 所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1； 综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.
热点考向 3
【方法点睛】
对称问题
利用到原点的距离为2列方程，解方程即可，但要注意对斜率不
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式高二数学同步精品课件
导航系统：在 导航系统中， 两点间距离公 式可以用来计 算最短路径， 从而帮助用户 找到最佳路线。
建筑设计：在 建筑设计中， 两点间距离公 式可以用来计 算建筑物之间 的距离，以确 保符合规划要
求。
物流运输：在 物流运输中， 两点间距离公 式可以用来计 算货物运输的 距离和成本， 从而优化运输
方案。
解析几何中的综合问题
直线方程：ax+by+c=0 直线交点坐标：(x, y) 两点间距离公式：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) 例题解析：已知两条直线的方程，求它们的交点坐标及两点间的距离。
实际应用中的问题解析
公式应用：使用两条直线的 交点坐标公式求解
例题解析：通过具体的例子， 详细解析如何应用公式求解
a(d-b)/(a-c)+b)
两点间距离公式的推导过程
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)， 求两点间的距离
证明两点间距离公式的正确性： 通过几何图形的性质和勾股定理， 证明两点间的距离公式是成立的
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
利用勾股定理，得到两点间的距 离公式为：d = √(x2-x1)² + (y2-y1)²
03
两点间的距离公式
两点间距离公式的推导
两点间距离的定义：两点之间直线距离 两点间距离公式的推导过程：使用勾股定理和相似三角形的性质 两点间距离公式的应用：计算两点之间的直线距离 两点间距离公式的局限性：仅适用于平面上的两点
两点间距离公式的应用
测量地图上的 距离：利用两 点间距离公式， 可以精确地测 量地图上的两 点之间的距离。
交点坐标
问题描述：已知两条直线的 方程，求它们的交点坐标
两条直线的相交、平行与重合教学设计
高二数学课《两条直线的相交、平行与重合》教学设计1.教学内容解析：本节内容在第二章平面解析几何中占有很重要的地位,因为它与前面所学习的平面几何中的直线方程的知识点有密切的联系,其本身体现了用代数解决几何问题的重要方法，体现数与形的美;同时又是后面将要学习点到直线的距离知识的基础,因此学好本节内容知识,不仅可以加深和巩固以前所学的相关知识,而且又为后面将要学习的知识作了很好的铺垫作用2.教学目标设置：1.教学目标：（1）会求两条相交直线的交点坐标.(数学运算)（2）会根据直线的斜率和截距判断两条直线相交、平行、重合.(逻辑推理)（3）会根据直线的一般式方程判断两条直线相交、平行、重合.(逻辑推理)2.能力与方法：通过动手画图、自主学习归纳出用直线的斜率和截距来判断两条直线相交、平行、重合的方法。
通过法向量推导出一般直线方程形式下两条直线相交、平行、重合的公式.3.情感态度与价值观：强调用代数研究几何问题的方法，巧妙地把数学直观和数学抽象结合在一起。
通过自主探究，教师引导，提升学生归纳、创新、解决问题的能力，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度本节“两条直线的相交、平行与重合”一是在知识点和结论方面都力图先通过“尝试与发现”让学生自主思考与总结，再在示例的基础上给出。
二是为了体现平面向量的工具性作用，强化了直线的法向量这一内容，并利用向量来直观理解直线与直线的位置关系的内容。
目的是让学生体会几何直观与代数运算之间的融合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学知识的整体理解。
本节课重在培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。
3学生学情分析：课标中说本单元的学习，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面几何中蕴含的数学思想。
重点提升学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。
本节内容是学生学习的一个难点，一是学生的计算能力需要提升比如求两直线的交点坐标，二是运用一般式方程解题时需要对应好系数，再找系数间的关系。
两条直线的交点坐标课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
【例1】 判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点坐标.
(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;
(2)l1:x+3y-1=0,l2:2x+6y-2=0;
(3)l1:6x-2y+3=0,l2:3x-y+2=0.
2 + + 3 = 0,
= -1,
解:(1)解方程组
得
所以交点坐标为(-1,-1),所以直线
综上,该直线必过定点,定点的坐标为(1,-1).
证法三:直线方程可整理为x+y+k(x-y-2)=0,
则直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0过直线l1:x+y=0与直线l2:x-y-2=0的交点.
+ = 0,
= 1,
联立得方程组
解得
= -1.
--2 = 0,
所以直线恒过定点(1,-1).
(2)直线x=2与直线y=3没有交点.( × )
(3)两条直线的交点坐标就是两条直线的方程组成的方程组的解.( √ )
(4)过直线l1:x-y+1=0与直线l2:3x+y-7=0的交点的所有直线可写为参数形式
x-y+1+λ(3x+y-7)=0(其中λ∈R).( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
两直线的位置关系及交点坐标
过两直线交点的直线方程
【例2】 求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行
的直线方程.
3
=- ,
2-3-3 = 0,
5
解法一:由
解得
7
2.3.1 两条直线的交点坐标(PPT)-2024-2025学年高二数学同步备课 (人教A版2019
2.B
3.AC
4.（9，-4）
（五）课堂小结
知识总结
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
学生反思
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
作业布置
完成教材—— 第72页 练习
第1，2，3题
第79页 习题2.3 第1,2,3,9,10题
存在时可视为x＝x0)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
(4)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(令m＝0得x＋y－4＝0，①
令m＝1，得3x+2y-11＝0，②
将①②联立得
x＋y－4＝0
=3
得
=1
3x + 2y − 11＝0
把x＝3，y＝1代入(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0的左边，
得(2m＋1)× 3＋(m＋1)× 1－7m－4＝0,∴点P的坐标为(3,1)．
【巩固练习1】 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是
解析:由
5x + 4y = 2a + 1
,得
2x + 3y = a
3
<a<2.
2
3
答案:-2<a<2
2+3
7
−2
= 7
=
,由
2+3
>0
7
−2
<0
7
高二数学直线的交点坐标与距离公式
y P
o
x
思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点 坐标？
几何元素及关系 点A 直线l 代数表示 A (a, b)
Aa Bb C 0
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
l: A xB yC 0
点A的坐标是方程组的解
vcg49wfv
有脱缰呢！”耿英说：“你们看，这河水看起来也多像一群野马哇，不断地翻滚咆哮着！俺可知道了，为什么爷爷和奶奶叫咱 们站远点儿瞧。咱们离得这么远呢，这看得久了，俺都有些腿发软了呢！”耿老爹指着河面对耿正兄妹三人说：“你们仔细看 看，这黄河是不是比堤岸下面的地面高出一些啊？”三人仔细观看一番，都说好像是这么回事儿呢！耿正奇怪地说：“怎么会 是这样呢？在咱们老家那一带，凡有水流过，地面都会被冲成沟渠的哇！”耿英也说：“是哇，这河水应该比地面低一些才对 哩！”耿直自言自语地念叨：“这是为什么啊？”看到三个娃儿都在用心琢磨，耿老爹很高兴，有意进一步启发他们，就又问： “那你们说，这水为什么不清澈呢？”耿正说：“肯定是里边有泥沙啦！”耿英也说：“所以俺说洗不了衣裳嘛！”耿直撇撇 嘴说：“这个连俺都知道呢！”耿老爹笑了，说：“如果水里边泥沙太多呢？”兄妹三人恍然大悟！耿正脱口而出：“就会在 水下形成很多淤泥！”耿英接着哥哥的话说：“淤泥越积越多，河道就抬高了，河水自然也就高了！”耿直眼珠子滴溜溜一转， 大声说：“那河堤也得越垒越高才能拦住河水哇！”耿老爹满意地笑了，说：“所以啊，人们历来就将黄河称为悬河呢。说的 就是，这是一条悬在地面之上的大河啊！想想看，滔滔的河水在高处流，而人是住在低处的。这样的一条大河一旦决了堤，那 要不像是一群脱缰的野马才怪呢！”兄妹三人听了，吃惊地直倒吸凉气。远远地望到在滔滔波浪中漂过来一个瓜皮小船儿，船 头船尾各站着一个人在用力地撑篙摇橹。再仔细看时，发现船上还坐着两个人，小小的船舱里还放了一些什么东西。一会儿， 小船儿飘荡过来了，在距离耿家父子四人百步之外靠西的一个简易小渡口上，站在船尾的人用力撑住小船。船上坐着的两个人 特别麻利地跳上了岸，船头摇橹的人弯腰拿起船舱里的东西递给他们。然后，瓜皮小船儿就掉转船头向南岸飘荡而去了。再看 那两个上了岸的人，他们已经背起东西快步往西走去了。远远望去，那里好像也有一个小村庄呢。耿直吃惊地瞪大眼睛说： “俺的娘耶，他们怎么这么大的胆子哇，就不怕掉到水里！这么大的水，还翻滚着呢。这要掉进去了，肯定就没命了哇！”耿 老爹说：“住在这黄河边儿上的人，没有一个不会游水的。即使是不小心掉进去了，他们也会游上岸的。只要不是发生就像决 堤那样的大灾难，他们都不会有事儿。不像俺们这些旱鸭子，一见了深水就害怕！”父子四人随便聊着继续转悠一会儿。看看 日头已经快正午了，耿老爹说：“咱们回去哇，不可以让爷爷奶奶久等的。你们如果还没有玩儿够，咱们下午再出来哇！”耿 直说：“俺可不想再出来玩儿了。除了这让人看
高二平面直角坐标系知识点
高二平面直角坐标系知识点在高二数学课程中，平面直角坐标系是一个非常重要的概念。
它为我们解决平面几何问题提供了方便和便利。
本文将详细介绍高二平面直角坐标系的相关知识点。
一、平面直角坐标系的概念平面直角坐标系由两条相互垂直的直线构成，一条被称为x轴，另一条被称为y轴。
x轴和y轴的交点被称为原点O，它是坐标系的起点。
坐标系上的点可以用有序数对（x，y）表示，其中x为点在x轴上的坐标，y为点在y轴上的坐标。
二、平面直角坐标系中的点与坐标在平面直角坐标系中，每个点都有唯一的坐标。
点的坐标可通过垂直于轴的线段的长度来表示。
对于任意点A(x，y)，其中x为点A在x轴上的坐标，y为点A在y轴上的坐标。
例如，点A(3，4)表示x轴坐标为3，y轴坐标为4的点A。
三、平面直角坐标系中的距离公式在平面直角坐标系中，我们可以通过距离公式计算两个点之间的距离。
对于两个点A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)，它们之间的距离d可以使用以下公式表示：d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
四、平面直角坐标系中的图形方程在平面直角坐标系中，各种图形可以通过方程来表示。
例如，直线的方程通常有y = mx + b的形式，其中m表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。
圆的方程可以写成(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)表示圆心的坐标，r表示半径。
五、平面直角坐标系中的线段中点公式在平面直角坐标系中，我们可以通过线段中点公式计算线段的中点坐标。
对于线段AB，其中A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)，它的中点M的坐标可以使用以下公式表示：M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。
六、平面直角坐标系中的斜率公式在平面直角坐标系中，我们可以通过斜率公式计算两点之间的斜率。
对于两点A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)，它们之间的斜率k可以使用以下公式表示：k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
两条直线的交点坐标两点间的距离公式同步作业高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
十四两条直线的交点坐标两点间的距离公式(20分钟·40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值可以是 ( )A.-24B.6C.-6D.242.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4)三点,则的值为( )A. B. C.3 D.23.若直线3x+2y-2m-1=0与直线2x+4y-m=0的交点在第四象限,则实数m的取值范围是 ( )A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C. D.4.设A(-2,3),B(1,2),若直线ax+y-1=0与线段AB相交,则a的取值范围是( ) A.[-1,1] B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,则P的坐标是.6.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为,经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.三、解答题7.(10分)已知三条直线l1:x+y-3=0,l2:3x-y-1=0,l3:2x+my-8=0经过同一点M.(1)求实数m的值.(2)求点M关于直线l:x-3y-5=0的对称点N的坐标.【加练·固】已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由.(15分钟·30分)1.(5分)已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点 ( )A. B.C. D.2.(5分)△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( )A. B.1+C.1+D.2-3.(5分)已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为( )A.5B.C.5D.24.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-3,3),B(-1,1),若直线x-y-m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.5.(10分)已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.十四两条直线的交点坐标两点间的距离公式(20分钟·40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值可以是 ( )A.-24B.6C.-6D.24【解析】选BC.2x+3y-m=0在y轴上的截距为,直线x-my+12=0在y轴上的截距为,由=得m=±6.2.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4)三点,则的值为( )A. B. C.3 D.2【解析】选D.由两点间的距离公式,得|AC|==4,|CB|==2,故==2.3.若直线3x+2y-2m-1=0与直线2x+4y-m=0的交点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C. D.【解析】选D.联立两直线的方程得解得因为交点在第四象限,所以解得m>-.4.设A(-2,3),B(1,2),若直线ax+y-1=0与线段AB相交,则a的取值范围是( ) A.[-1,1] B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】选C.直线ax+y-1=0经过定点P(0,1),k PA==-1,k PB==1.因为直线ax+y-1=0与线段AB相交,所以-a≥1或-a≤-1,则a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,则P的坐标是.【解析】因为点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,所以设P(a,0),则=,解得a=1.所以P(1,0).答案:(1,0)6.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为,经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.【解析】联立解得所以两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点坐标为(3,-2);当直线l过原点时,直线方程为y=-x,即2x+3y=0,当直线l不过原点时,设直线方程为x+y=a,则3-2=a,即a=1.所以直线方程为x+y-1=0.所以经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y=0或x+y-1=0.答案:(3,-2) 2x+3y=0或x+y-1=0三、解答题7.(10分)已知三条直线l1:x+y-3=0,l2:3x-y-1=0,l3:2x+my-8=0经过同一点M.(1)求实数m的值.(2)求点M关于直线l:x-3y-5=0的对称点N的坐标.【解析】(1)解方程组得交点M(1,2).将点M(1,2)的坐标代入直线l3:2x+my-8=0,得m=3.(2)方法一:设点N的坐标为(m,n),则由题意可得解得所以对称点N的坐标为(3,-4).方法二:由(1)知M(1,2),所以,过M且与x-3y-5=0,垂直的直线方程为:y-2=-3(x-1),即3x+y-5=0.解方程组得交点为H(2,-1),因为M,N的中点为H,所以,x N=2×2-1=3,y N=2×(-1)-2=-4,所以对称点N的坐标为(3,-4).【加练·固】已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由.【解析】不能.理由如下:因为k AB==2,k BC==2,即k AB=k BC,所以A,B,C三点共线,所以A,B,C,D四点不能围成四边形.(15分钟·30分)1.(5分)已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点 ( )A. B.C. D.【解析】选D.由2a+b=1,得b=1-2a,代入直线方程ax+3y+b=0中,得ax+3y+1-2a=0,即a(x-2)+3y+1=0,令解得所以该直线必过定点.2.(5分)△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( )A. B.1+C.1+D.2-【解析】选A.AC:+=1,即3x+2y-6=0.由得,因为S△ABC=,所以×a×=,得a=或a=-(舍去).3.(5分)已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为( )A.5B.C.5D.2【解析】选D.因为两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,所以点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0同侧,设点A关于直线x-y+1=0的对称点为C(a,b),则解得a=4,b=-2,所以C(4,-2),所以|PA|+|PB|的最小值为:|BC|==2.4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-3,3),B(-1,1),若直线x-y-m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.【解析】设P(x,x-m),因为|PA|=|PB|,所以|PA|2=3|PB|2,所以(-3-x)2+(3-x+m)2=3(-1-x)2+3(1-x+m)2,化简得2x2-2mx+m2-6=0,则Δ=4m2-4×2(m2-6)≥0,解得-2≤m≤2,即实数m的取值范围是[-2,2].答案:[-2,2]5.(10分)已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.【解析】若l与x轴垂直,则l的方程为x=1,由得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,所以x=1为所求;当l不与x轴垂直时,可设其方程为y+1=k(x-1). 解方程组得交点B(k≠-2).由已知=5,解得k=-.所以y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0.综上可得,所求直线l的方程为x=1或3x+4y+1=0.。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式首先，我们假设有两条直线分别为L1和L2，它们可以表示为以下形式的参数方程：L1:P1=P0+t1*d1L2:P2=P0+t2*d2其中，P1和P2分别是L1和L2上的两个点，P0是直线的起点，d1和d2是直线的方向向量。
t1和t2是参数，用来确定直线上的点的位置。
要求两条直线的交点坐标，我们需要找到使L1和L2重合的参数值t1和t2、我们可以通过两个参数方程组相等来解这个方程组：P1=P2=>P0+t1*d1=P0+t2*d2化简上述方程，我们可以得到：P0+t1*d1-P0=P0+t2*d2-P0即：t1*d1=t2*d2这个方程告诉我们，d1和d2这两个方向向量成比例，它们的比例系数即为两个参数t1和t2的比值。
所以，我们可以将其表示为：d1=k*d2其中，k为比例系数。
在上述方程中，我们可以用矩阵的形式来表示方程：[d1,-d2]*[t1;-t2]=0其中，[d1,-d2]和[t1;-t2]分别是一个2x1的矩阵和一个2x1的列向量。
我们可以将上述方程拓展为一个矩阵方程：[A]*[x]=0其中，[A]是一个2x2的矩阵，其元素为[d1,-d2]。
[x]是一个2x1的列向量，其元素为[t1;-t2]。
根据行列式的定义，只有当[A]的行列式为0时，方程[A]*[x]=0有非零解。
计算[A]的行列式可得：det([A]) = ad1 - bd2对于两条直线相交的情况，其中ad1 - bd2不等于0。
形式上，我们可以将[A]*[x]=0表示为：[U]*[S]*[V^T]*[x]=0其中，[U]和[V]是正交矩阵，[S]是一个对角矩阵，其对角线元素为奇异值。
通过奇异值分解，我们可以得到：[U]*[S]*[V^T]=[R]*[T]其中，[R]是一个旋转矩阵，[T]是一个平移矩阵。
我们可以将解表示为：[x]=[V]*[T[2,:]]其中，[T[2,:]]表示[T]矩阵的第二行。
人教版高中数学必修2第三章直线的交点坐标与距离公式同步教案3
(4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系方程：当斜率k一定而m变动时，y＝kx＋m表示斜率为k的平行直线系，y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线系(不含直线x＝x0)．
在求直线方程时，可利用上述直线系设出方程，再利用已知条件求出待定系数，从而求出方程．
例题精讲
【题型1、两直线的交点问题】
【例1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
【方法总结】1.方程组的解的组数与两条直线的位置关系
2．两条直线相交的判定方法：
(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；
(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．
特别提醒：若两直线的斜率一个不存在，另一个存在，则两直线一定相交．
11。
2.3.1 两条直线的交点坐标024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
证明 将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
所以无论a为何值，直线总经过第一象限.
课堂小结
回顾本节课的探究过程，说一说你学到了什么？
求相交直线交点坐标
解方程组
判断两条直线的位置关系（相交、平行、重合）
解: 解方程组
∴l1与l2的交点是M(- 2，2)
x
y
M
-2
2
0
l1
l2
练1
追问1：你能用直线的斜率判断直线的位置关系吗？
追问2：能否用斜率判断两对直线的位置关系？
追问3：如何从直线方程的一般式中确定斜率？
解：(1) 将两条直线方程化为斜截式：
追问2：能否用斜率判断两对直线的位置关系？
斜率相等，截距不等，则 平行.
解的个数与交点个数的对应
1.知识清单：(1)两条直线的交点.(2)直线系过定点问题.2.方法归纳：消元法、直线系法.3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊.
课堂小结
随堂练习
1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为A.(3,2) B.(2,3)C.(－2，－3) D.(－3，－2)
√
1
2
3
4
随堂练习
2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点A.(－3，－1) B.(－2，－1)C.(－3,1) D.(－2,1)
√
解析 直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
∴直线l恒过定点(－3,1).故选C.
随堂练习
3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________.
直线与方程知识点归纳高二
直线与方程知识点归纳高二直线与方程知识点归纳直线和方程是高中数学中的重要知识点，它们广泛应用于几何学和代数学中。
了解直线和方程的基本概念、性质和应用，对于深入理解数学知识和解决实际问题非常重要。
本文将对直线与方程的相关知识进行归纳和总结。
一、直线的定义和性质直线是几何中最基本的图形之一，它由一系列无限延伸的点组成，并且任意两点都能确定一条直线。
直线有以下性质：1. 直线的斜率：直线的斜率是描述其倾斜程度的一个值，可以表示为一个数值或者一个代数表达式。
斜率可以用于计算直线上两点间的变化率，也可以用于判断直线的平行性和垂直性。
2. 直线的截距：直线与坐标轴的交点称为截距，分为x轴截距和y轴截距。
两个截距可以用来确定直线的位置和方程。
3. 直线的方程：直线可以通过方程来表示，常见的直线方程形式有点斜式、一般式、截距式等。
其中点斜式方程是通过直线上的一点和斜率来确定的，一般式方程是通过直线的系数和常数项来确定的，截距式方程是通过直线与坐标轴的截距来确定的。
二、方程的基本概念和性质方程是用来表示等式的数学语句，包括代数方程、几何方程等。
在数学中，方程有以下重要概念和性质：1. 未知数和已知数：方程中的未知数是需要求解的变量，已知数是已知的常数或者已知的变量。
通过方程可以求解出未知数的值，从而使等式成立。
2. 方程的解：一个方程可以有一个或多个解，解是使得方程成立的未知数的值。
解可以通过代入法、消元法、因式分解等方法求解。
3. 一元方程和二元方程：一元方程只有一个未知数，例如x+3=7；二元方程有两个未知数，例如x+y=10。
三、直线与方程的关系直线和方程是密切相关的，直线可以表示为一个方程，并且方程可以描述直线的各种性质和特征。
下面介绍几个常见的与直线和方程相关的概念和定理：1. 直线的平行和垂直关系：如果两条直线的斜率相等，那么它们平行；如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们垂直。
2. 直线的交点：两条直线的交点是使得两个方程同时成立的点，可以通过联立方程求解来确定交点的坐标。
高二数学 两条直线的交点坐标2
P(x,y) x
(1)点（1，5）在直线上吗？ (2)点（2，7）在直线上吗？
(3)点（3，8）在直线上吗？
直线的方程就是直线上每一点坐标满足 的一个关系式
两条直线的交点
l1 : A1x B1 y C1 0
l2 : A2 x B2 y C2 0
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
画图 两点确定一条直线
练习P114 1（1）
注意画直线的方法： 两点确定一条直线
两条直线位置关系的判定
yl l 1 2 1 x2
y
l2
1
l1
//
l2
kb11
k2 b2
l1
l1 l2 k1 k2 1
2
x
P114 例2（1）
（1） l1 : x y 0
解：解方程组
l2 : 3x 3y 10 0
0 0
两条直线的交点
几何元素及关系 点A 直线l
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
代数表示
A(a, b)
l : Ax By C 0
A的坐标满足方程
l : Aa Bb C 0
A的坐标是方程组的解
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
P113 例1
l1 : 3x 4 y 2 0 l2 : 2x y 2 0
Q k1 k2 l1和l2相交
x y 0 3x 3y 10 0 得xຫໍສະໝຸດ 5 3y5 3
直线l1与l2的交点是
M (5, 5) 33
P114 例2（2）
（2）l1 : 3x y 4 0 l2 : 6x 2 y 1 0
直线的交点坐标与两点间的距离公式及点与直线的对称问题课件+-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册+
[母题探究]
本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
3
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－4，x NhomakorabeaO
l
类型4
【例4】
对称问题(选讲内容)
已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
[解] 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点
在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
y′＋5
x′＋4
＝3×
＋3，
2
2
即 y′－5
×3＝－1，
x′－4
∴P′点坐标为(－2,7)．
2
3 x 4 y 2 (2 x y 2) 0
LOGO
注：此直线系方程
少一条直线l2
y
表示什么图形 ?图形有何特点 ?
=0时,方程为3x+4y-2=0
=1时,方程为5x+5y=0
=-1时,方程为x+3y-4=0
(-2，2)
x
O
上式整理为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
，得
解1: 解方程组
2
6 x 4 y 1 0
3
直线2 x 2 y 1 0与6 x 4 y 1 0 的交点坐标为( , 2).
2
y0
x0
直线l 的方程为
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2
k1 k2 l1 // l2 b1 b2
l1
y
l2
1
2
l1 l2 k1 k2 1
x
P114 例2（1）
（ 1）
l1 : x y 0
k1 k2
l2 : 3x 3 y 10 0
解：解方程组
l1和l2相交
得
5 x 3 y 5 3
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
两条直线的交点
几何元素及关系 代数表示
点A
直线l
A(a, b) l : Ax By C 0
A的坐标满足方程 l : Aa Bb C 0 A的坐标是方程组的解
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
直线上的点
y l
2x y 3 0
(1)点（ 1， 5）在直线上吗？
P(x,y) x
(2)点（2， 7）在直线上吗？
(3)点（3， 8）在直线上吗？
直线的方程就是直线上每一点坐标满足 的一个关系式
两条直线的交点
l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
x y 0 3x 3 y 10 0
5 5 直线l1与l2的交点是 M ( , ) 3 3
P114 例2（2）
（2）l 解：
1 : 3x y 4 0
l2 : 6 x 2 y 1 0
k1 k2 3
所以l1//l2
另一方面
b1 b2
3x y 4 0 6 x 2 y 1 0
；
uyd19vau
了！”“还有，榆皮毛拉絮如若浸泡时间过长，使用起来并无大碍，尽可以放心地早早泡上。因此，每次使用完了上一桶石灰 膏中加的拉絮，就应该把下一桶石灰膏中准备加的拉絮泡上。”小青听到耿老爹如此说，赶快又要打开一小包榆皮毛拉絮。耿 老爹笑着说：“要是上午，这样做是对的；但我们今儿个下午也只能上完这一盆儿石灰泥了，所以现在就不要泡了，到晚上临 睡以前再泡吧！”小青不好意思地笑了。耿老爹站起来舒展一下腰背，爽快地说：“咱们现在就开始干吧，先亮最西边那一间 的顶棚！”于是，耿老爹和耿正把多半盆搅拌好的石灰泥合抬到最西边新屋的地中央。然后，耿老爹站到放在北边靠近墙角处 的高架长凳上，对小青说：“青丫头，你把水盆边上搭的那块毛巾浸满水递给我，我得先把眼前的这一片吊顶竹帘子充分打湿 了才能上面呢。”接过浸满水的毛巾，耿老爹一边用力地摩擦吊顶的竹帘子，一边说：“屋内上面必须做得非常仔细，尤其顶 棚的上面操作是非常要功夫、要手力的。正儿，你以前没有做过，还是先给我打下手吧，用泥托子给我递石灰泥就行了。等到 墙壁上面时，你倒是可以试着干干的。”“噢！”耿正点点头，用小铲子往泥托子上铲了一些石灰泥，抬手递给爹；同时接过 湿毛巾交给小青。耿老爹对耿正说：“上面是个速战速决的活儿，越短期内完成越好。你估摸着我快要用完这个泥托子上的石 灰泥了，就早点儿给我装好另一个泥托子上的石灰泥！”耿正再次点点头说：“我知道了！”大家都屏息抬头看着。只见耿老 爹左手端着泥托子，右手紧紧抓着泥叶子。每用泥叶子铲上一些石灰泥时，就迅速地用力抹在已经打湿了的吊顶竹帘子上；抹 几次后，再返回来将刚抹好那一片用力打平；如果发现有不平整的地方，快速地再加一点石灰泥反复用力抹平几下。很快，泥 托子上的石灰泥全部用完了，他就把空的泥托子递给小青，耿正赶快把另一个已经装上石灰泥的泥托子递给爹。耿英看到打湿 了的吊顶竹帘子快抹完了，赶快把湿毛巾再一次浸足了水。小青又将浸足了水的毛巾递给耿老爹面前的顶棚上完了，耿老爹就 跳下高架长凳，舒展一下腰身；然后往前面挪一挪高架长凳，马上再上去了继续操作放石灰泥的盆儿挡手了，耿正就挪一挪如 此，顶棚上面紧张而有条不紊地进行着。耿直个子还小，帮不了其他的忙，就不断地用木棍儿搅拌着盆里的石灰泥。一间新屋 的顶棚上好后，还剩了一些石灰泥，耿老爹就把它们上到了后墙上。他说：“顶棚必须一次上完，但墙壁，尤其是后墙，是可 以分几次上的。因为墙壁上的接缝好处理，尤其是后墙上，稍微有一些瑕疵也问题不大。等以后一粉刷，就什么也看不出来 了。”搅拌好的石灰泥全部用完后，正好上了一间新
所以l1//l2
无解 直线l1与l2的无交点
P114 例2（3）
（3） l1 :
3x 4 y 5 0
l2 : 6x 8 y 10 0
∵
l2 : 3x 4 y 5 0
∴直线l1与l2重合
【当堂训练】
练习P114 T2
习题P120 T2、4
作业
P120 A组 T1、3、 5
Байду номын сангаас
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
P113 例1
l1 : 3x 4 y 2 0 l2 : 2x y 2 0
画图
两点确定一条直线
练习P114 1（1）
注意画直线的方法： 两点确定一条直线
两条直线位置关系的判定
yl l 2 1x
两条直线的交点坐标
【目标导学】 1、理解两条直线的交点的坐标就是两 条直线方程的解。 2、理解两条直线有无交点就是方程组 有无实数解。 3、会求两直线交点的坐标。 4、会根据方程来判断两条直线的位置 关系。
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【主体自学】
看书p112-114
【排忧解惑】