专题09 函数与方程-高考全攻略之备战2018年高考数学(文)

考点09函数与方程考纲原文结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数.一、函数的零点 1．函数零点的概念对于函数(),y f x x D =∈，我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f (x )=x 2＋1，由于方程x 2＋1=0无实数根，故该函数无零点．3．二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点)4．零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 5．常用结论(1)若连续不断的函数()f x 是定义域上的单调函数，则()f x 至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数()()()F x f x g x =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与()y g x =的图象有交点；(4)函数()()F x f x a =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与y a =的图象有交点⇔{|()}a y y f x ∈=，其中a 为常数.二、二分法 1．二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ； ③计算f (c )；a ．若f (c )=0，则c 就是函数的零点；b ．若f (a )·f (c )<0，则令b =c (此时零点x 0∈(a ，c ))； c ．若f (c )·f (b )<0，则令a =c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a −b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④. 【速记口诀】定区间，找中点；中值计算两边看， 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．考向一函数零点（方程的根）所在区间的判断函数零点的判定方法(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数()y f x =必须在区间[a ，b ]上是连续的，当()()f a f b ⋅0<时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．(2)方程法：判断方程()0f x =是否有实数解．(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如()()()f x g x h x -=，作出()y g x =和()y h x =的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点.典例1 函数21()ln 1f x x x =+-的零点所在的大致区间是 A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(1,2)与(2,3)【答案】B【规律总结】判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．1．方程log 3x ＋x =3的解所在的区间为A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)考向二函数零点个数的判断判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．学%科网(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.典例2函数f (x )=2x ＋lg(x ＋1) −2的零点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B解法二：在同一坐标系中作出h (x )=2−2x 和g (x )=lg(x ＋1)的图象，如图所示，由图象可知h (x )=2−2x 和g (x )=lg(x ＋1)有且只有一个交点，即f (x )=2x ＋lg(x ＋1)−2与x 轴有且只有一个交点，即函数f (x )仅有一个零点．2．函数223,0()=2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤⎨-+>⎩的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3考向三函数零点的应用问题高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略． 1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：①求出零点，直接比较大小； ②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.典例3对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩,设()21()(4)f x x x =⊗+-，若函数()y f x k =+恰有三个零点，则实数k 的取值范围是A ．(−2,1)B ．[0,1]C ．[−2,0)D ．[−2,1)【答案】D【解析】由新定义可得2224,(1)(4)1()1,(1)(4)1x x x f x x x x ⎧+--+≥⎪=⎨---+<⎪⎩，即24,23()1,23x x x f x x x +≤-≥⎧=⎨--<<⎩或.其图象如图所示，所以由()y f x k =+恰有三个零点可得，−1<−k ≤2，所以−2≤k <1.故选D.3．已知函数()()()2,ln ,1x f x x g x x x h x x =+=+=的零点分别为123x x x ,,，则123x x x ,,的大小关系是__________．1．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)＜0，f (1)＞0，f (2)＞0，则下列说法正确的是A ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 2．函数1()ln 1f x x x =--的零点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．33，若0x 是方程()0f x =的根，则0x ∈ABCD 4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)=f (x )，且x ∈[0,1]时，f (x )=x ，则方程f (x )=log 3|x |的解有 A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．多于4个5．已知三个函数()()()32,1,log xf x xg x xh x x x =+=-=+的零点依次为,,a b c ，则 A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b <<D ．a c b <<6．若函数f (x )=x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)=x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b =0的不同实根个数是 A ．3 B ．4 C ．5D ．67．已知函数2,0(),0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩，若函数g (x )=f (x )−m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为A ．1[,1]2-B ．1[,1)2-C ．1(,0)4-D ．1(,0]4-8．已知12,x x 是函数()2sin cos f x x x m =+-在[]0,π内的两个零点，则()12sin x x += A ．12 B ．35 C ．45D ．349．若函数12)2()(2+++=ax x a x f 有零点，但不能用二分法求其零点，则a 的值为______．10．已知函数()3f x x x =+，函数()g x 满足()()20g x g x +-=，若函数()()()1h x g x f x =--有10个零点，则所有零点之和为___________．1．（2017年高考新课标Ⅲ卷）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．12．（2015年高考安徽卷）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A ．y =ln x B ．21y x =+ C ．y =sin xD ．y =cos x3．（2015年高考天津卷）已知函数222()(2)2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,,，函数3())(2g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．54．（2015年高考湖北卷）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.5．（2017年高考江苏卷）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是． 6．（2016年高考山东卷）已知函数2()24x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩||,,，其中0m >．若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_________.1．【答案】C2．【答案】C 【解析】由2230x x x ≤⎧⎨+-=⎩得3x =-，又02ln 0x x >⎧⎨-+=⎩得x =e 2，∴f (x )的零点个数为2.3．【答案】123x x x <<【解析】令x ＋2x =0，得2x =−x ；令x ＋ln x =0，得ln x =−x ；学科*网 在同一坐标系内画出y =2x ，y =ln x ，y =−x 的图象．如图可知x 1<0<x 2<1.令()10h x x ==，则201=12+=，即3312x =>.所以123x x x <<.1．【答案】C【解析】由零点存在性定理易知C 正确. 2．【答案】C【解析】如图所示，易知y =ln x 与11y x =-的图象有两个交点．3．【答案】B4．【答案】C【解析】函数f (x )满足f (x ＋2)=f (x )，则函数f (x )是以2为周期的周期函数，在同一坐标系中画出函数y =f (x )与函数y =log 3|x |的图象，如图所示：由图可知函数y =f (x )与函数y =log 3|x |的图象共有4个交点，即方程f (x )=log 3|x |的解有4个，故选C. 5．【答案】D【解析】()()(),,f x g x h x 均为R 上的增函数，有唯一零点，因为所以10a -<<.由()0g x =可得1x =，所以1b =.因为()11210,110333h h ⎛⎫=-+=-<=> ⎪⎝⎭，所以113c <<，所以a c b <<，故选D. 6．【答案】A若x 2＜x 1，如图所示：由图象可知1()f x x =有2个解，2()f x x =有1个解，因此23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为3.【名师点睛】本题的关键是把求方程23(())2()0f x af x b ++=的根的个数转化成求解方程1()f x x =或2()f x x =的根的个数．7．【答案】C【解析】由g (x )=f (x )−m =0得f (x )=m ，作出函数y =f (x )的图象．当x >0时，()221()21144f x x x x --=≥--=，所以要使函数g (x )=f (x )−m 有三个不同的零点，则14-<m <0，即m ∈1(,0)4-，故选C. 8．【答案】C9．【答案】2或−1【解析】二次函数不能用二分法求零点，则244(2)0,2a a a D =-+==或1a =-．10．【答案】10【解析】易知函数()f x 为奇函数，其对称中心为(0,0)，所以函数(1)y f x =-的对称中心为(1,0)．由函数()g x 满足()()20g x g x +-=，知函数()g x 的对称中心为(1,0)，函数()()()1h x g x f x =--有10个零点，即函数()y g x =与(1)y f x =-的图象有10个交点，并且关于点(1,0)对称，所以函数()()h x g x =−()1f x -有10个零点，则所有零点之和为10．1．【答案】C当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-， 若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【解析】选项A ：x y ln =的定义域为(0,+∞)，故x y ln =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：12+=x y 是偶函数，但012=+=x y 无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：x y sin =是奇函数，故C 错；选项D ：x y cos =是偶函数，且0cos ==x y 2x k π⇒=+π，k ∈Z ，故D 项正确. 3．【答案】A【解析】方法一：分别画出函数(),()f x g x 的草图，观察发现有2个交点.学/科网方法二：当0x <时，22x ->,所以()22f x x x =-=+,()22f x x -=,此时函数()()f x g x -=()()2231f x f x x x +--=+-的小于零的零点为x =; 当02x ≤≤时，()22f x x x =-=-,()222f x x x -=--=,函数()()23f x g x x x -=-+-= 1-无零点;当2x >时, ()()22f x x =-,()2224f x x x -=--=-,函数()()()224f x g x x x -=-+--2355x x =-+大于2的零点为x =综上可得函数()()y f x g x =-的零点的个数为2.故选A.4．【答案】2【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2q x p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2n x m n m m =∈≥N ，且,m n 互质， 因此10nm q p=，则10()n m q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点， 因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．6．【答案】(3，＋∞)【解析】函数()f x 的大致图象如图所示，根据题意知只要24m m m >-即可，又m ＞0，解得m ＞3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．。