2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第九讲指数与指数函数

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2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第九讲指数与指数函数学生

指数与指数函数一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．下列结论中正确的个数是( )①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②n a n ＝|a |；③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．3 2．(36a 9)4·(63a 9)4(a ≥0)的化简结果是( ) A ．a 16 B ．a 8C ．a 4D ．a 23．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝4B ．a ＝1C ．a ＝4D ．a >0，且a ≠14．在平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x 图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，实数a 、b 、c 满足f (a )f (b )f (c )<0(0<a bC ．x 0<cD ．x 0>c二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知不论a 为何正实数，y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．8．函数y ＝(13)x －3x 在区间[－1,1]上的最大值为________． 9．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．10．设f (x )＝e x ＋e －x 2，g (x )＝e x －e －x2，计算f (1)g (3)＋g (1)f (3)－g (4)＝________，f (3)g (2)＋g (3)f (2)－g (5)＝________，并由此概括出关于函数f (x )和g (x )的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是________．三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围．13．已知函数f (x )＝2x －12|x |(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．。

2012高考数学一轮复习--指数与指数函数 ppt

(4)(ab)r =arbr
(a>0, b>0, r∈Q).
积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方！
y=ax
指数函数的一般结构为 y = a x
①
②
③
① ②
①
故 a>1 不适合题意！
②
3 综上所求a的取值范围为[ ,1 ） 3
1)理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索、理解指数函数的单调性和特殊点; 2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，且掌握幂的运算。
1 2
1 2
1 2
1 1 2 3
] (xy)
1 2
1 2
=(xy2x 2 y- 2) 3 x 2y 2
1 2 1 2
1
1 1
1
1
=(x y ) x y =x y x y =xy. (3)由(-a) 知 -a≥0, ∴a-1<0. ∴原式=(1-a)(1-a)-1(-a) 4 =(-a) 4 .
1 1
1 1 2 2
1 2
2.已知 2x+2-x=5, 求下列各式的值: (1) 4x+4-x (2) 8x+8-x 解: (1) 4x+4-x=(2x+2-x)2-22x · -x 2 =25-2=23; (2) 8x+8-x=(2x+2-x)3-32x · -x(2x+2-x) 2 =125-15=110. 1 1 x x 1 4 2 2 1）已知x x 3, 求 2 的值； 2 x x 8 23 x 2 3 x 2）若x log 3 4 1, 求 x 的值； x 2 2
3.已知函数 f(x)=3x 且 f(a+2)=18, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)确定g(x) 的增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.

高考数学一轮复习学案第9讲对数函数（原卷版）

第9讲对数函数（原卷版）考点内容解读要求常考题型 1．对数函数的图像和性质理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式．两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做。

2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为，值域为．（2）图象：由于对数函数是指数函数的，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。

高考数学考点回归总复习《第九讲指数与指数函数》课件新人教版

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(2)由函数解析式可知定义域为R, ∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5, 令t=2x,则t>0,f(t)=t2-2t-5,
故f(t)=(t-1)2-6.
又∵t>0,∴当t=1时,ymin=-6, 故函数f(x)的值域是[-6,+∞). 由于t=2x是增函数, ∴要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间实际上是求f(t)的减区间.
x2
1 1 向左平移 2个单位 y x y 2 2 另一部分y 2 x 2 x 2 的图象. 由下列变换可得到 :
向左平移 2个单位 y 2 x y 2x 2 .
;
29
1 如图为函数y 2
0.9 1.8 0.48 1.44
1.5
所以y1 y3 y 2 , 选D.
答案:D
13
2x 3.函数y x x 0 的值域为( 2 1 1 . A. 2 B.(1, ) 1 C. ,1 2 1 D. , (1, ) 2
3.有理指数幂的运算性质设a>0,b>0,则 aras=ar+s(r,s∈Q);
(ar)s=ars(r,s∈Q);
(ab)r=arbr(r∈Q). 4.指数函数的定义形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数.
6
5.指数函数的图象与性质
y=ax 图象
a>1
0<a<1
定义域 (-∞,+∞)
质来运算.②结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既
有分母又含有负指数.
21
【典例1】化简下列各式 : (1)(0.027)

2023年新高考数学大一轮复习专题09 指数与指数函数(解析版)

专题09 指数与指数函数【考点预测】 1.指数及指数运算 (1)根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数. 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠； ③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈； ③()(0m m m ab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈． 2.指数函数【方法技巧与总结】 1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()x y a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．【答案】18 【解析】【分析】根据指对数幂的计算公式求解即可【详解】)()2ln321e 1lg 4lg 0.25431lg 40.25184-⎛⎫+-++=+-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：18例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________. 【答案】[)1,+∞ 【解析】【分析】将原不等式变为1631101010x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】由10631xxx--≥，可得1631101010x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为163101010,,xxxy y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⎭=均为R 上单调递减函数则()f x 在R 上单调逆减，且()11f =，()()1f x f ∴≤， 1x ∴≥故不等式10631x x x --≥的解集为[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =【答案】D 【解析】【分析】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，根据甲计算出常数c ，根据乙计算出常数b ，再将,b c 代入关于x 的方程220x x b c -+⋅+=解出x 即可【详解】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，甲写错了常数b ，所以14和174是方程20t ct m ++=的两根，所以1179442c ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，乙写错了常数c ，所以1和2是方程20t nt b ++=的两根，所以1b =⨯22=，则可得方程29202t t -+=，解得12142,t t ==，所以原方程的根是1x =-或2x = 故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（） A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2-D ．[)()2,02,-⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答. 【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+，则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，()4322x xf x =-⨯+，当0x <时，0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+，而当0x ≥时，()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，0(4322)6x x x --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩，变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤，所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【答案】（1）99π+；（2）ab；（3）12a . 【解析】【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案. 【详解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a【答案】C 【解析】【分析】依据图像列不等式求得m a 、的取值范围，即可进行选择【详解】由图像可知，当0x >时，()0f x <，则0x >时，2()0x m +>，则0m ≥，又由()f x 图像不关于原点中心对称可知0m ≠，则0m > 则0x >时，0xxa a--<，即210x xa a -<，则01a <<故选：C例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为|1|2x y =-与y m =只有一个交点，画出|1|2x y =-的图象，应用数形结合法求m 的取值范围. 【详解】由题设，|1|2x y =-与y m =只有一个交点，又|1|2x y =-的图象如下：∴m ∈{}[)01,∞⋃+. 故选：C.例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+ D ．()f x 是增函数【答案】A 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；求出函数()f x 的值域，可判断B 选项；解不等式()12f x >可判断C 选项；利用指数型函数的单调性可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，且()1002f =≠，所以，函数()f x 的图象不关于原点对称，A 错；对于B 选项，因为e 11x -+>，所以，()()10,11e xf x -=∈+，B 对；对于C 选项，由()111e 2xf x -=>+可得1x e -<，则0x -<，解得0x >，C 对；对于D 选项，对任意的R x ∈，1e 1x y -=+>，且函数1e x y -=+在R 上单调递减，故函数()f x 是增函数，D 对. 故选：A.例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】首先判断出()f x 的对称性，求得()0f x <的解集，从而求得()250xf -<的解集.【详解】因为()1f x -为定义在R 上的奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0-对称，且()10f -=，又()10f =，所以()30f -=．依题意可得，当31x -<<-或1x >时，()0f x <．所以()250xf -<等价于3251x -<-<-或251x ->，解得12x <<或2log 6x >．故选：D例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92##4.5【解析】【分析】根据指数函数过定点的求法可求得()1,2A ，代入直线方程可得()122m n -+=，根据()()1211212121m n m n m n ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ，又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭19522⎛ += ⎝（当且仅当()2121m nm n-=-，即53m =，23n =时取等号）， 121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞ 【解析】【分析】设()20,x t =∈+∞，可转化为()2210t a t +-+=有两个正解，进而可得参数范围.【详解】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点，即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞，故答案为：()4,+∞.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x xf x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【答案】(1)1k =- (2)72【解析】【分析】（1）由(0)0f =求得参数值，再检验即可；（2）由函数的单调性得(1)15()4f n f m =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入可求得,m n ．(1)由()f x 是奇函数得(0)10f k =+=，1k =-，此时()22x x f x -=-是奇函数； (2)由复合函数的性质得1()2222x x xxf x -=-=-在定义域内是增函数，所以(1)15()4f nf m =⎧⎪⎨=⎪⎩，13222n =-=，115224m m -=，24m =或124m=-（舍去）， 2m =，所以37222m n +=+=．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A 【解析】【分析】分析可知()2xf x =，由已知可得2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，解得2x m ≤对任意的[],1x m m ∈+恒成立，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =，对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2)[]4,4- 【解析】【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-．当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min 424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去．综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21x f x a a =-+为实常数). （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值. 【答案】（1）函数()f x 是奇函数，理由见解析；（2）1. 【解析】【分析】（1）若函数()f x 为奇函数，由奇函数的定义可求得a 的值；又当32a ≠时()()11f f -≠，且()()11f f -≠-，函数()f x 是非奇非偶函数；（2）对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数()t ϕ，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u 的最大值．【详解】解：（1）当32a =时()()3322302121xx f x f x a a -+-=--=-=++，即()()f x f x -=-；故此时函数()f x 是奇函数；因当32a ≠时，()()11,12f a f a =--=-，故 ()()11f f -≠，且()()11f f -≠-于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数；（2）因()f x 是奇函数，故由（1）知32a =，从而()33221x f x =-+；由不等式()2x u f x ≥，得3322221xx x u ⋅≤⋅-+，令[]213,65(xt +=∈因[]1,6)x ∈，故()()3133291222t u t t t t -⎛⎫≤--=+- ⎪⎝⎭ 由于函数()32922t t t ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[]3,65单调递增，所以()min ()31ϕϕ==t ；因此，当不等式()2xuf x ≥在[]1,6x ∈上恒成立时，max 1.u = 例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤. 【解析】【分析】（1）2()(2)221x x f x a =-+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，进而讨论a 与52的关系求解；（2）[1x ∈-，2]，∴令12[2x t =∈，4]，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，进而求解．【详解】解：（1）2()(2)221x x f x a =-+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]， ①52a 时，2()42418max f x a =-⨯+=-，解得258a =（舍)②52a >时，2()12118max f x a =-⨯+=-，解得5a =， 5a ∴=；（2）[1x ∈-，2]，∴令12,42xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，11212222t t a t t =+=当且仅当122t t=，即1t =时等号成立，此时函数2()21g t t t =-+的图象如图，4t ∴=时，a 取得最大值178，综上[1a ∈，17]8．【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[0,9]；（2）34m -；（3）8m -. 【解析】【分析】（1）由二次函数的性质得出值域；（2）将问题转化为求()g x 在[]0,2的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；（3）将问题转化为()g x 在[]0,2的最大值小于或等于()f x 在[1,3]-上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【详解】（1）当[1,3]x ∈-时，函数2()[0f x x =∈，9] ()f x ∴的值域[]0,9（2）对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，等价于()g x 在[]0,2的最小值大于或等于1．而()g x 在[]0,2上单调递减，所以2112m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即34m -（3）对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，等价于()g x 在[]0,2的最大值小于或等于()f x 在[1,3]-上的最大值9 由19m -，8m ∴-【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【分析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解．【详解】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称，由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于1x =-对称，作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（） A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．()1,4 D ．()2,4【答案】B 【解析】【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >，当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤，当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣，则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x π=++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】4043 【解析】【分析】根据题意，化简得到()()22f x f x +-=，结合倒序相加法求和，即可求解. 【详解】由题意，函数()4sin 22xx f x π=++，可得()()244sin sin[(2)]22222x x f x x f x x ππ-+=+++-++- 224424222224222222x xx x x x--⋅⋅=+=+=++⋅++，设124043202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则404340421202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，可得140432404222022202220222022S ff f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦404312404320222022f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以4043S =. 故答案为：4043.例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．【答案】10092 【解析】【分析】根据已知条件，求得(2)2()f x f x +=，结合()0f 的值以及递推关系，即可求得结果. 【详解】由(1)2(1)f x f x +=-，得(2)2()f x f x +=，于是()()()()210102020220182201620f f f f ====，又当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，故可得()102f =，则()1010100912020222f =⨯=. 故答案为：10092.例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】分别在2x ≤、23x <≤、34x <≤和4x >的情况下，根据()f x 和()1f x -的解析式和符号依次求解即可. 【详解】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<，又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<；综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【答案】[1,2]【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围．【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意；若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ，综上可得a 的范围是[]1,2．故答案为：[]1,2【过关测试】一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （） A ．是偶函数，且在R 是单调递增 B ．是奇函数，且在R 是单调递增 C ．是偶函数，且在R 是单调递减 D ．是奇函数，且在R 是单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；【详解】解：1()33x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，又3xy =与13x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，所以1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增；2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783）（）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍【答案】C 【解析】【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅= 则()33334444201011101010F c M c M F =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!n xx x x x n =+++++++，其中R,N x n ∈∈（精确到0.01）（） A ．1.63 B ．1.64C ．1.65D ．1.66【答案】C 【解析】应用题设泰勒展开式可得 121111e 12848!2nn =++++++⋅, 随着n 的增大，数列1!2n n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭递减且靠后各项无限接近于0，即可估计12e 的近似值. 【详解】计算前四项，在千分位上四舍五入由题意知: 01231211e 111222220!1!2!3!!nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++++⋯+1111 1.646 1.652848≈+++≈≈ 故选：C4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（）A ．26B ．16C ．－16D ．－26【答案】A 【解析】【分析】由分段函数的性质可得当m 1≥时，1312m +-=-，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，求出m 的值，从而可求出()6f m + 【详解】由题意得当m 1≥时，1312m +-=-，方程无解，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，解得4m =-，所以()216(64)(2)3126f m f f ++=-==-=，故选：A5．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）． A ．13B ．1 CD ．2【答案】B 【解析】【分析】由已知有1x >，根据零点得到0009(1)x x t -==，利用指对数的关系及运算性质得到01x -关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t 值即可. 【详解】由题设1x >，由0()0f x =得：0009(1)x x -= 若009(1)xx t -=，可得002103x t x -=>，若0t =，可得0201103tx x -=>，综上，22133x x t t =，故1t =.故选：B6．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞ B ．()2,+∞ C ．[)1,+∞ D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】【分析】参变分离得到112x a >+，根据指数函数的性质求出112x +的取值范围，即可得解；【详解】解：由题知()221xxa x ⋅>+∈R ，而21x ≥，所以112x a >+，又1012x <≤，所以11122x <+≤．因为关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，即112x a >+()x ∈R 有实数解，所以1a >，即()1,a ∈+∞．故选：A7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （） A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-【答案】C 【解析】【分析】根据1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()1f x f x +=-，2T =，则()3310log 90log 27f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将310log 27x =代入解析式，即可求解. 【详解】因为1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11112222f x fx ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，即2T =，所以()3331010log 90log log 927f f f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[)310log 1,027∈-，所以310log 273101017log 311272727f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()317log 9027f =，故选：C8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(2)2xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；【详解】解：因为113311()(2)()(2)()22xx x x f x x x f x ---=-⋅-=-=，所以函数131()(2)2xx f x x =-是一个偶函数，又0x >时，122xxy =-与13y x =是增函数，且函数值为正数，故函数131()(2)2xx f x x =-在(0,)+∞上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(,0)-∞上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A 选项，由3m n -<<，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误； B 选项，0m n <<，则m 的绝对值大，故其函数值也大，故B 不对； C 选项是正确的，由()()f m f n <，一定得出22m n <；D 选项由()()f m f n <，可得出||||m n <，但不能得出33m n <，不成立，故选：C ．二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论两个函数的单调性进行判断. 【详解】当1a >时，x y a =在(,)-∞+∞单调递增且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项B 符合要求；当01a <<时，x y a =在(,)-∞+∞单调递减且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递减且其图象恒过点(3,0)，则选项D 符合要求；综上所述，选项B 、D 符合要求. 故选：BD.10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（）A 1，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜【答案】BC 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质,不等式性质判断．【详解】A 错，例如9,4a b ==1=，便51a b -=>；B 正确，2211a b =+>，1a >，又0b >，所以1a b +>，而22()()1a b a b a b -=-+=，所以1a b -<；C 正确，设21a m =>，21b n =>，1m n -=，则1m n =+，1112m n n n n+==+<，所以222log log log 1mm n n=-<，即1a b -<． D 错误，222log log log 1aa b b -==，2a b=，2a b =，所以a b b -=，1b <不一定成立．故选：BC ．11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（） A ．0a b -> B ．22a b >C ．ac bc >D ．22a b >【答案】AB 【解析】【分析】根据作差法，判断A;根据指数函数()2x f x =的单调性，判断B;举反例可说明C 的正误；同样据反例，判断D. 【详解】对于A 选项，因为a b >，所以0a b ->，故A 正确；对于B 选项，因为函数()2x f x =在R 上单调递增，所以22a b >，故B 正确；对于C 选项，当0c ≤时，ac bc >不成立，故C 不正确；对于D 选项，当1a =，2b =-时，2214a b =<=，故D 不正确, 故选:AB.12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x π-<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】先作出函数()f x 的大致图象，结合题意令()()()123f x f x f x t ===，进而得到1x ,2x ,3x 关于t 的增减性以及t 的取值范围，数形结合分析选项即可得解. 【详解】作出函数()f x 的大致图象,如图所示，设()()()123f x f x f x t ===，数形结合得:13,x x 均是关于t 的增函数，2x 是关于t 的减函数，且24t <<.当01x <≤时，令()2f x =，得16x =或56，所以12115626x x <<<<，312x <<，且121x x =+，所以()1232,3x x x ++∈，故A 正确；不妨设223x =，则()()2324sin 3t f x f x π===，此时()232x f x =>，所以B 错误；因为121x x =+，所以()21211111511,24364x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12x x 与3x 均为关于t 的增函数，所以12351,362x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为1x 为关于t 的增函数，11162x <<，()324f x t <=<，所以()131,23x f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD. 三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.【答案】10 【解析】【分析】利用指数幂及对数的运算性质计算即得. 【详解】24log 2log 21422424102-⎛⎫++=++=++= ⎪⎝⎭.故答案为：10.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.【答案】1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】【分析】对于()()()·f a b f a f b +=符合指数运算的规则，减函数则应是指数函数里的减函数. 【详解】由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．【答案】[)2,3 【解析】【分析】令2x t =，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：()()()222223212x x x f x =-⨯+=-+，设2x t =，当1,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时，0t <≤()22123t ≤-+<，所以()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为[)2,3．故答案为：[)2,3．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x x x f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0,∞+上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．【答案】①③ 【解析】【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明；对于②：取特殊值：()()2,10f f ，否定结论；对于③：直接表示出点()(),t f t 与原点连线的斜率为222t t t --，并判断2022t t t ->-.【详解】函数()322x xx f x -=-的定义域为()(),00,∞-+∞.对于①：因为()()332222xx x xx x f x f x ----===--，所以()f x 是偶函数.故①正确；对于②：取特殊值：由()8322211544f ==>-，()1000101110241024f =<-，得到()()210f f >，不符合增函数，可得②错误；对于③：当0t >时，点()(),t f t 与原点连线的斜率为()20022t tf t t t --=--.因为0t >，所以21t >，所以220t t -->，所以()200022t tf t t t --=>--.故③正确；所以正确结论的序号为①③．故答案为：①③ 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？【答案】(1)2000,0125000,15tt t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库【解析】【分析】（1）利用()1,2000求得y 关于t 的函数关系式.（2）根据积水深度的要求列不等式，结合指数函数的单调性求得需要等待的时间. (1)由图可知，当01t ≤≤时，y =2000t .当t >1时，25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，因为图象经过点()1,2000，所以220005k ⨯=，得k =5000 所以2000,0125000,15tt t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)令25000 2.5600.055t⎛⎫⨯≤⨯ ⎪⎝⎭，即42128162550006255t ⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4t ≥，因为消防部门从t =1时开始排水，故至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库. 18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知1122a a -+=3，求22112a a a a --++++的值．【答案】（1）8336；（2）163．【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；（2）根据完全平方公式即可求出．【详解】解：（1）原式32=-1﹣233393242⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭149839436-+=，（2）∵1122a a -+=3，∴a +a ﹣1＝（1122a a -+）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝（a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式47148167293+===+． 19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．【答案】20,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】讨论0<a <1或a >1，作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象，由数形结合即可求解. 【详解】①当0<a <1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象如图1．若直线y ＝3a 与函数y ＝|ax －2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23．②当a >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象如图2．若直线y ＝3a 与函数y ＝|ax －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎫⎪⎝⎭．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．【答案】（1）增函数，(1,)+∞；（2）2-．【解析】【分析】（1）由(0)0f =，求得1k =，得到()x x f x a a -=-，根据()10f >，求得1a >，即可求得函数()x x f x a a -=-是增函数，把不等式转化为(2)(4)f x f x +>-，结合函数的单调性，即可求解；（2）由（1）和()312f =，求得2a =，得到()2(22)4(22)2x x x xg x -----+=，令22x x t -=-，得到()2342,2g t t t t =-+≥，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，可得(0)0f =，从而得10k -=，即1k = 当1k =时，函数()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，所以1k =，由()10f >，可得10a a->且0a >，解得1a >，所以()x x f x a a -=-是增函数，又由(2)(4)0f x f x ++->，可得(2)(4)(4)f x f x f x +>--=-，所以24x x +>-，解得1x >，即不等式的解集是(1,)+∞．（2）由（1）知，()x x f x a a -=-，因为()312f =，即132a a -=，解得2a =，故()222(22)2(22)4(22)224x x x x x x x x g x -----=---+-+=，令22x x t -=-，则在[1,)+∞上是增函数，故113222t -≥+=，即()2342,2g t t t t =-+≥，此时函数()g t 的对称轴为322t =>，且开口向上，所以当2t =，函数()g t 取得最小值，最小值为()2224222g =-⨯+=-，即函数()g x 的最小值为2-．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(3,)-+∞，不是，理由见解析；（2）[]0,3.【解析】【分析】（1）用换元法，结合二次函数性质求得值域，可得结论；（2）设2x t =，则可得(0,1)t ∈，然后由二次函数性质求得函数的值域，再结合新定义可得参数范围．【详解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞，可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤可化为0424x x a ≤+⋅≤必有20x a +≥且422x x a ≤-，令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈，由20x a +≥恒成立，可得0a ≥，令()()401h t t t t=-<<，可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=，由422x xa ≤-恒成立，可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为[]0,3.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠ .(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根； (2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值； (3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.【答案】(1)0(2)4(3)1【解析】【分析】（1）将原方程转化为2(21)0x -=，由此求解即可．（2）由题意可知2(2)(())2f x f x =-，再根据分离参数法结合基本不等式，即可求出结果．（3）求出()()22x x g x f x a b =-=+-，求出函数()g x 的导数，设函数()()h x g x '=，根据导数在函数最值中的应用，求出()g x 的最小值，再对()g x 的最小值进行分析，即可求出结果．(1) 解：因为12,2a b ==，所以()22x x f x -=+. 方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =.(2)解：由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-.。

2019届高考数学第一轮专题复习测试卷第九讲指数与指数函数

第九讲指数与指数函数一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．(2018·番禺质检)下列结论中正确的个数是( )①当a<0时，(a 2)32＝a 3；②na n＝|a|；③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据指数幂的运算性质对每个结论逐一进行判断．①中，当a<0时，(a 2)32>0，a 3<0，所以(a 2)32≠a 3；②中，当n 为奇数时，n a n ＝a ；③中，函数的定义域应为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞；④中，由已知可得2a ＋b＝lg5＋lg2＝lg10＝1，所以只有④正确，选B.答案：B2．(36a 9)4·(63a 9)4(a≥0)的化简结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2解析：原式＝(18a 9)4·(18a 9)4＝a 4，选C.答案：C3．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝4 B ．a ＝1 C ．a ＝4 D ．a>0，且a≠1解析：因为“一般地，函数y ＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数”，所以函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x是指数函数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝1，a>0，且a≠1，解得a ＝4，故选C.答案：C评析：解答指数函数概念问题时要抓住指数函数解析式的特征：(1)指数里面只有x ，且次数为1，不能为x 2，x 等；(2)指数式a x的系数为1，但要注意有些函数表面上看不具有指数函数解析式的形式，但可以经过运算转化为指数函数的标准形式．4．在平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x ＋1与g(x)＝21－x图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝2x左移一个单位得y ＝2x ＋1，y ＝2－x 右移一个单位得y ＝21－x ，而y ＝2x 与y ＝2－x关于y 轴对称．∴f(x)与g(x)关于y 轴对称．答案：C5．若函数f(x)＝a|2x －4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：由f(1)＝19得a 2＝19，∴a＝13(a ＝－13舍去)，即f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.答案：B6．已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，实数a 、b 、c 满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，若实数x 0是方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c解析：如图所示，方程f(x)＝0的解即为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝log 2x 的图象交点的横坐标x 0.由实数x 0是方程f(x)＝0的一个解，若x 0>c>b>a>0，则f(a)>0，f(b)>0，f(c)>0，与已知f(a)f(b)f(c)<0矛盾，所以，x 0>c 不可能成立，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．已知不论a 为何正实数，y ＝ax ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．解析：因为指数函数y ＝a x(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)．而函数y ＝a x ＋1－2的图象可由y ＝a x(a>0，a≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y ＝ax ＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．答案：(－1，－1)8．函数y ＝(13)x －3x在区间[－1,1]上的最大值为________．答案：839．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1,2]，则区间[a ，b]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：[a ，b]的长度取得最大值时[a ，b]＝[－1,1]，区间[a ，b]的长度取得最小值时[a ，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b]的长度的最大值与最小值的差为1.答案：110．(2018·湖南师大附中期中)设f(x)＝e x＋e －x2，g(x)＝e x－e－x 2，计算f(1)g(3)＋g(1)f(3)－g(4)＝________，f(3)g(2)＋g(3)f(2)－g(5)＝________，并由此概括出关于函数f(x)和g(x)的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是________．答案：0 0 f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x ＋y)＝0三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．已知函数f(x)＝b·a x(其中a ，b 为常量且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)试确定f(x)；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f(x)＝b·a x的图象过点A(1,6)，B(3,24)∴⎩⎪⎨⎪⎧b·a＝6 ①b·a 3＝24 ②②÷①得a 2＝4，又a>0，且a≠1，∴a＝2，b ＝3， ∴f(x)＝3·2x.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，g(x)在(－∞，1]上单调递减，∴m≤g(x)min ＝g(1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56.12．已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值．(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围．分析：函数f(x)是由指数函数和二次函数复合而成的，因此可通过复合函数单调性法则求单调区间，研究函数的最值问题．解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x2－4x ＋3，令g(x)＝－x 2－4x ＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a>012a －164a＝－1，解得a ＝1.即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能有a ＝0.因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a 的取值范围是a ＝0.评析：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．13．已知函数f(x)＝2x－12|x|. (1)若f(x)＝2，求x 的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x<0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－12x .由条件可知2x －12＝2，即22x －2·2x－1＝0，解得2x ＝1± 2.∵2x>0，∴x＝log 2(1＋2)．(2)当t∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)． ∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

2012届新课标数学高考一轮复习课件：3.1 指数与指数函数

1.指数与指数函数 1.指数与指数函数
一.知识归纳 1．幂的有关概念
(1)正整数指数幂a (2)零指数幂
n
n个
= a⋅ a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( n ∈ N )
0
∗
a = 1 (a ≠ 0 )
−n
m n
(3)负整数指数幂 a
1 ∗ = n ( a ≠ 0, n ∈ N ) a
n m
(4)正分数指数幂 a (5)负分数指数幂a
3 , x ≤ 1, f ( x) = − x, x > 1,
x
若则Βιβλιοθήκη x=f ( x) = 2
， .
练习2(2011 江苏) 练习2(2011·江苏)已知a＝ 2(2011·
，函数
f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，
则m、n的大小关系为________．的大小关系为________ ________．
a ⋅a = a
m n n n m+n
(m, n∈ Z),(a ) = a (m, n∈ Z)
m n mn
(ab) = a ⋅ b (n∈ Z)
n
3.有理数指数幂的性质
(1) a
r
a =a
s
r
r+s
( a > 0, r , s ∈ Q )
(a
> 0, r , s ∈ Q )
(2 )(a
)
r
s
= a
r
例6 比较
的大小．的大小．
解析：解析：在同一直角坐标系中作出函数
题型4 题型4．指数函数综合题例7 若
f1(x) = 3
x− p1
, f2 (x) = 2⋅ 3

高考数学一轮总复习第二章函数第9讲指数与指数函数课件

[答案] (0，4]
12/13/2021
第二十五页，共四十七页。
指数函数的性质及应用例 3 (1)已知 a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当 x ＞0 时，1＜bx＜ax，则( ) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b
[解析] ∵x＞0 时，1＜bx，∴b＞1. ∵x＞0 时，bx＜ax，∴x＞0 时，bax＞1. ∴ba＞1，∴a＞b，∴1＜b＜a，故选 C.
(3)指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a＞1 与 0＜a＜1 来研究．
12/13/2021
第十二页，共四十七页。
指数幂的运算
例 1 求值与化简：
2 1 1 1 1 5
(1)
2a
3b
2
6a
2
b
3
3a
6
b
6
；
(2)(1.5)
－
2
当 0<a<1 时，如图②所示，需满足12·12≤a1，即12
≤a<1；当 a＝1 时，y＝12x2 与 y＝1 在[1，2]上有交点
( 122/，13/[12答0)2，1案满] B足条件．综上第可十八页知，共四十，七页。a∈12，
2.
(3)( 多选 ) 已知函数 f(x) ＝ |2x － 1| ， a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
m
意义相仿，我们规定 a n ＝
1
m
an
(a>0，m，n∈N*，且
n>1).0 的正分数指数幂等于_0___；0 的负分数指数幂
__没__有__(m_é_i y_ǒ_u)_意_．义

高考数学一轮复习考点知识专题讲解9---对数与对数函数

高考数学一轮复习考点知识专题讲解对数与对数函数考点要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)． (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝nmlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点．答案(3,2) 解析∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案4解析(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4. 3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一对数式的运算例1(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于()A.10B ．10C ．20D ．100 答案A解析2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋212log 2－log 5150－log 514＝. 答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋12log (2)2＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝.答案6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1a<b<1.综上有0<1a<b<1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为() A ．e 2＋ln2B ．e ＋ln2 C ．2D ．4 答案C解析根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为函数y ＝e x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3 答案D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较指数式、对数式大小例3(1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则() A ．b <a <c B ．c <a log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则() A ．b <c <a B ．a <c log 62>log 122，即1a >1b >1c，所以a 0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数性质的应用例5已知函数f (x )＝ln 2x ＋12x －1，下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )为奇函数； ②f (x )为偶函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增．答案①③解析f (x )＝ln 2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1>0，解得x >12或x <－12，∴f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，又f (－x )＝ln－2x ＋1－2x －1＝ln2x －12x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1－1＝－ln2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故①正确，②错误；又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，令t ＝1＋22x －1，t >0且t ≠1，∴y ＝ln t ，又t ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故③正确；又f (x )为奇函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，故④不正确．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a 答案B解析∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1，∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为() A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎨⎧g (1)>0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是() A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c 1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2；当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4，则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2，即1a 2≥2,0<a ≤22，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，22.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b 答案D解析a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ，所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案A解析函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①②B．①④C．②③D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y＝0得log a(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，∴0<c<1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10lg II0 (单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5) 答案C解析由题意可得，0≤10·lg II 0<50，即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7，解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)． 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >12log a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.6．(2022·汉中模拟)已知log 23＝a ,3b ＝7，则log 2156等于()A.ab＋3a＋abB.3a＋ba＋abC.ab＋3a＋bD.b＋3a＋ab答案A解析由3b＝7，可得log37＝b，所以log2156＝log3(7×23)log3(3×7)＝log37＋log323log33＋log37＝b＋3×1a1＋b＝ab＋3a＋ab.7．(2022·海口模拟)log327＋lg25＋lg4＋7log27＋13(8)-的值等于．答案7 2解析原式＝log3323＋lg52＋lg22＋2＋133(2)⨯-＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝32＋2＋2＋(－2)＝7 2 .8．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．答案(4，－1)解析令x －3＝1，则x ＝4， ∴y ＝log a 1－1＝－1，故点P 的坐标为(4，－1)．9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解(1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎨⎧log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎨⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )，令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解(1)f (x )是奇函数，证明如下：因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1，故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则() A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则() A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y 答案D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ，根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．函数f (x )＝log 2x ·2x )的最小值为．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.14．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，∴0<a<1，b>1且ab＝1，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号．又0<a<b，故a＋b>2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3ba＝f(a)，＝3a＋log3∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，(2x－4)>2，得log2得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log(1＋k)＝1，2解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，(2x＋1)＝x－2m有实根．即log2所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．令g(x)＝log2(2x＋1)－x，则g (x )＝log 2(2x＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x .因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)．所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

2012高考数学一轮 2.4 指数与指数函数学案

第二编函数与基本初等函数Ⅰ§2.4指数与指数函数【基础自测】1. (2011九江市六校第三次联考文科)函数21()3x y =的值域是（） A ．(0,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,1] D ．[1,)+∞ 【答案】C2.已知集合{}111,1,|24,2x M N x x Z +⎧⎫=-=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN = （） A. {1,1}- B. {1,0,1}- C.{0,1} D. {1}- 【答案】D3.设指数函数()(0x f x a a =＞且1)a ≠，则下列等式中正确的是（）①()()()·f x y f x f y +=， ②()()()·nn n f xy f x f y =，③()()()f x f x y f y -=， ④()()n f nx f x =. A. ①②④ B.①③④ C. ②③④ D. ①①③④ 【答案】B4.函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论不正确的有（填序号）.①a >1，b <0 ， ②a >1，b >0 ， ③0<a <1，b >0 ， ④0<a <1，b <0 【答案】①②③5. 三个实数1113222,(),33-的大小顺序为 .【答案】11132223()3-<<6.关于函数()22()x x f x x R -=-∈，有下列三个结论：①()f x 的值域为R ； ②()f x 是R 上的增函数；③对任意x R ∈,有()()0f x f x -+=成立. 其中正确结论的序号是 . 答案 ①②③【范例导引】例1（2011湖南文8）已知函数()1x f x e =-，2()43g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（）A ．[22,22]-+B ．(22,22)-+C ．[1,3]D ．(1,3)【解析】由题可知()11x f x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()()f a g b =则()[1,1]g b ∈-，即231b bx -+->-，解得2222b -<<+. 例1已知19a =，b =9.求下列两式的值：（1）733338152a a a a --÷⋅；（2）111()a b ab ---+.【解析】（1）原式=7123a⨯.3123⨯-a÷［81()32a-⨯·21315⨯a］= 2167-a 45()32--+=12a -.∵19a =，∴原式=3. （2）方法一化去负指数后解.1111111()a b a b a b ab a b ab ab ab---+++===+，∵19a =，b =9，∴82.9a b += 方法二利用运算性质解..11)(11111111111a b abba b ba a ab b a +=+=+=+-----------∵19a =，b =9，∴82.9a b +=例3设a ＞0，e ()ex x af x a =+是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）求证：()f x 在0+∞（，）上是增函数. （1）【解析】∵()f x 是R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，∴x x x xe a e a a e a e --+=+，∴11()(e )0e x x a a --=对一切x 均成立，∴10a a-=，而a ＞0，∴1a =.（2）证明在0+∞（，）上任取1212x x x x <、，且, 则()()12f x f x -=1x e +11x e -2x e-21x e =21()x x e e -121(1).x x e+-∵12x x ＜，∴12x x e e <，有210x x e e ->.∵12120,0,0x x x x ∴+＞＞＞，∴121x x e +>，12110x x e +-<.∴()()()()12120,f x f x f x f x -＜即＜, 故()f x 在0+∞（，）上是增函数. 【知能提升】1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba b a b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a【解析】（1）原式=111111111533220032623615661a b a b aba b a b--+-+-⋅=⋅=⋅=.（2）原式12111333363632255(4)()24a b a b a b a b ------=-÷⋅=-÷1322235515444aba b ab ab --=-⋅=-⋅=-.2.求下列函数的单调递增区间：（1）2621()2x x y +-=；(2)262xx y --=.【解析】（1）函数的定义域为R . 令262u x x =+-，则1()2u y =. ∵二次函数262u x x =+-的对称轴为14x =, 在区间［41，+∞）上，262u x x =+-是减函数，又函数1()2u y =是减函数， ∴函数2621()2x x y +-=在［41，+∞）上是增函数.故2621()2x x y +-=的单调递增区间为［41，+∞）.（2）令26u x x =--,则2u y =, ∵二次函数26u x x =--的对称轴是x=21, 在区间［21，+∞）上26u x x =--是增函数. 又函数2u y =为增函数， ∴函数262x x y --=在区间［21，+∞）上是增函数. 故函数262xx y --=的单调递增区间是［21，+∞）.3.已知定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当()0,1x ∈时，()241xx f x =+.（1）求()f x 在［-1，1］上的解析式；（2）证明：()f x 在（0，1）上是减函数. （1）【解析】当()1,0x ∈-时，()0,1x -∈.∵()f x 是奇函数，∴f x f x =--=-（）（）.142142+-=+--xx xx .由()()()000f f f =-=-，且()()()()1112 1f f f f =--=--+=-，得()()()0110f f f ==-=.∴在区间［-1，1］上，有f （x ）={}2(0,1)412()(1,0)4101,0,1xxxxx f x x x ⎧∈⎪+⎪⎪=-∈-⎨+⎪∈-⎪⎪⎩(2)证明当()0,1x ∈时，2()41xx f x =+.设1201x x ＜＜＜,则()()12f x f x -=122112122122(22)(21)4141(41)(41)x x x x x x x x x x +---=++++, ∵1201x x ＜＜＜,∴22x 120x ->，12210x x +->,∴f(x 1)-f(x 2)＞0,即f(x 1)＞f(x 2), 故()f x 在（0，1）上单调递减.【课后作业】一、选择题1. 若0a <，则2a ，1()2a ，()0.2a的大小顺序为（） A . ()0.2a>2a >1()2a B . 2a >1()2a >()0.2aC . 1()2a>2a >()0.2a D . 2a >()0.2a >1()2a【答案】B2.若()22f x x ax =-+与()()11xg x a -=+在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是（）A . [0,1)B . [0,1]C . (0,1)D .(0,1] 【答案】D3.(2009常州二中期中)当函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有公共点时，实数m 的取值范围是（）A . [0,1)B . (0,1]C . (0,1)D . [0,1] 【答案】B 二、填空题4. 当x ＞0时，函数()()21xf x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围是 . 【答案】a ＞2或a ＜-25.若函数() 1 (0,1)x f x a a a =-≠＞的定义域和值域都是［0，2］，则实数a 等于 . 【答案】36.函数0,1xy a a a =≠（＞且）在［1，2］上的最大值比最小值大2a，则a 的值是 .【答案】21或23三、解答题7. 要使函数124x x y a =++在1x ∈-∞（,］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围. 【解析】由题意得1240xxa ++>在1x ∈-∞（,］上恒成立，即124xx a +>-在1x ∈-∞（,］上恒成立.又∵-xx 421+=-(,4121)21()21()2122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-x x x ∵x (],1,-∞∈∴(⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21)21x .令t=(21111(),()(),,2242x t f t t t ⎡⎫==-++∈+∞⎪⎢⎣⎭则.则()f t 在［21,+∞）上为减函数，()(f t f ≤)21=-(21113)2244++=-，即3(),4f t ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦.∵()a f t ＞,∴3(,)4a ∈-+∞.8.已知函数311()().212x f x x =+-（1）求()f x 的定义域；（2）讨论()f x 的奇偶性；（3）证明：()f x ＞0.（1）【解析】由2100x x -≠⇒≠，∴定义域为（-∞,0）∪(0,+∞). （2）【解析】311()()212xf x x =+- 可化为321()2(21)x x f x x +=⋅-则332121()()().2(21)2(21)x x x xf x x x f x --++-=-==⋅-⋅- ∴311()()212xf x x =+-是偶函数. （3）【证明】当0x >时，21x ＞，x 3＞0. ∴311()0212xx +>-. ∵()f x 为偶函数，∴当x ＜0时，()()0f x f x =-＞. 综上可得()f x ＞0. 9.已知函数2()()1x x af x a a a -=--(a ＞0，且a ≠1). (1)判断()f x 的单调性；（2）验证性质()()f x f x -=-,当()1,1x ∈-时，并应用该性质求满足()()2110f m f m -+-<的实数m 的范围.【解析】（1）设1212,0,1x x x x -+＜＜211x x a+＞0.若a ＞1,则21x x a a <,12-a a ＞0,所以()()12f x f x -=)11)((121212x x x x a a a a a ++--＜0，即()()12f x f x ＜,()f x 在（-∞,+∞）上为增函数；同理，若0＜a ＜1，则21x x a a >，12-a a ＜0, ()()12f x f x -=)(1212x x a a a a --(1+211x x a +)＜0,即()()12f x f x ＜,()f x 在（-∞,+∞）上为增函数. 综上，()f x 在R 上为增函数. （2）()f x 2()1x x a a a a -=--，则()f x -=)(12x x a a a a---, 显然()()f x f x -=-.()()2110f m f m -+-＜,即()()211f m f m ---＜⇔()()211f m f m --＜,函数为增函数，且()1,1x ∈-，故解21111m m ---＜＜＜，可得1＜m ＜2.12.已知()f x =xx xx--+-10101010. （1）判断函数的奇偶性；（2）证明：()f x 是定义域内的增函数；（3）求()f x 的值域.（1）【解析】 ∵()f x 的定义域为R ，且()f x -=xx x x 10101010+---()f x =-，∴()f x 是奇函数.（2）【证明】方法一 22210101012()11010101101x xx x x x x f x ----===-+++. 令21x x >，则21f x f x -（）（） 212121222222221010(1)(1)2101101(101)(101)x x x x x x -=---=⋅++++ 当21x x >时，1022x -1012x ＞0.又∵1012x +1＞0，1022x +1＞0，故当21x x >时，21f x f x -（）（）＞0，即21f x f x >（）（）.所以()f x 是增函数.方法二考虑复合函数的增减性.由210102()1.1010101x x x x x f x ---==-++∵110xy =为增函数， ∴22101x y =+为增函数，322101x y =+为减函数，422101xy =-+为增函数，22()1101x f x =-+为增函数. ∴1010()1010x xx xf x ---=+在定义域内是增函数.（3）解方法一令y f x =（），由22101101x x y -=+，解得210x =y y-+11. ∵2100x >，∴-1＜y ＜1. 即f x （）的值域为(1,1)-. 方法二 ∵1f x =-（）11022+x ,∵2100x >，∴102x+1＞1.∴0＜11022+x ＜2，∴-1＜1-221101x<+，即值域为(1,1)-.。

高考数学专题复习：指数函数

高考数学专题复习：指数函数一、单选题1．设函数13,1()2,1x x x f x a x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若5[()]46f f =，则a =（）A ．2B ．12 C ．34D ．782．设函数3,1()2,1x x a x f x x +≤⎧=⎨>⎩，若183f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a =（） A ．74-B ．54C ．2D ．54或23．若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),a +∞，则a 的最大值为（） A ．14B ．12C ．1D ．24．已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（） A ．3±B ．3C．D5．函数2121x x y -=+的值域是（）A ．()(),11,-∞--+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()(),11,-∞+∞6．函数y = ）A ．(,3)-∞B ．(,3]-∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞7．已知133a =，159b =，295c =，则a ，b ，c的大小关系是（）A ．a b c <且1a ≠）恒过定点P ，则点P 的坐标为（）A ．0,1B ．()1,1C ．()2,1D ．1,211．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()22xf x =+，则()1f =（）A ．4-B ．52-C ．4D ．5212．已知函数221,02,()()1,20,x x f x g x ax x x ⎧-≤≤==+⎨--≤<⎩，对12[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,1]-B ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,2]-D ．55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知函数2,1()2,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则((3))f f 的值为________.14．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠），()12f =，则函数()f x 的解析式是________.15．若函数()()()()()54731211xa x a x f x a x ⎧-+-<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数2()89f x x x =++，2()422x x g x +=-+-．若对于任意的1[5,]x a ∈-，存在2(0,)x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为________．三、解答题17．若函数31()31x x a af x --=-为奇函数．（1）求a 的值；（2）求函数的值域．18．已知函数()131x mf x =++为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）求不等式()21102f x x --+<的解集．19．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若对在意的[1,2)t ∈-，不等式()()22220f t t f t k ++->恒成立，求k 的取值范围．20．已知函数1()(0xx b f x a a a-=+>且1)a ≠是奇函数．（1）求b 的值；（2）令函数()()1x g x f x a =--，若关于x 的方程2()3t g x t +=+在R 上有解，求实数t 的取值范围．21．已知函数()323,()3x x f x g x =-⋅=.（1）当[1,2]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[1,2]x ∈不等式[]2()()3f x m g x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.22．设a 是实数，函数()()2xx f x ee a x R =+-∈（1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）若a y x =在0,单调递减，求满足不等式()2f x a >的x 的取值范围；（3）求函数()f x 的值域(用a 表示).参考答案1．A 【分析】根据给定的分段函数求出5()6f 的值，列出关于a 的方程即可得解. 【详解】依题意，551()32662f =⋅-=，则25[()](2)6f f f a ==，于是得24a =，解得2a =或2a =-(不符合题意，舍去)，所以2a =. 故选：A 2．C 【分析】求出113f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据1a +的范围分类计算求解．【详解】由已知113f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0a ≤时，1(1)3(1)83f f f a a a ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，54a =，不合题意，0a >时，11(1)283a f f f a +⎛⎫⎛⎫=+== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2a =．综上，2a =．故选：C ． 3．B 【分析】分别求出1x <和1≥x 时的()f x 的范围，然后结题意可得12a ≤且1142a +≥，从而可求出a 的范围，进而可得答案【详解】解：当1x <时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1111222x ⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1(),2f x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭当1≥x 时，1()4xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1111444x a a a a ⎛⎫⎛⎫<+≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1(),4f x a a ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦，因为()f x 的值域为(),a +∞，所以12a ≤且1142a +≥，解得1142a ≤≤，所以a 的最大值为12，故选：B 4．D 【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，建立方程关系进行求解即可【详解】解：将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，则()3x g x a =，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，则得到的函数关系数为2233x xy a a a -==，因为所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，所以231a=，23a =，解得a a =，故选：D 5．C 【分析】将函数化为121xyy+=-，利用20x >列出关于y 的不等式，解出不等式即可. 【详解】设2121x x y -=+，由原式得121xy y +=-，20x >,101yy+∴>-， ∴11y -<<，即函数()f x 的值域为(1,1)-. 故选：C6．D 【分析】由对数函数的单调性直接求解即可. 【详解】由题意得280x -≥，所以322x ≥，解得3x ≥．故选：D. 7．C 【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可【详解】∵111365399a b ==<=，21119993525273c a ==<==， ∴c a b <<．故选：C ． 8．A 【分析】结合选项中的点，带入函数解析式检验即可得出结果. 【详解】当0x =时，0221x y ===，所以指数函数2x y =的图象一定经过点()0,1，故A 正确；当1x =时，12221x y ===≠，所以指数函数2x y =的图象不经过点()1,1，故B 错误；当1x =-时，112212x y -===≠，所以指数函数2x y =的图象不经过点()1,1-，故C 错误；当1x =时，12221x y ===≠-，所以指数函数2x y =的图象不经过点()1,1-，故D 错误；故选：A. 9．A 【分析】由()00g =可构造方程求得1a =，验证可知满足题意；根据30x >，由不等式的性质可求得()g x 的范围，从而得到所求值域.【详解】由题意知：()g x 定义域为R ，()g x 为定义在R 上的奇函数，()0201031g a a ∴=-=-=+，解得：1a =，此时()23113131xx x g x -=-=++，()()1113311313x x x xg x g x ---===-++，满足题意； 30x >，311x ∴+>，20231x ∴<<+，22031x ∴-<-<+，()11g x ∴-<<，即()g x 的值域为()1,1-. 故选：A. 10．D 【分析】根据指数函数过定点求解即可. 【详解】解：因为指数函数x y a =（0a >且1a ≠）过定点0,1，所以令10x -=得1,2x y ==所以函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点()1,2P故选：D 11．B 【分析】由奇函数的性质有(1)(1)=--f f ，结合0x <的函数解析式即可求值. 【详解】由题设知：15(1)(1)(22)2f f -=--=-+=-.故选：B 12．A 【分析】作出函数()f x 的图象，根据条件求出两个函数最值之间的关系，结合数形结合即可得到结论．【详解】解：作出函数221,02(),20x x f x x x ⎧-=⎨--<⎩的图象如图：则当[2x ∈-，2]，()f x 的最大值为()23f =，最小值(2)4f -=-，若0a =，()1g x =，此时满足1[2x ∀∈-，2]，2[2x ∃∈-，2]，使12()()g x f x =成立，若0a ≠，则直线()g x 过定点(0,1)B ，若0a >，要使对1[2x ∀∈-，2]，2[2x ∃∈-，2]，使12()()g x f x =成立，则满足()()max max g x f x ，且()()min min g x f x ，即213a +且214a -+-，即1a 且52a，此时满足01a <，若0a <，要使对1[2x ∀∈-，2]，2[2x ∃∈-，2]，使12()()g x f x =成立，则满足()()max max g x f x ，且()()min min g x f x ，即213a -+且214a +-，即1a -且52a -，此时满足11a -<，综上11a -，故选：A 13．12 【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】由2,1()2,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则11((3))(1)22f f f -=-==.故答案为：1214．()()2xf x x R =∈【分析】由()12f =可求得a 的值，即可得出函数()f x 的解析式. 【详解】由已知可得()12f a ==，因此，()2xf x =.故答案为：()()2xf x x R =∈.15．34,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由分段函数的两段都递减，两个端点的函数值满足左大右小可得．【详解】解：函数()()()()()54731211xa x a x f x a x ⎧-+-<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的单调递减函数，所以()()5400211547321a a a a a ⎧-<⎪<-<⎨⎪-+-≥-⎩，解得4511235a a a ⎧<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，即3455a ≤<，所以实数a 的取值范围是34,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：34,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭．16．1- 【分析】由已知可得，函数()f x 在区间[5,]a -上的值域是()g x 在(0,)+∞上的值域的子集，分别求出函数()f x 的值域和()g x 的值域，利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】若对于任意的1[5,]x a ∈-，存在2(0,)x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，即函数()f x 在区间[5,]a -上的值域是()g x 在(0,)+∞上的值域的子集.当(0,)x ∈+∞时，21x >，所以222()422(2)422(22)22x x x x x g x +=-+-=-+⨯-=--+≤，所以()(,2]g x ∈-∞，又22()89(4)7f x x x x =++=+-的图象开口向上，其对称轴为4x =-，当54a -<<-时，函数()f x 的值域为2[+89,6]a a +-，符合题意；当43a --≤≤时，函数()f x 的值域为[7,6]--，符合题意；当3a >-时，函数()f x 的值域为2[7,+89]a a -+，要满足题意，则2892a a ++≤，解得71a -≤≤-，又3a >-，所以31a -<≤-，综上51a -<≤-所以实数a 的最大值为1-. 故答案为：1- 【点睛】方法点睛：等式任意性和存在性的混合问题，可以转化为两个函数在各自定义域下的值域包含问题.17．（1）12a =-；（2）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【分析】（1）由于()f x 为奇函数，所以可得()()f x f x -=-，从而可求出a 的值；（2）由（1）可得11()231xf x =---，然后由30x >结合不等式的性可求出函数的值域【详解】解：（1）函数31()31x x a af x --=-为奇函数．∴31313131x x x x a a a a------=---，即3313x x x a a a a --=--+，2(31)13x x a ∴-=-可得：12a =-．（2）由（1）可知1113(31)111222()3131231x x x x xf x -----===-----．由310x -≠，得0x ≠，所以30x >且31x ≠所以1310x -<-<或310x ->，所以1131x <--或1031x >-，所以1112312x-->-或1112312x --<--，所以函数()f x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．（1）2m =-；（2）()f x 在R 上单增，证明见解析；（3）{}01x x <<. 【分析】（1）由奇函数的性质可知()00f =，求得m 后，再验证函数是奇函数；（2）利用单调性的定义，判断函数的单调性；（3）()112f =，不等式变形为()()211f x x f --<-，利用函数的单调性求x 的取值范围. 【详解】解：（1）()f x 为奇函数，定义域为R ，∴()0f x =，即102m+=， ∴2m =-，经检验，符合题意．（2）()f x 为R 上的增函数，设12x x <，则()()()()()121212122332231313131x x x x x x f x f x ----=-=++++，12x x <，∴1233x x <，1310x +>，2310x +>，∴()()120f x f x -<， ∴()f x 在R 上单增．（3）()2111312f =-=+ ∴()()2110f x x f --+<， ∴()()211f x x f --<-，()f x 为奇函数，()()11f f -=-，∴()()211f x x f --<-，()f x 为R 上增函数，∴211x x --<-， ∴01x <<，所以不等式的解集是{}01x x <<. 19．（1）2,1a b ==；（2）[)16,+∞ 【分析】（1）根据()00=f ，可得1b =，再由11f f即可求解，最后检验即可；（2）先判断()f x 的单调性，利用单调性解不等式 . 【详解】解：（1）∵因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，即102ba-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a+-+=+. 又由11f f，知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当2a =，1b =时，121()22x x f x +-+=+，此时111211221222()(22)2x x x x x x f x f x --+++-+-+-+==+-=--+=+，满足题意.所以2a =，1b =（2）由（1）知：121()22x x f x +-+=+. 任取12,x x R ∈且12x x <，则1212121212111111122121(21)(22)(22)(21)2222(22)(22)()()x x x x x x x x x x f x f x ++++++-+-+-++-+-+-=+-=+++1212121111222222(22)(22)x x x x x x ++++-+-+=++2112221122(22)(22)x x x x ++++-=++因为12x x <，所以1222x x <，所以212222x x ++>，所以12()()f x f x > 所以121()22x x f x +-+=+为减函数.所以对任意的[1,2)t ∈-，不等式()()22220f t t f t k ++->恒成立等价于对任意的[1,2)t ∈-，不等式()()()222222f t t f t k f k t +>--=-恒成立，所以2222t t k t +<-对任意的[1,2)t ∈-恒成立，所以232t t k +<对任意的 [1,2)t ∈-恒成立，因为二次函数性质得函数232y t t =+在区间[1,2)t ∈-上的函数值满足1163y -≤<，所以16k ≥，即k 的取值范围为[)16,+∞ 20．(1) 0b = (2) 532t -<<- 【分析】（1）由()f x 的定义域为R ，且奇函数，则(0)0f =，从而可求出答案. (2)由题意1()1xg x a -=-，先求出函数()g x 的值域，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则max 2()3t g x t +>+，从而得出答案. 【详解】(1)函数1()(0)xxb f x a a a -=+>的定义域为R ,又()f x 是奇函数所以(0)110f b b =+-==当0b =时，1()xx f x a a =-，11()()xx x xf x a a f x a a --⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭-- 满足()f x 是奇函数，所以0b =(2) 11()()111x xxx xg x f x a a a a a --=--=--=- 由0x a >，则10x a >，所以10x a -<，所以111x a-<--即()g x 的值域为()1-∞-，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则213t t +<-+，解得532t -<<- 所以满足条件的实数t 的取值范围：532t -<<- 21．（1）[]126,6--；（2）(,24]-∞. 【分析】（1）由题设令3[3,9]x t =∈，则()()242k t h x t t ==-，根据二次函数的性质即可求值域；（2）由题设结合（1）2(32)(3)t m t -≥-在[3,9]t ∈上恒成立，当3t =时易知不等式恒成立，当(3,9]t ∈时，令2(32)()(3)t t t ϕ-=-则只需min ()m t ϕ≤，结合基本不等式即可求参数范围.【详解】（1）由题设，若3[3,9]x t =∈，∴()()()()224242212k t h x t t t t t ==-=-=--+，则对称轴为1t =且开口向下， ∴[3,9]t ∈上()k t 单调递减，即()()[]126,6k t h x =∈--， ∴()h x 的值域为[]126,6--.（2）由（1）知：2(32)(3)t m t -≥-在[3,9]t ∈上恒成立， ∴当3t =时，2(323)(33)m -⨯≥-，即90≥对任意m 都成立，当(3,9]t ∈，即3(0,6]t -∈时，2(32)9944(3)12(3)33t m t t t t t -≤=+=-++---恒成立，∴9()4(3)1212243t t t ϕ=-++≥=-当且仅当9[3,9]2t =∈等号成立，∴仅需min ()m t ϕ≤，即24m ≤即可. ∴实数m 的取值范围(,24]-∞.22．（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【分析】（1）根据奇函数的性质(0)0f =是否成立，即可证明；（2）由题设易知0a <，令0x t e =>，则()()[(1)]0h t t a t a =-++>，讨论102a >>-、112a -≤<-、1a <-，求解集即可.（3）令0x t e =>，则2()()||f x g t t t a ==+-，讨论0a ≤、102a ≥>、12a >，结合分段函数的性质求值域范围. 【详解】（1）由题意，(0)1|1|0f a =+-≠，而()f x 定义域为x ∈R ，与奇函数的性质矛盾， ∴函数()f x 不是奇函数，得证. （2）a y x =在0,单调递减，则0a <，即2()x x f x e e a =+-，∴2()f x a >，令0x t e =>，则22()()()[(1)]0h t t t a a t a t a =+-+=-++>，当102a >≥-，有(1)t a <-+或t a >，故解集为0t >，此时x ∈R ；当112a -≤<-有t a <或(1)t a >-+，故解集为0t >，此时x ∈R ；当1a <-，有(1)t a >-+，此时ln[(1)]x a >-+；综上，10a -≤<时，x ∈R ；1a <-时，(ln[(1)],)x a ∈-++∞. （3）令0x t e =>，则2()()||f x g t t t a ==+-，当0a ≤时，2()(0)g t t t a g a =+->=-；当102a ≥>时， 1、若t a ≥，22()()g t t t a g a a =+-≥=；2、若0a t >>，)22211()(),24g t t t a t a a a ⎡=-+=-+-∈⎣；此时2()g t a ≥；当12a >时， 1、若t a ≥，22211()()()24g t t t a t a g a a =+-=+--≥=；2、若0a t >>，221111()()()2424g t t t a t a g a =-+=-+-≥=-，此时1()4g t a ≥-.综上，0a ≤时，()f x ∈(,)a -+∞；102a ≥>时，()f x ∈2[,)a +∞； 12a >时，()f x ∈1[,)4a -+∞；。

高考数学(理科)一轮复习指数与指数函数学案有答案

高考数学（理科）一轮复习指数与指数函数学案有答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5ykj.com 学案7 指数与指数函数导学目标：1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理．指数幂的概念根式如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做________，a 叫做____________．根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________．③n＝____.④当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，nan＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是＝________．②正数的负分数指数幂是＝____________＝______________．③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义．有理指数幂的运算性质①aras＝________．②s＝________．③r＝________．3．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域________值域________性质过定点________当x>0时，______；当x<0时，______ 当x>0时，________；当x<0时，______ 在上是______在上是______自我检测．下列结论正确的个数是①当a<0时，＝a3；②nan＝|a|；③函数y＝－0的定义域是；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.A．0B．1c．2D．32．函数y＝ax是指数函数，则有A．a＝1或a＝2B．a＝1c．a＝2D．a>0且a≠13．如图所示的曲线c1，c2，c3，c4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是A．a<b<1<c<dB．a<b<1<d<cc．b<a<1<c<dD．b<a<1<d<c4．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b 的值等于A.6B．2或－2c．－2D．25．函数f＝ax－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是A．a>1，b<0B．a>1，b>0c．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0探究点一有理指数幂的化简与求值例1 已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a<b，求：a－1＋b－1ab－1；÷3a－8•3a15.变式迁移1 化简的结果是A.baB．abc.abD．a2b探究点二指数函数的图象及其应用例2 已知函数y＝|x＋1|.作出函数的图象；由图象指出其单调区间；由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为探究点三指数函数的性质及应用例3 如果函数y＝a2x＋2ax－1在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．变式迁移3 已知函数f＝x3.求f的定义域；证明：f＝f；证明：f>0.分类讨论思想的应用例已知f＝aa2－1．判断f的奇偶性；讨论f的单调性；当x∈[－1,1]时f≥b恒成立，求b的取值范围．【答题模板】解函数定义域为R，关于原点对称．又因为f＝aa2－1＝－f，所以f为奇函数．[3分]当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x 为增函数，所以f为增函数．[5分]当0<a<1时，a2－1<0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x 为减函数，所以f为增函数．故当a>0，且a≠1时，f在定义域内单调递增．[7分]由知f在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f≤f≤f，∴fmin＝f＝aa2－1＝aa2－1•1－a2a＝－1.[10分]∴要使f≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是问是难点，讨论f的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．【易错点剖析】在中，函数的单调性既与ax－a－x有关，还与aa2－1的符号有关，若没考虑aa2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a的题设条件中的范围也是错误的．．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．一、选择题．函数y＝的值域是A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)c．D．[2，＋∞)2．函数y＝xax|x|的图象的大致形状是3．函数f＝4x＋12x的图象A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称c．关于x轴对称D．关于y轴对称4．定义运算a b＝aa≤b，ba>b，则函数f＝12x的图象是5．若关于x的方程|ax－1|＝2a有两个不等实根，则a 的取值范围是A．∪B．c．D．题号2345答案二、填空题6．函数f＝－x＋3a，x<0，ax，x≥0是R上的减函数，则a的取值范围是________．7．设函数f＝x，x∈R是偶函数，则实数a＝________.8．若函数f＝ax－1的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________．三、解答题9．已知定义域为R的函数f＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．求a，b的值；若对任意的t∈R，不等式f＋f<0恒成立，求k的取值范围．0．已知函数f＝3x，f＝18，g＝λ•3ax－4x的定义域为[0,1]．求a的值．若函数g在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1．函数y＝1＋2x＋4xa在x∈a的n次方根根式根指数被开方数①na②na －na ±na ③a ⑤a 2.①nam ②1nam③0①ar＋s②ars③arbr 3.R y>1 0<y<1 0<y<1y>1 增函数减函数自我检测．B [只有④正确．①中a<0时，>0，a3<0，所以≠a3；②中，n为奇数时且a<0时，nan＝a；③中定义域为[2，73)∪．]2．c [∵y＝ax是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a ＝2或a＝1．]3．D [y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0.]4．D [2＝2－4＝4，∵a>1，b>0，∴ab>1,0<a－b<1，∴ab －a－b＝2.]5．D [由f＝ax－b的图象可以观察出，函数f＝ax－b 在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f＝ax－b的图象是在f＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.]课堂活动区例1 解题导引 1.指数幂的化简原则化负数指数为正指数；化根式为分数指数幂；化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解∵a，b是方程的两根，而由9x2－82x＋9＝0解得x1＝19，x2＝9，且a<b，故a＝19，b＝9，化去负指数后求解．a－1＋b－1ab－1＝1a＋1b1ab＝a＋bab1ab＝a＋b.∵a＝19，b＝9，∴a＋b＝829，即原式＝829.原式＝•÷＝＝.∵a＝19，∴原式＝3.变式迁移1 c [原式＝＝＝ab－1＝ab.]例2 解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解方法一由函数解析式可得y＝|x＋1|＝13x＋1，x≥－1，3xx<－1.其图象由两部分组成：一部分是：y＝x――→向左平移1个单位y＝x＋1；另一部分是：y＝3x――→向左平移1个单位y＝3x＋1．如图所示．方法二①由y＝|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y＝x的图象，保留x≥0的部分，当x<0时，其图象是将y＝x图象关于y轴对折，从而得出y＝|x|的图象．②将y＝|x|向左移动1个单位，即可得y＝|x＋1|的图象，如图所示．由图象知函数在上是减函数．由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 A [y＝ex＋e－xex－e－x＝1＋2e2x－1，当x>0时，e2x－1>0，且随着x的增大而增大，故y ＝1＋2e2x－1>1且随着x的增大而减小，即函数y在上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数，故只有A正确．] 例3 解题导引 1.指数函数y＝ax的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解设t＝ax，则y＝f＝t2＋2t－1＝2－2.当a>1时，t∈[a－1，a]，∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，满足a>1；当0<a<1时，t∈[a，a－1]，∴ymax＝2＋2a－1－1＝14，解得a＝13，满足0<a<1.故所求a的值为3或13.变式迁移3 解由2x－1≠0⇒x≠0，所以定义域为∪．证明f＝x3可化为f＝2x＋122x－1•x3，则f＝2－x＋122－x－13＝2x＋122x－1x3＝f，所以f＝f．证明当x>0时，2x>1，x3>0，所以x3>0.因为f＝f，所以当x<0时，f＝f>0.综上所述，f>0.课后练习区．B [由y＝中x≥0，所以y＝≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．]2．D [函数的定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝xax|x|＝ax，x>0－ax，x<0.当x>0时，函数是一个指数函数，其底数a满足0<a<1，所以函数递减；当x<0时，函数图象与指数函数y＝ax的图象关于x轴对称，函数递增．]3．D [函数定义域为R，关于原点对称，∵f＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f，∴f是偶函数，图象关于y轴对称．]4．A [当x<0时，0<2x<1，此时f＝2x；当x≥0时，2x≥1，此时f＝1.所以f＝12x＝2x x<0，1x≥0.]5．D [方程|ax－1|＝2a有两个不等实根可转化为函数y＝|ax－1|与函数y＝2a有两个不同交点，作出函数y＝|ax －1|的图象，从图象观察可知只有0<2a<1时，符合题意，即0<a<12.]6．[13，1)解析据单调性定义，f为减函数应满足：0<a<1，3a≥a0，即13≤a<1.7．－1解析设g＝ex＋ae－x，则f＝xg是偶函数．∴g＝ex＋ae－x是奇函数．∴g＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.8.3解析当a>1时，f＝2，∴a2－1＝2，a＝3，经验证符合题意；当0<a<1时，f＝2，即1－1＝2，无解．∴a＝3.9．解∵f是定义域为R的奇函数，∴f＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，…………………………………………………从而有f＝－2x＋12x＋1＋a.又由f＝－f知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a、b的值分别为2、1.……………………………………………………………由知f＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.由上式易知f在上为减函数．…………………………………………又因f是奇函数，从而不等式f<－f＝f．……………………………………………………………………………因为f是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.………………………………………………0．解方法一由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.…………………………此时g＝λ•2x－4x，设0≤x1<x2≤1，因为g在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g－g＝>0恒成立，……………………………即λ<恒成立．由于＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.……………………………………………………………………………………………方法二由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.……………………………………………………………………………………………此时g＝λ•2x－4x，因为g在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′＝λln2•2x－ln4•4x＝2xln2≤0成立，…………………………所以只需要λ≤2•2x恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………1．解由题意得1＋2x＋4xa>0在x∈又因为－1＋2x4x＝－2x－x，设t＝x，∵x≤1，∴t≥12且函数f＝－t2－t＝－2＋14在t＝12时，取到最大值．∴x＝12即x＝1时，－1＋2x4x的最大值为－34，………………………………………∴a>－34.…………………………………………………………………………………www.5ykj.co m。

2025高考数学一轮复习- 指数与指数函数-专项训练【含解析】

课时过关检测(九)指数与指数函数【原卷版】1．已知a＞0，则a2a3a2＝()A．a 65B．a56C．a 56 D．a532．已知函数f(x)＝2e xe x＋1＋x(其中e为自然对数的底数，e＝2．71828…)，若实数m满足f(m)＝－1，则f(－m)＝()A．4B．3C．2D．13．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A．3．6小时B．3．8小时C．4小时D．4．2小时6．(多选)已知f(x)＝1－2x1＋2x，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)在R上单调递增D．f(x)在R上单调递减7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．8．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．9．已知函数f(x)＝b·a x(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．10．已知f(x)＝a－23x＋1(a为常数)为奇函数，则满足f(ax)＞f(1)的实数x的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)11．(多选)关于函数f(x)＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形12．当x∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x＋4x a≥0恒成立，则a的取值范围是________．13．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|．(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．14．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x．若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为()A．35B．－35C．1D．－115．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数f (x )为理想函数，假定∃x 0∈[0,1]，使得f (x 0)∈[0,1]，且f [f (x 0)]＝x 0，求证：f (x 0)＝x 0．课时过关检测(九)指数与指数函数【解析版】1．已知a ＞0，则a 2a 3a 2＝()A ．a 65B ．a 56C ．a56-D ．a53解析：Ba 2a 3a 2＝a 2a 12·a23＝a 1-2223＝a 56．故选B ．2．已知函数f (x )＝2e xe x ＋1＋x (其中e 为自然对数的底数，e ＝2．71828…)，若实数m 满足f (m )＝－1，则f (－m )＝()A ．4B ．3C ．2D ．1解析：B由题意，函数f (x )＝2e x e x ＋1＋x ，可得f (－x )＝2e －xe －x ＋1－x ＝2e x 1e x＋1－x ＝2e x ＋1－x ，可得f (x )＋f (－x )＝2e x e x ＋1＋x ＋2e x ＋1－x ＝2，即f (m )＋f (－m )＝2，因为f (m )＝－1，所以f (－m )＝3．故选B ．3．函数y ＝16－4x 的值域是()A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)解析：C要使函数有意义，须满足16－4x ≥0，则x ∈(－∞，2]，所以4x ∈(0,16]，则0≤16－4x ＜16，即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．故选C ．4．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是()解析：Af 0)＜0，f 1)＞0，f －1)＜0ab ＜0，①(－a )(1－b )＞0，②(1－a )(－1－b )＜0，③因为a ＞b ，所以由①可得：a ＞0＞b ，由③可得：－1－b ＞0⇒b ＜－1，由②可得：1－a ＞0⇒a ＜1，因此有1＞a ＞0＞－1＞b ，所以函数g (x )＝a x ＋b 是减函数，g (0)＝1＋b ＜0，所以选项A 符合，故选A ．5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N (mg/L)与时间t 的关系为N ＝N 0e －kt (N 0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A ．3．6小时B ．3．8小时C ．4小时D ．4．2小时解析：C由题意可得N 0e－4k＝45N 0，可得e －4k ＝45，设N 0e －kt＝0．64N 045N 0，可得e －kt＝(e －4k )2＝e －8k ，解得t ＝8．因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时．故选C ．6．(多选)已知f (x )＝1－2x1＋2x ，则()A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )在R 上单调递增D ．f (x )在R 上单调递减解析：ADf (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x1＋2x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除B ；因为f (x )＝1－2x 1＋2x ＝21＋2x －1，且y ＝2x在R 上单调递增，所以y ＝1＋2x 在R 上单调递增，所以y ＝21＋2x－1在R 上单调递减，即f (x )在R 上单调递减，排除C ．故选A 、D ．7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．①当x 1x 2≥0时，f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x )为偶函数．解析：若满足①对任意的x 1x 2≥0有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，则对应的函数为指数函数y ＝a x 的形式；若满足②f (x )为偶函数，只需要将x 加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数满足f (x )＝a |x |(a ＞0，a ≠1)即可．答案：f (x )＝2|x |(答案不唯一)8．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1．由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．答案：(1，＋∞)f (－4)＞f (1)9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )的图象经过点A (1,6)，B (3,24)·a ＝6，·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3．所以f (x )＝3·2x ．(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]－m ≥0恒成立，即m ＋在x ∈(－∞，1]上恒成立．又因为y 与y 均为减函数，所以y 也是减函数，所以当x ＝1时，y 有最小值56．则m ≤56，故m ∞，56．10．已知f (x )＝a －23x ＋1(a 为常数)为奇函数，则满足f (ax )＞f (1)的实数x 的取值范围是()A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：A因为函数f (x )＝a －23x ＋1为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝2a －23x ＋1－23－x ＋1＝2a －23x ＋1－2·3x 3x (3－x ＋1)＝2a －2(1＋3x )3x ＋1＝2a －2＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝1－23x ＋1，任取x 1＞x 2，则3x 1＞3x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝23x 2＋1－23x 1＋1＝2(3x 1－3x 2)(3x 1＋1)(3x 2＋1)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，则函数f (x )为R 上的增函数，由f (x )＞f (1)，解得x ＞1．故选A ．11．(多选)关于函数f (x )＝14x ＋2的性质，下列说法中正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形解析：ACD函数f (x )＝14x ＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x ＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )D 正确．12．当x ∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x ＋4x a ≥0恒成立，则a 的取值范围是________．解析：不等式1＋2x ＋4x a ≥0恒成立，转化为－a ≤1＋2x4x ＝，易知函数y是R 上的减函数，因此x ∈(－∞，－1]时，y min 11＝6，所以－a ≤6，即a ≥－6．答案：[－6，＋∞)13．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |．(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对任意t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以2x ＝2，所以x ＝1．(2)当t ∈[1,2]时，22t t0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)，又y ＝－22t －1，t ∈[1,2]为减函数，所以y max ＝－22－1＝－5，故m ≥－5．即m 的取值范围是[－5，＋∞)．14．已知g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且满足g (x )－h (x )＝2x ．若存在x ∈[－1,1]，使得不等式m ·g (x )＋h (x )≤0有解，则实数m 的最大值为()A ．35B ．－35C ．1D ．－1解析：A∵g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且g (x )－h (x )＝2x ①，∴g (－x )－h (－x )＝g (x )＋h (x )＝2－x②，①②两式联立可得g (x )＝2x ＋2－x 2，h (x )＝2－x －2x2．由m ·g (x )＋h (x )≤0得m ≤2x －2－x 2x ＋2－x ＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1，∵y ＝1－24x ＋1在x ∈[－1,1]上为增函数，＝35，故选A ．15．对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数f (x )为理想函数，假定∃x 0∈[0,1]，使得f (x 0)∈[0,1]，且f [f (x 0)]＝x 0，求证：f (x 0)＝x 0．解：(1)若函数f (x )为理想函数，取x 1＝x 2＝0，由条件③可得f (0)≥f (0)＋f (0)，即f (0)≤0．由条件①对任意的x ∈[0,1]，总有f (0)≥0．综上所述，f (0)＝0．(2)函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])为理想函数，证明如下：函数g (x )＝2x －1在[0,1]上满足g (x )≥0，即满足条件①．∵g (1)＝21－1＝1，∴g (x )满足条件②．若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③．综上所述，g(x)同时满足理想函数的三个条件，故g(x)为理想函数．(3)证明：由条件③知，任给m，n∈[0,1]，当m＜n时，n－m∈[0,1]，∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)．若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾；若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾．综上所述，x0＝f(x0)．。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：2.5指数与指数函数Word版含答案

指数与指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． (4)知道指数函数是一类重要的函数模型．知识点一根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a . (3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r 、s ∈Q )．②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )． ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．易误提醒在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．[自测练习]1．化简(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .答案：D知识点二指数函数的图象与性质易误提醒指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.必备方法1．指数函数图象的三个关键点画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．3．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．[自测练习]2．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解：当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C. 答案：C3．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x(x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ，故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525，即a >c ，故a >c >b . 答案：A4．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案：(1,2)考点一指数幂的化简与求值|求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫21412-－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a 12-b －1)÷(4a 23·b －3)12； (3)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a 13-b13(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a 16-b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a 16-b －3÷(a 13b 32-)＝－54a 12-·b 32-＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.(3)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a13-b 13＝a3111263+-+b111233+--＝ab －1.指数幂运算的四个原则1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． 4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．考点二指数函数图象及应用|(1)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，故选B.[答案] B(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． [解析] 曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] [－1,1]与指数函数图象有关的应用问题的两种求解策略1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)可知T ＝2.∵x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又∵f (x )是偶函数，∴可得图象如图．∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是4个．故选D. 答案：D考点三指数函数的性质及应用|高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属于低档题．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．比较指数式的大小．2．与指数函数有关的奇偶性及应用． 3．探究指数型函数的性质．探究一比较指数式的大小1．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b <a <c ，故选C.答案：C探究二与指数函数有关的奇偶性及应用2．(2015·高考山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x ＝－2x ＋12x －a，即1－a ·2x ＝－2x＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x，所以a ＝1，f (x )＝2x＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.答案：C探究三指数型函数的性质应用 3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.指数函数的性质及应用问题三种解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．4.换元法解决与指数函数有关的值域问题【典例】函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． [思路点拨] 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝t 2，这样原函数就可转化为二次函数． [解析] 因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57.[答案] ⎣⎡⎦⎤34，57 [方法点评] 与指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化．[跟踪练习] 已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5， ∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52A 组考点能力演练1．已知函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b <0D ．0<a <1，b >0解析：由图象呈下降趋势知，0<a <1，又a －b <1＝a 0，故－b >0，即b <0. 答案：C2．函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析：根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，排除C ，D.又函数y ＝2x ，y ＝－2－x都是R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f (x )＝2x －2－x 是R 上的增函数，故选A.答案：A3．(2015·日照模拟)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13解析：∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫53，f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫2－23＝f ⎝⎛⎭⎫43，又∵x ≥1时，f (x )＝3x －1为单调递增函数，且43<32<53，∴f ⎝⎛⎭⎫43<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫53，即f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13，故选B. 答案：B4．已知实数a ，b 满足等式2a ＝3b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0； ⑤a ＝b ＝0.其中有可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：依题意，在同一坐标系下画出函数y ＝2x ，y ＝3x 的图象与直线y ＝t ，平移直线y ＝t ，通过观察可知，直线y ＝t 分别与函数y ＝2x ，y ＝3x 的图象的交点的横坐标a ，b 的大小关系可能是a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图， ∵a f (c )>f (b )，结合图象知， 0<f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1.∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )<1，∴0<c <1. ∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c －1， ∴2a ＋2c <2，故选D.答案：D6．计算：⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－⎝⎛⎭⎫－2323＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝a x －1＋1(a ≠0)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标是________．解析：由题意，因为a 为变量，所以只有当a x －1为定值时，函数的图象才过定点，所以x ＝1，y ＝2，定点A (1,2)．答案：(1,2)8．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上， f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a 2.∴a (2a －1)＝0， ∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12. 综上可知，a ＝12或a ＝32. 答案：12或329．已知2x 2－x ≤⎝⎛⎭⎫14x －1，求函数y ＝2x －2－x 的值域．解：由2x 2－x ≤⎝⎛⎭⎫14x －1＝2－2x ＋2，得x 2－x ≤－2x ＋2，即x 2＋x －2≤0解得－2≤x ≤1.令t ＝2x ，t ∈⎣⎡⎦⎤14，2，则y ＝t －1t ，易知y ＝t －1t在区间⎣⎡⎦⎤14，2上是增函数，所以，函数y ＝t －1t的值域为⎣⎡⎦⎤－154，32，即函数y ＝2x －2－x 的值域为⎣⎡⎦⎤－154，32. 10．(2016·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立 ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0，又⎝⎛⎭⎫t ＋12≥0，∴⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12，∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． B 组高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x解析：对于选项A ，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠f (x )f (y )＝x 3y 3，排除A ；对于选项B ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 在其定义域内是单调增函数，B 正确；对于选项C ，f (x ＋y )＝x ＋y ≠f (x )f (y )＝x 12y 12＝xy ，排除C ；对于选项D ，f (x ＋y )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫12x ⎝⎛⎭⎫12y ＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在其定义域内是减函数，排除D.故选B.答案：B2．(2015·高考山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解． ②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32. 答案：－323．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．解析：不等式2x 2－x <4可转化为2x 2－x <22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．答案：(－1,2)4．(2015·高考福建卷)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示，因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.答案：1。

2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第九讲 指数与指数函数