离散数学左孝凌版ppt

例4将下列命题符号化。 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。 (3)若 2+2＝4，则太阳从东方升起。 (3)若 2+2≠4，则太阳从东方升起。 (4)若 2+2＝4，则太阳从西方升起。 (5)若 2+2≠4，则太阳从西方升起。 解：在（1）、（2）中，设P：天下雨；Q：我骑自行车上 班。 （1）ᄀP→Q （2）Q →ᄀP 在（3）－（6）中，设P： 2+2＝4；Q：太阳从东方升起； R: 太阳从西方升起。 （1）P→Q， 真值为T （2）ᄀP→Q， 真值为T （3）P→R ， 真值为F （4）ᄀP→R 真值为T
其中P、Q和R代表任意的命题公式。
例6 验证吸收律 P∨（P∧Q）⇔P和 P∧（P∨Q）⇔P
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
P∨（P∧Q）P∨Q T T T T F T F F
P∧（P∨Q） T T F F
定义1-4.3 如果X是合式公式A的一部分,且X本身也是一个合 式 公式,则称X为公式 A的子公式。
定义1－2.1 设P为任一命题，P的否定是一个新的命题，称为P 的否定式，记作ᄀP。ᄀ为否定联结词。
1－2.联结词
P
ᄀP
T
F
例
F
T
p：3是偶数。 ᄀp：3不是偶数。
定义1－2.2 设P、Q为两命题，复合命题“P并且Q”（或“P和Q”）称为 P与Q的 合取式，记作P∧Q，∧为合取联结词。 ∧表示自然语言中的“既……又……”， “不仅……而且……”， “虽然……但是”
例1 构造求ᄀP∨Q的真值表。
P T T F F
Q T F T F
ᄀP F F T T
ᄀP∨Q T F T T
例2 给出（P∧Q）∧ᄀP的真值表。
P T T F
Q T F T
P∧Q T F F
ᄀP （P∧Q）∧ᄀP F F T F F F
F
F
F
T
F
例3 给出（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）的真值表。
2．等价公式
P T T F F
Q T F T F
ᄀP F F T T
ᄀP∨Q T F T T
P→Q T F T T
（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）与P⇄Q对应的真值相同。
定义1－4.2 给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，Pn为所有出现于A和B中的 原子变元,若给P1，P2，…，Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则称A和B是等价 的或逻辑相等。记作A⇔B。
注意：不是见到“和” 、“与”就用 ∧。 例：“李文和李武是兄弟”，“王芳和陈兰是好朋友”是简 单命题。
定义1－2.3 设P、Q为两命题，复合命题“P或Q”称为 P与Q的析取式，记作 P∨Q， F
P ∨Q T T T F
析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P和Q同时为真。 例：“王燕学过英语或日语” P∨Q 自然语言中的“或”具有二义性，有时表示不相容的或。 例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥性的或。 P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
定义1-2.5 设P、Q为两命题，复合命题“P当且仅当 记作P⇄ Q， ⇄ 为等价联结词。 P⇄Q表示P与Q互为充分必要条件。
Q”称作 P与Q的等价式，
P T T F F
Q T F T F
P⇄ Q T F F T
例5将下列命题符号化。 （1）2+2＝4，当且仅当3是奇数。 （2）2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 （3）2+2≠4，当且仅当3是奇数。 （4）2+2≠4，当且仅当3不是奇数。 （5）两圆的面积相等，当且仅当它们的半径相同。 （6）两角相等当且仅当它们是对顶角。 解：（1）－（4）设P：2+2＝4；Q：3是奇数。 （1）P⇄Q 真命题 （2）P⇄ᄀQ 假命题 （3）ᄀP⇄Q 假命题 （4）ᄀP⇄ᄀQ 真命题 （5）设P：两圆的面积相等；Q：两圆的面积相同。 P⇄Q 真命题 （6）设P：两角相等；Q：它们是对顶角。 P⇄Q 假命题
P T T
Q ᄀP ᄀQ T F F F F T
P∧Q ᄀP∧ᄀQ （P∧Q）∨ （ᄀP∧ᄀQ） T F T F F F
F
F
T T
F T
F
T
F
F
F
T
F
T
例4 给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。
P Q P∧Q ᄀ（P∧Q） ᄀP ᄀQ ᄀP∨ᄀQ ᄀ（P∧Q）⇄ （ᄀP∨ᄀQ）
T T T T F F
F T
F F
F T
F T
T T
F T F
F F F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
由以上例子可以看出有一类命题公式不论各命题变元作何种批派，其值永为真 （假），我们把这类公式记为T（F）。如例4和例2
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的各种指派下，其对应的真值都完全 相同，如ᄀP∨Q与P→Q的对应真值相同。
证明 P→Q ⇔ᄀP∨Q， （根据蕴涵等价式）
ᄀ P∨Q ⇔ᄀ（P∧ᄀq），（德· 摩根律） 即P→q⇔ᄀ（P∧ᄀq）
例8 证明P→(Q→R) ⇔(P∧Q) →R
证明 P→(Q→R)
⇔ᄀP∨(Q→R) ⇔ᄀP∨(ᄀQ∨R) ⇔(ᄀP∨ᄀQ) ∨R ⇔ᄀ(P∧Q) ∨R ⇔(P∧Q) →R （蕴涵等价式） （蕴涵等价式） （结合律） （德· 摩根律） （蕴涵等价式）
P∨（P∧Q）⇔P 吸收律 P∧（P∨Q）⇔P P∨T ⇔T 零律 P∧F ⇔F P∨F⇔P 同一律 P∧T ⇔P P∨ᄀP ⇔T 排中律 P∧ᄀP ⇔F 矛盾律 P→Q ⇔ᄀP∨Q 蕴涵等价式 P ⇄ Q ⇔（P→Q）∧（Q→P） 等价等价式 P→Q ⇔ᄀQ→ᄀP 假言易位 P ⇄ Q ⇔ᄀP ⇄ᄀQ 等价否定等价式 （P→Q）∧（P→ᄀQ）⇔ᄀP 归谬论
4.5种联结词的优先级顺序：ᄀ，∧，∨，→，⇄
1-3命题公式与翻译
1.命题公式 命题公式：由命题常量、命题变元、联结词、括号 命题公式中的命题变元称作命题公式的分量。
等组成的符号串。
定义1－3.1 （1）单个命题常量或命题变 元,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,… ，F，T是合式公式。 （2）如果A是合式公式，则（ᄀA）也是合式公式。 （3）如果A、B是合式公式，则（A∧B）、（A ∨B）、（A→B）、（A⇄B） 也是合式公式。 （4）只有有限次地应用（1）－（3）组成的符号串才是合式公式。 例：P, ᄀP, (ᄀP)), (0∧P),P→(P→Q), ((P∨Q) →R) →(ᄀR)是公式； PQ→R,, ᄀ(P→), ᄀP→Q)不是公式。
定理1－4.1如果X是合式公式A的子公式，若X⇔Y，如果将A 中的X用Y来置换，所得到公式B与公式A等价，即A⇔B。 证明 因为在相应变元的任一种指派下，X与Y的真值相同，故 以Y取代X后，公式B与公式 A在相应的指派下，其真值必相同， 故A⇔B。 满足定理1－4.1的置换称为等价置换（等价代换）
例7 证明P→Q⇔ᄀ（P∧ᄀQ）
命题变项也用P，Q，R,…, Pi,Qi,Ri,…表示。 复合命题：由简单命题用联结词联结而成的命题。
例2 将下列命题符号化。 （1）3 不是偶数。 （2）2 是素数和偶数。 （3）林芳学过英语或日语。 （4）如果角A和角B是对顶角，则角A 等于角B。 解：（1）设P：3是偶数。 ᄀP （ᄀ：表示并非） （2）设P：2 是素数；Q：2是偶数。 P∧Q ( ∧:表示和) （3）设P：林芳学过英语；Q：林芳学过日语。 P∨Q (∨:表示或) （4）设P：角A和角B是对顶角；Q：角A 等于角B。 P→Q （→个表示如果……则……）
1－4真值表与等价公式
1.真值表 定义1－4.1含n个（n≥1）个命题变元（分量）的命题公式， 共有2n组真值指派。将命题公式A在所有真值指派之下取值 的情况列成表，称为A的真值表。 构造真值表的步骤： (1)找出命题公式中所含的所有命题变元P1,P2,…,Pn。列出所 有可能的真值指派。 (2)对应每种真值指派，计算命题公式的各层次的值，直到最 后计算出命题公式的值。
2.翻译
翻译就是把自然语言中的有些句子符号化。 复合命题符号化的基本步骤： （1）分析出各简单命题，将它们符号化。 （2）使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起来，组成复合命题的符号化表示。
例 将下列命题符号化。 （1）小王是游泳冠军或是百米冠军。P∨Q （2）小王现在在宿舍或在图书馆。P∨Q （排斥性或，不可能同时为真） (3)选小王或小李中的一人当班长。 （P ∧ ᄀQ） ∨ （ᄀP∧Q）或 ᄀ（P⇄Q） （排斥性或，可能同时为真）
定义1－2.4 设P、Q为两命题，复合命题“如果P，则Q”称作 P与Q的蕴涵式，记 作P→Q，→为蕴涵联结词。
P T T F F
Q T F T F
P→Q T F T T
在P→Q中，Q是P的必要条件，P是Q的充分条件。表示自然语言 “只要P就Q” ， “P仅当Q”， “只有Q，才P” 注意：1.在自然语言中，“如果P，则Q”中的P与Q往往有某 种内在的联系，但在 数理逻辑中，P→Q中的P与Q不一定有内在的联系。 2.在数学中，“如果P，则Q”表示P为真，Q为真的逻辑关系，但在数理逻辑中， 当P为假时P→Q为真。
例9 证明 P⇔(P∧Q) ∨(P∧ᄀQ)
证明 P ⇔P∧1 ⇔P∧(Q∨ᄀQ) ⇔(P∧Q) ∨(P∧ᄀQ) (同一律) （排中律） （分配律）
练习 1.证明 Q∨ᄀ( (ᄀP∨Q) ∧P)⇔T; 2.证明 (P∨ᄀP) →( (Q∧ᄀQ) ∧R) ⇔F 3.证明 (P→Q) ∧ᄀP⇔ᄀP
1,证明Q∨ᄀ( (ᄀP∨Q) ∧P) ⇔Q∨ᄀ( (ᄀP∧P) ∨(P∧Q) ) （分配律） ⇔Q∨ᄀ( F ∨(P∧Q) ) （矛盾律） ⇔Q∨ᄀ(P∧Q) （同一律） ⇔Q∨(ᄀP∨ᄀQ) （德· 摩根律） ⇔(Q∨ᄀQ) ∨ᄀP （结合律） ⇔T∨ᄀP （排中律） ⇔T （零律）