湘教版高中数学必修1同步练习：1.2.1对应、映射和函数 Word版含答案

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湘教版高中数学必修第一册课后习题第2章一元二次函数、方程和不等式 2.1.1 等式与不等式

2.1 相等关系与不等关系2.1.1 等式与不等式A 级必备知识基础练1.已知0<=<NB.M>NC.M=ND.M 与N 的大小关系不确定2.已知实数a,b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是()A.1b >1aB.a 2>b 2C.b-a>0D.|b|a<|a|b3.设实数a=√5−√3,b=√3-1,c=√7−√5,则( )A.b>a>cB.c>b>aC.a>b>cD.c>a>b4.已知=x 2x+2y ,N=4(x -y )5,则M 和N 的大小关系为( )A.M>NB.M<NC.M=ND.以上都有可能5.若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+b b ≤c+d d .B级关键能力提升练6.下列结论正确的是( )A.若ac>bc,则a>bB.若a>b,c>d,则a+c>b+dC.若a<b,则1a >1bD.若a>b,c<d,则ac >bd7.(多选题)已知a,b,c为非零实数,且a-b≥0,则下列结论正确的有( )A.a+c≥b+cB.-a≤-bC.a2≥b2D.1a ≤1b9.已知0<a<b,且a+b=1,试比较:(1)a2+b2与b的大小;(2)2ab与12的大小.答案：1.B M-N=xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1).∵0<>N.故选B.2.A 由实数a,b在数轴上对应的点可知b<a<0,因此1b >1a ,故A 正确; 由b<a<0可知a 2<b 2,故B 错误;由b<a,可得b-a<0,故C 错误;由b<a<0,可得|b|a=|a|b,故D 错误.故选A.3.A √5−√3=√5+√3,√3-1=√3+1√7−√5=√7+√5, ∵√3+1<√3+√5<√5+√7,∴√3+1>√5+√3>√7+√5,即b>a>c.4.A ∵M-N=x 2x+2y −4(x -y )5=x 2+8y 2-4xy5(x+2y )=x 2+4y 2-4xy+4y 25(x+2y )=(x -2y )2+4y 25(x+2y )>0,∴M>N.故选A.5.证明因为bc-ad≥0,所以ad≤bc.因为bd>0, 所以a b ≤c d ,所以a b +1≤c d +1,所以a+b b ≤c+dd .6.B 若ac>bc,c<0,则a<b,A 错误;若a>b,c>d,则a+c>b+d,B 正确;若a<b,a<0,b>0,则1a<1b ,C 错误; 若a>b,c<d,c=0,则a c 不存在,D 错误.故选B.7.AB 因为a-b≥0,则a≥b,根据不等式性质可知A,B 正确;因为a,b 符号不确定,所以C,D 选项无法确定,故不正确.故选AB.9.解(1)因为0<a<b,且a+b=1,所以0<a<12<b,则a 2+b 2-b=a 2+b(b-1)=a 2-ab=a(a-b)<0,所以a 2+b 2<b.(2)因为2ab-12=2a(1-a)-12=-2a 2+2a-12=-2(a 2-a+14)=-2(a -12)2<0,所以2ab<12.。

湘教版必修1高考题同步试卷：1.2+函数的概念和性质(01)

湘教版必修1高考题同步试卷：1.2 函数的概念和性质（01）一、选择题（共26小题）1．函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）2．函数y=+的定义域为（）A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}3．函数f（x）=+lg的定义域为（）A．（2，3） B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]4．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．45．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油6．函数y=ln（1﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1]D．[0，1]7．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．9．把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣310．函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）11．设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）12．函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2 B．0 C．D．613．设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）14．已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞916．函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2） B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）17．函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）18．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣119．函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（2，4）∪（4，+∞）20．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx21．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1| 22．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．323．已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣1624．如果最小值是（）A．B．C．﹣1 D．25．设函数y=f（x）定义在实数集上，则函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于（）A．直线y=0对称B．直线x=0对称C．直线y=1对称D．直线x=1对称26．在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）27．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．28．已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=．29．函数y=ln（1+）+的定义域为．30．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x （1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=．湘教版必修1高考题同步试卷：1.2 函数的概念和性质（01）参考答案与试题解析一、选择题（共26小题）1．函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．2．函数y=+的定义域为（）A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}【分析】保证两个根式都有意义的自变量x的集合为函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则需，解得0≤x≤1，所以，原函数定义域为[0，1]．故选：D．【点评】本题考查了函数定义域的求法，求解函数的定义域，是求使的构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量x的取值集合．3．函数f（x）=+lg的定义域为（）A．（2，3） B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，＞0等价为①即，即x＞3，②，即，此时2＜x＜3，即2＜x＜3或x＞3，∵﹣4≤x≤4，∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，故选：C．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2x﹣a（x＞0），即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，∴﹣log22+a﹣log24+a=1，解得，a=2，故选：C．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油【分析】根据函数图象的意义逐项分析各说法是否正确．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了函数图象的意义，属于中档题．6．函数y=ln（1﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1]D．[0，1]【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项【解答】解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选：B．【点评】本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题．7．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的表示方法﹣﹣图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．9．把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣3【分析】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．【解答】解：把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，即向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后得到y=f（x）的图象，∴f（x）=e x﹣2+3，故选：C．【点评】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．再根据平移变换的口决“左加右减，上加下减”即可解答．10．函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．11．设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x≥0，得x≤1，即M=（﹣∞，1]，又全集为R，所以∁R M=（1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．12．函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2 B．0 C．D．6【分析】先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．【解答】解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选：B．【点评】本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．13．设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】求出函数f（x）的定义域得到集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，又全集为R，所以∁R M=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．14．已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f （b），故可得，0＜a＜1＜b，则lga=﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．【解答】解：（方法一）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0∴lg（ab）=0∴ab=1，又a＞0，b＞0，且a≠b∴（a+b）2＞4ab=4∴a+b＞2故选：C．（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：，整理得线性规划表达式为：，因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y⇒y=﹣x+z，即求函数的截距最值．根据导数定义，函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），∴a+b的取值范围是（2，+∞）．故选：C．【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，根据条件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号）列出关系式（a+b）2＞4ab=4，进而解决问题．15．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9，故选：C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．16．函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2） B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】分析可知，，解出x即可．【解答】解：由题意可得，，解得，即x＞2．∴所求定义域为（2，+∞）．故选：C．【点评】本题是对基本计算的考查，注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时，被开方数要大于等于0”，及“分母不为0”，即可确定所有条件．高考中对定义域的考查，大多属于容易题．17．函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．18．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【分析】首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y 轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选：D．【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，是基础题．19．函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（2，4）∪（4，+∞）【分析】根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：2＜x＜3，或x＞3所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．20．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可．【解答】解：对于选项A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；故选：D．【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．21．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．22．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．【点评】本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果．23．已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16【分析】先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B即可．【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x ﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f （x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．【点评】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．24．如果最小值是（）A．B．C．﹣1 D．【分析】由|x|，可进一步得到sinx的范围，借助二次函数求最值的配方法，就可以确定出函数的最小值．【解答】解：函数f（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=∵|x|≤，∴∴∴时，故选：D．【点评】本题有两点值得注意：（1）sin2x+cos2x=1（2）求函数最值的有效方法之一是函数思想，即求最值建函数．25．设函数y=f（x）定义在实数集上，则函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于（）A．直线y=0对称B．直线x=0对称C．直线y=1对称D．直线x=1对称【分析】本选择题采用取特殊函数法．根据函数y=f（x）定义在实数集上设出一个函数，由此函数分别求出函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x），最后看它们的图象的对称即可．【解答】解：假设f（x）=x2，则f（x﹣1）=（x﹣1）2，f（1﹣x）=（1﹣x）2=（x﹣1）2，它们是同一个函数，此函数图象关于直线x=1对称．故选：D．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．26．在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．【分析】要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B．【解答】解：在A中，由二次函数开口向上，故a＞0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a＜0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选：D．【点评】根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．二、填空题（共4小题）27．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．28．已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=﹣2．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．29．函数y=ln（1+）+的定义域为（0，1] ．【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组解之即可求出所求．【解答】解：由题意得：，即解得：x∈（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及偶次根式函数的定义域，属于基础题．30．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x （1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣x（x+1）．【分析】当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由已知表达式可求得f（x+1），根据f（x+1）=2f（x）即可求得f（x）．【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由题意f（x）=f（x+1）=（x+1）[1﹣（x+1）]=﹣x（x+1），故答案为：﹣x（x+1）．【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题，正确理解函数定义是解决问题的关键．第21页（共21页）。

高中数学 121对应、映射和函数课时检测湘教版必修1

1.2 函数的概念和性质1.2.1 对应、映射和函数双基达标（限时20分钟）1．已知A ＝{－1，1}，映射f ：A →A ，则对x ∈A ，下列关系中肯定错误的是不( )．A ．f (x )＝xB ．f (x )＝－1C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝x ＋2答案 D2．已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (1)等于 ( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析 f (1)＝1＋11＝2. 答案 B3．下列各组函数中，表示同一函数的是 ( )．A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 和y ＝x 2xC ．y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2D ．y ＝（x ）2x 和y ＝x （x ）2解析 A ，B 中两函数的定义域不同，C 中的两个函数对应关系不同，故选D.答案 D4．已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|，则f (1)＝________．解析 f (1)＝12＋|1－2|＝2.答案 25．已知集合A 到集合B ＝{2，3，4，5}的映射f ：x →y ＝|x |－1，且集合B 中至少有一个元素在集合A 中没有原象，则集合A 中最多有________个元素．解析若|x |－1＝2，则x ＝±3；若|x |－1＝3，则x ＝±4；若|x |－1＝4，则x ＝ ±5；若|x |－1＝5，则x ＝±6.又因为集合B 中至少有一个元素在集合A 中没有原象，所以集合A 中最多有6个元素．答案 66．已知A ＝{1，2，3，m }，B ＝{4，7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N ＋.若x ∈A ，y ∈B ，有对应关系f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个函数，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值．解由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7， ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝1. 故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N ＋，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的象是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的象是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.综合提高 (限时25分钟)7．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f （2）f ⎝⎛⎭⎫12＝()． A ．1 B ．－1 C.35 D ．－35解析 ∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－1⎝⎛⎭⎫122＋1＝－35，∴f （2）f ⎝⎛⎭⎫12＝35×⎝⎛⎭⎫－53＝－1.答案 B8．g (x )＝54－3x ，f (x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫14×g ⎝⎛⎭⎫14等于 ()． A ．－32 B.32C.152 D ．9解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫14＝1－⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫142＝15， g ⎝⎛⎭⎫14＝54－34＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫14·g ⎝⎛⎭⎫14＝152.答案 C9．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个．解析 a →c ，b →c ；a →d ，b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个．答案 410．若f (x )＝ax 2－2，a 为一个正的常数，且f [f (2)]＝－2，则a ＝________．解析因为f (2)＝2a － 2.所以f [f (2)]＝f (2a －2)＝a ·(2a －2)2－2＝－2，所以a ·(2a －2)2＝ 0(a >0)，故2a －2＝0，所以a ＝22.答案 2211．已知f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，若g (f (x ))＝x 2＋x ＋1，求a 的值．解 ∵f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，∴g (f (x ))＝g (2x ＋a )＝14[(2x ＋a )2＋3]＝x 2＋ax ＋14(a 2＋3)．又g (f (x ))＝x 2＋x ＋1，∴x 2＋ax ＋14(a 2＋3)＝x 2＋x ＋1，解得a ＝1.12．(创新拓展)已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)与f ⎝⎛⎭⎫13；(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 有什么关系？并证明你的发现；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13(＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 012.解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＝221＋22＝45，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝15，f (3)＝321＋32＝910，f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝110.(2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，证明如下：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1.(3)由(2)知：f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13 ＝1，…，f (2 012)＋f ⎝⎛⎭⎫12 012＝1，∴原式＝12＋1＋1＋1＋…＋1,\s \do 4(2 011个))＝2 011＋12＝4 0232.。

湘教版高中数学必修一课件1-2-1对应、映射和函数必修1

预习测评
1．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是( )． A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值答案 A
2．下列各组函数表示同一函数的是 A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3
自学导引
1．映射的定义：设A，B是两个__非__空_的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有_唯__一__元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B 的_映__射__，记作__f_：__A_→__B_．在映射f：A→B中，集合A叫作映射的__定__义__域__，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的_象__(image)，记作y＝f(x)G，x 叫作y的_原__象__(inverseimage)．
解 (1)对于任意一个非零实数 x，2x被 x 唯一确定，所以当 x
≠0 时，x→2x是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝2x(x≠0)．
(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对应，所以，x→y(y2＝x)不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应．点评 1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)． 2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： (1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个值，是否都有唯一确定的值y与之对应．
高中数学课件

2019湘教版高中数学必修一1-2-1对应、映射和函数必修1精品课件

3．函数的定义：设A，B是两个非空的_数__集__，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有 _唯__一__的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B 的_函__数__(function)，记作f：A→B，或者__y_＝__f(_x_)(x∈A， y∈B)．
这里，A叫作函数的_定__义__域__，与x∈A对应的数y叫x的__象__, 记作y＝f(x)，由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的 _值__域__． 4．观察实际例子并对照定义看出，一个函数f(x)有三个要素：首先是_对__应__法__则_，也就是如何从x确定f(x)的法则．不知道对__应__法__则__，就不能从根本上了解这个函数．其次是_定__义__域_，就是自变量x的取值范围．对应法则形式上相同的两个函数，若_定__义__域_不同，就算不同的函数．知道了对应法则和定义域，_值__域__也就确定了，对_值__域__的了解表明对函数有了更深入的认识，所以_值__域__也算是函数的要素之一．
自学导引
1．映射的定义：设A，B是两个__非__空_的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有_唯__一__元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B 的_映__射__，记作__f_：__A_→__B_．在映射f：A→B中，集合A叫作映射的__定__义__域__，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的_象__(image)，记作y＝f(x)G，x 叫作y的_原__象__(inverseimage)．
由x＋1＝32， x2＋1＝54，
得 x＝12.
所以 2在 B 中对应元素为( 2＋1，3)，32，54在 A 中对应元素
为12.
题型三对函数定义的理解【例3】判断下列对应是否为函数：

湘教版高中数学必修1同步练习：1.2.3从图象看函数的性质 Word版含答案

1．函数32yx是()．A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数也是偶函数2．函数f(x)＝x2＋4x＋6在下列哪个区间上是单调递增函数()．A．[－4,4] B．[－6，－3]C．(－∞，0] D．[－1,5]3．下列说法中，不正确的是()．A．图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B．奇函数的图象一定经过原点C．偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数D．图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数4．下图是根据y＝f(x)绘出来的，则下列判断正确的是()．A．a的图象表示的函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数B．b的图象表示的函数y＝f(x)是偶函数C．c的图象表示的函数y＝f(x)是奇函数D．d的图象表示的函数y＝f(x)既不是奇函数也不是偶函数5．函数的图象如图所示，则该函数在下面哪个区间上单调递减()．A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]6．若函数f(x)＝k(x＋2)在其定义域上是单调递减函数，则k的取值范围是__________．7．已知f(x)是一个奇函数，且点P(1，－3)在其图象上，则必有f(－1)＝__________.8．已知函数f(x)的图象如下图所示，则其最大值等于__________，最小值等于__________，它的单调增区间是__________．9．通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现在课堂上学生接受一个概念的能力与教师在引入概念之前提出和描述问题的时间有关．刚开始阶段学生接受能力渐增，但随着时间延长，由于学生的注意力开始分散，因此接受能力开始下降．分析结果表明学生接受概念能力g(x)与提出和描述问题所用时间x的图象如下图：问：自提出问题和描述问题开始多长时间时，学生接受概念的能力最强？10．已知一个函数f(x)是偶函数，它在y轴左侧的图象如下图所示：(1)试画出该函数在y轴右侧的图象；(2)根据图象说明函数在y轴右侧的哪些区间是单调递减函数，哪些区间是单调递增函数？参考答案1.答案：A解析：函数32yx=是反比例函数，画出其图象知关于原点中心对称，故它是一个奇函数，选A．2.答案：D解析：f(x)＝(x＋2)2＋2，它是一条抛物线，对称轴是x＝－2，由图象知，它在区间[－1,5]上是单调递增函数，选D．3.答案：B解析：奇函数如果在x＝0时有意义，它一定过原点，但如果x＝0时函数无意义，那它就不过原点，例如1yx=，选B．4.答案：D解析：事实上，a，b，c三个图形根本不是函数的图象，所以谈不上是奇函数还是偶函数，d图是函数图象，但它既不关于原点对称也不关于y轴对称，所以它表示的函数既不是奇函数也不是偶函数，选D．5.答案：B6.答案：k＜07.答案：3解析：∵f(x)是奇函数，其图象必关于原点对称，而点P(1，－3)在其图象上，∴点P′(－1,3)也必在其图象上，从而f(－1)＝3.8.答案：3－1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，和[1,3]9.解：由图象可知，当x＝13时，曲线达到最高点，即学生的接受能力最强．10.解：(1)y轴右侧的图象如下图：(2)函数在[1,3]和[6,8]上是单调增函数，在[3,6]上是单调递减函数．。

湘教版高中数学必修一课件1.2.1对应、映射和函数

课堂讲义
• 要点三映射的个数问题 • 例3 已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A
到集合B的所有不同的映射有多少个？
解分两类考虑： (1)集合 A 中的两个元素都对应 B 中相同元素的映射有 3 个．
课堂讲义
(2)集合 A 中的两个元素对应 B 中不同元素的映射有 6 个．
∴A 到 B 的映射共有 9 个．
• (2)已知集合A＝{a，b}，B＝{2,0，－2}，f是从A到B的映射，且f(a)＋f(b)＝0，求这样的映
解射(1f)的可以个建数立．以下 8 个不同的映射：
课堂讲义
(2)符合要求的映射 f 有以下 3 个：
课堂讲义
要点四函数的概念例 4 下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( )
有当y≥－1时，它在A中才有原象，而当y＜－1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于－1的元素没有原象．
课堂讲义
• 规律方法 1.解答此类问题的关键是： • (1)分清原象和象； • (2)搞清楚由原象到象的对应法则； • 2．对A中元素，求象只需将原象代入对应法
则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解．
60°相对应的 B 中的元素是________，与 B 中元素
2 2
相对应的 A 中的元素是________．
答案
(1)D
3 (2) 2
45°
课堂讲义
解析 (1)由映射定义知，B 中至少有元素 1,2,3,4，即 B 中至少有 4 个元素，选 D. (2)60°角的正弦等于 23，45°角的正弦等于 22，所以 60°的象是 23， 22的原象是 45°.
都有 2 个 y 值与之对应，不是函数，C 项中由于 x－2≥0 且 1

高中数学第1章1.2.1知能优化训练湘教版必修1

高中数学第1章1.2.1知能优化训练湘教版必修11．下列各图中表示的由A 到B 的对应能构成映射的个数是()A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A.(1)(2)(3)图所表示的对应都符合映射的定义．对于(4)(5)图，A 中的每一个元素在B 中都有两个元素与之对应，所以不是A 到B 的映射．对于(6)图，A 中的元素a 3，a 4在B 中没有元素与之对应，所以不是A 到B 的映射．综上可知，能构成映射的个数为3.2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35解析：选B.f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－35.3．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )A ．x ＝y 2＋1B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y 解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一．4．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个．解析：a →c ，b →c ；a →d ，b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个．答案：45．已知(x ，y )在映射f 作用下的象是(x ＋y ，xy )，则(3,4)的象为________．解析：x ＝3，y ＝4，∴x ＋y ＝7，xy ＝12，象为(7,12)．答案：(7,12)一、选择题 1．已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (1)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：选B.f (1)＝1＋11＝2.2．(2011年浏阳一中高一月考)下列对应中是集合A 到集合B 的映射的个数为( )①A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{2,4,6,8,10}，对应法则f ：x →y ＝x ＋1，x ∈A ，y ∈B ； ②A ＝{x |0°＜x ＜90°}，B ＝{y |0＜y ＜1}，对应法则f ：x →y ＝sin x ，x ∈A ，y ∈B ；③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ≥0}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选D.①x ＝1,3,5,7,9分别对应y ＝2,4,6,8,10，是映射；②x ∈A 时，y ∈B 是映射；③对x ∈A 时，都有唯一y ∈B ，都是映射．3．下列哪组中的两个函数是同一函数( )A ．y ＝(x )2与y ＝x B ．y ＝(3x )3与y ＝xC ．y ＝x 2与y ＝(x )2D ．y ＝3x 3与y ＝x 2x解析：选B.A 、C 、D 因定义域不同．4．设集合A 和集合B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 把集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12 D ．(1,3)解析：选B.根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12，所以(2,1)的原象为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( )A ．π2B ．π C.π D ．不确定解析：选B.∵π2∈R ，∴f (π2)＝π.6．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1} D ．∅或{2}解析：选B.∵f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的函数，且B ＝{1,2}，∴集合A 为{－1,1，－2，2}，或{－1,1，－2}，或{－1,1，2}，或{－1，－2，2}，或{1，－2，2}，或{－1，－2}，或{－1，2}，或{1，－2}，或{1，2}， ∴A ∩B ＝∅，或A ∩B ＝{1}．二、填空题7．点(x ，y )在映射f 下的象为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋y 2，－x ＋3y 2，则点(2,0)在f 作用下的原象是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y 2＝2，－x ＋3y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.答案：(3，1)8．f (x )＝11＋x，g (x )＝x 2－1，则f (2)＝________，f [g (2)]＝________.解析：f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22－1＝3，f [g (2)]＝f (3)＝11＋3＝14.答案：13 149．若f (x )＝ax 2－2，a 为一个正的常数，且f [f (2)]＝－2，则a ＝________. 解析：因为f (2)＝2a － 2.所以f [f (2)]＝f (2a －2)＝a ·(2a －2)2－2＝－2，所以a ·(2a －2)2＝0(a ＞0)，故2a －2＝0，所以a ＝22.答案：22三、解答题10．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素．解：将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素为12. 11．下列对应是不是从A 到B 的映射，为什么？(1)A ＝(0，＋∞)，B ＝R ，对应法则是“求平方根”；(2)A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤1}，对应法则是f ：x →y ＝x 24(其中x ∈A ，y ∈B )；(3)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤1}，对应法则是f ：x →y ＝(x －2)2(其中x ∈A ，y ∈B )；(4)A ＝{x |x ∈N }，B ＝{－1,1}，对应法则是f ：x →y ＝(－1)x(其中x ∈A ，y ∈B )．解：(1)不是从A 到B 的映射．因为任何正数的平方根都有两个，所以对A 中任何一个元素，在B 中都有两个元素与之对应．(2)是从A 到B 的映射．因为A 中每个数的平方除以4后，都在B 中有唯一的数与之对应．(3)不是从A 到B 的映射．因为A 中有的元素在B 中无元素与之对应．如0∈A ，而(0－2)2＝4∉B .(4)是从A 到B 的映射．因为A 中每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应． 12．下列式子能否确定y 是x 的函数？(1)x 2＋y 2＝2；(2)x －1＋y －1＝1； (3)y ＝x －2＋1－x .解：(1)由x 2＋y 2＝2得y ＝±2－x 2，不能确定y 是x 的函数，如当x ＝1时，由它所确定的y 值有两个．(2)由x －1＋y －1＝1，得y ＝(1－x －1)2＋1.所以当x 在{x |x ≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥01－x ≥0，得x ∈∅，故由它不能确定y 是x 的函数．。

湘教版高中数学必修1同步练习：1.2.5函数的定义域和值域 Word版含答案

1．下列函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( )．A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )2．函数12y x =( )． A ．(－∞，2] B ．(－∞，1]C ．(－∞，＋∞)D ．无法确定3．函数f (x )＝()12x f x x+=+(0≤x ≤2且x ∈N ＋)的值域是( )． A ．123234⎧⎫⎨⎬⎩⎭，， B ．2334⎧⎫⎨⎬⎩⎭， C ．304x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．34x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭4．函数02(1)21x y x x +=--的定义域是( )． A ．12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B ．1,12x x x ⎧⎫≠-≠-⎨⎬⎩⎭且 C ．1,12x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且 D ．1,1,12x x x x ⎧⎫≠-=-≠⎨⎬⎩⎭且且 5．函数()6123x f x x+=-的值域是( )． A ．{y |y ≠2} B ．12y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭C ．23y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭D ．{y |y ≠－2} 6．若函数()1x f x x =-的定义域是M ，值域是N ，那么M 与N 之间的关系是__________．7．函数2123y x x=+-__________．8．函数y ＝1－3x __________．9．如图所示，在一张边长为20 cm 的正方形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x cm 的小正方形，折成一个容积是y cm 3的无盖长方体铁盒．试写出用x 表示y 的函数解析式，并指出它的定义域．10．已知函数f (x )＝ax ＋1.(1)当a ＝1时，求f (x )的定义域；(2)若f (x )的定义域是{x |x ≤－6}，求a 的值；(3)当a ＝2时，求f (x )的值域．参考答案1. 答案：D解析：选项A ，C 中的函数定义域为R ，B 中函数定义域是{x |x ≠0}，只有D 项符合．2. 答案：A解析：依题意有2－x ≥0，∴x ≤2，故定义域是(－∞，2]，选A ．3. 答案：B解析：f (1)＝23，f (2)＝34，故函数值域为2334⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，选B ． 4. 答案：D 解析：由210,210,x x x +≠⎧⎨--≠⎩得1,1 1.2x x x ≠-⎧⎪⎨≠-≠⎪⎩且即12x ≠-，且x ≠－1，且x ≠1. 5. 答案：D 解析：61616455223323232x x x y x x x x ++-+==-=-=------，函数定义域为23x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，当23x ≠时，5032x ≠-，52232x --≠--，即y ≠－2.故函数值域是{y |y ≠－2}，选D ．6. 答案：M ＝N解析：要使函数有意义，应有x －1≠0，所以x ≠1，即函数定义域是{x |x ≠1}．又1111111x x y x x x -+===+---，当x ≠1时，101x ≠-，y ≠1. 所以值域是{y |y ≠1}．因此M ＝N .7. 答案：{x |x ≤1且x ≠0}解析：要使函数有意义，应满足2230,10,x x x ⎧-≠⎨-≥⎩ 即3021x x x ⎧≠≠⎪⎨⎪≤⎩且，，因此x ≤1且x ≠0，故函数定义域是{x |x ≤1且x ≠0}．8. 答案：{y |y ≥－5}解析：函数有意义时，必满足4－2x ≥0，即x ≤2，∴定义域是{x |x ≤2}．又f (x ＋h )－f (x )＝[1－3(x ＋h )]－(1－3x＝3h -3h -+由于h ＞0，x ≤2，∴30h -<. 故f (x )在定义域(－∞，2]上单调递减．因此f (x )≥f (2)＝－5，即值域是{y |y ≥－5}．9. 解：由题意知，无盖长方体铁盒的高为x cm ，底面是边长为(20－2x )cm 的正方形．由20－2x ＞0，所以0＜x ＜10，则y ＝x ·(20－2x )2，故y 关于x 的函数解析式是y ＝x (20－2x )2，其定义域是(0,10)．10. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x ＋1∴2x －6≥0，x ≥3.故函数的定义域是{x |x ≥3}；(2)要使函数有意义，应有2ax －6≥0，即2ax ≥6，ax ≥3.而函数定义域是{x |x ≤－6}，∴由ax ≥3解得x 的范围应是x ≤－6. ∴036a a<⎧⎪⎨=-⎪⎩，，解得12a =-. (3)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋14x －6≥0，32x ≥，∴函数定义域是32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 又f (x ＋h )－f (x )＝2(x ＋h )＋12x －1＝2h 2h＞0. ∴f (x )在定义域32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭上单调递增．故f (x )≥32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4，即值域为{y |y ≥4}．。

(湘教版)高中数学必修一(全册)课时同步练习汇总

（湘教版）高中数学必修一（全册）课时同步练习汇总1．下列集合中有限集的个数是()．①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1 B．2 C．3 D．42．下列说法正确的个数是()．①集合N中最小的数是1；②－a不属于N＋，则a∈N＋；③所有小的正数构成一个集合；④方程x2－4x＋4＝0的解的集合中有且只有两个元素．A．0 B．1 C．2 D．33．下列选项正确的是()．A．x－5∈N＋B．π∉R C．1∉Q D．5∈Z4．已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．由a2,2－a,4组成一个集合M，M中含有3个元素，则实数a的取值可以是()．A．1 B．－2 C．6 D．26．若集合M中只有2个元素，它们是1和a2－3，则a的取值范围是__________．7．关于集合有下列说法：①大于6的所有整数构成一个集合；②参加2010年亚运会的著名运动员构成一个集合；③平面上到原点O的距离等于1的点构成一个集合；④若a∈N，则－a∉N；⑤若x＝2，则x∉Q.其中正确说法的序号是__________．8．由方程x2－3x＋2＝0的解和方程x2－4x＋4＝0的解构成的集合中一共有__________个元素．9．若所有形如3a(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6-+是不是集合A中的元素．10．数集M满足条件：若a∈M，则11aa+-∈M(a≠±1，且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的M的元素求出来．参考答案1. 答案：C解析：④为无限集，①②③为有限集． 2. 答案：A解析：集合N 中最小的数应为0，所以①错；12a =时，－a ∉N ＋，且a ∉N ＋，故②错；“小的正数”不确定，不能构成集合，③错；方程x 2－4x ＋4＝0只有一个解x ＝2，它构成的集合中只有一个元素，故④错．3. 答案：D解析：x 的值不确定，故x －5的值不一定是正整数，故A 错；应有π∈R,1∈Q ，故B ，C 均错．4. 答案：D解析：S 中含有三个元素，应互不相等，即三角形的三条边互不相等，故该三角形一定不是等腰三角形．5. 答案：C解析：将各个值代入检验，只有a ＝6使得集合M 中元素满足互异性． 6. 答案：a ≠2且a ≠－2解析：由集合元素的互异性知a 2－3≠1，a 2≠4，所以a ≠2且a ≠－2. 7. 答案：①③⑤解析：“著名运动员”的性质不确定，不能构成集合，故②不正确；当a ＝0时，a ∈N ，且－a ∈N ，故④错误．8. 答案：2解析：方程x 2－3x ＋2＝0的解是1和2，方程x 2－4x ＋4＝0的解是2，它们构成的集合中仅含有2个元素．9. 解：由于6-+3×(－2)×2，且－2∈Z,2∈Z ，所以6-+A中的元素，即6-+A ．1＝3×13＋1，但由于13∉Z ，不是集合A ∉A ． 10. 解：∵a ＝3∈M ，∴1132113a a ++==---∈M .∴121123-=-+∈M.∴11131213-=+∈M.∴1123112+=-∈M.∴M中的元素有：3，－2，13-，12.1．已知集合A＝{x∈N|x≤≤，则有()．A．－1∈A B．0∈ACA D．2∈A2．集合M＝{x|x2－6x＋9＝0}的所有元素之和等于()．A．3 B．6 C．9 D．03．方程组3,1x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解集不可表示为()．A．3, (,)1x yx yx y⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭B．1, (,)2xx yy⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭C．{1,2}D．{(1,2)}4．下列集合中为∅的是()．A．{0} B．{x|x2－1＝0}C．{x|x＜0} D．{x|x2＋1＝0}5．设A＝{a|a使方程ax2＋2x＋1＝0有唯一实数解}，则A用列举法可表示为()．A．A＝{1} B．A＝{0}C．A＝{0,1} D．A＝{0}或{1}6．集合{x|－3≤x≤3，x∈N}，用列举法表示为________．7．若集合A＝{x|2x－5＜x－1}，B＝，＋∞)，用适当的符号填空：①4________A；B；③－2________A；④1________B．8．用描述法表示集合1111,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭为__________．9．用适当的方法表示下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集．(1)方程x2－9＝0的解集；(2)大于0且小于10的奇数构成的集合；(3)不等式x－3＞2的解集；(4)抛物线y＝x2上的点集；(5)方程x2＋x＋1＝0的解集．10．已知集合A＝{x|x2＋2x＋m＝0}．(1)若2∈A，求实数m的值；(2)若集合A中有两个元素，求m的取值范围；(3)若集合A是空集，求m的取值范围．参考答案1.答案：B解析：A＝{x∈N|x≤≤＝{0,1}，因此0∈A．2.答案：A解析：M＝{x|x2－6x＋9＝0}＝{x|(x－3)2＝0}＝{x|x＝3}＝{3}，即M中仅有一个元素3.3.答案：C解析：方程组只有一个解，解的形式是数对，而C选项中的集合中含有两个元素，且元素是实数，不是数对，故不可能是方程组的解集．4.答案：D解析：选项D中的集合表示方程x2＋1＝0的解集，该方程没有实数解，故该集合为∅.5.答案：C解析：当a＝0时，方程2x＋1＝0有唯一解12x=-；当a≠0，且Δ＝22－4a＝0，即a＝1时，方程x2＋2x＋1＝0有唯一解x＝－1.6.答案：{0,1,2,3}解析：集合{x|－3≤x≤3，x∈N}表示不小于－3且不大于3的自然数，因此只有0,1,2,3四个元素．7.答案：①∉②∈③∈④∉8.答案：1,4 x x n nn+⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭N且解析：观察元素1，12，13，14的特征可设1xn=，n∈N＋且n≤4，故用描述法表示为1,4 x x n nn+⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭N且.9.解：(1)用列举法表示为{3，－3}，用描述法表示为{x|x2－9＝0}，集合中有两个元素，是有限集．(2)用列举法表示为{1,3,5,7,9}，用描述法表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋，且1≤k≤5}，集合中有五个元素，是有限集．(3)用描述法表示为{x|x＞5}，集合中有无数个元素，是无限集．(4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}，抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集．(5)方程x2＋x＋1＝0无实数解，故该方程的解集为∅，是有限集．10.解：(1)由2∈A知，2是A中的元素，即2是方程x2＋2x＋m＝0的一个根，因此22＋2×2＋m＝0，解得m＝－8；(2)集合A中有两个元素，即方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，因此Δ＝4－4m＞0，解得m＜1；(3)集合A是空集，即方程x2＋2x＋m＝0没有实数根，因此Δ＝4－4m＜0，解得m＞1.1．设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是()．A．{0}⊆M B．{0}∈MC．∅∈M D．0⊆M2．满足条件{a}M⊆{a，b，c，d}的所有不同集合M的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．93．设全集U＝{x|－1≤x≤5}，A＝{x|0＜x＜1}，则∁U A＝()．A．{x|－1≤x≤0}B．{x|1≤x≤5}C．{x|－1≤x≤0或1≤x≤5}D．{x|－1≤x＜0或1＜x≤5}4．已知A＝{x|x2－3x＋a＝0}，B＝{1,2}，且B⊆A，则实数a的值为()．A．1 B．2 C．3 D．05．集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}，若∅M，则实数a的范围是()．A．a≤－1 B．a≤1C．a≥－1 D．a≥16．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0且y＜0}，那么集合M与P之间的关系是__________．7．设全集U＝R，A＝{x|x＜0或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若U A⊆U B，则a的取值范围是__________．8．若全集I＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4, 4}，且I A＝{7}，则实数a的值等于__________．9．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x－2a＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的值．10．已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B A，求实数m所构成的集合M，并写出M的所有子集．参考答案1.答案：A解析：{0}与M都是集合，它们之间不能用“∈”连接，故B，C均错；0是元素，它和集合M间不能用“⊆”连接，故D错，只有A项正确．2.答案：B解析：满足条件的M有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}．3.答案：C解析：借助数轴可得U A＝{x|－1≤x≤0或1≤x≤5}．4.答案：B解析：∵B＝{1,2}，且B⊆A，∴1与2是方程x2－3x＋a＝0的两解．∴a＝2.5.答案：C解析：∵∅M，∴ M不能是空集，即关于x的方程x2＋2x－a＝0有实数根，∴Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1.6.答案：M＝P解析：由x＋y＜0且xy＞0可得x＜0且y＜0，所以集合M与P都表示直角坐标系中第三象限的点的集合，所以M＝P.7.答案：a≥1解析：U A={x|0≤x＜1}，B={x|x＜a}，U∵U A⊆U B，∴画出数轴并表示出U A与U B，由数轴可得a的取值范围为a≥1.8.答案：－2解析：依题意可知21742a aa⎧-+=⎨+=⎩，，解得a＝－2.代入检验知a＝－2符合题意．9.解：依题意A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4,0}，B＝{x|x－2a＝0}＝{2a}，由于B⊆A，则2a∈A．∴2a＝－4或2a＝0.解得a＝－2或a＝0.即实数a的值为－2或0.10.解：由x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3，∴A＝{2,3}．由B A知B＝{2}，或B＝{3}，或B＝∅，若B＝∅，则m＝0；若B＝{2}，则12 m=，若B＝{3}，则13m=，故M＝1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，.从而M的所有子集为∅，{0}，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，13⎧⎫⎨⎬⎩⎭，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，13⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，.1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于()．A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}2．已知集合A＝{x|x－1＞0}，B＝{x|x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为()．A．{x|x＞1} B．{x|x≥3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x≤1}3．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∩(U B)等于()．A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}5．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，且A⊆R B，则实数a的取值范围是()．A．a＞－2 B．a≥－2C．a＜－2 D．a≤－26．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝__________.7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若U A＝{1,2}，则实数m＝__________.8．集合A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，则A＝__________，B＝__________.9．已知集合P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，若P∩Q＝∅.求实数k的取值范围．10．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R.(1)求A∪B；(2)(R A)∩B；(3)如果A∩C≠∅，求a的取值范围．参考答案1.答案：D解析：(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，故选D．2.答案：C解析：阴影部分表示的集合是A∩B，所以A∩B＝{x|x＞1}∩{x|x＜3}＝{x|1＜x＜3}．3.答案：B解析：易见N M，则“a∈M”“a∈N”，但有“a∈N”⇒“a∈M”．故选B．4.答案：D解析：∵U B＝{x|－1≤x≤4}，∴A∩(U B)＝{x|－2≤x≤3}∩{x|－1≤x≤4}＝{x|－1≤x≤3}．5.答案：A解析：∵B＝{x|x－a≥0}＝{x|x≥a}，∴R B＝{x|x＜a}，又A⊆R B，∴a＞－2，故选A．6.答案：－1解析：∵A∩B＝{1}，∴1∈A．又A＝{0,2，a2}，∴a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合B不满足集合元素的互异性，∴a＝－1.7.答案：－3解析：∵U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故0和3是方程x2＋mx＝0的两根，解得m＝－3.8.答案：{3,5}{2,3}解析：依题意，集合A是方程x2－px＋15＝0的解集，集合B是方程x2－5x＋q＝0的解集．又A∪B＝{2,3,5}，所以只能是3和5是方程x2－px＋15＝0的两根．2和3是方程x2－5x＋q＝0的两根，即A＝{3,5}，B＝{2,3}．9.解：①若Q＝∅，则P∩Q＝∅，此时有k＋1＞2k－1，即k＜2.②若Q≠∅，由P∩Q＝∅，有如下图：∴12115k kk+≤-⎧⎨+>⎩，或12121 2.k kk+≤-⎧⎨-<-⎩，解得k＞4.综上所述，k的取值范围是{k|k＜2或k＞4}．10.解：(1)因为A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，所以A∪B＝{x|2＜x＜10}．(2)因为A＝{x|3≤x＜7}，所以R A＝{x|x＜3或x≥7}．所以(R A)∩B＝{x|x＜3或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．(3)如图，当a＞3时，A∩C≠∅.1．函数y＝f(x)的图象与y轴的交点有()．A．至少一个B．至多一个C．一个D．不确定2．下列对应法则f中，不是从集合A到集合B的映射的是()．A．A＝{x|1＜x＜4}，B＝[1,3)，f：求算术平方根B．A＝R，B＝R，f：取绝对值C．A＝{正实数}，B＝R，f：求平方D．A＝R，B＝R，f：取倒数3．如果(x，y)在映射f下的象为(x＋y，x－y)，那么(1,2)的原象是()．A．3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，B．3122⎛⎫-⎪⎝⎭，C．3122⎛⎫--⎪⎝⎭，D．3122⎛⎫⎪⎝⎭，4．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：y＝－|x|＋2，x∈A，y∈B，对于实数m∈B，在集合A中不存在原象，则m的取值范围是()．A．m＞2 B．m≥2C．m＜2 D．m≤25．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，对A中的所有元素x，总有x＋f(x)为奇数，那么从A 到B的映射f的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．46．下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有__________．(1)B中任何一个元素在A中必有原象(2)A中不同元素在B中的象也不同(3)A中任何一个元素在B中的象是唯一的；(4)A中任何一个元素在B中可以有不同的象；(5) B中某一元素在A中的原象可能不止一个；(6)集合A与B一定是数集；(7)记号f：A→B与f：B→A的含义是一样的．7．若f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y) |x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)，在此映射下的原象是(3,1)，则k＝________，b＝________.8．若集合A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，f是A到B的映射，且满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则这样的映射的个数是__________．9．设A＝B＝{a，b，c，d，e，…，x，y，z}(元素为26个英文字母)，作映射f：A→B 为：并称A中字母拼成的文字为明文，相应B中对应的字母拼成的文字为密文．(1)求“mathematics”的密文是什么？(2)试破译密文“ju jt gvooz”．10．若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4, 7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A，B．参考答案1.答案：B解析：由函数的定义知，若f(x)在x＝0处有定义，则与y轴必有一个交点，若f(x)在x ＝0处无定义，则没有交点．2.答案：D解析：D选项中，A中的元素0不存在倒数，不符合映射的定义，故选D．3.答案：B解析：∵(1,2)为象，∴12x yx y+=⎧⎨-=⎩，，解得32x=，12y=-.4.答案：A解析：由于当x∈R时，y＝－|x|＋2≤2，所以A中元素在B中的象的取值范围是y≤2，所以若B中实数m不存在原象时，必有m＞2，选A．5.答案：A解析：符合要求的映射是：当x＝0时，0＋f(0)＝0＋3＝3是奇数，当x＝1时，x＋f(x)＝1＋f(1)＝1＋2＝3是奇数，其余均不符合要求．6.答案：(3)( 5)7.答案：2 1解析：由3612kb=⎧⎨+=⎩，，解得21.kb=⎧⎨=⎩，8.答案：7解析：符合要求的映射f有以下7个：9.解：(1)“mathematics”对应的密文是“nbuifnbujdt”．(2)“ju jt gvooz”对应的明文是“it is funny”．10.解：∵1对应4,2对应7，∴可以判断A中元素3对应的或者是a4，或者是a2＋3a. 由a4＝10，且a∈N知a4不可能为10.∴a2＋3a＝10，即a1＝－5(舍去)，a2＝2.又集合A中的元素k的象只能是a4，∴3k＋1＝16.∴k＝5.∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(2)＝().A．1 B．2 C2．y＝f(x)的图象如图，则函数的定义域是()．A．[－5,6) B．[－5,0]∪[2,6]C．[－5,0)∪[2,6) D．[－5,0]∪[2,6)3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )．A ．y ＝50x (x ＞0)B ．y ＝100x (x ＞0)C ．50y x =(x ＞0) D ．100y x=(x ＞0) 4．已知()2xf x x =+，则f (f (－1))的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．25．某人从甲村去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行，下图中横轴表示走的时间，纵轴表示某人与乙村的距离，则较符合该人走法的图象是( )．6．已知111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则f (x )＝________. 7．已知函数f (x )满足f (x －1)＝x 2，那么f (2)＝__________.8．某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是__________，值域是__________.9资的方式是：第一个月1 000元，以后每个月比上一个月多100元．设该大学生试用期的第x 个月的工资为y 元，则y 是x 的函数，分别用列表法、图象法和解析法表示该函数关系．10．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．参考答案1. 答案：C2. 答案：D3. 答案：C 解析：依题意有12(x ＋3x )y ＝100，所以xy ＝50，50y x=，且x ＞0，故y 与x 的函数关系式是50y x=(x ＞0)． 4. 答案：C 解析：∵()2x f x x =+，∴f (－1)＝112--+＝－1. ∴f (f (－1))＝f (－1)＝112--+＝－1. 5. 答案：D解析：(1)开始乘车速度较快，后来步行，速度较慢；(2)开始某人离乙地最远，以后越来越近，最后到达乙地，符合(1)的只有C ，D ，符合(2)的只有B ，D ．6. 答案：1x x + 解析：令1t x =，则1x t =，将1x t=代入111f x x⎛⎫= ⎪+⎝⎭，得()1111tf t t t==++.∴()1x f x x =+.7. 答案：9解析：令x －1＝2，则x ＝3，而32＝9，所以f (2)＝9. 8. 答案：{1, 2,3,4,5} {90,92,93,94,95} 9. 解：(1)该函数关系用列表法表示为：(2)(3)该函数关系用解析法表示为：y＝100x＋900，x∈{1,2,3，…，6}．10.解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋(a＋b)＝2x.∴22aa b=⎧⎨+=⎩，，解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.1．函数32yx=是()．A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数也是偶函数2．函数f(x)＝x2＋4x＋6在下列哪个区间上是单调递增函数()．A．[－4,4] B．[－6，－3]C．(－∞，0] D．[－1,5]3．下列说法中，不正确的是()．A．图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B．奇函数的图象一定经过原点C．偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数D．图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数4．下图是根据y＝f(x)绘出来的，则下列判断正确的是()．A．a的图象表示的函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数B．b的图象表示的函数y＝f(x)是偶函数C．c的图象表示的函数y＝f(x)是奇函数D．d的图象表示的函数y＝f(x)既不是奇函数也不是偶函数5．函数的图象如图所示，则该函数在下面哪个区间上单调递减()．A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]6．若函数f(x)＝k(x＋2)在其定义域上是单调递减函数，则k的取值范围是__________．7．已知f(x)是一个奇函数，且点P(1，－3)在其图象上，则必有f(－1)＝__________.8．已知函数f(x)的图象如下图所示，则其最大值等于__________，最小值等于__________，它的单调增区间是__________．9．通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现在课堂上学生接受一个概念的能力与教师在引入概念之前提出和描述问题的时间有关．刚开始阶段学生接受能力渐增，但随着时间延长，由于学生的注意力开始分散，因此接受能力开始下降．分析结果表明学生接受概念能力g(x)与提出和描述问题所用时间x的图象如下图：问：自提出问题和描述问题开始多长时间时，学生接受概念的能力最强？10．已知一个函数f(x)是偶函数，它在y轴左侧的图象如下图所示：(1)试画出该函数在y轴右侧的图象；(2)根据图象说明函数在y轴右侧的哪些区间是单调递减函数，哪些区间是单调递增函数？参考答案1.答案：A解析：函数32yx=是反比例函数，画出其图象知关于原点中心对称，故它是一个奇函数，选A．2.答案：D解析：f(x)＝(x＋2)2＋2，它是一条抛物线，对称轴是x＝－2，由图象知，它在区间[－1,5]上是单调递增函数，选D．3.答案：B解析：奇函数如果在x＝0时有意义，它一定过原点，但如果x＝0时函数无意义，那它就不过原点，例如1yx=，选B．4.答案：D解析：事实上，a，b，c三个图形根本不是函数的图象，所以谈不上是奇函数还是偶函数，d图是函数图象，但它既不关于原点对称也不关于y轴对称，所以它表示的函数既不是奇函数也不是偶函数，选D．5.答案：B6.答案：k＜07.答案：3解析：∵f(x)是奇函数，其图象必关于原点对称，而点P(1，－3)在其图象上，∴点P′(－1,3)也必在其图象上，从而f(－1)＝3.8.答案：3－1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，和[1,3]9.解：由图象可知，当x＝13时，曲线达到最高点，即学生的接受能力最强．10.解：(1)y轴右侧的图象如下图：(2)函数在[1,3]和[6,8]上是单调增函数，在[3,6]上是单调递减函数．1．若区间(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调递增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1＜x 2，则有( )． A ．f (x 1)＜f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)＞f (x 2) D ．以上都有可能 2．下列说法正确的是( )．A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，且当x 1＜x 2时．有f (x 1)＜f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上是递增函数B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，且当x 1＜x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上是递增函数C ．若f (x )在区间I 1上是递增函数，在区间I 2上也是递增函数，那么f (x )在I 1∪I 2上也一定为增函数D ．若f (x )在区间I 上是递增函数且f (x 1)＜f (x 2)(x 1，x 2∈I )，那么x 1＜x 2 3．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调递减区间是( )． A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2] D ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 4．函数()11f x x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( )． A ．15，1 B ．1，15 C ．17，1 D ．1，175．若函数f (x )＝ax 2＋3在[0，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )．A．a≥0 B．a＞0C．a≤0 D．a＜06．函数f(x)＝－x2＋4x的单调递增区间是__________．7．函数21xyx+=+在区间[2,4]上的最大值为__________，最小值为__________．8．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的递减函数，且f(x)＜f(2x－3)，则x的取值范围是________．9．证明f(x)＝x2＋6x＋1在(－3，＋∞)上单调递增．10．已知f(x)是定义域为[－2,2]上的单调递增函数，且f(2x－3)＜f(2－x)，求x的取值范围．参考答案1. 答案：A解析：由函数单调性的定义知当x 1＜x 2时，必有f (x 1)＜f (x 2)，选A ． 2. 答案：D解析：A ，B 项都忽略了x 1，x 2的任意性．C 项中f (x )在I 1∪I 2上不一定是递增函数，如函数()1f x x=-在x ∈(－∞，0)上单调递增；在x ∈(0，＋∞)上也单调递增，但在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上不单调递增．对于D 项，由增函数的定义可知其正确．3.答案：D解析：由二次函数y ＝x 2－3x ＋2的对称轴为32x =且开口向上，所以其单调递减区间为32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，故选D ． 4. 答案：B解析：由于f (x ＋h )－f (x ) ＝1111(1)(1)hx h x x h x --=+--+--，∵h ＞0，x ≥2，∴0(1)(1)hx h x -<+--.故f (x )在[2,6]上单调递减，∴f (x )在[2,6]上的最大值为f (2)＝1，最小值为1(6)5f =. 5. 答案：D解析：f (x ＋h )－f (x )＝[a (x ＋h )2＋3]－(ax 2＋3)＝2ahx ＋ah 2＝ah (2x ＋h )． ∵x ＞0，h ＞0.又f (x ＋h )－f (x )＜0，∴a ＜0. 6. 答案：(－∞，2]解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，所以其对应图象是抛物线，且开口向下，对称轴是x ＝2，故其单调增区间是(－∞，2]．7. 答案：43 65解析：由于f (x ＋h )－f (x )＝2211(++1)(+1)x h x hx h x x h x ++---=+++，由于h ＞0，x ∈[2,4]，∴0(++1)(+1)hx h x -<，故f(x)在[2,4]上单调递减．∴当x＝4，函数21xyx+=+有最小值f(4)，426(4)145f+==+.∴当x＝2，函数21xyx+=+有最大值f(2)，224(2)123f+==+.8.答案：33 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，解析：由题意知23023xxx x>⎧⎪->⎨⎪>-⎩，，，∴32＜x＜3.9.证明：f(x＋h)－f(x)＝(x＋h)2＋6(x＋h)＋1－x2－6x－1＝2hx＋h2＋6h＝h(h＋2x＋6)，∵h＞0，x∈(－3，＋∞)，∴2x＋6＞0，h＋2x＋6＞0.∴h(h＋2x＋6)＞0，即f(x＋h)－f(x)＞0.故f(x)在(－3，＋∞)上单调递增．10.解：∵f(x)是定义在[－2,2]上的函数，∴2232222xx-≤-≤⎧⎨-≤-≤⎩，，解得1522x≤≤.又f(x)在[－2,2]上单调递增，且f(2x－3)＜f(2－x)．故2x－3＜2－x，∴53 x<.综上可知15 23x≤<.即x的取值范围是15 23x≤<.1．下列函数中，定义域为{x|x＞0}的是()．A．f(x)＝x B．f(x)＝1 xC．f(x)＝|x| D．f(x)2．函数12y x =( )． A ．(－∞，2] B ．(－∞，1] C ．(－∞，＋∞) D ．无法确定 3．函数f (x )＝()12xf x x+=+(0≤x ≤2且x ∈N ＋)的值域是( )． A ．123234⎧⎫⎨⎬⎩⎭，， B ．2334⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C ．304x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．34x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭4．函数02(1)21x y x x +=--的定义域是( )． A ．12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B ．1,12x x x ⎧⎫≠-≠-⎨⎬⎩⎭且C ．1,12x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且D ．1,1,12x x x x ⎧⎫≠-=-≠⎨⎬⎩⎭且且5．函数()6123x f x x+=-的值域是( )． A ．{y |y ≠2} B ．12y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭C ．23y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭D ．{y |y ≠－2} 6．若函数()1xf x x =-的定义域是M ，值域是N ，那么M 与N 之间的关系是__________．7．函数2123y x x=-__________．8．函数y ＝1－3x 的值域是__________．9．如图所示，在一张边长为20 cm 的正方形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x cm 的小正方形，折成一个容积是y cm 3的无盖长方体铁盒．试写出用x 表示y 的函数解析式，并指出它的定义域．10．已知函数f(x)＝ax＋1(1)当a＝1时，求f(x)的定义域；(2)若f(x)的定义域是{x|x≤－6}，求a的值；(3)当a＝2时，求f(x)的值域．参考答案1. 答案：D解析：选项A ，C 中的函数定义域为R ，B 中函数定义域是{x |x ≠0}，只有D 项符合． 2. 答案：A解析：依题意有2－x ≥0，∴x ≤2，故定义域是(－∞，2]，选A ． 3. 答案：B 解析：f (1)＝23，f (2)＝34，故函数值域为2334⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，选B ． 4. 答案：D解析：由210,210,x x x +≠⎧⎨--≠⎩得1,11.2x x x ≠-⎧⎪⎨≠-≠⎪⎩且即12x ≠-，且x ≠－1，且x ≠1. 5. 答案：D 解析：61616455223323232x x x y x x x x ++-+==-=-=------，函数定义域为23x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，当23x ≠时，5032x ≠-，52232x --≠--，即y ≠－2.故函数值域是{y |y ≠－2}，选D ． 6. 答案：M ＝N解析：要使函数有意义，应有x －1≠0，所以x ≠1，即函数定义域是{x |x ≠1}．又1111111x x y x x x -+===+---，当x ≠1时，101x ≠-，y ≠1. 所以值域是{y |y ≠1}．因此M ＝N . 7. 答案：{x |x ≤1且x ≠0}解析：要使函数有意义，应满足2230,10,x x x ⎧-≠⎨-≥⎩即3021x x x ⎧≠≠⎪⎨⎪≤⎩且，，因此x ≤1且x ≠0，故函数定义域是{x |x ≤1且x ≠0}． 8. 答案：{y |y ≥－5}解析：函数有意义时，必满足4－2x ≥0，即x ≤2， ∴定义域是{x |x ≤2}．又f (x ＋h )－f (x )＝[1－3(x ＋h )－(1－3x)＝3h -+3h -+由于h ＞0，x ≤2，∴30h -<.故f (x )在定义域(－∞，2]上单调递减．因此f (x )≥f (2)＝－5，即值域是{y |y ≥－5}．9. 解：由题意知，无盖长方体铁盒的高为x cm ，底面是边长为(20－2x )cm 的正方形．由20－2x ＞0，所以0＜x ＜10，则y ＝x ·(20－2x )2，故y 关于x 的函数解析式是y ＝x (20－2x )2，其定义域是(0,10)．10. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x ＋1∴2x －6≥0，x ≥3.故函数的定义域是{x |x ≥3}；(2)要使函数有意义，应有2ax －6≥0，即2ax ≥6，ax ≥3. 而函数定义域是{x |x ≤－6}， ∴由ax ≥3解得x 的范围应是x ≤－6.∴036a a<⎧⎪⎨=-⎪⎩，，解得12a =-.(3)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋14x －6≥0，32x ≥，∴函数定义域是32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 又f (x ＋h )－f (x )＝2(x ＋h )＋12x －1＝2h 2h0.∴f (x )在定义域32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭上单调递增．故f (x )≥32f ⎛⎫⎪⎝⎭＝4，即值域为{y |y ≥4}．1．设函数()1;,1,x f x x x ≥=<⎪⎩则f (f (2))的值为( )．A ．1B ．2C ．0D ．－2 2．设函数()21,0;,0,x f x x bx x <⎧=⎨-≥⎩若f (－2)＝f (3)，则实数b 的值等于( )． A ．103-B ．83C ．32-D ．323．f (x )＝|x －1|的图象是( )．4．设函数()221,1;2,1,x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩若f (a )＝－2，则a 的值为( )．A ．B ．C ．和0D ． 1 5．若定义运算ab ＝,;,,b a b a a b ≥⎧⎨<⎩则函数f (x )＝x(2－x )的值域是( )．A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)6．设函数()22,2;2,2,x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若f (x 0)＝8，则x 0＝__________.7．已知函数()21,2;(3),2,x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩则f (1)－f (3)＝________.8．函数f (x )的图象如图所示，则f (x )＝__________.9．设函数()2,0, 1,0, x xf xx ≥⎧=⎨<⎩令g (x)＝f(x－1)＋f(x－2)，试写出g(x)的表达式．10．为了节约用水，某市出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，则超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，则超过部分的水费加收400%.如果某人某季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算该季度他应交的水费(单位：元)．参考答案1. 答案：C解析：∵f (2)1，∴f (f (2))＝f (1)＝0. 2. 答案：B解析：由于f (－2)＝1，f (3)＝9－3b ，于是9－3b ＝1，解得83b =.选B. 3. 答案：B解析：由于f (x )＝|x －1|＝1,1;1, 1.x x x x -≥⎧⎨-+<⎩故其图象应为B.4. 答案：A解析：若a ≤1，则有1－a 2＝－2，解得a =a =)；若a ＞1，则有a 2＋a－2＝－2，解得a ＝0或－1，均舍去．因此a的值只有5. 答案：A解析：由定义知，当x ≥2－x 即x ≥1时，f (x )＝2－x ；当x ＜2－x 即x ＜1时，f (x )＝x . 于是()2,1;, 1.x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩当x ≥1时， y ＝2－x ≤1；当x ＜1时，y ＝x ＜1. 于是值域为(－∞，1]，选A. 6.答案：或4解析：当x 0≤2时，由x 20＋2＝8得x 0＝舍去)；当x 0＞2时，由2x 0＝8得x 0＝4，故x 0＝或4. 7. 答案：7解析：f (1)＝f (1＋3)＝f (4)＝42＋1＝17，f (3)＝32＋1＝10，∴f (1)－f (3)＝17－10＝7.8. 答案：11,20;21,01x x x x ⎧+-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩解析：当－2≤x ＜0时，设f (x )＝kx ＋b ，则20,1,k b b -+=⎧⎨=⎩解得1,21,k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩于是f (x )＝12x ＋1；当0≤x ≤1时，设f (x )＝ax ＋c ，则0,1,a c c +=⎧⎨=-⎩解得1,1,a c =⎧⎨=-⎩于是f (x )＝x －1.于是f (x )的解析式是()11,20;21,0 1.x x f x x x ⎧+-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩9. 解：当x ≥2时，x －1≥0，x －2≥0，g (x )＝2(x －1)＋2(x －2)＝4x －6；当1≤x ＜2时，x －1≥0，x －2＜0，g (x )＝2(x －1)＋1＝2x －1；当x ＜1时，x －1＜0，x －2＜0，g (x )＝1＋1＝2.于是()46,2;21,12;2, 1.x x g x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪<⎩10. 解：设该季度他应交水费y 元，当0＜x ≤5时，y ＝1.2x ；当5＜x ≤6时，应把x 分成两部分：5与x －5分别计算，第一部分收基本水费1.2×5，第二部分由基本水费与加收水费组成，即 1.2(x －5)＋1.2(x －5)×200%＝1.2(x －5)×(1＋200%)，所以y ＝1.2×5＋1.2(x －5)×(1＋200%)＝3.6x －12；当6＜x ≤7时，同理可得，y ＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x －6)×(1＋400%)＝6x －26.4.综上可得 1.2,05;3.612,56;626.4,67.x x y x x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩1．函数f (x )＝(x －3)(x ＋5)的单调递减区间是( )． A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)2．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( )． A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值 3．若抛物线y ＝x 2＋6x ＋c 的顶点恰好在x 轴上，则c 的值为( )． A ．0 B ．3 C ．6 D ．94．函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2在(－∞，6)内是递减函数，则实数a 的取值范围是( )． A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为()．A．30元B．42元C．54元D．越高越好6．已知f(x)＝ax2＋2x－6，且f(1)＝－5，则f(x)的递增区间是__________．7．若函数f(x)＝x2＋mx＋3的最小值是－1，则f(m)的值为__________．8．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋20x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为__________．9．已知二次函数y＝－4x2＋8x－3.(1)画出它的图象，并指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最大值；(3)写出函数的单调区间．10．某汽车租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆汽车的月租金每增加50元时，未租出的汽车将会增加一辆．租出的汽车每辆每月需要维护费150元，未租出的汽车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆汽车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆汽车？(2)当每辆汽车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案1. 答案：A解析：f (x )＝(x －3)(x ＋5)＝x 2＋2x －15，12ba-=-，所以f (x )的递减区间是(－∞，－1]，选A ．2. 答案：C3. 答案：D解析：∵y ＝x 2＋6x ＋c ＝(x ＋3)2＋c －9， ∴c －9＝0，c ＝9. 4. 答案：D解析：f (x )＝x 2＋4ax ＋2＝(x ＋2a )2＋2－4a 2， ∵f (x )在(－∞，6)内是递减函数， ∴－2a ≥6，∴a ≤－3. 5. 答案：B解析：设日销售利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x ),30≤x ≤54，将上式配方后得y ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，y 取得最大值．故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润． 6. 答案：(－∞，1]解析：由f (1)＝－5得a ＋2－6＝－5，所以a ＝－1. 这时f (x )＝－x 2＋2x －6. 又212(1)-=⨯-，所以f (x )的递增区间是(－∞，1]． 7. 答案：35解析：由已知得2413141m ⨯⨯-=-⨯，所以m 2＝16，m ＝±4. 当m ＝4时，f (m )＝f (4)＝35；当m ＝－4时，f (m )＝f (－4)＝35. 8. 答案：111万元解析：设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆．在甲、乙两地的销售利润分别为L 1＝－x 2＋20x 和L 2＝2(15－x )＝30－2x . 于是销售总利润y ＝L 1＋L 2＝－x 2＋20x ＋30－2x ＝－x 2＋18x ＋30.因此当1892(1)x=-=⨯-时，y取最大值f(9)＝－92＋18×9＋30＝111(万元)．9.解：(1)图象如图所示，该图象开口向下；对称轴为x＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)∵f(x)＝－4(x－1)2＋1，∴x＝1时，f(x)max＝1.(3)函数在(－∞，1]上是递增函数，在[1，＋∞)上是递减函数．10.解：(1)当每辆汽车月租金为3 600元时，未租出的汽车辆数为360030001250-=，所以这时租出了88辆汽车．(2)设每辆汽车的月租金定为x元，则公司月收益为f(x)＝300010050x-⎛⎫-⎪⎝⎭(x－150)－300050x-×50，整理得f(x)＝150-x2＋162x－21 000＝150-(x－4 050)2＋307 050(x＞150)．∴当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为307 050.即每辆汽车的月租金定为4 050元时，汽车租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．1．函数f(x)＝x3＋1的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上()．A．递增B．递减C．先增后减D．先减后增3．函数f(x)＝x2＋2x＋2，x∈(1,4]的值域是()．A．(5,26] B．(4,26]C．(3,26] D．(2,26]4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()．A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D．()1 ()f xf x=--5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是递增函数，则()．A．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)B．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)C．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)D．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)6．若函数y＝x(ax＋1)是奇函数，则实数a＝__________. 7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1，f(1)＝3，则f(－1)＝__________.8．已知f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是递增函数，则74f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(2)的大小关系为__________．9．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b为常数)满足f(0)＝f(1)，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的值域．10．求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．参考答案1.答案：D解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x3＋1，∴f(x)≠f(－x)，且f(x)≠－f(－x)．因此，此函数既不是奇函数也不是偶函数．2.答案：A解析：由f(x)是偶函数知2m＝0，即m＝0.此时f(x)＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，所以在(－∞，0)上单调递增．选A．3.答案：A解析：由于f(x)＝(x＋1)2＋1，对称轴为直线x＝－1，因此f(x)在(1,4]上是单调递增的，所以当x∈(1,4]时，f(1)＜f(x)≤f(4)，即5＜f(x)≤26，故选A．4.答案：D解析：()1()f xf x=--当f(－x)＝0时不成立，故选D．5.答案：C解析：f(x)是偶函数，且在(－∞，－1]上是递增函数．而f(2)＝f(－2)，且－2＜－1.5＜－1，所以f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)．即f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)，故选C．6.答案：0解析：由于f(x)＝x(ax＋1)＝ax2＋x，又f(x)是奇函数，必有a＝0.7.答案：－1解析：由f(x)＝x3＋ax＋1得f(x)－1＝x3＋ax.∵f (x)－1为奇函数，∴f(1)－1＝－[f(－1)－1]，即f(－1)＝－f(1)＋2＝－3＋2＝－1.8.答案：74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)解析：∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则7744f f⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而724<，∴74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)．9.解：(1)∵f(x)＝x有两个相等的实数根．∴x2＋(a－1)x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(a－1)2－4b＝0.①又f(0)＝f(1)，∴a＋b＋1＝b.②由①，②知a＝－1，b＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵213()24f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，x∈[0,4]，∴12x=时，f(x)有最小值34.又f(0)＝1，f(4)＝13，∴f(x)的最大值为13.∴f(x)的值域为3,13 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为x＝a的抛物线，如下图所示．当a＜0时〔如图(1)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；当0≤a ≤1时〔如图 (2)〕，f (x )的最大值为f (2)＝3－4a ，f (x )的最小值为f (a )＝－a 2－1；当1＜a ＜2时〔如图(3)〕，f (x )的最大值为f (0)＝－1，f (x )的最小值为f (a )＝－a 2－1；当a ≥2时〔如图(4)〕，f (x )的最大值为f (0)＝－1，f (x )的最小值为f (2)＝3－4a .1．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )． ABCD2．若2＜a ＜3的结果是( )． A ．5－2a B ．2a －5 C ．1 D ．－13．85-⎝⎭化成分数指数幂为( )． A ．13x- B ．415x C ．415x- D ．25x4的值为( )．A． B ．3 C． D5．若11005a=，212b=，则2a ＋b 的值等于( )． A ．10 B ．110C ．1D ．－1 6其中a ∈R ，n ∈N ＋)这四个式子中，没有意义的是__________．7__________． 8．已知5a＝3,5b＝4，则2325a b -的值为__________．9．计算：(1)121203170.02721)79--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)122332140.1()a b ---⎛⎫⎪⎝⎭.10．已知x＋y＝12，xy＝9，且x＞y，求11221122x yx y-+的值．参考答案1.答案：C解析：当m＜0无意义，故选C．2.答案：C解析：∵2＜a＜3，∴原式＝|2－a|＋|3－a|＝a－2＋3－a＝1.3.答案：B解析：181218118465632563515()()x x x x x⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===原式.4.答案：A===，故选A．5.答案：D解析：由已知可得102a＝15，10b＝12，于是102a·10b＝110，即102a＋b＝10－1.故2a＋b＝－1.选D．6.解析：(－3)2n＋1＜0，故它没有意义．7.答案：7 8 a11117118248824a a a a a++=⋅⋅==. 8.答案：38解析：23322325555a b aa bb--==.由于5b＝4，∴33332225(5)428b b====.又5a＝3，∴232358a b-=.9.解：(1)11232271251100079--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式＝103－49＋53－1＝－45；(2)333122222233224(2)110a ba b-----⋅⋅=⋅⎛⎫⋅⋅⎪⎝⎭原式＝32224 1025⨯=.10.解：111111122222222111111222222()22()()()x y x y x y x y x y xyx y x yx y x y x y--+-+-===--++-，又x＋y＝12，xy＝9，则(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108.又x＞y，∴x－y=∴129===原式.1．下列函数是指数函数的是()．A．y＝x5B．y＝4x3C．43xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D．y＝13x⎛⎫- ⎪⎝⎭＋22．函数f (x)＝132a⎛⎫-⎪⎝⎭·a x是指数函数，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为()．A．2 B．－2 C．-D．3．函数||12xy-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是()．4．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x ，y 都有( )． A ．f (xy )＝f (x )f (y ) B ．f (xy )＝f (x )＋f (y ) C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )5．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ． a ＞1 C ．a ＜1 D ．0＜a ＜16．函数y ( )． A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)7．若f (x )是指数函数，且f (2)－f (1)＝6，则f (x )＝__________.8．已知(a 2＋2a ＋5)3x ＞(a 2＋2a ＋5)1－x ，则x 的取值范围是__________．9．函数y =的定义域是__________．10．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，求a 的值．参考答案1. 答案： C2. 答案：D解析：∵函数f (x )是指数函数， ∴12a －3＝1，a ＝8.∴f (x )＝8x ，12182f ⎛⎫== ⎪⎝⎭3. 答案：B4. 答案：C解析：f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝f (x )·f (y )，故选C ． 5. 答案：D解析：由于f (x )＝a －x＝1xa ⎛⎫⎪⎝⎭，而f (－2)＞f (－3)，说明f (x )是递增函数，从而11a >，0＜a ＜1，故选D ．6. 答案：C解析：∵4x ＞0，∴16－4x ＜16.∴函数y =[0,4)． 7. 答案：3x解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，则a 2－a ＝6，解得a ＝3，即f (x )＝3x .8. 答案：14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，解析：对于任意实数a ，a 2＋2a ＋5＝(a ＋1)2＋4≥4＞1，故y ＝(a 2＋2a ＋5)x 是递增函数，因此有3x ＞1－x ，即14x >. 9. 答案：(－∞，0]解析：由21402x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得22－x ≥22，∴2－x ≥2，x ≤0.10. 解：当a ＞1时，y ＝a x 在[1,2]上是递增函数， ∴y max ＝f (2)＝a 2，y min ＝f (1)＝a . ∴f (2)－f (1)＝2a ，即a 2－a ＝2a .。

2019年数学新同步湘教版必修一讲义+精练：第一章 1.2 1.2.1 第一课时映射 Word版

姓名，年级：时间：1．2函数的概念和性质1．2.1 对应、映射和函数第一课时映射映射的概念请思考并分析下面给出的对应关系，它们有什么共同特点？（1)集合A＝{全班同学}，集合B＝{全班同学的姓｝,对应关系是：集合A中的每一个同学在集合B中都有一个属于自己的姓．(2）设集合A＝｛0，－3,2,3,－1，－2，1},集合B＝｛9,0,4,1，5}，对应关系是：集合A中的每一个数,在集合B中都有其对应的平方数(如图所示）．1．映射的定义设A,B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一元素和它对应,这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f:A→B.2．像与原像在映射f：A→B中,集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的像，记作y＝f(x)，x叫作y的原像．已知集合A＝{a，b}，B＝{0，1},则下列对应不是从A到B的映射的是( ）［提示] A、B、D都是映射,对于C，元素a对应两个元素0,1。

不满足唯一性，不是映射．故选C。

映射的概念及应用[例1］(1）A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|；(2)A＝｛x|0≤x≤6｝,B＝{y|0≤y≤2｝，f：x→y＝错误!x；（3）A＝｛x｜|x|≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z},f：x→a＝x2－2x＋4。

［思路点拨] 首先明确对应关系，然后从映射的定义出发，考查A中任意一个元素在B 中是否都有唯一的元素与之对应．［解] （1）集合A＝N中元素1在对应关系f：x→|x－1｜下为0，而0∉N＋,即A中元素1在对应关系f下，B中没有元素与之对应，故不是映射．（2)A中元素6在对应关系f：x→y＝错误!x下为3。

而3∉B,故不是映射．（3）对A＝{x｜｜x｜≥3，x∈N｝中的任意元素，总有整数x2－2x＋4＝（x－1)2＋3∈B 与之对应．故是从A到B的映射。

借题发挥理解映射这个概念，应注意以下几点：(1）集合A到B的映射，A、B必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；(2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的；（3）与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集.1．已知A＝｛1,2,3，…，9},B＝R,从集合A到集合B的映射f:x→错误!.(1）与A中元素1相对应的B中的元素是什么？（2）与B中元素错误!相对应的A中的元素是什么？解:（1）A中元素1，即x＝1，代入对应关系得错误!＝错误!＝错误!，即与A中元素1相对应的B中的元素是错误!。

湘教版(2019)必修第一册课本习题1.2.1命题

湘教版（2019）必修第一册课本习题1.2.1命题一、解答题(共99 分)判断下列命题的真假，并说明理由：1. 若a，b是任意实数，则|a|+|b|>0；2. 若x，y是实数且x2+y2=0，则x=y=0；3. 若m>0，则x2+x−m=0有两个不相等的实数根；4. 若x2+x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m>0．【答案】1. 假命题 2. 真命题3. 真命题4. 假命题【分析】利用特殊值判断（1），根据完全平方数的非负性判断（2），根据一元二次方程根的判别式求出方程有两个不相等实数根时参数的取值范围，即可判断（3）（4）；【1题详解】解：当a=b=0时|a|+|b|=0，故命题“若a，b是任意实数，则|a|+|b|>0；”为假命题；【2题详解】解：因为x，y是实数所以x2≥0，y2≥0，又x2+y2=0，所以x2=y2=0所以x=y=0，故命题为真命题；【3题详解】解：若方程x2+x−m=0有两个不相等的实数根，则Δ=12−4×(−m)>0，解，所以当m>0时方程x2+x−m=0有两个不相等的实数根，故命题得m>−14“若m>0，则x2+x−m=0有两个不相等的实数根；”为真命题；解：若方程x2+x−m=0有两个不相等的实数根，则Δ=12−4×(−m)>0，解得m>−1，故命题“若x2+x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m>0．”4为假命题；写出下列命题的否定，并判断其真假．5. p：5不是75的约数；6. p：x>2是不等式3x−6>0的解；7. p：方程x2−2x+3=0有实数根；8. p：空集是集合A的子集．【答案】5. ¬p：5是75的约数，真命题6. ¬p：x>2不是不等式3x−6>0的解，假命题7. ¬p：方程x2−2x+3=0没有实数根，真命题8. ¬p：空集不是集合A的子集，假命题【分析】根据命题否定的定义，写出¬p，再根据约数定义判断（1）的真假，解不等式3x−6>0判断（2）的真假，借助判别式判断（3）的真假，根据空集以及子集定义判断（4）的真假【5题详解】由题意，¬p：5是75的约数由于75=5×15，故为真命题【6题详解】由题意，¬p：x>2不是不等式3x−6>0的解由于3x−6>0⇔3x>6⇔x>2，故x>2是不等式3x−6>0的解故为假命题由题意，¬p：方程x2−2x+3=0没有实数根由于Δ=4−12<0，方程无解故为真命题【8题详解】由题意，¬p：空集不是集合A的子集由于空集是任意集合的子集，故为假命题9.判断命题“两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形”的真假．【答案】假命题【分析】根据菱形的定义判断即可；【详解】解：两条对角线互相垂直的平行四边形为菱形，则两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如下图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，。

数学湘教版必修1练习第一章集合与函数 1.2.1 Word版含解析

．函数的概念和性质．对应、映射和函数[学习目标].能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象.会判断给出的对应是否是映射.能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域.能说出函数的三要素．[预习导引]．映射()在数学里，把集合到集合的确定性的对应说成是映射．()映射的定义：设，是两个非空的集合．如果按照某种对应法则，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合到集合的映射，记作：→.()在映射：→中，集合叫作映射的定义域，与中元素对应的中的元素叫的象，记作＝()，叫作的原象．．函数()函数就是数集到数集的映射．()函数的定义：设，是两个非空的数集．如果按照某种对应法则，对于集合中的任何一个数，在集合中都有唯一的数和它对应，这样的对应叫作定义于取值于的函数，记作：→，或者＝()(∈，∈)．()在函数＝()(∈，∈)中，叫作函数的定义域，与∈对应的数叫的象，记作＝()，由所有∈的象组成的集合叫作函数的值域．()函数的三要素：①对应法则；②定义域；③值域.要点一映射定义的理解例判断下列对应哪些是从集合到集合的映射．哪些不是，为什么？()＝{∈＋}，＝{∈}，：→＝±；()＝，＝{}，：→＝()＝{}，＝{}，：→＝(－).解()任一个都有两个与之对应，∴不是映射．()对于中任意一个非负数都有唯一的元素和它对应，对于中任意的一个负数都有唯一的元素和它对应，∴是映射．()在的作用下，中的分别对应到中的，∴是映射．规律方法判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：()是不是“对于中的每一个元素”；()在中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．跟踪演练下列对应是不是从到的映射，能否构成函数？()＝，＝，：→＝；()＝{＝，∈＋}，＝，：→＝；()＝[，＋∞)，＝，：→＝；()＝{是平面内的矩形}，＝{是平面内的圆}，：作矩形的外接圆．解()当＝－时，的值不存在，∴不是映射，更不是函数．()是映射，也是函数，因中所有的元素的倒数都是中的元素．。

新湘教版必修1高中数学第一课时映射

1．2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数第一课时映射请思考并分析下面给出的对应关系，它们有什么共同特点？(1)集合A＝{全班同学}，集合B＝{全班同学的姓}，对应关系是：集合A中的每一个同学在集合B中都有一个属于自己的姓．(2)设集合A＝{0，－3,2,3，－1，－2,1}，集合B＝{9,0,4,1,5}，对应关系是：集合A中的每一个数，在集合B中都有其对应的平方数(如图所示)．1．映射的定义设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.2．像与原像在映射f：A→B中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x 的像，记作y＝f(x)，x叫作y的原像．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是()[提示]A、B、D都是映射，对于C，元素a对应两个元素0,1.不满足唯一性，不是映射．故选C.[例1] (1)A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →|x －1|；(2)A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，f ：x →y ＝12x ；(3)A ＝{x ||x |≥3，x ∈N}，B ＝{a |a ≥0，a ∈Z}， f ：x →a ＝x 2－2x ＋4.[思路点拨] 首先明确对应关系，然后从映射的定义出发，考查A 中任意一个元素在B 中是否都有唯一的元素与之对应．[解] (1)集合A ＝N 中元素1在对应关系f ：x →|x －1|下为0，而0∉N ＋，即A 中元素1在对应关系f 下，B 中没有元素与之对应，故不是映射．(2)A 中元素6在对应关系f ：x →y ＝12x 下为3.而3∉B ，故不是映射．(3)对A ＝{x ||x |≥3，x ∈N}中的任意元素，总有整数x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3∈B 与之对应．故是从A 到B 的映射.1．已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1. (1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？解：(1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得x 2x ＋1＝12×1＋1＝13，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13.(2)B 中元素49，即x 2x ＋1＝49，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4.[例2] 设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，那么A 中元素(－1,2)的像是________，B 中元素(－1,2)的原像是________．[思路点拨] 首先要理解映射、像、原像的概念，然后从像与原像的概念出发进行思考．[解] 当x ＝－1，y ＝2时，有x －y ＝－3，x ＋y ＝1，因此(－1,2)的像是(－3,1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2.得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32.∴(－1,2)的原像是⎝⎛⎭⎫12，32.2．f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )，若B 中的元素(6,2)在此映射下与集合A 中的元素(3,1)对应，求k 与b 的值．解：当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧ kx ＝3k ＝6y ＋b ＝b ＋1＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.故k ＝2，b ＝1.1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，在下列A 到B 的四种对应法则中，其中A 到B 的映射是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)解析：选A ∵(1)(2)中，A 中任意一个元素在B 中都有唯一一个元素与之对应，∴(1)(2)是映射．而(3)集合A 中元素4没有元素与之对应，(4)中元素3在B 中有两个元素与之对应． 2．设集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →(2x ＋1)2B ．f ：x →(2x －3)2C ．f ：x →－2x －1D ．f ：x →(2x ＋1)3解析：选B ∵A 选项中A 中元素5→(2×5＋1)2＝112∉B ， C 选项中A 中元素1→－2×1－1＝－3∉B ， D 选项中A 中元素1→(2×1＋1)3＝27∉B ， ∴B 选项正确．3．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，在映射f 下(3,1)的原像为( ) A ．(1,3) B ．(1,1) C ．(3,1)D.⎝⎛⎭⎫12，12解析：选B 依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.4．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则A 到B 的一一映射有________个．解析：A →B 的映射有2个，如图．答案：25．已知映射f ：A →B ，其中A ＝{－2，－1,1,2,3}，集合B 中的元素都是A 中元素在f 下的像，且对任意a ∈A ，f (a )＝|a |a ，则集合B 中的元素有________个，若1∈B ，则1的原像是________．解析：依题意有：－2→|－2|－2＝－1，－1→|－1|－1＝－1，1→|1|1＝1,2→|2|2＝1,3→|3|3＝1，∴B 中的元素有2个，若1∈B ，则1的原像有3个，且是1,2,3.答案：2 1,2,36．已知集合A 到集合B ＝{0,1,2,3}的映射f ：x →1|x |－1，试问集合A 中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A .解：∵f ：x →1|x |－1是集合A 到集合B 的映射， ∴A 中每一个元素在集合B 中都应该有像．令1|x |－1＝0，该方程无解，所以0没有原像．分别令1|x |－1＝1,2,3.解得x ＝±2，±32，±43.故集合A 中的元素最多有6个即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－2，32，－32，43，－43 .通过对映射的学习，你觉得映射有哪些特性？映射是一种特殊的对应，它满足“存在性(即集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素)”和“唯一性(集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应)”；但集合B中的元素未必有原象，即使有也未必唯一．映射中的两个集合A，B可以是数集、点集或由图形组成的集合等．封闭性：A中元素的对应元素必在集合B中，如集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,3,4,5}，对应法则f：x→x－1，这组对应不是映射．有序性：“A到B”的映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射一般不是同一个映射．整体性：映射不是只有集合A或者集合B，而是集合A、B以及对应法则f的整体，是一个系统，记作f：A→B.有时，当映射为f：A→B时，集合A中的元素a对应集合B中的元素b，也可表示为f：a→b＝f(a)或者直接写成b＝f(a)．一、选择题1．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A 中元素映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中都有和它对应的元素|a|，则集合B中的元素的个数有()A．4B．5C．6 D．7解析：选A由对应法则可知，B中的元素有1、2、3、4，∴B中的元素有4个．2．已知集合A＝N＋，B＝{正奇数}，映射f：A→B使A中任一元素a和B中元素2a－1相对应，则与B中元素17对应的A的元素为()A．3 B．5C．17 D．9解析：选D由对应法则有：17＝2a－1，∴a＝9.3．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重； ②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ； ③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有________，是函数的有________，是一一映射的有________．( )A ．3个，2个，1个B ．3个，3个，2个C ．4个，2个，2个D ．2个，2个，1个解析：选C 由映射、函数、一一映射的定义可知：①②③④是映射，②③是函数，②④是一一映射．4．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 可能是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1}D ．∅或{2}解析：选B 依题设知：A 可能为：{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，2，－1}，{1，－1，－2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{－1,1，2，－2}，{1}，{－1}，{2}，{－2}．∴A ∩B 可能为∅，可能为{1}．二、填空题5．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原像分别为3和10，则5在f 下的像是________．解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，∴a ＝1，b ＝－2，∴f ：x →y ＝x －2，则5－2＝3. 答案：36．已知映射f ：A →B ，其中A ＝R ＝B ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原像，则k 的取值范围是________．解析：∵y ＝－x 2＋2x ＝－x 2＋2x －1＋1＝－(x －1)2＋1， ∴y ≤1.则B ＝(－∞，1]，∵k ∈R ，且在集合A 中不存在原像，∴k >1. 答案：k >1 三、解答题7．设A ＝{(x ，y )|x ＋y <3，且|x |<2，x ∈Z ，y ∈N ＋}，B ＝{0,1,2}，f ：(x ，y )→x ＋y ，判断f 是否为A 到B 的映射．解：列举法写出集合A .A ＝{(0,1)，(0,2)，(1,1)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)}，B ＝{0,1,2}，f 为A 到B 的映射．8．已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x ＋y －1，x －2y ＋1)．(1)是否存在这样的元素(a ，b )使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；(2)判断这个映射是不是一一映射？解：(1)以自己为像的元素(a ，b )满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b －1＝a ，a －2b ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝27，b ＝37.∴存在元素⎝⎛⎭⎫27，37使它的像仍是自己． (2)设B 中的元素(a ，b )在A 中原像是(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －1＝a ，x －2y ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧x ＝2a ＋b ＋17，y ＝a －3b ＋47.说明方程组有唯一解．即(a ，b )在A 中的原像唯一．所以该映射是一一映射．。

湘教版高中数学必修1同步练习：1.2.1对应映射和函数 Word版含

湘教版高中数学必修1同步练习：1.2.1对应映射和函数 Word版含湘教版高中数学必修1同步练习：1.2.1对应、映射和函数word版含数学学习材料1．函数y＝f(x)的图象与y轴的交点有()．a．至少一个b．至多一个c．一个d．不确定2.在下面的对应规则F中，从集合a到集合B的映射不是（）。

A.A={x | 1＜x＜4}，B=[1,3]，F:求算术平方根，B.A=R，B=R，F:取绝对值，C.A={正实数}，B=R，F:求平方，D.A=R，B=R，F:取倒数3．如果(x，y)在映射f下的象为(x＋y，x－y)，那么(1,2)的原象是()．a．??，?b．?，?c．??，??31??22??3?21??2??3?21??31?d．??，?2??22?4．已知映射f：a→b，其中a＝b＝r，对应法则f：y＝－|x|＋2，x∈a，y∈b，对于实数m∈b，在集合a中不存在原象，则m的取值范围是()．a、 m＞2b.m≥2c.m＜2d.m≤2.5．设集合a＝{0,1}，b＝{2,3}，对a中的所有元素x，总有x＋f(x)为奇数，那么从a到b的映射f的个数是()．a、 1b.2c.3d.46．下列关于从集合a到集合b的映射的论述，其中正确的有__________．(1)b中任何一个元素在a中必有原象(2)a中不同元素在b中的象也不同(3)a中任何一个元素在b中的象是唯一的；(4)a中任何一个元素在b中可以有不同的象；(5)b中某一元素在a中的原象可能不止一个；(6)集合a与b一定是数集；（7）标记F:a→ B与F:B的含义相同→ A.7．若f：a→b是集合a到集合b的映射，a＝b＝{(x，y)|x∈r，y∈r}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若b中的元素(6,2)，在此映射下的原象是(3,1)，则k＝________，b＝________.8.如果集合a={a，B，C}，B={-2,0,2}，f是从a到B的映射，而f（a）+f（B）+f （C）=0，则此类映射的数量为____9．设a＝b＝{a，b，c，d，e，?，x，y，z}(元素为26个英文字母)，作映射f：a→b为：数学学习材料数学学习资料由a中的字母组成的文本称为明文，由B中相应字母组成的文本称为密文。

数学湘教版必修1练习第一章集合与函数 1.2.2 Word版含解析

表示函数的方法[学习目标].掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．[知识链接]．在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可．．二次函数＝＋＋(≠)的顶点坐标为(－，)．．函数＝－－＝(＋)(－)，所以函数与轴的交点坐标为(－)，()．[预习导引]．表示函数的方法()把一个函数的对应法则和定义域交待清楚的办法，就是表示函数的方法；()表示函数的三种主要方法分别是：解析法、图象法和列表法．．解析法()解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式，也叫作解析表达式或函数关系式．()解析法就是用解析式来表示函数的方法．．图象法函数图象的作图过程通常有列表、描点、连线三个步骤.要点一待定系数法求函数解析式例()已知反比例函数()满足()＝－，求()的解析式；()一次函数＝()，()＝，(－)＝－，求()．解()设反比例函数()＝(≠)，由()＝＝－，解得＝－，故()＝－.()设一次函数()＝＋(≠)，∵()＝，(－)＝－，∴解得∴()＝－.∴()＝×－＝.规律方法待定系数法求函数解析式的步骤如下：()设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为()＝＋(≠)，反比例函数解析式设为()＝(≠)，二次函数解析式设为()＝＋＋(≠)．()把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组．()解方程或方程组，得到待定系数的值．()将所求待定系数的值代回原式．跟踪演练已知二次函数()满足()＝，()＝，()＝，求该二次函数的解析式．解设二次函数的解析式为()＝＋＋(≠)，由题意得解得故()＝＋.要点二换元法(或配凑法)求函数解析式例求下列函数的解析式：()已知＝＋，求()；()已知(＋)＝＋，求()．解()方法一(换元法)令＝＝＋，有＝.。

湘教版高中数学必修一同步练习：2.2.1对数的概念和运算律第2课时Word版含答案

1．以下结论中正确的选项是( )．①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③假设10＝lg x ,那么x ＝10；④假设e ＝ln x ,那么x ＝e 2.A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④2．lg a 与lg b 互为相反数 ,那么( )．A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝1D ．1ab =3．假设lg x －lg y ＝a ,那么33lg lg 22x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( )．A ．3aB ．32a C ．a D ．2a4．假设3a ＝2 ,那么log 34－log 36可用a 表示为( )．A ．2a －1B ．a －1C ． a ＋1D ．1－2a5．lg a ,lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实数根 ,那么(lg ab )2的值等于()． A ．2 B ．12 C ．4 D ．146．lg 2＝a ,lg 3＝b ,那么lg 6＝__________ ,3lg 2=__________.7．化简：222212331log log log log 23432++++=__________.8．(lg 2)2＋lg 20·lg 5＝__________.9．计算以下各式的值：(1)lg 14－72lg 3＋lg 7－lg 18；(2)(log 63)2＋log 618·log 62.10．(原创题)2lg(x －1)－lg(2x ＋6)＝0 ,求x 的值．参考答案1. 答案：C解析：lg(lg 10)＝lg 1＝0 ,故①正确；lg(ln e)＝lg 1＝0 ,故②正确；假设10＝lg x ,那么x ＝1010 ,故③不正确；假设e ＝ln x ,那么x ＝e e ,故④不正确 ,选C ．2. 答案：C解析：由得lg a ＋lg b ＝0 ,所以lg(ab )＝0 ,即ab ＝1 ,应选C ．3. 答案：A 解析：33lg lg 3lg 3lg 2222x y x y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝3(lg x －lg 2－lg y ＋lg 2)＝3(lg x －lg y )＝3a ,应选A ．4. 答案：B解析：由3a ＝2得a ＝log 32 ,而log 34－log 36＝32log 3＝log 32－1＝a －1 ,应选B ． 5. 答案： C解析：依题意得lg a ＋lg b ＝2 ,即lg ab ＝2 ,于是(lg ab )2＝22＝4 ,选C ．6. 答案：a ＋b b －a7.答案：－5 解析：212331log 23432⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭原式＝21log 32＝log 22－5＝－5. 8. 答案：1解析：(lg 2)2＋lg 20·lg 5＝(lg 2)2＋lg 5·(1＋lg 2)＝(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. 9. 解：(1)原式＝lg 14－49lg 9＋lg 7－lg18 ＝147lg 49189⨯⨯＝lg 1＝0. (2)原式＝(log 63)2＋ (log 63＋1)log 62＝(log63)2＋(1＋log63)66log3＝(log63)2＋(1＋log63)(1－log63)＝(log63)2＋1－(log63)2＝1.10.解：由得2lg(x－1)＝lg(2x＋6) , ∴lg(x－1)2＝lg(2x＋6) ,故(x－1)2＝2x＋6 ,即x2－4x－5＝0 , ∴x＝5或x＝－1.但当x＝－1时,lg(x－1)无意义．故只能取x＝5.。

湘教版高中数学必修一2.1《指数函数》同步测试.doc

数学：2.1《指数函数》同步测试（湘教版必修1）一.选择题1．函数|x |a )x (f -=(a>1且a 是常数)是( )A ．奇函数且在[0，＋∞)上是增函数B ．偶函数且在[0，＋∞)上是增函数C ．奇函数且在[0，＋∞)上是减函数D ．偶函数且在[0，＋∞]上是减函数2．满足a a 1aa 1>的实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0，1)∪(1，＋∞)3．函数x2)x (f =，使f(x)>f(2x)成立的x 的值的集合是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(0，1)4．函数f(x)的定义域是[－1，2]，则函数)2(f x 的定义域是( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1]C ．]421[，D ．[1，＋∞]5．已知3232322c )51(b )21(a ===，，则a 、b 、c 的关系是( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．c>a>bD ．c>b>a6．函数x 33y -=的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(27，＋∞)D ．(0，27)7．若1432p n m <==，则m 、n 、p 的关系中正确的是( )A ．m<n<p<0B ．m<p<n<0C ．p<m<n<0D ．p<n<m<08．函数12)x (f |x |-=，使f(x)≤0成立的x 的值的集合是( ) A ．{x|x<0} B ．{x|x<1}C ． {x|x ＝0}D ．{x|x ＝1}9．函数x2)x (f =，g(x)＝x ＋2，使f(x)＝g(x)成立的x 的值的集合( )A ．是∅B ．有且只有一个元素C ．有两个元素D ．有无数个元素二、填空题 1．指数函数f(x)的图象上一点的坐标是(－3，81)，则f(2)＝____________________．2．已知314)3(a -=，213)4(b -=，412)2(c --=，则三个数由小到大排列的顺序是____________________．3．已知函数m x )x (f =，当0<x<1时，f(x)<x 恒成立，则实数m 的取值范围是____________________．4．函数x 2)x (f =与函数2x 2)x (g -=，则将函数f(x)的图象向__________平移__________个单位，就可以得到函数g(x)的图象．5．函数|1x |)21()x (f -=，使f(x)是增函数的x 的区间是___________________．三、解答题1．若a>0且a ≠1，b>0且b ≠1，求函数x x b a )x (f -=的定义域．2．函数x2)x (f =，21x x 、是任意实数且21x x ≠，证明：)2x x (f )]x (f )x (f [212121+>+． 3．当a>1时，求使a x 2x a a 2>-成立的x 的值的集合．参考答案一、1．D提示：|x ||x |)a 1(a =-，a>1时，1a 1<． 2．B提示：2343a a -->，∵2343->-，∴x a y =是增函数，a>1． 3．B提示：0x )x 2x (2122)x 2(f )x (f x x 2x <⇒>>⇒>⇒>或 4．A提示：⎩⎨⎧≤∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥⇒≤≤-1x R x 2212221x x x 5．C6．A提示：当x ∈R 时，3－x ∈R ． 7．A8．C提示：0|x |2120|x |≤⇒=≤． 9．C提示：两个函数x 2)x (f =，g(x)＝x ＋2的图象有两个交点，则有两个x 的值使f(x)＝g(x)成立．二、1．4提示：33281a --==．2．b<a<c 提示：3343313a ==- 8124b 323===--，22c 21==． 3．(1，＋∞) 提示：当0<x<1时，m x 是减函数，1m x x1m >⇒<．4．右；2 5．(－∞，1) 提示：函数u)21(y =是减函数，则只有当u ＝|x －1|也是减函数的区间才是函数|1x |)21()x (f -=的增函数区间．三、1．解：0b a x x ≥-∴x x b a ≥∵b>0且b ≠1∴0b x > ∴1)b a(x≥当a>b>0时，1b a>∴x ≥0当a ＝b>0时，1b a=∴x ∈R当0<a<b 时，1b a0<<∴x ≤0当a>b>0时，函数的定义域是[0，＋∞)；当a ＝b>0时，函数的定义域是R ；当0<a<b 时，函数的定义域是(－∞，0]．2．证明：)2x x (f )]x (f )x (f [212121+-+)]2x x (f 2)x (f )x (f [212121+-+=]2222[212x x x x 2121+⨯-+= ]222222[21221211x 2x 2x2x 2x x +⋅-⋅-= )]22(2)22(2[212x 2x 2x 2x 2x 2x 212211---= )]22)(22[(212x 2x 2x 2x 2121--=22x 2x )22(2121-= ∵21x x ≠，2x 2x 2122≠ ∴0)22(2122x 2x 21>- 即0)2x x (f )]x (f )x (f [212121>+-+ ∴)2x x (f )]x (f )x (f [212121+>+．3．解：∵a>1，x a y =是增函数∴当a x 2x a a 2>-时a x 2x 2>-∴0a x 2x 2>--⊿＝4＋4a ＝4(1＋a)>0 ∴a 11x a 11x ++>+-<或∴所求x 值的集合是}a 11x a 11x |x {++>+-<或．。

高考数学专题1 集合与函数 1.2.1 对应、映射和函数学案湘教版必修1-湘教版高三必修1数学学

1．2.1 对应、映射和函数[学习目标] 1.能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象.2.会判断给出的对应是否是映射.3.能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域.4.能说出函数的三要素．[预习导引] 1．映射(1)在数学里，把集合到集合的确定性的对应说成是映射．(2)映射的定义：设A ，B 是两个非空的集合．如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B .(3)在映射f ：A →B 中，集合A 叫作映射的定义域，与A 中元素x 对应的B 中的元素y 叫x 的象，记作y ＝f (x )，x 叫作y 的原象． 2．函数(1)函数就是数集到数集的映射．(2)函数的定义：设A ，B 是两个非空的数集．如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个数x ，在集合B 中都有唯一的数y 和它对应，这样的对应f 叫作定义于A 取值于B 的函数，记作f ：A →B ，或者y ＝f (x )(x ∈A ，y ∈B )．(3)在函数y ＝f (x )(x ∈A ，y ∈B )中，A 叫作函数的定义域，与x ∈A 对应的数y 叫x 的象，记作y ＝f (x )，由所有x ∈A 的象组成的集合叫作函数的值域． (4)函数的三要素：①对应法则；②定义域；③值域.要点一映射定义的理解例1 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射．哪些不是，为什么？ (1)A ＝{x |x ∈R ＋}，B ＝{y |y ∈R }，f ：x →y ＝±x ；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；0， x ＜0；(3)A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,64}，f ：a →b ＝(a －1)2.解 (1)任一个x 都有两个y 与之对应，∴不是映射．(2)对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A 中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，∴是映射．(3)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射．规律方法判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是不是“对于A 中的每一个元素”；(2)在B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．跟踪演练1 下列对应是不是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝{a |a ＝n ，n ∈N ＋}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b |b ＝1n，n ∈N ＋，f ：a →b ＝1a；(3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；(4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，∵A ，B 不是非空的数集．要点二映射的象与原象例2 已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2＋2x . (1)求A 中元素－1和3的象； (2)求B 中元素0和3的原象； (3)B 中的哪一些元素没有原象？解 (1)令x ＝－1得y ＝(－1)2＋2×(－1)＝－1，令x ＝3得y ＝32＋2×3＝15，所以－1的象是－1,3的象是15. (2)令x 2＋2x ＝0，解得x ＝0或－2，所以0的原象是0或－2.令x2＋2x＝3.解得x＝1或－3，所以3的原象是1或－3.(3)由于y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，所以只有当y≥－1时，它在A中才有原象，而当y ＜－1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于－1的元素没有原象．规律方法 1.解答此类问题的关键：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．2．对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解．跟踪演练2 (1)映射f：A→B，A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a∈A，在集合B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的最少个数是( )A．7 B．6 C．5 D．4(2)设A＝{x|x是锐角}，B＝(0,1)，从A到B的映射是“求正弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________，与B中元素22相对应的A中的元素是________．答案(1)D (2)3245°解析(1)由映射定义知，B中至少有元素1,2,3,4，即B中至少有4个元素，选D.(2)60°角的正弦等于32，45°角的正弦等于22，所以60°的象是32，22的原象是45°.要点三映射的个数问题例3 已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？解分两类考虑：(1)集合A中的两个元素都对应B中相同元素的映射有3个．(2)集合A中的两个元素对应B中不同元素的映射有6个．∴A到B的映射共有9个．规律方法 1.若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有m n个，从B到A的映射有n m个．2．对于给出A到B的映射需要满足某些特殊要求时，求映射的个数的问题，其关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图示法、数形结合法等)．跟踪演练3 (1)在例3中，从集合B到集合A可以建立多少个不同的映射？(2)已知集合A＝{a，b}，B＝{2,0，－2}，f是从A到B的映射，且f(a)＋f(b)＝0，求这样的映射f的个数．解(1)可以建立以下8个不同的映射：(2)符合要求的映射f有以下3个：要点四函数的概念例4 下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈BB．A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,1}，对应法则如图所示C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1 x－1D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1答案 B解析选项A中由x2＋y2＝1，得y＝±1－x2，对于x任意值，y不唯一；选项B中，对于任意x∈A，都有唯一y∈B；选项C中，x＝1时，通过法则f，y值不存在；选项D中，取x ＝2∈A，但是通过f，对应y值为2×2－1＝3∉B，即y值不存在，由函数定义知，答案为B.规律方法判断由一个式子是否确定y是x的函数的一般程序：(1)将原式等价转化为用x表示的形式；(2)看x 的取值集合是否为∅，若是∅，则不是函数，若不是∅，再看x 与y 的对应法则； (3)判断对于原式有意义的每一个x 值，是否都有唯一的y 值与之对应．若是，则确定y 是x 的函数，若不是，则不能确定y 是x 的函数．另外还要注意若题目是图象的形式，就要观察图象中是否有一个自变量对应多个函数值的形式，若有这种情况则构不成函数．跟踪演练4 下列各图中，可表示函数y ＝f (x )图象的只可能是( )答案 D解析由函数定义知，对于x 的每一个值应有唯一的y 的值与之对应，只有D 项正确.1．给出下列四个对应法则，是映射的是( )A ．③④B ．①②C ．②③D ．①④答案 C解析 ①中c 没有与之对应的元素，不是映射；④中a 有两个与之对应的元素，不是映射，所以选C.2．对于集合A 到集合B 的映射，下列理解不正确的是( ) A ．A 中的元素在B 中一定有象 B ．B 中的元素在A 中可能没有原象 C ．集合A 中的元素与B 中的元素一一对应 D ．设A ＝B ＝R ，那么y ＝x 2是A 到B 的一个映射答案 C解析在A 到B 的映射中，A 中的元素与B 中的元素不一定是一一对应，可以多对一，选C. 3．点(x ，y )在映射f 下的对应元素为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋y 2，－x ＋3y 2，则点(2,0)在f 作用下的对应元素为( )A．(0,2) B．(2,0) C．(3，－1) D．(3，1) 答案 C解析∵x＝2，y＝0时，3x＋y2＝3，－x＋3y2＝－1，∴(2,0)在f作用下的对应元素为(3，－1)．4．下列各式中，能确定y是x的函数的是( )A．x＋3y＝1 B．x2＋y2＝2C．y＝x－2＋1－x D．y2＝x答案 A解析B选项中y＝±2－x2，D选项中y＝±x，x的每一个值都有2个y值与之对应，不是函数，C项中由于x－2≥0且1－x≥0，所以x的值不存在，也不能确定函数，只有A项正确．5．设集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则从A到B的映射共有________个．答案 4解析可以构成4个映射，它们是1.映射的定义(1)从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；确定一个映射需要三个条件：两个非空集合A和B，建立一个对应法则f：A→B，且满足映射的对应关系．(2)对应关系有三种：一是“多对一”，二是“一对一”，再是“一对多”．根据映射的定义可以得知，只有“多对一”和“一对一”才能构成两个非空集合之间的映射，而“一对多”不可以．(3)映射的定义涉及两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其他的集合．2．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应法则f的作用下即可得到唯一确定的值y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应法则，甚至认为函数就是函数值．3．正确理解函数的三要素，其中对应法则是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．一、基础达标1．已知A ＝{－1,1}，映射f ：A →A ，则对x ∈A ，下列关系中肯定错误的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝－1C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝x ＋2答案 D解析对于D ，取x ＝1∈A ，但是通过f ，对应f (1)＝3∉A .由映射定义知，D 错误． 2．已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (1)等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．0答案 B解析 f (1)＝1＋11＝2.3．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 和y ＝x 2xC ．y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2D ．y ＝(x )2x 和y ＝x (x )2答案 D解析 A ，B 中两函数的定义域不同，C 中的两个函数对应法则不同，故选D.4．下图中建立了集合P 中元素与集合M 中元素的对应f .其中为映射的对应是________．答案 (2)(5)5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|，则f (1)＝________. 答案 2解析 f (1)＝12＋|1－2|＝2.6．已知集合A 到集合B ＝{2,3,4,5}的映射f ：x →y ＝|x |－1，且集合B 中至少有一个元素在集合A 中没有原象，则集合A 中最多有________个元素．答案 6解析若|x |－1＝2，则x ＝±3；若|x |－1＝3，则x ＝±4；若|x |－1＝4，则x ＝±5；若|x |－1＝5，则x ＝±6.又因为集合B 中至少有一个元素在集合A 中没有原象，所以集合A 中最多有6个元素．7．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N ＋.若x ∈A ，y ∈B ，有对应法则f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个函数，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值．解由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7，⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝1.故对应法则为f ：x →y＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N ＋，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的象是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的象是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2. 二、能力提升8．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35答案 B解析 ∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－35，∴f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝35×(－53)＝－1.9．g (x )＝54－3x ，f (x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f (14)×g (14)等于( )A ．－32 B.32C.152 D ．9答案 C解析 ∵f (14)＝1－(14)2(14)2＝15，g (14)＝54－34＝12，∴f (14)×g (14)＝152.10．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个．答案 4解析 a →c ，b →c ；a →d ，b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个． 11．若f (x )＝ax 2－2，a 为一个正的常数，且f [f (2)]＝－2，求a 的值．解因为f (2)＝2a － 2.所以f [f (2)]＝f (2a －2)＝a ·(2a －2)2－2＝－2，所以a ·(2a －2)2＝0(a ＞0)，故2a －2＝0，所以a ＝22. 三、探究与创新12．已知集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N ＋，k ∈N ＋，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k ，A ，B . 解根据对应法则f ，有： 1→4；2→7；3→10；k →3k ＋1.若a 4＝10，则a ∉N ＋，不符合题意，舍去；若a 2＋3a ＝10，则a ＝2(a ＝－5不符合题意，舍去)．故3k ＋1＝a 4＝16，得k ＝5.综上：a ＝2，k ＝5，集合A ＝{1,2,3,5}．B ＝{4,7,10,16}．13．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f (12)，f (3)与f (13)；(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f (1x)有什么关系吗？并证明你的发现；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12014)．解 (1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＝221＋22＝45，f (12)＝(12)21＋(12)2＝15， f (3)＝321＋32＝910，f (13)＝(13)21＋(13)2＝110. (2)由(1)可发现f (x )＋f (1x)＝1，证明如下：f (x )＋f (1x )＝x21＋x 2＋(1x )21＋(1x)2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1. (3)由(2)知：f (2)＋f (12)＝1，f (3)＋f (13)＝1，…，f (2014)＋f (12014)＝1，∴原式＝12＋1＋1＋1＋…＋1＝2013＋12＝40272.2013个。