线性规划的基本性质
1-线性规划的基本性质
域 F中有一组不全为 0的数 ai (i 1,2, , m) 使 a1P1 a2P2 L amPm 0
成立，则称这组向量在 F上线性相关，否则称 这组向量在 F上线性无关。
37
基本概念与基本定理
2. 秩：
设A是m n矩阵。若A的n个列向量中有r个线
日销量
产品
B1=3
A1=5
4
A2=7
1
A3=8
7
B2=4
11 9 4
B3=5 B4=8
3
10
2
8
10
5
6
线性规划的数学模型
设从生产点i到销售点j的调运数量为 xij 吨,
则目标函mi数n z为: 4x11 11x12 3xm13inz10x41x41111x12 3x13 10x14
min z x42x111911xx2212 23xx1233108xx1244x721x391 x224x232x23 8x24 7x31 4x32
39
基本概念与基本定理
线性规划的基本概念：
1. 可行解：满足上述约束条件（1.3.1）和 （1.3.2）的解。
2. 最优解：满足上述约束条件（1.3.3）的
可行解。 AX b
(1.3.1)
X 0
(1.3.2)
min z CX (1.3.3)
40
基本概念与基本定理
3. 基：已知A是约束条件的m n 系数矩阵， 其秩为m。若B是A中 mm非奇异子矩阵 （即可逆矩阵，有 B 0 ）,则称B是线性 规划问题的一个基，B是由A中m个线性 无关的系数列向量组成的。
2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为 等式:
第2章 线性规划
目标函数下降
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20
X2=4
B A
目标函数上升
C
X2 0
E
D
X1 X1=6
4X1-3X2=0
X1=1
对解的讨论： .唯一解 .无穷解 .无解： 可行域空集 可行域无界
X2 X1+2X2=10 X2=4
X1 0
a11 a12 a1n 约束方程组 A P1 , P2 , Pn 系数矩阵 a m1 a m 2 a mn
A为m ×n矩阵（ m为约束方程个数，n为变量个数）
a11 a12 a1n A P1 , P2 , Pn a m1 a m 2 a mn
消除负的右端常数项
MAXZ=-X1-3(X3-X4) S.T. 6X1+7(X3-X4)8 X1-3(X3-X4) ≥6 X1-(X3-X4)=3 X1、X3、X4 0
约束方程还不是等式约束
人为添加变量，成为等式约束
对于“≤”约束，添加松弛变量 对于“≥”约束，添加剩余变量
6X1=5X1+3X2 S.T. 3X1+5X215
max Z 5 x1 3 x 2 3 x1 5 x 2 x 3 15 5 x1 3 x 2 x 4 10 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
5X1+2X210
X1,X20
2、给出基本可行解
• 6．基本可行解：满足非负条件
对于D1 ，基变量为X4、X5，X1、X2、X3为非基变量，令 X1、X2、X3=0， X4 = 8、X5 = 1 对于D2 ，基变量为X1、X2，X3、X4、X5为非基变量，令 X3、X4、X5 =0， X1 = -13/4 、X2=15/4
第1章 线性规划基本性质
1. X1≥0, X2 ≥0 2. 2X1 + 3X2 ≤ 100 3. 4X1 + 2X2 ≤ 120
所有约束条件的的交集为R.
A B R
10 60
现在,问题变为在R内找一点, O 使目标函数值最大.如何找?…
C
20 30 40 50
Ｘ1
§1.2 线性规划的图解法
Ｘ2
（三）目标函数的图形表示 Z = 6X1 + 4X2 将上式改写： X2 ＝－3X1/2 ＋ Z/4 令Z为参量，使其取不同 的值，则得到以－3/2为斜率的 一族平行等值线. 如令: 60, 则经过点(10,0)和(0,15); Z=0, 则经过原点; Z=120,则经过点(20,0)和(0,30);
0.8X1 + X2≥1.6 X1 X2 ≤2 ≤1.4
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
所谓线性规划问题： 就是求一组变量 ( x1 , x2 , , xn ) 的值，它们 在满足一组线性等式或不等式的限制条件下，使某 一线性函数的值达到极大或极小。而线性规划就是 研究并解决这类问题的一门理论和方法。 请问在企业中有哪些问题属于线性规划问题？
§1.2 线性规划的图解法
maxZ = 6X1 + 4X2 2X1 + 3X2 ≤ 100 --① 4X1 + 2X2 ≤ 120 --② X1≥0, X2 ≥0 （一）建立坐标系 （二）约束条件的图形表示
Ｘ2
60 50 40 30 20 10
两个概念:
1.可行解:满足约束条件的点. 2.可行域:全部可行解的集合, 即区域OABCO,用R表示.
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
Chap 1 线性规划基本性质
标准化3
min z = x1 +2 (x2′-x 2〃 ) +3 x3′ x1 +2 (x2′-x 2〃 ) + x3′ ≤ 5 2x1 +3 (x2′-x 2〃 ) + x3′ ≥ 6 x1 + (x2′-x 2〃 ) + x3 ′ ≤ 2 x1, x2′, x 2〃, x3′ ≥0
24
第三节 线性规划的标准型
14
第二节 线性规划的图解法
三 、解的可能性
• 唯一最优解：只有一个最优点。 • 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时 得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。
例1的数学模型变为 max z = 3x1 +4 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 s.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
例如 max z = 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≤2 s.t. x1 -3 x2 ≤3 x1 ≥0, x2 ≥0
-1
3 2
z =12 z =6 x1 -3 x2 =3 x1
1
1 -1
16
2
3
第二节 线性规划的图解法
三 、解的可能性（续）
• 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集
22
第三节 线性规划的标准型
• 例
min z = x1 +2 x2 -3 x3 x1 +2 x2 - x3 ≤5 2x1 +3 x2 - x3 ≥6 s.t. -x - x + x ≥ -2 1 2 3 x1 ≥0, x3 ≤0 min z = x1 +2 x2 +3 x3′ x1 +2 x2 + x3′ ≤ 5 2x1 +3 x2 + x3′ ≥ 6 -x1 - x2 - x3′ ≥ -2 x1 ≥0, x3′ ≥ 0
运筹学课程讲义
运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个。
生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。
该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x1 30x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0 例：某工厂生产某一种型号的机床。
每台机床上需要 2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根、2根和1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型1. 繁写形式2. 缩写形式3. 向量形式4. 矩阵形式若原模型中变量 x j 有上下界，如何化为非负变量？三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量 x k 是自由变量，如何化为非负变量？1. 2 图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。
使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。
一、 图解法步骤1. 由全部约束条件作图求出可行域2. 作出一条目标函数的等值线3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值 max z 5x 1 6x 2 7x 3x 1 5x 23x 3 15 5x 1 6x 210x 3 20 x 1 x 2 x 3 5x 1 0,x 2 0,x 3无约束令 x 1' x 1,x 3 x 3' x 3'',x 3' ,x 3'' 0, Z 1Z ' 1 1 min z ' 5x 1' 6x 2 7x 3' 7x 3'' 0x 5 Mx 6 1 x 1' 5x 2 1 11 3x 3' 3x 3'' x 4 x 6 15 1 5x 1' 6x 2 10x 3' 10x 3'' x 5 20 1 x ' x 1 ' II '' 54.Mx 7 x 1, x 2 , x 3, x 3, x 4 , x 5 ,x 6, x 7 0从图解法看线性规划问题解的几种情况1. 有唯一最优解2. 有无穷多组最优解3. 无可行解4. 无有限最优解（无界解）min z 6x1 4x?2x〔X2 13 最优解（1,0），最优值33x14x2 22x1, x20直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。
线性规划的数学模型和基本性质
月份 所需仓库面积 合同租借期限 合同期内的租费
1 15 1个月 2800
2 10 2个月 4500
3 20 3个月 6000
4 12 4个月 7300
2．线性规划数学模型
用数学语言描述
例1
项目
I
设备A（h）
0
设备B（h）
6
调试工序（h） 1
利润（元）
2
II
每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
解：用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电I和II的数量。
肯尼斯-J-阿罗（KENNETH J. ARROW）,美国人，因与约翰-希克 斯（JOHN R. HICKS）共同深入研究了经济均衡理论和福利理论获得 1972年诺贝尔经济学奖。
牟顿-米勒（MERTON M. MILLER）,1923-2000, 美国人,由于他在 金融经济学方面做出了开创性工作，于1990年获得诺贝尔经济奖。
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高? 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
2．线性规划数学模型
练习1 生产计划问题
A B 备用资源
煤12
30
劳动日 3 2
60
仓库 0 2
24
利润 40 50
线性规划的数学模型和基本性质
1．线性规划介绍
美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在 研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用 解法 “单纯形法”。被称为线性规划之父。
线性规划之父的Dantzig (丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到 了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头 苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业 好像太难了，我所以现在才交，言下很是 惭愧。几天之后，他的老师 就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解 , 后来 才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领 域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上 个世纪前十位的算法。
s.t.
2．线性规划数学模型
线性规划问题应用 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品 开发，制定销售计划) 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第五章 线性规划(1)
线性规划问题的标准形式：
n
min cj xj j 1
(3.1)
(LP)
n
s.t. aij x j bi j 1
i 1,2, ,m (3.2)
xj 0
j 1, 2, , n (3.3)
令 c (c1,c2, , cn )T --- 价 格 系 数 或 成 本 系 数 ，
min cT x s.t. Ax b
x0
记标准线性规划的约束集合 S {x | Ax b, x 0}， A Rmn ， b Rm, m n . 可行解， 可行域 最优解：使目标函数（3.1）达到最小值的可行解. 基 ： 设 A 为 mn 阶 的 系 数 矩 阵 ， m n ， Rank(A) m ， B 是矩阵 A 中的 m m 阶的满秩子 矩阵，称 B 是线性规划问题的一个基.
解：对于上述具有两个变量的线性规划问题，
下图的阴影部分描述了满足约束条件的区域，为
OABCD;红虚线为目标函数 Z= z 2x1 3x2 的等值 线。沿箭头方向移动目标函数的等值线，
平移等值线直至与可行域 OABCD 相切或融合为
一条直线，此时就得到最优解为 C 点，其坐标可
通过解方程组得到： x2
变量 xni 0 ，把上述约束化为等式约束
n
aij x j xni bi ；
j 1
4.若第 i 个等式约束中 bi 0 ，则用（-1）乘该等 式两端；
5.若 x j 为自由变量，可令 xj uj v j ,uj 0,v j 0 ， 把它代入目标函数和约束函数。
量称为非基变量.
基本解：在约束方程组（3.2）中，令所有非基
变量取零，由 m 个约束方程可解出 m 个基变量
lp基本性质_27609023
三、基和基本解
min z cx s.t. Ax b x0 设r A m, Amn n m bm1 0 xn1 A
按列分块
c1n
P1 , P2 ,
, Pn
Ax b 等价于 P Pn xn b 1 x1 P 2 x2
1、系数矩阵A中任意m列所组成的m阶可逆子方阵B， 称为(LP)的一个基(矩阵)，变量xj，若它所对应的 列Pj包含在基B中，则称xj为基变量，否则称为非 基变量。基变量的全体称为一组基变量，记 xB1 , xB2 , , xBm . n! m 基矩阵的个数最多为 Cn m !(n m)!
xj 0
• 非标准型LP模型转化为标准型LP模型
一、目标函数是极大化的转化 例： max z 3 x1 2 x2 7 x3
-z
等价变换：令z ' z , 则目标函数转换为 z’ 3x1 2 x2 7 x3
z
x
max z min z '
二、约束方程为不等式的转换 1、约束方程为 ai1 x1 ai 2 x2 等价于 ai1 x1 ai 2 x2 yi 0 ain xn yi bi yi 称为松弛变量(slack variable) ain xn bi
xB 2 设A B N , 其中r B m, 设x . xN 由Ax b得，BxB NxN b xB B 1b B 1 NxN
称x为(LP)的基本解。
B 1b 令 xN 0，得x 0
四、决策变量有上下界的转换
如： 1 x3 5, x3 1, x 3 5
' 0, x3 4 令 x3 x3 1, 则 x3
2.1 线性规划的定义
目标函数值为：z=15
x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x6、x2、x3，非基变量x4、x5、x1
3x2 3x2 -x2
+x3 -x3 +x3
+x6
=15 =18 =3
基础解为 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，11/2，-3/2，0，0，10） 是基础解但不是可行解。
x1 +3x2 +x3 2x1 +3x2 -x3 x1 -x2 +x3
+x4 +x5 +x6
=15 =18 =3
基变量x5、x2、x3，非基变量x1、x4、x6
3x2 3x2 -x2
+x3 -x3 +x3
+x5
=15 =18 =3
基础解为（x1，x2，x3，x4，x5，x6）=（0，3，6，0，15，0） 是基础可行解，表示可行域的一个极点。
B N
B 1b X 0
为基B下的基本解。
三、线性规划的基本概念
• 7、基本可行解：符合非负性要求的基本解， 称为基本可行解。 • 8、可行基：基本可行解对应的基，称为可行 基。 • 9、基本最优解：满足目标函数要求的基本解， 称为基本最优解。
三、线性规划的基本概念
max Z CB B 1b (CN CB B 1 N ) X N s.t. X B B 1b B 1 NX N (1.5) XB, X N 0
=
(1.4)
=
结论：
第二章 线性规划解的概念、性质及图解法
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习题：用图解法求下列线性规划:
可行域为无界 区域一定无最 优解吗？
x2
2 x1 x2 2
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
x1 4 x2 4
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
x(1) (1 ) x(2) S 则称 S 是一个凸集。
几何意义：如果集合中任意两点连线上的一切点都在 该集合中，则称该集合为凸集。
凸集
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定义 2
设 x R , i 0, i 1, 2,, k , 且 i 1， 则称
(i ) n i 1
k
x 1 x (1) 2 x (2) k x ( k )
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3.可行解与最优解
Ax=b，x≥0；
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4.线性规划的可行域和最优解的性质
1.若线性规划的可行域非空，则可行域必定 为一凸集． 2.若线性规划的可行域非空，则至多有有限 个极点.
3.若线性规划有最优解,则至少有一个极点是 最优解.
可行域内 无限个 可行解 搜索
可行域的 有限个极点
x2
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图解法
步骤 一： 由全 部约 束条 件作 图求 出可 行域 ；
9— 8—
目标函数
Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件
x2
7—
6— 5—
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
线性规划问题解的基本理论
足非负条件的基本解。
4
9.退化的基本可行解
非零分量个数小于m（至少有一个基变量 取值为0）。
10.最优基
该基对应的基本可行解为LP的最优解。
结论
基本解的个数≤Cmn
基本可行解的非零分量均为正分量 个数不超过m
5
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
（即可行域）
D
X
n
Pj x j
j 1
b, x j
0是凸集。
定理3-2 线性规划几何理论基本定理
若
D
X
n
Pj x j
j 1
b,
x，j
0
则X是D的一个顶点的充分必要条件是X为线性
规 划的基本可行解。
8
定理3-3 若可行域非空有界，则线性规划问 题的目标函数一定可以在可行域的顶点上 达到最优值。
化为只在可行域的顶点中找，从而把一 个无限的问题转化为一个有限的问题。
☺ 若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就一定有无穷多个最优解。
11
二、 线性规划问题 解的概念和性质
1
一、LP问题的各种解
1. 可行解：满足约束条件和非负条
件的决策变量的一组取值。
2. 可行解集：所有可行解的集合。 3. 可行域：LP问题可行解集构成n维
空间的区域，可以表示为：
D {X | AX b, X 0}
2
4.最优解:使目标函数达到最优值的可行解。 5.最优值：最优解对应目标函数的取值。 6.求解LP问题:求出问题的最优解和最优值。
线性规划基本性质
在线性规划问题中，最优基解一 定是基可行解，但基可行解不一
定是最优基解。
04
2023
PART 03
线性规划的几何解释
REPORTING
线性规划在几何上的表示
线性规划问题可以用一组不等式和等式来表示，这些不等式 和等式可以看作是定义了一个多维空间中的半空间和超平面 。
在几何上，这些半空间和超平面可以表示为一个凸多面体， 称为可行域。
01 Excel内置了线性规划求解工具，可以通过“工具 ”菜单中的“规划求解”选项进行操作。
02 Excel的线性规划求解工具支持多种约束条件，包 括等式约束、不等式约束和整数约束等。
03 Excel的线性规划求解工具可以处理包含多个决策 变量和目标函数的问题。
MATLAB实现
MATLAB提供了优化工具箱， 其中包括线性规划求解器。
在线性规划问题中，变量的取值范围 是有限的，通常表示为闭区间。
凸性
凸性是指目标函数和约束集都是凸集， 即对于任意两个点，连接它们的线段 仍在集合内。
VS
凸性是线性规划问题的一个重要性质， 因为凸集的性质可以简化问题的求解 过程。
有效解与最优解
有效解是指满足所有约束条件的解，即在该解处， 目标函数取得非负值。
PuLP可以与其他Python库集成，如NumPy和SciPy，以提供更
03
高级的功能和算法。
2023
PART 06
线性规划的案例分析
REPORTING
案例一：生产计划问题
目标函数
最大化总利润或最小化总成本。
约束条件
包括资源限制、市场需求、产品组合等。
解决方案
通过求解线性规划模型，找到最优的生产计划方 案。
物流运筹学习题及答案1题目线性规划基本性质
习题一1.1试述LP模型的要素、组成部分及特征。
判断下述模型是否LP模型并简述理由。
(式中x,y为变量；O为参数;a,b,c,d,e为常数。
)(1)max Z=2X∣-X2-3X3X1÷X2+X3=13x i-x2+5X3≤82x1-4X2+3X3≥5x1>O,x2≤O(2)minZ=π⅛*=!EaikXkNbi,i=1,2…,ms∙t∙IA=I[x k≥0Λ=1,2...»w(3)minZ=ZaiXi+»凶∕=l√=ιx i≤c i,i=1,2,...,znS.t.<y j≤d j J≈∖,2,...n%十%≥%∙〃4))maxz=7C.X i JJj=∣EaijXj≤b i+d iΘ,/=1,2,...,∕n5)t.；=1Xj≥OJ=1,2,...«1.2试建立下列问题的数学模型：(1)设备配购问题某农场要购买一批拖拉机以完成每年三季的工作量：春种330公顷，受管130公顷，秋收470公顷。
可供选择的拖拉机型号、单台投资额及工作能力如下表所示。
问配购哪几种拖拉机各几台，才能完成上述每年工作量且使总投资最小？(2)物资调运问题问应如何调运，才能既满足城市用煤需求，又使运输的总费用最少？（3）食谱问题某疗养院营养师要为某类病人拟订本周菜单。
可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量，以及这类病人每周所需另外为了口味的需求，规定一周内所用的卷心菜不多于2份，其它蔬菜不多于4份。
若病人每周需14份蔬菜,问选用每种蔬菜各多少份？（4）下料问题某钢筋车间要用一批长度为10米的钢筋下料制作长度为三米的钢筋90根和长度为四米的钢筋60根，问怎样下料最省？用图解法求解卜.列LP问题：（1）min Z=6XI+4X22x1+X2≥1s.t.3x1+4X2≥1.5x1>O,x2≥O(2)maxz=2.5x1+x23x1+5x2≤155.t.<5x l+2X2≤IOx1≥O,x2≥O(3)maxz=2xι+2x2X∣—X?≥-1-0.5x1+x2≤2x1≥O,x2≥O(4)maxz=Xι+χ2Λ1-x2≥O s.t.∙3x∣—x9≤—3x1≥O,x2≥O(5)minz=2x∣-10x2X1-X2≥O5)t.x1-5X2≥-5x1≥O,x2≥O6))minZ=-IOxi-IIx23x1+4X2≤105x l÷2Λ2≤8s.t.X I-2X2≤2x1≥O,x2≥O1.4把L3题的(3)-(6)化成标准形.1.5把下列LP问题化成标准形。
第二章线性规划的基本性质
(LP)
， c (c1 , c 2 , , c n ) T R n ，
x ( x1 , x 2 , , x n ) T R n 是(LP)的决策变量。在(LP)中，不妨设 A 的秩 r(A)=m，并且 A 不含零向量列。
并称为是 x j 所对应的系数列向量， 则 a j 0( j 1, , n) 。 记向量 a j ( j 1, , n) 是矩阵 A 的第 j 个列向量， 集合 S { x R | Ax b, x 0} 为(LP)的可行域，约束 Ax b 称为(LP)的主约束， x 0 是非负约束。
m
Ax b ，所得解就是关于 B 的基本解。若此解满足非负条件，那么就是基本可行解。 xN 0
4
定义 2.2.3 设(2.2.2)是 S 关于 B 的基本可行解。若 B 1 b 0 ，则称(2.2.2)是非退化的基本可行解，B 为非退化的可行基，否则称(2.2.2)为退化的基本可行解，B 为退化的可行基。若 S 的所有基本可行解都 是非退化的，则称(LP)是非退化的。 例 2.2.1 考虑例 1.2.1，即
（1.1.1）
2．画出目标函数梯度即方向 c= (c1 , c 2 ) T ，经过 S 中某点的目标函数等值线（与 c 垂直） 。 3．沿 c 的反方向移动目标函数等值线直到再移动则等值线与 S 不再相交为止，或得知可无限移动。 4．求得最优解或得知不存在最优解。 下面通过一个具体例子说明如何用图解法求解问题(1.1.1)。 例1.1.1 用图解法求解线性规划问题
1
l
T
j
（2）(LP)存在最优解时，最优解可在某个极点达到。 根据定理 2.1.1 知和注 1.2.1 得知如下结论。 推论 2.1.1 若某一线性规划问题的可行域非空有界，则该问题一定存在最优解；若某一线性规划问 题存在最优解，最优解一定可在某个极点达到。
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一．判断正误
1．线性规划问题的一般模型中不能出现等式约束。
2．在线性规划模型的标准型中,b j （j=1，2，…m ）一定是非负的。
3．线性规划一般模型中的变量不一定是非负的。
4．用图解法求最优解时，只需求出可行域顶点对应的目标值，通过比较大小，就能找 出最优解。
5．一般情况下，松弛变量和多余变量的目标函数系数为零。
二．简答题
1．简述线性规划问题数学模型的组成部分及其特征。
2．简述建立线性规划问题数学模型的步骤。
3．简述化一般线性规划模型为标准型的方法。
三．解答题
1．判断下列模型是否为线性规划模型 （其中a ，b ，c 均为常数）
（1） min Z =
=n
j 1
c j x j （2） max Z =∑
=n
j 1
c j x j
∑
=n
j 1
a ij x j ≤
b i ∑
=n
j 1
a ij x j ≤
b i
x j ≥0 x 5，…，x n ≥0 i=1，2，… ，m ；j=1，2，…，n. x 1 ~ x 4无约束
i=1，2，… ，m ；j=1，2，…，n.
（3） min Z =∑=m
i 1
a i 2
x i +∑
=n
j 1
b j 2
y j （4） max Z=
∑
=m i 1
c i 2x i -
∑
=n
j 1
a j 2y j
x i + y j ≤c ij 2
x i （a i -y j ）≤b ij
i=1，2，… ，m ；j=1，2，…，n. i=1，2，… ，m ；j=1，2，…，n. 2．将下列线性规划模型化为标准型。
（1）min Z =2x 1+x 2-2x 3 （2） max Z=2x 1+x 2+3x 3+x 4 -x 1+x 2+x 3 =4 x 1 + x 2 + x 3+ x 4≤7 -x 1+x 2-x 3 ≤6 2x 1 -3x 2 +5x 3 =-8 x 1 ≤0，x 2 ≥0, x 3无约束 x 1 -2x 3+2x 4≥1 x 1 ，x 3≥0， x 2≤0，x 4无约束 （3）min Z =3x 1 -4x 2 +2x 3 -5x 4 4x 1 -x 2 +2x 3 -x 4 ≥2
x 1 +x 2 +3x 3 +4x 4≤20 x 1≤0，x 2≥0， x 3≥0，x 4无约束
（4） max Z= ∑
∑
==m i n
j 1
1
c ij x ij
∑
=n
j 1x ij ≤a i
∑
=m
i 1
x ij = b j x ij ≥ 0,（i=1，2，… ，m ；j=1，2，…，n ）
3．用图解法解下列线性规划问题。
（1） max Z =10x 1+5x 2 （2） min Z =-x 1 +2x 2 3x 1 +4x 2 ≤9 x 1 +x 2≤5 5x 1 +2x 2 ≤8 2x 1 +3x 2≥6
x 1 ，x 2 ≥0 -x 1 +x 2≤3 x 1 ，x 2 ≥0 （3） max Z = x 1 +2x 2 （4） min Z = x 1 +3x 2 -x 1 +2x 2 ≤4 x 1 +x 2≤1 x 1 ，x 2 ≥0 x 1 +2x 2≥4 x 2 ≥0 4．给定线性规划问题
max Z =2x 1 +3x 2 x 1 + x 2 ≤2
4x 1 +6x 2≤9 x 1 ，x 2 ≥0 （1）指出可行域上的两个最优顶点及最优值。
（2）写出全部最优解的集合。
5．建立下列问题的线性规划模型并化为标准型
（1）、某工厂生产A 1、A 2两种产品，有关的信息由下表给出，建立制定最优生产计划的模型（利润最大）。
每件产品所用资源
定额a ij 产品A j
资源上限b i
A 1 A 2 资 源 i
资源1 9 4 3600 资源2 4 5 2000 资源3 3 10 3000 利润C j
70
120
（2）、某厂车间有B 1、B 2两个工段，可生产A 1、A 2和A 3三种产品。
各工段开工一天的产量和成本以及合同对三种产品的最低需求量由下表给出。
建立求使成本最低并能满足
需求的开工计划的模型。
生产定额（吨/天）
工段B j 合同每周最低需
求量（吨）B1 B2
产品A i A1 1 1 5 A2 3 1 9 A3 1 3 9
成本（元/天）1000 2000
（3）、假定市场上有i种食品，单位售价是c i，有m种营养成分。
为达到营养平衡，每人每天必须摄取不少于b j个单位的第j种营养成分。
第i种食品的每个单位含有a ij个单位的第j种营养，建立确定最佳饮食水平的模型（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）。
（4）、某工厂生产A、B两种产品，已知生产A每公斤要用煤9吨、电4度、劳动力3个；生产B每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
又知每公斤A、B的利润分别为7万元和12万元。
现在该工厂只有煤360吨、电200度、劳动力300个。
问在这种情况下，各生产A、B多少公斤，才能获最大利润，请建立模型。
（5）、某工厂生产A、B两种产品，每公斤的产值分别为600元和400元。
又知每生产1公斤A需要电2度、煤4吨；生产1公斤B需要电3度、煤2吨，该厂的电力供应不超过100度，煤最多只有120吨，问如何生产以取得最大产值？建立模型，用图解法求解。
答案与提示
一．1．×；2．√；3．√；4．√；5．√. 二．略
三．1．(1) 否是；（2）否是；（3）否是；（4）否是；（5）否是；
2．略
3．（1）（1，3/2），Z=35/2；（2）（5，0），Z=-5；（3）无限解；（4）（-2，3），Z=7； 4．（3/2，1/2），（0，3/2）
X={（x 1，x 2）|(x 1,x 2)=α(0,3/2)+(1-α)(3/2,1/2),0≤α≤1}
5．(1) 提示：设产品A 1、A 2的产量分别为x 1、x 2个单位，max Z =70 x 1+120x 2 （2）提示：设工段B 1、B 2各开工x 1、x 2天，min Z =1000 x 1+2000x 2
（3）提示：设每天购买种i 食品x i 个单位，min Z =
∑
=m
i 1
c i x 2
（4）提示：设A 、B 各生产x 1、x 2公斤，max Z =7 x 1+12x 2 （5）提示：设A 、B 各生产x 1、x 2公斤，max Z =600 x 1+400x 2， （x 1、x 2）=（20，20），产值最大为20000元。