等比数列求和公式PPT教学课件
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等比数列的求和公式课件
9 4
?
153 . 128
13
? 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋… ＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于 ________．
答案： 13(4n－1) 解析： 设等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列 {an}的公比 q＝2，首项 a1＝1， ∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， ∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
? S64
?
264
? 1 ? 168亿4吨46，7就4是40说7全37世0界9都55要1615 1000 多年才能生产这么多小麦，
? 1国.8王4?无1论01如9 何是不能实现发明
者的要求的。
5
如何求等比数列的Sn:
错位相减法
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an
Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? a1qn?2 ? a1qn?1 ① qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ? ? a1qn?1 ? a1qn ②
8
?
S8
?
1 2
? ?1 ?
?
?? ?
1 2
8
? ? ?
? ? ?
1
1?
2
? 255 . 256
Sn
?
a1(1? qn ) 1? q Nhomakorabea10
例2、在等比数列?an?中，求满足下列条件的量 :
(1) a1 ? a 3 ? 2 , 求 s n
(2)q
?
2, n
?
5, a1
?
1 2
.求
等比数列的求和公式课件
+a99 ? 60
34
[例 4] 已知 f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且 a1，a2， a3，…，an 成等差数列(n 为正偶数)．又 f(1)＝n2，f(－1) ＝n，试比较 f(12)与 3 的大小．
请同学们考虑如何求出这个和？
32814 73701 = 103 2
S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 26的这3. 方种法求,和就(1)
2S64 ? 2(1? 即2S64 ? 2 ? 22
2
?
? 22
23 ?
?
23
?
?
263
是?错26位3 )相.
? 2减64法. !
(2)
? 2S64 ? S64 ? (2 ? 2那2如么?果这213些0?0麦02粒粒4麦的? 粒总重质?为量24就603是克? ，264)
根据统计资料显示全世界小麦的年产量约为6亿吨就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦国王无论如何是不能实现发明者的要求的
1
知识回顾：
1.等比数列的定义：
an?1 an
?
q（常数）（ q ? 0, n ? N ? ）
2.通项公式：
a a q an ? a1 ?q n?1 ,
m? n
?g
m
n
3.等比数列的主要性质：
a1 1? q2n 1? q2
,
? S偶 ? a2 ? q. S奇 a1
等比数列前n项和的性质四：
如果?an ?为公比为q的等比数列，对? m、p ? N ?有：
Sm? p ? Sm ? qmSp
29
30
例:已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1, 其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数 列的公比和项数.
等比数列的求和公式第一课时ppt
11 2n 1 2
n 1
×
1 2 4 8 16 （ 2）
1 1 2n 1 2
×
a a （3）a
n个
例1、已知 a n 是等比数列，求出下列各量
1 1 （1）已知 a1 2 , q 2 , n 5 ，求
(1 q)Sn a1 a1q
n
n
a a q a ( 1 q ) 1 n 当q≠1时， S 1 n 1 q 1 q
等比数列an 的前n项和需要进行分类讨论 当q=1时，等比数列an an 0 为一个常数 列，前n项的和 Sn na1
a1 (1 q n ) 当q≠1时， Sn 1 q
a1 1 q n q 1 Sn 1 q na q 1 1
a1 an q 1 q Sn na 1 q 1 q 1
判断下列数列 an 的求和是否正确
（ 1） 1 2 2 2
2n
2
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学 源于生活
数学 用于生活
a1 a n q a1 (1 q n ) q 1 1q 1 q Sn 或 Sn na na q 1 1 1
知三求二 方 程 思 想
q 1 q 1
3 a3 例2、已知在等比数列an 中， 2 1
S 3 4 ，求 a 1 2
思考：
1 1 1 1 求数列 1 , 2 , 3 , 4 , 的前n项的和. 2 4 8 16
• 例3.在等比数列 an 中，a1 an 66 ， • a2 an1 128 且 sn 126 ，求项数 • n 和公比 q
等比数列求和公式PPT教学课件(1)
拉余着强我一饮同三喝酒大。我白勉而强喝别了。三大杯就告别。
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
等比数列求和公式课件
元？ • 10×36=360 • 公司还款多少元？
• 10+20+40+80+……+10× 235
能否签字？
• 10+20+40+80+……+10× 235 =？
这涉及到一个等比数列求和的问题。最一般的情况为：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1 ?
右边从第二项起，后面一项都是在前面一项的基础上乘上公比q. 如果左右两边同时乘上公比，就会出现：
qsn a1q a1q2 ...... a1qn1 a1qn
等比数列求和公式
2013春数控班 杨绪兵
问题：
• 某公司由于资金短缺，决定向银行进行贷 款，双方约定，在3年内，公司每月向银行 借款10万元，为了还本付息，公司第一个 月要向银行还款10元，第二个月还款20元， 第三个月还款40元，……。即每月还款的 数量是前一个月的2倍，请问，假如你是公 司经理或银行主管，你会在这个合约上签 字吗？
公比q能否为1？
q 1 时：
q 1 时，请大家观察下面的式子：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1
提示1 ： x2 y2 (x y)(x y) x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) ...... xn yn ?
• 提示2：
sn a1 a1q a1q2 ...... a1qn1
• 10+20+40+80+……+10× 235
能否签字？
• 10+20+40+80+……+10× 235 =？
这涉及到一个等比数列求和的问题。最一般的情况为：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1 ?
右边从第二项起，后面一项都是在前面一项的基础上乘上公比q. 如果左右两边同时乘上公比，就会出现：
qsn a1q a1q2 ...... a1qn1 a1qn
等比数列求和公式
2013春数控班 杨绪兵
问题：
• 某公司由于资金短缺，决定向银行进行贷 款，双方约定，在3年内，公司每月向银行 借款10万元，为了还本付息，公司第一个 月要向银行还款10元，第二个月还款20元， 第三个月还款40元，……。即每月还款的 数量是前一个月的2倍，请问，假如你是公 司经理或银行主管，你会在这个合约上签 字吗？
公比q能否为1？
q 1 时：
q 1 时，请大家观察下面的式子：
a1 a1q a1q2 ......a1qn1
提示1 ： x2 y2 (x y)(x y) x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) ...... xn yn ?
• 提示2：
sn a1 a1q a1q2 ...... a1qn1
等比数列前项求和PPT精品课件
a a (1-q)Sn= 1- 1qn
{a1(1-q n)
Sn=
1-q
(q=1)
a n· 1 (q=1)
通项公式: an=a1• q n-1
等比数列前n项求和公式
等比数列 {an}
{a1(1-q n )
Sn=
1-q
(q=1)
a n· 1 (q=1)
{a1-anq
Sn=
1-q
(q=1)
a n· 1 (q=1)
家蚕的成虫期叫做蚕蛾，其头部小，胸部有两对 翅，雌蛾腹部肥大，雌、雄蛾均不取食，雄蚕蛾 在交配后死亡，雌蛾在产卵后也很快死亡。
第一课时 家蚕的生殖与发育
家蚕，又叫桑蚕，属鳞翅目蚕蛾科, 是由野蚕经过我们的祖先长期
饲养所创造的物种，是人类改造自然的伟大成就。
蚕——是指家蚕的幼虫。
蚕籽（蚕卵）
昆虫的幼虫虫体增大后，它的表皮限制了昆虫的生长，必须脱去旧表皮，形成新表皮，
高度： 75•M （µm）
a a q 已知：等比数列 { n}， 1， ，n
求：Sn
等比数列前n项求和公式
推导公式
a a q 已知：等比数列 { n}， 1， ，n
求：Sn
解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an
=a1+a1q +a1q2+a1q3 +…+a1qn-1
作 减
法
sq n=a1q +a1q2 +a1q3 +…+ a1qn-1 + a1qn
a1q n
a1•qn-1•q
anq
去看看练习吧!
通项公式: an=a1• q n-1
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解：当x≠0，x≠1，y≠1时
(x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )yΒιβλιοθήκη y2yn(x
x2
...
xn
)
(1 y
1 y2
...
1 yn
)
x(1 xn ) 1 x
1 y
(1
1 yn
)
1 1
y
x xn1 1x
yn 1 yn1 yn
练习: 求下式的和
（2 35) (4 352 ) (6 353) ... (2n 35n )
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公比q 1时，Sn na1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1(q 1)
an a1qn1
Sn
a1 anq 1 q
(q
1) .
na1(q 1)
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
(q
(1) (2)
(2) (1)得：1 q2n
1 qn
82
1 q2n 821 qn 82 1 qn
qn 81 q 1
a1 0, q 1 {an}是递增数列
an 54
a1q n1
54
a1 q
qn
54
a1
2 3
q由 a1(1 81) 1 q
80得：
a1 2,q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3, S9 , S6成等差数列，
求证：a , a , a 成等差数列。 285
证明： S3 , S9 , S6成等差数列
S3 S6 2S9
当q 1时，S3 3a1, S6 6a1, S9 9a1 S3 S6 2S9 q 1
由S3 S6 2S9得
a1(1 q3） a1(1 q6） 2 a1(1 q9）
1 q
1 q
例3：设正项等比数列前n项和为80，其中最大的 一项为54；前2n项的和为6560，若该数列的首项a1 与公比q均为正数，求该数列的首项a1与公比q.
解： Sn 80, S2n 6560 q 1
Sn S2n
a1(1 qn) 1 q
a1(1 q 2n 1 q
80 ) 6560
错位相销法；比例的性质。
(2)等比数列前n项和公式:
(1)a1=3，q=2，n=6.
(2)a1=8，q
=1
2
，an=
1 2
.
(3)等比数列{ an=3 }
S6=189 S5=31/2 Sn=3n
2.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10
项的和；
S6=1008
例2：求和
（x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )
y
y2
yn
(x 0, x 1, y 1)
1 q
q3 q6 q9 1 q3 2q6
q q4 2q7
a1(q q4) 2a1q7
a2 a5 2a8
a , a , a 成等差数列。 285
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加
10％，那么从第1年起，约几年内可使
总销售量达到30000台（保留到个位） 分析：销售量与年份之间的关系如下
求lgx+lg2x+lg3x+…+ lg10x. 2. 已知数列{ an }的前n项和为Sn=3n+1-3，
求证{ an }为等比数列.
证明：
an
Sn S1
Sn1
n2 n1
an1 an
2 3n1 2 3n
3
an
2 3n
6
an
2 3n
∴{ an }为等比数列.
课堂小结：
(1)等比数列前n项和的推导方法：
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
1)或Sn
a1 anq 1q
(q
1) .
na1(q 1)
na1(q 1)
例1：求等比数列1 ，1 ，1 ．．．的前8项的和。 248
解：
a1
1 2
,
q
Sn a1(1 qn )
1,n 2
1/
8
2(1
18 2
)
1 q
11/ 2
Sn
1
1 28
课堂练习
1.根据下列条件，求等比数列{ an }的Sn
S64=1+2+4+8+…+262+263 ①
2S64=2+4+8+16…+263+264
②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an 公比为：q 1
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 …①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn …②
① - ②得：
Sn-qSn=a1-a1qn
sn
a1 1 qn 1q
证法二：
a2 a3 an q
a1 a2
an1
a2 a3 an q a1 a2 an1
Sn a1 Sn an
q sn
a1 anq 1q
证法三： Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
y1 5000; y2 5000 500010%
y3 5000(110%) 5000(110%)10% 5000(110%)2
y4 5000(110%)3; ..... yn 5000(110%)n1
解：根据题意，每年销售量比上一年增 加的百分率相同，所以从第1年起，每年 的销售量组成一个等比数列{an}，其中 a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000, 于是得到:
5000(1 1.1n ) 30000. 1 1.1
整理后，得 1.1n=1.6 两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6 用计算器算得
n lg1.6 0.20 （ 5 年） lg1.1 0.041
练习：
某制糖厂第一年制糖5万吨，如果平均 每年的产量比上一年增加10%，那么从第 一年起，约几年内可使总产量达到30万吨 （保留到个位）？
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.