等比数列求和公式PPT教学课件
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等比数列的求和公式课件
8
?
S8
?
1 2
? ?1 ?
?
?? ?
1 2
8
? ? ?
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1
1?
2
? 255 . 256
Sn
?
a1(1? qn ) 1? q
10
例2、在等比数列?an?中，求满足下列条件的量 :
(1) a1 ? a 3 ? 2 , 求 s n
(2)q
?
2, n
?
5, a1
?
1 2
.求
a
n
和
s
n
( 3) a1 ? 1, a n ? ? 512 , s n ? ? 341 .求 q 和 n
的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
7
等比数列的前n项和表述为：
{ ? ? Sn ?
na1,
( q=1).
a1 ?1? qn ? a1 ? anq , (q≠1).
1? q
1? q
8
例1 求等比数列
1 , 1 , 1 ,? 248
的前8项的和.
解:
? a1 ?
1 ,q 2
?
1 ,n ? 2
? S64
?
264
? 1 ? 168亿4吨46，7就4是40说7全37世0界9都55要1615 1000 多年才能生产这么多小麦，
等比数列课件PPT
详细描述
等比数列的通项公式是$a_n=a_1*r^{(n-1)}$， 其中$a_n$是第n项，$a_1$是首项，$r$是公 比，$(n-1)$是项数减1。等比数列的求和公式 是$S_n=frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$，其中$S_n$ 是前n项和。此外，我们还可以使用几何画板等 工具来直观地表示等比数列。
等差数列与等比数列的关联
等差数列和等比数列之间存在一定的关联，可以通过等差中项定理、 平方差公式等进行转换。
04
等比数列的应用
等比数列在金融领域的应用
复利计算
等比数列是计算复利的基 础，通过等比数列的公式 可以快速计算出本金在一 定利率下的未来值。
保险精算
保险公司在计算保险费、 赔偿金和年金时，常常使 用等比数列来计算未来现 金流。
等比数列的性质
总结词
等比数列具有一些特殊的性质，这些性质有助于理解和应用 等比数列。
详细描述
等比数列的性质包括对称性、递增性、递减性、周期性和收 敛性等。这些性质反映了等比数列的内在规律，有助于我们 更好地理解和应用等比数列。
等比数列的表示方法
总结词
等比数列可以用多种方式表示，包括 通项公式、求和公式和几何画板等。
证明等比数列求和公式
通过数学归纳法，我们可以证明等比数列求和公 式的正确性。
等比数列求和公式的应用
01
等比数列的通项公式是$a_n=a_1*r^{(n-1)}$， 其中$a_n$是第n项，$a_1$是首项，$r$是公 比，$(n-1)$是项数减1。等比数列的求和公式 是$S_n=frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$，其中$S_n$ 是前n项和。此外，我们还可以使用几何画板等 工具来直观地表示等比数列。
等差数列与等比数列的关联
等差数列和等比数列之间存在一定的关联，可以通过等差中项定理、 平方差公式等进行转换。
04
等比数列的应用
等比数列在金融领域的应用
复利计算
等比数列是计算复利的基 础，通过等比数列的公式 可以快速计算出本金在一 定利率下的未来值。
保险精算
保险公司在计算保险费、 赔偿金和年金时，常常使 用等比数列来计算未来现 金流。
等比数列的性质
总结词
等比数列具有一些特殊的性质，这些性质有助于理解和应用 等比数列。
详细描述
等比数列的性质包括对称性、递增性、递减性、周期性和收 敛性等。这些性质反映了等比数列的内在规律，有助于我们 更好地理解和应用等比数列。
等比数列的表示方法
总结词
等比数列可以用多种方式表示，包括 通项公式、求和公式和几何画板等。
证明等比数列求和公式
通过数学归纳法，我们可以证明等比数列求和公 式的正确性。
等比数列求和公式的应用
01
等比数列求和公式学习教材PPT课件
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
1 1 1 2 n (x ) (x ) ... (x ) y y2 yn
1 1 1 2 n (x x ... x ) ( ... ) n y y2 y
1 1 (1 ) n y x(1 x ) yn 1 1 x 1 y
n
1 1 1 例1：求等比数列 ， ， ．．．的前8项的和。 2 4 8
18 1 / 2(1 ) n a1(1 q ) 2 Sn 1 q 1 1/ 2
1 1 解： a1 , q , n 8 2 2
1 Sn 1 8 2
课堂练习 1.根据下列条件，求等比数列{ an }的Sn (1)a1=3，q=2，n=6. (2)a1=8，q =
a1 1 q n sn 1 q
…②
证法二：
an a2 a3 q a1 a2 a n 1
a2 a3 an q a1 a2 an1
S n a1 a1 a n q q sn S n an 1 q
证法三：
S3 S 6 2 S9
当q 1时，S3 3a1 , S6 6a1 , S9 9a1 S3 S 6 2 S9 q 1
由S3 S6 2S9 得
a1 (1 q ） a1 (1 q ） a1 (1 q ） 2 1 q 1 q 1 q
1 1 1 2 n (x ) (x ) ... (x ) y y2 yn
1 1 1 2 n (x x ... x ) ( ... ) n y y2 y
1 1 (1 ) n y x(1 x ) yn 1 1 x 1 y
n
1 1 1 例1：求等比数列 ， ， ．．．的前8项的和。 2 4 8
18 1 / 2(1 ) n a1(1 q ) 2 Sn 1 q 1 1/ 2
1 1 解： a1 , q , n 8 2 2
1 Sn 1 8 2
课堂练习 1.根据下列条件，求等比数列{ an }的Sn (1)a1=3，q=2，n=6. (2)a1=8，q =
a1 1 q n sn 1 q
…②
证法二：
an a2 a3 q a1 a2 a n 1
a2 a3 an q a1 a2 an1
S n a1 a1 a n q q sn S n an 1 q
证法三：
S3 S 6 2 S9
当q 1时，S3 3a1 , S6 6a1 , S9 9a1 S3 S 6 2 S9 q 1
由S3 S6 2S9 得
a1 (1 q ） a1 (1 q ） a1 (1 q ） 2 1 q 1 q 1 q
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
求解特定问题
扩展到其他数列
将等比数列的通项公式扩展到其他类 型的数列，如等差数列、等和数列等 。
针对特定问题，对通项公式进行变形 或简化，以便于求解。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义等比数列
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的比值都相等 。
推导等比数列求和公式
通过等比数列的性质，我们可以推导出等比数列的求和公式。
等比数列的性质
总结词
等比数列具有一些独特的性质，这些 性质有助于理解和应用等比数列。
详细描述
等比数列的性质包括对称性、递增性 、递减性、周期性和平均性等。这些 性质可以帮助我们解决一些与等比数 列相关的问题。
等比数列的表示方法
总结词
等比数列可以用多种方式表示，包括通项公式、求和公式和比例公式等。
详细描述
等比数列的通项公式是$a_n=a_1*q^{n-1}$，其中$a_n$是第n项，$a_1$是第一项，$q$是公比，$n$是项数。 等比数列的求和公式是$S_n=frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$S_n$是前n项和。比例公式是表示任意两项之间的 比值的公式，即$frac{a_n}{a_{n-1}}=q$。
等比数列求和PPT课件
第六章 数列
等比数列的前n项和 公式的推导和应用
知识回顾：
（1）等比数列定义：
an an 1
q(n
2, q
0)
（2）等比数列通项公式：an a1 q n1 (a1, q 0)
（3）等差数列的前n项和公式的推导方法： 倒序相加法
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1
两边同乘以q，得
qSn a1q a1q2 a1qn1 a1qn
两式相减，得
Sn a1(1 qn ) (q 1) 1 q
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
a2 a3 a4 ...... an q(a1 a2 a3 ...... an 1)
即 Sn a1 q(Sn an)
Sn qSn a1 qan
na1
q 1
Sn当 当
qqa1(1111时 时qq， ，n )SSnn
q
a1(1 q
11 q
na1
n
)
公式证明（错位相减法）
)
(n
1 xn
)(n
N
x
0）
等比数列的前n项和 公式的推导和应用
知识回顾：
（1）等比数列定义：
an an 1
q(n
2, q
0)
（2）等比数列通项公式：an a1 q n1 (a1, q 0)
（3）等差数列的前n项和公式的推导方法： 倒序相加法
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1
两边同乘以q，得
qSn a1q a1q2 a1qn1 a1qn
两式相减，得
Sn a1(1 qn ) (q 1) 1 q
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
a2 a3 a4 ...... an q(a1 a2 a3 ...... an 1)
即 Sn a1 q(Sn an)
Sn qSn a1 qan
na1
q 1
Sn当 当
qqa1(1111时 时qq， ，n )SSnn
q
a1(1 q
11 q
na1
n
)
公式证明（错位相减法）
)
(n
1 xn
)(n
N
x
0）
等比数列求和PPT课件
拓展
Sn an : a1，a2 , a3 ,, 构成一新数列： 已知数列
a1，a2 a1 , a3 a2 ,, an an 1
n ,, 次数列
( n,
)
1 是首项为 1，公比为 的等比数列。 3 an 的通项公式； (1)求数列
an 的前n项和； (2)求数列
练习：
1.若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则 实数m＝__________. 2. 等比数列中，S4＝10，S8＝30，则 S12＝_______.
an 的首项为 3.等比数列 1，公比为q，前n项和
1 为S ,由原数列各项的倒数组 成一个新数列 ， an 1 则 的前n项和为 ( ) an 1 A. S 1 B. n q S S C. n 1 q q D. S
wenku.baidu.com
an 的通项公式？ (2)求数列
例4.设二次方程an x an 1 x 1 0有两根
2
与，且满足 6 2 6 3 （ 1）试用an 表示an 1？
2 (2)证明：数列 an 是等比数列。 3
7 (3)当a1 时，求数列an 的通项公式？ 6
n
例1. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1. 求证：数列{an}是等比数列，并求出其
通项公式.
2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，
等比数列求和公式及性质课件PPT
公式推导
通过等比数列的通项公式，我们可以将数列的每一项表示为 a_1 和 r 的 函数，然后将这些项相加得到总和。通过代数运算，我们可以得到这个 求和公式。
应用举例
假设一个等比数列的首项为2，公比为3，项数为4，我们可以使用这个 公式计算数列的和为34。
无限等比数列求和公式
无限等比数列求和公式
S_n=a_1/(1-r) 当 n 趋向于无穷大时。这个公式用于计算 无限等比数列的和。
Baidu Nhomakorabea的和。
公式推导
当 |r|<1 时，几何级数的每一项 都可以表示为首项 a_1 和公比 r 的函数，然后将这些项相加得到 总和。通过代数运算，我们可以
得到这个求和公式。
应用举例
假设一个几何级数的首项为2， 公比为0.5，我们可以使用这个
公式计算数列的和为10。
感谢您的观看
THANKS
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
- q^2n)
偶数项求和公式
S_even = a_2 + a_4 + ... + a_(2n) = a_1 * q * (1 - q^n) / (1 q^2n)
等比数列的前n项和公式ppt课件
相 减
由③- 4 得
(1 q)Sn a1 1 qn
6
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
通项公式
当 q 1时,
an a1qn1
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时, 即{an}是一个常数列
5
对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
设{an}为等比数列, a1为首项, q为公比,它的前n项和
Sn a1 a1q a1q2
两边同时乘以 q为
a1qn2 a1qn1
③
错 位
qSn a1q a1q2 a1q3
a1qn1 a1qn
4
5 9
,
远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?
10
一个等比数列的首项为
9 4
,末项为
4 9
,
各数项列的是和有为几项2316组1 ,求成数? 列的公比并判断
11
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
等比数列的前n项和(1)ppt课件
1
等比数列的定义:
an1 an
q
(q 0)
等比数列通项公式 : an a1qn1 (a1 0, q 0)
或an am qnm
等比数列的性质 : 若an是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N)
则有am an ap aq
2
国王能否满足发明者的要求？
各个格子里的麦粒数依次 是
8
例题：
例1、求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 16 1
(2) a1 27 , a9 243 , q 0
9
课堂练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应
等比数列 an的前n项和 Sn
( 1 ) a1 3, q 2, n 6
(2)
a1
8,
12
例2.某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总 销售量达到30000台(保留到各位)?
解: 根据题意,每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 ,
所以从第一年起 ,每年的销售量组成一个 等比数列an,
a1 5000 q 110 % 1.1 Sn 30000
提示：设 an
n 2n
n
1 2n
，其中n为等差数列，
1 2n
等比数列的定义:
an1 an
q
(q 0)
等比数列通项公式 : an a1qn1 (a1 0, q 0)
或an am qnm
等比数列的性质 : 若an是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N)
则有am an ap aq
2
国王能否满足发明者的要求？
各个格子里的麦粒数依次 是
8
例题：
例1、求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 16 1
(2) a1 27 , a9 243 , q 0
9
课堂练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应
等比数列 an的前n项和 Sn
( 1 ) a1 3, q 2, n 6
(2)
a1
8,
12
例2.某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总 销售量达到30000台(保留到各位)?
解: 根据题意,每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 ,
所以从第一年起 ,每年的销售量组成一个 等比数列an,
a1 5000 q 110 % 1.1 Sn 30000
提示：设 an
n 2n
n
1 2n
，其中n为等差数列，
1 2n
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Sn-qSn=a1-a1qn
sn
a1 1 qn 1q
证法二：
a2 a3 an q
a1 a2
an1
a2 a3 an q a1 a2 an1
Sn a1 Sn an
q sn
a1 anq 1q
证法三： Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
(1) (2)
(2) (1)得：1 q2n
1 qn
82
1 q2n 821 qn 82 1 qn
qn 81 q 1
a1 0, q 1 {an}是递增数列
an 54
a1q n1
54
a1 q
qn
54
a1
2 3
q由 a1(1 81) 1 q
80得：
a1 2,q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3, S9 , S6成等差数列，
5000(1 1.1n ) 30000. 1 1.1
整理后，得 1.1n=1.6 两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6 用计算器算得
n lg1.6 0.20 （ 5 年） lg1.1 0.041
练习：
某制糖厂第一年制糖5万吨，如果平均 每年的产量比上一年增加10%，那么从第 一年起，约几年内可使总产量达到30万吨 （保留到个位）？
1 q
q3 q6 q9 1 q3 2q6
q q4 2q7
a1(q q4) 2a1q7
a2 a5 2a8
a , a , a 成等差数列。 285
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加
10％，那么从第1年起，约几年内可使
总销售量达到30000台（保留到个位） 分析：销售量与年份之间的关系如下
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公比q 1时，Sn na1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1(q 1)
an a1qn1
Sn
a1 anq 1 q
(q
1) .
na1(q 1)
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
(q
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
求证：a , a , a 成等差数列。 285
证明： S3 , S9 , S6成等差数列
S3 S6 2S9
当q 1时，S3 3a1, S6 6a1, S9 9a1 S3 S6 2S9 q 1
由S3 S6 2S9得
a1(1 q3） a1(1 q6） 2 a1(1 q9）
1 q
1 q
(1)a1=3，q=2，n=6.
(2)a1=8，q
=1
2
，an=
1 2
.
(3)等比数列{ an=3 }
S6=189 S5=31/2 Sn=3n
2.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10
项的和；
S6=1008
例2：求和
（x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )
y
y2
yn
(x 0, x 1, y 1)
错位相销法；比例的性质。
(2)等比数列前n项和公式:
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
(x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )
y
y2
yn
(x
x2
...
xn
)
(1 y
1 y2
...
1 yn
)
x(1 xn ) 1 x
1 y
(1
1 yn
)
1 1
y
x xn1 1x
yn 1 yn1 yn
练习: 求下式的和
（2 35) (4 352 ) (6 353) ... (2n 35n )
y1 5000; y2 5000 500010%
y3 5000(110%) 5000(110%)10% 5000(110%)2
y4 5000(110%)3; ..... yn 5000(110%)n1
解：根据题意，每年销售量比上一年增 加的百分率相同，所以从第1年起，每年 的销售量组成一个等比数列{an}，其中 a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000, 于是得到:
S64=1+2+4+8+…+262+263 ①
2S64=2+4+8+16…+263+264
②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an 公比为：q 1
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 …①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn …②
① - ②得：
1)或Sn
a1 anq 1q
(q
1) .
na1(q 1)
na1(q 1)
例1：求等比数列1 ，1 ，1 ．．．的前8项的和。 248
解：
a1
1 2
,
q
Sn a1(1 qn )
1,n 2
1/
8
2(1
18 2
)
1 q
11/ 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Sn
1
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课堂练习
1.根据下列条件，求等比数列{ an }的Sn
例3：设正项等比数列前n项和为80，其中最大的 一项为54；前2n项的和为6560，若该数列的首项a1 与公比q均为正数，求该数列的首项a1与公比q.
解： Sn 80, S2n 6560 q 1
Sn S2n
a1(1 qn) 1 q
a1(1 q 2n 1 q
80 ) 6560
求lgx+lg2x+lg3x+…+ lg10x. 2. 已知数列{ an }的前n项和为Sn=3n+1-3，
求证{ an }为等比数列.
证明：
an
Sn S1
Sn1
n2 n1
an1 an
2 3n1 2 3n
3
an
2 3n
6
an
2 3n
∴{ an }为等比数列.
课堂小结：
(1)等比数列前n项和的推导方法：