第六章网上课件[1]

, Xn , Xn)
的样本值 , 则称 g( x1 , x 2 ,
实例1 设 X 1 , X 2 , X 3是来自总体 N ( μ ,σ 2 )的一个
样本, 其中 μ 为已知, σ 2 为未知, 判断下列各式哪 些是统计量 , 哪些不是 ? T1 = X 1 ,
T2 = X 1 + X 2e ,
X3
4
4. 简单随机样本
5. 简单随机抽样
对总体 X 在相同的条件下，进行 n 次重复、独立 观察，其结果依次记为 X 1， X 2， ， X n . 这样得到的随机变量 X 1 , X 2 , X n 是来自总体 X
的一个简单随机样本， 与总体随机变量具有相 同的 分布 .
一旦取定一组样本X1，… ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 . 最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点： 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.
1 T3 = ( X 1 + X 2 + X 3 ), 3 T4 = max( X 1 , X 2 , X 3 ),
是
T5 = X 1 + X 2 − 2 μ ,
1 2 2 2 T6 = 2 ( X 1 + X 2 + X 3 ). σ
11
不是
2. 几个常用统计量的定义
设 X1 , X 2 , x1 , x2 , , X n 是来自总体的一个样本 , , xn 是这一样本的观察值 . n 1 n 1 (1)样本均值 X = ∑ X i ; 其观察值 x = ∑ x i . n i =1 n i =1 例6.3.1 2 设总体 X ~ N ( μ , σ ) , X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的
+ X 服从自由度为
2 n
n的 χ 2 分布, 记为 χ 2 ~ χ 2 ( n). 自由度 :
2 指 χ 2 = X 12 + X 2 +
3
2 + X n 中右端包含独立
变量的个数 .
性质6.4.2 设 X ~
χ 2 ( n1 ), Y ~ χ 2 ( n2 ), 并且X , Y相互
1 ⎛ n 2 1 n 2⎞ 2 其观察值 s 2 = ∑ ( x i − x ) = n − 1 ⎜ ∑ x i − nx ⎟ . n − 1 i =1 ⎝ i =1 ⎠
1 n 1 2 2 2 (Xi − 2Xi X + X 2 ) S = ( Xi − X ) = ∑ ∑ n − 1 i =1 n − 1 i =1
x > 0, x ≤ 0.
其中 Γ ( t ) =
2
∫
+∞
0
x t −1e − x dx ( t > 0 )为 Γ 函数 .
χ ( n )分布的概率密度曲线如 图.
2
② 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 N (0, 1) 的样本 ,
则称统计量 χ ＝X + X +
2 2 1 2 2
5
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
总体
例：
某钢铁厂某一天生产1000根，16Mn型 钢筋，按规定强度小于52kg/mm2的算 作次品，怎样求钢筋的次品率？
样本：抽取的n根
如果是有放回的抽取，是这个取样就 是简单随机样本。
6
根据定义得: 若 X 1 , X 2 , , X n 为 F 的一个样本 , 则 X 1 , X 2 , , X n 的联合分布函数为 n F ( x1 , x2 , , xn ) = ∏ F ( xi ).
1
特征 .
一、总体与个体
1. 总体
研究对象的全体称为总体或母体.
2. 个体
总体容量
总体中的每个元素值称为个体.
实例1 在研究2000名学生的 年龄时, 这些学生的年龄的全 体就构成一个总体, 每个学生 的年龄就是个体.
2
3. 有限总体和无限总体
实例2 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的 总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿 命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生 产和今后生产的灯泡寿命. 当有限总体包含的个体的 总数很大时, 可近似地将它看 成是无限总体.
(6)样本最大值和样本最小值
X ( n ) = max( X 1 , X 2 ,
X (1) = min ( X 1 , X 2 ,
, Xn )
, Xn )
, xn )
其观察值
x( n ) = max( x1 , x 2 ,
x(1) = min ( x1 , x 2 ,
17
, xn )
例6.3.5 从总体 X ~ N (12,4)中随机地抽取一容量 为5的样本 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , 求
n
1 ⎡ n 2 2 2⎤ = ⎢ ∑ X i − 2 nX + nX ⎥ n − 1 ⎣ i =1 ⎦
1 ⎛ n 2 2⎞ = ⎜ ∑ X i − nX ⎟ . n − 1 ⎝ i =1 ⎠
14
(3)样本标准差 其观察值
1 n 2 2 S= S = ∑ (Xi − X ) ; n − 1 i =1
又若 X 具有概率密度 f ,
, X n 的联合概率密度为
f ( x1 , x2 ,
7
, xn ) = ∏ f ( xi ).
i =1
n
例6.1.1
设总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布 ( X ~ π ( λ )), 则样本 X 1 , X 2 , , X n的联合概率分布 ?
P { X 1 = x1 , X 2 = x2 , xi = 0,1, 2,
样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
1 n k Bk = ∑ ( X i − X ) n i =1
1
6.4
常用统计量的分布
二、关于查表 三、定理（1-4）
一、常见分布
一、两大常用的统布的概率密度为
n x −1 − ⎧ 1 x2 e 2, ⎪ n ⎪ 2 n ① f ( x) = ⎨ 2 Γ ( ) 2 ⎪ ⎪ 0, ⎩
~ N ( μ ,σ
2
) ⇒∑ X
n
i
~ N ( nμ , nσ
2
)
∑X ⇒
12
i
− nμ
nσ
~ N ( 0,1) ⇒
X −μ
σ
~ N ( 0,1)
习题分析
13
(2)样本方差 1 ⎛ n 2 1 n 2⎞ 2 2 S = ∑ ( X i − X ) = n − 1 ⎜ ∑ X i − nX ⎟ . n − 1 i =1 ⎝ i =1 ⎠
3
二、样本的定义
1. 样本 2. 样本容量 3. 样本观测值（样本值）
总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一 定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息 ，这一抽取过程称为 “抽 样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包 含的个体数目称为样本容量.
注释
; .
B1 = 0
n−1 2 s B2 = n
= X-X =0
2
1 n 1 n 1 1 B1 = ∑ ( X i − X ) = ∑ X i − nX n i =1 n i =1 n
1 n n−1 1 n B2 = ∑ ( X i − X ) 2 = • ∑(Xi − X ) n i =1 n n − 1 i =1 n−1 2 = S 16 n
样本 , 由于 X 1 , X 2 , X1, X 2 ,
⎛ σ2⎞ 1 n X ~ N ⎜ μ, , X n的线性函数 X = ∑ X i 服从正态分布 . ⎟ n ⎠ ⎝ n i =1
2
, X n 相互独立 , X i ~ N ( μ , σ 2 ) , 因此，
X ~ N ( μ ,σ
) ⇒X
i
几个常见统计量 样本平均值 样本方差 样本标准差
1 n X = ∑ Xi n i =1
1 n S2 = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1
1 n 2 S= ∑( Xi − X ) n − 1 i =1
1 n Ak = ∑ X ik n i =1
样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
1 n k Bk = ∑ ( X i − X ) n i =1
第6章 6.1 总体与样本
一、总体与个体 二、随机样本的定义
数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究 怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性的 数据，以便对所考察的问题作出推断和预测. 数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、 分析所获得的有限的资料，对所研究的问题, 尽可 能地作出精确而可靠的结论. 数理统计方法具有“部分推断整体”的
i =1
F ( x1 , x2 ,
, xn ) = P ( X ≤ x1 , X ≤ x2 , P ( X ≤ xn )
n i =1
, X ≤ xn )
= P ( X ≤ x1 ) P ( X ≤ x2 ) = F ( x1 )F ( x2 )
则 X1 , X 2 ,
F ( xn ) = ∏ F ( x i ).
所以 ( X 1 , X 2 , f n ( x1 , x2 , , X n )的概率密度为 n ⎧ − λ ∑ xi n ⎪ n , xn ) = ∏ f ( xi ) = ⎨ λ e i =1 , i =1 ⎪ 0, ⎩
xi > 0, 其他 .
9
第6.3节
一、基本概念