2020版一轮复习文科数学习题：第三篇_三角函数、解三角形第5节_函数y=asin_(ωx、φ)图象及应用含解析

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2020届高三一轮复习文科数学课件：第3章-3.7-解三角形的综合应用

距离为 20 km，现测得∠ABC＝120°，则 A，C 两地间的距离为( D )
A．10 km
B．10 3 km
C．10 5 km
D．10 7 km
解析如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋
400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10 7(km)．
4．如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向，且与它相距 8 2 n mile，则此船的航速是( B )
题型考向层级突破
题型一| 测量距离问题
(课堂共研)
[高考分析] 测量距离问题是解三角形实际应用中的考查内容之一，题
型主要是选择题、填空题，难度适中．
如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得∠CAB＝105°， ∠CBA＝45°，且 AB＝100 m.
解析如图，由已知可得，AB＝80×1650＝20(km)，在△ ABS 中，∠BAS＝30°，AB＝20，∠ASB＝75°－30°＝45°，
由正弦定理可得 BS ＝ AB ， sin 30° sin 45°
∴BS＝AsBinsin453°0°＝20×2 12＝10 2(km)． 2
|题型二| 测量高度问题
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐方向角
角，通常表达为北(南)偏东(西)××度
图形表示
名称
术语意义
坡角坡面与水平面的夹角
坡度坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比
图形表示设坡角为 α，坡度为 i，则 i＝hl ＝tan α

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_7正弦定理和余弦定理课件理新人教A版

4．三角形的面积公式
S△ABC＝12aha＝12bhb＝12chc
＝
1
1
2absin C ＝ 2bcsin
A ＝ 12acsin B
．
[三基自测] 1．(必修 5·习题 1.1B 组改编)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定答案：C
2．余弦定理
b2＋c2－a2
a2＝ b2＋c2－2bccos A ，cos A＝
2bc
；
a2＋c2－b2
b2＝ a2＋c2－2accos B ，cos B＝
2ac
；
a2＋b2－c2
c2＝ a2＋b2－2abcos C ，cos C＝
2ab .
3．勾股定理在△ABC 中，∠C＝90°⇔ a2＋b2＝c2 .
面积为154 3，则 BC 边的长为
．
[解析] 由 S△ABC＝154 3得12×3×ACsin 120°＝154 3，所以 AC＝5，因此 BC2＝AB2
＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得 BC＝7.
[答案] 7
方法 4 已知三边解三角形
【例 4】 (2015·高考北京卷)在△ABC 中，a＝4，b＝5，c＝6，则ssiinn2CA＝
(2)△ABC中，若cos2A2＝b＋ 2cc，∴cos
A2 ＋1＝sin
B＋sin 2sin C
C⇒cos
A＋1＝ssiinn
CB＋1，
∴sin Ccos A＝sin B，∴sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C．

2020版导与练一轮复习文科数学习题：第三篇三角函数、解三角形(4、5)第3节三角恒等

第3节三角恒等变换【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的化简求值2,7,8,12给值求值1,3,5,6,13给值求角4,10综合应用9,11根底稳固(时间:30分钟)1.(2021·贵阳模拟)设tan(α -) =,那么tan(α +)等于( C )(A) -2 (B)2 (C) -4 (D)4解析:因为tan(α -) = =,所以tan α =,故tan(α +) = = -4.应选C.2.的值为( D )(A)1 (B) -1 (C) (D) -解析:原式 = = = = -.应选D.3.(2021·衡水中学模拟)假设 = -,那么cos α +sin α的值为( C )(A) - (B) -(C)(D)解析:因为 == -(sin α +cos α)= -,所以cos α +sin α =.4.(2021·佛山模拟)tan α,tan β是方程x2 +3x +4 =0的两根,假设α,β∈( -,),那么α +β等于( D )(A) (B)或 -π(C) -或π(D) -π解析:由题意得tan α +tan β = -3,tan αtan β =4,所以tan α<0,tan β<0,又α,β∈( -,),故α,β∈( -,0),所以 -π<α +β<0.又tan(α +β) = = =,所以α +β = -.5.(2021·牛栏山中学模拟)cos2α -cos2β =a,那么sin(α +β) sin(α -β)等于( C )(A) - (B) (C) -a (D)a解析:sin(α +β)sin(α -β) =(sin αcos β +cos α·sin β)·(sin αcos β -cos αsin β) =sin2αcos2β -cos2αsin2β=(1 -cos2α)cos2β -cos2α(1 -cos2β) =cos2β -cos2α = -a.应选C.6.(2021·四川遂宁一诊)α满足cos 2α =,那么cos( +α)cos( -α)等于( A )(A) (B) (C) - (D) -解析:原式 =(cos α -sin α)·(cos α +sin α)=(cos2α -sin2α)=cos 2α=.7.(2021·全国Ⅰ卷)角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α =,那么|a -b|等于( B )(A)(B) (C)(D)1解析:由cos 2α =,得cos2α -sin2α =,所以 =,即 =,所以tan α =±,即 =±,所以|a -b| =.应选B.8.化简:tan(18°-x)tan(12°+x) +[tan(18°-x) +tan(12° +x)]= .解析:因为tan[(18° -x) +(12° +x)]==tan 30° =,所以tan(18° -x) +tan(12° +x)=[1 -tan(18° -x)tan(12° +x)],于是原式 =tan(18° -x)tan(12° +x) +×[1 -tan(18°-x)·tan(12° +x)] =1.答案:1能力提升(时间:15分钟)9.(2021·保定一模)2002年国际数学家大会在北京召开,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为根底设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sin(θ +) -cos(θ +)等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:设直角三角形中较小的直角边长为a,那么a2 +(a +2)2 =102,所以a =6,所以sin θ = =,cos θ = =,sin(θ +) -cos(θ +) =cos θ -cos θ +sin θ=cos θ +sin θ =× +× =.应选A.10.在斜三角形ABC中,sin A = -cos Bcos C,且tan B·tan C =1-,那么角A的大小为( A )(A)(B)(C)(D)解析:由题意知,sin A = -cos Bcos C =sin(B +C) =sin Bcos C +cos Bsin C,等式两边同除以cos Bcos C得 - =tan B +tan C.所以tan(B +C) = = = -1.即tan A =1. 所以A =.应选A.11.(2021·湖北武汉模拟)?周髀算经?中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,假设图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,那么cos(α -β)的值为( A )(A)(B)(C)(D)0解析:由题可设大、小正方形边长分别为3,2,可得cos α -sin α =,①sin β -cos β =,②由图可得cos α =sin β,sin α =cos β,①×②可得 =cos αsin β +sin αcos β -cos αcos β-sin αsin β =sin2β +cos2β -cos(α -β) =1 -cos(α-β),解得cos(α -β) =.应选A.12.(2021·兰州模拟)计算的值为( D )(A) -2 (B)2 (C) -1 (D)1解析:==== =1.13.(2021·金华模拟)△ABC的三个内角为A,B,C,假设 = tan( -),那么tan A = .解析:=== -tan(A +) =tan( -A -) =tan( -),所以 -A - = -,所以A =,所以tan A =tan =1.答案:1。

2020年高考文科数学一轮总复习：三角函数、解三角形

2020年高考文科数学一轮总复习：三角函数、解三角形任意了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x ＝tan x.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性.的图象及了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式有向线段MP为正弦线，有向线段为余弦线，有向线段AT为正切线常用知识拓展1．象限角2．轴线角判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边一定不相同．()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．()(5)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞sin α.( ) (6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ 下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：选 C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z )．若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：选A.因为角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝⎛⎭⎫12，－32，所以由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－32，故选A. (教材习题改编)若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在第________象限．解析：由sin θ<0可知θ为第三或第四象限角，同样由cos θ>0可知θ为第一或第四象限角，综上同时满足sin θ<0且cos θ>0的θ为第四象限角．答案：四已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．解析：设此扇形的半径为r ，由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π象限角及终边相同的角(典例迁移)(1)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )(2)若角α是第二象限角，则α2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解析】 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ∈Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.(2)因为α是第二象限角，所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．【答案】 (1)C (2)C[迁移探究] (变问法)在本例(2)的条件下，判断2α为第几象限角？解：因为α是第二象限角，所以90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°(k ∈Z )，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间；③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．[提醒] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ∈Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2和k ＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°2．若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则α是第________象限角．解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案：三扇形的弧长、面积公式(师生共研)已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，0<R <10，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：选A.设扇形的弧长为l ，则12l ·2＝8，即l ＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r32πr ＝518.答案：518三角函数的定义(多维探究) 角度一利用三角函数定义求值已知α是第二象限的角，其终边的一点为P (x，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝( )A ．155 B ．153 C ．－155D ．－153【解析】因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，所以x ＜0，cos α＝x x 2＋5＝24x ，解得x ＝－3，所以tan α＝5－3＝－153.【答案】 D角度二判断三角函数值的符号若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·sin αcos α＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.【答案】 C(1)定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解；②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．[提醒] 若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．1．点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 解析：选A.由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.2．角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则tan 2θ＝( )A ．2B ．－4C ．－34D ．－43解析：选D.设P (a ，2a )是角θ终边上任意一点(a ≠0)，由任意角三角函数定义知tan θ＝y x ＝2a a ＝2，故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43.数形结合思想在三角函数中的应用若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α【解析】如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.【答案】 C(1)数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．(2)本例利用三角函数线比较三角函数值的大小，还可利用三角函数线解不等式．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0，2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B.因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.[基础题组练]1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝12r 2×4，求得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.3．若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( ) A ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°＋3π4，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·π－π4，k ∈Z }解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2n π＋3π4，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝(2n ＋1)π－π4，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝k π－π4，k ∈Z }．4．已知在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A. 3 B ．－ 5 C. 5D.3或 5解析：选C.由题意知|OP |＝3＋y 2，且sin α＝y 3＋y2＝2y4，则y ＝0(舍去)或3＋y 2＝22，得y ＝±5，又α为第二象限角，所以y >0，则y ＝5，故选C.5．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.答案：220° 6．函数y ＝sin x －32的定义域为________．解析：由题意可得sin x －32≥0即sin x ≥32.作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k∈Z }．答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．解：因为角θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x ，又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，所以x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，此时sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，此时sin θ＋cos θ＝－ 2.[综合题组练]1．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B.由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1.2．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解析：选C.设点P 的坐标为(x ，y )，利用三角函数的定义可得yx <x <y ，所以x <0，y >0，所以P 所在的圆弧是EF ︵，故选C.3．已知x ∈R ，则使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4时，sin x >cos x ，所以在(－∞，＋∞)上使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z .答案：⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z4．(综合型)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.答案：1∶2第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．[提醒] 基本关系式的变形sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α，(sin α±cos α)2＝1±2sinαcos α.2．六组诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C ．513D ．213解析：选A.因为α是第二象限角，所以cos α＜0，可排除选项C ，D ，又由sin 2α＋cos 2α＝1，可得cos α＝－1213.若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D ．12解析：选B.tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.(教材习题改编)tan ⎝⎛⎭⎫－23π3的值为________．解析：tan ⎝⎛⎭⎫－23π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－8π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 3化简1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________．解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ同角三角函数的基本关系式(师生共研)(1)(2019·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A ．34B ．－34C ．43D ．－43(2)(一题多解)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________．【解析】 (1)因为cos α＝－35且α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.(2)法一：由已知可得sin α＋3cos α3cos α－sin α＝sin α＋3cos αcos α3cos α－sin αcos α＝tan α＋33－tan α＝5，整理得tan α＝2.从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α－sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.法二：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，即6sin α＝12cos α，也就是sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2，从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α－sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.法三：由法二知sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，从而sin 2α－sin αcos α＝4cos 2α－2cos 2α＝2cos 2α＝25.【答案】 (1)D (2)25同角三角函数关系式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的角限不明确时，要进行分类讨论．(3)分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解．1．已知3sin αsin α＋cos α＝2，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值为________．解析：由3sin αsin α＋cos α＝2得3sin α＝2sin α＋2cos α，即tan α＝2，sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.答案：－162．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．解析：由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，且sin α>0，cos α<0，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 答案：－105利用sin α±cos α与sin αcos α的关系求值(师生共研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.23B ．－23C.13 D ．－13【解析】因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sinθcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23. 【答案】 Bsin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．1解析：选A.法一：因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0，2π)，所以2α＝3π2.所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法二：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，所以cos α＝－22. 又α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.法三：因为sin α－cos α＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.诱导公式的应用(典例迁移)(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34. (2)由题可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32[迁移探究] (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－θ＋sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋θ＝________．解析：由题可知tan θ＝3，原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝⎛⎭⎫6π－π2－θ＋sin ⎝⎛⎭⎫4π＋π2＋θ＝－sin θ－sin θcos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．(2019·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A ．2425B ．1225C ．－1225D ．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．解析：cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝－cos 1 020°sin 1 050°＝cos 60°sin 30°＝14.答案：143．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：0数学运算——三角函数式的化简与求值数学运算能让学生进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．【解】因为sin α＝255＞0，所以α为第一或第二象限角． tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. (1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.(2)当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合(1)(2)知，原式＝52或－52三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算．1．(2019·湖北七市(州)3月联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－513，则sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·tan α＝( )A ．－1213B ．－513C ．1213D ．513解析：选C.因为α∈(0，π)，且cos α＝－513，所以sin α＝1213，由诱导公式及同角三角函数的商数关系知sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213.故选C.2．化简：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝________．解析：sin （π－α）＋sin αcos α⎣⎡⎦⎤1＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan α＝sin α＋sin αcos α（1＋cos α）tan α＝sin αtan α＝cos α.答案：cos α[基础题组练]1．计算：sin11π6＋cos 10π3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D.12－32解析：选A.原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3＝－sinπ6＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－12－cos π3＝－12－12＝－1. 2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的值为( )A ．2 2B ．－2 2 C.24D ．±2 2 解析：选D.因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝13，则cos α＝±223，所以tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2.故选D.3．(2019·湖南衡阳联考)若sin α－cos αsin α＋cos α＝16tan α，则tan α＝( )A.12或13 B ．－12或－13C ．2或3D ．－2或－3解析：选C.因为sin α－cos αsin α＋cos α＝16tan α，所以tan α－1tan α＋1＝16tan α，整理可得tan 2α－5tan α＋6＝0，解得tan α＝2或tan α＝3.故选C.4．已知m 为实数，且sin α，cos α是关于x 的方程3x 2－mx ＋1＝0的两个根，则sin 4α＋cos 4α的值为( )A.29B.13C.79D ．1 解析：选C.由一元二次方程根与系数的关系，得sin αcos α＝13，因此sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.故选C.5．设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝________．解析：因为α为第三象限角，tan α＝512，所以cos α＝－1213，所以cos(π－α)＝－cos α＝1213.答案：12136．化简：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝________．解析：cos （α－π）sin （π－α）·sin(α－π2)·cos(3π2－α)＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α.答案：－cos 2α 7．sin4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎫－sinπ3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3348．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）·sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.[综合题组练]1．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝( )A ．－25B.25 C.25或－25D ．－15解析：选A.因为sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2（－2）2＋1＝－25.故选A. 2．(2019·辽宁沈阳模拟)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( )A ．－3B ．3C ．－95 D.95解析：选C.因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1，5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，所以cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.3．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________．解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1. 答案：14．(综合型)若f (α)＝sin[（k ＋1）π＋α]·cos[（k ＋1）π－α]sin （k π－α）·cos （k π＋α）(k ∈Z )，则f (2 018)＝________．解析：①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，原式＝sin （2n π＋π＋α）·cos （2n π＋π－α）sin （－α）·cos α＝sin （π＋α）·cos （π－α）－sin α·cos α＝－1；②当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，原式＝sin[（2n ＋2）π＋α]·cos[（2n ＋2）π－α]sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin α·cos （－α）sin （π－α）·cos （π＋α）＝－1.综上所述，当k ∈Z 时，f (α)＝－1，故f (2 018)＝－1. 答案：－1第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β； cos(α∓β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos____α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan α⎝⎛⎭⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . 3．三角函数公式的关系常用知识拓展三角函数公式的变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( ) (2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝12.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为( ) A ．32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B.法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89解析：选B.cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.故选B. (教材习题改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)的值为________．解析：因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－（－35）2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×(－35)－22×(－45)＝210.答案：210sin 15°＋sin 75°的值是________．解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 答案：62三角函数公式的直接应用(师生共研)(1)(2019·成都市第一次诊断性检测)已知sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6的值为( )A.43－310B.43＋310C.4－3310D.33－410(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tan α＝________．【解析】 (1)因为sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝31010，sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫10102＝1－15＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310. (2)法一：因为tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 法二：因为tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，所以tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－5π4＋5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＋tan 5π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4tan 5π4＝15＋11－15×1＝32. 【答案】 (1)A (2)32利用三角函数公式时应注意的问题(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1解析：选A.因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以tan α＝sin αcos α＝－1，故选A.2．(一题多解)(2019·南宁联考)若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α＝( ) A ．－43B ．34C ．－34D ．43解析：选D.法一：由题意知，tan α＝－2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43，故选D. 法二：由题意知，sin α＝－2cos α，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝43，故选D.三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)(1)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B ．22C ．12D ．－12(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．【解析】 (1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1 ①， cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0 ②，①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.【答案】 (1)B (2)－12(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．1．(1－tan 215°)cos 215°的值等于( )A ．1－32B ．1C ．32D ．12解析：选C.(1－tan 215°)cos 215°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. 2．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.23解析：选D.cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B ．235C ．45D ．－45解析：选D.由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究) 角度一三角函数公式中变“角”(2019·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．【解析】由题意知，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，sin(α＋β)＝－35<0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－725，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－45. 【答案】－45角度二三角函数公式中变“名”(1)化简：（1＋sin θ＋cos θ）⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°. 【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2 ＝2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ，故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.三角函数公式应用的解题思路(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[提醒] 转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3 的值为( ) A.23 B.12 C.34D.45解析：选B.tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan （α＋β）tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C.由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，所以sin θcos θ＝14，所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.故选C.[基础题组练]1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22D.32解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.2．(2019·益阳、湘潭调研试卷)已知sin α＝25，则cos(π＋2α)＝( )A.725 B ．－725C.1725D ．－1725解析：选D.法一：因为sin α＝25，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－825＝1725，所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－1725，故选D.法二：因为sin α＝25，所以cos 2α＝1－sin 2α＝2125，所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝－1725，故选D.3．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2＝log 552＝4.故选C.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为( )A.13 B ．－13C.23D ．－23解析：选B.sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫332－1＝－13. 5．(2019·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝52，则cos 4α＝________．解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝54，所以sin 2α＝14，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78.答案：786．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝________．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，所以sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45，所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210.答案：72107．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝ 2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 8．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2.又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310.[综合题组练]1．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( ) A.22B.210 C.22或－210D.22或210解析：选A.因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，所以sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22，故选A.2．(2019·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6等于( )A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C.tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2，因为α为第二象限角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝255，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π4－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π4＝－31010.3．计算sin 250°1＋sin 10°＝________．。

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_3三角函数的图象与性质课件理新人教A版

[2kπ，2kπ＋π]为减； [2kπ－π，2kπ]为增
kπ－π2， kπ＋π2为增
＋32π为减
对称中心
(kπ，0)
对称轴 x＝kπ＋π2
kπ＋π2，0 x＝kπ
k2π，0
3.周期函数 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫作周期函数，非零常数T 叫作Biblioteka ＋sin θcos θ＝( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
[解析] (1)由 y＝sinx＋3 φ是偶函数知φ3＝π2＋kπ，k∈Z，即 φ＝32π＋3kπ，k∈Z，又 ∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π. (2)f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x＝2sin2x＋π3，令 2x＋π3＝π2＋kπ，解得 x＝1π2＋k2π，k∈Z.
上的性质(如单调性、最大值和最小查三角函数性质时，常与三角恒等变换
值，图象与x轴的交点等)，理解正切函结合，加强数形结合思想、函数与方程
数在区间－π2，π2内的单调性.
思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
[基础梳理] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)， ___3_2π_，__－__1___，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0， (π，－1) ，32π，0，(2π，1)．
[三基自测] 1．(必修 4·1.4 练习改编)函数 y＝12sin x，x∈[－π，π]的单调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上都是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数答案：B

2020届高中数学一轮总复习《解三角形》试题

2020届高中毕业生升学考试试题内容：《解三角形》姓名：考试时间：120分钟班级：得分：试卷满分：150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一）项是符合题目要求的.1．△在△ABC中，a=2，b=3，B=3，则A等于（）A．ππ3ππ3πB．C．D．或644442 △．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°，则a等于（）A．6B．2C．3D．22．△在△ABC中，已知a b c bc，则角A为（）A．3B．6C．23D．2334．已△知△ABC的面积为A．30°32，且b 2,c 3，则∠A等于（）B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．△在△ABC中，若A 60，a 3，则1A．2B．2a b csin A sin B sin CC．3等于（）D．326．△在△ABC中，BC=2，B=33，若△ABC的面积为，则tan C为（）A．3B．1C．33D．32222或27．在 ABC 中，已知 2sin A cos B sin C ，那么 ABC 一定是（）A ．直角三角形C ．等腰直角三角形B ．等腰三角形D ．等边三角形8．ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 a 、b 、c 成等比数列，且 c 2a （），则 cos BA ．1 344C ．24D ．2 39． △在△ ABC 中，如果 a +c =2b ，B =30°，△ ABC 的面积为32，那么 b 等于（）A ．1 31B ． 1+ 3C ．2 32D ． 2 310 △．△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ．已知 sin B sin A (sin C cos C ) 0，a =2，c 2，则 C =（）A ．12B ．6C ．4D ．31 11． △在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 a sin Bcos C ＋c sin B cos A = b ，且 a ＞b ，则∠B =（）πA ．6π B ．32π C ．35π D ．612．中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，已知 b c , a 22b 2(1 sin A )，则 A =A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 20 分.）13． △在△ ABC 中，若 a 2b 2bc c 2, 则A _________．B ． 214．△在△ABC中a=2，b=2，sinB+cosB=2，则A=．15．△在△ABC中，如果sin A:sin B:sin C 2:3:4，求cos C的值是．16△．△A BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b s in C c sin B 4a sin B sin C，b2c2a28，则△ABC的面积为．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分）ABC中，内角A、B、C的对边为a,b,c，已知2b cos C=a cos C+c cos A．（1）求角C的大小；（2）若b 2,c 7，求a及ABC的面积．18．（本题满分12分）△在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A=3acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sin C=2sin A，分别求a和c的值．19．（本题满分 12 分）在 ABC 中，角 A, B , C 的对边分别是 a , b , c的大小；（1）求角 C．（2）若 c 2 3 ， sin A 2sin B ，求 a, b ，cos(C ) cos(C ) 4 42． 20．（本题满分 12 分）在 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c，且 2( a b c ) 3ab ．（1）求 sin 2A B2；（2）若 c 2 ，求 ABC 面积的最大值．22 2 2，21．（本题满分12分）ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，tan C sin A sin Bcos A cos B sin(B A)cos C．（1）求A,C；（2）若ABC的面积S33，求a,c．ABC高中数学>>专题复习>>解三角形22．（本题满分12分）已知向量m (2cos,2cos)，n (2cos,3sin)4444，设f(x)mn．（1）若f ()2，求cos()3的值；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a b)cos C c cos B，求f(A)的取值范围．x x x x。

2020版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业24课件文新人教A版

(2)由余弦定理可得(2 3)2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4，又 a>0，所以解得 a＝2，所以 S△ABC＝12absinC＝ 3，所以△ABC 的面积为 3。
能力提升组
13．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 S△
ABC＝2 3，a＋b＝6，acosB＋c bcosA＝2cosC，则 c 等于(
12．(2019·惠州市调研考试)已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0。
(1)求角 C 的大小； (2)若 b＝2，c＝2 3，求△ABC 的面积。
解 (1)因为 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0，所以由正弦定理可得 2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0，所以 2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即 2cosCsinB＋sinB＝0，又 0°<B<180°，所以 sinB≠0，所以 cosC＝－12，又 0°<C<180°，所以 C＝120°。
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析由已知11＋＋ccooss22CB＝22ccooss22CB＝ccooss22BC＝bcccoossCB，所以ccoossCB＝bc或ccoossCB ＝0，即 C＝90°或ccoossCB＝bc。当 C＝90°时，△ABC 为直角三角形。当ccoossCB＝ bc时，由正弦定理，得bc＝ssiinnBC，所以ccoossCB＝ssiinnBC，即 sinCcosC＝sinBcosB，即 sin2C＝sin2B。因为 B，C 均为△ABC 的内角，所以 2C＝2B 或 2C＋2B ＝180°，所以 B＝C 或 B＋C＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形。故选 D。

2020年高考数学一轮复习《解三角形》

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7
AB 2BC 2sin C 4sin(120 C ) 2(sin C 3 cosC sin C )
2(2 sin C 3 cosC ) 2 7 sin(C ),其中 tan
所以
C
(0 ，120 )，因此 AB
2BC的最大值为 2 7.
3 ,
是第一象限角
2
变式 3 已知 a,b,c, 分别为 ABC 三个内角 A, B, C 的对边，
3
2
b
a 评注在 ABC 中，利用正弦定理
b
c 2R ，进行边与角的转化，
s i nA s i Bn sCi n
在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公
式来求解 .
2020 年高考数学一轮复习《解三角形》
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6
变式 1 （1）若在锐角 ABC 中，若 A=2B，则 a 的取值范围为
B.{ k 3 k 6}
C.{ k k 6} D .{ k k 6 或 k 3}
分析三角形问题首先根据题意画出三角形，ＡＣ的最小值为ＢＣ边的垂线段，再根据零点的意义及函数求解 .
解析由 g (a) f (a) k 0, 且 b f (a). ，得 k f (a) b, 如图 4－ 34 所示，由
a ,得c
sin A
a sin C sin A
1 65
12
21 .
20
13
评注本题已知两角及一边，用正弦定理：在 ABC 中，
A B a b sin A sin B.
0, 据正弦定理得
变式 1 在 ABC 中，角 A, B,C 所对边依次为 a,b, c, a 2, b 2,

第2020年高考数学(文科)复习三单元三角函数、解三角形作业答案

6.B[解析]sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1=- .
7.A[解析]∵3sinα+cosα=0,∴tanα=- ,又∵sin2α+cos2α=1,∴ = = = .
8.C[解析]∵f(2018)=asin(2018π+α)+bcos(2018π+β)=asinα+bcosβ=-1,∴f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)=-(asinα+bcosβ)=1.
13.20°,140°,260°[解析]∵β=k·360°+60°,k∈Z,∴ =k·120°+20°,k∈Z.又 ∈[0°,360°),∴0°≤k·120°+20°<360°,k∈Z,∴- ≤k< ,k∈Z,∴k=0,1,2.此时分别为20°,140°,260°.故在[0°,360°)内,与角的终边相同的角为20°,140°,260°.
16.B[解析]由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z得kπ- ≤x≤kπ+ ,则f(x)在 - , , , 上单调递增,因此解得 ≤x0≤ ,故选B.
课时作业(十九)
1.D[解析]由函数图像的平移性质可知,函数g(x)=f x- =sinπ x- =sin πx- =-cosπx.
2.B[解析]由题图可知f =2sin ω- =2,即sin ω- =1,则 ω- = +2kπ,k∈Z,得ω=2+6k,k∈Z,又ω>0,故ω的值可以为2.
3.C[解析]因为 = ,所以应将y=sin 2x- 的图像向左平移个单位长度,故选C.
4.2+ [解析]由图知A=2, =6-2=4,∴T=8,则ω= = .∵2sin ×2+φ =2,∴ +φ= +2kπ(k∈Z),则φ=2kπ(k∈Z),∴f(x)=2sin x,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(18)=2f(1)+2f(2)+…+2f(8)+f(17)+f(18)=f(17)+f(18)=f(1)+f(2)=2+ .

2020版导与练一轮复习文科数学习题：第三篇三角函数、解三角形第4节三角函数的图象与性质

第4节　三角函数的图象与性质【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的定义域、值域与最值1,7三角函数的单调性、单调区间3,9,13三角函数的奇偶性、周期性与对称性2,5,6,8,10综合应用4,11,12,14基础巩固(时间:30分钟)1.函数y=的定义域为(　C　)(A)[-,](B)[kπ-,kπ+](k∈Z)(C)[2kπ-,2kπ+](k∈Z)(D)R解析:因为cos x-≥0,得cos x≥,所以2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.2.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为(　C　)(A)(B)(C)π(D)2π解析:由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.3.函数y=2sin(-2x)(x∈[0,π])的一个递增区间是(　A　)(A)[,](B)[,π](C)[,](D)[-,]解析:首先将函数化为y=-2sin(2x-)(x∈[0,π]),令t=2x-,x增大,t增大,所以为求函数的增区间,需研究y=2sin t的减区间.由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以k=0时得[,],故选A.4.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(　B　)(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.5.将函数y=2sin(x+)cos(x+)的图象向左平移(>0)个单位长度,ϕϕ所得图象对应的函数恰为奇函数,则的最小值为(　B　)ϕ(A)(B)(C)(D)解析:根据题意可得y=sin(2x+),将其图象向左平移(>0)个单位ϕϕ长度,可得y=sin(2x++2)的图象.ϕ因为该图象所对应的函数恰为奇函数,所以+2=kπ(k∈Z),=-(k∈Z),ϕϕ又>0,所以当k=1时,取得最小值,且min=,ϕϕϕ故选B.6.已知函数f(x)=2sin(x+),若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值是(　A　)(A)2(B)4(C)π(D)2π解析:由题意可得|x1-x2|的最小值为半个周期,即==2.故选A.7.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .解析:f(x)=2cos x+sin x=(cos x+sin x)=sin (x+θ),其中tan θ=2,所以f(x)的最大值为.答案:8.已知点P(4,-3)在角的终边上,函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象ϕϕ上与y轴最近的两个对称中心间的距离为,则f()的值为 . 解析:由题意=,则T=π,即ω==2,则f(x)=sin(2x+);ϕ又由三角函数的定义可得sin =-,cos =,ϕϕ则f()=sin cos +cos sin =.ϕϕ答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·大连二十四中模拟)已知f(x)是偶函数,当x∈[0,]时,f(x) =xsin x.若a=f(cos 1),b=f(cos 2),c=f(cos 3),则a,b,c的大小关系为(　B　)(A)a<b<c(B)b<a<c(C)c<b<a(D)b<c<a解析:由于函数f(x)为偶函数,故b=f(cos 2)=f(-cos 2),c=f(cos 3)=f(-cos 3).由于x∈[0,],f′(x)=sin x+xcos x≥0,所以函数在区间[0,]上为增函数.因为0<-cos 2<cos 1<-cos 3<,根据函数单调性可得f(-cos 2)<f(cos 1)<f(-cos 3),故b<a<c.10.(2018·绵阳一诊)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是,若将y=f(x)的图象向右平移个单位得到y=g(x)的图象,则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是(　B　) (A)x=(B)x=(C)x=(D)x=0解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+),ω>0.设函数f(x)的周期为T.则由题意得()2+[2-(-2)]2=()2,得T=2.所以=2,所以ω=π.则f(x)=2sin(πx+).y=g(x)=2sin[π(x-)+]=2sin(πx+).令πx+=+kπ,k∈Z得x=k+,k∈Z.当k=0时,函数y=g(x)图象的一条对称轴方程为x=.故选B.11.(2018·重庆巴蜀中学模拟)已知函数f(x)=2cos x·sin x+2sin2x(x∈R),给出下列五个命题:①(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心;②f(x)的最小正周期是2π;③f(x)在区间[-,]上是增函数;④f(x)的图象关于直线x=对称;⑤x∈[-,]时,f(x)的值域为[1-,3].其中正确的命题为(　D　)(A)①②④(B)③④⑤(C)②③(D)③④解析:将原函数化简得,f(x)=sin 2x-cos 2x+1=2sin(2x-)+1(x∈R),其对称中心为(+,1)(k∈Z),故①错;最小正周期T==π,故②错; f(x)在-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z上单调递增,所以当k=0时,f(x)在[-,]上是增函数,故③正确;令2x-=+kπ,k∈Z,则对称轴为x=+,k∈Z,所以当k=0时,x=是其对称轴,故④正确;因为函数在[-,-]上单调递减,在[-,]上单调递增,故其最小值为f(-)=-1,最大值为f()=3,故当x∈[-,]时,f(x)的值域为[-1,3],故⑤错.12.(2018·山西运城康杰中学一模)已知x1,x2是函数f(x)=2sin 2x+cos 2x-m在[0,]内的两个零点,则sin(x1+x2)= .解析:f(x)=2sin 2x+cos 2x-m=sin(2x+)-m,其中 (cos =,ϕϕsin =),由函数f(x)在[0,]内的两个零点,知方程sin(2x+)-ϕϕm=0在[0,]内有两个根,即函数y=m与y=sin(2x+)的图象在[0,]ϕ内有两个交点,且x1,x2关于直线x=-对称,所以x1+x2=-,ϕ所以sin(x1+x2)=sin(-)=cos =.ϕϕ答案:13.已知函数f(x)=-2sin(2x+)(||<π),若(,)是f(x)的一个单ϕϕ调递增区间,则的值为 .ϕ解析:令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,ϕ有-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,此时函数单调递增,若(,)是f(x)的一个单调递增区间,则必有解得故=+2kπ,k∈Z,ϕ又||<π,所以=.ϕϕ答案:14.(2018·长沙一中模拟)设函数f(x)=Asin (ωx+)(A,ω,是常数,ϕϕA>0,ω>0).若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=-f(),则f(x)的最小正周期为 .解析:因为f(x)在[,]上具有单调性,且f()=f()=-f(),则×≥-,且函数的图象关于直线x==对称,且一个对称点为(,0),可得0<ω≤3.且-=×,得ω=2.所以f(x)的最小正周期T==π.答案:π。

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_8正弦定理和余弦定理的应用课件文新人教A版

第八节正弦定理和余弦定理的应用
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1.本节复习时，应联系生活实例，体 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解
会建模，掌握运用正弦定理、余弦定决一些简单的三角形度量问题．
理解决实际问题的基本方法． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等
2．加强解三角形及解三角形的实际知识和方法解决一些与测量和几何计
△ABC 的面积公式可表示为( )
A．S＝12absin A
B.S＝12bccos A
C．S＝12a2sinsAinsiBn C
D.S＝12a2sinsBinsiAn C
答案：D
2．(必修 5·习题 1.2A 组改编)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°，60°，如图所示，则塔高 CB 为( )
向角、方位角)与三角形内角的关系．
跟踪训练如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ 的值为________．
解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
A.4030 m 200
C. 3 3 m
B.4030 3 m 200
D. 3 m
答案：A
3．(必修 5·习题 1.2A 组改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝ 105°后，就可以计算出 A，B 两点的距离为________m.
∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，

2020版高三文科数学第一轮复习_人教版 _第三篇三角函数_解三角形第三篇第4节

y ＝ 2sin 2x－π3 －π6 ＝
2sin2x－5π 6 ，由 2x－5π 6 ＝π2 ＋kπ(k∈Z)，得对称轴为 x＝2π 3 ＋kπ2
(k∈Z)，当 k＝－1 时，对称轴为 x＝2π 3 －π2 ＝π6 .故选 A.
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第4节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
m，即由 y＝Asin ωx 向左平移 m 个单位得 y＝Asin [ω(x＋m)]，由 y ＝Asin ωx 向右平移 m 个单位得 y＝Asin [ω(x－m)]．
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第4节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
研析经典透析真题
课时作业
3．利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移长度一致吗？
振幅周期
φ)(A>0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一 A 个振动量时
T＝2ωπ
频率 f＝T1 ＝2ωπ
相位 ωx＋φ
初相 φ
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第4节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
研析经典透析真题
课时作业
2.用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
研析经典透析真题
课时作业
2．如果将函数 y＝Asin ω x 的图象向左平移 m 个单位或向右平移 m(m＞0)个单位，得函数 y＝Asin(ωx＋m)或 y＝Asin(ωx－m)的图象吗？
提示：不是，常说的“左加右减”指的是向左平移 m 个单位时， x 加上 m，向右平移 m 个单位时，x 减去 m，而不是 ωx 加上或减去

2020版高三文科数学第一轮复习_人教版 _第三篇三角函数_解三角形第三篇第3节

致误辨析纠正易错
课时作业
【重要结论】对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
返回导航
第3节三角函数的图象与性质
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
致误辨析纠正易错
课时作业
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
返回导航
第3节三角函数的图象与性质
定义域
值域
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
致误辨析纠正易错
课时作业
R
R
xx≠π2＋kπ，k∈Z
[－1,1]
[－1,1]
R
在2kπ－π2，2kπ＋π2 单调 (k∈Z)上单调递增；
致误辨析纠正易错
课时作业
对称中心(kπ，0)(k 对称中心
∈Z) 对称性
kπ＋π2，0(k∈Z)
对称轴 l：x＝kπ 对称轴 l：x＝kπ(k
＋π2(k∈Z)
∈Z)
对称中心k2π，0 (k∈Z)
周期
2π
2π
π
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第3节三角函数的图象与性质
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
第三篇三角函数、解三角形 (必修4、必修5)
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
致误辨析纠正易错
课时作业
第 3 节三角函数的图象与性质
最新考纲 1．能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在 (－π2 ，π2 )内的单调性.

2020高考文科数学三角函数基础篇(三)

三角函数与解三角形（五）高考真题一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2019·全国卷I 11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．32.（2018·全国卷I 8）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 3.（2019·全国卷II 11）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15BCD4.（2018·全国卷II 7）在中，，，则 A ．BCD ．5.（2018·全国卷II 10）若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．6.（2018·全国卷III 6）函数的最小正周期为 A ．B ．C ．D ．7.（2018·全国卷III 11）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则A ．B ．C ．D ．8.（2017·全国卷I 11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

已知sin sin (sin cos )B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3ABC △cos 2C=1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π4π2tan ()1tan xf x x=+4π2ππ2πABC △A B C a b c ABC△2224a b c +-C =2π3π4π6π9.（2017·全国卷II 3）函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为 A ．4πB ．2πC ．πD ．π210.（2017·全国卷III 4）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ． 29D ．79二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共20分. 11.（2019·全国卷I 15）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 12.（2019·全国卷II 15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.13.（2018·全国卷I 16）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知s i n s i n 4s i n s i n b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．14.（2018·全国卷II 15）已知，则__________． 15.（2017·全国卷I 15）已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。