2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(课标全国卷)

课标全国(理)1.(2012课标全国,理1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x-y ∈A },则B 中所含元素的个数为( ).A.3B.6C.8D.10D 由x ∈A ,y ∈A 得x-y ∈A ,得(x ,y )可取如下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合B 中所含元素的个数为10.2.(2012课标全国,理2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ). A.12种 B.10种 C.9种D.8种A 将4名学生均分为2个小组共有224222C C A =3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有22A =2种分法, 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有22A =2种分法, 故不同的安排方案共有3×2×2=12种. 3.(2012课标全国,理3)下面是关于复数z=21i-+的四个命题: p 1:|z|=2, p 2:z 2=2i,p 3:z 的共轭复数为1+i, p 4:z 的虚部为-1,其中的真命题为( ). A.p 2,p 3 B.p 1,p 2C.p 2,p 4D.p 3,p 4 C z=2(-1i)(-1i)(-1i)-+-=-1-i,故p 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3错误;p 4正确.4.(2012课标全国,理4)设F 1,F 2是椭圆E :22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线x=32a 上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ).A.12B.23C.34D.45C 设直线x=32a 与x 轴交于点M ,则∠PF 2M=60°,在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c ,F 2M=32a -c ,故cos 60°=22M F PF =3a c 22c -=12,解得c a =34,故离心率e=34.5.(2012课标全国,理5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ). A.7 B.5 C.-5 D.-7 D ∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8,联立47472,8a a a a +=⎧⎨=-⎩可解得474,2a a =⎧⎨=-⎩或472,4,a a =-⎧⎨=⎩ 当474,2a a =⎧⎨=-⎩时,q 3=-12,故a 1+a 10=43a q +a 7q 3=-7;当472,4a a =-⎧⎨=⎩时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7. 6.(2012课标全国,理6)如果执行下边的程序框图,输入正整数N (N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ,输出A ,B ,则( ).A.A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和B.2A B +为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数C.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数D.A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数C 随着k 的取值不同,x 可以取遍实数a 1,a 2,…,a N ,依次与A ,B 比较,A 始终取较大的那个数,B 始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的A ,B 分别是这N 个数中的最大数与最小数.7.(2012课标全国,理7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ).A.6B.9C.12D.18B 由三视图可推知,几何体的直观图如下图所示,可知AB=6,CD=3,PC=3,CD 垂直平分AB ,且PC ⊥平面ACB ,故所求几何体的体积为13×1632⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×3=9.8.(2012课标全国,理8)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB|=则C 的实轴长为( ).C.4D.8 C 设双曲线的方程为22x a -22y a =1,抛物线的准线为x=-4,且|AB|=故可得A (-B (-4,-将点A 坐标代入双曲线方程得a 2=4,故a=2,故实轴长为4.9.(2012课标全国,理9)已知ω>0,函数f (x )=sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,则ω的取值范围是( ).A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(0,2]A 结合y=sin ωx 的图像可知y=sin ωx 在π3π,22ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,而y=sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin π4x ωω⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,可知y=sinωx 的图像向左平移π4ω个单位之后可得y=sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像,故y=sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π5π,44ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,故应有π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆π5π,44ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦,解得12≤ω≤54. 10.(2012课标全国,理10)已知函数f (x )=1ln(1)-x x+,则y=f (x )的图像大致为( ).B 当x=1时,y=1ln21-<0,排除A;当x=0时,y 不存在,排除D;f'(x )=1ln(1)-x x ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦'=21[ln(1)-]xx x x ++,因定义中要求x>-1,故-1<x<0时,f'(x )<0,故y=f (x )在(-1,0)上单调递减,故选B .11.(2012课标全国,理11)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( ).A ∵SC 是球O 的直径,∴∠CAS=∠CBS=90°.∵BA=BC=AC=1,SC=2,∴取AB 的中点D ,显然AB ⊥CD ,AB ⊥SD , ∴AB ⊥平面SCD.在△CDS 中,,SC=2,利用余弦定理可得cos ∠CDS=222S S 2 CD D C CD SD +-故sin ∠∴S △CDS =12∴V=V B-CDS +V A-CDS =13×S △CDS ×BD+13S △CDS ×AD=13S △CDS ×BA=13×112.(2012课标全国,理12)设点P 在曲线y=12e x 上,点Q 在曲线y=ln(2x )上,则|PQ|的最小值为( ).A.1-ln 2-ln 2) C.1+ln 2+ln 2)B由题意知函数y=12e x与y=ln(2x)互为反函数,其图像关于直线y=x对称,两曲线上点之间的最小距离就是y=x与y=12e x最小距离的2倍,设y=12e x上点(x0,y0)处的切线与y=x平行,有01e2x=1,x0=ln2,y0=1,∴y=x与y=12e x-ln2),∴|PQ|-ln2)×2-ln2).13.(2012课标全国,理13)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2则|b|=.∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a|×|b|cos45°|b|,|2a-b|2=4-4|b|+|b|2=10,∴|b|=14.(2012课标全国,理14)设x,y满足约束条件1,3,0,0,x yx yxy-≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z=x-2y的取值范围为.[-3,3]作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线l0:x-2y=0,在可行域内平移知过点A时,z=x-2y取得最大值,过点B时,z=x-2y取最小值.由10,30,x yx y-+=⎧⎨+-=⎩得B点坐标为(1,2),由0,30,yx y=⎧⎨+-=⎩得A点坐标为(3,0).∴z max=3-2×0=3,z min=1-2×2=-3.∴z∈[-3,3].15.(2012课标全国,理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.38设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=12, ∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A B+A B+AB)C.∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P=12⎛⎝×12+12×12+12×12⎫⎪⎭×12=38.16.(2012课标全国,理16)数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为.1830∵a n+1+(-1)n a n=2n-1,∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234=15(10234)2⨯+=1 830.17.(2012课标全国,理17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cos sin C-b-c=0. (1)求A ;(2)若a=2,△ABC 求b ,c.解:(1)由a cos sin C-b-c=0及正弦定理得sin A cos A sin C-sin B-sin C=0. 因为B=π-A-C ,A sin C-cos A sin C-sin C=0. 由于sin C ≠0,所以sin π6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭=12.又0<A<π,故A=π3.(2)△ABC 的面积S=12bc sin 故bc=4.而a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故b 2+c 2=8. 解得b=c=2.18.(2012课标全国,理18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N)的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 解:(1)当日需求量n ≥16时,利润y=80.当日需求量n<16时,利润y=10n-80. 所以y 关于n 的函数解析式为y=1080,16,80,16n n n -<⎧⎨≥⎩(n ∈N). (2)①X 可能的取值为60,70,80,并且P (X=60)=0.1,P (X=70)=0.2,P (X=80)=0.7. X 的分布列为X 的数学期望为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X 的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,YY 的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y 的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX<DY ,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然EX<EY ,但两者相差不大. 故花店一天应购进16枝玫瑰花. 答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,YY 的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX<EY ,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.19.(2012课标全国,理19)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC=BC=12AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD.(1)证明:DC 1⊥BC ;(2)求二面角A 1-BD-C 1的大小.解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D 为AA 1的中点,故DC=DC 1. 又AC=12AA 1,可得D 21C +DC 2=C 21C ,所以DC 1⊥DC.而DC 1⊥BD ,DC ∩BD=D ,所以DC 1⊥平面BCD. BC ⊂平面BCD ,故DC 1⊥BC. (2)由(1)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1, 则BC ⊥平面ACC 1,所以CA ,CB ,CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点,CA 的方向为x 轴的正方向,|CA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A 1(1,0,2),B (0,1,0),D (1,0,1),C 1(0,0,2).则1D A =(0,0,-1),BD =(1,-1,1),1DC=(-1,0,1). 设n=(x ,y ,z )是平面A 1B 1BD 的法向量,则1·BD 0,·A D 0,n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即0,0.x y z z -+=⎧⎨=⎩ 可取n=(1,1,0).同理,设m 是平面C 1BD 的法向量,则1·BD 0,·DC 0.m m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 可取m=(1,2,1). 从而cos <n ,m>=·||||n m n m故二面角A 1-BD-C 1的大小为30°.20.(2012课标全国,理20)设抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为求p 的值及圆F 的方程;(2)若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值. 解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p ,圆F 的半径由抛物线定义可知A 到l 的距离因为△ABD 的面积为所以12|BD|·d=即12·2p解得p=-2(舍去),p=2.所以F (0,1),圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8. (2)因为A ,B ,F 三点在同一直线m 上, 所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°. 由抛物线定义知|AD|=|FA|=1|AB|,所以∠ABD=30°,m或当m,由已知可设n :,代入x 2=2py 得x 22pb=0.由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0.解得b=-6p .因为m 的截距b 1=2p ,1||||b b =3,所以坐标原点到m ,n 距离的比值为3.当m 的斜率为时,由图形对称性可知,坐标原点到m ,n 距离的比值为3.21.(2012课标全国,理21)已知函数f (x )满足f (x )=f'(1)e x-1-f (0)x+12x 2.(1)求f (x )的解析式及单调区间;(2)若f (x )≥12x 2+ax+b ,求(a+1)b 的最大值.解:(1)由已知得f'(x )=f'(1)e x-1-f (0)+x.所以f'(1)=f'(1)-f (0)+1,即f (0)=1. 又f (0)=f'(1)e -1,所以f'(1)=e . 从而f (x )=e x -x+12x 2.由于f'(x )=e x -1+x ,故当x ∈(-∞,0)时,f'(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0.从而,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)由已知条件得e x -(a+1)x ≥b.①(ⅰ)若a+1<0,则对任意常数b ,当x<0,且x<11b a -+时,可得e x -(a+1)x<b ,因此①式不成立.(ⅱ)若a+1=0,则(a+1)b=0.(ⅲ)若a+1>0,设g (x )=e x -(a+1)x , 则g'(x )=e x -(a+1).当x ∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x )<0;当x ∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x )>0.从而g (x )在(-∞,ln(a+1))单调递减,在(ln(a+1),+∞)单调递增. 故g (x )有最小值g (ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1). 所以f (x )≥12x 2+ax+b 等价于b ≤a+1-(a+1)ln(a+1).②因此(a+1)b ≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1). 设h (a )=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1), 则h'(a )=(a+1)(1-2ln(a+1)). 所以h (a )在(-1,12e -1)单调递增, 在(12e -1,+∞)单调递减,故h (a )在a=12e -1处取得最大值. 从而h (a )≤e 2,即(a+1)b ≤e 2.当a=12e -1,b=12e 2时,②式成立,故f (x )≥12x 2+ax+b.综合得,(a+1)b 的最大值为e 2.22.(2012课标全国,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,D ,E 分别为△ABC 边AB ,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F ,G 两点.若CF ∥AB ,证明:(1)CD=BC ;(2)△BCD ∽△GBD.证明:(1)因为D ,E 分别为AB ,AC 的中点,所以DE ∥BC.又已知CF ∥AB ,故四边形BCFD 是平行四边形, 所以CF=BD=AD. 而CF ∥AD ,连结AF ,所以ADCF 是平行四边形,故CD=AF. 因为CF ∥AB ,所以BC=AF ,故CD=BC. (2)因为FG ∥BC ,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF ,所以GB=BD. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC ,故△BCD ∽△GBD.23.(2012课标全国,理23)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围. 解:(1)由已知可得A ππ2cos ,2sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭,B ππππ2cos ,2sin 3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,C ππ2cos π,2sin π33⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,D π3ππ3π2cos ,2sin 3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即AB (C (-1,D-1).(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值范围是[32,52].24.(2012课标全国,理24)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f (x )≥3的解集;(2)若f (x )≤|x-4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.解:(1)当a=-3时,f (x )=25,2,1,23,25, 3.x x x x x -+≤⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩当x ≤2时,由f (x )≥3得-2x+5≥3,解得x ≤1; 当2<x<3时,f (x )≥3无解;当x ≥3时,由f (x )≥3得2x-5≥3,解得x ≥4; 所以f (x )≥3的解集为{x|x ≤1}∪{x|x ≥4}. (2)f (x )≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当x ∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ⇔4-x-(2-x )≥|x+a| ⇔-2-a ≤x ≤2-a.由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,即-3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].。