勾股定理(二)

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勾股定理的应用(二)

用勾股定理建立方
C
AC+CD=AB+BD=30米
程，关键是找出三
边的关系，能用同 x
一个未知数表示未 D 知边。
30-x
10米
┏
B
A
20米
作业：书本P60练习第1、2题; 习题14.2第2、4题。校本：勾股定理应用（二）
补充：儿童游乐园有一秋千，在平衡位置时，下端A离地面
距离AE为0.6米，当秋千荡到OA1位置时，下端A1离平衡位置的水平距离A1B等于2.4米，A1离地面距离A1F为1.4米，求秋千OA的长。
分析:(1)CF+BF=AF+FB=8
设BF=X,则CF=8-x
D
在RtΔCBF中，由勾股定理得
X 2 42 (8 X )2
解得X 3
E
3
C
O
X
4
21
SΔBCF=1／2 BF●CB=6 A
F
8-x B
(2)在RtΔABC中，由勾股定理易求AC＝ 80
在RtΔOFC中，由勾股定理易求得OF= 5
O
A
2.4米
B
A1
0.6米 A
1.4米
D
B
C
E
F
选做：如图，在△ABC中，AB=AC, D点在CB延长线上.
求证：AD2-AB2=BD·CD
（提示：作高构造直角三角形）
补充：如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在
一起,EF为折痕。若AB=8,BC=4.
(1)求△BFC 面积。 (2)试求以折痕EF为边长的正方形面积。
L
而两个直角边分别是2，3 B
那斜边一定是 13

勾股定理(2)

13
13
1 BC• AD 1 AC• BH
2
2
H
B 10 D C
例1 如图，在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.
解：在Rt△ABC中 ,根据勾股定理
B
AB2 AC 2 BC 2
72 242 625
Q AB 0 AB 25 25 24
如果将题目变为：
D
C
B
A
判断：
• 一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm，高为10cm，现有一支12cm 的吸管任意斜放于杯中，则吸管 ____ 露出杯口外. (填“能”或“不能”)
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
B
D
C
AD 36 9 27 3 3cm
1
( 2) S ABC

BC AD 2
1 6 3 3 9 3(cm2 ) 2
例3 如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，
∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
D
解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
C
又AD=8
学以致用
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞
到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞
机距离这个男孩头顶5000米。飞机每小时飞行
多少千米？
C
B
20秒后
4000米
5000米
A
试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

勾股定理(二)——能得到直角三角形吗？

勾股定理（二）——能得到直角三角形吗一、【基础知识精讲】1．勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形(1) 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。

即：在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为Rt △。

(2) 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数常用的勾股数组：如: 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13等；若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k≠0,k 为常数）也是勾股数．2．如何判定一个三角形是否是直角三角形① 首先求出最大边（如c ）；② 验证2c 与22b a +是否具有相等关系。

若222b a c +=，则△ABC 是以∠C ＝90°的直角三角形。

若222b ac +≠，则△ABC 不是直三角形。

(，则三角形是钝角三角形)。

二、【例题精讲】例1：已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状．（1）a ＝6，b ＝8，c ＝10；（２）a ＝41，b ＝40，c ＝9；（3））（，，0n m mn 2c n m b n m a 2222>>=+=-=．例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB ＝13，BC ＝4，CD ＝3，AD ＝12，求证：AD ⊥BD ．【小试牛刀】1．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，（1）a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5；（2）a ＝4，b ＝5，c ＝6；（3）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（4）a ＝15，b ＝20，c ＝25．上述四个三角形中，直角三角形有( )个．2．下列命题中的假命题是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝∠C －∠B ，则△ABC 是直角三角形； B ．在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 是直角三角形；C ．在△ABC 中，若∠A,∠B,∠C 的度数比是1：2：3，则△ABC 是直角三角形；D ．在△ABC 中，若三边长a ：b ：c ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形．3．三角形的三边长为a 、b 、c ，且满足等式22()2a b c ab +-=，则此三角形是 __________.4．已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为_____________．【应用拓展】例题1、试判断：三边分别为2n 2+2n ，2n+1，2n 2+2n+2(n>0)的三角形是否为直角三角形。

17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用参考解析

17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。

第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理(2)(含答案)

23 ．据我国古代《周髀算经》记载，公元前 1120 年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；„，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过．计算 1 1 1 1 （9-1）、（9+1）与（25-1）、（25+1）， 2 2 2 2
17 ．如图所示，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在边 BC 的点 F 处，已知 AB=8cm， BC=10cm，则 EC 的长为 cm．
18 ．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC＜BC，D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 E，DF 交 BC 于点 F，且 DE⊥DF，过 A 作 AG∥BC 交 FD 的延长线于点 G．（1）求证：AG=BF；（2）若 AE=9，BF=18，求线段 EF 的长．
6 ．小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知 CD=2，求 AC 的长．
7．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为 AB 边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．
8 ．如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B′处，点 A 落在点 A′处；（1）求证：B′E=BF；（2）设 AE=a，AB=b，BF=c，试猜想 a，b，c 之间的一种关系，并给予证明．
S = l （3）说出（2）中结论成立的理由．（2）如果 a+b-c=m，观察上表猜想：

《勾股定理》模型(二)——矩形翻折模型

《勾股定理》模型（二）——矩形翻折模型模型讲解一、折在外【结论1】如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B和点D重合，则（1）∠1=∠2=∠3（2）DE=DF=BE，（3）FC=FH【证明】如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点B与点D重合，∴∠1=∠2，DE＝BE, FC＝FH∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠3，∴∠1=∠2=∠3 ，∴DE=DF，∴DE=DF=BE【结论2】如图，矩形ABCD，将△ACD沿对角线AC折叠，D点对应点为F 则（1）△AFE≌△CBE（2）AE=CE（3）∠EAC=∠ECA【证明】如图，△ACF由△ACD沿AC折叠而得，∴∠F＝∠D＝90º，AF=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠F＝∠D＝90º，CB＝AD＝AF，AB∥CD，在△AFE和△CBE中，∠F＝∠B＝90º，AF＝CB，∠FEA＝∠BEC，∴△AFE≌△CBE∴AE=CE ，∴∠EAC=∠ECA二、折在里【结论3】如图，矩形ABCD，将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上，则CE=AC －AD，CF=CD－EF【证明】∵△AFD沿AF折叠得△AFE，∴△AFD≌△AFE∴AE＝AD，EF＝DF，∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF【结论4】如图，将矩形ABCD对折，折痕EF，再将△ADH沿AH折叠，使点G落在EF上，则（1）AG=2AE（2）∠1=∠2=∠3=30°【证明】∵△ADH 沿AH 折叠得△AGH ，E 是AD 的中点，∴AG ＝AD ＝2AE ，∠1＝∠2，在Rt △AEG 中，AG ＝2AE ，∴Rt △AEG 是含30º角的直角三角形∴∠3＝∠1＝∠2＝30º.典例1☆☆☆☆☆如图所示，沿着AE 折叠长方形，使点D 落在边BC 上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，则 EC 的长为（） A.3 cmB. 4 cmC.5 cm D.6 cm【答案】A【解析】根据折叠的性质得△ADE ≌△AFE ，∴AF=AD=10 cm,EF=DE,∴BF ＝22AB AF ＝6（cm ）. ∴CF ＝BC －BF ＝10-6＝4(cm).设EC ＝x cm ，则 EF ＝（8-x ）cm.在Rt △EFC 中，CF ²＋CE2＝EF2，即42＋x2=（8-x ）2解得 x ＝3.∴EC 的长为 3 cm.故选 A.典例2 ☆☆☆☆☆如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB= 6 cm ，BC=8 cm ，现将其沿 EF 对折，使得点C 与点A 重合，则 AF 的长为（）.典例秒杀A.825cmB.425cmC.225cmD.8 cm【答案】B【解析】设 AF ＝x cm ，则 DF ＝（8-x ）cm.在矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8 cm ，将其沿EF 折叠后，点C 与点A 重合，DF=D ´F.在 Rt △AD ´F 中，AF2=AD ´2＋D ´F2，即 2²＝6²＋（8－x ）2，解得 x ＝425,∴AF ＝425cm,故选B典例3 ☆☆☆☆☆如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 落在 AD 边的中点 C ´处，点 B 落在点B ´处，其中 AB=9，BC=6，则 FC ´的长为（)A.310B.4C.4.5D.5【答案】D【解析】由题意，设 FC ＝FC ´＝x ，则 FD ＝9－x.∵BC ＝6，四边形 ABCD 为矩形，点 C ´为AD 的中点，∴AD=BC=6,C ´D=3.在 Rt △FC ´D 中，FC ´2＝FD2＋C ´D2，即x2=（9-x ）2+32，解得 x=5.故 FC ´的长为 5.故选 D.1.（★★★☆☆）如图，已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点C 落在C ´处，BC ´交AD 于点E ，AD=8，AB=4，则 DE 的长为( ). 小试牛刀A.3B.4C.5D.62.（★★★☆☆）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合.已知AB=3，AD=9，则折痕EF 的长为（）.A.3B.10C.5D.4直击中考1.如图，将长方形ABCD沿EF 折叠，使顶点C恰好落在AB 边的中点C´上.若AB=6，BC=9，则BF 的长为（)A.4B.32C.4.5D.52.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE 折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_________.矩形的折叠，注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解。

八年级数学人教版下册勾股定理勾股定理2

1.勾股定理的内容？ 2.勾股定理公式的变形？ 3.请说明一组勾股数。
数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在……
D
C
A
B
1m
2m
人教版八年级数学下册
17.1 勾股定理
第2课时勾股定理在实际生活中的应用
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题。
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长。
B3
解：由题意知有三种展开
方法，如图.由勾股定理得
B1
高三数学复习中的几个注意点
AB12 =102 +（6+8）2 =296，
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B AB = 8 +（10+6） =320， 29 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
D
C
B
A
课结堂
总
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业 1.整理本节知识点 2.选做题：同步检测题
一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。
由题意可知：AC=6千米，BC=8千米
距离及路径最短问题
检测目标
1．若等腰三角形中相等的两边长为 10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的
高为 ( D)
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
检测目标
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成
由飞题机意在可空知中：水平AC飞=6行千，米某，一B时C=刻8刚千好米飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，C飞机距离这个男？孩头顶5千米.

勾股定理的应用(二)

第14章勾股定理§14.2勾股定理的应用（二）【学习目标】1.掌握勾股定理及其逆定理.2.准确运用勾股定理及逆定理.【课前导习】1.若一个三角形的三边满足c2－a2＝b2，则这个三角形是三角形．２.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，BD是AC边的高，DC＝２，则BD= ．3.直角三角形的两边分别为3和4，则第三边为 .4.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，CB＝2，则斜边上的高为 .5.在垂直于地面的墙上2m的A点斜放一个长2.5m的梯子，由于不小心梯子在墙上下滑0.5m，则梯子在地面上滑出的距离BB'的长度为6. 利用勾股定理，分别画出长度为3厘米和5厘米的线段【主动探究】例题讲解例1如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．例2如图，已知CD＝６m， AD＝８m，∠ADC＝９０°， BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．【当堂训练】1.若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x， x的值为．2.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，ＡＣ＝23，∠C＝３０°，则∠B= ．3.三角形的三边分别是n＋1、 n＋2、 n＋3，当n= 时，三角形是一个直角三角形.4. 如图，已知AD⊥CD，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３，∠CＡＢ＝，∠B= ．5.试判断下列三角形是否是直角三角形：（1）三边长为m2＋n2、 mn、 m2－n2（m＞n＞0）；( )（2）三边长之比为 1∶1∶2；( )（3）△ＡＢＣ的三边长为a、 b、 c，满足a2－b2＝c2( )【回学反馈】1．如图，有一块四边形地ＡＢＣD，∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m， CD＝１２m，DA＝１３m，求该四边形地的面积．2. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD＝３，ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．3.如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，且△ＡＢF的面积是30cm2．求此时AD的长．。

2勾股定理2(经典题型)

（6）若三角形的三边长分别为9cm、12cm、15cm，则长为15cm的边上的高为cm。
（7）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=8，则BC边上的中线AD的长为。
3、解答：
（1）如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的长。
（2）A、B、C、D四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短，
(2). 求证：
11、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗
杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子
下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，
你能帮它计算一下旗杆的高度．
12、有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．
6、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5。
求证：△ABC是直角三角形．
7、如右图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
课堂训练
1、如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点，
请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。
2、如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD，

勾股定理定理第二讲题

勾股定理（二）知识梳理一、勾股定理的逆定理1.如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．二、命题1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．三、互逆命题1．概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．2．说明：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．四、互逆定理1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．2．说明：（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．典型例题（一）勾股定理的逆定理题型一：判定三角形的形状【例1】（2006•临安市）请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B∴c2=a2+b2，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；（2）错误的原因是：；（3）本题正确的结论是：．【即时练习】1. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边的分别用a、b、c来表示，且其满足关系：，试判断△ABC的形状．2. 已知a，b，c为△ABC的三边，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）=﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．3. 如图，正方形ABCD的边长为4，M是AB的中点，且AN=AD，问△CMN是什么三角形并加以证明．题型二：勾股数【例2】若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：，，，，根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数；（3）用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．【即时练习】1.观察下表：列举猜想3，4，5 32=4+55，12，13 52=12+137，24，25 72=24+25…13，b，c 132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值．2. （1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出一下几组勾股数组：5，_________ ，_________ ；7，_________ ，_________ ；9，_________ ，_________ ；（2）写出一般规律的表达方式，（用字母n表示，n为正整数）_________ ，_________ ，_________ ．3.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，那么a、b、c为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数．题型三：求面积【例3】如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3，求四边形ABCD的面积．【即时练习】1. 如图，已知AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，求四边形ABCD的面积．2. 如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为cm2．3.如图，已知在四边形ABCD中，E、F分别为AD、DC的中点，AD∥BC，AD：DC=1：，AB=10、BC=6、EF=4．（1）求AD的长；（2）△DEF是什么三角形？请你给出正确的判断，并加以说明；（3）求四边形ABCD的面积．题型四：勾股定理及其逆定理的综合应用【例4】（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．练习：1．（2008•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2．如图，点D是△ABC内一点，△ABD绕点B顺时针方向旋转600得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数．3．如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．（1）试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC=5，BD=12，求CE的长．（提示：连接CD）4．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB度数．5．（2007•内江）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．（二）命题与互逆命题题型一：命题与互逆命题【例1】说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余（2）等边三角形的每个角都等于60°（3）全等三角形的对应角相等（4）到一个角的两边距离相等的点，这个角的平分线上（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个短点的距离相等【即时练习】1、已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a≠b，则a2≠b2；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．④菱形的对角线互相垂直．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个题型二：互逆定理【例2】列举三个互逆定理。

勾股定理(二)

图 19.2.7
例2 为了求出湖两岸A 、B两点之间的距离，一人在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量得到AC 长160米，BC长128米. 问从点A穿过湖到点B 有多远？
解:在RtABC中
AC=160,BC=128
根据勾股定理可得 AB AC BC
2 2

答：从点A穿过湖到点B有96米.
图 19.2.9
练习1.如图,小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积与周长.
（第 1 题）
2.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少千米？
a
b c
b c c
把此图视为整体， a 其面积可表示为：
( a b ) ________________
2
a
c b
把此图视为部分 b 之和，其面积可 a 表示为 1 2 4 ab c 2 ________
由此可得： 2 1 2 （a b) 4 2 ab c
把此图视为整体，其面积可表示为：
( a b ) ________________
2
a
把此图视为部分 2 2 2 2ab 2ab 之和，其面积可表示为 1 2 4 ab c 2 2 2 2 ________
b
c
a b c
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦.图19.2.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图19.2.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.

特殊三角形—探索勾股定理（二）（详细解析考点分析名师点评）

探索勾股定理（二）—勾股定理的证明一、选择题（共3小题）1、（如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A、3B、4C、5D、62、如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A、+1B、﹣+1C、﹣1D、3、历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A、S△EDA=S△CEBB、S△EDA+S△CEB=S△CDBC、S四边形CDAE=S四边形CDEBD、S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD二、填空题（共7小题）4、利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的结论其数学表达式是_________．5、如图，利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理结论的数学表达式是_________．6、曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．如图，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为_________，又可以表示为_________．对比两种表示方法可得_________．化简，可得a2+b2=c2．他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话．7、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a、b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．8、如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是_________．9、如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：S梯形=（上底+下底）•高=（a+b）•（a+b），即S梯形=（_________）①S梯形=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表式相应图形的面积）=_________+_________+_________，即S梯形=（_________）②由①、②，得a2+b2=c2．10、利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪念他，把这一证法称为“总统”证法．这个定理称为_________，该定理的结论其数学表达式是_________．三、解答题（共20小题）11、清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：=m；第二步：=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．12、勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．请根据图1中直接三角形叙述勾股定理．以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜．其证明步骤如下：∵BC=a+b，AD=_________；又∵在直角梯形ABCD中有BC_________AD（填大小关系），即_________．∴＜．13、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．14、据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算（9﹣1）、（9+1）与（25﹣1）、（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．15、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2．16、如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；（2）用这个图形证明勾股定理；（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请在图（3）中画出拼后的示意图（无需证明）．17、大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC 上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：h1+h2=h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．18、如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积；（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程．19、学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2=c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a=_________mm；b=_________mm；较长的一条边长c=_________mm．比较=a2+b2_________c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a=_________mm；b=_________mm；较长的一条边长c=_________mm．比较a2+b2_________c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：_________，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．20、如图所示，这是美国第20任总统加菲尔德证明勾股定理时所采用的图形，是用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三解形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？21、探索与研究（方法1）如图：对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；（方法2）如图是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？22、如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．23、4个直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？24、如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（3）．25、如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．26、已知（如图）：用四块底为b、高为a、斜边为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，你不难找到：解法（1）小正方形的面积=_________；解法（2）小正方形的面积=_________；由解法（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为：_________．27、美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．28、如图：用两个边长为a，b，c的直角三角形拼成一个直角梯形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论？29、几千年来，人们给出勾股定理各种证法，有人统计，现在世界上已找到400多种证明方法，古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯在客厅品茶，不小心推倒了桌上一个火柴盒，就在这一瞬间，他双眼放光，兴奋不已，从此毕达哥拉斯定理（现教材中勾股定理）诞生了．其证法是：如图，设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒移推至A‵B‵C‵D的位置，D不动，若设AB=a、BC=b、DB=c．则梯形A‵B‵BC的面积S2梯形A‵B‵BC=（a+b）（a+b）=（a+b）2，且又知梯形S梯形A‵B‵BC=S△ABD+S△DBB‵+S△BCD=ab+c2+ab，故有（a+b）2=ab+c2+ab，则a2+b2+2ab=c2+2ab，即a2+b2=c2．请你再写出一种证明方法：30、勾股定理的证明多达200多种，有一位总统利用两个全等的Rt△纸片，给出如下的一种摆法（C，E，D在同一直线上），再添上一条线，便可利用面积法证得a2+b2=c2．请你试着添一条线，并给出证明．。

勾股定理(二)

勾股数组表
（1）若k是一个奇数，且k≥3
（k，，）（k≥3的奇数）①
（2）设m是一个偶数，且m≥4，
（m，，）（m≥4的偶数）②
（3）若（a，b，c）是勾股数组，则（ a， b， c）也是勾股数组，其中为任意正整数。
并约定（a，b，c）=（ a， b， c）。
31.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，CB=5，AM=AC，BN=BC，求MN的长。
2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c= D．a：b：c=2：3：4
3．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）
A．等腰三角形；B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。
4．若三角形的三边是⑴1、、2；⑵ ；
⑶32，42，52⑷9，40，41；⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．三角形的三个内角的比为1:2:3，则这个三角形三边之比为（）A. 1:2:3B. C. D.
6．如图，正方形网格中的△ABC，若小
所以这次台风影响该城市的持续时间为.
t=小时
（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5级．
1．（2008年湖北省咸宁市）如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△
绕点顺时针旋转90 后，得到△ ，连接，下列结论：
①△ ≌△ ；②；
③ ；
其中正确的是

勾股定理逆定理(二)汇总

教学目标教学重点教学难点学情分析学法指导教学内容自学互帮导学法”课堂教学设计勾股定理逆定理（二）课时修改意见知识与能力：1 •掌握互逆命题的意义，会写一个命题的逆命题，并判断是否成立；理及逆定理解决实际问题。

过程与方法：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

情感态度与价值观：通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.勾股定理的逆定理及其应用.建立实际问题转化成用勾股定理的逆定理的数学模型，解决数■学问题。

2、灵活应用勾股定八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何，向推理几何过渡的重要阶段。

这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。

通过对勾股定理逆定理的再探究，有利于更好的培养学生的分析思维能力，发展推理能力。

引导、尝试、发现、探究、合作交流。

效果预测教师活动学生活动（可能出现补救措施修改意见的问题）启动课堂（知识再现）［活动1］知识回顾：一、勾股定理及其逆定理的文字和几何语言的叙述：1、勾股定理（“形”到“数”的结合）：文字表达：直角三角形两直角边和平方和等于斜边的平方几何语言表达：•••/C=902 . 2 2…a +b=c2、文字表达：如果三角形一边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

几何语言表述：a+b=C•••/ C=903、点评学生汇报。

独自写出两个定理的两种表达方式，并作好汇报准备。

学生汇报。

前因后果可能混淆“数”与“形”的完美结合，才产生勾股定理及其逆定理，怎样结合，其结果可以让学生讨论后加深印象，并将定理和逆定理区别开来。

二、复习训练:1、如图，两个正方形的面积分别为64和49,则AC=2、由五根木棍，长度分别为3、4、5、12、13,若取其中三根木棍，组成三角形，有_______________________ 种取法；构成直角三角形的有. 种取法。

勾股定理(第二课时)课件2021-2022学年人教版八年级数学下册

知识归纳
应用勾股定理的前提是在__直__角____三角形中．如果三角形不是直角三角形，要先__构__造__直__角__三__角__形___，再利用勾股定理求未知边的长．注意：
①在直角三角形中，已知两边长，利用勾股定理求第三边时，要弄清楚直角边和斜边，没有明确规定时，要_分__类__讨__论___，以免漏解；
(2)已知c＝25，b＝15，则a＝___2_0___；
(3)已知c＝19，a＝13，则b＝__8__3___；(结果保留根号)
(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝__1_2___．
思考 2．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的点B 200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为___4_8_0____m.
B′
在Rt△AB′E中，AE＝600 m，B′E＝800 m，
P
∴AB′＝ 6002＋8002＝1 000(m)．
答：牧童最少要走1 000 m.
E
课堂小结
用勾股定理解决实际问题
勾股定理的应用
用勾股定理解决几何问题
解决“HL”判定方法证全等的正确性问题
形象说明无理数与数轴的关系
AM＝ 102＋（20＋5）2＝5 29(cm)．
如答图②所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，
AM＝ 202＋（10＋5）2＝25(cm)． ∵5 29>25，
∴第二种路线较短，此时最短距离为25 cm. 答：需要爬行的最短距离是25 cm.
归纳立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
___1_7____m.
5．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸的距

勾股定理 (2)

毕达哥拉斯定理一、毕达哥拉斯定理的定义勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

二、毕达哥拉斯定理的由来早在中国商代就由商高发现.据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”.勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方.也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方，即;勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式.我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五.”它被记录在了《九章算术》中.商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期.在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度.”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五.”即我们常说的勾三股四弦五.早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”.欧洲人则称这个定理为毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯（PythAgorAs）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”.并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺.因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”.所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了.三、思维的勾股定理平方后等于负1的数称为虚数，用表示.的3倍记为、7倍记为，它们都是虚数.1与－1的平方都是1，平方为－1的数原本是没有的，虚数是在‘如果有的话’的前提下提出的概念.由实数和虚数组合成的数叫做复数，复变函数是专门研究复数的数学分支.假设在宇宙的最初（如同霍金所提倡的）时间是虚数，由于加速度为距离除以时间的平方，所以当时间为虚数时，力的符号变为负（反方向）.难以逾越的高墙反过来变成了深深的堑壕，在力学上势能（位置能）的符号发生了变化，封闭着能量的口袋在一瞬间消失，从而揭开了宇宙大爆炸的序幕，在此瞬间里时间由虚变实，变成了通常的膨胀.关于大爆炸以前的虚时间难于讲解，示意图也画不出来的，普通的时间尚无法看见，更别提看见虚时间了.我们的意识在一定程度上能够推定时间的经过，如果这时间是虚时间的话将会怎样呢？谁也说不出来.霍金为了避开奇点用数学公式表示了时间的连续性，但是他却回避不了大爆炸前的虚时间的提出，消除了宇宙创生于奇点的困惑.接下来，笔者用比较易懂的狭义相对论的公式，再对虚时间进行一些讲解.狭义相对论认为，光速是不变的，长度及时间随测量方法的不同而不同，时间与长度具有同等的资格.因此狭义相对论的公式是四维公式.设x、y、z为三维空间坐标的互相垂直的三个轴，t为时间.为了使时间成为用长度表示的维，把时间与光速c的乘积ct作为代表第四维的轴.假定光从A点出发沿直线（按狭义相对论观点）到达B点，所需时间为t，则AB间的直线距离为ct.一般地说，时间轴与x、y、z轴中的任何一个轴都不是互相垂直的，长度ct中含有各个轴的成份，光走过的距离ct相当于以x、y、z为三边的立方体的对角线之长，满足三维勾股定理（如图），.也可以写成.如果将相对论的时间记述为三维空间里的一维时间的话，与之和总应该为零.请注意：在数学处理上必须不带任何区别地看待时间与空间.四维几何学很难用我们的常识去理解，在四维几何学里从一开始就把ct 作为一个独立的坐标，而不是光传播于x、y、z三维空间里…….四维空间中的距离并不一定为零，而是一个定数，四个维的平方之和表示四维超立方体对角线的平方（称为扩张的勾股定理），即在四维几何学中，时间与空间之间存在下述关系：，是个定值，与光从A到B的过程有关.这个公式是四维时空间里的物理学公式.在原来的勾股定理中，各边的平方均为正值，只有与时空间有关的时间项的平方为负值，也就是把看作是加上一个负的项.四、毕达哥拉斯定理的证明法.唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》.首十一.故折矩，以为句广三，股修四，径隅五.既方之，外半其一矩，环识从何而来.于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来.边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）.“故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五.”：开始做图——选择一个勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）.“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五.”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形.“两矩共长③二十有五，是谓积矩.”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和.因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积，所以勾方+股方=弦方.（二）（欧几里德(Euclid)射影定理证法）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：(1) (2) (3)由公式（2）（3）得：;即，这就是勾股定理的结论.图1（三）爱因斯坦的证明方法至今未见到爱因斯坦12岁时对毕氏定理证明的详细内容，但是按照材料，不难正确地推论出他的方法如下所示.专注到三角形的相似性，从直角三角形的一个顶点向斜边作垂线，设交点为D（见图1）.两直角三角形的相似，完全取决于它们的一个锐角，如果有一锐角相等，二者相似；否则，不相似.在图1中，△ABC、△DBC、△DCA彼此都是相似的，因为它们有一锐角是相等的.△ABC与△DBC因相似，二者的两对应边长之比相等，即（1）对△ABC与△ACD，同理有（2）（1） +（2），得到：（3）（四）、（达芬奇的证法）达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。

勾股定理(二)

勾股定理的应用(二)

勾股定理(2)

勾股定理(二)——能得到直角三角形吗？

17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析

第3章《勾股定理》 ：3.1 勾股定理(2)(含答案)

《勾股定理》模型(二)——矩形翻折模型

八年级数学人教版下册勾股定理勾股定理2

勾股定理的应用(二)

2勾股定理2(经典题型)

勾股定理定理第二讲题

勾股定理(二)

特殊三角形—探索勾股定理（二）（详细解析考点分析名师点评）

勾股定理(二)

勾股定理逆定理(二)汇总

勾股定理(第二课时)课件2021-2022学年人教版八年级数学下册

勾股定理 (2)

17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用参考解析

第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理(2)(含答案)