刚体复习

刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
例：某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构的转动带动 冲头在铁板上冲孔，已知飞轮的半径r=0.4m，质量为m=600kg, 可以视为均匀圆盘。飞轮的正常转速是n1=240r/min，冲一次孔 转速减低20%，求冲一次孔冲头做了多少功？
2
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
I L1
1 m L L2 3
2 I o mo R 2 5
2 2
I L2 I 0 m0d I 0 m0 ( L R)
1 2 2 I m L L mo R 2 mo ( L R ) 2 3 5
将数值代入，可得：
W 5452 J
刚体的重力势能
刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和。
EP mi ghi g mi hi
EP
h
i i
m h mg
m
i i
hc
m h
m
P mi C
E p mgh c
定轴转动的机械能守恒定律
hi
0
hc
若在刚体转动过程中，只有重力做功，则刚体 在重力场中机械能守恒。
第三章 刚体的转动
3.1 刚体运动学 3.2 刚体的定轴转动
一、刚体的转动动能 二、转动惯量
三、刚体的转动定律 四、力矩的功
五、刚体定轴转动的动能定理 六、刚体的角动量定理 角动量守恒定律
3.1 刚体运动学
1）何谓刚体 在任何情况下，形状和大小都不发生变化的力学 研究对象。即每个质元之间的距离无论运动或受外力 时都保持不变。 2）刚体运动的两种基本形式：平动和转动
L r mv
大小： L rmv sin 方向： 右手定则
若质点作圆周运动：
L rmv mr 2
2）刚体的角动量
质点的角动量 （动量矩）
Lrp
以角速度 绕Z轴旋转的刚体， 现将刚体分割成许多质量元

M
Z
mi
ri
m1, m2 ,mi mn
t2
Fdt mv2 mv1
t1
（2）定理说明了对定轴转动，角动量的改变要 靠施以角冲量。
t2
M
t1
z
dt I 2 I1
对角动量大的物体要使其发生明显的改变则要施 以较大的角冲量，如是人们对不同的转动物体， 持有不同的态度。
4）定轴转动的角动量守恒定理
角动量定理 若： M z 0
i
刚体对Z轴的转动惯量 I mi ri2 刚体对Z轴的角动量
LZ I
P mv
类比质点的动量
3）定轴转动的角动量定理
Z MZ
F
d M Z I I dt
r
M Z dt Id (1)
设t1到t2时间内，刚体角速度由 1 2
M 对（1）式两边积分得定轴转动的角动量定理（积分形式）
F

P
W M d
1
力矩的瞬时功率为：
类比： W F dr
力矩做功是力做功的角量表达式
dW d P M M dt dt
类比： P F v
例：一转动惯量为10kgm2的刚体作定轴转动，其运动 方程为 t 3 t 4 求在0-5秒时间内，作用在该刚体上的 力矩所做的功。 解：已知运动方程可求其角速度和角加速度
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴 的转动惯量。 解：取如图坐标，dm=dx x dx
A B
I A r 2 dm
o
A
L/2 C
L
X
x dx
B
L/2 X
x 2dx mL2 / 3
0
L
I C r 2 dm
o
x 2dx mL2 / 12
L 2 L 2
3.2 刚体的定轴转动
一、刚体的转动动能

O r i
△ mi
1 1 2 Eki mi vi mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 2 Ek mi ri ( mi ri ) I 2 i 1 2 i 1 2
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半。
dm dl
I r 2 dm
L
m 2R
R
R 2dm R2 dl R 2 2R mR2
I是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
O
R
dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转 动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
I
r
m
2
dm
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
dm dl
其中、、分别
dm ds
dm dV
为质量的线密度、
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。 dl 解:
三、刚体的转动定律
1、力矩
M
O
r
M Fd Fr sin Ft r 其中： Ft F sin 是力 F 的切向分量 M r F

F
d
力矩：力对某点O的力矩等于力 的作用点的矢径 r 与力 F 的矢量积。 方向：右手定则 单位：牛· 米（N · m）
一般有三种情况：
当M 0时，I I0 ,则 0
A: I 不变， 也不变， 保持匀速转动。（例:回转仪）
5 0
(180 t 3 600 t 4 480 t 5 )dt 5.3 10 5 J
0
5
五、刚体定轴转动的动能定理
d d d d M I I I I dt d dt d

类比：
2
1
1 1 2 2 M d I 2 I 1 2 2
1 2 1 2 F dr 2 mv 2 2 mv1
平动：刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动。 平动：用质心运动讨论 刚体的转动 (对点、对轴) 定轴转动：各质元均做圆周运动，其圆心都在一条 固定不动的直线（转轴）上。
刚体的一般运动 既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动。 例如(汽车轮子、手榴弹等) 菜斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为一个 随质心的平动加上绕质心的转动。 3）学习刚体的方法：类比法 质点平动与刚体转动类比：建立描写刚体转动的物理量 与描写质点平动的物理量的对应关系，则可以由质点平 动的规律得到相应的刚体转动的规律。
d 3t 2 4t 3 dt
2
d 2 2 6t 12t 2 dt
作用在该刚体上的力矩可根据转动定律求出：
M I I (6t 12t ) 60t 120t
2
由力矩的功的表达式有：
W Md (60t 120t 2 )(3t 2 4t 3 )
O
l

mg
由机械能守恒定律有： EP Ek
L 1 2 1 1 2 2 mg sin I ( mL ) 2 2 2 3
3g sin L
六、刚体的角动量定理
1）质点的角动量 L
角动量守恒定律

O
r
mv

质点相对O点的矢径 r 与质点 的动量 m v 的矢积定义为该时 刻质点相对于O点的角动量， 用 L 表示。
dm dV
2
2rdr l
3
Z
O
dI r dm R 2lr dr 1 3 I dI 2lr dr R 4 l 0
2
r
R
m 1 2 I mR 2 R l 2
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的 转动惯量也是mR2/2。
平行轴定理
I A mL / 3
2
IC mL2 / 12
前例中IC表示相对通过质心的轴的转动惯量， IA表
示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距
L/2。可见：
1 1 1 L 2 2 2 I A＝I C＋m mL mL mL 12 4 3 2
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相 距为d，刚体对其转动惯量为I，则有：I＝IC＋md2。 这个结论称为平行轴定理。
mi 对Z轴的角动量
Li 的大小
Li mi ri vi vi ri
Li mi ri vi

M
Z
刚体的总角动量 L 大小：
mi
ri
LZ Liz mi ri vi
i 1 i 1
n
n
LZ (mi ri 2 )
解：以 1、2 分别表示冲孔前后的角速度，则
1 2n1 / 60
2 (1 0.2)1 0.81
由转动动能定理，可得充一次孔铁板阻力对冲头做的功为
1 2 1 2 W Ek 2 Ek1 I2 I1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 I1 (0.8 1) mr 1 (0.8 1) 2 mr 2 n12 (0.82 1) 2 4 3600
i i
合外力矩M
I
0