((完整版))圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案,推荐文档

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1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线x2 2 py 外一点 P(x0 , y0 ) 的任一直线与抛物线的两个交点为C、 D ，与抛物线切点弦 AB的交点为 Q。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为x0 x p( y＋ y0 ) ；（2）求证：112.PC| PD || PQ |2. 已知定点F（ 1，0 ），动点 P 在 y 轴上运动，过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M ，并延长MP 到点 N，且PM PF 0,| PM | | PN |.（1）动点 N 的轨迹方程；（2）线 l 与动点 N 的轨迹交于 A，B 两点，若OA OB4, 且4 6| AB | 4 30 ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .3. 如图，椭圆C1:x2y21的左右顶点分别为A、B，P 为双曲线C2: x 2y 21右支4343上（ x 轴上方）一点，连AP 交 C1于 C，连 PB 并延长交1于 D，且△ ACD与△ PCD的面积C相等，求直线 PD 的斜率及直线CD 的倾斜角 .4. 已知点M ( 2,0), N (2,0)，动点P满足条件| PM || PN | 2 2 .记动点 P 的轨迹为W.（Ⅰ）求 W 的方程；uuur uuur（Ⅱ）若 A, B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB 的最小值.5.已知曲线 C的方程为 : kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈ R)（Ⅰ）若曲线 C是椭圆，求 k的取值范围；（Ⅱ）若曲线 C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线 l： y=x-1对称，若存在，求出过 P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（ 21）图，M（-2，0）和 N（ 2，0）是平面上的两点，动点P满足：PM PN 6.(1)求点 P 的轨迹方程；2(2)若PM·PN＝1 cos MPN,求点 P 的坐标 .x2y21 (a b x 2y217. 已知F为椭圆b20) 的右焦点，直线l过点 F 且与双曲线b2a2a 的两条渐进线 l1, l2分别交于点M , N，与椭圆交于点A, B.（I）若MON，双曲线的焦距为4。

(完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)

圆锥曲线综合练习一、选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（）A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（）A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足0OA OB +=（O 为坐标原点），2120AF F F ⋅=2, 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于（）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（） A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ，为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（） A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率等于 ( ) A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b+=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点，21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点，||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（）A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（）B. C.D. 29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（）A．1) B．(0 C．1) D．(030．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点，则（）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为（ D ） ABC ．12D33．以O 为中心，12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为（） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（） A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（）A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF ∠的余弦是（）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点，(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴，且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（）A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．的离心率2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（）A B C ．2 D43P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（）ABCD44F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2| ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 a ＞0，b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A ． 147A 、F ，点B （0，b ）则该双曲线离心率e 的值为（）A B C D 48．直线l 是双曲线O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2:1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ． 49的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则与a b -的大小关系为A BCD ．不确定．50．点P 为双曲线1C ：和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为( )ABCD ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P ，则曲线r 的离心率等于A B 2 C D 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（）AB C ．b a D ．ab二、填空题：53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点，12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= .61．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PC +的最小值为．62．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB △的面积为． 63．已知直线1l :4360x y -+=和直线2:0l x =，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是．三、解答题：64．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12F F ，，点P 在椭圆C 上，且12PF PF ⊥，14||3PF =，214||3PF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点M (21)-，，交椭圆C 于A B ，两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程． 65．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(12)A -，．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的距离等？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 66．已知抛物线22(0)x py p =>．（Ⅰ）已知P 点为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影是点M ，点A 的坐标是(42)-，，且||||PA PM +的最小值是4．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y 轴的交点为点E ，过点E 作抛物线的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A B ，两点，连接AO BO ，并延长分别交抛物线的准线于C D ，两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．67．如图所示，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12A A ，分别为椭圆C 的左、右顶点．（Ⅰ）设12F F ，分别为椭圆C 的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，1||PF 取得最小值与最大值；（Ⅱ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的标准方程；（Ⅲ）若直线l :y kx m =+与（Ⅱ）中所述椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左、右顶点），且满足22AA BA ⊥，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．68．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =12的交点F 恰好是该椭圆的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆222:3O x y +=的切线l 与椭圆相交于A B ，两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果时，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．。

(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)

经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】① .②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。

圆锥曲线综合练习题及答案-.doc

一、单选题（每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为. （） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(—4,0)，（4,0）,则双曲线的方程为 ( ）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C 。

221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（ ) A ．677 B. 377C 。

185D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3,则P 到y 轴的距离为 ( ) A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程为。

（）A ．22149y x -=B 。

22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 22131********y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为 ( ） A ．52 B. 102 C. 152D 5 7。

设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax （a ≠0）的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ )A ．y 2＝±4 B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（）A ．2B ．3 C.115D 。

错误!9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（ )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为错误!的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK ⊥l ，垂足为K ,则△AKF 的面积是（）A ．4B ．3 3C ．4错误!D ．8二．填空题。

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

圆锥曲线综合测试题(含详细答案)

圆锥曲线测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝－14x 2的准线方程为( )A ．x ＝116B ．x ＝1C ．y ＝1D ．y ＝2解析：抛物线的标准方程为x 2＝－4y ，准线方程为y ＝1. 答案： C2．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线x 24－y 212＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，c ＝23， ∴b 2＝4，所求方程为x 24＋y 216＝1，故选D. 答案： D3．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．13解析：由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26，又∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝26－4＝22. 答案： A4．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.答案： C 5．若抛物线x 2＝2py的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析：椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D6．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3.故k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．故选A. 答案： A7．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1解析：由MF 1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22.因为0<e <1，所以0<e <22. 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22.故选C. 答案： C8．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35D ．－45解析方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二：由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB→|F A →|·|F B →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.答案： D9．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.752解析： |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，|AF 2|＝6－|AF 1|.|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8(6－|AF 1|)2 ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴|AF 1|＝72.S ＝12×72×22×22＝72. 答案： B10．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1) B ．x 2－y 28＝1(x <－1) C ．x 2＋y 28＝1(x >0) D ．x 2－y 210＝1(x >1) 解析：设圆与直线PM 、PN 分别相切于E 、F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. ∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |) ＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |.所以点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的一支，且a ＝1， ∴c ＝3，b 2＝8， ∴所以双曲线方程是x 2－y 28＝1(x >1)．答案： A11.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF =⋅=||2AF ∴=.故选A 12.(2009山东卷理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,故选D.答案:D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是(10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.答案： x 29－y 2＝112．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．解析：设直线方程为y －1＝k (x －2)，与双曲线方程联立得(1＋4k 2)x 2＋(－16k 2＋8k )x ＋16k 2－16k －12＝0，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，所以直线方程为x ＋2y －4＝0. 答案： x ＋2y －4＝013.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析： ∵△POF 2是面积为3的正三角形， ∴12c 2sin 60°＝3， ∴c 2＝4， ∴P (1，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋3b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解之得b 2＝2 3. 答案： 2 314．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：显然x 1，x 2≥0，又y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号，所以最小值为32. 答案： 32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎨⎧22a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.18．(12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．解析：由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0，±4)，离心率e ＝45，所以双曲线的焦点为F (0，±4)，离心率为2，从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3. 所以双曲线方程为y 24－x 212＝1.19．(12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32 到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎫b ＋322＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b 2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x 24＋y 2＝1.20．(12分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程．解析： (1)∵F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，∴－3＋a 23＝33.∴a 2＝4. 而c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y 11＋3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1.∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1，(43－3x 1)24＋(－3y 1)2＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1033，y 1＝233(取正值).∴l 的斜率为233－01033－3＝ 2.∴l 的方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.21．(12分)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．解析：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由抛物线的定义可知．|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k 2.由抛物线的定义可知， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4.所以|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.22．(12分)如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b截得的线段长等于C 1的长半轴长．(1)求C 1，C 2的方程．(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .证明：MD ⊥ME .解析：由题意知e ＝c a ＝32，从而a ＝2b .又2b ＝a ，所以a ＝2，b ＝1.故C 1，C 2的方程分别为x 24＋y 2＝1，y ＝x 2－1.(2)证明：由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1，得x 2－kx －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又点M 的坐标为(0，－1)，所以k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)x 1x 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1x 1x 2＝－k 2＋k 2＋1－1＝－1.故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME .。

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

（2015年天津卷） 19。

（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b的左焦点为F -c （,0）,M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y截得的线段的长为c ，. (I)求直线FM 的斜率; (II)求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP 求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围。

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦。

设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。

(1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋；（2)求证：112||||PC PD PQ +=.2。

已知定点F （1,0）,动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M,并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ (1)动点N 的轨迹方程;(2)线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点,若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围。

3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方)一点，连AP 交C 1于C,连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -,动点P 满足条件||||22PM PN -=。

记动点P 的轨迹为W 。

（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5。

已知曲线C 的方程为:kx 2+（4-k )y 2=k +1,（k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；(Ⅱ）若曲线C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；(Ⅲ)满足(Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x —1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由.6。

圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =，即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线大题综合测试含详细答案(供参考)

圆锥曲线1．设椭圆222:12x y M a +=(a >的右核心为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，假设112OF F A=（其中O 为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．2 ．已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个核心为()1F ,而且过点12H ⎫⎪⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下极点别离为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 别离交x 轴于点,N M ,假设直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左核心为F,假设P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)假设点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探讨:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是不是维持相切的位置关系?假设是,请证明；假设不是,请说明理由.4设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx x y y x B y x A 是椭圆上的两点，知足0),(),(2211=⋅a y b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）假设直线AB 过椭圆的核心F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是不是为定值？若是是，请给予证明；若是不是，请说明理由.5 、直线l ：y = mx + 1，双曲线C ：3x 2 - y 2 = 1，问是不是存在m 的值，使l 与C 相交于A , B 两点，且以AB 为直径的圆过原点6 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个核心为F 1（-2，0），F 2（2，0），点P 在曲线C 上。

圆锥曲线大题综合(含答案)

圆锥曲线大题综合1．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线y =为渐近线，焦点是()3,0-，()3,0的双曲线；(2)离心率为45，短轴长为6的椭圆．2．（2022秋·广东江门·高二校考期中）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4．(1)求p 的值；(2)过焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点，求||AB ．3．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .4．（2022秋·广东江门·高二校考期中）椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点A （2，3）且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求|MN |．5．（2022秋·广东江门·高二校考期中）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，2a =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点(2,3)A 且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求线段MN 的长.6．（2022秋·广东梅州·高二校考期中）已知P 为椭圆E :22221x y a b+=(0)a b >>上任意一点，F 1，F 2为左、右焦点，M 为PF 1中点.如图所示:若1122OM PF +=，离心率e =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知直线l 倾斜角为135°，经过(2,1)-且与椭圆交于A ，B 两点，求弦长|AB|的值.7．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）．(1)求椭圆的方程；(2)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ．若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．8．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,1P ，且离心率2e =.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AB =l 方程.9．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）已知点()11,0F -，圆()222116F x y -+=：，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于M N 、两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程.10．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知两定点()4,0A -，()1,0B -，动点P 满足2PA PB =，直线:l ()()211530m x m y m +++--=．(1)求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；(2)记动点P 的轨迹为曲线E ，把曲线E 向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线E '，求直线l 被曲线E '截得的最短的弦长；(3)已知点M 的坐标为()5,3，点N 在曲线E '上运动，求线段MN 的中点H 的轨迹方程．11．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M N 、两点，O 为坐标原点，直线OM ON 、的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由．12．（2022秋·广东江门·高二校考期中）动点N （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和N 到定直线2x =的距离的比是常数22．(1)求动点N 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(2,0)M ，设直线MA 与直线MB 的斜率分别为1k ，2k ．随着直线l 的变化，12k k +是否为定值？请说明理由．13．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右顶点坐标为(2,0)A ，左、右焦点分别为12,F F ，且122F F =，(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线L 与椭圆Γ相切，求证：点12,F F 到直线L 的距离之积为定值．14．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）如图，已知圆22:430M x x y -++=，点()1,P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B(1)求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标；(2)求线段AB 中点的轨迹方程；15．（2022秋·广东江门·高二校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在椭圆C 上，点F 是椭圆C 的右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，则在x 轴上是否存在一点P ，使得直线l 绕点F 无论怎样转动都有0PM PN k k +=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022秋·广东广州·高二南海中学校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()4,0B ，M 是一个动点，且直线AM ，BM 的斜率之积是34-，记M 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)若过点()2,0F 且不与x 轴重合的直线l 与E 交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与Q 不重合），直线1PQ 与x 轴交于点G ，求点G 的坐标．17．（2022春·广东汕头·高二校考期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()2,1P ，且离心率2e =．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求PAB 面积的最大值．18．（2022春·广东广州·高二华南师大附中校考期中）如图，已知圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点(2,0)A -，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，当直线l x ⊥轴时，||3MN =.(1)求椭圆C 的方程；(2)记,AMF ANF 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.19．（2022春·广东广州·高二二师番禺附中校考期中）已知点A的坐标为()-，点B的坐标为()，且动点M 到点A 的距离是8，线段MB 的垂直平分线交线段MA 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知(2,1)D -，过原点且斜率为k (0k >)的直线l 与曲线C 交于E 、F 两点，求DEF 面积的最大值.20．（2022春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且直线PM ，PN 的倾斜角互补，求OMN 面积的最大值.21．（2022春·广东深圳·高二校考期中）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，当A ，B 两点的纵坐标相同时，4AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)若P ，Q 为抛物线C 上两个动点，()0PQ m m =>，E 为PQ 的中点，求点E 纵坐标的最小值．22．（2022秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，短轴顶点分别为M 、N ，四边形12MF NF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为()2,1-，求直线l 的方程.23．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆221:1164x y E +=,()22222:10,4x y E a b a a b+=>><的离心率相同.点()00,P x y 在椭圆1E 上，()11,A x y 、()22,B x y 在椭圆2E 上.(1)若2OP OQ =，求点Q 的轨迹方程；(2)设1E 的右顶点和上顶点分别为1A 、1B ，直线1AC 、1B D 分别是椭圆2E 的切线，C 、D 为切点，直线1AC 、1B D 的斜率分别是1k 、2k ，求2212k k ⋅的值；(3)设直线PA 、PB 分别与椭圆2E 相交于E 、F 两点，且()AB tEF t =∈R，若M 是AB 中点，求证：P 、O 、M 三点共线（O 为坐标原点）.24．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）如图，中心在原点O 的椭圆Γ的右焦点为()F ，长轴长为8．椭圆Γ上有两点P 、Q ，连接OP 、OQ ，记它们的斜率为OP k 、OQ k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；(3)设直线OQ与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线x =M 、N ，若PQR 和PMN 的面积相等，求点P 的横坐标．25．（2022秋·广东·高二校联考期中）设椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>，1F ，2F 是椭圆Γ的左、右焦点，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆Γ上，点()4,0P 在椭圆Γ外，且24PF =-(1)求椭圆Γ的方程；(2)若1,B ⎛ ⎝⎭，点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA ，PB 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，记OMN ，PMN 的面积分别为1S ，2S ，求221122S S S S -+的最小值．26．（2022秋·广东阳江·高二统考期中）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上､下焦点分别为1F ，2F ，左､右顶点分别为1A ，2A ，且四边形1122A F A F 是面积为8的正方形.(1)求C 的标准方程.(2)M ，N 为C 上且在y 轴右侧的两点，12//MF NF ，2MF 与1NF 的交点为P ，试问12PF PF +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.27．（2022春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中）已知定点)P，圆Q :(2216x y +=，N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ．(1)求点M 的轨迹Γ的方程；(2)直线l :x ky n =+与曲线Γ相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过点C （2，0），求ABC 面积的最大值.28．（2022春·广东广州·高二广州科学城中学校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，当OMN 的面积最大时，求l 的方程．29．（2022秋·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）曲线Γ上动点M 到A （﹣2，0）和到B （2，0）的斜率之积为﹣14．（1）求曲线Γ的轨迹方程；（2）若点P （x 0，y 0）（y 0≠0）为直线x ＝4上任意一点，PA ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．30．（2022春·广东汕头·高二金山中学校考期中）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的焦距为，经过点()2,1P -．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM NO =，直线PM PN ，分别交椭圆于A ，B ．PQ AB ⊥，Q 为垂足．是否存在定点R ，使得QR 为定值，说明理由．圆锥曲线大题综合答案1．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线y =为渐近线，焦点是()3,0-，()3,0的双曲线；(2)离心率为45，短轴长为6的椭圆．(1)求p 的值；(2)过焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点，求||AB ．则直线AB 的方程为2,y x =-设()()1122,,,A x y B x y ，联立228y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得21240xx -+=，所以1212x x +=，由抛物线的性质可得12||12416AB x x p =++=+=．3．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点A （2，3）且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求|MN |．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点(2,3)A 且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求线段MN 的长.6．（2022秋·广东梅州·高二校考期中）已知P 为椭圆E :221x y a b+=(0)a b >>上任意一点，F 1，F 2为左、右焦点，M 为PF 1中点.如图所示:若1122OM PF +=，离心率e =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知直线l 倾斜角为135°，经过(2,1)-且与椭圆交于A ，B 两点，求弦长|AB|的值.7．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）．(1)求椭圆的方程；(2)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ．若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．8．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,1P ，且离心率2e =.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B两点，若AB =l 方程.9．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）已知点1，圆2，点在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于M N 、两点，且MN 中点为()1,1，求直线l 的方程.:l ()()211530m x m y m +++--=．(1)求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；(2)记动点P 的轨迹为曲线E ，把曲线E 向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线E '，求直线l 被曲线E '截得的最短的弦长；(3)已知点M 的坐标为()5,3，点N 在曲线E '上运动，求线段MN 的中点H 的轨迹方程．11．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M N 、两点，O 为坐标原点，直线OM ON 、的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由．的比是常数2．(1)求动点N 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(2,0)M ，设直线MA 与直线MB 的斜率分别为1k ，2k ．随着直线l的变化，12k k +是否为定值？请说明理由．13．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右顶点坐标为(2,0)A ，左、右焦点分别为12,F F ，且122F F =，(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线L 与椭圆Γ相切，求证：点12,F F 到直线L 的距离之积为定值．【详解】（1）因为12||22F F c ==，则c ＝1，因为2222,3a b a c ==-=，所以椭圆Γ的方程22143x y +=；（2）证明：椭圆Γ的左、右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，①当直线l 垂直于x 轴时，因为直线l 与椭圆Γ相切，所以直线l 的方程为2x =±，此时点12,F F 到直线l 的距离一个为11d =，另一个为23d =，所以123d d =，②当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ,联立2234120y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y ,整理得222(34)84120k x kbx b +++-=，所以，222222644(34)(412)16(9123)k x k b k b ∆=-+-=+-，因为直线l 与椭圆Γ相切，Δ＝0，所以，2234b k =+，因为1(1,0)F -到直线l 的距离为12||1-=+k b d k ，2(1,0)F 到直线l 的距离为22||1+=+k b d k ，所以，222221222222|||||||(34)||33|311111k b k b k b k k k d d k k k k k-+--++=⋅====+++++，所以点12,F F 到直线l 的距离之积为定值，且定值为3．14．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）如图，已知圆22:430M x x y -++=，点()1,P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B(1)求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标；(2)求线段AB 中点的轨迹方程；【详解】（1）因为PA ，PB 为圆M 的切线，所以90PBM PAM ∠=∠=︒，设PM 的中点为N ，所以点A ，B 在以PM 为直径的圆N 上，又点A ，B 在圆M 上，所以线段AB 为圆N 和圆M 的公共弦，因为圆22:430M x x y -++=①，AB的中点设为F点，由HF始终垂直干当P点在x轴上时，F点与H点的重合，M，得HM的中点坐标为⎛(2,0)⎝圆去掉点M，圆C上，点F是椭圆C的右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转k k+=？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．动都有0PM PN，M 是一个动点，且直线AM ，BM 的斜率之积是34-，记M 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)若过点()2,0F 且不与x 轴重合的直线l 与E 交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与Q 不重合），直线1PQ 与x 轴交于点G ，求点G 的坐标．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求PAB 面积的最大值．18．（2022春·广东广州·高二华南师大附中校考期中）如图，已知圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点(2,0)A -，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，当直线l x ⊥轴时，||3MN =.(1)求椭圆C 的方程；(2)记,AMF ANF 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.且动点M 到点A 的距离是8，线段MB 的垂直平分线交线段MA 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知(2,1)D -，过原点且斜率为k (0k >)的直线l 与曲线C 交于E 、F 两点，求DEF 面积的最大值.20．（2022春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）已知椭圆C :221(0)a b a b+=>>的焦距为2，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且直线PM ，PN 的倾斜角互补，求OMN 面积的最大值.交于A ，B 两点，当A ，B 两点的纵坐标相同时，4AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)若P ，Q 为抛物线C 上两个动点，()0PQ m m =>，E 为PQ 的中点，求点E 纵坐标的最小值．22．（2022秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆C ：()2210a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为22，短轴顶点分别为M 、N ，四边形12MF NF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为()2,1-，求直线l 的方程.23．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆1:1164x y E +=,()222:10,4E a b a a b +=>><的离心率相同.点()00,P x y 在椭圆1E 上，()11,A x y 、()22,B x y 在椭圆2E 上.(1)若2OP OQ =，求点Q 的轨迹方程；(2)设1E 的右顶点和上顶点分别为1A 、1B ，直线1AC 、1B D 分别是椭圆2E 的切线，C 、D 为切点，直线1AC 、1B D 的斜率分别是1k 、2k ，求2212k k ⋅的值；(3)设直线PA 、PB 分别与椭圆2E 相交于E 、F 两点，且()AB tEF t =∈R，若M 是AB 中点，求证：P 、O 、M 三点共线（O 为坐标原点）.8．椭圆Γ上有两点P 、Q ，连接OP 、OQ ，记它们的斜率为OP k 、OQ k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；(3)设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线x =M 、N ，若PQR 和PMN 的面积相等，求点P 的横坐标．25．（2022秋·广东·高二校联考期中）设椭圆Γ：()2210a b a b +=>>，1F ，2F 是椭圆Γ的左、右焦点，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆Γ上，点()4,0P 在椭圆Γ外，且24PF =-(1)求椭圆Γ的方程；(2)若1,2B ⎛- ⎝⎭，点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA ，PB 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，记OMN ，PMN 的面积分别为1S ，2S ，求221122S S S S -+的最小值．26．（2022秋·广东阳江·高二统考期中）已知椭圆()22:10y x C a b a b+=>>的上､下焦点分别为1F ，2F ，左､右顶点分别为1A ，2A ，且四边形1122A F A F 是面积为8的正方形.(1)求C 的标准方程.(2)M ，N 为C 上且在y 轴右侧的两点，12//MF NF ，2MF 与1NF 的交点为P ，试问12PF PF +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.）27．（2022春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中）已知定点P ，圆Q :216x y +=，N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ．(1)求点M 的轨迹Γ的方程；(2)直线l :x ky n =+与曲线Γ相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过点C （2，0），求ABC 面积的最大值.(1)因为N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ，28．（2022春·广东广州·高二广州科学城中学校考期中）已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，当OMN 的面积最大时，求l 的方程．（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．29．（2022秋·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）曲线Γ上动点M到A（﹣2，0）和到B（2，0）的斜率之积为﹣1 4．（1）求曲线Γ的轨迹方程；（2）若点P（x0，y0）（y0≠0）为直线x＝4上任意一点，PA，PB交椭圆Γ于C，D两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【点睛】熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系及函数单调性是解题关键30．（2022春·广东汕头·高二金山中学校考期中）已知椭圆()22:10,0x y C a b a b+=>>的焦距为，经过点()2,1P -．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM NO =，直线PM PN ，分别交椭圆于A ，B ．PQ AB ⊥，Q 为垂足．是否存在定点R ，使得QR 为定值，说明理由．。

圆锥曲线综合训练题(分专题-含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -=（2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．】解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-k y k x . ,由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为∴所求椭圆方程为1315422=+yx 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． — 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =，即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，<即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=， 2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ） e c a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即;则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. ,9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线综合试题[全部大题目]附答案解析.docx

1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦•设过抛物线2X =2Py外一点P(x°,y°)的任一直线与抛物线的两个交点为C、D,与抛物线切点弦AB的交点为Q。

(1)求证: 抛物线切点弦的方程为χ0χ= p(y+ y0)；(2)求证：1 1 2. PC IPDl IPQl2.已知定点F( 1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交X轴于点M并延长MP到点N 且PM PF =0,∣ PM UPN |.(1)动点N的轨迹方程；(2)线I与动点N的轨迹交于A，B两点，若OAOB- -4,且4 .. 6 AB 4 30 ,求直线I的斜率k的取值范围.2 2 2 23.如图，椭圆C V的左右顶点分别为A B P为双曲线C2「「1右支上(X轴上方)一点，连AP交G于C,连PB并延长交G于。

，且厶ACD与^ PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.4.已知点M (-2,0), N (2,0),动点P满足条件| PM | - | PN卜2、、2 .记动点P的轨迹为(I)求W的方程；O是坐标原点，求(∏)若代B是W上的不同两点,2 25. 已知曲线α的方程为:kx +(4- k)y =k+1,(k ∈R)(I)若曲线C是椭圆，求k的取值范围；(∏)若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程；(川)满足(∏)的双曲线上是否存在两点P, C关于直线I : y=x-1对称，若存在，求出过P, C的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图(21)图，M(-2 , 0)和N(2, 0)是平面上的两点，动点P满足：PM + PN = 6.(1)求点P的轨迹方程；2⑵若PM -PN = ------------------------ ,求点P的坐标.1 —cosNMPN2 27. 已知F为椭圆y2 =1 (a b 0)的右焦点，直线I过点F且与双曲线a b2 2X V〒二1的两条渐进线∣1,∣2分别交于点M , N ,与椭圆交于点A, B.a b(I )若.MON ,双曲线的焦距为4。

(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。

(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)

当 0 m 1 时，
y2 1
x2 1
1, e2
a2 b2 a2
1m
3,m 4
1 ,a2 4
1 m
4, a
2
m
20． x2 y2 1 20 5
设双曲线的方程为 x2 4 y2 , ( 0) ，焦距 2c 10, c2 25
5 /9
当
0 时，
x2
y2
1,
4
25,
20 ；
4
当
0
时，
y2
x2
1,
(
)
4
25,
20
4
21． (, 4) (1, ) (4 k)(1 k) 0, (k 4)(k 1) 0, k 1,或k 4
22． x 3 2 p 6, p 3, x p 3
2
22
23．1
焦点在 y 轴上，则 y2 x2 1, c2 5 1 4, k 1
28． ( 7, 0) 渐近线方程为 y m x ，得 m 3, c 7 ，且焦点在 x 轴上 2
29． b2 a2
设A( x1 ,y1), NhomakorabeaB(x2 ,
y2
)
，则中点
M
(
x1
2
x2
,
x
, 2
x2
8x
4
0,
x1
x2
8,
y1
y2
x1
x2
4
4
中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) (4, 2)
2
2
27． , 2
t2 设 Q(
,t) ，由
PQ
a
t2 得(

圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

圆锥曲线1．设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =（其中O 为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．2 ．已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1F ,而且过点12H ⎫⎪⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. 4设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅ay b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5 、直线l ：y = mx + 1，双曲线C ：3x 2 - y 2 = 1，问是否存在m 的值，使l 与C 相交于A , B 两点，且以AB 为直径的圆过原点6 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为F 1（-2，0），F 2（2，0），点P 在曲线C 上。

(完整版)圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

圆锥曲线1．设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =u u u r u u u r（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．2 ．已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1F ,而且过点12H ⎫⎪⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.4设)0(1),(),,(22222211>>=+b a b x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅a y b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5 、直线l ：y = mx + 1，双曲线C ：3x 2 - y 2 = 1，问是否存在m 的值，使l 与C 相交于A , B 两点，且以AB 为直径的圆过原点6 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为F 1（-2，0），F 2（2，0），点P 在曲线C 上。

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案[1]

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1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋；（2）求证：112||||PCPD PQ +=。

2。

已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ (1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3。

如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方)一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D,且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=。

记动点P 的轨迹为W 。

(Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ)若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值。

圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

.xy1A 2ATG PMON 圆锥曲线1．设椭圆222:12x y M a +=()2a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．2 ．已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()13,0F -,而且过点13,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.4设)0(1),(),,(22222211>>=+b a b x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅a y b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.xy O PF QA B5 、直线l：y = mx + 1，双曲线C：3x2- y2 = 1，问是否存在m的值，使l与C相交于A , B两点，且以AB为直径的圆过原点6 已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的两个焦点为F1（-2，0），F2（2，0），点P(3,7)在曲线C上。

完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)

完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)圆锥曲线综合练1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上，焦距为 4，则 $m$ 等于（）A。

4B。

5C。

7D。

82.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为frac{\sqrt{5}}{2}3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为24.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是frac{\sqrt{5}}{2}5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$，$N$ 两点，$O$ 为坐标原点，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。

若 $OM\perp ON$，则双曲线的离心率为frac{\sqrt{5}+1}{2}6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 是该椭圆上的一个动点，则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是sqrt{2}7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距离为2\sqrt{5}8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点，$M$，则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x-5)^2+y^2=1$ 上的点，的最大值为99.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上，且 $P$ 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为210.在正三角形 $ABC$ 中，$D\in AB$，$E\in AC$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$，则以 $B$，$C$ 为焦点，且过 $D$，$E$ 的双曲线离心率为frac{3+\sqrt{5}}{2}11.两个正数 $a$，$b$ 的等差中项是 $5$，一个等比中项是 $25$，且 $a>b$，则抛物线 $y^2=-x$ 的焦点坐标是left(-\frac{5\sqrt{21}}{21},0\right)12.已知 $A_1$，$A_2$ 分别为椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的左右顶点，椭圆 $C$ 上异于$A_1$，$A_2$ 的点 $P$ 恒满足 $k\cdot PA_1\cdot k\cdotPA_2=-1$，则椭圆 $C$ 的离心率为frac{3}{5}13.已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $A$ 在第一象限内且在椭圆上，点 $B$ 也在椭圆上。