07高数(下)期末试题AB1

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2007级高数(下)试题及答案

南昌大学 2007～2008学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设32,2,a i j k b i j k =--=+- 则(2)(3)a b -⋅=_____.2. 函数 2222ln[(25)(4)]z x y x y =--+- 的定义域是____________________________________. 3. 设函数(cos sin )x z e y x y =+, 则10x y dz ===_______.4.交换累次积分的次序(,)1dyf x y dx =⎰⎰________.5. 微分方程2'y y x=的通解为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是( B ).(A) 3540x z --=. (B) 37540x y z -+-=. (C) 350x y z ++= (D) 75120x y z -+-=. 2．设 2uz v=, 而 2,2u x y v y x =-=+, 则z x∂=∂( A ).(A)()()()22232x y x yy x -++. (B) ()222x y y x-+.(C) ()()2232x y x y y x-+-+. (D)()()22222x y y x -+.3．设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 取得极小值,则下列结论正确的是 ( B ). (A) 0(,)f x y 在0y y =处的导数大于零.(B) 0(,)f x y 在0y y =处的导数等于零. (C) 0(,)f x y 在0y y =处的导数小于零. . (D) 0(,)f x y 在0y y =处的导数不存在. 4．设L 为取正向的圆周224x y +=, 则曲线积分22()()Lx y dx x y dy ++-⎰ 之值为 ( A ).(A) 0. (B) 4π. (C) 4. (D) π. 5．函数()cos f x x =关于x 的幂级数展开式为 ( D ). (A) 2421(1)(11) n n x x x x -+-+-+-<<(B) 2421(11) n x x x x +++++-<<. (C) 21(11) n x x x x +++++-<<.(D) 2421(1)()2!4!(2)!nnxxxx n -+-+-+-∞<<+∞.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．求与两平面 43x z -= 和 251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程.2．设(,),z f u v =而,y u xy v e ==,且f 具有二阶连续偏导数,求z x y∂∂∂2.四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算曲线积分222(2)()y y L xe y dx x e y dy -+-⎰, 其中L 是由点(,0)A a 沿上半圆周22(0)x y ax a +=> 到点(0,0)O 的弧段.2、利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰,其中∑为上半球面z =的上侧。

同济大学高等数学第七版下册系列练习题答案

《高等数学》期末练习题1答案题目部分，（卷面共有25题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共30分）1-5．BCAAC 6-10．ABADC 二、填空（5小题，共10分）1．答案：π-arccos 452．答案：平面y x =上的所有点。

3．答案：-16xy4．答案：2220().d f r rdr πθ⎰⎰5．答案：1201611+-三、计算（8小题，共48分）1．答案：过点P 1021(,,)-，l 1方向向量为S 1221=-{,,}，过点P 2131(,,)-，l 2方向向量为S 2421=-{,,}，n S S P P =⨯==-12126012152{,,},{,,}距离为d P P n n ==⋅=Prj ||/||12152．答案：cos cos αβ==22∂∂∂∂z xzy==11，所以∂∂z n =+=222223．解：d d d u u x x u y y =+∂∂∂∂=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪1x e y x y xx y yx sin cos d d 4．解：由z x z y x y =-==+=⎧⎨⎩220240，得D 内驻点(1，－2)，且z (,)1215-=-在边界x y 2225+=上，令L x y x y x y =+-+-++-2222241025λ()由L x x L y y L x y x y =-+==++==+-=⎧⎨⎪⎩⎪2220242025022λλλ得x y =±=525, ，(()zz 5251510552515105-=--=+比较后可知，函数z 在点(,)12-处取最小值z (,)1215-=-在点(-525,处取最大值()5101552,5+=-z 。

5．解：原式1212001==⋅=⎰⎰⎰⎰dx xydy xdx ydy 6．解：212321xxI dx dy x y zdz=⎰⎰⎰2221027112168516xdx xy dy x dx ===⎰⎰⎰7．解：消z 后，可得L 的参数方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t z t y t x sin 21sin 21cos 0t2πt t t t t s d d cos 21cos 21sin d 222=++=，故⎰Lsxyz d 61sin 21sin 21cos 2=⋅⋅=⎰πtdt t t 8．答案：()41122lim lim1=++=∞→+∞→n n a a n nn n ∴级数的收敛半径41=R 四、判断（2小题，共12分）1．解：设f x x x()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪1221，于是()ln ()ln f x x x=-+22取极限lim ln ()lim ln()lim x x x f x x x xx →∞→∞→=-+=-+202222=0故lim ()x f x →∞=1，从而有lim n nn →∞+⎛⎝⎫⎭=12121，故而12211n nn +⎛⎝ ⎫⎭⎪=∞∑发散。

高等数学下期末试题七套附答案

高等数学（下）试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数11z x y x y =++-的定义域为（2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程2222xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（）A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（） A.22530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.24530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（）A. 2B. 1C. 12 D. 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（） A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂ 得分阅卷人3、设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值 5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy∑+-⎰⎰Ò，其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)' 2、（1）判别级数111(1)3n n n n∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数24x y z -=的定义域为；（2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则L yds =⎰ ；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（）； A.2()x ax b e + B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（）；A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（）.A. 2B. 1C. 12 D. 2 三．计算题（每题8分，共48分）5、求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ . 7、设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin 3n nnn π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰ .5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx = .得分阅卷人得分二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的间断点（A ）可去（B ）跳跃（C ）无穷（D ）振荡2、积分10⎰= .(A) ∞ (B)(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。

2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷

2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．假定函数f (x,,y )在点),(0y x 处取得极大值，此时下列结论正确的是【】（A ）0(,)f x y 在0x x =处导数等于零. （B ）0(,)f x y 在0x x =处导数大于零.（C ）0(,)f x y 在0x x =处导数小于零. （D ）0(,)f x y 在x x =处导数未必存在.2． 222222ln()1z x y z dxdydz x y z Ω+++++⎰⎰⎰(其中Ω为2222xy z ++≤)的值等于【】（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） -1 3．级数21(1)ln nn n∞=-∑ 的敛散情况是【】（A ）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）敛散性不能确定4．将三重积分dvz y xI ⎰⎰⎰Ω++=)(222，其中1:222≤++Ωz y x，化为球面坐标下的三次积分为【】（A ）⎰⎰⎰120drd d ππϕθ （B ） ⎰⎰⎰1220rdrd d ππϕθ（C ）⎰⎰⎰1420sin drr d d ϕϕθππ（D ） ⎰⎰⎰12020sin drr d d ϕϕθππθϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素5．定义在[,]ππ-上的函数()||f x x =展开为以2π为周期的傅立叶级数，其和函数记为)(x S ，则=)(πS【】（A ）0 (B) π（C ）π- （D ）2π二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线32,,t z ty t x ===在点),1,1,1(--P 处的切线方程为___________________ ，法平面方程为12．计算二次积分2()a x y aI a dx e dy-=⎰⎰,其中实数0a >，并求极限lim ()a I a →+∞13．利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑+-=,2dxdy z xdzdx ydydz I 其中∑是锥面22y x z +=介于平面0z =与平面3z =之间部分的外侧.14．已知曲线积分()[]⎰'+-=),()0,0()()(,y x x dyxydxxeyxIϕϕ与积分路径无关，其中()xϕ是二阶可导函数，且(0)0ϕ=，0)0(='ϕ.1.求()xϕ；2.求)1,1(I.15．求（1）幂级数112n n n n x ∞-=∑的收敛域；（2）幂级数112n nn n x ∞-=∑的和函数；（3）级数1(1)2nnn n ∞=-∑的和.16．函数)(x f 具有连续的导数，满足0()()d 1x ax xf x e f at t ae +=+⎰，且(0)2f a =，求a 的值及函数)(x f .12()(2)x x e xe xf x e e ee--+-+=-+四、证明题: 本题共1题，6分.17. 已知无穷级数2n n u ∞=∑满足 22222ln 1xy nx y a nun dxdyπ--+≤=-⎰⎰,其中实数0a >, 证明: 级数2n n u ∞=∑ 当1a >时收敛; 当1a ≤时发散, 但2(1)nnn u ∞=-∑ 总收敛.北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷参考答案一、单项选择题1． D 2． C 3．A 4． C （θϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素）5． B二、填空题 6．312111+=--=+z y x 0632=++-z y x7． 44a π8．544x - )4,4(-9．3,2==b a 310．dy dx dz 2121+=三、计算题11．解：设 ,x u y x v ye =-=，则''x u v zf ye f x∂=-+∂ ()()2'''''''''''''''2'''()1x x u v uu uvx x x vu vv v x x x uu uv vv v z f ye f f e f x y yye f e f e f f e y f ye f e f ∂∂=-+=--∂∂∂+++=-+-++12．解：()2222211.2a xa aa yy y y a xa y a dx edy dx edy dy edxyedy e -----=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而1lim ()2a I a →+∞=-。

高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20213cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。

高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)

高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=log(a,(x+y))的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。

2、二重积分22ln(x+y)dxdy的符号为负号。

3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(x+y-e-1)dxdy，其值为1/2.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t),y=ψ(t)}(α≤t≤β)，则弧长元素ds=sqrt(φ'(t)^2+ψ'(t)^2)dt。

5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∬(x+y+1)ds=27√2.6、微分方程y'=ky(1-y)的通解为y=Ce^(kx)/(1+Ce^(kx))，其中C为任意常数。

7、方程y(4)d^4y/dx^4+tan(x)y'''=0的通解为y=Acos(x)+Bsin(x)+Ccos(x)e^x+Dsin(x)e^x，其中A、B、C、D为任意常数。

8、级数∑n(n+1)/2的和为S=1/2+2/3+3/4+。

+n(n+1)/(n+1)(n+2)=n/(n+2)，n≥1.二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B）f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。

2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x^2+y^2等于（B）x。

3、设Ω：x+y+z≤1,z≥0，则三重积分I=∭Ω2z dV等于（C）∫0^π/2∫0^1-rsinθ∫0^1-r sinθ-zrdrdφdθ。

4、球面x^2+y^2+z^2=4a^2与柱面x^2+y^2=2ax所围成的立体体积V=（A）4∫0^π/4∫0^2acosθ∫0^4a-rsinθ rdrdφdθ。

07级工科《高等数学》下试题.doc

《高等数学》（下）试题（A）闭卷（7）适合专业年级：07环科、电商、计算机、食工、电气、贪质、建环;水利、农机；木科、土管（农）、环规；地理、土管（测）；生态、城管等姓名_学号专业______________ 班级____________木试题•一共五道大题，共4页，满分100分，考试时间120分钟。

总分题号—‘二三四五阅卷人题分1012125610核分人得分注：1.答题前，请准确、清楚地填各项，涂改及模糊不清者、试卷作废。

2.试卷若有雷同以零分计。

一.是非题（每小题2分，共10分.正确打人错误打X.） 1、limw n=0是级数$人收敛的充要条件.zt=l7. ¥级数含一^x"的收敛半径n=\ (- 3)'1A. ¥8. 3 C. 2 D. 1A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、若曲而27:x2 + y2 +^2= a2，则孙？ +/ +ZZ 2)dS =(级数a (-i) Zl-\fn是绝对收敛.3、若V为W的体积一半，则dxdydz = 2V .4、常微分方程;v it 4），= 0的特征根是土2 .5、若向量场，则旋度^+―^+―& 拽V二、选择填空（每小题3分，共12分.）6、f(x,y)dy =C. ^dy^f(x,y)dx B. ' f(x,y)dxD. ' f(x,y)dxA. pa4B. 2pa4C. 4pa4D. 6pa4三、填空（每小题4分，共12分）0办= __________________ 10、若户^，”，^（人:^在^巧平而内积分与路径无关，则$/^+11、c os«是有向曲面S在处的法向量的方向余弦，由两类曲面积分关系，有虫科P cos adS = ____________12、对于微分方程y it f （y, y），若令尸= ________ ，y & _____________ ，则化为降阶可解.四、解答题（每小题7分，共56分）A xds ,其中，L是上半岡周x2+y2=2x, 0.13、i in6 [e、cosx_ y]dx-^- [e y sinx+ y- x]dy ,其中，L 力4x2 + 9），2 = 36 在14、计算 / =第一象限中的部分，从点（3,0）到（0,2）.2 215、I = x2dydz + y2dzdx+ z2dxdy ,其中，S ：—7+ -p- 1，外侧.c16、计算/= cos yjx2 + y2 dxdy,其中，D:x2 y2P2.1)17、计算/=龄斗(x2+ >,2 + z2- z)dxdydz，其屮，W: x2 + + z2a2.~ x n+118、求¥级数x? ( 1,1)的和阑数S(x). H=I n20、求微分方程x2/ + xy = y2,刈）=-1的特解.五、综合题（本题10分）21、已知/（0）=0, /<x）= /（0^+2,（1）求/（x），（2）把/（x）展开成又的¥级数.07级《高等数学》（下）试题A参考答案和评分标准（2007-2008学年第2期）一、是非题（毎小题2分，共10分.正确打V，错误打X.） XXV XX二、选择填空（每小题3分，共12分.）DBAC三、填空（毎小题4分，共12分）2 2 215、计算/ — 觀 x 2dydz + y 2dzdx + z,2clxdy , s:*+fr+fr=i ，外侧‘解根据高斯公式及三重积分的对称性质，得 /=齦 x 2dydz + y 2dzdx+ z 2dxcly =虫科（2x+ 2y+ 2z ）dv= 016、计算/=虫科 cos^/x 2+)，2 dxdy ，其中 £>:x 2+y解极坐标计算< dJ () cosr ?rJr 2p ?[r sin r cosrj = -4p (7 分)四、解答题（毎小题7分，共56分）13、计算义也，£是上半圆周X2+），2=2X ,0.z , ,x = 1 + cosf，z 解令. (0 < z < ^), y = sin t(3分)则虫,(1 + cos t)yj(- sinz)2 + (cos ，)2t/z = p（7分）14、计算/= 6IX C0SA '- y]dx+ [e y sinx+ y- x]dy , K 中 L 为 4x 2+9y 236在第一象限中的部分，从点（3,0）到（0,2）.解由于#=fcosx- 1=所以曲线积分与路径无关.选择折线路径(3,0)(0,0) (0,2)（3分）d K cosx- y]dx+ [e ysinx+ y- x}dyos xdx + ydy= 2 - sin 3（7分）（7分）a'2P 217、计算/=虫科(x2+ )’2+ z2- ^)dxdydz ,其•中，V : %2 + V2 + z2a2解山球平.标和对称性I =虫柳科^2+/+ z2）dxdydz-嫩zd 又dydz （3分）dJ siny dj（7分）°° w+i18、求幂级数, jv? （ 1，1）的和函数只x）./?=!x n解令久⑴二刃二，X?（ 1，1），逐项求导得, trr noo'1=1n=l 1-X（3分）因此，5,(x)= Q ------- d t= - ln(l- x)，x? ( 1，1)z o1所以，S(x) = xS} (%) = -x ln(l -x), xe (-1J) （7分）19、/（x）周期是2p,—个周期闪/（%）= •x2，（-/? < x /?），把/（x）展开成企弦级数.解：6Z0 = —x2dx= -^―2 P 7a、、=— A cos nxdx =4l)n—,(H= 1,2,3,L)显然，b n= 0，（n= 1，2，L ）（5分）*7 2f(x) = —+ cosnx= —+ (- l)n— cosnx , x? ( ?，) (7 分)2 n=i3 M=i n20、求微分方程x2/ + ;vy = y2, }<1)= - 1的特解.解(1)变形得 Bernoulli 方程y0+ x J y= Z 2y2两端同除以y2，令还-/2z，i ； - ] - 2 o - I - 2-Z x z= X ! z X z= - Xx [（ix11+ 2Cx 2clx+ c =——+ Cx= ------------2x 2x由 y （l ）=- 1，得 C=3，（6分）所求特解为v= （7分）1- 3x 2五、综合题（本题10分）21、已知/（0）=0, /<x ）= Q 綾八 f （f ）dt+ 2, （1）求/0），（2）把/0）展开成x 的¥级数.解⑴ /如）=2，- /（x ）,记尸/（x ），得yiib ），= 2e\y （0）= 0，y （0）= 2 ①（2 分）特征方程r 2+ 1= 0,特征根r, 2 = i对应齐次方程通解y= C, cos%+ C 2sin%（4分）2x3 y=I7^’ 由）’（卜1 得（6分）所求特解>，=2x1- 3x 2（7分）解（2）将原方程变形，得// \22、义/XUdxu+ x —^代入上式，得clu X ——=U dxdx2- 2u（3分）分离变W:积分得u — 2 2 "" y ~2 C?,即Cx（3分）因为/ = 1不是特征根，可设特解代入方程①得A = 1)，(0) = 0, ><0) = 2 得 = - 1，C 2 = 1 所以 /(x)= sinx • cosx+ e x （7分）(2) /(%)= sinx- cosx+ e x s_丄人丄人丄•V + —X' 3! 5!7! X 7 + LT丄义2 + 2! 4! 6! x 6 + L+ %+ — 4- —x 3 + —x 4 + —x 5 + —x 6 + —%7L $2! 3! 4! 5! 6! 7!A '9+io!x ，° +L 4zi+l (4n+ 2)! 4n+2Z（10 分）。

高等数学（同济）下册期末考试题及答案（5套）

大学高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分òò£++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(b a y j ££îíì==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++òòåds y x )122（。

6、微分方程xyx ydx dytan+=的通解为的通解为。

7、方程04)4(=-y y的通解为的通解为。

8、级数å¥=+1)1(1n n n 的和为的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；处连续；（B ）),(y x f x¢，),(y x f y¢在),(00y x 的某邻域内存在；的某邻域内存在；（C ） yy x f x y x f z yxD ¢-D ¢-D ),(),(0当0)()(22®D +D y x 时，是无穷小；时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim22000000=D +D D¢-D ¢-D ®D ®D y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y xyf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yu y x u x ¶¶+¶¶等于（等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

高等数学(工本)真题2007年下半年

高等数学(工本)真题2007年下半年(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系中，点P(-1，2，-3)关于oyz坐标面的对称点是( ) A．(1，-2，3) B．(1，2，-3)C．(-1，2，3) D．(-1，-2，-3)（分数：3.00）A.B. √C.D.解析：2.设函数f(x，y)满足f x(x0，y0)=(x0，y0)=0，则函数f(x，y)在点(x0，y0)处( ) A．一定连续 B．一定有极值C．一定可微 D．偏导数一定存在（分数：3.00）A.B.C.D. √解析：3.设区域D是由直线y=2x，y=3x及x=1所围成，则二重积[*]=( )[*]（分数：3.00）A.B. √C.D.解析：4.已知二阶常系数线性齐次微分方程y"+y'+qy=0的通解为y=e x(C1sin2x+C2cos2x)，则常数p和q分别为( )A．-2和5 B．2和-5C．2和3 D．-2和-3（分数：3.00）A. √B.C.D.解析：5.若无穷级数[*]收敛于S，则无穷级数[*]收敛于( )A．S B．2SC．2S-u1 D．2S+u1（分数：3.00）A.B.C. √D.解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设函数z=arctan(x+y)，则[*]= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：7.设区域D：0≤x≤1，|y|≤2，则二重积[*]的值等于 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：8.已知sinxdx+cosydy是某个函数u(x，y)的全微分，则u(x，y)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：siny-cosx+C）解析：9.微分方程[*]的阶数是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：二）解析：10.设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π]上表达式为[*]，s(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数，则s(π)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求过点P1(1，2，-4)和P2(3，1，1)的直线方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(直线的方向向量为[*]所以所求直线方程为[*])解析：12.设函数[*]．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*][*])解析：13.已知方程x2+y2+z2-8z=0确定函数z=z(x，y)，求[*]．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设F(x，y，z)=x2+y2+z2-8z则F x=2x，F y=2y，F z=2z-8[*])解析：14.求函数f(x，y)=2xy-x2-y2在点(1，2)处，沿与x轴正向成60°角的方向z的方向导数．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*][*][*][*])解析：15.求曲面z=2x2+3y2在点(1，1，5)处的切平面方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设F(x，y，z)=2x2+3y2-z，则F x=4x F y=6y F z=-1从而F x(1，1，5)=4 F y(1，1，5)=6 F z(1，1，5)=-1于是，所求切平面方程为4(x-1)+6(y-1)-(z-5)=0即4x+6y-z-5=0)解析：16.计算二次积分[*]．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(交换积分次序得[*] [*])解析：17.计算三重积分[*]，其中Ω是由平面x=1，y=1，z=1及坐标面所围成的区域．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：18.计算对弧长的曲线积分[*]，其中L是抛物线[*]上由点(1，[*])到点(2，2)的一段弧．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*][*])解析：19.计算对坐标的曲线积分[*]，其中L为图中的有向折线ABO．[*]（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：20.已知可导函数f(x)满足[*]，求函数f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(两边对x求导得f'(x)=xf(x)即[*]积分得[*][*])解析：21.求幂级数[*]的收敛半径和收敛域．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]∴收敛半径R=2[*]∴收敛域为(-2，2])解析：22.判断无穷级数[*]的敛散性．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*][*] [*])解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数f(x，y)=x3-4x2+2xy-y2+1的极值．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(∵f x(x，y)=3x2-8x+2y=0f y(x，y)=2x-2y=0∴得驻点为(0，0)，(2，2)而f xx(x，y)=6x-8 f xy(x，y)=2 f yz(x，y)=-2对于(0，0)，有B2-AC=-12＜0，A=-8＜0所以(0，0)是f(x，y)的极大值点，极大值为f(0，0)=1对于(2，2)，有B2-AC=12＞0，所以(2，2)不是f(x，y)的极值点．综上所述，f(x，y)在(0，0)处取得极大值为1．)解析：24.求由平面x=0，y=0，z=0，x+y=1及抛物面z=x2+y2所围成的曲顶柱体的体积．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设D：x≥0，y≥0，x+y≤1[*])解析：25.将函数[*]展开成x的幂级数．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：。

高等数学下期末试题(七套附答案)

x1 y 2 z3
x2
1、求过直线 L1 : 1
0
1 且平行于直线 L 2 ： 2
z
z
2、已知 z f ( xy2 , x2 y) ，求 x ， y
D
3、设
{( x, y) x2
y2
4} ，利用极坐标求
x2dxdy
D
C. (ax b) cex
y1 z 1 1 的平面方程
1 / 22
4、求函数 f (x, y) e2x ( x y2 2 y) 的极值
1 1x
x0
1 1 ex 1
2
x0
f (x
求0
x 2 及 y2 x 所围图形的面积；
1)dx (6 )
（ 2）求所围图形绕 x 轴旋转一周所得的体积。 (6 )
高等数学（下）模拟试卷四
一．填空题（每空 3 分，共 15 分）
1 y
1 x2
1、函数
x
的定义域为
.
e axdx, a 0
2、 0=Fra bibliotek.z
3 ．已知 z
e xy ，则
(1,0 )
x
。
4 ．设 L 为 x2
y 2 1 上点 1,0 到
1,0 的上半弧段，则
2ds
L
。
e
ln x
dx f ( x, y)dy
5 ．交换积分顺序 1
0
。
( 1) n
6 . 级数 n 1 n 是绝对收敛还是条件收敛？
。
7 ．微分方程 y sin x 的通解为
。
二．选择题（每空 3 分，共 15 分）
x
2
d 2y
1、已知 y 1 t ，求 dx2

2006+2007+2008+2009+2010高数第二学期期末考试卷(综合)

一。

偏导数的几何应用1、[07]曲线cos :sin x a ty a t z ct=⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩在点(),0,0a 的切线方程为0x a y z a c -==. 2.[07]（化工类做）在曲面22122z x y =+上求出切平面，使所得的切平面与平面42210x y z ---=平行。

解：曲面的法向量{}4,,1n x y =-应与平面平面42210x y z ---=的法向量平行，从而有411,1,4222x y y x -==⇒=-=--，由于切点在曲面上()221121122z ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 因此切平面为()()1421210,2102x y z x y z ⎛⎫--+--=---= ⎪⎝⎭3.[2006]已知直线34:273x y zL ++==--和平面:4223x y z ∏--=则（ B ） A 、L 在∏内 B 、L 与∏平行，但L 不在∏内 C 、L 与∏垂直 D 、L 不与∏垂直，L 不与∏平行4.[2006]曲面23z z e xy -+=在点()1,2,0处的法线方程是12420x y z--== 5. [2006]（化工类做）已知直线1210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩和2112:123x y z L -+-==，证明：12//L L ，并求由12,L L 所确定的平面方程。

证明：直线1L 上任取两点()()0,1,2,1,1,1--，则{}11,2,3S =--是1L 的方向向量；2L 的一个方向向量为{}21,2,3S =-，因为12//S S ，所以12//L L设12,L L 所确定的平面方程为0Ax By Cz D +++=，它经过点()1,1,2-和点()()0,1,2,1,1,1--，所以2022000A B C D A DB C D B D A B C D C -++==-⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪--+==⎩⎩所求方程为210x y --+=二。

高数下期末考试试卷及答案（精选.）

⾼数下期末考试试卷及答案（精选.）2017学年春季学期《⾼等数学Ⅰ（⼆）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地⽅⼀、单项选择题（8个⼩题，每⼩题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填⼊下表中．1．已知a 与b都是⾮零向量，且满⾜-=+a b a b ，则必有（）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ).(A) 0(B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，df f =?的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点（B ）驻点，⾮极值点（C ）极值点，⾮驻点（D ）⾮驻点，⾮极值点 5．设平⾯区域2 2:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=，2DI σ=，则有（）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=??（）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（）. （A ）若级数1 nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散（B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散（C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛⼆、填空题(7个⼩题，每⼩题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=?与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的⽅向的⽅向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，⼆重积分()d Dx y σ-??= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+在柱⾯坐标系下的三次积分为 .6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤??=?+<≤??以2π为周期延拓后，其傅⾥叶级数在点x π=处收敛于 .三峡⼤学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………三、综合解答题⼀（5个⼩题，每⼩题7分，共35分，解答题应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其，u y ??．解： 2．求曲⾯e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平⾯⽅程及法线⽅程．解：3.交换积分次序，并计算⼆次积分0sin d d xyx y yππ．解：4．设Ω是由曲⾯1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=.解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和．解：三峡⼤学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………四、综合解答题⼆（5个⼩题，每⼩题7分，共35分，解答题应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的⼀切直⾓三⾓形中，求有最⼤周长的直⾓三⾓形．解2．计算积分22()d Lx y s +?，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：3．利⽤格林公式，计算曲线积分2I xy x x xy y =+++??，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4．计算d x S ∑，∑为平⾯1=++z y x 在第⼀卦限部分.解：5．利⽤⾼斯公式计算对坐标的曲⾯积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥⾯222z x y =+介于平⾯0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡⼤学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………xO 2y x =2x y =y D2017学年春季学期《⾼等数学Ⅰ（⼆）》期末考试试卷(A)答案及评分标准⼀、单项选择题（8个⼩题，每⼩题2分，共16分）1．已知a 与b 都是⾮零向量，且满⾜-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0?=a b ； (D)?=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y →→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =?的是( B )；（A ） (,)f x y xy =；（B ）00(,),f x y x y c c =++为实数；(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=.4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点；（B ）驻点，⾮极值点；（C ）极值点，⾮驻点；（D ）⾮驻点，⾮极值点. 5．设平⾯区域D ：2 2(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ）（A ）123I I I <<；（B ）123I I I >>；（C ）213I I I <<；（D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=??（D ） (A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12．7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ）（A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21n∞=∑也发散；（B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散；（C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．⼆、填空题(7个⼩题，每⼩题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=?与z 轴相交，则常数a 为 3 。

2007年湖北荆门市高一下学期期末考试数学试卷

2007年湖北荆门市高一下学期期末考试数学试卷参考答案一、二、填空题： 11．11 12．0<ω≤3213．),2()2,21(+∞⋃-14．②③ 15．（1）7.5米（2分）（2） 23π（3分）三、解答题：16．课本P 48中的例3改编。

解：原式＝ooo cos 40cos 40cos101(1cos 40)2++＝o o o o oo12(cos10)222[cos40+cos40]cos101cos40⋅+ ＝oooo o o osin 402(cos40+2cos 40)2(cos401)cos10=21cos401cos40⋅+++＝ ……………12分17．解：由于(,),(1,)a x m b x x ==-，所以()2(1)f x a b x m x =⋅=-++。

（1）当m=3时，()24f x x x =-+，不等式f （x ）<x 即24x x x -+<，解得x <0或x >3。

所以m=3时，不等式f （x ）<x 的解集为(,0)(3,)-∞+∞． ……………6分（2）如果2()(1)f x x m x =-++在()2,-+∞上单调递减，则有122m +≤-，解得5m ≤-，所以实数m 的范围是(,5]-∞-。

……………12分18．解：（1）∴a ＝（3，－4），a ＋b ＝（4，－3），∴b = （1，1）∴31cos 5θ⋅⨯+===a b |a ||b | ……………4分 ∵0≤θ≤π，∴102arccos-=πθ ……………6分（2）若向量a 与b 是线相关的，则存在不全为零的常数βα、，使αβ+=0a b ，即)0,0()4,3(=+-+βαβα ……………8分∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+000403βαβαβα ……………10分与βα、不全为零矛盾因此向量a 与b 是线性无关的． ……………12分19．解：（I ）∵{a n }为等差数列，∴()1666662a a S +==∴1622a a += 又a 1·a 6=21，∴a 1、a 6是二次方程x 2－22x +21=0的两根……3分又公差d>0，∴a 6>a 1，∴a 1=1，a 6=21。

高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。