广东省届高三七校第一次联考(文数)资料

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2024届广东省东莞市虎门中学等七校高三上学期联考数学试题及答案

东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A. ∅B. SC. TD. Z2. 在复平面内，复数z 对应点为()1,1-，则1iz=+（）A. 2 B. 1C. D.123. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（）A. ()()0f x f x -->B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤ D. ()()0f x f x ⋅->4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（）A. 1B. 1- C.23D. 23-7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（）的A. 9B. 8C. 3D.838. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a 上的投影向量为（）A ()2,0 B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x 568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r 增大10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下..列结论正确的是（）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．14. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-值为______.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率的是________．16. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC 的面积为ABC 的周长.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.05000100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投.进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A. ∅B. SC. TD. Z【答案】C 【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.2. 在复平面内，复数z 对应的点为()1,1-，则1iz=+（）A. 2B. 1C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，所以1i z =-.所以()()()()212i i i 1i 1i 1i i 21i 1i 11i z -⨯----+====-+++⨯，所以11iz ==+.故选：B.3. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（）A. ()()0f x f x --> B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤D. ()()0f x f x ⋅->【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()()()()2=0f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=-≤⎣⎦⎣⎦，又()0=0f ，∴()20f x -≤⎡⎤⎣⎦，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<【答案】B 【解析】【分析】设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，即可判断大小．【详解】解：设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，则40n a =，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．设投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，则10400A =；101091010105502B ⨯=⨯+⨯=；10100.4(12)409.212C -==-，所以101010B C A >>．故选：B ．【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得()y x x t =-的单调性，从而可求得t 的取值范围.【详解】因为函数e x y =在R 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数()y x x t =-在()2,3上单调递减，则32t≥，解得6t ≥.故选：A6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（）A. 1B. 1- C.23D. 23-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】如图所示，由ABC 是边长为2的等边三角形，且13BD BC = ，可得AD AB BD =+，所以()2222cos120233AD BC AB BD BC AB BC BD BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-.故选：D.7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（）A. 9 B. 8C. 3D.83【答案】C 【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知113a b+=，1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21a b ==时取等号.故选：C8. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a上投影向量为（）A. ()2,0B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-【答案】D 【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】b 在a 上的投影向量为.()··30,3a b a a a a=-=-故选：D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912的y 1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本相关系数r 增大【答案】ABC 【解析】【分析】计算样本中心点可得验证选项A ；由样本中心点计算 a验证选项B ；根据残差的定义计算验证选项C ；根据相关系数r 的分析验证选项D ．【详解】56891285x ++++==，1720252835255y ++++==，所以样本中心点为(8,25)，则A 正确；由ˆ2.6y x a=+，得ˆ 2.625 2.68 4.2a y x =-=-⨯=，则B 正确；由B 知，ˆ 2.6 4.2yx =+，当5x =时，ˆ 2.65 4.217.2y =⨯+=，则残差为1717.20.2-=-，则C 正确；由相关系数公式可知，去掉样本点(8,25)后，相关系数r 的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r 的大小不变，故D 不正确．故选：ABC ．10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B. ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的图象确定函数的表达式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可结合选项逐一求解.【详解】由图可知：1πππ24126T T ω⎛⎫=--⇒=⇒= ⎪⎝⎭，又()f x 经过点π,112⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈,故π2π,Z 3k k ϕ=+∈，由于ππ,,23ϕϕ<∴=故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π6个单位长度得到，故A 错误，对于B ，()ππππcos 2=sin 2=sin 26623f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确，对于C ， ()2πsin π03f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故C 正确，对于D ，令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得ππ,Z 5ππ1212k x k k +≤≤+∈-，故()f x 的其中两个单调递增区间为7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19π25π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故()f x 在7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故D 错误，故选:BC11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下列结论正确的是（）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO 的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据SO ⊥面ABC ，由cos OCSCO SC<=判断；对于B ，由圆锥SO 的侧面积公式求解判断；对于C ，由π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭求解判断；对于D ，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，易得SDO ∠为二面角S BC O --的平面角求解判断.【详解】对于A ，因为SO ⊥面ABC ，所以SCO ∠是SC 与底面所成角，在Rt SOC △中，圆锥的母线长是，半径2r OC ==，则cos OC SCO SC ∠===，所以SCO ∠=45︒，则A 正确；对于B ，圆锥SO 的侧面积为rl π=，表面积为+4π，则B 错误；对于C ，当点B 与点A 重合时，0ASB ∠=为最小角，当点B 与点C 重合时π2ASB ∠=，达到最大值，又因为B 与A ，C 不重合，则π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又2πSAB ASB ∠+∠=，可得ππ,42SAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则C 正确；对于D ，如图所示，，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，又O 为AC 的中点，则//OD AB ，因为AB BC ⊥，所以BC OD ⊥，又SO ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以BC SO ⊥，又SO OD O = ，BC ⊥面SOD ，故BC SD ⊥，所以SDO ∠为二面角S BC O --的平面角，因为点B 为弧AC的中点，所以AB =，12OD AB ==tan SO SDO OD∠==D 错误.故选：AC.12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔/m第一级阶梯4000≥第二级阶梯10002000~第三级阶梯2001000~若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为1h ，则4011ln ln 10p p h --=，即41110lnp h p =.因为14000h ≥，所以40110ln4000p p ≥，解得010.4ep p ≤A 正确；由0ln ln p p kh -=，得0ekhp p =.当0h >时，0e 1khp p=>，即0p p >，所以03p p >，B 错误；设在第二级阶梯某处的海拔为2h ，在第三级阶梯某处的海拔为3h ，则40224033ln ln 10ln ln 10p p h p p h --⎧-=⎨-=⎩两式相减可得()43232ln 10p h h p -=-.因为[][]231000,2000,200,1000h h ∈∈，所以[]230,1800h h -∈，则4320ln1018000.18p p -≤≤⨯=，即0.18321e p p ≤≤，故0.18232e C,D p p p ≤≤，均正确.故选:ACD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．【答案】10【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.【详解】依题意，2235C (1)10a =-=.故答案为：1014. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-的值为______.【答案】43【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】()222222sin π2sin22sin cos 2tan 4tan 2,2cos 1cos sin cos sin 1tan 3αααααααααααα+---=====----.故答案为:43.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．【答案】1537【解析】【分析】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，由题可得()()(),,P A P B P AB ，后由条件概率公式可得答案.【详解】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，则()11111137343536180P A =⨯+⨯+⨯=， ()1113412P AB =⨯=.则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为()()()115123737180P AB P B A P A ===.故答案为：153716. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.【答案】48π【解析】【分析】当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可.【详解】如图所示，当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，此时11sin 60632P OAB R V R R =⨯⨯⨯⨯⨯= －，故R =，则球O 的表面积为24π48πS R ==.故答案为：48π.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC的面积为ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）6+的【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出1cos 2B =，进而求出B ；（2）根据余弦定理可得到()2312a b ab +-=，再根据三角形面积公式得到 8ab =，即可求出6a b +=，进而求出ABC 的周长.【详解】解：（1）cos cos 2cos a C c A b B += ，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==，∵在ABC 中，0B π<<，∴sin 0B ≠，即2cos 1B =，∴1cos 2B =，即3B π=；（2）由余弦定理得：(222122a c ac =+-⋅，∴()2312a c ac +-=，∵1sin 2S ac B ===，∴8ac =，∴()22412a c +-=，∴6a c +=，∴ABC 的周长为6+.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．【小问1详解】如图，连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D -中,1//BB 1DD 且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形.所以E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，所以//EF 1AD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以//EF 平面11ADD A .【小问2详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为长方体中12A A AD ==,CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A，(0,C，B，F，1B，E .所以(1,CE =，(2,CF =，.设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则0,0,m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111020x z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则1y =，11z =，可得m =.AF =，所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF m d m ⋅== .19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．【答案】（1）3nn a = （2）12【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系计算即可；（2）利用等比数列、等差数列的求和公式及分组求和法求n T ，再由函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】当1n =时，1112332S a a =-=，解得13a =，当2n ≥时，11233n n S a --=-，因为233n n S a =-，所以1122233n n n n n S S a a a ---==-，即13n n a a -=，所以()132nn a n a -=≥，所以，{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为3nn a =；【小问2详解】由题意知：1213n nb n =+-，所以()211112111331122313nn nn n T n ⎛⎫-⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=-+ ⎪⎝⎭-，易知{}n T 在*n ∈N 上单调递增，而1213121311111441150,16911502323T T ⎛⎫⎛⎫=+-<=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足150n T <的n 的最大值为12．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.0500.0100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过0.7t亩产量不超过0.7t 合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？【答案】（1）0.75（2）用河水灌溉是比井水灌溉好.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1求出b 的值，再根据公式求出平均值；（2）运用卡方公式进行求解.【小问1详解】由题：(0.752 1.252 1.75 2.25)0.1=1b ⨯+⨯+++⨯，解得=2b ，所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为：(0.450.750.55 1.250.65 1.750.75 2.250.8520.95 1.25 1.050.75)0.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.75≈；【小问2详解】()()()()222()400(180607090) 6.154250*********n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯，因为6.154 3.841>，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关,用河水灌溉是比井水灌溉好.21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．【答案】（1）最大值点023=p （2）小李应选规则一参加比赛．【解析】【分析】（1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率()f p 的解析式，再利用导数研究其单调性及其最值即可；（2）若选规则一,利用二项分布概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.【小问1详解】由题意得则()()()2446C 1,0,1f p p p p =-∈，则()()()()()24344366C 4121C 146f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦，令()0f p '=，得23p =，当20,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，当2,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在区间2,13⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，所以()f p 的最大值点023=p ．【小问2详解】若选规则一，记X 为小李投进的次数，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．的则2~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2643E X =⨯=，记Y 为小李所得鸡蛋的盒数，则2Y X =，()()28E Y E X ==．若选规则二，记Z 为小李投进的次数，则Z 的所有可能取值为0，1，2，3．记小李第k 次投进为事件()1,2,3k A k =，未投进为事件k A ，所以投进0次对应事件为123,,A A A ，其概率为()()1231255033627P Z P A A A ===⨯⨯=；投进1次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2121121217133333333627P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；投进2次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2212111117133333333327P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．投进3次对应事件为123A A A ，其概率()2228333327P Z ==⨯⨯=，所以Z 的分布列为Z 0123P527 727 727 827所以()577850123272727273E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=；记L 为小李所得鸡蛋的盒数，则4L Z =，()203E L =，因为()()E Y E L >，所以小李应选规则一参加比赛．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分0m ≤和0m >两种情况，得到函数的单调性；（2）变形为12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，构造函数()e (2)xg x x =-，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到0e m <<，再构造差函数，证明出122x x +<.小问1详解】()f x 的定义域为R ，由题意，得e ()1e exx x m f x m'-=-=，x ∈R ，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增；当0m >，且当(,ln )x m ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上，当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在区间(),ln m -∞上单调递减，在区间()ln ,m +∞上单调递增．【小问2详解】证明：由()()122f x f x ==，得1x ，2x 是方程2e xmx +=的两个实数根，即12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根．令()e (2)xg x x =-，则()e (1)xg x x '=-，所以当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()max 1e g x g ==．因为当x →-∞时，()0g x →；当x →+∞时，()g x →-∞，()20g =，所以0e m <<．不妨设12x x <，因为1x ，2x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，则1212x x <<<．要证122x x +<，只需证122x x <-．因为11<x ，221x -<，【所以只需证()()122g x g x <-．因为()()12g x g x =，所以只需证()()222g x g x <-．今()()(2)h x g x g x =--，12x <<，则()22()()(2)e (1)e(1)(1)e e xxx xh x g x g x x x x --'''=+-=-+-=--22e e (1)0ex xx -=-⋅<在()1,2恒成立．所以()h x 在区间(1,2)上单调递减，所以()(1)0h x h <=，即当12x <<时，()(2)g x g x <-．所以()()222g x g x <-，即122x x +<成立．【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.。

2021-2022学年广东省东莞市七校高三(上)联考数学试卷(12月份)(学生版+解析版)

2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣804．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（） A ．5√5π6B ．8√2π3 C ．20√5π3D ．64√2π36．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（）A ．−12B ．13C ．±13D ．27．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（） A ．1B ．2C ．4D ．68．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π311．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝S 17，则下列说法正确的是（） A ．a 8＝0B ．a 9＝0C ．a 1＝S 16D ．S 8＞S 1012．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是（）A ．对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a 2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次．（Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率；（Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD =√2，BC ＝2√2，P A ＝1．（1）求证：AB ⊥PC ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【解答】解：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．故选：C ．2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i【解答】解：∵z ＝1﹣i ，∴z(z +2i)=（1+i ）（1﹣i +2i ）＝（1+i ）2＝2i ．故选：D ．3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣80【解答】解：由于二项式(2x −√x)5展开式的通项公式为T r +1＝C 5r •（2x ）5﹣r(−√x)r =（﹣1）r •25﹣r C 5r x 5−r2，令5−r2=3，解得r ＝4，∴展开式中x 3的系数是（﹣1）4•25﹣4C 54＝10．故选：A ．4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A 33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A 33A 43＝144种排法，故选：B ．5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（） A ．5√5π6B ．8√2π3C ．20√5π3D ．64√2π3【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2，则圆柱的外接球的半径为√2，可得该圆柱的外接球的体积为V =43π×(√2)3=8√2π3．故选：B ．6．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（）A ．−12B ．13C ．±13D ．2【解答】解：∵tan α＝3，则1+cos2αsin2α=2cos 2α2sinαcosα=cosαsinα=1tanα=13，故选：B ．7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（） A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：由题意知，点P 在右支上，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，又e =ca =√3，∴|F 1F 2|=2c =2√3a ，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=9a 2+a 2−12a 22⋅3a⋅a =−13， ∴sin ∠F 1PF 2=2√23，故S △PF 1F 2=12⋅a ⋅3a ⋅2√23=4√2，解得a ＝2， ∴实轴长为2a ＝4，故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1【解答】解：当x ＞0时，f （x ）=lnx x ，∴f '（x ）=1−lnx x 2，令f '（x ）＝0，得x ＝e ，∴当x ∈（0，e ）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，又f （e ）=lne e =1e ，当x ≤0时，f （x ）＝1﹣x 2单调递增，画出函数f （x ）的图像，如图所示，∵函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，即方程f （x ）﹣k ＝0有三个不等实根， ∴函数y ＝f （x ）与y ＝k 有三个交点，由图像可知，0＜k ＜1e，故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →【解答】解：由图知，四边形OABC 为菱形，选项A ，由平行四边形加法法则知，OB →=OA →+OC →，即A 正确；选项B ，|OA →|＝|OC →|=√17，|OB →|=√34，所以不满足|OA →|＝|OC →|=12|OB →|，即B 错误；选项C ，AC →=OC →−OA →=OC →−（OB →+BA →）=OC →−（OB →−OC →）=−OB →+2OC →，即C 错误；选项D ，因为四边形OABC 为菱形，所以∠AOB ＝∠COB ，且|OA →|＝|OC →|，由平面向量数量积的运算法则知，OA →•OB →=OC →•OB →成立，即D 正确．故选：AD ．10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π3【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A ＝2，14×2πω=2π3−5π12，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，故f （x ）＝2sin （2x +π6）．令x =−π12，求得f （x ）＝0，可得函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称，故A 正确；令x =π2，求得f （x ）＝﹣1，不是最值，故函数f （x ）的图象关不于x =π2直线对称，故B 错误；在区间[−π3，π6]上，2x +π6∈[−π2，π2]，函数f （x ）单调递增，故C 正确；当x∈[−π12，23π12]，2x+π6∈[0，4π]，直线y＝1与图象y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的4个交点关于直线2x+π6=3π2对称．设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，则（2a+π6）+（2d+π6）＝2×3π2，（2b+π6）+（2c+π6）＝2×3π2，故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d=8π3，故D正确，故选：ACD．11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，则下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【解答】解：由{a n}是等比数列，得S17=172（a1+a17）＝17a9，又a9＝S17，得a9＝17a9，解得a9＝0，所以选项B正确；由于a8＝a9﹣d，且d≠0，所以a8≠0，选项A错误；由a9＝a1+8d＝0，得a1＝﹣8d，则S16＝16a1+16×152d＝16×（﹣8d）+15×8d＝﹣8d＝a1，所以选项C正确；若该数列a1＜0，d＞0，则当n≤8时，a n＜0，当n＝9时，a n＝0，当n≥10时，a n＞0，此时S8＜S10＝S8+a9+a10，选项D错误；故选：BC．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，DP∥平面AB1D1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3【解答】解：连接DB ，由BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1，得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，得BD ∥平面AB 1D 1，同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1＝D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1， ∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确； V P−A 1DD 1=V C 1−A 1DD 1=13×12×1×1×1=16，故B 正确；当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为12+(√22)2=√62，故C正确；当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为√62，最大值为√2，则PC 长度的范围为[√22，1]，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1，则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[√22，1]．最大值小于√3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ 3 ．【解答】解：令n ＝3时，则随机变量X ～B （3，13），E （X ）=3×13=1∈N ∗，故n ＝3，符合题意．故答案为：3．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ 1 ．【解答】解：函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，则g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）+2+f （x ）+2＝[f （﹣x ）+f （x ）]+4＝0+4＝4，所以g （﹣1）＝4﹣g （1）＝4﹣3＝1．故答案为：1．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 (0，π6) ．【解答】解：函数f(x)=1+12x +cosx ，可得f ′（x ）=12−sin x ，令12−sin x ＞0，因为x ∈(0，π2)，所以，解得x ∈(0，π6)，故答案为：(0，π6)．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 8 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为23•13，第三次操作去掉的线段长度之和为23•23•13，……第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1•13，由题意知，(23)n−1•13≥160，则(23)n ≥130，则nlg 23≥−lg 30＝﹣1﹣lg 3，所以n （lg 2﹣lg 3）≥﹣1﹣lg 3，即n ≤1+lg3lg3−lg2，又lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，可得n ≤8，故n 的最大值为8．故答案为：8．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）当n ＝1时，2S 1＝4，∴a 1＝2，当n ≥2时，2S n−1=(n −1)2+3(n −1)，又2S n =n 2+3n ，两式相减得2a n ＝2n +2，所以a n ＝n +1，故{a n }的通项公式为a n =n +1(n ∈N ∗)．（2）由（1）知1a 2n−1a 2n+1=12n(2n+2)=14×1n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n =14[(11−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n 4n+4． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．【解答】解：（1）因为a sin B cos C +c sin B cos A =12b ，由正弦定理得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ，因为sin B ≠0，整理得sin A cos C +sin C cos A =12，即sin （A +C ）=12，得sin B =12，又a ≥b ，所以0＜B ＜π2，可得B =π6．（2）由（1）知B =π6，若A =π6，可得C =2π3，则S △ABC =12ab sin C =12a 2sin2π3=4√3，所以a ＝4，a ＝﹣4（舍），又在△AMC 中，AM 2＝AC 2+MC 2﹣2AC •MC cos 2π3，所以AM 2＝AC 2+（12AC ）2﹣2AC •12AC cos2π3=42+22﹣2×4×2×（−12）＝28，所以AM ＝2√7．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次．（Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率；（Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ， “该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ，则P （A ）=34P （B ）=45所以P （C ）=34⋅C 21⋅45⋅15=625；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）=(1−34)⋅C20⋅(45)0⋅(15)2=1100，P（X＝1）=(1−34)⋅C21⋅45⋅15=8100，P（X＝2）=34⋅C20⋅(45)0⋅(15)2+14⋅C22⋅(45)2=19100，P（X＝3）=34⋅C21⋅45⋅15=24100，P（X＝4）=34⋅C22⋅(45)2=48100，所以X的分布列为：X01234P11008100191002410048100故E（X）＝0×1100+1×8100+2×19100+3×24100+4×48100=3.1，则该同学得分的数学期望是3.1分．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD=√2，BC＝2√2，P A＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=√2，BC=2√2，可得AB＝AC＝2，故△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又P A∩AC＝A，∴AB⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC．（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，P （0，0，1）， B(√2，−√2，0)，PD →=(0，√2，−1)，AC →=(√2，√2，0)，设PM →=tPD →(0≤t ≤1)，则点M 为(0，√2t ，1−t)，所以AM →=(0，√2t ，1−t)，设平面MAC 的法向量是n →=(x ，y ，z)， {AC →⋅n →=√2x +√2y =0AM →⋅n →=√2ty +(1−t)z =0，令x ＝1，n →=(1，−1，√2t1−t )，又m →=(0，0，1)是平面ACD 的一个法向量，∴|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=|√2t 1−t |√2+(√2t 1−t)=cos45°=√22，解得t =12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量可取n →=(1，−1，√2)，BM →=(−√2，2√2，12)，设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=2√69， ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为2√69．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值．【解答】解：（1）∵直线x +y −√3=0与x 轴的交点为(√3，0)，∴c =√3．又∵e =ca =√32，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0）．由题知过点N （﹣1，0）的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立{x =my −1x 24+y 2=1，整理，得（4+m 2）y 2﹣2my ﹣3＝0，Δ＝4m 2+12（4+m 2）＞0，∴y 1+y 2=2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2．设直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)，联立两条直线方程，解得x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)y 2(x 1+2)−y 1(x 2−2)①，将x 1＝my 1﹣1，x 2＝my 2﹣1代入①，得x =2⋅2my 1y 2+(y 1+y 2)−4y 1(y 1+y 2)+2y 1②，将y 1+y 2=m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2代入②，得x ＝2.−4(m4+m 2+y 1)2(m 4+m 2+y 1)=−4，∴直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值﹣4． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．【解答】解：（1）因为f ′（x ）=1x +a （x ＞0），当a ≥0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，若x ∈（0，−1a）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，若x ∈（−1a，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a ）上单调递增，f （x ）在（−1a ，+∞）上单调递减．（2）证明：因为lnx +x ≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，所以b ≥lnx +x ﹣k （x +1）在（0，+∞）上恒成立，设g （x ）＝lnx +x ﹣k （x +1），所以g ′（x ）=1x +1﹣k （x ＞0），当k ≤1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增，此时b ≥g （x ）不恒成立，当k ＞1时，若x ∈（0，1k−1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，若x ∈（1k−1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）max ＝g （1k−1）＝ln1k−1+1k−1−k （1k−1+1）＝﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，所以b ≥﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，又因为2k+b−2k−1=2+bk−1≥2+−ln(k−1)−k−1k−1=1−ln(k−1)+2k−1，令t ＝k ﹣1＞0， h （t ）＝1−lnt+2t，所以h ′（t ）=lnt+1t 2，当t ∈（0，1e）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减，当t ∈（1e ，+∞）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以h （t ）min ＝h （1e）＝﹣e +1，所以2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．。

2019届广东省重点中学高三上学期第一次联考数学(文)试题含答案

2019届广东省重点中学高三上学期第一次联考试题数学（文）第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1. 已知全集U =R , 集合{}2|20N A x x x =∈-≤, {}2,3B =, 则=)(B C A U A ．∅ B ．{}0 C ．{}1 D ．{}0,12．复数21iz =+，则2z =（） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i3．在等比数列{}n a 中，1344a a a ==，则6a =（） A ．6 B ．8± C ．8- D ．84.函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图象如图所示，则A. )6sin(2π+=x yB. )62sin(2π-=x yC. )3sin(2π+=x yD. )32sin(2π-=x y5．函数22cos ()sin ()44y x x ππ=+-+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π6.已知双曲线14222=-y a x 的渐近线方程为x y 332±=，则此双曲线的离心率是( )A.72B.133C.53D.2137.执行下面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的 S =A ．2B ．3C ．4D ．58．变量x ，y 满足22221x y x y y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为（）A ．[]1,6B ．[]2,6C ．[]2,5D ．[]1,29图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A ．16B ．163C ．83D ．810.已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为( )A ．24B ．32C ．20D ．2811．已知函数()f x 是R 上的奇函数,对于(0)x ∀∈+∞，，都有(2)()f x f x +=-，且(]01x ∈，时,()21xf x =+，则)2018()2017(f f +的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=1215)3()(x x ax x a x f 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]第Ⅱ卷（共90分）一、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则[(1)]f f -=14.曲线)1ln(2+=x y 在点()0,0处的切线方程为15.不共线向量a ，b 满足a b =，且()2a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为16.已知函数22)(),)(1)(3()(-=++++=x x g m x m x m x f ，若对任意R x ∈，有)(xf>0 或)(xg>0 成立，则实数m的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分12分）某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率。

2019-2020学年度广东省高三第一次联考文科数学

2019-2020学年度广东省高三第一次联考文科数学第I 卷（选择题，共60分）一.选择题（每小题只有一个选项符合题意。

每小题5分，共 60 分） 1．若集合{}2,0,1,{|10}A B x x x =-=-或，则A B ⋂= ( ) A. {}2- B. {}1 C. {}2,1- D. {}2,0,1-2．复数11iz i-=+（i 为虚数单位）的虚部是（） A. 1 B. -1 C. i D. i -3．“真人秀”热潮在我国愈演愈烈，为了了解学生是否喜欢某“真人秀”节目，在某中学随由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.参照附表，得到的正确结论是（）A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”D. 有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别无关”4．若3sin 5α=-，且α为第三象限角，则()tan 45α+等于( )A. 7B. 17C. 1D. 05．设等差数列的前项和为，已知，则（） A. 16 B. 20 C. 24 D. 266．已知,a b 是不共线的向量， 2AB a b λ=+， ()1AC a b λ=+-，且,,A B C 三点共线，则λ= ( )A. -1B. -2C. -2或1D. -1或27．已知圆2220x y x my +-+=上任意一点M 关于直线0x y +=的对称点N 也在圆上，则m 的值为（）A. 1-B. 1C. 2-D. 2 8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()112mod3=，现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（）A. 21B. 22C. 23D. 249．某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是边长为该几何体的外接球的表面积为（）A. 9πB. 16πC. 24πD. 36π10．已知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（） A. 12x π=B. 4x π=C. 3x π=D. 2x π=11．已知函数()1x f x e =-， ()243g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围是（）A. 22⎡+⎣B. (2+C. []1,3D. ()1,312．已知为双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.第II卷（非选择题，共90分）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）三.解答题（本大题共6小题，共70分.第22,23题为选考题，考生根据要求作答）2019-2020学年度广东省高三第一次联考文科数学数学（文科）答案一.选择题1．若集合{}2,0,1,{|10}A B x x x =-=-或，则A B ⋂= ( ) A. {}2- B. {}1 C. {}2,1- D. {}2,0,1- 【答案】C【解析】因为{}2,0,1,{|10}A B x x x =-=-或，则{}2,1A B ⋂=-. 本题选择C 选项.2．复数11iz i-=+（i 为虚数单位）的虚部是（）A. 1B. -1C. iD. i - 【答案】B【解析】由题意有： ()1111i i i i i i-++==-- ，据此可得复数11ii+-（i 为虚数单位）的虚部是1 . 本题选择A 选项.3．“真人秀”热潮在我国愈演愈烈，为了了解学生是否喜欢某“真人秀”节目，在某中学随由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.参照附表，得到的正确结论是（）A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”D. 有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别无关”【答案】C【解析】因为7.810.828<，所以不能在犯错误的概率不超过00.10 的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”；又因为7.8 6.635> ，所以0990以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”，故选C.【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）4．若3sin 5α=-，且α为第三象限角，则()tan 45α+等于( )A. 7B. 17C. 1D. 0【答案】A【解析】因为35sin α=-，且α为第三象限角，所以4sin 3cos ,tan ,5cos 4αααα==-==()tan45tan tan 457.1tan45tan ααα+∴+==-本题选择A 选项.5．设等差数列的前项和为，已知，则（） A. 16 B. 20 C. 24 D. 26 【答案】D【解析】。

广东佛山S7高质量发展联盟七校联考数学试卷--参考答案

2023-2024学年上学期佛山市S7高质量发展联盟高三联考试卷数学学科参考答案正确；，则两个变量的线性相关性越强，故C正确；种安排方法，A正确；种安排方法，B错误；1=，故D正确；2()451225727P ξ==⨯⨯=()1211457235P ξ==⨯⨯=()42115113557257270P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，()451265727P ξ==⨯⨯=所以ξ的分布列如下：ξ12456P135137027135137027数学期望()11321132123012456357073570735E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………12分21．【详解】（1）由题可知452p+=，解得2p =.所以E 的标准方程为24y x =；…………2分（2）（i ）由（1）知，2044y =⨯，且00y >，解得04y =，所以(4,4)P .设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121144444PA y k y y -==+-，同理可得，244PB k y =+，则1244444PA PB k k y y ⨯=⨯=-++，即()12124200y y y y +++=.当直线AB 斜率存在时，直线AB 的方程为221211212444y y y y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，整理得()121240x y y y y y -++=.所以()11420(4)0x y y y --++=，即()12445y x y y +=-+，所以直线AB 过定点(5,4)-；当直线AB 的斜率不存在时120y y +=，可得11220,5y x ==.综上，直线AB 过定点(5,4)-.…………7分（ii ）设()()1122,,,A x y B x y ，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为(5)454y k x kx k =--=--，与抛物线E 联立得24,54y x y kx k ⎧=⎨=--⎩，消去x 得()22221084(54)0k x k k x k -++++=，由题意0∆>，所以222121221084(54),k k k x x x x k k ++++==.所以()()2211221222(54)1084||||1111k k k FA FB x x x x x x k k +++⋅=++=+++=++。

广东省中山市第一中学等七校2021届高三数学第一次联考试题文（含解析）

广东省中山市第一中学等七校2021届高三数学第一次联考试题文（含解析）新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份。

总分值为150分，考试历时为120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共50分）【试卷综析】试题比较平稳，大体符合高考温习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，表现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和大体技术的考察，同时偏重考察了学生的学习方式和思维能力的考察，这套试题以它的知识性、思辩性、灵活性，基础性充分表现了考素养，考基础，考方式，考潜能的检测功能.试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培育学生数学素养的方向进展的作用.一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】一、已知全集U R =，集合{}|21x A x =>，{}|41B x x =-<<，那么A B 等于（）A.(0,1)B.(1,)+∞C. (4,1)-D. (,4)-∞- 【知识点】交集及其运算. A1【答案解析】A 解析：由A 中的不等式变形得：2x ＞1=20，解得：x ＞0，即A=（0，+∞）， ∵B=（﹣4，1），∴A∩B=（0，1）．应选：A ．【思路点拨】求出A 中不等式的解集确信出A ，找出A 与B 的交集即可. 【题文】二、已知i 为虚数单位，复数(2)z i i =-的模z =（）A. 1B.3 C ．5 D.3【知识点】复数求模. L4【答案解析】C 解析：∵z=i （2﹣i ）=2i+1，∴|z|=，应选：C ．【思路点拨】依照复数的有关概念直接进行计算即可取得结论. 【题文】3、在等差数列{}n a 中，已知1071=+a a ，那么=+53a a （）A. 7B. 8C. 9D. 10【知识点】等差数列的性质. D2【答案解析】D 解析：在等差数列{an}中，∵a1+a7=10，∴a3+a5=a1+2d+a1+4d=a1+（a1+6d ） =a1+a7=10．应选：D ．【思路点拨】在等差数列{an}中，由a1+a7=10，能求出a3+a5的值.【题文】4、设,a b 是两个非零向量，那么“0>⋅b a ”是“,a b 夹角为锐角”的（） A.充分没必要要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也没必要要条件【知识点】数量积的符号与两个向量的夹角范围的关系.充分条件；必要条件. A2 F3 【答案解析】B 解析：当＞0时，与的夹角＜＞可能为锐角，也可能为零角，故充分性不成立；当与的夹角＜＞为锐角时，＞0必然成立，故必要性成立．综上，＞0是与的夹角＜＞为锐角的必要而不充分条件，应选B ．【思路点拨】先看当＞0时，可否推出与的夹角＜＞是不是为锐角，再看当与的夹角＜＞为锐角时，＞0是不是必然成立，然后依照充分条件、必要条件的概念进行判定．【题文】5、在“魅力咸阳中学生歌手大赛”竞赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方不同离为（）A.5和1.6B.85和1.6C. 85和0.4D. 5和0.4 【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数. I2【答案解析】B 解析：依照题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，因此所剩数据的平均数为=85，所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．应选B ．【思路点拨】依照均值与方差的计算公式，分别计算出所剩数据的平均数和方差分即可.【题文】6、若是直线m l ,与平面γβα,,知足：,,,//,γααγβ⊥⊂=m m l l 那么必有（） A.m l ⊥⊥,γα B.βγα//,m ⊥ C.m l m ⊥,//β D.γαβα⊥,//【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系. G3 G4 G5【答案解析】A 解析：∵m ⊂α和m ⊥γ⇒α⊥γ，∵l=β∩γ，l ⊂γ．∴l ⊥m ，应选A ．【思路点拨】m ⊂α和m ⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l ⊂γ．然后推出l ⊥m ，取得结果. 【题文】7、如下图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图别离是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，那么该几何体体积为（）A ．53B ．423C ．73D ．103【知识点】由三视图求面积、体积. G2【答案解析】A 解析：由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，由侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4， ∴三棱柱的体积为=2，由正视图与俯视图知两个三棱锥的高为1，∴三棱锥的体积为××1×1×1=，∴几何体的体积V=2﹣2×=．应选A ．【思路点拨】由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，依照侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4.【题文】8、概念运算“⊗”为：两个实数b a ,的“ab ”运算原理如下图，假设输人2,311cos2==b a π，那么输出P =（）A.－2 B ．0 C 、2 D.4 【知识点】程序框图. L1【答案解析】D 解析：由程序框图知，算法的功能是求P=的值，∵a=2cos =2cos=1＜b=2，∴P=2×（1+1）=4．应选：D ．【思路点拨】算法的功能是求P=的值，利用三角诱导公式求得a 、b 的值，代入计算241正视俯视侧视可得答案．【题文】9、在长为12 厘米的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形,邻边长别离等于线段,AC CB 的长,那么该矩形面积大于20平方厘米的概率为（）A.61B. 31C. 32D. 54【知识点】几何概型. K3【答案解析】C 解析：设AC=x ，那么BC=12﹣x ，矩形的面积S=x （12﹣x ）＞20 ∴x2﹣12x+20＜0，∴2＜x ＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==，应选C【思路点拨】设AC=x ，那么BC=12﹣x ，由矩形的面积S=x （12﹣x ）＞20可求x 的范围，利用几何概率的求解公式可求结论. 【题文】10、如图，))(,(00x f x P 是函数)(x f y =图像上一点，曲线)(x f y =在点P 处的切线交x 轴于点A ，x PB ⊥轴，垂足为B若PAB ∆的面积为12，那么0f x '()与0()f x 知足关系式（）A.00f x f x ='()()B.200f x f x ⎡⎤=⎣⎦'()() C. 00f x f x =-'()() D. 200f x f x ⎡⎤=⎣⎦'()() 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． B12 【答案解析】B 解析：设A 的坐标为（a ，0），由导数的几何意义得： f'（x0）为曲线y=f （x ）在x=x0处切线的斜率，故P 点处的切线方程为y ﹣f （x0）=f'（x0）（x ﹣x0），令y=0，那么0﹣f （x0）=f'（x0）（x ﹣x0），即x=x0﹣，即a=x0﹣，又△PAB 的面积为，∴AB•PB=，即（x0﹣a ）•f（x0）=1，∴•f（x0）=1即f'（x0）=[f （x0）]2，应选B ．【思路点拨】依照导数的几何意义：f'（x0）为曲线y=f （x ）在x=x0处切线的斜率，写出切线方程，令y=0，求出A 点的坐标，别离求出AB ，PB 长，运用三角形的面积公式，化简即可. 第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分．【题文】11．函数⎩⎨⎧≤>=030log )(2x x x x f x，那么=)]41([f f ＿＿＿【知识点】分段函数的函数值. B1 【答案解析】解析：，故答案为：【思路点拨】先求，，故代入x ＞0时的解析式；求出=﹣2，，再求值即可.【题文】12. 假设目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下仅在点(1,1)处取得最小值，那么实数k 的取值范围是 .【知识点】简单线性计划. E5【答案解析】（﹣4，2）．解析：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y 得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y 仅在点B （1，1）处取得最小值，那么阴影部份区域在直线z=kx+2y 的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x ﹣y=1的斜率，即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k ＜2，即实数k 的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性计划的知识，确信目标取最优解的条件，即可求出k 的取值范围.NM CABO【题文】13. 已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<，那么cos β= ．【知识点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的大体关系．C5 C2 【答案解析】解析：因为cosα=，cos （α﹣β）=，且0，∴α﹣β＞0，因此sinα==，α﹣β∈（0，），sin （α﹣β）==，cosβ=cos[（α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==故答案为：．【思路点拨】通过α、β的范围，求出α﹣β的范围，然后求出sinα，sin （α﹣β）的值，即可求解cosβ．【题文】14.（坐标系与参数方程）在极坐标系中圆4cos ρθ=的圆心到直线()6R πθθ=∈的距离是【知识点】简单曲线的极坐标方程. N3【答案解析】1 解析：∵圆ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ．化为一般方程为x2+y2=4x ，即（x ﹣2）2+y2=4，∴圆心的坐标为（2，0）．∵直线θ=（ρ∈R），∴直线的方程为y=x ，即x ﹣y=0．∴圆心（2，0）到直线x ﹣y=0的距离=1．故答案为：1．【思路点拨】先将极坐标方程化为一般方程，可求出圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出答案【题文】15．（几何证明选讲）如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，45BNA ∠= ，假设⊙O 的半径为233OM ，那么MN 的长为【知识点】与圆有关的比例线段. N1【答案解析】2 解析：∵∠BNA=45°，圆心角AOB 和圆周角ANB 对应着相同的一段弧，∴∠AOB=90°，∵⊙O 的半径为2，OA=OM ，∴OM=2，在直角三角形中BM==4，∴依照圆内两条相交弦定理有4MN=（2+2）（2﹣2），∴MN=2，故答案为：2【思路点拨】依照圆心角AOB 和圆周角ANB 对应着相同的一段弧，取得角AOB 是一个直角，依照所给的半径的长度和OA ，OM 之间的关系，求出OM 的长和BM 的长，依照圆的相交弦定理做出结果．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．【题文】16．（此题总分值12分）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(cos ,cos )b x x =，设函数()f x a b =⋅.（Ⅰ）求函数()f x 单调增区间；（Ⅱ）假设[,]63x ππ∈-，求函数()f x 的最值，并指出()f x 取得最值时x 的取值.【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用. F3 C7 【答案解析】（Ⅰ），（k∈Z）；（Ⅱ）f （x ）取得最小值0，现在，f （x ）取得最大值，现在.解析：（Ⅰ）∵=当，k∈Z，即，k∈Z，即，k∈Z 时，函数f （x ）单调递增，∴函数f （x ）的单调递增区间是，（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（x ）=sin （2x+）+，当时，，∴，∴当时，f（x）取得最小值0，现在2x+=﹣，∴，∴当时，f（x）取得最大值，现在2x+=，∴．【思路点拨】（Ⅰ）利用向量的数量积求出f（x）的解析式，再利用三角函数的图象与性质求出单调区间；（Ⅱ）由三角函数的图象与性质，结合区间x∈[﹣，]，求函数f（x）的最值和对应x的值．【题文】17、（此题总分值12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，取得相关的数据如下表：节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是不是与人的年龄有关？（2）假设全小区节能意识强的人共有350人，那么估量这350人中，年龄大于50岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。

高三第一次联考数学文试题Word版含答案

届七校联合体高三第一次联考文科数学学校：宝安中学潮阳一中桂城中学南海中学普宁二中中山一中仲元中学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合U ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝ A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,3}D ．{3,4}2.在复平面内，设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋z 2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若双曲线22221-=x y a b的一条渐近线经过点(3, －4),则此双曲线的离心率为A.73 B. 54 C. 43 D. 534．若x ，y 满足10220,40x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则x+2y 的最大值为A ．132B ．6C ．11D ．10 5．设1132113,,ln 23a b c π⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则 A.c a b << B. c b a << C. a b c << D. b a c <<6．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A ．i >10?B ．i <10?C ．i >20?D ．i <20?7．一个几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 A.B.C.D.8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为A. 3B.322C.2 2D.239．在如图所示的圆型图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为3π，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶（即图中阴影部分）的概率是A. 332-πB. 634-πC.13-32π D. 2310．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙11. 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是 A.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪[6，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.(－∞，－2]∪[6，＋∞) D.(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞12．已知抛物线214=y x ，AB 为过焦点的弦，过、A B 分别作抛物线的切线交于点F ，则 ① 若AB 斜率为1，则4=AB ； ② min 2=AB ; ③1=-M y ； ④若AB 斜率为1，则1=M x ； ⑤4⋅=-A B x x以上结论正确的个数是A.1个B.2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省高三上学期语文第一次联考试卷

广东省高三上学期语文第一次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共1题；共6分)1. （6分） (2019高二下·吉林期中) 阅读下面文字，完成下列小题。

手机、外卖、朋友圈、抖音、支付宝……这些新生事物与你的生活________，回顾这些年网络流行的一些风向，不难发现潮流年年变化，不可________，而不变的是年轻人始终能够敏感地追上潮流、乐在其中。

古语有云“近朱者赤，近墨者黑”，年轻人正处于三观塑造期，他们追逐流行风潮，必将“润物细无声”般内化于价值观念与思维方式之中。

相较于过往，如今的潮流风向标主要发源于网络，更新更快、花样更多，某些短视频在十几秒钟内以声情并茂的形式就可将信息传递给受众，虽然（），却也________。

如若不加选择地终日追逐，部分年轻人空虚迷茫的状态只怕更甚。

当下，价值多元、选择爆棚，如果每次都________，任凭人生的主题被一次次冲散，那很可能就真的失去了自我。

青年人朝气蓬勃、风华正茂，正是学本领、长才干、拓视野的黄金年龄，正是大展拳脚、实现抱负的关键时期。

青年的生活，除了眼前的搞怪视频、偶尔的轻松娱乐，还应该有科学、文化、艺术等饱满且值得追寻的日常。

与其在屏幕中“坐井观天”、被流行文化消费，倒不如躬耕于自己的人生主题，努力实现价值与尊严。

有媒体研究者曾说：“毁掉我们的不是我们所憎恨的东西，而恰恰是我们所热爱的东西。

”警惕“娱乐至死”、拒绝浮躁，静下来寻找值得交付的热爱，无论是一首好诗、一篇好文、一曲好歌，恐怕都比十来秒的视觉冲击有意义得多。

（1）下列在文中括号内补写的语句，最恰当的一项是（）A . 大众能够通过短视频，以新奇、有趣的形式接触到专业知识B . 以新奇、有趣的形式传递专业知识是短视频的优势C . 这种短视频以新奇、有趣的形式传递给大众专业知识D . 专业知识是通过短视频，以新奇、有趣的形式接触到大众的（2）依次填入文中横线上的成语，全都恰当的一项是（）A . 息息相关相提并论鱼龙混杂随遇而安B . 休戚相关相提并论泥沙俱下随遇而安C . 息息相关同日而语泥沙俱下随波逐流D . 休戚相关同日而语鱼龙混杂随波逐流（3）文中画线的部分有语病，下列修改最恰当的一项是（）A . 正处于三观塑造期的年轻人，他们所追逐的流行风潮，必将“润物细无声”般内化于价值观念与思维方式之中。

广东省东莞市数学高三上学期文数第一次大联考试卷

广东省东莞市数学高三上学期文数第一次大联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·赤峰月考) 已知集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·海南模拟) 若复数的虚部小于0，，且，则（）A .B .C .D .3. （2分）为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图),那么在这100株树木中,底部周长大于110cm的株数是（）A . 70B . 60C . 30D . 804. （2分） (2016高三上·湖北期中) 已知sin2α= ，则cos2（α+ ）=（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·安庆期末) 表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·陕西模拟) 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A . 关于点对称B . 关于点对称C . 关于直线对称D . 关于直线对称7. （2分） (2016高一上·德州期中) 若对任意非零实数a，b，若a*b的运算规则如图的程序框图所示，则（3*2）*4的值是（）A .B .C .D . 98. （2分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·雨花模拟) 已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1 ， a2 ， a5成等比数列，则S8=（）A . 36B . 49C . 64D . 8110. （2分）下列说法错误的是（）A . 平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点B . 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C . 经过两条相交直线，有且只有一个平面D . 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合11. （2分）椭圆，为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·天津月考) 设函数，，若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2015高二上·湛江期末) 过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则• + • 的最大值等于________．14. （1分）(2018·河北模拟) 已知在等腰梯形中，，，，双曲线以，为焦点，且与线段，（包含端点，）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．15. （2分） (2018高一下·包头期末) 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则边长 ________或________．16. （1分） (2015高二上·常州期末) 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=ax•g（x）（a＞0，a≠1）；②g（x）≠0；③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x）；若，则a=________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （15分） (2016高二上·芒市期中) 已知数列{an}中，a1=3，an+1=can+m（c，m为常数）（1）当c=1，m=1时，求数列{an}的通项公式an；（2）当c=2，m=﹣1时，证明：数列{an﹣1}为等比数列；（3）在（2）的条件下，记bn= ，Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜1．18. （15分）(2017·武威模拟) 某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：组号第一组第二组第二组第四组分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频数642220频率0.060.040.220.20组号第五组第六组第七组第八组分组[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数18a105频率b0.150.100.05（1）若频数的总和为c，试求a，b，c的值；（2）为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）估计该校本次考试的数学平均分．19. （5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，E、F分别为棱BC、AD的中点，PD⊥底面ABCD，且直线PA与直线BC所成的角为45°．（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅲ）在线段PB上是否存在点Q，使得FQ⊥面PBC？请说明理由．20. （5分） (2018高二上·台州期末) 已知直线：与抛物线交于，两点，记抛物线在，两点处的切线，的交点为．(Ⅰ)求证:；（Ⅱ）求点的坐标(用，表示)；（Ⅲ）若，求△ 的面积的最小值．21. （15分） (2016高三上·吉林期中) 已知函数f（x）= ．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥ 恒成立，求实数k的取值范围．22. （5分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l被圆C截得的弦长为，求m的值．23. （10分）(2018·永州模拟) 已知函数 .（1）解不等式；（2）若对任意的，均存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。

高三第一次联考数学文试题 Word版含答案[ 高考]

仲元中学中山一中南海中学2013—2014学年高三第一次联考潮阳一中宝安中学普宁二中数学（文科）一选择题（每小题5分，共50分）1. 已知集合{}{}|1,|21x M x x N x =<=>，则M N = （）A ．∅B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．{}|01x x <<2．已知a 是实数，()(1)a i i -+是纯虚数（i 是虚数单位），则a =（） A ．1 B ．－1 CD3）A ．23±B ．23C ．23- D ．214．设条件:0p a >；条件2:0q a a +≥，那么p 是q 的什么条件（）.A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分非必要条件5．已知直线b a ,都在平面α外, 则下列推断错误的是（）A ．αα////,//a b b a ⇒B ．αα//,a b b a ⇒⊥⊥C ．b a b a ////,//⇒ααD ．b a b a //,⇒⊥⊥αα 6．方程223xx -+=的实数解的个数为( )A ．2B ．3C ．1D ．4 7．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（） A. 2B. 4C.152 D. 1728．已知向量(3,4)a =, (2,1)b =-，如果向量a xb +与b 垂直，则x 的值为（）A.233B.323C.2D. 25-9．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（） A ．3π2B ．2πC ．3πD ．4π10．函数)1x (f +是R 上的奇函数，0)]f(x -))[f(x x -(x R,x ,x 212121<∈∀,则0)x 1(f >－的解集是（）A )0,(-∞B ),0(+∞C )1,1(-D ),1()1,(+∞⋃--∞二．填空题：（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）（一）必做题（11～１３题）Ks5u11．对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则32⊗= ．12. 已知2()3(2),(2)f x x xf f ''=+则= .13．已知,x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若3z x y =+的最大值为8，则k = .Ks5u（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，则S x y =+的最大值为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形ABCD 中，:1:2AE EB =, AEF ∆的面积为6,则ADF ∆的面积为 .三．解答题：(本大题共6小题，共80分，要求写出必要的解答过程) 16．（本小题满分12分）已知1tan 3α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值；（第15题图）（第11题图）（2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值． 17.（本小题满分12分）某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？18．(本小题满分14分)长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ，2AB BC ==，O 是底面对角线的交点。