高三数学(文)圆知识精讲

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高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲

高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。

当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。

一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。

当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。

圆的方程及性质课件-2023届高三数学一轮复习

3 3.
判断直线与圆的位置关系的两种方法 >0⇔相交，
(1)代数法：Δ＝判―b别 ―2－→式4ac ＝0⇔相切， <0⇔相离.
(2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系：d<r⇔相交，d ＝r⇔相切，d>r⇔相离．
实际操作时，多用几何法．
练习已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的
①两条切线方程； ②直线 AB 的方程； ③线段 PA 的长度； ④线段 AB 的长度．
圆的切线方程的求法 (1)代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0 进而求得 k(当 k 不存在时，切线方程为 x ＝x0)． (2)几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d，然后令 d＝r，进而求出 k(当 k 不存在时，切线方程为 x＝x0)．（3）若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，则过点 M 的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝ r2.
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【思路】根据直线与圆的位置关系的判断方法——几何法或代数法求解，也可以利用直线所过的定点，结合该定点与圆的位置关系求解．
【解析】＋m2－5＝0，
方法一：由mx2x＋－（y＋y－1－1）m2＝＝05，，消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x
因为 Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交．
圆的定义平面内到定点的距离___________的点的集合是圆，定点是圆心，定长是半径．注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为λ，即||PPAB||＝λ， ①当λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当λ≠1 时，P 点轨迹是圆．

高三数学第一轮复习讲义7.5 圆的方程(无答案)全国通用

§7.5 圆的方程班级姓名学号例1：求圆x 2+y 2－x+2y=0关于直线L ：x －y+1=0对称的圆的方程。

例2：一圆经过A （4，2），B （－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆方程。

例3：设方程x 2+y 2－2(m+3)x+2(1－4m 2)y+16m 4+9=0。

（1）当且仅当m 在什么范围内，该方程表示一个圆。

（2）当m 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。

例4：已知圆和直线x －6y －10=0相切于（4，－1），且经过点（9，6），求圆的方程。

【备用题】已知圆x 2+y 2－6x －4y+10=0，直线L 1：y=kx, L 2:3x+2y+4=0, x 在什么范围内取值时，圆与L 1交于两点？又设L 1与L 2交于P ，L 1与圆的相交弦中点为Q ，当k 于上述范围内变化时，求证：|OP|·|OQ|为定值。

【基础训练】1、A=C ≠0，B=0是方程Ax 2+Bx+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、不充分不必要条件2、圆x 2+y 2－2x=0和x 2+y 2+4y=0的位置关系是：（） A 、相离 B 、外切 C 、相交 D 、内切3、以点A(－5,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为：（）A 、(x+5)2+(y －4)2=16B 、(x －5)2+(y+4)2=16C 、(x+5)2+(y －4)2=25D 、(x －5)2+(y+4)2=164、方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，（D 2+E 2－4F>0）关于直线x －y=0对称的充分条件是： A 、D=E B 、E=F C 、E=F D 、D=E 且F ≠05、若两直线y=x+2a, 和y=2x+a+1的交点为P ，P 在圆x 2+y 2=4的内部，则a 的取值范围是。

高三数学圆的坐标知识点

高三数学圆的坐标知识点圆是在平面上由一点到另一点距离保持不变的所有点组成的图形。

在数学中，圆的坐标表示使用两个坐标数表示圆心的位置，再加上一个表示半径的数值。

本文将介绍高三数学中与圆的坐标相关的知识点，包括圆心与半径的坐标表示、圆的方程及其性质。

一、圆心与半径的坐标表示在直角坐标系中，圆心的坐标表示为 (h, k)，其中 h 表示横坐标，k 表示纵坐标。

而半径的长度则可以通过圆心与圆上一点的坐标之间的距离来确定。

二、圆的方程及其性质1. 标准方程：对于以坐标原点为圆心的圆，其方程为 x^2 + y^2 = r^2，其中 r 表示半径的长度。

2. 一般方程：对于以圆心为 (h, k) 且半径为 r 的圆，其方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2。

3. 圆的性质：每个点到圆心的距离等于半径的长度。

同时，圆的直径是通过圆心并且垂直于圆的直径两点的线段。

圆的弦是通过圆上两点的线段。

圆的弦经过圆心时，被称为直径。

三、圆与直线的位置关系1. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系可以通过求解直线方程与圆方程的交点来确定。

当直线与圆相交时，可能有两个交点、一个交点或者没有交点三种情况。

2. 判别条件：直线与圆的位置关系可以通过计算直线方程与圆方程的判别式来判断。

当判别式大于零时，直线与圆相交；当判别式等于零时，直线与圆相切；当判别式小于零时，直线与圆无交点。

四、圆与圆的位置关系1. 外离：两个圆的距离大于两个圆半径之和时，称两个圆外离。

2. 外切：两个圆的距离等于两个圆半径之和时，称两个圆外切。

3. 相交：两个圆的距离小于两个圆半径之和时，称两个圆相交。

4. 内切：两个圆的距离等于两个圆半径之差时，称两个圆内切。

5. 内含：两个圆的距离小于两个圆半径之差时，称一个圆内含于另一个圆。

五、应用题举例1. 求两条直线与圆的位置关系，并求交点坐标。

2. 求两个圆的位置关系，并求交点坐标。

总结：通过以上内容的讲解，我们了解了高三数学中关于圆的坐标知识点。

高三直线和圆知识点

高三直线和圆知识点直线和圆是高中数学中的重要知识点，对于理解几何图形的性质和解题能力起着至关重要的作用。

本文将为大家详细介绍高三直线和圆的相关知识。

一、直线的定义和性质直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的图形。

直线的特点是无限延伸，并且上面的任意两点都可以用直线段相连接。

直线的性质有以下几点：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。

2. 直线上的任意一点，都在直线上。

二、圆的定义和性质圆是由平面上与某一点的距离相等的所有点组成的图形。

这个距离称为圆的半径，通常用字母r表示。

圆心是与所有这些点距离相等的点。

直径是通过圆心的两个点，并且是圆的最长的一条线段，长度等于半径的两倍。

圆的性质有以下几点：1. 圆上所有点到圆心的距离都相等。

2. 圆的直径是圆的最长直线段，且等于半径的两倍。

3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。

4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。

三、直线和圆的关系直线和圆是几何图形中经常会出现的组合。

它们之间的关系有以下几种情况：1. 直线与圆的位置关系：a) 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时交点为切点。

b) 直线与圆相离：直线与圆没有交点。

c) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。

2. 圆上的点到直线的距离：a) 圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于直线的垂直距离，即圆心到直线的距离是最短的。

b) 圆上任意一点到直线的距离：圆上的任意一点到直线的距离都等于它到直线的垂直距离。

3. 直线和圆的方程：a) 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式、点斜式等形式表示，根据题目给定的条件来确定具体的方程形式。

b) 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，其中a、b为圆心的坐标，r为半径。

高三数学圆的方程

群散去的差不多了，她依旧在充当吃瓜群众。看着正在相互交涉的买卖双方，她又凑近了一些。(古风一言)剑指山河兵临城下，不为夙愿，只为守护你的安然。第076章嫌弃这马真是可爱，慕容凌娢对马的了解很少，自然不敢妄下断言，但等到人群散去的差不多了，她依旧在充当吃瓜群众。看着正在相互交涉的买卖双方，她只是更仔细的观察着这匹黑马。正在她肆无忌惮的观察时，那匹黑马突然一扭头，她们一人一马四目相对，时间仿佛停顿了下来……一切都变得很慢很慢……“噗～”那马看着慕容凌娢，打了一个响鼻，然后嫌弃的翻了一个白眼，满满地都是怨气摇摇脑袋，甩甩尾巴，便再也不理睬她了。这……这也太尴尬了，慕容凌娢居然会被一只马嫌弃！简直是受到了1000点的暴击！慕容凌娢感觉整个人都不好了，生无可恋啊～“算了算了，还是去别处看看吧。”慕容凌娢回过神来，发现围观的人都已经走光了。“唉！”那大汉重重的叹了口气，摸了摸马的鬃毛，“如今这般落魄，留着你也是受罪，还不如给你个痛快……”他说着便要解开拴在木桩上的绳子，那黑马似乎也明白了什么，开始焦躁不安的挣扎，无奈被绳子束缚，再怎么用力拽也无用。这是要杀马的套路啊！当慕容凌娢脑子转过来弯时，大汉已经准备把马迁走了。 “等等！”慕容凌娢拦住了他，大义凌然的挡在黑马身边，“这马我要了。”“二十两银子，不能再少了！”在醉影楼呆了那么久，慕容凌娢已经搞清楚了这个年代的物价，一两银子差不多是500RMB，二十两银子……大概就是1WRMB。这也太贵了！自己这回出来，总共就带了四两银子，可是这马，要是没人要，就要惨死在街头了……怎么办？这个年代又没有动物保护协会这样的组织，她实在不想看见这只马就这样死掉……“我……”情急之下，慕容凌娢摸到了自己挂在脖子上的那块血玉，就是穿越时拿着的那块。“我用这块玉来换可以吗？”“这是……” 大汉接过慕容凌娢的玉，摆弄了几下，又丢了回来，“我又不知道这东西是真是假，万一你给我个假的，我不就亏大了吗！”“这个绝对是真的！”慕容凌娢着急着想解释，可是那大汉始终不为所动。“二十两银子是吗？”“韩哲轩！”慕容凌娢惊喜的回过头，“你刚才跑哪里去了！找你半天，还以为你丢了呢……”“方蛤蟆?慌什么?，人多，被挤掉线了而已，看来该换网了。”韩哲轩依旧是不紧不慢态度，没有想要认真回答慕容凌娢。他脸上带着常有的笑意，把钱袋递给了大汉，“这么多够了吧？”“够了够了！”“那马我带走了。”韩哲轩把马的缰绳接下来，交到了慕容凌娢手里，“归你了，不用谢我。”“公子您慢走！”……“老哥(稳)，这回坑了不少钱吧！”等韩哲轩

高三数学(文)一轮复习课件8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系ppt版本

一组实数解无解
微知识❸ 两圆公切线的条数
位置关系内含内切相交
公切线条数 0
12
外切 3
外离 4
二、小题查验 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切。(√) 解析：正确。直线与圆组成的方程组有一组解时，直线与圆相切，有两组解时，直线与圆相交。
解析：(1)如图，若|MN|＝2 3 ，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2＝22－( 3)2＝1。
∵直线方程为y＝kx＋3， ∴d＝|k·2－1＋3＋k2 3|＝1，
解得k＝±
3 3
若|MN|≥2 3，则－ 33≤k≤ 33。
(2)把圆的方程化为标准方程是x＋12k2＋(y＋1)2＝16－34k2，
【微练3】(1)两个圆：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1
＝0的公切线有且仅有( B )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 (2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝ kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离外切相交内切内含
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝_|r_1_－__r2_| (r1≠r2) 0_≤____ d__＜__ |r1－r2|(r1≠r2)
_无__解 _一__组___实数解 __两__组__不__同__的__实数解
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切。 (×)

高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲

高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1. 圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，方程表示圆心为(),C a b ，半径为r 的圆。

2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x⑴当0422>-+F E D 时，表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，的圆； ⑵当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ⑶当0422<-+F E D 时，它不表示任何图形。

3. 圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①2x 和2y 的系数相同，都不等于０；②没有xy 这样的二次项。

二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：①2x 和2y 的系数相等且不为零，即0A C =≠；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+F E D ，其中①、②是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。

4. 圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩()*，并且对于t 的每一个允许值，由方程组()*所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程组()*就叫做这条曲线的参数方程，联系,x y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。

cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩()θ为参数表示圆心为()a ，b ，半径为r 的圆。

5. 直线与圆的位置关系： ⑴点与圆的位置关系：若圆()()222x a y b r -+-=，那么点()000,P x y 在⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-⇔<-+-⇔=-+-⇔220202202022020)()()()()()(r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。

高三数学课件：圆的方程

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(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中直径式：直径式，点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端，是圆的一条直径的两个端。（用向量法证之用向量法证之）点。（用向量法证之）
（4）半圆方程： y = r2 −(x −a)2 +b, y = − c +bx− x2 −d ）半圆方程： (5)圆系方程：圆系方程：圆系方程 i)过圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线过圆C：过圆和直线 l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为：的交点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ii)过两圆 1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：过两圆C 过两圆， x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为的交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0( λ≠-1)该方程不包括圆 2；该方程不包括圆C 该方程不包括圆时为一条直线方程，（ λ = −1时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）轴方程）
(1+k2)[x1 + x2)2 −4x1x2] （2）代数法：用弦长公式）代数法：
的半径为3，相切，例4、已知⊙O的半径为，直线 l 与⊙O相切，、已知⊙ 的半径为相切相切，并与⊙ 相交的公共弦恰一动圆与 l 相切，并与⊙O相交的公共弦恰的直径，为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。的直径求动圆圆心的轨迹方程。【点评】建立适当的点评】坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、程的过程较简单、所求方程的形式较“ 求方程的形式较“整 A 齐” .

高一数学(文)圆和圆的位置关系、空间直角坐标系苏教版知识精讲

高一数学（文）圆和圆的位置关系、空间直角坐标系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆和圆的位置关系、空间直角坐标系二. 教学目标：1、理解并掌握圆与圆的五种位置关系，并能用圆心距和半径之间的大小关系来判断圆与圆的位置关系。

2、了解空间直角坐标系的定义、建立方程、会用空间直角坐标系刻画点的位置。

3、掌握空间两点间的距离公式及空间两点间中点坐标公式。

三. 知识要点：（一）圆和圆的位置关系1、外离2、外切3、内切4、相交5、内含判断方法：第一步计算两圆的半径12,r r ；第二步计算两圆的圆心距d ；第三步根据d 与12,r r 之间的关系，判断两圆的位置关系。

12d r r >+⇔圆和圆外离 12d r r =+⇔圆和圆外切1212r r d r r -<<+⇔圆和圆相交 12d r r =-⇔圆和圆内切 12d r r <-⇔圆和圆内含二、空间点的直角坐标系 1、空间直角坐标系的定义过定点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)；统称坐标轴。

通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z 轴，当右手的四指从正向x 轴以90角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O 叫做坐标原点。

（如下图所示）说明：（1）三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。

过x 轴与y 轴，y 轴与z 轴及z 轴与x 轴的平面分别称为： xOy 面，yOz 面，zOx 面。

（2）三个坐标平面将空间分成八个卦限。

空间直角坐标系共有八个卦限2、空间点和坐标设点M 为空间一已知点。

我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x 、y 、z 。

专题30 圆的基本性质-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)

专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

高三数学知识点总结35之29：圆的方程和直线与圆的位置关系

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一．圆的三种方程（1）方程)0()()(222>=-+-r r b y a x 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程. （2）方程022=++++F Ey Dx y x .①当0422>-+F E D 时，表示圆，圆心为)2,2(E D --，半径为2422FE D -+，称为一般方程.②当0422=-+F E D 时，表示点).2,2(E D --③当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程是).2,0[,sin cos πααα∈⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 其中α是以圆心C 为顶点且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角.参数方程可用来解决与圆有关的最值问题.例：若实数y x ,满足，014222=+-++y x y x 求y x 43-的范围.答：].1,21[-- 注1：求圆的方程的主要方法：1．代数法：利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于r b a ,,或F E D ,,的方程组．2. 几何法：利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)圆心和圆上任一点的距离等于半径.(4)两圆相切时，切点与两圆心三点共线. 注2：半圆问题.例:若直线b x y +=与曲线21y x -=恰有一个交点，则实数b 的取值范围是_________．答：11|{≤<-b b 或}2-=b 注3：阿波罗尼斯圆：平面内到两个定点B A ,的距离之比)1,0(≠>=λλλMBMA的点M 的轨迹是一个圆.二．点),(00y x P 与圆222)()(:r b y a x C =-+-位置关系的判断方法 ①点在圆内⇔<⇔r PC 22020)()(r b y a x <-+- ②点在圆上⇔=⇔r PC 22020)()(r b y a x =-+-③点在圆外⇔>⇔r PC 22020)()(r b y a x >-+-三．直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法（主要方法）：比较圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小 ①⇔>r d 相离；②⇔=r d 相切；③⇔<r d 相交. （2）代数法：联立直线和圆的方程，计算ac b 42-=∆的大小 ①⇔<∆0相离；②⇔=∆0相切；③⇔>∆0相交.四. 圆与圆的位置关系的判断方法位置关系外离外切相交内切内含圆心距与半径的关系 21r r d +> 21r r d += 2121||r r d r r +<<- ||21r r d -=||21r r d -<图示公切线的条数 4 321 0五．计算直线与圆相交的弦长问题主要核心方法：围绕“弦心距，弦长的一半和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）注：代数法：运用韦达定理及弦长公式2221||(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-.(正设直线00()y y k x x -=-） 2221||(1)[()4]A B A B A B AB m y y m y y y y =+-=++-.(反设直线00()x x m y y -=-）六．处理直线与圆相切的问题主要核心方法：围绕“圆心与直线上的点这两点的距离，切线长和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）（1）求切线方程的方法： ①几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值.②代数法：设出切线的方程，利用0=∆，求出未知数的值. 注意：1.设直线方程时要注意直线方程的局限性.如设成点斜式),(00x x k y y -=-要注意讨论斜率不存在的情况；设成斜截式1=+bya x ，要注意讨论直线过原点的情况. 2.点在圆外，有两条切线；点在圆上，只有一条切线；点在圆内，无切线. （2）求切线长的最小值.切线长的最小值=22(r -圆心到直线的距离）七．直线与圆相离的最值问题（1）若直线和圆相离，则圆上的点到直线距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到直线的距离，r 为半径）（2）若点在圆外，则圆上的点到已知点距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到已知点的距离，r 为半径）八．计算两圆相交的弦长问题（1）公共弦所在的直线方程若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D （2）公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.九．处理两圆相切的问题（1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.（2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时).十．用几何意义处理与圆有关的最值问题（1）形如ax by --的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如by ax z +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值.（3）形如22)()(b y a x -+-的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；十一．有用的结论（需要记住）（1）若圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 与x 轴相切，则|;|b r =与y 轴相切，则|;|a r = 与两坐标轴相切，则.||||b a r ==（2）当点),(00y x 在圆222r y x =+上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.200r y y x x =+ 推广：当点),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（3）设点),(00y x P 是圆222r y x =+外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.200r y y x x =+推广：设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（4）以),(),,(2211y x B y x A 为直径的圆的方程为.0))(())((2121=--+--y y y y x x x x （5）圆系方程：①若直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 有两个交点，则过直线与圆的交点的圆可设为：.0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y xλ②若两圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 有两个交点，则过圆与圆的交点的圆可设为：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ（)1-≠λ.注：①1-=λ时，表示两圆的公共弦所在直线的方程.②方程不能表示,2C 留心检验.（6）圆和圆的重要性质①两圆相切时，两圆圆心与切点在同一条线上.②两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的中垂线即为两圆心的连线. （7）圆上有几个点到直线的距离为几的问题假设圆的半径为,r 圆心到直线的距离为,D 圆上的点到直线的距离为d ，则①||d D r -< 0个；②||d D r -= 1个；③d D r d D +<<-|| 2个；④d D r += 3个； ⑤d D r +> 4个（8）过圆内一点的所有弦中，最长的是过该点的直径，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦.1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理。

高三数学圆的6个考点的典型例题

高三数学圆的6个考点的典型例题【典型例题】考点一研究直线与圆的位置关系例1 已知直线Ｌ过点（－2，０），当直线Ｌ与圆x2＋y2＝2x有两个不同交点时，求斜率k的取值范围。

法一：设直线L的方程为：y＝k（x＋2），与圆的方程联立，代入圆的方程令△>0可得：。

法二：设直线L的方程为：y＝k（x＋2），利用圆心到直线的距离d O－L∈[0，R]可解得：。

考点二研究圆的切线例2 直线y＝x＋b与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围。

分析：作出图形后进行观察，以找到解决问题的思路。

解：曲线即x2＋y2＝1（x≥0），当直线y＝x＋b与之相切时，满足：由观察图形可知：当或时，它们有且仅有一个公共点。

例3 过点P（1，2）作圆x2＋y2＝5的切线L，求切线L的方程。

解：因P点在圆上，故可求切线L的方程为x＋2y＝5。

说明：过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P（x0，y0）的切线方程为：如果是过圆外一点作圆的切线，其切线方程的求解应利用△＝0或利用圆心到直线的距离等于半径进行。

考点三求圆的切线长例4 过点P（2，3）作圆x2＋y2＝5的切线L，切点为M，求切线段LM的长。

分析：数形结合，构造三角形求LM，如图。

解：说明：自圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点P（x0，y0）向圆所引切线段的长为：考点四研究两圆的位置关系例5 求过两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＝0的交点且与直线相切的圆的方程。

解：设所求圆的方程为x2＋y2－1＋λ（x2＋y2－4x）＝0，整理后得：因为该圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即：代入即可得所求圆的方程为：3x2＋3y2＋32x－11＝0.说明：利用过两圆交点的圆系方程求解比较简洁。

过两定圆交点的圆系方程为：，λ、μ不同时为0，两边同除以λ（或μ），则该方程只有一个待求参数。

考点五研究两相交圆的公共弦所在直线方程例6 求两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＝0的交点弦所在的直线方程。

第8章第3节圆的方程-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

5．已知圆 C 经过点 A(1，3)，B(4，2)，与直线 2x＋y－10＝0 相切，则圆 C 的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析由题意，设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为点 B(4，2)在直线 2x＋y－10＝0 上，所以点 B(4，2)是圆与直线 2x＋y－10＝0 的切点，连接圆心 C 和切点的直线和与切线 2x＋y－10＝0 垂直，则 kBC＝12，则 BC 的方程为 y－2＝12(x－4)，整理得 x－2y＝0，
(√)
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.
(√)
◇教材改编
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别是
( D) A．(2，3)，3
B．(－2，3)， 3
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)， 13
解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径 r＝ 13.
(2)可知yx－＋32表示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0. 由直线 MQ 与圆 C 有交点， ∴|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2，可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， ∴yx－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
(3)设 y－x＝b，则 x－y＋b＝0. 当直线 y＝x＋b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， ∴ 1|22＋－（7＋－b1|）2＝2 2，∴b＝9 或 b＝1. ∴y－x 的最大值为 9，最小值为 1.
►考向三与圆有关的轨迹问题[师生共研] [例 3] 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2，2y)．因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.