绵阳市2019-2020学年高一下学期期末考试 数学试题(含答案)

绵阳市2019-2020学年高一下学期期末考试
数学试题
一、选择题
1．若a b >，则下列结论正确的是（ ）
A ．33a b >
B ．22a b >
C ．2a ab <
D ．11a b
< 2．在ABC △中，5BC =，4AC =，60C =︒，则ABC △的面积为（ ）
A ．5 B
． C ．10 D
．3．在等差数列{}n a 中，若45a =，则数列{}n a 的前7和7S =（ ）
A ．15
B ．20
C ．35
D ．45
4．已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（ ）
A ．若αβ⊥，βγ，则αγ⊥
B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得l β
C ．若a γ⊥，βγ⊥，l α
β=，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，l α，则l β⊥ 5．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =（ ）
A ．80
B ．120
C ．150
D ．180
6．若实数x ，y 满足1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
则2z x y =-的最小值是（ ）
A ．3
B ．－3
C ．1
D ．－5
7．在ABC △中，点P 满足3BP PC =，则AC =（ ）
A ．3122AP A
B - B ．4133AP AB -
C ．3144AP AB +
D ．2133
AP AB + 8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A ．7π
B ．8π
C ．9π
D ．10π
9．在ABC △中，0AB AC ⋅=，点P 为BC 的中点，且PA PB =，则向量BA 在向量BC 上的投影为（ ）
A ．BC
B B
C C ．14BC -
D ．14
BC 10．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA AB AD ==，E 为棱PA 的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的正弦值为（ ）
A ．23
B
C
D 11．在边长为4的正方形ABCD 中，
E ，
F 分别为AB ，BC 的中点.将AED △，CFD △，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，C ，B 三点重合于A '，则三棱锥A EFD '-的外接球表面积为（ ）
A ．3π
B ．6π
C ．12π
D ．24π
12．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB mAM =，()0,0AN nAD m n =>>，则m n
的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D ．2
二、填空题
13．已知向量()1,2a =-，(),1b x =，若a b ⊥，则实数x =______.
14．若关于x 的不等式2230ax x -+>的解集为{}31x x -<<，则实数a =______.
15．如图，轮船A 和轮船B 同时离开海港匀速直线航行，其中轮船A 的航行速度是v n mile/h ，轮船B 的
航行速度比轮船A 快10 n mile/h.已知航行1h 后，测得两船之间的距离为()20v + n mile ，如果两艘轮船的航行方向之间的夹角为钝角，则v 的取值范围是_______.
16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
*233n n S a n N =-∈，若()()4193n a n λ->-对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是______.
三、解答题
17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，5134a a a =+，416S =.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的前n 项和n T .
18．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，1AA ⊥平面ABCD ，3AD BD ==
，AB =E 是1CD 的中点.
（1）证明：1AD 平面BDE ；
（2）若14AA =，求三棱锥1D BDE -的体积.
19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若()
2253a b bc -=，5sin 8sin C B =，BAC ∠的平分线交BC 于D .
（1）求BAC ∠；
（2）若5AC =，求AD .
20．已知函数()()()224f x x a x a R =-++∈. （1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；
（2）若对任意的[]0,4x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1~5 ABCDC
6~10 DBCDA 11~12 DB 二、填空题
13．2 14．－1 15．()
10,30 16．5,18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
三、解答题
17．解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由题意得11141442,4616,a d a a d S a d +=++⎧⎨=+=⎩
解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ ∴数列{}n a 的通项公式()121n a n =+-21n =-.
（2）由（1）得()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴1111111...23352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111221n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭21n n =+ 18．解：（1）证明：连接AC 交BD 于点O ，连接EO . ∵底面ABCD 是平行四边形，∴点O 为AC 的中点. ∵点E 是棱1CD 的中点，∴EO 为1ACD △的中位线， ∴1EO AD .
∵EO ⊂平面BDE ，1AD ⊄平面BDE ，
∴1AD 平面BDE .
（2）∵E 是棱1CD 的中点，
∴点E 到平面BCD 的距离等于点1D 到平面BCD 的距离的一半，
A 1
∴点E 到平面BCD 的距离1114222
d DD =
=⨯=， ∴三棱锥1D BDE -的体积111133
D BCD
E BCD BCD BCD V V V S DD S d --=-=⨯-⨯△△， ()113
BCD S DD d =-△ ()113342332=⨯⨯⨯⨯-= 即三棱锥1D BDE -的体积为3.
19．解：（1）∵5sin 8sin C B =，
由正弦定理得58c b =，即85
c b =. 代入已知()2253a b bc -=，整理可得75
a b =， ∴22222287155cos 82225
b b b b
c a BAC bc b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯， 结合0BAC π<∠<，可得3BAC π
∠=.
（2）因为5AC b ==，于是由（1）得7a =，8c =. 根据余弦定理得2225781cos 2577
C +-==⨯⨯，
进而可得sin 7C ==
， 又6DAC π
∠=，
∴1113sin sin sin 66272
714ADC C C πππ⎛
⎫⎛⎫∠=--=+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在ADC △中，由正弦定理得
sin sin AC AD ADC C
=∠
，即51314=
13AD =. 20．解：（1）∵()42f x a ≤-，
∴()2
220x a x a -++≤， 即()()20x a x --≤；
当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；
当2a =时，不等式解集为{}2x x =；
当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤.
综上所述，当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； 当2a =时，不等式解集为{}2x x =；
当2a >时，不等式解集为{}
2x x a ≤≤.
（2）∵对任意的[]0,4x ∈，()10f x a ++≥恒成立， ∴()2250x a x a -+++≥恒成立， 即()125a x x x -≤-+恒成立.
当1x =时，不等式为04≤恒成立；
当(]1,4x ∈时，2254111
x x a x x x -+≤=-+--， ∵14x <≤，∴013x <-≤， ∴4141x x -+
≥-，当且仅当411
x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=”. ∴4a ≤. 当[)0,1x ∈时，2254411111x x a x x x x x -+⎛⎫≥=-+=--+ ⎪---⎝
⎭. ∵01x ≤<，∴011x <-≤.
令1t x =-，则(]0,1t ∈， ∵函数4y t t ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
在(]0,1上单调递增， ∴当11t x =-=，即0x =时，函数4y t t ⎛
⎫=-+
⎪⎝⎭取到最大值－5， ∴5a ≥-.
综上所述，a 的取值范围是[]5,4-.。