罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)
罗默高级宏观经济学第3版教材精讲和经典考题串讲视频下载
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•试看部分内容第1章索洛增长模型[视频讲解]第一部分重难点解读“一旦人们开始思考（经济增长）问题，他将很难再顾及其他问题。
”——罗伯特·卢卡斯（Robert Lucas，1988）1.1 模型假设投入与产出生产函数采取如下形式：其中，：时间，：有效劳动——劳动增加型的或哈罗德中性。
生产函数生产函数是规模报酬不变的：，对于所有规模不变结合两个不同的假设：第一是经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部利用。
第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。
把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数：定义，以及，得：关于的假设：（1），，（如何推导？比较重要！）（2）稻田条件（Inada condition）：，柯布一道格拉斯函数：。
罗默《高级宏观经济学》第3版课后习题详解(传统凯恩斯主义波动理论)【圣才出品】
罗默《高级宏观经济学》第3版课后习题详解第5章传统凯恩斯主义波动理论5.1描述下列每种变化如何影响IS 与MP 曲线。
（a）税收下降。
（b）政府购买下降，同时，联邦储备局改变其政策规则，以便将较高的真实利率建立在比以前更高的产量水平上。
（c）货币需求增加（即消费者的偏好改变，使得在既定的i 与Y 水平上，它们想持有比以前更多的真实资产）。
（d）投资需求变得对利率不敏感。
答：（a）在既定的产出和通胀水平下，税收水平不会影响联邦储备局对实际利率的选择。
也即，税收不会出现在MP 曲线方程()()[]1/1/d d e Y T Y T i Y i C C I L L G G π-----+<，()r r Y π=，之中。
因此，税收下降，MP 曲线保持不变。
但是，由于计划支出()E E Y r G T = ，，，，其中0ET <，故税收下降会提高既定产出和实际利率水平下的计划支出，计划支出曲线将向上移动。
最终实际支出和计划支出都将增加，IS 曲线将向右移动。
（b）政府购买下降不会影响MP 曲线，因为它不会影响联储在既定的Y 和π下对r 的选择。
但是，由于0EG >，故政府购买下降会降低既定产出和实际利率水平下的计划支出。
因而计划支出曲线将下移，最终实际支出和计划支出都减小，IS 曲线将向左移动。
当联储在既定的产出下设定更高的实际利率时，由()r r Y π=，可知，MP 曲线将向上移动。
（c）货币需求不会影响计划支出，从而IS 曲线保持不变。
它也不会影响联储的货币政策规则，从而也不会影响既定产出和通胀水平下的联储合意的实际利率，从而MP 曲线也不受影响。
货币需求的增加仅仅意味着在联储选择的实际利率r 下，为了保持货币市场均衡，联储需要调整名义货币供给M 。
（d）由教材中的（5.6）式可知，沿着IS 曲线，r 的变化对Y 的影响为：d 0d 1rISrE YrE =<-如果投资需求变得对实际利率不敏感，则Er 的绝对值将变小。
罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题详解（第3章新增长理..
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第3章 新增长理论跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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3.1 考虑教材中第3.2节中1θ<时的模型。
（a ）在均衡增长路径上，()A A g t *=，其中A g *是A g 的均衡增长路径值。
利用这个事实以及方程（3.6）()()() L t B a L A t A t θγ=［］推导均衡增长路径上() A t 的一个表达式，把它用B 、L a 、γ、θ和()L t 来表示。
（b ）应用对（a ）问的答案以及生产函数()()()()1L Y t A t a L t =-，求均衡增长路径上()Y t 的表达式。
求最大化均衡路径产出的L a 的值。
答：（a ）关于产出和知识的生产函数为：()()()()1L Y t A t a L t =- （1）()()()() 1L t B a L t t A A θγθ=<［］ （2） 在均衡增长路径上，()()()//1A A t A t g n γθ*==- （3） 对（2）两边除以() A t ，即：()()()()1/L t A t Ba L t A A t γθγ-=（4）将（3）（4）联立得：()()()()()11/1/(1)L L Ba L t t n A n Ba L t A t γθθγγγγθγθ--⎡⎤=-⇒=-⎣⎦上式简化为：()()()()1/11/L A t Ba L t n θγγθγ-⎡⎤=-⎣⎦（5）（b ）将（5）代入（1）得：()()()()()()()()(1/11/1/11)()())1(/1/11/1L L L L Y t Ba L t n a L t B n a a L t θγγθγθγθθγθγ---+-⎡⎤=--⎣⎦- -⎡=⎤ ⎣⎦［］两边取对数，可得：()()()()()()()()ln 1/1ln 1//1ln ln 1/11ln L L Y t B n a a L t θθγγθγθ⎡⎤=--+-+-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦一阶条件为：经过简单的数学运算求L a *：（6）θ值越大，新知识在生产函数中的作用越大。
5-罗默高级宏观经济学
我们在求导的时候注意 是一个常数， 表示的是家庭在两个时期转换消费的消费意愿， 越小，随着消费的上升边际效用下降的越慢，家庭越愿意跨期消费。
2.2企业行为和家庭行为
资本要素完全竞争---利率=资本的边际产出
工资=劳动的边际产出
宏观经济学的起点——凯恩斯1936年的通论
高级宏观经济学的起点——将我们的动态最优的分析方法，1928年开始提出，196几年的时候才开始运用，现在宏观经济学运用最多的就是这个模型
这样的争论是，资本的所有者是否应该
资本存量的增长率先是增加，然后增加的逐渐下降，
资本存量的变化率
资本存量本身是一定是往上走的，是递减的增加
和资本存量的增长率相对应
劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的
变动，因为技术进步率是不变的
劳军产出的对数值
每单位劳动的平均消费是怎么变化
取决于产出怎么变
也取决于劳动怎么变
投资先快速下滑，然后回归到新的均衡
我们经济学是先提出假定，然后在这个基础上发展框架
政治经济学中资本对劳动的剥削，只要你进行劳动，就有剩余
资本对劳动存在剥削，
因为只有劳动创造价值，其他因素不占有价值，其他要素获取剩余价值，所以就有对劳动的剥削
劳动者得到工资L——w
资本所有者得到利息K——r(一定是来自于劳动者的贡献)—所以这就应该是剥削
考虑一个变量对另一个变量的影响，
最基本的方式就是求导；
还有一个是弹性的概念总产出增加2%，储蓄增加X%。
有一个基本的方程，如果卡住了，把那个公式写到一遍，就一定能得到启发
如果储蓄率一定的话，经济会收敛到唯一的一个均衡点
考察经济收敛的速度，核心的变量就是资本存量
罗默《高级宏观经济学》第3版课后习题详解(不完全名义调整的微观经济基础)【圣才出品】
（8）
注意： ln E eui Pi 是不取决于 Pi 的一个固定值。将（8）代入（3）得到最优劳动供给
的对数：
li 1 / 1 E ln Pi / P Pi ln E e ui Pi
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或更简化的形式：
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li 1 / 1 E ln Pi / P Pi 1 / 1 ln E e ui Pi
（9）
（9）式右边的第一项 1/ 1 E ln Pi / P | Pi 是劳动供给（对数）的确定性等价选择，
第二项是常数。因此最大化预期效用的劳动 li 不同于确定性等价的值。
6.2
（该题引自迪克西特与斯蒂格利茨
1977。）设方程 Ui
Ci
1
Li
，
1 中消费指
数 Ci 是
Ci
1 j0
Z
1 j
/
Cij
1
/
dj
/
1
，这里 Cij
是个人 i
对物品
j
的消费量，而
Zi
是其对物品
j 的偏好
冲击。假设个人把数量为 Yi 的收入花费在产品上，因此其预算约束为
1 j0
Pj Cij dj
Yi
。
（a）找出在预算约束限定性使 Ci 最大化的一阶条件。解出用 Z j 、Pj 与预算约束的拉格
（c）设（如在卢卡斯模型那样） ln Pi / P E ln Pi / P | Pi ui ，其中， ui 是正态分布
的，其均值为零，并且方差不依存于 Pi 。这意味着 ln E Pi / P | pi E ln Pi / P | Pi C — —这里 C 是一个常数，其值独立于 Pi 。（提示：注意 Pi / P exp E ln Pi / P | Pi exp ui ，并
无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
推导二
进一步推导出资本积累的动态过程，以及资本 的边际生产率如何随时间变化。
推导三
分析不同生产率个体之间的财富积累和转移机制。
模型验证
验证一
将模型预测结果与实际数据对比，检验模型的适用性 和准确性。
验证二
通过模拟不同政策条件下的经济运行，评估模型的预 测能力和政策效应。
验证三
与其他经济模型进行比较，分析模型的优缺点和适用 范围。
在无限期界内，经济系统的状态变量和参数可以随时间变化，但这种变化 不会导致经济系统的终结。
无限期界模型通常用于研究长期经济增长和发展问题，以及与时间变化相 关的经济现象。
世代交叠定义
世代交叠是指不同年龄段的人群在时间 上重叠，即不同世代的人同时存在于经 济系统中。
在世代交叠模型中，不同世代的人具有不同 的偏好、生产能力和消费习惯，这些差异会 影响经济系统的运行和动态变化。
无限期界与世代交叠模型（Romer版本）是经济 增长理论中的重要模型之一，它揭示了技术进步 和创新对经济增长的长期影响。
该模型还指出，技术进步和创新具有外部性，即 一个企业的技术进步和创新不仅会提高自身的生 产效率，还会对其他企业产生正的外部性，从而 促进整个经济的增长。
该模型强调了技术进步和创新在经济增长中的核 心作用，认为技术进步和创新是推动经济增长的 持续动力，而这种动力来自于知识的积累和溢出 效应。
未来研究方向
拓展模型应用范围
进一步探索该模型在不同领域的应用， 如环境经济学、发展经济学等。
放松假设条件
结合其他理论
尝试放宽模型假设，使其更接近现实 世界的复杂性，提高模型的解释力和
预测能力。
将该模型与其他经济学理论相结合， 如信息经济学、行为经济学等，以提
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在
会有一收益
，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低Hale Waihona Puke 费。，同时厂商受到生产函数
的约束。这是一个典型的最优化问
题。
构造拉格朗日函数： 求一阶导数：
得到：
上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：
（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
因为 k 保持不变，即 知：
，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为： （3）
对方程（3）两边关于 g 求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于 由
决定，对该式两边关于 g 求导数，可得：
，从而求出 为：
（a）考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
罗默《高级宏观经济学》章节题库(无限期模型与世代交叠模型)【圣才出品】
n g 2
f k 1 k 2 代入方程（6）中，可得：
s g
ng
k
k
k
1
k
k
1
k 2
k k 1 k 2
简化为：
s n g k (1 ) (1 )k k1
f k* k* / g ，从而求出 k / g 为：
k* / g / f k* 0
（5）
将方程（5）代入（4）中，可得：
s g
n
g
f
k k f k f f k 2 f k
不过，此处无法确定新的均衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定 每单位有效劳动的消费 c 是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的均衡增长路径恰 好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费 c 甚至可能保持不变。因此，c 和 k 逐步移动到新的均衡增长路径，此时的值高于原先的均衡增长路径值。
核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
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在均衡增长路径上，要求 c 0 ，即 f k g ，在 g 永久性地下降时，为保持 c 0 ， f k 必须下降。由于 f k 0 ，因而 f k 下降必然导致 k 上升。因此，c 0
必须上升，在图形上表现为 c 0 向右移动，如图 2-1 所示。
（c）在 g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因 而不会发生不连续的变化。它仍然保持在均衡增长路径 k*处。
高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案(2020年九月整理).doc
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：（a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。
假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
2018年罗默高级宏观答案-实用word文档 (21页)
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4.1 对美国以外的其他国家进行与表4.1、表4.2或表4.3相类似的计算。
答：可以到网上查找相关国家的数据进行计算。
4.2 对以下各项作出与表4.3相类似的计算：（a）雇员的薪水在国民收入中所占份额。
（b）劳动力参与率。
（c）联邦政府预算赤字在GDP中所占份额。
（d）标准普尔500种股票综合价格指数。
（e）穆迪Baa债券和Aaa债券收益率之差。
（f）10年期和3月期美国国库券收益率之差。
（g）美元对其他主要货币的加权平均汇率。
答：读者可以到网上查找相关国家的数据进行计算。
4.3 令A0表示第0期的A值，并令lnA的行为由方程（4.8）和（4.9）给定。
（a）把lnA1、lnA2和lnA3用lnA0、εA1、εA2、εA3、和g来表示。
（b）根据εA的期望为0这一事实，当给定lnA0、和g时，求lnA1、lnA2和lnA3的期望值。
答：（a）首先给出表示技术进步的公式，即方程（4.8）和（4.9）：lnAt=+gt+At （1）At=ρAAt-1+εA，t，-1<ρA<1 （2）令lnA0表示在时期0时的lnA值，结合公式（1），可以得到下面的公式：lnA0=+g?0+A0整理后求解A0：A0=lnA0-（3）在时期1，利用方程（1）和（2）可得到：lnA1=+g+A1 （4）A1=ρAA0+εA，1 （5）将方程（3）代入方程（5）得：（6）再将方程（6）代入方程（4）可得：（7）在时期2，结合方程（1）和（2）得：lnA2=+2g+A2 （8）A2=ρAA1+εA，2（9）将方程（6）代入方程（9）得：（10）再将方程（10）代入方程（8）可得：（11）在时期3，通过方程（1）和方程（2），可得：lnA3=+3g+A3 （12）A3=ρAA2+εA，3 （13）将方程（10）代入方程（13）可得：（14）再将方程（14）代入方程（12）得：（15）（b）通过方程（7）可以得到lnA1的期望值，即：上步用到了E? 1??ε A ，?=0。
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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。
设()·0f '>，()()***1c s f k =-。
设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。
（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。
（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。
这是一个典型的最优化问题。
().mi . n s t w Y ALf k AL rK = +本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
第二章-无限期界与世代交叠模型(罗默版本)
• L(t)为经济中的总人口
• L(t)/H为每个家庭的成员数
• u(C(t))L(t)/H为t时刻家庭的总瞬时效用
• ρ为贴现率， ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未 来消费估值越低。
• 瞬时效用函数u(C(t))为凹函数，即 • u'[C(t)]>0，u''[C(t)]<0 • 常用的瞬时效用函数为：
t0
e
R
(t
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[W
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(2.7)
K (0)
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)
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(2.8)
• s时刻，家庭拥有的资本存量为：
K (s) eR(s) H
K(0) H
s t 0
e
R
(s
• 从跨期消费权衡视角来考虑： • 消费者将今天的消费节省一部分用于明天消费，均衡出必
然要求两者变动导致的终身总效用不变。
• 假设t时刻消费者将dc的消费转化为储蓄，导致的效用损
失为： Betc(t) dc(t)
• 在一个较短的时刻dt将其进行投资，并在t+dt时刻消费这 部分收入带来的效用增加量为：
1
]dt
B
et
t 0
c(t )1
1
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(2.12)
B A(0)1 L(0) , n (1 )g
罗默《高级宏观经济学》第3版课后习题详解(失业)【圣才出品】
1 1 bu
（8）
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（9）
将 wn 1 bu wa / 1 代入 e w x / x 中得到：
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1.15
0.03 0.18
0.03
1.0898
（17）
在 0.03 处，努力程度关于工资的弹性变低，工会部门有效劳动的成本对非工会部门
有效劳动的成本的比率变高了。
9.2 效率工资与谈判（Garino and Martin 1999）。萨默斯（1988，第 386 页）声称
（2）将 f 0.15 ， 0.03 及 b 0.5 代入（5）得到：
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0.03
0.5 1
0.15 0.15
0.15
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0.0525 0.51125
0.103
（16）
均衡失业率更高为 10.3%。将 0.15 和 0.03 代入（14）得到：
wu 1 wn 1 1 bu wa / 1
（7）
将 等 式 （ 7 ） 和 劳 动 市 场 条 件 指 数 的 定 义 x 1 bu wa ， 代 入 努 力 的 表 达 式
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罗默高级宏观经济学答案
罗默高级宏观经济学答案【篇一：罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章无限期界与世代交叠模型)】模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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*以成本r租借资本，并且拥有相同的a值。
（a）考虑一位厂商试图以最小成本生产y单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平??????*f??c?c?0?k??＜0csf?k*???n?g???kt?lt?1??1?n?lt唯一地被确定并独立于y，所有厂商??因此选择相同的k值。
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这是一个典型的最优化问题。
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很明显，k的选择独立于y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和a，下面是n个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的a并且选择相同数量的k，k的决定独立于y的选择。
因此，如果单一厂商拥有l的劳动人数，则它也会生产y?alf?k?的产量。
这恰好是n个厂商成本最小化的总产量。
（2.43）设p1与p2表示两个时期的消费价格，w表示个人终生收入值，因此预算约束为pc11?p2c2?w。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题问题详解
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=，，或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第1章 索洛增长模型)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1.1 增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t Y t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果：则得到（c ）的结果。
1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。
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罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。
设()·0f '>，()()***1c s f k =-。
设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。
（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。
（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。
这是一个典型的最优化问题。
().mi . n s t w Y ALf k AL rK = +本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
因此，如果单一厂商拥有L 的劳动人数，则它也会生产()Y AL f k =的产量。
这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险厌恶不变的效用条件下的替代弹性。
考虑一个寿命为两个时期且效用由教材中方程（2.43）给定的个人。
（2.43）设1P 与2P 表示两个时期的消费价格，W 表示个人终生收入值，因此预算约束为1122PC P C W +=。
（a ）给定1P 、2P 与W ，效用最大化个人的1C 与2C 的选择是什么？（b ）两个时期的消费的替代弹性是()()()()12121212//////P P C C C C P P -∂∂⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，或者()()2211ln //ln /C C P P -∂∂。
证明在效用函数为教材中方程（2.43）的条件下，1C 与2C 之间的替代弹性是1θ。
答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）1122..s t PC P C W += （2）求解约束条件：2112//C W P C P P =- （3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4） 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对1C 求一阶条件可得：再简化为：()()1/1/12121/C P P C θθρ=+ （5）将方程（5）代入（3），则有：()()()()()1/1/1/1/22212122212/1//11//C W P P P C P P C P P W P βββββρρ-⎡⎤=-+++=⎣⎦再简化为：Born to win经济学考研交流群 <<<点击加入985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：()()1/1/1221/C 1/C P P ββρ=+ （8）对方程（8）两边取对数可得：()()()()()1221ln /C 1/ln 11/ln /C P P θρθ=++ （9）则消费的跨期替代弹性为：因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a ）设人们预先知道，在某个0t 时刻，政府将把每个家庭所持有的财富没收一半。
在该时刻消费发生非连续的变化吗？如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？（b ）设人们预先知道，在0t 时刻，政府将在该时刻把每个家庭相当于其平均所持有的一半的财富没收。
在0t 时刻，消费发生非连续的变化吗?如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期t ∆内，从()0t ε-到()0t ε+。
考虑家庭在()0t ε-时期减少每单位有效劳动的消费为c ∆。
然后他在()0t ε+投资并消费这一部分财富。
如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本()u c c '∆前，在()0t ε+会有一收益()r t n g te c --⎡⎤∆⎣⎦∆，财富的回报率为()r t ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为[]()()1/2r t n g tu c e c --∆⎡⎤⎣⎦'∆后。
总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：在0c ∆≠时，有下式：因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。
征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b ）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。
家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4 设教材中方程（2.1）瞬时效用函数()u C 为ln C 。
考虑一个在方程（2.6）约束下旨在最大化方程（2.1）的家庭的问题。
给出在每一时刻由初始财富与劳动收入现值之和、()r t 的路径与效用函数参数表示的C 的表达式。
注意：（2.1）（2.1）中，()C t 是在£时刻家庭每个成员的消费。
()u 是瞬时效用函数——它给出了既定时刻家庭每个成员的效用。
()L t 是经济的总人口，()/L t H 因此是每个家庭的成员人数。
故()()()u C t L t H ／是t 时刻家庭的总瞬时效用。
最后，ρ是贴现率。
ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小。
由于每个家庭有()/L t H 个成员，在t 时刻其劳动总收入为()()W t L t H ／，并且其消费支出为()()C t L t H ／。
在0时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的1/H ，或等于()0/K H 。
因此，家庭预算为：（2.6）答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
（1）（2）令建立拉格朗日方程：Born to win经济学考研交流群 <<<点击加入985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解求一阶条件：抵消()/L t H 项得：()()1R t t e C t eρλ---= （3）可以推出：()()1R t t C t e e ρλ--= （4）将其代入预算约束方程：（5）将()()0nt L t e L =代入上式：（6）只要0n ρ->，则积分项收敛，为()1/n ρ-，则：（7）将方程（7）代入（4）：（8）因此，初始消费为：（9）个人的初始财富为()/0W L H ⎡⎤⎣⎦／，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。
()n ρ-为个人的财富边际消费倾向。
可以看出，这个财富边际消费倾向在均衡增长路径上是独立于利率的。
对于折现率ρ而言，ρ越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
2.5 考虑一个其效用由教材中方程和方程给定的家庭。
设真实利率不变，并且W 表示家庭的初始财富与其终生劳动收入现值之和教材中方程的右边，给定r 、W 与效用函数的参数，求出C 的效用最大化路径。
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：（1）（2）W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r 是常数。
建立拉格朗日方程如下：求一阶条件，可得：抵消()/L t H ，得：()t t e C t e ρθγλ---= （3）两边对时间t 求导，可得：得到下面的方程：（4）将方程（3）代入（4），可得：抵消t e γλ-然后求消费的增长率()()/C t C t ，可得：（5）Born to win经济学考研交流群 <<<点击加入985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解由于利率r 是常数，所以消费的增长率为常数。
如果r ρ>，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果r ρ<，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。
如果r ρ>，则θ决定了消费增长的幅度。
θ值越低，也就是替代弹性越高，1/θ越高，即消费增长的越快。
重写方程（5），得：（6）对方程（6）积分，积分区间是从时间0τ=到时间t τ=，可得：上式可以简化为：[][]()/0/lnC t C r t ρθ=- （7）对方程（7）两边取指数，可得：()()[]//0r t C t C e ρθ-=（），整理得：()()[]/ 0r tC t C e ρθ-=（） （8）下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：将()()0nt L t L e =代入上式，可得：（9）只要[]/0r r n ρθθ-+->（），从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：（10）将方程（10）代入（9）中，求解()0C ：（11）将方程（11）代入（8），求解()C t ：（12）上式便是C 的效用最大化路径。
2.6 生产力下降与储蓄。
考虑一个正处在其均衡增长路径上的拉姆齐—卡斯—库普曼经济，并且设g 永久性地下降。
（a ）如果这个变动影响0k =曲线，它将怎样影响？ （b ）如果这个变动影响0c =曲线，它将怎样影响？（c ）在变动时刻，c 会发生什么事情？（d ）找出g 的边际变化对正处在均衡增长路径上的产出的储蓄份额产生影响的表达式。
人们可否说明这种表达式为正还是为负？（e ）对于生产函数是柯布—道格拉斯的情形，即()k k α=，请重新写出用ρ、n 、g 、θ与α表示的（d ）的答案。
（提示：利用事实()*f k g ρθ'=+。