【数学】2011高考二轮复习数学学案(9)平面向量

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2011届高三数学期末复习(平面向量)导学案

平面向量(1)【考纲要求】题型一：平面向量的概念及基本线性运算1.南通1）设向量a ，b 满足：3||1,2=⋅=a ab ，+=a b ||=b 2.盐城1）向量(1,2)a =，(1,3)b =-，则a 与b夹角的余弦值 3）已知1,3,0OA OB OA OB ===，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，(),m n ∈R ，则mn= .题型二：平面向量的平行与垂直的应用1．盐城2）已知向量()0,1,(1,3),(,)OA OB OC m m ===，若//AB AC ，则实数m = 2.盐城3）已知向量()()2,1,3,a b λ==，若()2a b b -⊥，则λ=3）09南通1）已知a ，b 为不共线的向量，设条件M ：⊥-（）b a b ；条件N ：对一切x ∈R ，不等式x --≥a b a b 恒成立．则M 是N 的条件．ADCBM N第（13）题题型三：平面向量的数量积运算1.苏锡常1）已知两个单位向量1e ,2e 的夹角为120，若向量122=+a e e ，=b 2. 09盐城2）已知,,O A B 是平面上不共线三点，设P 为线段AB 点，若||7OA =，||5OB =，则()OP OA OB -的值为3.09南京1）如图，在正方形ABCD 中，已知2=AB ，M 为BC 方形内（含边界）任意一点，则AM AN •的最大值4.南通3）在菱形ABCD 中，若4AC =,则CA AB ⋅=5.苏州信息卷）函数()tan 42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB +⋅题型四：平面向量与三角的综合1.扬州1）设向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若|2||2|a b a b +=-，则βα-=2.镇江）点O 在ABC ∆内部， OC OB AB 54+=，则OAB ∆与OBC ∆的面积之比为平面向量(2)题型五：平面向量与其他知识的综合1.扬州2）如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，AP AB AF αβ=+（α、β∈R ），则α+β的取值范围是．2.09南通2）设函数()11()21xf x x x =++, A 0为坐标原点，A n为函数y =f （x ）图象上横坐标为*()n n ∈N 的点，向量11nn k k k A A -==∑a ，向量i =（1，0），设n θ为向量n a 与向量i 的夹角，则满足15tan 3nk k θ=<∑ 的最大整数n 是3.已知不共线的两个单位向量,OA OB 的夹角为120，点C 在线段AB 上，设向量OC =(),xOA yOB x y +∈R ，⑴试求,x y 满足的关系式；⑵若OC ⊥OB ，求,x y 的值；⑶延长OC 至点D ,使1OD =，记OD =(),OA OB λμλμ+∈R ，求λμ+的最大值.B AC4.（1）已知点的值的直径，求是圆（PM PM 1)2),3,2(22⋅=+--y x MN P2221(2)11612x y P x y +=-+=2(2)若是椭圆上的任意一点,MN 是圆的直径, PN PM ⋅求的最值。

高考数学二轮复习学案(9)平面向量新人教A版

平面向量【学法导航】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。

能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。

这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。

二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性【专题综合】1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理例1. (2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11解：(a+2b)(1,2)2(3,4)(5,6)-+-=-，(a+2b)·c (5,6)(3,2)3=-⋅=-，选C点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字例2、(2008广东文)已知平面向量),2(),2,1(mba-==，且a∥b，则ba32+=（）A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）解：由∥，得m＝－4，所以，ba32+＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。

2011年高考第二轮专题复习(教学案)：平面向量

2011 年高考第二轮专题复习（教学案）：平面向量
2011 年高考第二轮专题复习（教学案）：平面向量
考纲指要：
重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量
的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

考点扫描：
1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量（共线向量）；⑤相等向量。

2．向量的运算：（1）向量加法；（2）向量的减法；（3）实数与向
量的积。

3．基本定理：（1）两个向量共线定理；（2）平面向量的基本定理。

4．平面向量的坐标表示。

5．向量的数量积：（1）两个非零向量的夹角；（2）数量积的概念；（3）数量积的几何意义；（4）向量数量积的性质；（5）两个向量的数量积的坐标运算；（6）垂直：如果与的夹角为900 则称与垂直，记作⊥。

6．向量的应用：（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。

考题先知：
例1．已知二次函数f（x）＝x2－2x＋6，设向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，），[来源:]
c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a·b）>f（c·d）的解集为___________．[来源:]
解：a·b＝2sin2x＋1≥1，c·d＝cos2x＋1≥1，f（x）图象关于x＝1 对称，。

新教材高中数学第9章平面向量9 1向量概念学案含解析苏教版必修第二册

第9章平面向量9.1向量概念学习任务核心素养1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．(重点)2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点) 3．理解向量的几何表示．(重点)1．通过学习向量的有关概念，培养数学抽象素养．2．通过学习共线向量、相等向量、零向量等概念及表示，培养数学运算素养．1．民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)．2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ＝43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35 m/s(如图乙)．甲乙问题：上述实例中的“位移”“速度”“力”与生活中我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？如何表示上述既有大小又有方向的量？定义既有大小又有方向的量叫作向量表示方法(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为AB→；(2)字母表示：用小写字母a，b，c来表示模向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|1．定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一个方面可以吗？〖提示〗向量不仅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代数特征，方向描述了向量的几何特征，两者缺一不可，故不能只描述其中一个方面．1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)．①⑥⑦⑧ 〖一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．〗知识点2 向量的有关概念及其表示名称定义表示方法零向量长度为0的向量记作0 单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量方向相同或相反的非零向量 a 与b 平行(或共线)，记作a ∥b相等向量长度相等且方向相同的向量 a 与b 相等，记作a ＝b 相反向量长度相等且方向相反的向量a 的相反向量记作－a2．(1)零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？(2)已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？ (3)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？〖提示〗 (1)零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线．(2)因为向量AB →和向量BA →方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．(3)不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)有向线段就是向量． ( ) (2)两个向量的模能比较大小． ( ) (3)有向线段可以用来表示向量． ( ) (4)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ． ( ) (5)单位向量的模都相等．( )〖答案〗 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√类型1 向量的概念〖例1〗判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)任何两个单位向量都是平行向量； (2)零向量的方向是任意的；(3)在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则向量DE →与CB →是平行向量； (4)对于向量a 、b 、c ，若a ∥b ，且b ∥c ，则a ∥c ；(5)若非零向量AB →与CD →是平行向量，则直线AB 与直线CD 平行； (6)非零向量AB →与BA →是模相等的平行向量．〖解〗 (1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反； (2)正确．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；(3)正确．由三角形中位线性质知，DE ∥BC ，向量DE →与CB →方向相反，是平行向量； (4)错误．b 为零向量时，有a ∥b 且b ∥c ，但a 与c 的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；(5)错误．A 、B 、C 、D 四点也可能在同一条直线上；(6)正确．非零向量AB →与BA →的模相等，方向相反，二者是平行向量．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．〖跟进训练〗1．判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)若向量a 与b 同向，且|a|＞|b |，则a ＞b ；(2)若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a |＝|b |，若a 与b 的方向相同，则a ＝b ； (4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行．〖解〗 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b ． (4)不正确．依据规定：0与任一向量平行．类型2 向量的表示〖例2〗一辆汽车从A 点出发，向西行驶了100千米到达点B ，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D ．(1)作出向量AB →，BC →，CD →，AD →； (2)求|AD →|．依据向量的几何特征和代数特征，分别作出向量AB →，BC →，CD →，AD →；进而求出|AD →|.〖解〗 (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD ．又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB ═∥CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量.〖跟进训练〗2．(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝5，画出所有的向量AC →．(2)已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．①作出向量AB →，BC →，CD →，DA →；②问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？〖解〗 (1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)①由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示，②依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km ．又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 000 2 km ，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°．所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km ．类型3 共线向量〖例3〗 (对接教材P 6例2)如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数有______个．8 〖如图所示，满足与AC →平行且长度为22的向量有AF →，F A →，EC →，CE →，GH →，HG →，IJ →，JI →共8个．〗1．(变条件)在本例中，与向量AC →同向且长度为22的向量有多少个？〖解〗与向量AC →同向且长度为22的向量占与向量AC →平行且长度为22的向量中的一半，共4个．2．(变条件)在本例中，与向量AO →相等的向量有多少个？〖解〗题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量AO →方向相同的向量与其相等，共有8个．1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．1．(多选题)下列说法正确的是( ) A ．零向量的长度为零B ．零向量与任一向量都是共线向量C ．零向量没有方向D ．零向量的方向是任意的ABD 〖零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C 错误，故选ABD ．〗 2．下列说法中正确的个数是( )①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A ．0B ．1C ．2D ．3B 〖向量具有大小和方向两个要素，故只有④正确，选B ．〗 3．设M 是等边△ABC 的中心，则AM →，MB →，MC →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．相等的向量 C ．模相等的向量D ．平行向量C 〖M 是等边△ABC 的中心，故|MB →|＝|MC →|＝|AM →|，选C ．〗4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且|AB →|＝1，|AC →|＝2，则|BC →|＝________． 5 〖因为|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＝5，所以|BC →|＝5．〗5．如图所示，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．在以A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 为起点或终点的向量中，回答下列问题．(1)模与a的模相等的向量有多少个；(2)请列出与a的长度相等，方向相反的向量；(3)请列出与a共线的向量；(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．〖解〗(1)满足条件的向量有23个．→，BC→，AO→，FE→．(2)与a的长度相等，方向相反的向量有OD→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→．(3)与a共线的向量有EF→，DO→，CB→；与b相等的有DC→，EO→，F A→；与c相等的有ED→，FO→，AB→．(4)与a相等的有EF回顾本节知识，自我完成以下问题：1．向量与数量相同吗？〖提示〗不同．①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．②数量可以比较大小，向量不能比较大小．2．向量与有向线段有何区别和联系？〖提示〗①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．3．向量平行具备传递性吗？举例说明．〖提示〗向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c．向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学，被称为矢量．很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle，公元前384—前322)就知道了力可以表示成向量．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,1642—1727)．向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向，线段长表示大小的有向线段来表示它．1806年，瑞士人阿尔冈(R ．Argand,1768—1822)以AB →表示有向线段或向量．1827年，莫比乌斯(Möbius,1790—1868)以AB →表示起点为A ，终点为B 的向量，这种用法被数学家广泛接受．另外，哈密尔顿(W ．R ．Hamilton,1805—1865)、吉布斯(J ．W ．Gibbs,1839—1903)等人则以小写希腊字母表示向量．1912年，兰格文用 a →表示向量，后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其在手写稿中．为了方便印刷，用粗黑体小写字母a ，b 等表示向量，这两种符号一直沿用至今．向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的．1797年，丹麦数学家威塞尔(C ．Wessel,1745—1818)利用坐标平面上的点(a ，b )表示复数a ＋b i ，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量．你能体会用符号表示向量的优越性吗？。

2011届高三数学二轮专题复习课件：平面向量

5
（8）
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2010年
（12）
5
（12）
5
二轮专题平面向量
数学
1．用图形描述向量加法、减法的几何意义．提示向量的加、减法运算法则．如图．
二轮专题平面向量
数学
rr 2．设 a ，b 为两个非零向量，写出它们平行的充
要条件(向量形式与坐标形式)．
提示
rr r r
(1)向量式： a Pb a＝b( 0)；
二轮专题向平量面向与量三角函数、解三角形结合
数学
r
r
r
(2009·湖北))已知向量 a ＝(cos α，sin α)， b ＝(cos β，sin β)，
c ＝(－1,0)． r r
(1)求向量 b ＋ c 的长度的最大值；
(2)设
α＝π4且
r a
⊥(
r b
＋
r c
)，求
cos
β
的值．
思路引导 (1) 由b、c求b＋c → 求|b＋c|2的表达式 → 求三角函数的最值 → 得出结论 (2) 由a⊥(b＋c) → a·(b＋c)＝0 → 三角函数式 → 求出cos β的值
二轮专题平面向量
2
数学
二轮平专面题向平量面向的量数量积
数学
【例 2】 (2010·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
二轮专题平面向量
数学
拓展提升——开阔思路提炼方法
rr (2)坐标式： a Pb x1 y2－x2 y1＝0.
二轮专题平面向量
数学

2011版高中数学二轮专题复习学案-2.3平面向量

专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲平面向量【最新考纲透析】1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

（3）理解向量的几何意义。

2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。

3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

5．向量的应用[来源:学科网]（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

【核心要点突破】要点考向1：向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。

2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。

3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。

考向链接：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。

（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。

例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a =(m ,n )，b p ,q )= （，令a ⊙b m q np =-，下面说法错误的是（） A.若a 与b共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b =b ⊙aC.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b =(a λ ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b+⋅=【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.【规范解答】选B ，若a 与b共线，则有a ⊙b 0m q np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b m q np =-，所以有a ⊙b ≠b ⊙a，故选项B 错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性要点考向2：与平面向量数量积有关的问题考情聚焦：1．与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）是高考考查的重点。

课标版2011届高三数学全程复习全套教学案：09 第九编解析几何(共67页)

第九编解析几何§9.1直线的倾斜角与斜率1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则α的范围为 . 答案 0°＜α＜135°2.（2008²全国Ⅰ文）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 . 答案 45°3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为 . 答案 14.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是 . 答案（-∞,-1）∪［0，+∞）5.若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-32的直线垂直，则实数a 的值为 .答案 -32更多成套系列资源请您访问：谢谢您对我们的帮助支持！例1 若α∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,6ππ，则直线2x cos α+3y +1=0的倾斜角的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,65例2 （14分）已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行；（2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解（1）方法一当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3,l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;2分基础自测当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-xa 2-3,l 2:y =xa-11-(a +1),l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a aa ，解得a =-1,5分综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分方法二由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1³2=0，由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2-1)-1³6≠0, 2分∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2aa a a4分⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =-1, 5分故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分（2）方法一当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 8分当a ≠1时，l 1:y =-2a x -3,l 2:y =xa-11-(a +1),12分由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ²a-11=-1⇒a =32.14分方法二由A 1A 2+B 1B 2=0，得a +2(a -1)=0⇒a =32.14分例3 已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1).试求：23++x y 的最大值与最小值.解由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k , 如图可知：k PA ≤k ≤k PB ,由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8，故23++x y 的最大值为8，最小值为34.1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是 . 答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,656,2.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？解 m=-5时，显然，l 1与l 2相交；当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-43m +，k 2=-m+52，它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m -，b 2=m+58.（1）由k 1≠k 2,得-43m +≠-m+52，m ≠-7且m ≠-1.∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.（2）由⎩⎨⎧≠=,,2121b b k k ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≠-+-=+-m m mm584355243，m =-7.∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +²⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m 52=-1，m =-313.∴当m =-313时，l 1与l 2垂直.3.若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3，那么xy 的最大值为 .答案 3一、填空题1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是.答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,2.（2009²姜堰中学高三综合练习）设直线l 1:x -2y +2=0的倾斜角为1α,直线l 2:mx -y +4=0的倾斜角为2α,且2α=1α+90°,则m 的值为 .答案 -23.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 . 答案 ⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为 . 答案 -25.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是 . 答案 -316.（2008²浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a = . 答案 1+27.已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 答案（-∞，-3］∪［1，+∞）8.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31二、解答题9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.解方法一直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23，则-m 1≥23或-m1≤-2，∴-32≤m ≤21且m ≠0.又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21.方法二过P 、Q 两点的直线方程为 y -1=1212+-(x +1),即y =31x +34,代入x+my +m =0, 整理，得x =-37+m m .由已知-1≤-37+m m ≤2,解得-32≤m ≤21.10.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得：（1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合. 解（1）由已知1³3≠m (m -2), 即m 2-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3.故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交. （2）当1²（m -2）+m ²3=0，即m =21时，l 1⊥l 2.(3)当21-m =3m ≠m 26,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当21-m =3m =m26，即m =3时，l 1与l 2重合.11.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.解设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0， ∴k AB ²k BC =0≠-1，即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. ①若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴xy 3-=0，即y =3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为（3，3）. ②若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =xy 3-，k CD =3-x y . 由于AD ⊥AB ，∴x y 3-²3=-1.又AB ∥CD ，∴3-x y=3.解上述两式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,59,518y x此时AD 与BC 不平行. 故所求点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛59,518,综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或⎪⎭⎫⎝⎛59,518.12.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解（1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=11+m (x +1).（2）①当m =-1时，α=2π;②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-， ∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33，∴α∈⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,6ππππ .综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ.§9.2 直线的方程、直线的交点坐标与距离公式1.下列四个命题中真命题的序号是 .①经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y -y 0=k （x -x 0）表示②经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示 ③不经过原点的直线都可以用方程1=+b y a x 表示④经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示答案 ②2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为 . 答案 x +y -5=03.（2008²全国Ⅱ文）原点到直线x +2y -5=0的距离为 . 答案 54.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为 . 答案 2x +y =05.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0例1 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解（1）方法一设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =32x ，即2x -3y =0.基础自测若a ≠0，则设l 的方程为1=+by a x ，∵l 过点（3，2），∴123=+aa，∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k2,令x =0,得y =2-3k ,由已知3-k2=2-3k ，解得k =-1或k =32,∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=32(x -3),即x +y -5=0或2x -3y =0.（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43.又直线经过点A （-1，-3），因此所求直线方程为y +3=-43(x +1),即3x +4y +15=0.例2 过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：（1）△AOB 面积最小时l 的方程；（2）|PA |²|PB |最小时l 的方程. 解方法一设直线的方程为1=+by a x (a ＞2,b ＞1),由已知可得112=+b a. （1）∵2ba12∙≤ba12+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =21ab ≥4.当且仅当a2=b1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24y x +=1,即x +2y -4=0.（2）由a2+b1=1,得ab -a -2b =0,变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |²|PB |=22)01()2(-+-a ²22)1()02(b -+-=]4)1[(]1)2[(22+-+-b a²≥)1(4)2(2--b a . 当且仅当a -2=1,b -1=2,即a =3,b =3时，|PA |²|PB |取最小值4. 此时直线l 的方程为x +y -3=0.方法二设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于 A ⎪⎭⎫⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 12（1-2k ）=21³⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k≥21（4+4）=4.当且仅当-4k =-k1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即x +2y -4=0.（2）|PA |²|PB |=22441)1(k k++ =84422++kk≥4,当且仅当24k=4k 2,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.例3 （14分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程.解方法一若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意. 4分若直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫⎝⎛+-+-191173k k ，k k , 由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25，解得k =0,即所求直线方程为y =1.12分综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.14分方法二设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),² ²则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0, 两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ① 6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25② 联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,12分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x =3或y =1.14分例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程. 解方法一由⎩⎨⎧+=+=132x y x y知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k =21(k =2舍去)，∴直线l 2的方程为x -2y =0.方法二设所求直线上一点P （x ,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点 P 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=∙--122110000x x y y xx yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x ,代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2³(y -1)+3, 整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y =0.1.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程；（2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =43x ,求直线l 1,l 3的方程.解（1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =kx,将（-5，2）代入y =kx 中，得k =-52，此时，直线方程为y =-52x ,即2x +5y =0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为ay ax +2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a =-21，此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=43.于是tan2α=ααsin cos 1-=3153541=-,tan2α=724)43(1432tan1tan 222=-⨯=-αα,所以所求直线l 1的方程为y -6=31(x -8), 即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=724(x -8),即24x -7y -150=0.2.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解方法一设直线l 的方程为1=+by a x （a ＞0,b ＞0）,∴A (a ,0),B (0,b ),∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24ba ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46y x +=1,即2x +3y -12=0.方法二设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2,令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3).即2x +3y -12=0.3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是5107.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -21=0,∴l 1与l 2的距离d =1057)1(2)21(22=-+--a ,∴521+a =1057,∴21+a =27,∵a ＞0,∴a =3.(2)假设存在这样的P 点.设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上，且53-C =52121+C ，即C =213或C =611，∴2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+611=0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式53200+-y x =52³2100-+y x ，即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意.联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-042021320000y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=,21,300y x (舍去).由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,042,061120000y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==18379100y x∴假设成立，P ⎪⎭⎫⎝⎛1837,91即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程. 解方法一由⎩⎨⎧=+-=+-.0723,052y x y x得⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴反射点M 的坐标为（-1,2）.又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0,y 0)，由PP ′⊥l 可知,k PP ′=-32=500+x y .而PP ′的中点Q 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,2500y x , Q 点在l 上，∴3²250-x -2²20y +7=0.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+.07)5(23,3250000y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.1332,131700y x根据直线的两点式方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0.方法二设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ),则3200-=--xx y y ,又PP ′的中点Q ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2,200y y x x 在l 上， ∴3³20x x +-2³20y y ++7=0,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⨯-=--07)(23320000y y x x xx y y可得P 点的坐标为 x 0=1342125-+-y x ，y 0=1328512++y x ，代入方程x -2y +5=0中，化简得29x -2y +33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、填空题1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为 . 答案22.已知直线l 1的方向向量为a =(1,3),直线l 2的方向向量为b =(-1,k ),若直线l 2过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是 . 答案 x +3y -15=03.若直线l 与两直线y =1,x -y -7=0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，-1），则直线l 的斜率是 . 答案 -324.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是 . 答案 x +2y -3=05.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 . 答案 2x +y -6=06.点（1，cos θ）到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离是41(0°≤θ≤180°)，那么θ= .答案 30°或150° 7.设l 1的倾斜角为α，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为-2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转2π-α角得直线l 3：x +2y -1=0，则l 1的方程为 .答案 2x -y +8=08.若直线l :y =kx -1与直线x +y -1=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 . 答案 (1,+∞) 二、解答题9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61.解（1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k +4，由已知，得（3k +4）（k4+3）=±6，解得k 1=-32或k 2=-38.直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b ,由已知，得|-6b ²b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0.10.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程；（2）求这条光线从P 到Q 的长度.解（1）设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点，∵k l =-1，∴k QQ ′=1. ∴QQ ′所在直线方程为y -1=1²（x -1）即x -y =0.由⎩⎨⎧=-=++,0,01y x y x解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.又∵M 为QQ ′的中点，由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+21212121''y x .解之得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.2,2''y x ∴Q ′（-2，-2）.设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线. 则P （2，3），Q ′（-2，-2），得入射线方程为222232++=++x y ，即5x -4y +2=0.(2)∵l 是QQ ′的垂直平分线，因而|NQ |=|NQ ′|. ∴|PN |+|NQ |=|PN |+|NQ ′|=|PQ ′| =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41.11.已知正方形的中心为直线2x -y +2=0,x +y +1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x +3y -5=0,求正方形其他三边的方程.解设与直线l :x +3y -5=0平行的边的直线方程为l 1:x +3y +c =0. 由⎩⎨⎧=++=+-01022y x y x 得正方形的中心坐标P （-1，0），由点P 到两直线l ,l 1的距离相等，则22223113151++-=+--c ,得c =7或c =-5（舍去）.∴l 1：x +3y +7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x -y +a =0,3x -y +b =0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴22133++-a =223151+--，得a =9或a =-3,∴另两条边所在的直线方程为3x -y +9=0,3x -y -3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x -y +9=0,x +3y +7=0,3x -y -3=0.12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解方法一设点A （x ，y ）在l 1上，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B By y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k =833110316=--.∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.方法二设所求的直线方程为y =k (x -3),则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A ,由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B .∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0，∴k 2-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时32312≠-=+BA x x ,∴k =0舍去，∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.§9.3 圆的方程1.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是 . 答案 -2＜a ＜32基础自测2.圆x 2+y 2+2x -4y +1=0关于直线2ax -by +2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是 . 答案 ⎥⎦⎤⎝⎛∞-41,3.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是 . 答案（x -1）2+(y -1)2=44.以点（2，-1）为圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的方程为 . 答案 (x -2)2+(y +1)2=95.直线y =ax +b 通过第一、三、四象限，则圆（x +a ）2+(y +b )2=r 2 (r ＞0)的圆心位于第象限. 答案二例1 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为 . 答案 x 2+y 2-4x =0例2 （14分）已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x =3-2y , 代入方程x 2+y 2+x -6y +m =0, 得5y 2-20y +12+m =0.4分设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=512m +.6分∵OP ⊥OQ ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.8分而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2. ∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2. ∴m =3,此时Δ＞0,圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径r =25.14分方法二如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ，∴M O k1=2. ∴O 1M 的方程为:y -3=2⎪⎭⎫⎝⎛+21x ,即：y =2x +4. 由方程组⎩⎨⎧=-++=03242y x x y .解得M 的坐标为（-1，2）.则以PQ 为直径的圆可设为（x +1）2+（y -2）2=r 2.6分∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上. ∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2. 在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.∴2121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+（3-2）2+5=44)6(12m--+. ∴m =3.∴半径为25,圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21.14分方法三设过P 、Q 的圆系方程为x 2+y 2+x -6y +m +λ(x +2y -3)=0. 由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上. ∴m -3λ=0，即m =3λ.3分∴圆的方程可化为x 2+y 2+x -6y +3λ+λx +2λy -3λ=0 即x 2+(1+λ)x +y 2+2(λ-3)y =0.6分 ∴圆心M ⎪⎭⎫⎝⎛-+-2)3(2,21λλ，7分又圆在PQ 上. ∴-21λ++2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m =3.12分 ∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径为25.14分例3 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.（1）求y -x 的最大值和最小值；（2）求x 2+y 2的最大值和最小值.解（1）y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距，当直线y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时3202=+-b，解得b =-2±6.所以y -x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22)00()02(-+-=2，所以x 2+y 2的最大值是（2+3）2=7+43， x 2+y 2的最小值是（2-3）2=7-43.1.（2008² 山东文，11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 . 答案 (x -2)2+(y -1)2=12.已知圆C ：（x -1）2+(y -2)2=25及直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明直线l 可化为x +y -4+m (2x +y -7)=0,即不论m 取什么实数，它恒过两直线x +y -4=0与2x +y -7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部， ∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.（2）解从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB |最短，由垂径定理得|AB |=222CM r -=2])21()13[(2522-+--=45. 此时，k l =-CMk 1,从而k l =-31121--=2.∴l 的方程为y -1=2(x -3),即2x -y =5.3.已知点P （x ，y ）是圆(x +2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x -2y 的最大值和最小值；（3）求12--x y 的最大值和最小值.解（1）圆心C （-2，0）到直线3x +4y +12=0的距离为 d =22431204)2(3++⨯+-⨯=56.∴P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值为 d +r =56+1=511，最小值为d -r =56-1=51.（2）设t =x -2y ,则直线x -2y -t =0与圆（x +2）2+y 2=1有公共点. ∴22212+--t ≤1.∴-5-2≤t ≤5-2，∴t max =5-2，t min =-2-5. （3）设k =12--x y ，则直线kx -y -k +2=0与圆（x +2）2+y 2=1有公共点， ∴1232++-kk ≤1.∴433-≤k ≤433+,∴k max =433+，k min =433-.一、填空题1.圆x 2+y 2-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为 .答案 22.两条直线y =x +2a ,y =2x +a 的交点P 在圆（x -1）2+(y -1)2=4的内部，则实数a 的取值范围是 . 答案 -51＜a ＜13.已知A （-2，0），B （0，2），C 是圆x 2+y 2-2x =0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是 . 答案 3+24.圆心在抛物线y 2=2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 . 答案 x 2+y 2-x ±2y +41=05.若直线2ax -by +2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的周长，则ba11+的最小值是 .答案 46.从原点O 向圆：x 2+y 2-6x +427=0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为 .答案 π7.（2008²四川理，14）已知直线l ：x -y +4=0与圆C ：（x -1）2+（y -1）2=2，则C 上各点到l 距离的最小值为 . 答案 28.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 . 答案（x +2)2+223⎪⎭⎫ ⎝⎛-y =425二、解答题9.根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x +3y +1=0上；（2）已知一圆过P （4,-2）、Q (-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解（1）显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：22yx+=22)1()1(-+-y x ，即x +y -1=0.解方程组⎩⎨⎧=++=-+013201y x y x ,得圆心C 的坐标为（4，-3）.又圆的半径r =|OC |=5,所以所求圆的方程为（x -4）2+(y +3)2=25. （2）设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 ①将P 、Q 点的坐标分别代入①得： ⎩⎨⎧=---=+-1032024F E D F E D令x =0，由①得y 2+Ey +F =0 ④ 由已知|y 1-y 2|=43，其中y 1、y 2是方程④的两根，所以（y 1-y 2）2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F =48⑤解②、③、⑤组成的方程组得D =-2，E =0，F =-12或D =-10，E =-8，F =4，故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0. 10.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.解将圆方程化为(x -1)2+(y -1)2=1,其圆心为C （1，1），半径r =1,如图，由于四边形PACB 的面积等于Rt △PAC 面积的2倍，所以S PACB =2³21³|PA |³r =1||2-PC .∴要使四边形PACB 面积最小,只需|PC |最小.当点P 恰为圆心C 在直线3x +4y +8=0上的正射影时,|PC |最小,由点到直线的距离公式,得 |PC |min =5843++=3,故四边形PACB 面积的最小值为22.11.已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). ∵P 点在圆x 2+y 2=4上,∴(2x -2)2+(2y )2=4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中, |PN |=|BN |,设O 为坐标原点,连结ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2, 所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0.12.已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x -y +10=0上. (1)若动圆C 过点(-5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x -a )2+(y -b )2=25, 其中圆心(a ,b )满足a -b +10=0.又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a )2+(0-b )2=25. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a ,可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a ,故所求圆C 的方程为②③(x +10)2+y 2=25或(x +5)2+(y -5)2=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d =1110+=52.当r 满足r +5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切的圆；当r 满足r +5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切；当r 满足r +5=d ,即r =52-5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切.§9.4 直线、圆的位置关系1.若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交，则P （a ，b ）与圆的位置关系为 .答案在圆外2.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是 . 答案 -6＜a ＜43.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线条数为 . 答案 24.若直线y =k (x -2)+4与曲线y =1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 答案 ⎥⎦⎤⎝⎛43,1255.(2008²重庆理，15)直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0 (a ＜3)相交于两点A ,B ,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为 . 答案 x -y +1=0例1 已知圆x 2+y 2-6mx -2（m -1）y +10m 2-2m -24=0（m ∈R ）. （1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上；（2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明配方得：（x -3m ）2+［y -(m -1)］2=25，设圆心为（x ，y ），则⎩⎨⎧-==13m y m x ，消去m 得l ：x -3y -3=0，则圆心恒在直线l ：x -3y -3=0上. （2）解设与l 平行的直线是l 1：x -3y +b =0，则圆心到直线l 1的距离为d =10)1(33bm m +--=103b +.基础自测∵圆的半径为r =5，∴当d ＜r ，即-510-3＜b ＜510-3时，直线与圆相交；当d =r ,即b =±510-3时，直线与圆相切；当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离.（3）证明对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x -3y +b =0，由于圆心到直线l 1的距离d =103b +，弦长=222d r -且r 和d 均为常量.∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解方法一如图所示，设l 与x 轴交于点B （b ,0)，则k AB =33+-b ,根据光的反射定律，反射光线的斜率k反=33+b .∴反射光线所在直线的方程为y =33+b (x -b ),即3x -(b +3)y -3b =0.∵已知圆x 2+y 2-4x -4y +7=0的圆心为C （2,2），半径为1, ∴2)3(932)3(6++-⨯+-b bb =1,解得b 1=-43,b 2=1.∴k AB =-34或k AB =-43.∴l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法二已知圆C ：x 2+y 2-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x -2)2+(y +2)2=1，其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切. 设l 的方程为y -3=k (x +3),则22155kk ++=1,即12k 2+25k +12=0. ∴k 1=-34，k 2=-43.则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法三设入射光线方程为y -3=k (x +3),反射光线所在的直线方程为y =-kx +b ,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=--1122332k b k k b k k ,消去b 得11552=++kk .即12k 2+25k +12=0,∴k 1=-34,k 2=-43.则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.例3 已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0,圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切；（2）圆C 1与圆C 2内含？解对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1:(x -m )2+(y +2)2=9;C 2:(x +1)2+(y -m )2=4.（1）如果C 1与C 2外切，则有22)2()1(+++m m =3+2. (m +1)2+(m +2)2=25.m 2+3m -10=0,解得m =-5或m =2.（2）如果C 1与C 2内含，则有22)2()1(+++m m ＜3-2. (m +1)2+(m +2)2＜1,m 2+3m +2＜0, 得-2＜m ＜-1,∴当m =-5或m =2时，圆C 1与圆C 2外切；当-2＜m ＜-1时，圆C 1与圆C 2内含.例4 （14分）已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2+4x -12y +24=0. （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；（2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.解（1）方法一如图所示，AB =43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD =23，圆x 2+y 2+4x -12y +24=0可化为（x +2）2+（y -6）2=16，圆心C （-2，6），半径r =4，故AC =4，在Rt △ACD 中，可得CD =2.2分设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y -5=kx , 即kx -y +5=0.由点C 到直线AB 的距离公式：22)1(562-++--kk =2，得k =43.此时直线l 的方程为3x -4y +20=0.4分又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x =0.6分则y 2-12y +24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23, ∴y 2-y 1=43,故x =0满足题意.∴所求直线的方程为3x -4y +20=0或x =0.8分方法二设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为 y -5=kx ,即y =kx +5, 联立直线与圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++=024124522y x yxkx y ,消去y 得（1+k 2）x 2+(4-2k )x -11=0 ①2分设方程①的两根为x 1,x 2,由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221111142k x x kk x x②4分由弦长公式得21k +|x 1-x 2| =]4))[(1(212212x x x x k -++=43, 将②式代入，解得k =43，此时直线的方程为3x -4y +20=0.6分又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x =0. ∴所求直线的方程为x =0或3x -4y +20=0.8分（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x ,y ）, 则CD ⊥PD ，即CD ²PD =0，10分（x +2,y -6）²(x ,y -5)=0,化简得所求轨迹方程为 x 2+y 2+2x -11y +30=0.14分1.m 为何值时，直线2x -y +m =0与圆x 2+y 2=5. （1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直.解（1）由已知，圆心为O （0，0），半径r =5, 圆心到直线2x -y +m =0的距离d =22)1(2-+m =5m ，∵直线与圆无公共点，∴d ＞r ,即5m ＞5,∴m ＞5或m ＜-5.故当m ＞5或m ＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知r 2-d 2=12，即5-52m=1.得m =±25,∴当m =±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，∴d =22r ，即225=m ²5,解得m =±225.故当m =±225时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.2.从圆C ：x 2+y 2-4x -6y +12=0外一点P （a ，b ）向圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |=|PO | （O 为原点）.求|PT |的最小值及此时P 的坐标.解已知圆C 的方程为(x -2)2+(y -3)2=1. ∴圆心C 的坐标为（2，3），半径r =1. 如图所示，连结PC ，CT .由平面几何知，|PT |2=|PC |2-|CT |2 =（a -2）2+（b -3）2-1.由已知，|PT |=|PO |，∴|PT |2=|PO |2，即（a -2）2+（b -3）2-1=a 2+b 2. 化简得2a +3b -6=0. 得|PT |2=a 2+b 2=91（13a 2-24a +36）.当a =1312时，|PT |min =3136131224)1312(132+⨯-⨯=13136.|PT |的最小值为13136，此时点P 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛1318,1312.3.求过点P （4，-1）且与圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0切于点M （1，2）的圆的方程. 解方法一设所求圆的圆心为A （m ,n )，半径为r , 则A ,M ,C 三点共线，且有|MA |=|AP |=r ，因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0的圆心为C （-1，3），则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-+-=--rn m n m m n 2222)1()4()2()1(113212,解得m =3,n =1,r =5,所以所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=5.方法二因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0过点M （1，2）的切线方程为2x -y =0, 所以设所求圆A 的方程为 x 2+y 2+2x -6y +5+λ(2x -y )=0,因为点P （4，-1）在圆上，所以代入圆A 的方程，解得λ=-4,所以所求圆的方程为x 2+y 2-6x -2y +5=0.4.圆x 2+y 2=8内一点P （-1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=43π时,求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程. 解（1）当α=43π时，k AB =-1，直线AB 的方程为y -2=-（x +1），即x +y -1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =2100-+=22，从而弦长|AB |=2218-=30.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-2，y 1+y 2=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 1+x 2）（x 1-x 2）+（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0，即-2（x 1-x 2）+4（y 1-y 2）=0， ∴k AB =212121=--x x y y .∴直线l 的方程为y -2=21（x +1），即x -2y +5=0.一、填空题1.（2008²辽宁理）若圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点，则k 的取值范围为 . 答案 (-3,3)2.（2008²重庆理，3）圆O 1：x 2+y 2-2x =0和圆O 2：x 2+y 2-4y =0的位置关系是 . 答案相交3.已知圆C ：（x -a ）2+(y -2)2=4 (a ＞0)及直线l :x -y +3=0,当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a = . 答案 2-14.（2008²全国Ⅰ文）若直线1=+by ax 与圆x 2+y 2=1有公共点，则2211ba+与1的大小关系是 .答案2211ba+≥15.能够使得圆x 2+y 2-2x +4y +1=0上恰有两个点到直线2x +y +c =0距离等于1的c 的取值范围为 . 答案（-35，-5）∪（5，35）6.（2008²湖北理）过点A （11，2）作圆x 2+y 2+2x -4y -164=0的弦，其中弦长为整数的共有条. 答案 327.设直线ax -y +3=0与圆（x -1）2+(y -2)2=4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a = . 答案 08.（2008²湖南文，14）将圆x 2+y 2=1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是；若过点（3，0）的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是 . 答案（x -1）2+y 2=1 33或-33二、解答题9.已知圆C ：x 2+y 2+2x -4y +3=0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程. 解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1，或切线过原点.当切线不过原点时，设切线方程为y =-x +b 或y =x +c ,分别代入圆C 的方程得2x 2-2（b -3）x +（b 2-4b +3）=0. 或2x 2+2(c -1)x +(c 2-4c +3)=0, 由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0，即［2(b -3)］2-4³2³（b 2-4b +3)=-b 2+2b +3=0, ∴b =3或-1,Δ2=0,即［2(c -1)］2-4³2³(c 2-4c +3)=-c 2+6c -5=0.∴c =5或1,当切线过原点时，设切线为y =kx ,即kx -y =0. 由212kk +--=2，得k =2±6,∴y =(2±6)x .故所求切线方程为：x +y -3=0，x +y +1=0，x -y +5=0，x -y +1=0,y =(2±6)x . 10.已知曲线C ：x 2+y 2-4ax +2ay -20+20a =0.（1）证明：不论a 取何实数，曲线C 必过定点；（2）当a ≠2时，证明曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C 与x 轴相切，求a 的值. （1）证明曲线C 的方程可变形为 (x 2+y 2-20)+(-4x +2y +20)a =0，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+0202402022y x y x ,解得⎩⎨⎧-==24y x ，点（4，-2）满足C 的方程，故曲线C 过定点（4，-2）. （2）证明原方程配方得(x -2a )2+(y +a )2=5(a -2)2, ∵a ≠2时，5(a -2)2＞0,∴C 的方程表示圆心是（2a ,-a ),半径是5|a -2|的圆. 设圆心坐标为（x ,y ），则有⎩⎨⎧-==ay a x 2,消去a 得y =-21x ,故圆心必在直线y =-21x 上.（3）解由题意得5|a -2|=|a |,解得a =255±.11.已知圆C ：x 2+y 2-2x +4y -4=0,问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解假设存在直线l 满足题设条件，设l 的方程为y =x +m ,圆C 化为（x -1）2+(y +2)2=9,圆心C （1，-2），则AB 中点N 是两直线x -y +m =0与y +2=-(x -1)的交点即N ⎪⎭⎫⎝⎛-+-21,21m m ,以AB 为直径的圆经过原点，∴|AN |=|ON |，又CN ⊥AB ，|CN |=221m++，∴|AN |=2)3(92m +-.又|ON |=22)21()21(-++-m m ，由|AN |=|ON |，解得m =-4或m =1. ∴存在直线l ，其方程为y =x -4或y =x +1.12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x -6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ²OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解（1）曲线方程为（x +1）2+(y -3)2=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m =-1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直，∴设P （x 1，y 1）、Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y =-x +b . 将直线y =-x +b 代入圆的方程，得2x 2+2(4-b )x +b 2-6b +1=0.Δ=4(4-b )2-4³2³(b 2-6b +1)＞0,得2-32＜b ＜2+32. 由根与系数的关系得 x 1+x 2=-(4-b ),x 1²x 2=2162+-b b.y 1²y 2=b 2-b (x 1+x 2)+x 1²x 2=2162+-b b+4b .∵OP ²OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2-6b +1+4b =0, 解得b =1∈(2-32,2+32), ∴所求的直线方程为y =-x +1.。

2011届高考数学第二轮知识点复习平面向量

2011届高考数学第二轮知识点复习平面向量平面向量【专题测试】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（）A．B．C．D．2．与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是（）A．B．或C．D．或3．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则=（）A．0B．－1C．－2D．0.54．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则=（）A．B．C．D．（1，0）5．如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是（）A．B．C．D．6．在中，，，是边上的高，若，则实数等于（）A．B．C．D．7．在中，分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量，若向量，则角A 的大小为（）A．B．C．D．8．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（）A．B．C．D．9．设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（）A．B．C．D．10．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．11．设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，且有若则等于（）A2BC－3D－12．把函数y=2x−2+3的图象按向量平移，得到函数y=2x+1−1的图象，则向量（）A．(−3,−4)B．(3,4)C．(−3,4)D．(3,−4)二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将正确答案写在对应题目后的横线上）13．设向量与的夹角为，且，，则．14．在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．15．已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y2＝－4x运动，则使取得最小值的点P的坐标是．16．在中，，若，则的面积为__________.三、解答题(5×12′+14′＝74′)17.已知向量a，向量b，若a•b+1．（I）求函数的解析式和最小正周期；(2)若，求的最大值和最小值．18已知M＝(1+cos2x，1)，N＝(1，sin2x+a)(x，a∈R，a是常数)，且y=•(O 是坐标原点)(1)求y关于x的函数关系式y=f(x)；(2)若x∈0，]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到．19．在平面直角坐标系中,已知，满足向量与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上。

高考数学第二轮复习立体几何教学案

2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何第1课时直线、平面、空间几何体考纲指要：立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。

考点扫描：1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。

2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。

3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。

4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。

考题先知：例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。

请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。

解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。

证明：如图，设四面体P-ABC 的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF交三条棱于点E 、D 、F ，记内切圆半径为r,则r 也表示点O 到各面的距离，利用体积的“割补法”知：PDF O PEFO PDE O DEF P V V V V ----++==r S r S r S PDF PEF PDE ⋅+⋅+⋅313131BCFD O DEF O ACFE O ABC O ABDE O ABC DEF V V V V V V ------++++==r S r S r S r S r S BCFD DEF ACFE ABC ABDE ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅3131313131，从而21表表S S V V ABC DEF DEF P =--。

例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角还是钝角？（2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC 中，2,6==AC AB ，13-=BC ，以∠BAC 为例。

【免费下载】高考数学二轮复习教学案专题06 平面向量教师版

【2013考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【知识络构建】【重点知识整合】1．平面向量的基本概念2．共线向量定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λ·a .如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1或者x 1y 2－x 2y 1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为＝，即对应坐标的比值相等．x 2x 1y 2y 13．平面向量基本定理对于任意a ，若以不共线的向量e 1，e 2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a ＝λe 1＋μe 2.4．向量的坐标运算a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．5．数量积(1)已知a ，b 的夹角为〈a ，b 〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为a ·b ＝|a |·|b |cos θ，其中|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a ·(b ·c )≠(a ·b )·c ；(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(3)两非零向量a ，b 的夹角公式为cos θ＝＝；a ·b |a ||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 2(4)|a |2＝a ·a . (5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零．【高频考点突破】考点一向量的有关概念和运算 (1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a 同向的单位向量为.a |a |(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．例1、已知关于x 的方程：·x 2＋·2x ＋＝0(x ∈R)，其中点C为直线AB 上一点，O 是直线AB 外一点，则下列结论正确的是 ( )A ．点C 在线段AB 上B ．点C 在线段AB 的延长线上且点B 为线段AC 的中点C ．点C 在线段AB 的反向延长线上且点A 为线段BC 的中点D ．以上情况均有可能【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点(1)正确理解向量的基本概念； (2)正确理解平面向量的基本运算律，a ＋b ＝b ＋a ，a·b ＝b·a ， λa·b ＝λ(a·b )与a (b·c )≠(a·b )c ； (3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中一定要重视，如有遗漏，则会出现错误. 考点二平面向量的数量积1．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．2．求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝先求出夹角的余弦值，a·b |a |·|b |然后求夹角；向量a 在向量b 方向上的投影为.a·b |b|【方法技巧】(1)准确利用两向量的夹角公式cos 〈a ，b 〉＝及向量模的公式|a |＝.a·b |a ||b |a·a (2)在涉及数量积时，向量运算应注意：①a·b ＝0，未必有a ＝0，或b ＝0；②|a·b |≤|a ||b |；③a (b·c )与(a·b )c 不一定相等.考点三平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型．例3.已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．π4[解]　(1)法一：由已知得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则 |b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |max ＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2. 法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2. 当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2. 【难点探究】难点一　平面向量的概念及线性运算例1、(1)a ，b 是不共线的向量，若＝λ1a ＋b ，＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则AB → AC → A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0(2) 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，A 1A 3→ A 1A 2→＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)A 1A 4→ A 1A 2→ 1λ1μ(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB的延长线上【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a ，b 不共线，那么λ1a ＋λ2b ＝μ1a ＋μ2b 的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果＝x ＋y ，OA → OB → OC → 则A ，B ，C 三点共线的充要条件是x ＋y ＝1.【变式探究】(1)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若＝m ，＝n (m ，n >0)，则＋的最小值为( )AB → AM → AC → AN → 1m 4n A ．2 B ．4 C. D ．992(2) 设向量a ，b 满足|a |＝2，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为5________．【答案】(1)C (2)(－4，－2)　【解析】 (1)＝－＝－＝＋，MO → AO → AM → AB → ＋AC → 21m AB → (12－1m )AB → 12AC → 同理＝＋，M ，O ，N 三点共线，故＋＝λNO → (12－1n )AC → 12AB → (12－1m )AB → 12AC → ，即＋＝0.[(12－1n )AC → ＋12AB → ](12－1m －λ2)AB → (12－λ2＋λn )AC →难点二　平面向量的数量积例2如图所示，P 为△AOB 所在平面内一点，向量＝a ，＝b ，且P 在线段AB OA → OB → 的垂直平分线上，向量＝c .若|a |＝3，|b |＝2，则c ·(a －b )的值为( )OP →A ．5B ．3 C. D.5232【答案】C 【解析】设AB 中点为D ，c ＝＝＋，所以c ·(a －b )OP → OD → DP → ＝(＋)·＝·＋·＝·＝(a ＋b )·(a －b )＝(|a |2－|b |2)＝.OD → DP → BA → OD → BA → DP → BA → OD → BA → 121252【点评】平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．【变式探究】(1)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：中资料p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈；[0，2π3)p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈；(2π3，π]p 3：|a －b |＞1⇔θ∈；[0，π3)p 4：|a －b |＞1⇔θ∈.(π3，π]其中的真命题是( )A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4(2)在△OAB 中，设＝a ，＝b ，则OA 边上的高等于________．OA → OB →难点三平面向量的共线与垂直的综合运用例3 已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若x 2a 2y 2b 2|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝.12(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求·的取值范围；PF 1→ PA → (3)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且2＝·，求证：直线l 恒过定点．AH → MH → HN →【解答】 (1)由已知得c ＝1，a ＝2，b ＝，∴所求椭圆方程为＋＝1.3x 24y 23(2)设P (x 0，y 0)，又A (－2,0)，F 1(－1,0)，∴·＝(－1－x 0)(－2－x 0)＋y ＝x ＋3x 0＋5.PF 1→ PA → 201420由于P (x 0，y 0)在椭圆上，∴－2≤x 0≤2，可知f (x 0)＝x ＋3x 0＋5在区间[－2,2]上单调递1420增，∴当x 0＝－2时，f (x 0)取最小值为0；当x 0＝2时，f (x 0)取最大值为12，∴·的取PF 1→ PA → 值范围是[0,12]．(3)由Error!得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ>0得4k 2＋3>m 2.【点评】本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用．本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为·＝0，从而达到使AM → AN → 用韦达定理建立直线中参数k ，m 的方程，确定k ，m 的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的．【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y ＝x ，右焦点F (5,0)，双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点(不同于A 1，A 2)，直线43A 1P 、A 2P 分别与直线l ：x ＝交于M 、N 两点．95(1)求双曲线的方程；(2)求证：·为定值．FM → FN → 【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为－＝1，则x 2a 2y 2b 2Error!⇒Error!∴所求双曲线方程为－＝1.x 29y 216(2)A 1(－3,0)、A 2(3,0)、F (5,0)，设P (x ，y )，M ，＝(x ＋3，y )，＝，(95，y 0)A 1P → A 1M → (245，y 0)∵A 1、P 、M 三点共线，∴(x ＋3)y 0－y ＝0，245∴y 0＝，即M . 同理得N .24y5 x ＋3 (95，24y 5 x ＋3 )(95，－6y 5 x －3 )∴＝，＝，FM → (－165，24y 5 x ＋3 )FN → (－165，－6y 5 x －3 )∴·＝－·. ∵－＝1，∴＝，FM → FN → 2562514425y 2x 2－9x 29y 216y 2x 2－9169∴·＝－·＝－＝0，即·＝0为定值．FM → FN → 25625144251692562525625FM → FN → 【历届高考真题】【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理6】设R ，向量且,x y ∈(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-//,⊥（A（B（C ）（D）102.【2012高考真题浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。

高考数学二轮复习(9)平面向量教案

平面向量【专题要点】向量的概念、向量的表示方法、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、向量的加法和减法（向量的加法减法运算法则、坐标运算等）、实数与向量的积、向量共线定理、平面向量基本定理、向量的数量积（向量的定义、几何意义、运算律，相关公式结论等）、两向量平行、垂直的充要条件【考纲要求】1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示。

2.掌握向量的加法和减法运算，并理解其几何意义，掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义3.了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，理解用坐标表示向量的加法和减法运算及数乘运算。

4.了解平面向量的数量积与向量投影的关系，理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量的数量积的坐标表达式并会进行数量积的运算，能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两向量的垂直关系5.会用向量法解决简单的平面几何问题。

【知识纵横】【教法指引】本专题内容为每年高考必考内容，以选择题（填空题）+解答题的形式出现，分值在16-17分左右；向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考中主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用，对平面向量的考查主要其中在：（1）平面向量的性质和运算法则（2）向量的坐标表示，向量的线性运算（3）和其他数学知识结合在一起考查，如和曲线、数列等知识结合。

这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，从数形两方面理解平面向量的相关知识，通过认识整个体系知识点，掌握本专题的内容，领会其中的数学思想，形成清晰的知识结构，明确各部分的基本知识，基本题型，基本方法和规律，强化易混、易漏、易错点的反思和感悟和针对性训练【典例精析】例1、（上海）直角坐标系xOy中，i j，分别是与x y，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若jkiACjiAB+=+=3,2，则k的可能值个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。

高中数学高考二轮复习平面向量文教案含答案(全国通用)

第三讲平面向量通过近三年高考真题统计，平面向量都有单独小题，因此认真掌握好平面向量很重要，预测2016年平面向量仍为考查的重点，向量的概念、坐标运算为主要内容.向量的概念与运算1.向量的加法运算符合平行四边形法则和三角形法则；向量的减法运算符合三角形法则.2.用下图中有向线段表示：a ＋b ＝OC →，a －b ＝BA →，b －a ＝AB →Ｗ.3.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b Ｗ.平面向量基本定理与向量的数量积1.如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线向量e 1，e 2叫做基底Ｗ.2.平面向量数量积的定义.已知两非零向量a ，b ，则a 与b 的数量积（或内积）为 |a ||b |cos θ，记作a ²b ＝ |a ||b |cos θ，其中θ＝〈a ，b 〉，|b |cos θ叫做向量b 在向量a 方向上的投影.3.两非零向量平行、垂直的充要条件.若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则（1）a ∥b ⇔a ＝λb （λ≠0）⇔x 1y 2－x 2y 1＝0Ｗ.（2）a ⊥b ⇔a ²b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0Ｗ.4.若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b |a ||b |＝Ｗ.判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“³”）.（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.（³）（2）|a|与|b|是否相等与a ，b 的方向无关.（√）（3）已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.（³）（4）△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12（AC →＋AB →）.（√）（5）向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.（³）（6）当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.（√）1.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则（B ）A.PA →＋PB →＝0 B .PC →＋PA →＝0C .PB →＋PC →＝0D .PA →＋PB →＋PC →＝0解析：因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B .2.（2014²新课标Ⅱ卷）设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ²b ＝（A ）A.1B.2C.3D.4解析：由已知得，a 2＋2a ²b ＋b 2＝10，a 2－2a²b ＋b 2＝6，两式相减得，4a ²b ＝4，故a²b ＝1.3.（2015²北京卷）设a ，b 是非零向量，“a ²b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的（A ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为a ²b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以当a ²b ＝|a ||b |时，有cos 〈a ，b 〉＝1，即〈a ，b 〉＝0°，此时a ，b 同向，所以a ∥b .反过来，当a ∥b 时，若a ，b 反向，则〈a ，b 〉＝180°，a ²b ＝－|a ||b |；若a ，b 同向，则〈a ，b 〉＝0°，a ²b ＝|a ||b |，故“a ²b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.4.（2015²广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝（1，－2），AD →＝（2，1），则AD →²AC →＝（D ）A.2B.3C.4D.5解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝（1，－2）＋（2，1）＝（3，－1）所以AD →²AC →＝2³3＋1³（－1）＝5，故选D.。

高三数学二轮专题复习：平面向量人教实验版(B)知识精讲

高三数学二轮专题复习：平面向量人教实验版（B ）【本讲教育信息】一. 教学内容：高三二轮专题复习：平面向量【高考要求】1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

【热点分析】对本章内容的考查主要分以下三类：1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3、向量在空间中的应用（在B 类教材中）。

在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键。

分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

【典型例题】例1. 已知a =（2,1）, b =（－1,3）,若存在向量c 使得：a ·c =4, b ·c =－9，试求向量c 的坐标、【解析】设c =（x ,y ）,则由a ·c =4可得：2x +y =4；又由b ·c =－9可得：－x +3y =－9于是有：⎩⎨⎧=+-=+9342y x y x )2()1(由（1）+2⨯（2）得7y =－14,∴y =－2,将它代入（1）可得：x =3∴c =（3,－2）、例2. 已知△ABC 的顶点分别为A （2，1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求AD 及点D 的坐标。