2006-1上海交大高数期末180A_解答

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上海交通大学841经济学(一)2006真题及答案

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需求对收入变动的敏感程度、货币需求对利率变动的敏感程度、投资需求对利率变动的敏感程度等。其中，货币的利率敏感程度和投资的利率敏感程度是“挤出效应”大小的决定性因素。 “挤出效应”与货币的利率敏感程度负相关；与投资的利率敏感性正相关。挤出效应的作用机制是： ①政府支出增加，商品市场上竞争加剧，价格上涨，实际货币供应量减少。因而用于投机目的的货币量减少； ②用于投机目的的货币量减少引起债券价格下降，利率上升，结果投资减少。由于存在着货币幻觉，在短期内，将会有产量的增加。但在长期内，如果经济已经处于充分就业状态，那么增加政府支出只能挤占私人支出。货币主义者认为，当政府增加政府支出而没有增加货币供给时，那么实际上是用政府支出代替私人支出，总需求不变、生产也不会增长。所以，货币主义者认为财政政策不能刺激经济增长。二、简答题(每小题 l0 分，共 60 分) 7．利用数学方法证明政府征收商品税时，消费者与生产者的税收负担比率是需求价格弹性与供给价格弹性的函数。答：可以结合数学图形和公式来直观地推导出消费者与生产者的税收负担比率和需求价格弹性与供给价格弹性的函数关系。

t2
，如图所示，此时产量为：
Q1
Q
，供给量变化为：
＝
Q1 Q
－
。因此，供给的价格弹
性为：
E S＝
Q P Q P g g P Q ＝ t 2 Q

①
对于消费者而言，此时其获得的价格为 P ＋如图所示，此时需求量为：为：
t1
，价格变动为
P
＝P ＋

t1
－P ＝

t1
，
Q1
Q

上海交大数学分析第1学期期终考试解答演示教学

一、填空题（每小题4分，共 16分）1. 极限210arcsin lim x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭61e . 2. 极限=∑=∞→n i n n i n 1arctan 1lim 2ln 214-π .3.积分(121arctan d x x x x -+=⎰154. 4. (电院专业同学做此题，不做4*)设常数0a >，则平面曲线222222()4()x y a x y +=-所围图形的面积为 24a . 4*. (管院专业同学做此题，不做4)设)(x f 49623-+-=x x x ，则)(x f 在]4,0[上的最大值为 0 . 二、单项选择题（每小题3分，共12分）1. 考虑下列断语，则有 ……【 D 】 (I) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(2b a R x f ∈. (II) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(b a R x f ∈.(A) I 正确，II 不正确. (B) I 不正确，II 正确. (C) I ，II 均不正确. (D) I ，II 均正确. 2. 设常数0>k ，则方程ln 0exx k -+=在),0(+∞内的实根个数为 ……【 B 】 (A) 3. (B) 2. (C) 1. (D) 0.3. 设)(x g 为区间I 上的上凸函数，)(x f 为J 上递减的下凸函数，且J g R ⊂)(，则【 A 】 (A) g f 为I 上的下凸函数. (B) g f 为I 上的上凸函数. (C) g f 必为I 上的单调函数. (D) 以上结论都不正确.4. 设)(x F 是)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数, 则下列命题中, 错误命题个数为【 A 】 (I) )(x F 在],[b a 上连续.(II) 若0)()(<b F a F ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξF . (III) )(x f 在],[b a 上没有第一类间断点.(IV) 若0)()(<b f a f ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξf . (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. B 卷：1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(D)三、(本题共12分) 全面讨论函数2)1(12--=x x y 的性态，并列表作图（已知43)1(24,)1(2-+=''--='x x y x x y ）解函数定义域：1≠x令 .00=→='x y 令210-=→=''x y（5）拐点)98,21(-- ，极小值点)1,0(-由∞=→y x 1lim 得垂直渐近线 1=x ；由0lim =∞→y x 得水平渐近线 0=y . ----------------------------------（8）草图：（12）四、计算题 (第1小题6分，其它4小题各7分，共34分)1. 求极限111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 解原式=xx xx x ln )1(ln 1lim1---→ ------------------------------（2）=21)1(ln 1lim ---→x x x x =)1(211lim 1--→x x x =2121lim1=→x x --------------------------------（6） 2. 求极限30e sin (1)lim x x x x x x→-+.解原式=3243220))(6())(21(lim xx x x x x x x x x --+-⋅+++→οο-------（3）=323320))(3(lim x x x x x x x x --+++→ο=31)(3lim 3330=+→x x x x ο ------------------------------（7）3.求不定积分x . 解原式=⎰--x xd 1arcsin 2=)111arcsin 1(22dx xxx x -----⎰-----（3）=)11arcsin 1(2dx xx x ⎰+---=C x x x +++--14arcsin 12 ----------------------------（7）4. 设函数[0,1]f C ∈，且0)0(=f ，当(0,1]x ∈时，()0f x >，又20()(xf x f t t =⎰，求)(x f 的表达式.解由于当0≠x 时，()0f x >，由2()f x 可导知()f x 也可导. 方程两边对x 求导，得xx x f x f x f 2tan 21tan )()()(2+='---------------(2)当0≠x 时，有 xx x f 2tan 21tan )(2+='方程两边对x 积分得 dx xxx f ⎰+=2tan 21tan 21)(=⎰⎰--=-xxd dx x x 22cos 2cos 21cos 2sin 21=C x+-2cos arcsin21 -----------------------（6）再由0)0(=f 得C=8π. ------------------------------------------（7）5. 计算定积分e21(ln )d x x x ⎰.解原式=xdx x x x x d x e eeln 23)(ln 33)(ln 12123312⎰⎰-= ---------------------（3）=⎰⎰--=-e ee dx x x x e xdx e 12133133)ln (923ln 923 -------------------（6）=32275)31(9233333-=---e e e e --------------------------------（7）五、(本题共10分) 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()0f a f b >，()()02a bf a f +<，又对任意的[,]x a b ∈有()0g x ≠.试证:在),(b a 内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξξg f g f '='.证不妨设,0)(>a f 则0)2(,0)(<+>ba fb f ，由0)2()(<+⋅b a f a f ，0)()2(<⋅+b f ba f 及零点存在定理知 ),2(),2,(21b b a x b a a x +∈∃+∈∃使 0)()(21==x f x f -----------------------（5）构造函数 )()()(x g x f x F =],[b a x ∈，-------------------------------------（8）则0)()(21==x F x F ，故由Rolle 定理知),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ使0)(='ξF 即)()()()(ξξξξg f g f '=' ------------------（10）六、（本题共10分）设)(),(x g x f 是定义在]1,0[上的有界函数，)(x f 和)(x g 在]1,0[上取值相异的点构成数列}{n x ，该数列满足1ln(1)()n n x x n +=+∀∈N . 证明：(1) 数列}{n x 收敛，且lim 0n n x →∞=；(2) ]1,0[R g f ∈-，并计算积分值1[()()]d f x g x x -⎰.证（1）因为n n n x x x ≤+=+)1ln(1 ，N n ∈∀，故数列}{n x 单调减，又]1,0[∈n x 有界，所以数列}{n x 收敛。

(完整)上海交通大学_2006-2007学年_高等数学(高数)_期末考试_试卷_(180学时)

2006级《高等数学》第二学期期末考试参考标准（180A ）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设xoy 平面上区域(){}22,|1,D x y x y y x =+≤≥，1D 是D 在第一象限的部分，则32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于（）（A ）122sin sin D x ydxdy ⎰⎰；（B ）132D xy dxdy ⎰⎰；（C ）1324(sin sin )D xy x y dxdy +⎰⎰；（D ）0.2. 设(){}222,,|1x y z x y z Ω=++≤，则三重积分x e dv Ω=⎰⎰⎰ （）（A ）2π；（B ）π；（C ）32π；（D ）2π. 3. 设F yi zj xk =++v v v v ,则 rot F =v （）（A ）i j k ++v v v ；（B ）()i j k -++v v v ；（C ）i j k -+v v v ；（D ）i j k -+-v v v . 4. 幂级数211n n x n ∞=-∑在收敛域[1,1)-上的和函数()s x = （）（A ）ln(1)x -；（B ）ln(1)x --；（C ）ln(1)x x--；（D ）ln(1)x x --. 5. 设函数1,02()45,2x f x x x ππππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩展开成正弦级数，其和函数 1()sin n n s x b nx ∞==∑，则9()2s π-= （）（A ）1-；（B ）2-；（C ）1；（D ）2.二、填空题（每小题3分，共15分）6.设u z =+,则()div grad u = .7. 设()f x 是连续函数，2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，()F t '= .8. 设C 为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上对应于t 从0变到2的这段弧，则曲线积分2221Cds x y z =++⎰ .9. 全微分方程(1)()0y x y dx e x dy +-++=的通解为 .10.级数n ∞=∑的敛散性为 .三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）11. 设z 是方程zx y z e +-=所确定的,x y 的隐函数，求2z x y ∂∂∂.12. 计算曲面22z y x =-夹在圆柱面221x y +=和229x y +=之间部分的面积.四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13. 计算曲线积分sin 1()()2y Cx e dy y dx +--⎰，其中C 是位于第一象限中的直线1x y +=与位于第二象限中的圆弧221x y +=构成的曲线，方向从A (1,0)经过B (0,1)，再到C (1,0)-.14. 试求参数λ，使当曲线C 落在区域(){},|0D x y y =>时，曲线积分222222()()Cx x x y dx x y dy y y λλ+-+⎰ 与路径无关，并求2(,)22222(0,1)(,)()().x y x x u x y x y dx x y dy y yλλ=+-+⎰15. 求22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑为z =与z =所围立体表面的外侧.五、（本题10分）16. 将函数243()232x f x x x -=--展开为1x -的幂级数.六、（本题8分）17. 设()20(1)()(1)!nn n f x x n ∞=-=-∑，求()0(1)n n f ∞=∑.七、（本题8分）18. 设()f x 在(1,1)-内具有三阶连续导数，且(0)0f '''≠，证明：级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n ∞='---∑ 绝对收敛.。

2006年全国普通高等学校招生统一考试数学理试卷参考答案答案(上海卷)

2006年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第1题至第12题）1．1 2．23．12 4．165．1i -+ 6．57．221164x y += 8．5 9．13510．36 11．011k b =-<<，12．10a ≤ 二、（第13题至第16题）三、（第17题至第22题）17．解：ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos22x x = ·························································································· 6分 π2sin 26x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． ····························································································· 8分∴函数ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是[]22-，，最小正周期是π． ·········· 12分 18．解：连接BC ，由余弦定理得222201022010cos120700BC =+-⨯⨯⨯=，于是，BC = ····································································································· 4分s i n 12020ACB ∠=sin ACB ∴∠=， ························································ 8分 90ACB ∠<，41ACB ∴∠≈， ············································································ 10分所以，乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B 处救援． ············································ 12分 19．解：（1）在四棱锥P ABCD -中，由PO ⊥平面ABCD ，得PBO ∠是PB 与平面ABCD 所成角，60PBO ∠=． ··············································· 2分在Rt AOB △中，sin301BO AB ==，又PO BO ⊥，于是，tan 60PO BO ==ABCD S =∴四棱锥P ABCD -的体积123P ABCD V -=⨯=． ··············································· 6分（2）解法一：以O 为坐标原点，射线OB OC OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． ··········································································································· 7分在Rt AOB △中，OA =于是，点AB D P ，，，的坐标分别是(0(100)(100)(00A B D P -，，，，，，．E 是PB 的中点，则点E 的坐标是1022⎛ ⎝⎭，，，于是，30(02DE AP ⎛== ⎝⎭，，． ····································································· 11分设DE 与AP的夹角为θ，有3cos 4θ==，arccos 4θ= ∴异面直线DE 与PA所成角的大小是． ························································ 14分A解法二：取AB 的中点F ，连接EF DF ，．由E 是PB 的中点，得EF PA ∥，∴FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角）． ··································· 8分在Rt AOB △中，cos30OA AB OP ===，于是，在等腰直角POA △中，PA =2EF =．而在正ABD △和正PBD △中，DE DF == ························································ 11分12cos EFFED DE ∠===，∴异面直线DE 与PA所成角的大小是arccos4． ························································ 14分 20．证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线22y x =于点1122()()A x y B x y ，，，．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l与抛物线相交于点(3(3A B ，，3OA OB ∴=． ···························································· 1分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠．由22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，，得2260ky y k --=，则126y y =-． ····················································· 3分又221221122x y x y == 1，， 2121212121()34OA OB x x y y y y y y ∴=+=+= ．综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB =”是真命题． ······················ 6分解：（2）逆命题是：设直线l 交抛物线22y x =于A B ，两点，如果3OAOB =·，那么该直线过点(30)T ，．该命题是一个假命题． ··············································································· 8分CBFAPEDO例如：取抛物线上的点1(22)12A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，此时3OAOB = ·， ········································ 11分直线AB 的方程是2(1)3y x =+，而(30)T ，不在直线AB 上． ········································· 14分说明：由抛物线22y x =上的点1122()()A x y B x y ，，，满足3OA OB = ·，可得126y y =-或122y y =．如果126y y =-，可证得直线AB 过点(30)，；如果122y y =，可证得直线AB 过点(10)-，，而不过点(30)，． 21．证明：（1）当1n =时，22a a =，则21a a a =； ··························································· 1分当221n k -≤≤时，1(1)2n n a a S +=-+，1(1)2n n a a S -=-+，1(1)n n n a a a a +-=-，1n na a a +∴=． ∴数列{}n a 是等比数列． ······································································································ 4分解：（2）由（1）得12n n a a -=， (1)(1)12(1)21212222n n n n n nn nk n a a a aa--++++--∴===……， ·················································· 8分1(1)11(122)2121n n n n b n n k n k k --⎡⎤=+=+=⎢⎥--⎣⎦ ，，，． ······················································ 10分（3）设32n b ≤，解得12n k +≤，又n 是正整数，于是当n k ≤时，32n b <；当1n k +≥时，32n b >． ··································································································· 12分原式12123333322222k k k b b b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……121()()k k k b b b b +=++-++……211(21)(01)22212121k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ··············································· 14分由2421k k -≤，得2840k k -+≤，44k -+≤，又2k ≥，∴当234567k =，，，，，时，原不等式成立． ··········································································· 16分 22．解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是6=， 2log 9b ∴=． ························································································································ 3分（2）设120x x <<，222221212122222112()1c c c y y x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭·． ··················· 5分12x x <时，21y y >，函数22c y x x =+在)+∞上是增函数；当120x x <<21y y <，函数22c y x x=+在(0上是减函数．又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(--，∞上是减函数，在)⎡⎣上是增函数．（3）可以把函数推广为nn ay x x=+（常数0a >），其中n 是正整数．当n 是奇数时，函数nn a y x x=+在(0上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是增函数，在)⎡-⎣上是减函数．当n 是偶数时，函数nn a y x x =+在(上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是减函数，在)⎡-⎣上是增函数． ······················································ 12分2211()nnF x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0212323223231111n n r n rn nn n n n n n n r n C x C x C x C x x x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……，因此，()F x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在[]12，上是增函数． ················································· 16分所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +． ······································································ 18分。

(完整)上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_解答

1、解 22()()()0xy xx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B.(,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥.答案：C2、解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π'''=⋅=-++⎰⎰u r r22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt πππ=++==⎰⎰答案：B3、解 22:1(1)S z x y =+≤，方向为下侧，[221]S S S I y y dv dxdy -++Ω∑+=+=--+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò32251133πππ=-⋅-⋅=-答案：A4、解1|(1)|nn n n a ∞∞==-=∑∑――A 错11||n n n n n a a ∞∞∞+====≥∑∑∑，发散 ――B 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===-=-≥∑∑∑，发散 ――C 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===+=+=∑∑∑n n ∞∞===≈∑∑，收敛 ――D 对答案：D5、解 (0)(0)(3)()02S S S S ππππ-+-+===答案：D6、解1 2{(,)|cos 2}D r r θθ=≤，2.......Dxy dxdy =⎰⎰解2 ***22***Dxy dxdy dy xy dx +-==⎰⎰⎰⎰07、解()()()222222552323222cc c x xy y ds x y ds x y ds π-+=+=+=⋅=⎰⎰⎰蜒?5π8、2cos x P Qx e y y x∂∂=+=∂∂ 解1 2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++= ⇒ 2(2)(sin cos )0x x xydx x dy e ydx e ydy +++= ⇒ 2()(sin )0x d x y d e y += 通解为：2sin x x y e y C +=解2 (,)2(0,0)(2sin )(cos )x y x x u xy e y dx x e y dy =+++⎰220(cos )sin y x x x e y dy x y e y =+=+⎰通解为：2sin x x y e y C +=9、()()div rot F F =∇⋅∇⨯u r u r ()5(2)(3)23xy zx y z x y z x y z yzxz xy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂-==++=∂∂∂∂∂∂-010、解1(1)n n n a x ∞=+∑的收敛半径2R =111(1)(1)(1)n n n n n n na x n a x ∞∞-+==⇒+=++∑∑的收敛半径2R =，11(1)n n n n a x ∞+=⇒+∑的收敛半径R =211、32332x x u z e yz e yz x x∂∂=+∂∂ 323232()3x x zyze yz e yz e xy+=+--+ (0,1,1)u x -∂⇒∂121232()333e e--=--=--12、解 12112xy yI dy ye dx =⎰⎰1212()y e e dy =-⎰21(2)2e e =-13、解 1C : 0y =（:15x →），11CC C C +=-⎰⎰⎰Ñ51[(2Dy dxdy xdx =+⋅--⎰⎰⎰512Ddxdy xdx =-⎰⎰⎰12512222π-=⋅⋅-212π=-14、解1(1) xzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰(2) yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰ √yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰（yz D ：0z =,z y =和1y =所围成的三角形区域）100dy =⎰⎰10==⎰ 解2:(01)C y x =≤≤c c S zds yds ==⎰⎰0=⎰012==⎰z 11Oz15、合一投影法：{}{}{}(cos cos cos ),,cos ,cos ,cos ,,xyD Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSP Q R dS P Q R ndxdyαβγαβγ∑∑∑++=++=⋅=±⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰v其中 {}(,),,,1x y z z x y n z z ==--v解1 合一投影法：原式{}{}2223,,22,2,1x y yx y z x y dxdy +≤=--⋅-⎰⎰2222(1)1(622)x y x y z dxdy +-≤=-+⎰⎰222(1)18x y x dxdy +-≤=⎰⎰22222221184()u v u v u dudv u v dudv +≤+≤==+⎰⎰⎰⎰14224ππ=⋅⋅= 解2 Gauss 公式设22:2()z y x y z ∑=+≤，取上侧，则原式SS +∑∑==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò()31232dV xdydz ydzdx zdxdy Ω∑=-----⎰⎰⎰⎰⎰22222442z x y yx z zdxdz ydxdy +≤+≤=-+⎰⎰⎰⎰ 22222(1)1()122(1)[4(1)4]2z x y x z dxdz y dxdy -+-≤+≤-=-++-+⎰⎰⎰⎰ 2222112(1)4[1]u v u v v dudv v dudv +≤+≤=-+++⎰⎰⎰⎰22122u v dudv π+≤==⎰⎰16、解对级数10(1)321n n nn yn +∞=-+∑，1233321n n u n u n ++=⋅→+，13R =,13y =-时，100(1)313()21321n n n n n n n +∞∞==--=++∑∑发散， 13y =时，100(1)31(1)3()21321n n n nn n n n +∞∞==--=++∑∑收敛，得10(1)321n n nn y n +∞=-+∑的收敛域为：11(,]33-，故原级数的收敛域为：22211,332x x -⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦，即 (][)2,11,2x ∈--⋃.17、解()()()2111(1)11()1913nnn n n nn n n ∞∞==-+-=-++∑∑11111919nnn n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 11911|101n x n x n ∞=-==--+∑()101111111()11x n n n n n n S x x x x dx n x n x ∞∞∞+======++∑∑∑⎰011()[ln(1)]1x x dx x x x x x==----⎰ ()()21113n n n nn ∞=-⇒+∑1111109109(ln )9ln 1091099109S ⎛⎫=---=-+-=- ⎪⎝⎭18、证 (1)22343232,22.2n n a a a a a a -==+<=<假设， 121122,3:2n n n n n n n a a a a n a --+-=+<<∀><则故.(2) 11211222n n n n n a x x x ----<=,故当12x <时，级数 11n n n a x ∞-=∑（绝对）收敛.111212231()n n n n n n S x a a x a xa a x a x ∞∞-++===++=++∑∑111111n n n n n n x a xa x ∞∞+++===+++∑∑211121n n n n n n x x a xx a x ∞∞--===+++∑∑21()[()1]x x S x x S x =+++-211x x=--。

高等数学习题解答(上海交大)习题解答

第11章级数1．写出下列级数的前5项：(1) 11(1)3n nn -∞=-∑；(2) 113(21)242n n n ∞=⨯-⨯∑；(3) 21(ln )nn n ∞=∑；(4) 1!n n n n ∞=∑ 解答：(1)23451111133333-+-+-； (2) 1131351357135792242462468246810••••••••••+++++••••••••••；(3) 2345611111(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)+++++； (4)234511212312341234512345••••••••••+++++。

所属章节：第十一章第一节难度：一级2．写出下列级数的通项：(1) 2341357++++；(2)2-+；(3)2242468x x ++++⨯⨯⨯⨯解答：(1) 21nn -； (2) 1(1)(1)n n n --+；(3)2242n xn•。

所属章节：第十一章第一节难度：一级3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和：(1) 1n n S n+=；(2) 212n n n S -=；解答：(1) 一般项为111121u S +===，111,2,3,1(1)n n n n n u S S n n n n n -+-=-=-==--，故该级数为212(1)n n n∞=--∑，该级数的和为1lim lim 1n n n n S n →∞→∞+==；(2) 一般项为1112u S ==，11121211,2,3,222n n n n n n n n u S S n -----=-=-==，故该级数为112n n ∞=∑，该级数的和为21lim lim 12n n n n n S →∞→∞-== 。

所属章节：第十一章第一节难度：一级4．根据定义求出下列级数的和：(1) 1326n nnn ∞=+∑；(2) 11(2)n n n ∞=+∑；(3) 1(1)(2)(3)n nn n n ∞=+++∑；(4) 1n ∞=∑解答：(1) 111113211332()()1162321123nnn n n n n n ∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑； (2) 1111111111113()(1)(2)222324354n n n n nn ∞∞===-=-+-+-+=++∑∑； (3) 111123111111[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n nn n n n n n∞∞===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑； (4)11n n∞∞==-=-∑∑1n ∞==∑1==-所属章节：第十一章第一节难度：一级5．证明下列级数发散： (1)121n nn ∞=+∑；(2) 12nn n ∞=∑；(3) 11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；(4)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑解答：(1) 由于10212n n u n =→≠+，所以级数121n n n ∞=+∑发散；(2) 由于20nn u n =→+∞≠，所以级数12n n n∞=∑发散；(3) 由于1()01n n n u n e =→≠+，所以级数11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散； (4) 由于1111011(1)()(1)n n nn nn n n n nn n u n e n n n ++=≥=→≠+++，所以级数111n nn n n n n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。

【交大】高等数学习题及详细解答

1. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a<b ）及x 轴所围成的图形的面积. 解因y =x +1在[a,b ]上连续,所以x +1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取,,()()1i i i b a b a b aa i x f a i n n nξξ---=+==++Δ, 于是111()[()1]1()(1)11()[(1)(1)()]2nni i i i ni b a b af x a i n nb a b a a i n n b a n a n b a n ξ===--=++-=-++=-+++-⋅∑∑∑Δ 故面积 2111(1)lim ()()(1)22nbi i an i b a S x x f x b a a b a n ξ→∞=-=+==-+++-∑⎰d Δ 1()(2)2b a a b =-++2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1)102d x x ⎰;(2) 0ax ⎰（a ＞0）.解 (1)根据定然积分的几何意义知, 102d x x ⎰表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以12d x x ⎰=1.(2) 根据定积分的几何意义知,0ax ⎰表示由曲线0,y x x a ===及x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014πx a =⎰.3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)120d x x ⎰与130d x x ⎰； (2)1e d x x ⎰与1(1)d x x +⎰.解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230d d x x x x >⎰⎰.(2)令()1,()1e e x xf x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1e xx ≥+,又e x1+x .所以11(1)e d d xx x x >+⎰⎰.4. 估计下列各积分值的范围： (1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d xxx -⎰.解 (1)在区间[1,4]上,函数2()1f x x =+是增函数,故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰, 即 4216(1)51d x x ≤+≤⎰.(2)令()arctan f x x x =,则2()arctan 1xf x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值πm f ==所以2arctan 93ππππd x x =≤≤= 即2arctan 93ππd x x x ≤≤.(3)令2()e x f x -=,则2()2e x f x x -'=-,令()0f x '=得驻点x =0,又(0)1f =，2()()ea f a f a -=-=,a >0时, 21ea -<,故()f x 在[-a,a ]上的最大值M =1,最小值2ea m -=,所以2222ee d aa x aa x a ---≤≤⎰.(4)令2()e xxf x -=,则2()(21)e xxf x x -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2e ef f -==,从而()f x 在[0,2]上的最大值2e M =,最小值14e m -=,所以 212242ee d e x x x --≤≤⎰,而2222ed e d x xx x x x --=-⎰⎰,故 21024222e ed ex xx ---≤≤-⎰.5. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[a ,b ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f .(3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a , b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).1. 求下列导数：(1) 20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x -⎰；(3) cos 2sin cos()d xxt t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22dsin d d xtt xtπ⎰(x ＞0). 解220(1)()2d d x t x x'==⎰5353ln 2(2)d e d e d x tx t t x x --=⎰cos cos sin 222sin 00cos sin 220022222(3)cos()cos()cos()cos()cos()cos(cos )(cos )cos(sin )(sin )cos(cos )sin cos(sin )cos cos(sin )sin πd πd πd πd πd πππππx x xx xx t t t t t t t t t tx x x x x x x x x x ''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''=⋅-⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰22cos(sin )cos (sin cos )cos(sin )ππx x x x x =-2222sin sin sin (4)cos sin sin cos .ππd d d d d d d d d d xx t t x t t xt x x x t x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=-=⎰⎰2. 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x→⎰; (2) 2030sin 3d lime d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d x t xx t t t t→⎰⎰.解 ()002200021arctan arctan arctan 11(1)limlim lim lim 222d d x xx x x x t t t t x x x x x →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰2220030003300222200sin 3sin 3sin 32(2)lim lim lim 2sin 3sin 3lim lim 663d d e e d e d e e x x x x x x x t xt x xx x t t t t x x x t tt t x x x x-→→→--→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=='⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰ ()()[]222222222222222200002000022000200022(3)lim lim lim lim 222lim lim lim 2122e d e d e d e e d e e e d e d e d e e e e xxx x t t t x tx x x x x x x t x t x t x x x x x x x t t t t x x t tt t t x x x x →→→→→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3. 求由方程e d cos d 0yxt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数.解方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-. 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-.4. 当x 为何值时，I (x )=2e d xt t t -⎰有极值?解 2()e x I x x -'=,令()0I x '=得驻点0x =,又22()(12),(0)10e x I x x I -''''=-=>, 所以当x =0时,I (x )有极小值,且极小值为I (0)=0.5. 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩ (4){}222max 1,d x x -⎰.解433322233222(1)(43)(8333x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰21222221101(2)()()()d d d d x x x x x x x x x x x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22220022(3)()sin 1cos 82ππππππππd d d xf x x x x x x x =+=+=+-⎰⎰⎰(4)由于22221()max{1,}11112x x f x x x x x ⎧-≤<-⎪==-≤<⎨⎪≤≤⎩,于是 21121212223312122111120max{1,}333d d 1d d x x x x x x x x x x -------=++=++=⎰⎰⎰⎰6. 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u t x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰.解 []222222222222()()()()limlim lim lim(2)2(2)2(2)(2)x xt t x xx x x x t f u u t f u u f u u f u u x x x x →→→→''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦===--''-⎡⎤-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d 22()113lim lim ()(2)2222x x f x f x f →→-==-=-=-.7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin.证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdx0cos 1cos 1=+-=ππk k k k .(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx .8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0,2)内的连续性.解当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x xϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.10. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解当x <0时, 00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时, 21cos 21|cos 21sin 21)()(00+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ; 当x >π时, πππϕ00|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.11. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa-=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F xa-+--='⎰))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内,x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .。

06年高等数学(上)试题及答案

华东交通大学2006—2007学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

专业班级学号学生签名：试卷编号：（A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》课程 (工科本科06级) 课程类别：必闭卷（√）考试日期：2007.1.15 题号一二三四五总分 12 3 4 5 6 7 1 2分值 10 15 7777777998阅卷人 (全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每题2分，共10分)______)1(34)( 122=-+-=x x x x x x f 第一类间断点为设函数、___________ 11 2 02=+=⎰dy dt t y x则，设、_______)1 1(1 3==K xy 处的曲率，在点等边双曲线、_________141=+⎰dx x x、__________ } 3 2{}2 1 1{ 5==-=λλ则垂直，，，与，，已知向量、b a二、选择题(每题 3分，共15分)∞=--+∞→ D. 2 C. 1 B. 0 . A )B ()sin 11( 122limx x x x x 、22222221 D. )1(2 C. 12 B. 2 A.) C ( )()1ln(arctan 2t t t dxy d x y y t y t x -++==⎩⎨⎧+==则，确定设、得分评阅人得分评阅人1dx x211+222ln 1-21xx ex e x x x e x xxsin D. C. )ln(1 B. 1 A.)D (0 3><>++<>时成立的是当下列各式中，、1cos D. 1cos C. 1sin B. 1sinA.) A ()1(1sin )( 42C x C x C x C x dx xf xx x f ++-++-='=⎰则，设、⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+=-+⎩⎨⎧=+=++822 D. 0 822 C.0 822 B. 822 A.)D ( 19522222222222z y y x y y y x x y y x y y x xoy z y z y x 为平面上的投影曲线方程在曲线、三、计算题(每题 7分，共49分)x x x ex x 222sin 112lim--→、21 42 21422 1 2222limlimlimlim23042==-=-=--=→→→→xxe xe x xxe x x ex x xx x x xx 原式解：)22(2lim n n n n n --+∞→、 2 21214 224 limlim=-++=-++=∞→∞→nn nn n n nn n 原式解：得分评阅人得分评阅人y e e y xx '++=求，设、 )1ln( 32 xx x x xxxx x x x e ee e e e e e e ee y 222122221 ]2)1(21[11 )1(11+=⋅++++='++++='-解：dxx x ⎰-2214、Cx x xCt t dtt tdttdttttdt dx t x +---=+--=-=====⎰⎰⎰arcsin 1 cot )1(csccot cos sincos cos sin 2222原式则，令解：dxx x ⎰1arctan 5、)1(arctan 121+=⎰x d x 原式解：得分评阅人得分评阅人得分评阅人分扣缺1C。

上海交通大学历年概率统计试卷

上海交通大学概率论与数理统计试卷 2004—01姓名：班级：学号：得分: 一．判断题（10分，每题2分）1。

在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件（） 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的（0,1) 分布，则Y X = （ ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( ）5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时，犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ）二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为。

(a ） r n r r n p p C ----)1(11；（b ） r n rr n p p C --)1(； (c ） 1111)1(+-----r n r r n p pC ; (d) r n r p p --)1(。

2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P 。

（ａ) )(1k k x X x P ≤≤-；（ｂ） )()(11-+-k k x F x F ；（ｃ） )(11+-<<k k x X x P ；（ｄ） )()(1--k k x F x F 。

3。

设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ）是连续函数；（ｂ) 恰好有一个间断点; （ｃ）是阶梯函数；（ｄ) 至少有两个间断点。

4。

设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40; （ｂ） 34；（ｃ) 25.6；（ｄ） 17.6 5。

高等数学习题解答(上海交大)习题11解答

第11章级数1．写出下列级数的前5项：(1) 11(1)3n nn -∞=-∑；(2) 113(21)242n n n ∞=⨯-⨯∑；(3) 21(ln )nn n ∞=∑；(4) 1!nn n n∞=∑解答：(1)23451111133333-+-+-；(2) 1131351357135792242462468246810∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙+++++∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙；(3) 2345611111(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)+++++； (4)234511212312341234512345∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙+++++。

所属章节：第十一章第一节难度：一级2．写出下列级数的通项： (1)2341357++++；(2)261220-+-；(3)22242462468x x+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯解答：(1) 21n n -；(2)1(1)(1)n n n --+；(3)2242nx n∙ 。

所属章节：第十一章第一节难度：一级3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和： (1)1n n S n+=；(2)212nn nS -=；解答：(1) 一般项为111121u S +===，111,2,3,1(1)n n n n n u S S n nn n n -+-=-=-==--，故该级数为212(1)n n n∞=--∑，该级数的和为1lim lim1n n n n S n→∞→∞+==；(2) 一般项为1112u S ==，11121211,2,3,222nn n n n nn nu S S n -----=-=-==，故该级数为112nn ∞=∑，该级数的和为21lim lim12nnnn n S →∞→∞-== 。

所属章节：第十一章第一节难度：一级4．根据定义求出下列级数的和：(1) 1326n n nn ∞=+∑；(2) 11(2)n n n ∞=+∑；(3) 1(1)(2)(3)n nn n n ∞=+++∑；(4) 1n ∞=∑解答：(1) 111113211332()()1162321123n n nn nn n n ∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑；(2) 1111111111113()(1)(2)222324354n n n n n n ∞∞===-=-+-+-+=++∑∑；(3) 111123111111[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n nn n n n n n ∞∞===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑；(4) 11n n ∞∞===-∑∑111n ∞==-∑11=-=-所属章节：第十一章第一节难度：一级5．证明下列级数发散：(1) 121n n n ∞=+∑；(2) 12nn n∞=∑；(3)11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑；(4) 111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑解答：(1) 由于10212nn u n =→≠+，所以级数121n nn ∞=+∑发散；(2) 由于2nnu n=→+∞≠，所以级数12nn n∞=∑发散；(3)由于1()01nn nu n e =→≠+，所以级数11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑发散；(4) 由于1111011(1)()(1)n n nn n nnnnnnn u n en nn ++=≥=→≠+++，所以级数111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。

2006年上海高考数学试卷与详细解答(理科)

2006年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一．填空题（本大题满分 分）．已知集合✌＝{－，， m － }，集合＝{ ，2m }．若 ⊆✌，则实数m ＝．．已知圆2x － x －＋2y ＝的圆心是点，则点到直线x －y －＝的距离是．．若函数)(x f ＝xa （a ＞，且a ≠ ）的反函数的图像过点（，－），则a ＝．．计算：1lim 33+∞→n C nn ＝．．若复数z 同时满足z －-z ＝ i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝．．如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝．．已知椭圆中心在原点，一个焦点为☞（－ 3，），且长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的标准方程是．．在极坐标系中，是极点，设点✌（，3π），（，－65π），则△ ✌的面积是．9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）．10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．11．若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是．12．三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．二．选择题（本大题满分16分）13．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（）（A ）→--AB ＝→--DC ；（B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ；（C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ；（D ）→--AD ＋→--CB ＝→0．14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． 15．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有[答]（）（A ）2∈M ，0∈M ；（B ）2∉M ，0∉M ；（C ）2∈M ，0∉M ；（D ）2∉M ，0∈M ．16．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距A B D离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题： ①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个；③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 [答]（）（A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）3．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．[解] 18．（本题满分12分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1 ）？ [解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线 DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． [解]（1）北 20 10 A B••C PAD OE（2） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）（2） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1．（1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值．[解]（1）（2）（3） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．[解]（1）（2）（3）上海数学(理工农医类)参考答案2006年高考上海数学试卷（理）一．填空题1．解：由2211m m m =-⇒=，经检验，1m =为所求；2．解：由已知得圆心为：(2,0)P ，由点到直线距离公式得：211d +； 3．解：由互为反函数关系知，)(x f 过点(1,2)-，代入得：1122a a -=⇒=；4．解：33223333321(1)(2)321lim lim lim lim 161(1)3!(1)3!(1)3!n n n n n C n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞-+---+====++++； 5．解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；6．解：已知226cos()sin (1cos )2πααα⇒+=-=---；7．解：已知222222242,3161164(3,0)b a bc y x a a b cF =⎧⎪==⎧⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-=⎪⎪⎩-⎪⎩为所求； 8．解：如图△OAB 中，554,5,2(())366OA OB AOB ππππ==∠=---= 1545sin 526AOB S π∆⇒== (平方单位)；9．解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有124C P 种方法； 2) 剩下的一套全排列，有4P 种方法；所以，所求概率为：12448135C P P P =； 10．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；11．解：作出函数2||1=+y x 的图象，如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；12．解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2525210x x x x+≥=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞；二．选择题（本大题满分16分）13．解：由向量定义易得，（C ）选项错误；AB AD DB -=；14．解：充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”； 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选（A ） 15．解：选（A ）方法1：代入判断法，将2,0x x ==分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R ；方法2：求出不等式的解集； 16．解：选（D ）① 正确，此点为点O ② 正确，注意到,p q 为常数，由,p q 中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q （或p ）； ③ 正确，四个交点为与直线1l 相距为p 的两条平行线和与直线2l 相距为q 的两条平行线的交点；三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）求函数2cos()cos()3sin244y x x x ππ=+-+的值域和最小正周期．[解]2cos()cos()3sin244y x x x ππ=+-+22112(cos sin )3sin222cos23sin22sin(2)6x x xx x x π=-+=+=+ ∴函数2cos()cos()3sin244y x x x ππ=+-+的值域是[2,2]-,最小正周期是π；A BCD18．（本题满分12分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1︒）？ [解]连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700.于是,BC=107. ∵710120sin 20sin ︒=ACB , ∴sin ∠ACB=73,∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60 ，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．[解]（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO, 于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=31×23×3=2. （2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、 D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0), B(1,0,0),D(－1,0,0), P(0,0, 3).E 是PB 的中点,则E(21,0,23) 于是DE =(23,0, 23),AP =(0, 3,3).设AP 与DE 的夹角为θ,有cosθ=4233434923=+⋅+,θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos42； PAB CDO E解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF.由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ， ∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成角(或它的补角)，在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ，于是, 在等腰Rt △POA 中， PA=6，则EF=26. 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，cos ∠FED=34621=DE EF=42∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos42.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6).∴OB OA ⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-又∵22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3, 直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)满足OB OA ⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).21．（本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1．（1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23| ≤4，求k 的值．(1) [证明] 当n=1时,a 2=2a,则12a a =a ； 2≤n≤2k －1时, a n+1=(a －1) S n +2, a n =(a －1) S n －1+2, a n+1－a n =(a －1) a n , ∴nn a a 1+=a, ∴数列{a n }是等比数列. (2)解：由(1)得a n =2a1-n , ∴a 1a 2…a n =2n a )1(21-+++n =2n a2)1(-n n =212)1(--+k n n n ,b n =1121]12)1([1+--=--+k n k n n n n(n=1,2,…,2k).（3）设b n ≤23,解得n≤k+21,又n 是正整数,于是当n≤k 时, b n <23；当n≥k+1时, b n >23.原式=(23－b 1)+(23－b 2)+…+(23－b k )+(b k+1－23)+…+(b 2k －23)=(b k+1+…+b 2k )－(b 1+…+b k )=]12)10(21[]12)12(21[k k kk k k k k k +--+-+--+=122-k k . 当122-k k ≤4,得k 2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2,∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.22．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F＝n x x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．[解]（1）函数y=x+xb 2(x>0)的最小值是2b 2，则2b2=6, ∴b=log 29.(2)设0<x 1<x 2,y 2－y 1=)1)((2221212221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+. 当4c <x 1<x 2时, y 2>y 1, 函数y=22x cx +在[4c ,+∞)上是增函数；当0<x 1<x 2<4c 时y 2<y 1, 函数y=22xc x +在(0,4c ]上是减函数.又y=22xc x +是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；(3)可以把函数推广为y=nnx ax +(常数a>0),其中n 是正整数. 当n 是奇数时,函数y=n nxax +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数；当n 是偶数时,函数y=n nxax +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；F(x)=n x x )1(2++n x x )1(2+ =)1()1()1()1(323232321220n n nn r n r n r n n n n n n n xx C x x C x x C x x C ++++++++----因此F(x) 在 [21,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.所以，当x=21或x=2时，F(x)取得最大值(29)n +(49)n ；当x=1时F(x)取得最小值2n+1；办公用品领用记录11d。

2008-1末高数试卷_180A_解答

4x dx . (2 x + 1)3
(2 分) (5 分) (8 分)
∫ (2 x + 1)3 dx = ∫ t 3 dt
1 1 = −t −1 + t −2 + C = −(2 x + 1) −1 + (2 x + 1) −2 + C 2 2
π
4x
t −1
14. 计算定积分： ∫ 4π 5 cos x ⋅ arctan e x dx .
(6 分)
π
π
(8 分)
解2
原式 = ∫ 4π 5 cos( −t ) ⋅ arctan e −t dt
− 4
π
(3 分)
=
5 4 x −x ∫ π cos x (arctan e + arctan e ) dx − 2 4
π
π
(6 分)
5π 4 5 2π = ∫ π cos xdx = 4 −4 4
(2 分) (4 分)
(2) f ( x) = ∑
n
k =0
f ( k ) (0) k f ( n +1) (ξ ) n +1 x + x ， k! (n + 1)!
令 Tn ( x) = ∑
1
k =0
f ( k ) (0) k x ，则 k!
1 1
(A) ∫0 [ f ( x)]2 dx = ∫0 [ f ( x)Tn ( x)]dx + ∫0 (B) ∫0 [ f ( x) − Tn ( x)]2 dx = ∫0 [
+∞ 1 − x2 xe 2 dx
= 2008!!
(8 分)
五．求解下列各题（每题 8 分，共 16 分） 16. 将微分方程组

2006年高考上海卷文科数学试题及参考答案

2006年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（文史类）考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校证码等填写清楚。

2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) cl S 21=锥侧如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长如果事件A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率kn kkn n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题。

只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知集合{},,3,1m A -=集合{},4,3=B 若,B A ⊆则实数=m .2．已知两条直线.0164:.033:21=-+=-+y x l y ax l 若=a l l 则,//21 .3．若函数)1.0()(≠>=a a a x f x且的反函数的图像过点（2，－1），则a = . 4．计算：16)1(32lim++∞-n n n n = .5．若复数i m m z )1()2(++-=为纯虚数（I 为虚数单位），其中R m ∈，则Z = .6．函数x x y cos sin =的最小正周期是 .7．已知双曲线的中心原点，一个顶点的坐标是（3，0），且焦距与虚轴长之比为5：4，则双曲线的标准方程是 .8．方程x x 323log 1)10(log +=-的解是 .9．已知实数y ,x 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≥-+.0.0.052.03y x y x y x ，则x y 2-的最大值是 .10．在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是（结果用分数表示）。

2006年上海高考数学试卷与详细解答(理科)

2006年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一．填空题（本大题满分 分）．已知集合✌＝{－，， m － }，集合＝{ ，2m }．若 ⊆✌，则实数m ＝．．已知圆2x － x －＋2y ＝的圆心是点，则点到直线x －y －＝的距离是．．若函数)(x f ＝xa （a ＞，且a ≠ ）的反函数的图像过点（，－），则a ＝．．计算：1lim 33+∞→n C nn ＝．．若复数z 同时满足z －-z ＝ i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝．．如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝．．已知椭圆中心在原点，一个焦点为☞（－ 3，），且长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的标准方程是．．在极坐标系中，是极点，设点✌（，3π），（，－65π），则△ ✌的面积是．．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷本，共本．将它们任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）．．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．．若曲线2y ＝ x ＋与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是．．三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋ ＋ 3x － 2x ≥ax 在☯， 上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．二．选择题（本大题满分 分）．如图，在平行四边形✌中，下列结论中错误的是 ☯答（）（✌）→--AB ＝→--DC ；（）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ；（）→--AB －→--AD ＝→--BD ；（）→--AD ＋→--CB ＝→0．．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的☯答（）（✌）充分非必要条件；（）必要非充分条件；（）充要条件；（）非充分非必要条件．．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋的解集是，则对任意实常数k ，总有☯答（）（✌） ∈ ， ∈ ；（） ∉ ， ∉ ；（） ∈ ， ∉ ；（） ∉ ， ∈ ．．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点，对于平面上任意一点，若p 、q 分别是✌到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点的“距离坐标”．已知常数p ≥ ，q ≥ ，给出下列命题：①若p ＝q ＝，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有个；②若pq ＝，且p ＋q ≠ ，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有个；③若pq ≠ ，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有个．上述命题中，正确命题的个数是☯答（）（✌）；（）；（）；（）．三．解答题（本大题满分 分）本大题共有题，解答下列各题必须写出必要的步骤． ．（本题满分 分）求函数y ＝ )4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．☯解．（本题满分 分）如图，当甲船位于✌处时获悉，在其正东方向相距 海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 ，相距 海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？ ☯解北✌．（本题满分 分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分）在四棱锥－✌中，底面是边长为的菱形，∠ ✌＝  ，对角线✌与 相交于点， ⊥平面✌， 与平面✌所成的角为 ．（）求四棱锥－✌的体积；（）若☜是 的中点，求异面直线 ☜与 ✌所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． ☯解（）（）．（本题满分 分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分）在平面直角坐标系x y 中，直线l 与抛物线2y ＝ x 相交于✌、两点．（）求证：“如果直线l 过点❆（，），那么→--OA →--⋅OB ＝ ”是真命题；（）写出（）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． ☯解（）✌☜（）．（本题满分 分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）已知有穷数列{n a }共有 k 项（整数k ≥ ），首项1a ＝．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋（n ＝，，┅， k －），其中常数a ＞．（）求证：数列{n a }是等比数列；（）若a ＝122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝，，┅， k ），求数列{n b }的通项公式；（）若（）中的数列{n b }满足不等式 1b －23 ＋ 2b －23 ＋┅＋ 12-k b －23＋ k b 2－23≤ ，求k 的值． ☯解（）（）（）．（本题满分 分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞，那么该函数在( ，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞）的值域为[ ，＋∞)，求b 的值；（）研究函数y ＝2x ＋2x c（常数c ＞）在定义域内的单调性，并说明理由；（）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间☯21， 上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． ☯解（）（）（）上海数学☎理工农医类✆参考答案年高考上海数学试卷（理）一．填空题．解：由2211m m m =-⇒=，经检验，1m =为所求；．解：由已知得圆心为：(2,0)P ，由点到直线距离公式得：d ；．解：由互为反函数关系知，)(x f 过点(1,2)-，代入得：112a -；．解：33223333321(1)(2)321lim lim limlim 161(1)3!(1)3!(1)3!n n n n n C n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞-+---+====++++；．解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；．解：已知226cos()sin (1cos )2πααα⇒+=-=---=；．解：已知222222242,23161164(23,0)b a bc y x a a b cF =⎧⎪==⎧⎪⎪⇒⇒=⇒+=⎨⎨-=⎪⎪⎩-⎪⎩为所求；．解：如图△ ✌中，554,5,2(())366OA OB AOB ππππ==∠=---= 1545sin 526AOB S π∆⇒== ☎平方单位✆；．解：分为二步完成： ✆ 两套中任取一套，再作全排列，有124C P 种方法； ✆ 剩下的一套全排列，有4P 种方法；所以，所求概率为：12448135C P P P =； ．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成 个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成 个“正交线面对”，所以共有 个“正交线面对”；．解：作出函数2||1=+y x 的图象，如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；．解：由2x ＋ ＋ 3x － 2x ≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2525210x x x x+≥=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞；二．选择题（本大题满分 分）．解：由向量定义易得，（）选项错误；AB AD DB -=；．解：充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选（✌） ．解：选（✌）方法：代入判断法，将2,0x x ==分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R ；方法：求出不等式的解集； ．解：选（）① 正确，此点为点O ② 正确，注意到,p q 为常数，由,p q 中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q （或p ）； ③ 正确，四个交点为与直线1l 相距为p 的两条平行线和与直线2l 相距为q 的两条平行线的交点；三．解答题（本大题满分 分）本大题共有题，解答下列各题必须写出必要的步骤．．（本题满分 分）求函数2cos()cos()44y x x x ππ=+-的值域和最小正周期．☯解 2cos()cos()44y x x x ππ=+-22112(cos sin )22cos22sin(2)6x x xx x x π=-==+ 函数2cos()cos()44y x x x ππ=+-的值域是[2,2]- 最小正周期是π；✌．（本题满分 分）如图，当甲船位于✌处时获悉，在其正东方向相距 海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西  ，相距 海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到1︒）？ ☯解连接 由余弦定理得   － 于是 7 710120sin 20sin ︒=ACB ♦♓⏹ ✌73 ✌  ✌乙船应朝北偏东 方向沿直线前往处救援．（本题满分 分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分）在四棱锥－✌中，底面是边长为的菱形，∠ ✌＝ ，对角线✌与 相交于点， ⊥平面✌， 与平面✌所成的角为  ．（）求四棱锥－✌的体积；（）若☜是 的中点，求异面直线☜与 ✌所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．☯解（）在四棱锥 ✌中由 平面✌得是 与平面✌所成的角  在 ♦✌中 ✌♦♓⏹ 由  于是 ♦♑3 而底面菱形的面积为 3 四棱锥 ✌的体积✞313 3  （）解法一：以为坐标原点射线 、 、分别为⌧轴、⍓轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系在 ♦✌中 ✌3 于是点✌、、、的坐标分别是✌☎－3 ✆ ☎✆  ☎－✆  ☎ 3✆✌☜☜是 的中点则☜☎21 23✆ 于是DE ☎23 23✆AP ☎ 3 3✆设AP与DE 的夹角为→有♍☐♦→4233434923=+⋅+ →♋❒♍♍☐♦42 异面直线 ☜与 ✌所成角的大小是♋❒♍♍☐♦42；解法二：取✌的中点☞连接☜☞、 ☞由☜是 的中点得☜☞✌， ☞☜是异面直线 ☜与 ✌所成角☎或它的补角✆，在 ♦✌中✌✌♍☐♦3 ，于是在等腰 ♦✌中， ✌6，则☜☞26在正 ✌和正 中 ☜☞3，♍☐♦ ☞☜34621=DE EF42异面直线 ☜与 ✌所成角的大小是♋❒♍♍☐♦42．（本题满分 分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分）在平面直角坐标系x y 中，直线l 与抛物线2y ＝ x 相交于✌、两点．（）求证：“如果直线l 过点❆（，），那么→--OA →--⋅OB ＝ ”是真命题；（）写出（）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． ☯解（）设过点❆☎✆的直线l 交抛物线⍓ ⌧于点✌☎⌧ ⍓ ✆、 ☎⌧ ⍓ ✆当直线l 的钭率不存在时直线l 的方程为⌧此时直线l 与抛物线相交于点✌☎6✆、 ☎－6✆ OB OA ⋅ ；当直线l 的钭率存在时设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-又  22112211,22x y x y ==，2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题❽如果直线l 过点❆☎✆，那么⋅ ❾是真命题； ☎✆逆命题是：设直线l 交抛物线⍓ ⌧于✌、两点如果⋅ 那么该直线过点❆☎✆该命题是假命题例如：取抛物线上的点✌☎✆， ☎21✆，此时OA OB  直线✌的方程为：2(1)3y x =+，而❆☎✆不在直线✌上；说明：由抛物线⍓ ⌧上的点✌ ☎⌧ ⍓ ✆、 ☎⌧ ⍓ ✆ 满足⋅ ，可得⍓ ⍓ －，或⍓ ⍓ ，如果⍓ ⍓ －，可证得直线✌过点☎✆；如果⍓ ⍓ ，可证得直线✌过点☎－ ✆而不过点☎✆．（本题满分 分，本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）已知有穷数列{n a }共有 k 项（整数k ≥ ），首项1a ＝．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋（n ＝，，┅， k －），其中常数a ＞．（）求证：数列{n a }是等比数列；（）若a ＝122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝，，┅， k ），求数列{n b }的通项公式；（）若（）中的数列{n b }满足不等式 1b －23 ＋ 2b －23 ＋┅＋ 12-k b －23＋ k b 2－23≤ ，求k 的值．☎✆ ☯证明当⏹时 ♋ ♋则12a a ♋； ♎⏹♎－时 ♋⏹ ☎♋－ ✆ ⏹  ♋⏹ ☎♋－ ✆ ⏹－  ♋⏹－♋⏹ ☎♋－✆ ♋⏹ nn a a 1+ ♋ 数列 ♋⏹❝是等比数列 ☎✆ 解：由☎✆ 得♋⏹ ♋1-n ♋ ♋ ⑤♋⏹ n♋)1(21-+++n n♋2)1(-n n 12)1(--+k n n n♌⏹ 1121]12)1([1+--=--+k n k n n n n ☎⏹⑤✆（）设♌⏹♎23 解得⏹♎21 又⏹是正整数于是当⏹♎时 ♌⏹ 23；当⏹♏时 ♌⏹ 23原式 ☎23－♌ ✆☎23－♌ ✆⑤☎23－♌ ✆☎♌ －23✆⑤☎♌ －23✆☎♌  ⑤♌ ✆－☎♌ ⑤♌ ✆]12)10(21[]12)12(21[k k kk k k k k k +--+-+--+122-k k 当122-k k ♎得－ ♎ －3♎♎3 又 ♏当 时原不等式成立．（本题满分 分，本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞，那么该函数在( ，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞）的值域为[ ，＋∞)，求b 的值；（）研究函数y ＝2x ＋2x c（常数c ＞）在定义域内的单调性，并说明理由；（）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间☯21， 上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．☯解（）函数⍓⌧xb2☎⌧✆的最小值是b 2，则b2  ♌●☐♑ ☎✆ 设 ⌧ ⌧ ⍓ －⍓ )1)((2221212221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+当4c ⌧ ⌧ 时 ⍓ ⍓ 函数⍓22xcx +在☯4c  ✆上是增函数；当 ⌧ ⌧ 4c 时⍓ ⍓ 函数⍓22x c x +在☎4c 上是减函数又⍓22xcx +是偶函数，于是，该函数在☎－－4c 上是减函数在☯－4c ✆上是增函数；☎✆ 可以把函数推广为⍓nnx ax +☎常数♋✆其中⏹是正整数当⏹是奇数时函数⍓n nxa x +在☎n a 2 上是减函数在☯n a 2  ✆ 上是增函数在☎－－n a 2 上是增函数在☯－n a 2 ✆上是减函数；当⏹是偶数时函数⍓nnxa x +在☎na 2 上是减函数在☯n a 2  ✆ 上是增函数在☎－－n a 2 上是减函数在☯－n a 2 ✆上是增函数； ☞☎⌧✆n x x )1(2+ n x x)1(2+ )1()1()1()1(323232321220n nn n r n r n r n n n n n n n xx C x x C x x C x x C ++++++++---- 因此☞☎⌧✆ 在 ☯21上是减函数在☯上是增函数所以，当⌧21或⌧时，☞☎⌧✆取得最大值☎29✆⏹ ☎49✆⏹；当⌧时☞☎⌧✆取得最小值 ⏹；。

2006年上海高考数学试卷与详细解答(理科)

2006年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一．填空题（本大题满分分）．已知集合＝{－，， m － }，集合＝{ ，2m }．若 ⊆ ，则实数m ＝．．已知圆2x － x －＋2y ＝的圆心是点，则点到直线x －y －＝的距离是．．若函数)(x f ＝xa （a ＞，且a ≠ ）的反函数的图像过点（，－），则a ＝．．计算：1lim 33+∞→n C nn ＝．．若复数z 同时满足z －-z ＝ i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝．．如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝．．已知椭圆中心在原点，一个焦点为（－ 3，），且长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的标准方程是．．在极坐标系中，是极点，设点（，3π），（，－65π），则△ 的面积是．．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷本，共本．将它们任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）．．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．．若曲线2y ＝ x ＋与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是．．三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋＋ 3x － 2x ≥ax 在，上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．二．选择题（本大题满分分）．如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是答（）（）→--AB ＝→--DC ；（）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ；（）→--AB －→--AD ＝→--BD ；（）→--AD ＋→--CB ＝→0．．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的答（）（）充分非必要条件；（）必要非充分条件；（）充要条件；（）非充分非必要条件．．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋的解集是，则对任意实常数k ，总有答（）（） ∈ ， ∈ ；（） ∉ ， ∉ ；（） ∈ ， ∉ ；（） ∉ ， ∈ ．．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点，对于平面上任意一点，若p 、q 分别是到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点的“距离坐标”．已知常数1l l（p ，q ）p ≥ ，q ≥ ，给出下列命题：①若p ＝q ＝，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有个；②若pq ＝，且p ＋q ≠ ，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有个；③若pq ≠ ，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有个．上述命题中，正确命题的个数是答（）（）；（）；（）；（）．三．解答题（本大题满分分）本大题共有题，解答下列各题必须写出必要的步骤．．（本题满分分）求函数y ＝ )4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．解．（本题满分分）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？解．（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分）在四棱锥－中，底面是边长为的菱形，∠ ＝，对角线与相交于点， ⊥平面，与平面所成的角为．（）求四棱锥－的体积；（）若是的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．解（）（）北•．（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分）在平面直角坐标系x y 中，直线l 与抛物线2y ＝ x 相交于、两点．（）求证：“如果直线l 过点（，），那么→--OA →--⋅OB ＝ ”是真命题；（）写出（）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．解（）（）．（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）已知有穷数列{n a }共有 k 项（整数k ≥ ），首项1a ＝．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋（n ＝，，┅， k －），其中常数a ＞．（）求证：数列{n a }是等比数列；（）若a ＝122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝，，┅， k ），求数列{n b }的通项公式；（）若（）中的数列{n b }满足不等式 1b －23 ＋ 2b －23 ＋┅＋ 12-k b －23＋ k b 2－23≤ ，求k 的值．解（）（）（）．（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞，那么该函数在( ，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞）的值域为[ ，＋∞)，求b 的值；（）研究函数y ＝2x ＋2x c（常数c ＞）在定义域内的单调性，并说明理由；（）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间 21，上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．解（）（）（）上海数学理工农医类参考答案年高考上海数学试卷（理）一．填空题．解：由2211m m m =-⇒=，经检验，1m =为所求；．解：由已知得圆心为：(2,0)P ，由点到直线距离公式得：2211d ==+；．解：由互为反函数关系知，)(x f 过点(1,2)-，代入得：1122a a -=⇒=；．解：33223333321(1)(2)321lim lim limlim 161(1)3!(1)3!(1)3!n n n n n C n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞-+---+====++++；．解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；．解：已知226cos()sin (1cos )25πααα⇒+=-=---=；．解：已知222222242,23161164(23,0)b a bc y x a a b c F =⎧⎪==⎧⎪⎪⇒⇒=⇒+=⎨⎨-=⎪⎪⎩-⎪⎩为所求；．解：如图△ 中，554,5,2(())366OA OB AOB ππππ==∠=---= 1545sin 526AOB S π∆⇒== 平方单位；．解：分为二步完成：两套中任取一套，再作全排列，有124C P 种方法；剩下的一套全排列，有4P 种方法；所以，所求概率为：12448135C P P P =；．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成个“正交线面对”，所以共有个“正交线面对”；．解：作出函数2||1=+y x 的图象，如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；．解：由2x ＋＋ 3x － 2x ≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2525210x x x x+≥=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|x x -5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞；二．选择题（本大题满分分）．解：由向量定义易得，（）选项错误；AB AD DB -=；．解：充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选（）．解：选（）方法：代入判断法，将2,0x x ==分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R ；方法：求出不等式的解集；．解：选（）① 正确，此点为点O ② 正确，注意到,p q 为常数，由,p q 中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q （或p ）； ③ 正确，四个交点为与直线1l 相距为p 的两条平行线和与直线2l 相距为q 的两条平行线的交点；三．解答题（本大题满分分）本大题共有题，解答下列各题必须写出必要的步骤．．（本题满分分）求函数2cos()cos()3sin244y x x x ππ=+-+的值域和最小正周期．解 2cos()cos()3sin244y x x x ππ=+-+22112(cos sin )3sin222cos23sin22sin(2)6x x xx x x π=-+=+=+函数2cos()cos()3sin244y x x x ππ=+-+的值域是[2,2]- 最小正周期是π；．（本题满分分）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到1︒）？解连接由余弦定理得－于是 7710120sin 20sin ︒=ACB 73乙船应朝北偏东方向沿直线前往处救援．（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分）在四棱锥－中，底面是边长为的菱形，∠ ＝，对角线与相交于点， ⊥平面，与平面所成的角为．（）求四棱锥－的体积；（）若是的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．解（）在四棱锥中由平面得是与平面所成的角在中由于是 3 而底面菱形的面积为 3四棱锥的体积313 3 （）解法一：以为坐标原点射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系在中 3 于是点、、、的坐标分别是－3－ 3是的中点则2123 于是DE 2323 AP 3 3设AP 与DE 的夹角为有 4233434923=+⋅+ 42异面直线与所成角的大小是42；解法二：取的中点连接、由是的中点得，是异面直线与所成角或它的补角，在中 3 ，于是在等腰中， 6，则26在正和正中 3，34621=DE EF42异面直线与所成角的大小是 42．（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分）在平面直角坐标系x y 中，直线l 与抛物线2y ＝ x 相交于、两点．（）求证：“如果直线l 过点（，），那么→--OA →--⋅OB ＝ ”是真命题；（）写出（）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．解（）设过点的直线l 交抛物线于点、当直线l 的钭率不存在时直线l 的方程为此时直线l 与抛物线相交于点 6 、－6 OB OA ⋅ ；当直线l 的钭率存在时设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-又 22112211,22x y x y ==，2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题如果直线l 过点，那么OB OA ⋅ 是真命题；逆命题是：设直线l 交抛物线于、两点如果⋅ 那么该直线过点该命题是假命题例如：取抛物线上的点，21，此时OA OB 直线的方程为：2(1)3y x =+，而不在直线上；说明：由抛物线上的点、满足⋅ ，可得－，或，如果－，可证得直线过点；如果，可证得直线过点－而不过点．（本题满分分，本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）已知有穷数列{n a }共有 k 项（整数k ≥ ），首项1a ＝．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋（n ＝，，┅， k －），其中常数a ＞．（）求证：数列{n a }是等比数列；（）若a ＝122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝，，┅， k ），求数列{n b }的通项公式；（）若（）中的数列{n b }满足不等式 1b －23 ＋ 2b －23 ＋┅＋ 12-k b －23＋ k b 2－23≤ ，求k 的值．证明当时则12a a ；－时－－－－－nn a a 1+ 数列是等比数列解：由得1-n n)1(21-+++n n2)1(-n n12)1(--+k n n n1121]12)1([1+--=--+k n k n n n n （）设 23 解得 21 又是正整数于是当时 23；当时 23原式 23－ 23－ 23－－23 －23－]12)10(21[]12)12(21[k k kk k k k k k +--+-+--+122-k k当122-k k 得－－ 3 3 又当时原不等式成立．（本题满分分，本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞，那么该函数在( ，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞）的值域为[ ，＋∞)，求b 的值；（）研究函数y ＝2x ＋2x c（常数c ＞）在定义域内的单调性，并说明理由；（）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间 21，上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．解（）函数 xb 2 的最小值是 b 2，则 b2设－ )1)((2221212221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+当4c 时函数 22x cx +在 4c 上是增函数；当 4c 时函数 22xc x +在 4c 上是减函数又 22xc x +是偶函数，于是，该函数在－－4c 上是减函数在－4c 上是增函数；可以把函数推广为 n nx ax +常数其中是正整数当是奇数时函数 n nxa x +在 n a 2 上是减函数在 n a 2 上是增函数在－－n a 2 上是增函数在－n a 2 上是减函数；当是偶数时函数 n nxax +在 n a 2 上是减函数在 n a 2 上是增函数在－－n a 2 上是减函数在－n a 2 上是增函数；n x x )1(2+ n x x)1(2+)1()1()1()1(323232321220n nn n r n r n r n n n n n n n xx C x x C x x C x x C ++++++++---- 因此在 21上是减函数在上是增函数所以，当 21或时，取得最大值 29 49；当时取得最小值；。

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