一轮课件 2.8 函数与方程课件

基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
10
题型分类·深度剖析
题型一 函数零点的判断
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 判断下列函数在给定区间上
是否存在零点． 解 (1)方法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0， f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)· f(8)<0， (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； 故 f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点． (2)f(x)＝log2(x＋2)－x， x∈[1,3]． 方法二 令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0，x∈[1,8]． ∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点． (2)方法一 ∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0， f(3)＝log25－3<log28－3＝0，∴f(1)· f(3)<0，
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题型分类·深度剖析
变式训练 1 函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( A．(－2，－1) C．(0,1)
解 析
∵f′(x)＝2xln 2＋3>0， ∴f(x)＝2x＋3x 在 R 上是增函数． 而 f(－2)＝2 2－6<0，f(－1)＝2 1－3<0， f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0， ∴f(－1)· f(0)<0.故函数 f(x)在区间(－1,0)上有零点．
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题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 天津)函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0,1)内 ( C．2 D．3 ) B．1
的零点个数是 A．0
解 析
因为 f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，
所以函数 f(x)＝2x＋x3－2 在(0,1)上递增，
且 f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，
地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为
二 ，使区间的两个端点逐步逼近零点 ，
进而得到零点近似值的方法叫作二 分法．
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基础知识·自主学习
要点梳理 难点正本 疑点清源 (2)给定精度 ε， 用二分法求函数 f(x)零点近 2． 利用图像交点的个数 似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证 f(a)· f(b)<0，给定 判断函数的零点： 画 精度 ε；②求区间(a，b)的中点 c；③计算 出两个函数的图像， f(c)； 看其交点的个数， 其 (ⅰ)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； 中交点的横坐标有 (ⅱ)若 f(a)· f(c)<0，则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))； 几个不同的值， 就有 (ⅲ)若 f(c)· f(b)<0，则令 a＝c(此时零点 几个不同的零点． x0∈(c，b))． ④判断是否达到精度 ε：即若|a－b|<ε，则 得到零点近似值 a(或 b)； 否则重复②③④.
§2.8 函数与方程
第二章 函数与基本初等函数Ⅰ
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x) (x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫作函数 y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图 像与 x轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有 零点 ． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是 f(b)<0 ， 连续不断的一条曲线，并且有 f(a)· 那么函数 y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零 点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c ____也就是 f(x)＝0 的根．
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题型分类·深度剖析
题型一 函数零点的判断
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】判断下列函数在给定区间上 是否存在零点． (1)f(x)＝x －3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝log2(x＋2)－x， x∈[1,3]．
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设出二次方程对应的函数，可画出 相应的示意图，然后用函数性质加 以限制．
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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
二次函数的零点问题
已知关于 x 的二次方程
思维启迪 解析 探究提高
x2＋2mx＋2m＋1＝0.
解
(1)若方程有两根， 其中一根在 2 (1,2)内，求 m 的范围； 1
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1．函数的零点不 是点，是方程 f(x)＝0 的根.
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2
基础知识·自主学习
要点梳理 难点正本 疑点清源 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像
与零点的关系 Δ>0 二次函数 y ＝ax2＋bx ＋c (a>0) 的图像 与x轴 的交点 零点个数
基础知识
【例 2】 若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数 y ＝ f(x)－ log3|x|的 零 点个 数 是
4 ________．
答案
探究提高
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题型分类·深度剖析
题型二 函数零点个数的判断
思维启迪 解析
故 f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点． 方法二 设 y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图像，从 图像中可以看出当 1≤x≤3 时，两图像有一个交点，
因此 f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．
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题型分类·深度剖析
由题意知，f(x)是周期为 2 的偶函数．
在同一坐标系内作出函数 y＝f(x)及 y ＝log3|x|的图像，如下：
观察图像可以发现它们有 4 个交点， 即函数 y＝f(x)－log3|x|有 4 个零点．
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题型分类·深度剖析
题型二 函数零点个数的判断
思维启迪 解析
Δ＝0
Δ<0
(x1,0)， (x2,0)
2
(x1,0)
1
无交点
0
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3
题型分类
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0（a>0) 根的分布
根的分布
(m<n<p
为常数)
图像
满足条件
Δ>0 b － <m 2a fm>0 Δ>0 b － >m 2a fm>0
x1<x2<m
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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
二次函数的零点问题
已知关于 x 的二次方程
思维启迪 解析 探究提高
x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根， 其中一根在 区间(－1,0)内，另一根在区间 (1,2)内，求 m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1) 内，求 m 的范围．
(1)由条件，抛物线 f(x)＝x ＋2mx＋2m＋1 与 x 轴的交点分别
区间(－1,0)内，另一根在区间 在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得
m<－ ， 2 (2)若方程两根均在区间(0,1) f0＝2m＋1<0， m∈R， f－1＝2>0， 内，求 m 的范围． ⇒ 1 f1＝4m＋2<0， m<－2， f2＝6m＋5>0. 5 m>－ . 6 5 1 即－6<m<－2.
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基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
3.二分法 (1)定义： 对于在区间[a， b]上连续不断且
f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断
2． 利用图像交点的个数 判断函数的零点： 画 出两个函数的图像， 看其交点的个数， 其 中交点的横坐标有 几个不同的值， 就有 几个不同的零点．
基础知识
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思想方法
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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
二次函数的零点问题
已知关于 x 的二次方程
思维启迪 解析 探究提高
x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示
(1)若方程有两根， 其中一根在 (1,2)内，求 m 的范围；
区间(－1,0)内，另一根在区间
列不等式组
1 m>－ ， (2)若方程两根均在区间(0,1) f0>0， 2 1 f1>0， m 的范围． 内，求 m>－2， ⇒ Δ≥0， 0<－m<1. m≥1＋ 2或m≤1－ 2， －1<m<0.
1 即－2<m≤1－ 2.
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题型分类
【例 2】 若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数 y ＝ f(x) － log3|x| 的 零 点 个 数 是 ________． 4