2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷

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上海市中学生历届数学知识竞赛

上海市首届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1991～1992)首届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1991年10月举行．决赛于1992年3月举行．【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一～十题，每题满分为10分；十一～十五题，每题满分为16分．满分为180分．一、小明家前面造了一幢高层楼房，小明在自己楼房的A层测得高层楼房CD的仰角为α，俯角为β；小明又在自己楼房的B层测得高层高层楼房与小明楼房之间的距离d．二、筹建中的天然气管道网设计如图3—2所示，A，B，…，L表示压缩机站，流动主向用箭头表示，每个管道旁的数字表示管段长度．现需要求该网络从起点A到终点L的最短通道，并确定沿最优路径相应的压缩机站所处的节点．三、某厂1989年生产产值是1979年生产产值的8倍(即翻三番)，那么从1979年到1989年产值平均年增长率为多少？按这样速度发展，到了2000年的产值是1989年产值的几倍？(取整数)四、相距40公里的两个城镇A、B之间有一个圆形湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O，半径为10公里，如图3—3所示．现要修建一条连结两城镇的公路，问应如何选择公路的路线，使公路最短，并给出证明．五、有一批1米长的合金钢材，现要截成长为23厘米和13厘米两种规格，用怎样方案截取使材料利用率为最高？并求出材料最高利用率．六、四种小商品A、B、C、D的价格分别为0.13元、0.17元、0.22元、0.35元，现在用2元钱恰好买了10件小商品，问买得小商品A、B、C、D各为多少？七、某工厂生产甲、乙两种产品，生产每一吨产品需要电力、煤、劳动力及相应产值如下表所示：该厂的劳动力满员是200人，根据限额每天用电不得超过160千度，用煤不得超过150吨．问每天生产这两种产品各几吨时，才能创造最大的经济价值？八、用两根绳子牵引重为F1＝100kg物体，两根绳子拉力分别为F2、F3，保持平衡，如图3—4所示．如果F2＝80kg，F2与F3夹角α＝135°，求F3的大小和F3与F1的夹角β值．九、在一边长为9m，一边长为16m的长方形的土地内，任意种植49颗树，试证明其中总有两颗树之间的距离不大于2.5m．十、仓库有一种堆垛方式，如图3—5所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12盒，第四层20盒，第五层30盒……，当堆垛到第n层时，求出总的盒数．十一、数学竞赛给出了A、B、C三道题目，有30个学生参加，每人至少解出一道题．只解出A题的人数比其余解出A题的人数多3人；在没有解出A题的人中，解出B题人数是解出C题人数的3倍；在只解出一题的人中，解出A题的人数是没有解出A题的人数的一半，求至少解出两题的学生人数．十二、根据下列三视图(如图3—6)，画出这个立体的直观图与展开图，并求出它的体积．十三、A、B、C三个工厂，它们之间的距离为AB＝13公里、BC＝14公里、CA＝15公里，要求寻找一个供应站点H，使得它到三个工厂的距离和HA＋HB＋HC为最短，并且求出这最短距离．十四、某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m公里，B距铁路n公里，在铁路上要建造两火车站C、D，A地矿石先用汽车由公路运到火车站C，然后用火车运输到火车站D，再用汽车运到B地，如图3—7所示，且A、B在铁路MN上投影A＇B＇距离长l公里，若汽车速度每小时u公里，火车速度每小时v公里，这里v＞u，要使运输矿石的时间最短，火车站C，D应该建立在什么地方？十五、将一个母线为2a，底面半径为a的圆锥(有底)的铁皮模型，沿着母线剪开摊平作材料做一个圆柱形罐子(有底无盖)，试问材料如何剪裁，使做出的圆柱形罐子的体积为最大？(这里圆柱侧面不能用两块材料拼接，且不考虑裁剪损耗．)【决赛试题】决赛试题共五题，其中一～三题，每题满分为32分，四、五题，每题满分为42分，总共满分为180分．一、如图3—8，有一块半径为a的圆铁皮，剪去一个圆心角α，将它卷成一个圆锥(无底)，试问：(2)求出这个圆锥的体积最大值．二、A、B、C三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖上那个厂的厂名，如果产品是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名．今有一批产品，发现盖过A厂、B厂、C厂的厂名的产品分别为18件、24件、30件，同时盖过A、B厂，B、C厂，C、A厂的产品，分别有12件、14件，16件，问这批产品的总数最多有几件？三、某项科学实验显示：实验结果y与实验时的温度t，呈现y＝at2＋bt(a≠0)关系，由实验条件限制，温度t取值范围为｜t｜≤c(c＞0)．试问：当温度t取什么值时，实验结果y达到最小值，并求出其最小值．四、已知某工程中的重点部位计划完工期为14天，预算总费用为63000元(包括每天的管理费1000元)．若对某些工序增加一些费用的投入(如加班或技术改造等费用)，则它的完工时间可以缩短．一个工序的最短完工时间，我们称为该工序的“极限时间”．另外，如该重点部位的完工期能缩短，则相应的管理费可以节省，有关工序流程图与数据如图3—9所示．注：赶工费用率为工序每提前一天耗用的加班或技术改造等费用．试回答下列两个问题：(1)求这个重点部位工程的最低完工费用，并制定相应的施工方案(包括完工期)．(2)求这个重点部位最短完工期，并制定相应的施工方案(包括费用)．五、要对几种药品进行试验，每次选择3种药品作试验，要求这样来安排试验方案，使得任意两种药品都至少有一次被安排在同一次试验中，同时为了节省时间与费用，还要求试验次数尽可能少．我们以C(n)表示对n种药品所作符合上述要求的最少试验次数．例如：当n＝4，记所要作试验的药品为a1，a2，a3，a4，下面的分组试验方案(a1，a2，a3)，(a1，a2，a4)，(a2，a3，a4)，是符合要求的．这个方案共进行了三次试验，因此，C(4)≤3．问题：(1)证明C(4)＜3是不可能的．(2)试确定C(6)的值，并给出证明．(3)试给出C(n)的一个下界．【初赛试题解答要点与参考答案】二、最短通道：A→D→E→G→J→L．4＋3＋2＋1＋4＝14．三、(1＋x)10＝8，x＝23.11％(平均年增长率)．(1＋0.2311)21÷8＝9.48≈10．(2000年产值是1989年产值的10倍)四、过A、B在AB同侧分别作⊙O的切线AA＇、BB＇，则AA＇2)，则4×13＋2×23＝98，即截4段13厘米，2段23厘米，材料利用率为98％．六、设购买A、B、C、D商品数分别为x、y、z、w，则w只可能取0、1、2、3，相应找出z、y、x非负整数值，得到解答列表如下：七、设甲、乙产品分别生产x、y吨，则由题意得：满足上述约束条件的点在下列五条直线2x＋8y＝160，3x＋5y＝150，5x＋2y＝200，x＝0，y＝0所围成的五边形内(包括边界九、将长方形土地平分成48块相等的小长方形，每块长为2m、宽为1.5m，总有一块小长方形土地有两颗树，它的距离不大于对角线：十一、画出集合图如图3—10，只解出A题x人，只解出B题y人，只解出C题z人，解出A、B题w＋t人，解出B题、C题u＋t人，解出A 题、C题v＋t人，解出A题、B题、C题t人．根据题意可列出方程：所以 u＝5，y＝13，x＝7，z＝1．即u＋v＋w＋t＝30－x－y－z＝9(人)十二、直观图，展开图分别如图3—11，3—12．V＝(2a)3÷2＝4a3．十三、H点应取∠AHB＝∠BHC＝∠CHA＝120°时，AH＋BH＋CH为最小，由Fermat-steiner最短线定理可证得(证略)．十五、将圆锥侧面展开为半圆，半圆内裁出圆柱侧面，圆锥底改成圆柱底就可以(如图3—13所示)．【决赛试题解答要点与参考答案】二、由题意得：m(A)＝18，m(B)＝24，m(C)＝30，m(A∩B)＝12，m(B ∩C)＝14，m(C∩A)＝16．当m(A∩B∩C)≤9或m(A∩B∩C)≥13时，与题意有矛盾，所以10≤m(A∩B∩C)≤12．m(A∪B∪C)＝m(A)＋m(B)＋m(C)－m(A∩B)－m(B∩C)－m(C∩A)＋m(A∩B∩C)＝30＋m(A∩B∩C)．当m(A∩B∩C)＝12时，m(A∪B∪C)＝42(件)，故这批产品总数最多为42件．四、从工程网络列表如下：△C1＝2400－3000＝－600，△C2＝2400＋500＋1000＋2800－6000＝700．(1)最优费用方案：工序(1，3)减少3天，赶工费增加 2400，间接费用减少3000，总工期减少3天为11天完成．总费用 C＝63000＋(2400－3000)＝62400(元)．(2)最优时间方案：工序(1，3)减少3天，(3，6)，(5，6)各减少1天，(6，7)减少2天，总工期减少6天共为8天完成．总费用C＝63000＋(2400＋500 ＋ 1000＋ 2800－ 6000)＝63700(元)五、(1)设这4种药品为a1，a2，a3，a4由于每个组包含三种药品，而a1至少与a2，a3，a4相遇一次，因此至少有两个组包含a1，不妨设为｛a1a2a3｝，｛a1a2a4｝，但这里a3、a4没有相遇，因此，至少还应有一组，所以C(4)≥3．(2)设这6种药品为a1，a2，a3，a4，a5，a6，对每一个1≤i≤6，固定i，则包含a i的每次试验，正好还包含两种不同于a i的药品，而每次试验包含3种药品，因此试验总次数不小于6×3÷3＝6，即C(6)≥ 6．我们构造一个用6次试验的方案满足条件：｛a1a2a3｝，｛a1a4a5｝，｛a1a4a6｝，｛a2a3a4｝，｛a2a5a6｝，｛a3a5a6｝因此，C(6)≤6，综合之即得C(6)＝6．(3)设n种药品为a1，a2，…，a n，对任意取定a i(1≤i≤n)，则i≠j 时，a i与a j至少相遇一次，而每一个包含a i的组正好包含两个不3．2 上海市第二届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1993)上海市第二届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1993年3月举行，决赛在9月举行．【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一～十题，每题满分为10分；十一～十五题，每题满分为16分．满分为180分．一、为测量建造中的上海东方明珠电视塔已达到的高度．小明在学校操场某一直线上选择三点A、B、C，且AB＝BC＝60米，分别在A、B、C三点观察塔的最高点，测得仰角为45°，54.2°，60°，小明身高为1.5米，试问建造中的电视塔现在已达到的高度．(结果保留一位小数)二、已知边长为a的正三角形铁皮材料，剪去三个全等的四边形，如图3—14所示，可制成无盖的正三棱柱的盒子．试问如何剪裁才能使正三棱柱的体积最大？并求出体积最大值和此时材料利用率．三、某布店的一页帐簿上沾了墨水，如下图所示：所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面三个数码7.28，但前面的三个数码看不清楚了，请您帮助查清这笔帐．四、某出口加工区总公司与下属各子公司进行信息联网，已测得各子公司A、B、C、D、E、F、G、H、J之间与总公司S联网费用如图3—15所示(单位：千元)．现拟设计一个联网优化方案，既要求各子公司之间与总公司都能连通，又要使联网费用最省，试问如何联网？费用是多少？五、在下乡劳动中，30个学生，每人拾了一篮稻穗放在田埂旁，每隔5米排成一列，不妨依次叫第1号、第2号、…、第30号，每人将篮中稻穗集中到第n号处(1≤n≤30)，放在一起，然后带着空篮走回原处，试求使大家所走路程总和最小的n值．六、一半径R＝150mm球形工件，打一斜孔如图3—16(a)所示，为了准确测量斜孔两端半径r1和r2，用两精密量球(半径R2＝100mm和R2＝80mm)以如图3—16(b)所示方式测量，测得两球外端水平距离L1＝651.40mm；再将右端量球换为半径R3＝80mm，左端量球不变仍为R2＝80mm，又测得L2＝610.17mm．(1)求r1和r2(结果保留两位小数)；(2)求小孔的斜角α的值(结果保留分)．七、A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价表如下：怎样确定调运方案，使总的运费为最小？八、在机械设计中，已知AB＝AC＝a，CD⊥BD，∠CAD＝θ(图3—17)，当θ为何值时，△BDC面积最大，并求出最大值．九、某一信托投资公司，考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆，经预测，该宾馆建成后，每年底可获利600万元，试问三年内能否把全部投资收回？假设银行每年复利计息，利率为10％，若需要在三年内收回全部投资，每年至少应收益多少万元？(结果保留一位小数)十、在正方形铁皮上任意划9条直线，如果每一条直线都将正方形分成两部分面积之比为m∶n(m， n∈N)，那么这样9条直线中至少有3条直线交于一点，对吗，为什么？十一、五种商品价格如下：现在用60元恰好选购10件商品，试问有哪几种选购方式？十二、根据图3—18所示零件的视图，画出它的直观图、展开图(并要留出做成模型的粘贴处)，并求出这个零件的表面积与体积．一个供应站H的位置，使它到四个工厂距离和HA＋HB＋HC＋HD为最小，说明道理，并求出最小值．十四、一个零件模具的底面由甲、乙、丙三个边长均为a的正方形按如下要求叠合而成：甲的一个顶点落在乙的中心上，乙的一个顶点落在丙的中心上，丙的一个顶点落在甲的中心上．求这个模具底面的面积．十五、一煤粉炉球磨机衬板为圆台的侧面，上底半径R1＝270 mm，下底半径R2＝1147 mm，轴截面母线夹角为154°，这圆台侧面是由18块相同的扇环形钢板焊接而成。

初三数学竞赛试题(含答案)-

初三数学竞赛试题班级姓名一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（）（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或 2．一块含有︒30AB ＝8cm, 里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（）(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( ) (A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。

如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。

依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯ 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11.ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C s i n c B s i n b +的值是等于。

七年级上学期数学竞赛选拔试题(含答案)

初一数学竞赛选拔考试题班级___________________姓名__________________得分_________一、填空题：（4分×15=60分）1、某人上山速度是4，下山速度是6，那么全程的平均速度是________.2、()()_______________1541957.0154329417.0=-⨯+⨯+-⨯+⨯. 3、甲、乙两同学从400 m 环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2 m 和每秒3 m 的速度慢跑．6 s 后，一只小狗从甲处以每秒6 m 的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6 m 的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇．那么小狗共跑了 m ．4、定义a *b =ab+a+b,若3*x =27，则x 的值是．5、三个相邻偶数,其乘积是六位数,该六位数的首位是8,个位是2，这三个偶数分别是_______.6、三艘客轮4月1日从上海港开出，它们在上海与目的地之间往返航行，每往返一趟各需要2天、3天、5天.三艘客轮下一次汇聚上海港是_____月_____日.7、设m 和n 为大于0的整数，且3m +2n =225，如果m 和n 的最大公约数为15，m+n =_____.8、a 与b 互为相反数，且|a －b |=54，那么12+++-ab a b ab a = . 9、已知3,2,a b b c -=-=则2()313a c a c -++-=___________.10、若正整数x ，y 满足2004x =105y ，则x+y 的最小值是___________.11、数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列规律：前两个数是1，从第3个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列中，前2010个数中共有___________个偶数.12、若200420032002,,200320022001a b c =-=-=-，则,,a b c 的大小关系是___________. 13、任意改变7175624的末四位数字顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的有____个.14、有一个两位数，被9除余7，被7除余5，被3除余1，这个两位数是 .15、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数有_______个.二、解答题：（8分×5=40分）1、计算：1111 (24466820042006)++++⨯⨯⨯⨯2、甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，两人相遇在距离A 地10千米处.相遇后，两人继续前进，分别到达B 、A 后，立即返回，又在距离B 地3千米处相遇，求A 、B 两地的距离.3、设 3 个互不相等的有理数，既可以表示成为1，a+b,a 的形式，又可以表示为0,,a b b的形式，求20102009b a .4、a 、b 、c 、d 表示4个有理数，其中每三个数之和是－1，－3，2，17，求a 、b 、c 、d .5、将2010减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，…，以此类推，直至减去余下的20101，最后的得数是多少？参考答案一、填空题：（4分×15=60分）1、某人上山速度是4，下山速度是6，那么全程的平均速度是________.【4.8】分析：设总路程是1，则平均速度=524614111=++。

上海初一初中数学竞赛测试带答案解析

上海初一初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位数A．11;B．101;C．13;D．1001.2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的平均分是A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.4.0.000000375与下列数不等的是A．;B．;C．;D．.5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若A．;B．;C．;D．.7.一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。

则n最小为A．7;B．9;C．10 ;D．11.8.如表所示，则x与y的关系式为（）+x+1C．y=（x2+x+1）（x-1） D．非以上结论9.在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠.问哪一个重叠的面积最大（）10.运算※按下表定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）=（）A．1 ;B．2;C．3;D．4.二、填空题1.计算： .2.(17届江苏初一1试)计算等式，式中的应为 .3.三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于 .4.将1,2,3，…，49,50任意分成10组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，则这10个中位数的最大值是 .5.(15届江苏初一1试)时钟在2点时，分针与时针所夹的角为60°.从0时到3时，会有个时刻，分针与时针也能构成60°的角.6.图中阴影部分占(15届江苏初二1试)图中图形的（填几分之几）.7.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长为1，则这个六边形的周长是 (17届江苏初一1试)如图如 .8.已知，点O在三角形内，且，则的度数是(17届江苏初一1试) 度．9.(17届江苏初三)在在在4点钟与5点钟之间，分钟与时钟成一条直线，那么此时时间是 .10.(15届江苏初一1试)一条一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k （k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米.A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处.上海初一初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位数A．11;B．101;C．13;D．1001.【答案】D【解析】析：六位数由三位数重复构成，说明这类数一定能被此三位数整除，不妨用构成的六位数除以三位数得到的数即所求的数．解答：解：256256÷256=1001，678678÷678=1001，设三位数abc，则重复构成的六位数为abcabc，abcabc÷abc=1001．故选D．点评：此题考查了学生对数的整除性问题的解答与掌握，此题解答的关键是用构成的六位数除以三位数得出要求的数．2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的平均分是A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.【答案】B【解析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．解答：解：根据题意得：该组数据的平均数==74．故选B．点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80，70这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.【答案】C【解析】分析：这个最小正整数加上1是2、3、4、5、…10的最小公倍数，求得最小公倍数减1即可求得答案．解答：解：由题意可知所求最小正整数是2，3，4，5，…，10的最小公倍数减去1，2，3，4，5，…，10的最小公倍数是实际就是7，8，9，10的最小公倍数为2520，则所求最小数是2520-1=2519．故选C．点评：此题考查了带余数除法，主要利用求几个数的最小公倍数的方法解决问题．4.0.000000375与下列数不等的是A．;B．;C．;D．.【答案】D【解析】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．注意小数和分数相互间的转化．解答：解：0.000 000 375=3.75×10-7=3×10-7=≠.故选D．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.【答案】D【解析】分析：本题直接求解难度较大，故采用代入法，间接验证．解答：解：∵1+2+3+…+k=k(k+1)∴k(k+1)=n2，当k=1时，则k(k+1)=1，n=1，显然成立．当k=8时，则k(k+1)=36，此时n=6，成立；当k=49时，则k(k+1)=25×49，n=35，成立．故答案为D．点评：本题考查完全平方数．同学们对于做选择题目，采用将选项代入验证的方法，有时候起到事半功倍的效果，本题就是这样，如直接求解，难度非常大，这样求解简单多了．6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若A．;B．;C．;D．.【答案】D【解析】略7.一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。

《圆的基本性质》奥数复习题

《圆的基本性质》复习题姓名学号一、填空题1.如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 .2.在Rt ΔABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆直径是3.在等边三角形ABC 外有一点D ，满足AD=AC ，则∠BDC= 。

4.在四边形ABCD 中，AB=BC=AC=AD ，AH ⊥CD 于H ，CP ⊥BC 交AH 于P ，若AP=l ，则BD=5.如图，点A 、B 、Q 、D 、C 在圆上，BQ 与QD 分别是42°和38°，则∠P+∠Q= . 6．（1998年全国初中数学竞赛试题）已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为 cm 。

7.如图，扇形MON 中,∠MON=90°,过线段MN 的中点A 作AB ∥ON ，交MN 于B ，∠BON= 8.（2008年蚌埠二中自主招生考试数学素质测试题）已知⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3，则BAC ∠的度数是。

9.（2006年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛初赛试题）半径为2的⊙O 中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连结OP ，若OP ＝1，则AB ²＋CD ²的值为。

10.如图，在△ABC 中，∠A= 70°，⊙O 截△ABC 的三边所截得的弦长都相等，则∠BOC= .11.如图，△ABC 内接于直径为d 的圆．设BC=a ，AC=b ，那么△ABC 的高 CD= .12.（北京市竞赛题）如图所示，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989 cm ²，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为。

13.如图，在直径为20cm 的半圆0上P 、Q 两点，PC ⊥ AB 于C,QD ⊥AB 于D,QE ⊥ PO 于 E,AC=4cm ，则DE= cm.14.已知P 是正方形ABCD 内的一点，O 为正方形的中心，AP⊥BP ，OP=，PA=6，则正方形ABCD 的边长为。

2004年全国初中数学竞赛.

徐明
桐乡十中
刘绵福
247
许佳萍
永秀中心
骆克双
248
屠小飞
洲中
徐登峰
249
何晓红
建设中学
朱年荣
250
朱旭明
王店镇中学
吴勇
251
王思加
秀洲现代实验学校
陆长林
252
戴跃
曹桥中学
顾其根
253
陆晓燕
全塘中学
夏海英
254
商忠伟
高桥初中
255
沈冲
河山镇中心学校
彭延盛
256
陈林
民合中心学校
周新鸣
257
金秋杰
南日初中
顾春江
桐乡八中
沈建松
155
王志杰
桐乡九中
柏雪
156
杨诚纯
桐乡六中
杜建民
157
黄秋婧
桐乡六中
徐惠荣
158
沈思遥
桐乡六中
杜建民
159
陆静
桐乡求是中学
陈小春
160
朱国强
洲中
沈海松
161
孙漪
新塍镇中学
吴小英
162
俞佳佳
油车港镇中学
朱圣东
163
顾陇兵
曹桥中学
毛夏平
164
李星童
城关中学
刘金付/徐明芳
165
蒋佳骏
城关中学
蒋根荣
166
陈天笑
当湖初中
沈秀中/杨爱萍
167
陈洲
东湖中学
山引珠
168
倪勤宣
东湖中学
郭照明
169
费建
东湖中学

上海市初中数学各项竞赛

上海市初中数学竞赛大盘点1）“新知杯”上海市初中数学竞赛参赛对象：初三学生为主、个别初二、初一、预初学生报名原则：学生自愿、学校推荐、区（县）组织竞赛特色：获奖者在初升高时被各大名校看中。

内容范围：除二次函数、统计初步、圆以外的全部初中内容题型设置：填空题+解答题，满分150分参赛时间：12月中旬奖项设置：个人设市一、二、三等奖，共200名2）全国初中数学联赛参赛对象：初三学生为主、个别初二、初一、预初学生报名原则：学生自愿、学校推荐、区（县）组织竞赛特色：全国性学科竞赛，难度大内容范围：《初中数学竞赛大纲（2006年修订稿）》为准题型设置：一试——1小时，选择题6题+填充题4题，共70分二试——1小时，解答题3题，共70分合计：140分参赛时间：4月中旬获奖人数：参赛选手的10%以内3）全国初中数学竞赛参赛对象：初三学生为主、个别初二、初一、预初学生报名原则：学生自愿、学校推荐、区（县）组织竞赛特色：全国性学科竞赛，难度大内容范围：《义务教育初中数学教学大纲》《义务教育数学课程标准（实验稿）》题型设置：选择题5题+填充题5题+解答题4题合计：150分参赛时间：4月上旬奖项设置：一等奖15名，二等奖45～60名，三等奖80～100名。

4）“华罗庚金杯”少年数学邀请赛参赛对象：初一、预初学生竞赛特色：全国性数学竞赛，权威参赛时间：初赛——3月上旬决赛——4月上旬（初赛中前30%的优胜者）总决赛——参加初赛的各代表队自愿派队参加奖项设置：决赛——一等奖：参加决赛人数的6%二等奖：参加决赛人数的12%三等奖：参加决赛人数的18%总决赛——金牌：15枚银牌：30枚铜牌：参加总决赛人数×70%-455）“希望杯”全国数学邀请赛参赛对象：初二、初一、预初学生竞赛特色：全国性数学竞赛参赛时间：第一试——3月中旬第二试——4月中旬（第一试中前25 %的优胜者）奖项设置：一等奖：金牌二等奖：银牌三等奖：铜牌6）“中环杯”思维能力训练活动参赛对象：初二、初一、预初学生竞赛特色：图形切拼割参赛时间：初赛——12月中旬决赛——3月中旬（第一试中前25 %的优胜者）奖项设置：一等奖二等奖三等奖7）走进美妙的数学花园参赛对象：初二、初一、预初学生参赛时间：初赛——3月中旬决赛——7月中下旬奖项设置：一等奖（5%）二等奖（10%）三等奖（15%）活动特色：数学建模小论文全国总论坛8）上海市中学生数学知识应用竞赛参赛对象：初二、部分优秀初一学生参赛时间：初赛——9月中旬决赛——11月中旬奖项设置：市级奖（一、二、三等奖各若干）区级奖（一、二、三等奖各若干）我了解到，上海初中生最重大的数学竞赛有如下两个，后面两个数字是教委许可证编号。

2004年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

NABCDP2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知abc ≠0，且a ＋b ＋c ＝0, 则代数式 a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab的值是（）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p ,q 均为质数，且满足5p 2＋3q ＝59，则以p ＋3,1－p ＋q ,2p ＋q －4为边长的三角形是（）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3．一个三角形的边长分别为a ,a ,b ，另一个三角形的边长分别为b ,b ,a ，其中a ＞b ，若两个三角形的最小内角相等，则 a b的值等于（）(A)3＋1 2 (B) 5＋1 2 (C) 3＋2 2 (D) 5＋224．过点P (-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（） (A) ab ≥1 8(B) ab ≤1 8(C) ab ≥1 4(D) ab ≤1 46．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二．填空题1．计算1 1＋2＋1 2＋3＋1 3＋4＋……＋12003＋2004＝ .2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则BNNC ＝ .3．实数a ,b 满足a 3＋b 3＋3ab ＝1，则a ＋b ＝ .4．设m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m ＝ .l G B C H F A E P QMD 第二试一、已知方程x 2－6x －4n 2－32n ＝0的根都是整数，求整数n 的值。

2004年数二真题及标准答案及解析

2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 2x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）lim ln (1)n n→∞+（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln(1)x dx +⎰ []（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. （17）（本题满分11分）设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2004年考硕数学（二）真题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令220d ydx < ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞.(0t =时，1x =⇒x ∈(,1]-∞时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）1+∞=⎰2π.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰⎰.【详解2】11201101)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰⎰.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法. （4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z z x y∂∂+=∂∂2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 232x zz e y -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z z e x x-∂∂=-∂∂,23(3)2x z z ze y y-∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x zx zz e x e --∂=∂+,23213x z z y e-∂=∂+ 所以 2323132213x zx zz z e x y e--∂∂++=⋅=∂∂+ 【详解2】令 23(,,)20x zF x y z e y z -=+-=则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂2323232322(13)13x z x zx z x z Fz e e x F x e ez----∂∂⋅∂∴=-=-=∂∂-++∂, 232322(13)13x z x z F z y F y e ez--∂∂∂=-=-=∂∂-++∂, 从而 232323313221313x z x zx z z z e x y ee ---⎛⎫∂∂+=+= ⎪∂∂++⎝⎭【详解3】利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x zx z e dx dy e dz --=+-2323(13)22x zx z edz e dx dy --+=+232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---∴=+++ 即 2323213x z x z z e x e--∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 从而 32z zx y∂∂+=∂∂ 【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.（5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为315y x =.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程102dy y dx x-= 的通解:12dy dx y x= 积分得 1ln ln ln 2y x c =+y ⇒=设(y c x =,代入方程得211(((22c x c x c x x x '= 从而 321()2c x x '=,积分得 352211()25c x x dx C x C =+=+⎰,于是非齐次方程的通解为53211()55y x C x =+=1615x yC ==⇒=,故所求通解为 315y x =.【详解2】原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性方程通解公式得1122212dx dx x x y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰11ln ln 22212x x ex edx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎢⎥⎦⎦⎰6(1)15y C =⇒=,从而所求的解为 315y x =.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】 2ABA BA E **=+ 2A B A B A E **⇔-=,(2)A E BA E *⇔-=,21A E B A E *∴-==, 221111010(1)(1)392100001B A E AA *====-⋅---. 【详解2】由1A A A *-=,得 11122ABA BA E AB A A B A A AA **---=+⇒=+2A AB A B A ⇒=+ (2)A A E B A ⇒-= 32AA EB A⇒-= 21192B A A E∴==- 【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰,2x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα[]B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】302000lim limcos x x x t dtt dtγα++→→=⎰⎰3lim x +→=320lim lim 02x x x x++→→===, 即 o ()γα=.又2000tan lim lim x x x βγ++→→=23002tan 22lim lim 01sin 2x x x x x x x ++→→⋅===, 即 o ()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、, 故选（B ）.【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题. （8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]C【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论0x =两方()f x ', ()f x ''的符号.【详解】 ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,从而10x -<<时, ()f x 凹, 10x >>时, ()f x 凸, 于是(0,0)为拐点.又(0)0f =, 01x ≠、时, ()0f x >, 从而0x =为极小值点.所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线()y f x =的拐点, 故选（C ）.【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目（9）lim ln (1)n n→∞+（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰ []B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后,从四个选项中选出正确的. 【详解】 22lim (1)n n→∞+212lim ln (1)(1)(1)nn nn nn →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1)ln(1)(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1)nn i i n n →∞==+∑ 102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰故选（B ）.【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一.（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数()f x 在0x =附近的局部性质. 【详解】由导数的定义知 0()(0)(0)lim00x f x f f x →-'=>-,由极限的性质, 0δ∃>, 使x δ<时, 有()(0)0f x f x->即0x δ>>时, ()(0)f x f >， 0x δ-<<时, ()(0)f x f <, 故选（C ）.【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]A【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式. 【详解】对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 特征根为 i λ=±,对 2021(1)y y x e x ''+=+=+ 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为21y ax bx c *=++对 sin ()ixm y y x I e ''+==, 因i 为特征根, 从而其特解形式可设为2(sin cos )y x A x B x *=+从而 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为xy2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题，此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式.（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A）11()dx f xy dy -⎰⎰. （B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]D【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,20()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰1111()dx f xy dy -=⎰⎰故应排除（A ）、（B ）. 在极坐标系下, cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰,故应选（D ）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]D【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 010100001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100011001C B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,010100100011001001C A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪∴= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭011100001A AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,从而 011100001Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,故选（D ）.【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系,抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应的初等矩阵来实现.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]A【分析】将A 写成行矩阵, 可讨论A 列向量组的线性相关性.将B 写成列矩阵, 可讨论B 行向量组的线性相关性.【详解】设 (),i j l m A a ⨯=()i j m n B b ⨯=, 记 ()12m A A A A =0AB = ⇒()11121212221212n n m m m mn b b b b b b A A A bb b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()1111110m m n mn m b A b A b A b A =++++= （1）由于0B ≠, 所以至少有一 0i j b ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 从而由（1）知, 112210j j i j i m m b A b A b A b A +++++=,于是 12,,,m A A A 线性相关.又记 12m B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则0AB = ⇒11121121222212m m l l l m m a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111221211222211220m m m m l l l m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪==⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭由于0A ≠,则至少存在一 0i j a ≠(1,1i l j m ≤≤≤≤),使 11220i i i j j im m a B a B a B a B ++++=,从而 12,,,m B B B 线性相关,故应选（A ）.【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性，此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解. 三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解. 【详解1】原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3lim x x x→+-=（） 01sin 2cos lim 2x x x x →⋅-+=（）011sin 1lim 22cos 6x x x x →=-⋅=-+【详解2】原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20cos 1ln 3lim x x x→-+=（1） 20cos 11lim 36x x x →-==-【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合,以简化运算.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++.(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.200()(0)(4)(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→--'===-- 00()(0)(2)(4)(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++'===-. 令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导. 【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性. （17）（本题满分11分）设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (Ⅱ)求()f x 的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域. 【详解】 (Ⅰ) 32()sin x x f x t dt πππ+++=⎰,设t u π=+, 则有22()sin()sin ()x x xxf x u du u du f x ππππ+++=+==⎰⎰,故()f x 是以π为周期的周期函数.(Ⅱ)因为sin x 在(,)-∞+∞上连续且周期为π, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 因为 ()sin(sin cos sin 2f x x x x x π'=+-=-,令()0f x '=, 得14x π=, 234x π=, 且344()s i n 24f t d t πππ==⎰554433443()sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=-⎰⎰⎰又 20(0)sin 1f t dt π==⎰, 32()(sin )1f t dt πππ=-=⎰,∴()f x的最小值是2, 故()f x的值域是[2.【评注】此题的讨论分两部分:(1)证明定积分等式,常用的方法是变量代换.(2)求变上限积分的最值, 其方法与一般函数的最值相同.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t 的函数,然后计算它们之间的关系. 【详解】 (Ⅰ)0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰ 2022x x te e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰, ()2()S t V t ∴=. (Ⅱ)22()2t t x te e F t yππ-=⎛⎫+== ⎪⎝⎭,20222()limlim ()2xxtt t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰222lim222t t tt t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭lim 1t tttt e e e e --→+∞+==- 【评注】在 t 固定时,此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型,考点是定积分几何应用的公式和罗必塔求与变限积分有关的极限问题.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-. 【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设224()ln x x x e ϕ=-, 则 2ln 4()2x x x e ϕ'=-21l n ()2xx xϕ-''=,所以当x e >时, ()0x ϕ''<, 故()x ϕ'单调减小, 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e e ϕϕ''>=-=, 即当2e x e <<时, ()x ϕ单调增加.因此, 当2e a b e <<<时, ()()b a ϕϕ>, 即 222244ln ln b b a a e e ->- 故 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证2】设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-21l n ()2xx xϕ-''=,∴x e >时, ()0x ϕ''<()x ϕ'⇒, 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e e ϕϕ''>=-=, 2e x e ⇒<<时, ()x ϕ单调增加.2e a b e ⇒<<<时, ()()0x a ϕϕ>=.令x b =有()0b ϕ>即 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证3】证对函数2ln x 在[,]a b 上应用拉格朗日定理, 得 222ln ln ln ()b a b a ξξ->-, a b ξ<<.设ln ()t t t ϕ=, 则21ln ()t t tϕ-'=, 当t e >时, ()0t ϕ'<, 所以()t ϕ单调减小, 从而2()()e ϕξϕ>, 即222ln ln 2e e eξξ>=, 故 2224ln ln ()b a b a e->- 【评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定理证明,所以常用的方法是将文字不等式化为函数不等式,然后借助函数不等式的证明方法加以证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量9000m kg =,着陆时的水平速度0700/v km h =.从飞机接触跑道开始记时,设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ,速度为()v t .根据牛顿第二定律,得dvm kv dt=-. 又 dv dv dx dvv dt dx dt dx=⋅=,mdx dv k ∴=-,积分得 ()mx t v C k=-+,由于0(0)v v =,(0)0x =, 故得0mC v k=, 从而0()(())mx t v v t k=-.当()0v t →时, 069000700() 1.05()6.010mv x t km k ⨯→==⨯. 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【详解2】根据牛顿第二定律,得dvm kv dt =-. 所以 dv kdt v m=-,两边积分得 kt mv Ce -=,代入初始条件 00t vv ==, 得0C v =,0()k t mv t v e -∴=,故飞机滑行的最长距离为 0() 1.05()k t mmv mv x v t dt e km kk+∞-+∞==-==⎰.【详解3】根据牛顿第二定律,得22d x dxm k dt dt=-,220d x k dx dt m dt+=,其特征方程为 20kr r m+=, 解得10r =, 2k r m=-，故 12k t mx C C e-=+，由(0)0x =, 200(0)k t mt t kC dxv ev dtm-====-=，得012mv C C k=-=， 0()(1)k t mmv x t e k-∴=-.当t →+∞时,069000700() 1.05()6.010mv x t km k ⨯→==⨯. 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程,并进一步求解. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. 【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算. 【详解】122xy zx f ye f x∂''=+∂,122xy zy f xe f y∂''=-+∂, 21112222[(2)]x yx yx y z x f y f x e e f x y e f x y∂''''''=⋅-+⋅++∂∂2122[(2)]x y x yy e f y f x e''''+⋅-+⋅ 222111222242()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''=-+-++++. 【评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型. （22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222220033333004444400a a a a a B a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭当0a =时, ()14r A =<, 故方程组有非零解, 其同解方程组为 12340x x x x +++=. 由此得基础解系为1(1,1,0,0)Tη=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)T η=-,于是所求方程组的通解为112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时,111110000210021003010301040014001a a B ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当10a =-时, ()34r A =<, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为(1,2,3,4)Tη=, 所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式311112222(10)33334444aa A a a a a +⎛⎫ ⎪+ ⎪==+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 当0A =, 即0a =或10a =-时, 方程组有非零解. 当0a =时, 对系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222200003333000044440000A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为12340x x x x +++=. 其基础解系为1(1,1,0,0)Tη=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)T η=-,于是所求方程组的通解为112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时, 对A 作初等行变换, 有91119111282220100033733001004446400010A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为(1,2,3,4)Tη=,所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数【评注】解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应的方程组求解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.【分析】由矩阵特征根的定义确定a 的值，由线性无关特征向量的个数与E A λ-秩之间的关系确定A 是否可对角化.【详解】A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根, 则有22161830a -++=, 解得2a =-.当2a =-时, A 的特征值为2, 2, 6, 矩阵1232123123E A -⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为1,故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个, 从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根, 则28183a λλ-++为完全平方, 从而18316a +=, 解得23a =-. 当23a =-时, A 的特征值为2, 4, 4, 矩阵32321032113E A ⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭的秩为2,故4λ=对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而A 不可相似对角化.【评注】此题的考点是由特征根及重数的定义确定a 的值, 对a 的取值讨论对应矩阵的特征根及对应E A λ-的秩, 进而由E A λ-的秩与线性无关特征向量的个数关系确定A 是否可相似对角化.。

2003年(宇振杯)上海市初中数学竞赛

参考答案
一、一 ‘，ｚ９．．４０＋ｂ一ｃ．．３００５．－１２１５００
＜，。５．：ｋ＇１８二＜．６．（＋．４二合ｋ）４５．
９．１牢０．３
二、（）４＇２。则Ｙ二的像令ｆ二＝ｘ一。十，＝（）图ｆ
是５１５．
ｚ９００
二闷０５．
（顾鸿达ｔ容刘鸿冲熊斌李大元叶产拐命题）
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魂
．
１由《等数学》．中编辑部编辑出版的《０－２３２２０．内外傲学竞赛密．及精解》００现正发售，１．每本８００
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但由粗算错了一值．于心其中个Ｙ请指出错算
的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由．
８如图１．，边长为Ｉ的正△ ＡＢ放ｔ在边长为ＮＡ３Ｎ４ｖ二，的长方形Ｐ二ｂＰ内，ｆＱ且胭在边ＮＮＰ上．若正三角形在长方形内沿着边Ｎ，，ＰＰＱＱＭ，ＭＮ翻转一圈后回到原来的起始位置，则顶点Ａ在翻转过程中形成轨迹的总长是＿（保留Ｒ．）
刁Ｌ

2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题(含答案解析)

2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题一、填空题(1～5题每小题6分，6～10题每小题8分，共70分)1．在2002当中嵌入一个数码组成五位数20□02．若这个五位数能被7整除，则嵌入的数码“□”是．2．若实数a 满足a 3<a<a 2，则不等式x+a>1－ax 解为．3．如图，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A’处，第二次过A’再折叠，使折痕DE∥BC 若AB=2，AC=3，则梯形BDEC 的面积为．4．已知关于正整数n 的二次式y=n 2+an(n 为实常数)．若当且仅当n=5时，y 有最小值，则实数n 的取值范围是．5．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的4个顶点为A(10，O)、B(0，10)、C(－10，O)、D(O ，－10)，则该正方形内及边界上共有个整点(即纵、横坐标都是整数的点)．6．如图，P 为△ABC 形内一点，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上．过A 、B 、C 分别作PD 、PE 、PF 的平行线，交对边或对边的延长线于点X 、Y 、Z ．若31,41==BY PE AX PD ，则CZPF =7．若△ABC 的三边两两不等，面积为315，且中线AD 、BE 的长分别为1和2，则中线CF 的长为8．计算：=+-+++-++-++-500099009999 (500010050002002250001001122)222222k k k9．若正数x 、y 、z 满足xyz(x+y+z)=4，则(x+y)(y+z)的最小可能值为lO ．若关于x 的方程c x x =-+3121422恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是．二、(16分)已知p 为质数，使二次方程x 2－2px+p 2－5p －1=0的两根都是整数．求出p 的所有可能值．三、(16分)已知△XYZ 是直角边长为l 的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的3个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上．求△ABC 直角边长的最大可能值．四、(18分)平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连．问至少要连多少条线段?证明你的结论．四、【解答】(1)若7个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下6点每2．点必须连线，此时至少要连1 5条．(2)若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连11条．(3)若每一点至少引出3条线段，则至少要连21/2条线段．由于线段数为整数，故此时至少要连1 1条．(4)若每点至少引出2条线段，且确有一点(记为A)只引出2条线段AB、AC，则不与A 相连的4点每2点必须连线，要连6条．由B引出的线段至少有2条，即除BA外还至少有一条．因此，此时至少要连6+2+1=9条．图中所给出的是连9条线的情况．综合(1)～(4)，至少要连9条线段，才能满足要求．。

全国2004初中数学联合竞赛试题(含解析)

全国2004年初中数学联合竞赛试题（含解析）一．选择题1．已知abc≠0，且a+b+c=0, 则代数式222a b cbc ca ab++的值是（）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p,q均为质数，且满足5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3．一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中a>b，若两个三角形的最小内角相等，则ab的值等于（）(C)4．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（）(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）(A)18ab≥ (B)18ab≤ (C)14ab≥ (D)14ab≤6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（）(A) 24 (B) 38 ( C) 46 (D) 50二．填空题7．计算2003++= .8．如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则BNNC= .9．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b= .10．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .第二试（A）一．已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。

二．已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。

求证：EP=FQ三．已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。

2000-2017年(大同杯原新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷和参考答案

上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为（精确到0.001）。

《中等数学》2004年总目次

2004 年第 6 期
关于 2003 年全国高中数学联赛第二题 (王景周崔建英 6·13)
我为数学竞赛命题
从函数方程到初中联赛试题
(罗增儒 1·13)
同旁内角的计数 ———从具体到抽象 (罗增儒 3·14)
负数进入应用题
(罗增儒 5·15)
巧思妙解
好题与巧解
(解兴武 2·14)
巧思探求的过程妙解本质的揭示
(方廷刚 2·9)
用三角代换解竞赛题
(齐文友 2·12)
含绝对值竞赛题的求解策略
(王启东 3·8)
数学竞赛中的计数问题
(费振鹏 3·11)
关于两道高中联赛题的背景研究 (刘培杰 4·8)
解数学竞赛题的局部调整策略 (郑日锋 4·10)
让向量进入竞赛数学
(邹明 5·9)
一道全国初中竞赛题的解法研究 (江明芬 5·14)
48
中等数学
《中等数学》2004 年总目次
数学活动课程讲座
·初中·
几何计数问题 (下)
(罗增儒 1·3)
存在性问题
(李建泉 2·2)
好玩的平移
(周春荔 3·2)
构造法在初中数学竞赛中的应用
(王盛裕 4·2 ,5·2)
一元二次方程根的分布问题
(杨贵武 6·2)
·高中·
根轴的性质及应用
(沈文选 1·6)
学生习作
一道数学奥林匹克问题的思考一道 IMO 试题的推广及简证一个几何不等式的简证
短论集锦
(石文博 5·18) (程俊 5·19) (崔振嵛 5·20)
简证一道国家集训队选拔考试题 (胡昱希 1·17) 边长为 1 ,2 ,3 , …的正方形铺砌问题 (吴振奎 1·17) 一个集组计数问题的简证 (王景周崔建英 1·18)

沪科版七年级下学期数学竞赛测试卷(含答案)

二中实验学校七年级下学期数学竞赛试卷（初赛）2008—5—13一、选择题(每小题5分，共50分）1。

下列各式计算正确的是（）A .93=±B 。

93±=C .2(3)3-=D 。

244-=2. 去年“五一"黄金周，我省实现社会消费的零售总额约为94亿元。

若用科学记数法表示,则94亿可写为（）A . 0.94×109B . 9。

4×108C 。

9。

4×107D 。

9.4×109 3。

某商店出售一种商品每件可获利m 元，利润率为20℅（利润率=-售价进价进价）。

若这种商品的进价提高25℅，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为（ )A 。

25℅B . 20℅C 。

16℅D . 12.5℅4.如图，是无盖长方体盒子的表面展开图（重叠部分不计），则盒子的容积为（）A 。

4B .6C 。

12D 。

155.如果线段5AB cm =,3BC cm =，那么A 、C 两点间的距离为( ）A 。

8cmB 。

2cmC 。

2cm 或 8cmD 。

无法确定6。

若26x ->，则不等式的解集为（）A 。

8x >B 。

4x <-C . 8x >±D . 以上都不对7.若a ，b 均为正整数，且2a b >，210a b +=，则b 的值为（）A 。

2或4B 。

2或4或6或8C 。

2或4或6D . 一切偶数8.计算231()2a b -的结果正确的是（） A . 4314a b B . 4318a b C . 6318a b - D 。

5318a b - 9。

若10a -<<，那么代数式(1)(1)a a a -+的值一定是( ）A .负数B .正数C .非负数D 。

正负数不能确定10。

有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应;②不带根号的数一定是有理数； ③负数没有立方根；④17-是17的平方根。

1993-2004年上海市初中数学竞赛

1993年上海市初中数学竞赛一、填空题（1 — 5每题6分，6 — 10每题8分．共70分）1．如图，EF 为正方形ABCD 的对折线，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 的G 点．则∠DKG 的度数是_______．2．满足ab =1，bc =2，dc =3，de =4，ea =5的实数组（a ，b ，c ，d ，e ）是_______．3．设有n 个数12,,,n x x x L ，它们每个数的值只能取0，1，−2三个数中的一个，且125n x x x +++=−L ，2221219n x x x +++=L ，则55512n x x x +++=L _______． 4．在△ABC 中，已知AB = 5，AC = 8，BC = 7，一直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，AE = 3，且△AEF 与原三角形相似．则EF = _______．5．S △ABC =1，D 为BC 的中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且S △DEF =15，S △CDE =13．则S △DEF =_______． 6．已知道多项式110()n n n n f x a x a x a −−=+++L ，其中n 为非负整数，n a 为正整数，1n a −、2n a −、…、0a 为非负整数，且满足105n n n a a a −++++=L ，则这样的多项式共有_______个．7．设x 2−px + q = 0的二实根为a 、b ；而以a 2、b 2为根的二次方程仍是x 2−px + q = 0．则数对（p ，q ）的个数是_______．8．在表达式S =1x 、2x 、3x 、4x 是1、2、3、4的一个排列，则使S 为不同实数的不同排列的种数是_______．9．一个三位数，它等于它的各位数码和的12倍．试写出所有这样的三位数______________．10．两个正数x 、y 满足0.049xy =，x y >，且55lg lg 774x y ⋅=−．则x 的整数部分是_____位数．二、（16分）1、2、3、4、5、6每一个使用一次组成六位数abcdef ，使得三位数abc ，bcd 、cde 、def 能依次被4、5、3、11整除．求这样的六位数．三、（16分）锐角△ABC 中，已知AB =4，AC =5，BC =6，AD 、BE 、CF 分别是边BC 、CA 、AB 上的高，D 、E 、F 为垂足．求△DEF 的面积与△ABC 的面积的比值．四、（18分）假定在r 人中，消息的传递是通过电话进行的．当两个人A 和B 电话谈话时，A 把他当时所知道的一切消息全部告诉B ，而B 也把自己当时知道的一切消息全部告诉A ，设a r 表示在要使每个人都知道r 个人的消息的条件下，这r 个人之间需要打电话的最小次数．⑴ 求3a ；⑵ 求4a ；⑶ 对3r ≥，证明：12r r a a −≤+．（试题收集：李大元录入：成俊锋）简略答案：一、1．75° 2．（3/2，2/3，3，1，4）或（−3/2，−2/3，−3，−1，−4） 3．−125 4．21/5或21/8 5．4/15 6．16 7．3 8．16 9．108 10．4二、324561 三、27/256 四、⑴ 3；⑵ 4；⑶ 略F一、填空题（共70分。

年历年上海市初中数学竞赛试卷及答案

2013上海市初中数学竞赛(新知杯)（2013年12月8日上午9:00~11:00）1.已知721,721-=+=b a ，则.________33=-+-b b a a2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则3.已知F E AC AB A 、，,8,690==︒=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者5432a a a a x +++=时，5)(=x f ，当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________.7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ∆∆∆,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ∆的面积为________________.8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知︒=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CABC AB 111++的最大值. 10.已知a 是不为0的实数，求解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ax y xy a yxxy 111.已知：,1>n n a a a a ,,,,321Λ为整数且2013321321=⋅⋅⋅⋅=++++n n a a a a a a a a ΛΛ，求n 的最小值.12.已知正整数d c a 、、、b 满足),13(),13(22-=+=d c b d c a 求所有满足条件的d 的值. 答案：1.27102- 3.265 6.12-≤≤-m 7.3671 8.599.CA BC AB 111++4221+≤ 10.经检验原方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1122a y a a x ，⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=1122a y a a x .11.【解析】2013,1,1,554321===-===a a a a a n 当满足题设等式，下证当4≤n 时，不存在满足等式要求的整数，不妨设n a a a a ≤≤≤≤Λ321，(1)当4=n 时，611132013⨯⨯=，当4321,,,a a a a 中有负整数时，必为⎩⎨⎧==+⇒-==20132015,1434321a a a a a a ，若2013,143==a a 不满足条件，当20152671,344343<≤+⇒≤⇒≥a a a a a 无解.不可能，当4321,,,a a a a 中无负整数时，显然20134≠a ，6714≤a ，容易验证等式不可能成立.(2)当3=n 时，当321,,a a a 中有负整数时，必为,121-==a a 显然等式不成立，当321,,a a a 中无负整数时，同上容易验证等式不可能成立.(3)当2=n 时，21,a a 均为正整数，同上易验证等式不可能成立. 综上所述，n 的最小值为5. 12.85=d2013上海新知杯初中数学竞赛答案2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2012年12月9日上午9:00~11:00）一、填空题（每题10分，共80分）1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为_____________。