3[1].3周期信号的频谱

A0 = 1
ϕ 0 = 0°
A1 = 3 A2 = 2
A3 = 0.4
ϕ1 = 10° ϕ 2 = 20° ϕ3 = 45°
ϕ 6 = 30°
A6 = 0.8
其余
& An = 0
3.2.2 双边频谱与信号的带宽
• 双边频谱
振幅谱
1 Fn = An 2
Fn = F−n
ϕn = −ϕ−n
相位谱
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
nω 0
周期信号的功率谱
小结
• • • • 单边频谱与双边频谱的意义 傅立叶级数展开对周期信号频谱分析的意义 余弦级数展开对应单边频谱 正、余弦级数展开对应单边频谱 复指数级数展开对应双边频谱 复指数级数展开对应双边频谱
f (t) = a0 + a1 cosω1t + a2 cos 2ω1t + a3 cos 3ω1t +L + b1 sin ω1t + b2 sin 2ω1t + b3 sin 3ω1t +L
Fn
Fn
是
nω1 的偶函数
ϕn = ±π ϕn 是 nω1 的奇函数
0 ω
1
nω1
ϕ
π
0 ω − π
n
1
nω1
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 周期信号频谱的特点： 周期信号频谱的特点：
离散性： 离散性： 由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量， 由不连续的谱线组成 ， 每一条谱线代表一个正弦分量 ， 所以 此频谱称为不连续谱或离散谱； 此频谱称为不连续谱或离散谱；每条谱线间的距离为 ω1 = 2π
的增大而逐渐减小。 nω1 的增大而逐渐减小。
时 。 nω1 →∞时，|Fn|→0。
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• T相同，不同τ值时周期矩形信号的频谱 相同，不同 值时周期矩形信号的频谱 相同
T = 2τ
T = 4τ
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• T 不变， ω1不变： 即谱线的疏密不变 不变， 不变： 若τ • 若
↓
： 则 F 收敛速度变慢， 幅度减小， n 收敛速度变慢， 幅度减小， 包络零点间隔增大。 包络零点间隔增大。
τ
不变： 包络零点间隔不变。 不变： 包络零点间隔不变。 即谱线的变密， 幅度减小， 即谱线的变密， 幅度减小，
T ↑ ： ω1 ↓
• 当
T →∞
时：谱线无限密集， 幅度趋于无穷小， 谱线无限密集， 幅度趋于无穷小， 周期信号趋于非周期信号。 周期信号趋于非周期信号。
次谐波分量的振幅和相位。 分别组成 f(t) 的第 n 次谐波分量的振幅和相位。
频谱图 相位频谱
振幅频谱
以振幅为纵坐标所画出的谱线图 以ω为横坐标 为横坐标 以相位为纵坐标所得到的谱线图
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 试画振幅谱和相位谱 矩形波 4A π 1 π 1 π f (t) = [cos(ω1t − ) + cos(3ω1t − ) + cos(5ω1t − ) +L ] T 2 3 2 5 2
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 周期信号的两种展开式： 周期信号的两种展开式：
f (t ) = A0 + ∑ An cos(nω1t + ϕn )
n =1 ∞
f (t ) =
n = −∞
∑F e
n
∞
jnω1t
1& 1 jϕn = Fn e jϕn Fn = An = Ane 2 2 的复函数， An、ϕ n 均为 nω1 的复函数，
nω1τ ∞ sin Aτ 2 ⋅ e jnω1t ∴ f (t ) = ∑ nω1τ T n =1 2
Sa(x) 3.2.2 双边频谱与信号的带宽 1
•
取样函数定义为： 取样函数定义为：
sin x Sa ( x ) = x
o π 2π 3π x
－3π －2π • 偶函数
－π
1 • 看成振幅为 的正弦函数， 的正弦函数，振幅衰减的正弦振荡 x
ω1
3ω1 5ω1 7ω1
• 相位频谱
nω 0
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 例
f (t ) = 1 + 3 cos(πt + 10°) + 2 cos(2πt + 20°) + 0.4 cos(3πt + 45°) + 0.8 cos(6πt + 30°),
试画出 f (t) 的振幅谱和相位谱。 的振幅谱和相位谱。 解： f(t)为周期信号，题中所给的 f(t) 表达式可视为 f(t) 的 傅里叶级数展开式。据
2π
τ
这段频率范围称为矩形脉冲信号
Bω =
Bf =
2π
1
τ
(rad / s)
∆ω =
2π
τ
1
(rad / s)
τ
( Hz )
∆f = ( Hz )
τ
信号的频带宽度与信号的持续时间成反比
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 对于单调衰减的信号： 对于单调衰减的信号： 衰减的信号
把零频率到谐波幅度降到最大值十分之 一的那个频率间频带， 一的那个频率间频带，称为信号的带宽
由复振幅的表达式可知，频谱谱线顶点的连线所构成的包 由复振幅的表达式可知， 的形式。 络是 Sa (x) 的形式。
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 画周期矩形脉冲的频谱
找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点） 1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点） 包络线方程为
Aτ nω1τ Fn = Sa T 2
卷积练习 信号f1(t)和f2(t)的波形如图所示，设 和 的波形如图所示， 信号 的波形如图所示 f(t)=f1(t)*f2(t),则f(0)等于 等于( )。 则 等于 。
3.3 周期信号的频谱
3.3 周期信号的频谱
• 3.3.1 周期信号频谱的特点 • 3.3.2 双边频谱与信号的带宽 • 3.3.3 周期信号的功率
分别有一、 ω1 ， 分别有一、 三、五……奇次谐波分量 奇次谐波分量 π 4A A0 = 0， ϕ 0 = 0°， A1 = ， ϕ1 = － 可知， 可知，其基波频率
4A π A3 = ， ϕ3 = － 2 3π
π
2
L
其余
& An = 0
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 振幅频谱
ϕn
−
0 π
2
f (t ) = A0 + ∑ An cos(nω1t + ϕ n )
n =1
∞
可知，其基波频率π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、 6 π 分别为二、 三、六次谐波频率。
f (t ) = 1 + 3 cos(πt + 10°) + 2 cos( 2πt + 20°) + 0.4 cos(3πt + 45°) + 0.8 cos(6πt + 30°),
P=
n = −∞
∑F
∞
2
n
= F0 + 2∑ Fn
2 n =0
2
3.3.3 周期信号的功率
• 例：
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分量所具有的平 均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， τ=1/20。
f T (t ) A
−T
−
τ
2
τ
2
T
t
3.3.3 周期信号的功率
• 解： 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为： nω1τ sin( ) Aτ nω1τ Aτ 2 Fn = Sa( )＝ nω1τ T T 2 2 将A=1，T=1/4，τ=1/20，代入：
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线， 周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线， 周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。 即：周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。 实际工作中， 实际工作中，要求传输系统将信号中的主要频率分量传输过去 周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将 ω = 0 ~ 因而， 的频带宽度。 的频带宽度。记为 或
∫
∫
t 0 +T
t0
t0 +T
f (t ) cos nω1tdt
f (t ) sin n ω1tdt
t0
可取 t0=0，t0=－T/2
• 傅立叶系数
1 Fn = T
∫
T 2
−T 2
f (t )e
∞ n
− jnω1t
dt
则：f (t ) =
n = −∞
∑F e
jnω1t
• 例 求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶 级数表示式
Fn = 0.2 Sa (nω1 / 40) = 0.2 Sa (nπ / 5)
信号的平均功率为：
1 T /2 2 P= ∫ f (t )dt = 0.2 T −T / 2
3.3.3 周期信号的功率
包含在有效带宽内的各谐波平均功率为：
有效带宽为： 0 ~
2π
ω1 = 8π
τ
(rad / s) = 0 ~ 40π (rad / s )
• 周期矩形脉冲信号
A f (t ) = 0
当t < 当−
τ
2
T τ τ T <t<− , <t< 2 2 2 2
f (t) A
T －
T τ o τ － － 2 2 2