2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练(一)三角函数、解三角形

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2020高考数学二轮复习规范解答集训1三角函数和解三角形理

规范解答集训（一）三角函数和解三角形（建议用时：40分钟)1．（2019·昆明模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a cos A－b cos C＝c cos B.(1）求角A;（2）若a＝3，△ABC的面积为错误!，求△ABC的周长．［解］（1）∵2a cos A－b cos C＝c cos B，∴2sin A cos A－sin B cos C＝sin C cos B。

∴2sin A cos A＝sin A,∵0＜A＜π，sin A≠0，可得cos A＝错误!。

∴A＝错误!.（2）由题意及（1）得，sin A＝错误!,S＝错误!bc sin A＝错误!，∴bc ＝3.∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴b2＋c2＝6，∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc ＝6＋6＝12，∴b＋c＝2错误!.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝3错误!.2．（2019·郑州三模）在△ABC中，AB＝2错误!，AC＝错误!，AD 为△ABC的内角平分线,AD＝2。

(1)求错误!的值；（2）求角A的大小．[解]（1）在△ABD中，由正弦定理得：错误!＝错误!，在△ACD中,由正弦定理得：错误!＝错误!，因为sin∠ADB＝sin∠ADC，AC＝错误!，AB＝2错误!，∴错误!＝错误!＝2。

（2）在△ABD中,由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos 错误!＝16－8错误! cos 错误!.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD cos错误!＝7－4错误!cos 错误!.又错误!＝4＝错误!,解得cos 错误!＝错误!。

又错误!∈错误!，∴错误!＝错误!，A＝错误!.3。

如图，在平面四边形中，AB＝14，cos A＝错误!,cos∠ABD＝错误!。

（1）求对角线BD的长；（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，求△BCD面积的最大值．［解]（1）在△ABD中,sin∠ADB＝sin［π－(A＋∠ABD)]＝sin（A＋∠ABD)＝sin A cos∠ABD＋cos A sin∠ABD＝错误!，由正弦定理得错误!＝错误!，即BD＝错误!＝13.（2)由已知得，C＝π－A，所以cos C＝－错误!,在△BCD中，由余弦定理可得BC2＋DC2－2BC·DC cos C＝BD2＝169，则169＝BC2＋DC2＋错误!·BC·DC≥错误!·BC·DC，即BC·DC≤错误!×169，所以S△BCD＝错误!·BC·CD·sin C≤错误!×错误!×错误!＝错误!，当且仅当BC＝DC＝错误!时取等号．所以△BCD面积的最大值为错误!.4．在△ABC中，a，b,c分别是角A，B，C的对边，且（a＋b ＋c）（a＋b－c)＝3ab。

2020版江苏步步高二轮数学(一)三角函数与解三角形

高考23题逐题训练(一)三角函数与解三角形1．tan 44°＋2sin 16°cos 44°＝________.答案3解析 tan 44°＋2sin 16°cos 44°＝sin 44°cos 44°＋2sin 16°cos 44°＝sin 44°＋2sin (60°－44°)cos 44°＝sin 44°＋2⎝⎛⎭⎫32cos 44°－12sin 44°cos 44°＝3cos 44°cos 44°＝ 3.2．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝________. 答案1＋6210解析因为cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫152＝265.所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝15×12＋265×32＝1＋6210. 3．在△ABC 中，若a ＝2，∠B ＝60°，b ＝7，则c ＝________. 答案 3解析由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入得12＝22＋c 2－74c，∴c ＝3(负值舍去)．4．(2019·镇江模拟) 若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________. 答案－78解析由2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，得 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α 即4sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，又sin ⎝⎛⎭⎫π4－α≠0，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝14，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－78. 5．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x <π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4的值为________．答案22解析 f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π2×(－3)＋3π4 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 6．(2019·南京、盐城模拟)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．答案3解析 ∵相邻两条对称轴间的距离为π2，∴2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ()2x ＋φ. ∵函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， ∵0<φ<π，∴φ＝π6.∴f (x )＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝ 3.7．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________. 答案54解析由正弦定理，得sin A a ＝sin Bb ，又∵a ＝52b ，A ＝2B ， ∴sin 2B 52b ＝sin Bb ，b ≠0，sin B ≠0，∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.8．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos 50°2，将a ，b ，c 用“<”号连接起来为________．答案 a <c <b解析 a ＝12cos 6°－32sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°， b ＝2tan 13°1－tan 213°＝tan 26°， c ＝1－cos 50°2＝sin 225°＝sin 25°. ∵tan 26°＝sin 26°cos 26°，0<cos 26°<1，∴tan 26°>sin 26°.又∵当0°<x <90°时，y ＝sin x 为增函数， ∴sin 24°<sin 25°<sin 26°， ∴a <c <b .9．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得到的图象关于原点对称，则φ的最小值为________．答案π12解析因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋φ)－π6，所以2φ－π6＝k π(k ∈Z )，所以φ＝π12＋k π2(k ∈Z )，因为φ>0，所以φmin ＝π12.10．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．答案 2 2解析设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝4＋x 2－(2x )24x ＝4－x 24x ，将其代入S △ABC ，得S △ABC ＝x1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 24x 2＝128－(x 2－12)216.由三角形三边关系，知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2.11．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ，若在区间(0，π)上存在3个不同的实数x ，使得f (x )＝1成立，则满足条件的正整数ω的值为________．答案 3解析 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，设t ＝ωx ＋π3，由ω>0，知当x ∈(0，π)时，t ∈⎝⎛⎭⎫π3，ωπ＋π3， f (x )＝1可转化为方程2sin t ＝1，作出y ＝sin t 的图象(图略)，可知要使在区间(0，π)上存在3个不同的实数x ，使得f (x )＝1成立，即sin t ＝12成立，需满足2π＋5π6<t ≤4π＋π6，即2π＋5π6<ωπ＋π3≤4π＋π6，解得52<ω≤236，又ω∈N *，所以ω＝3.12．(2019·徐州、淮安、连云港质检)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．答案3π2解析函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，如图所示，点A 坐标为A ⎝⎛⎭⎫π3，32，B ，C 之间的距离为一个周期T ＝π.所以三角形ABC 的面积为12×π×⎝⎛⎭⎫2×32＝ 3π2.13．(2019·无锡模拟)在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________．答案132解析由正弦定理，得2a 2＋b 2＝2c 2，如图，作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，CD ＝y ，BD ＝h ，因为2a 2＋b 2＝2c 2，所以2(y 2＋h 2)＋(x ＋y )2＝2(x 2＋h 2)，化简，得 x 2－2xy －3y 2＝0，解得x ＝3y .tan(A ＋C )＝－tan B ，tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－tan B ，1－tan A tan C tan A ＋tan C＝－1tan B ，1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝1tan A ＋1tan C ＋tan A tan C －1tan A ＋tan C ＝x h ＋y h ＋h 2xy －1h x ＋h y ＝4y h ＋h 2－3y 24yh ＝13y 4h ＋h 4y≥132，当且仅当h ＝13y 时取等号，故1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132. 14．(2019·无锡模拟)已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)(x 1<x 2<x 3<x 4)，则x 4＋1tan x 4＝________.答案－2解析直线y ＝k (x ＋2)过定点(－2,0)，如图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x 4处相切，且x 4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，即k (x 4＋2)＝－cos x 4，所以k ＝－cos x 4x 4＋2，又y ′＝(－cos x )′＝sin x ，即直线的斜率为k ＝sin x 4，因此k ＝－cos x 4x 4＋2＝sin x 4，即cos x 4sin x 4＝－x 4－2，x 4＋1tan x 4＝x 4＋cos x 4sin x 4＝x 4－x 4－2＝－2.。

(文理通用)江苏省2020高考数学二轮复习专题一三角函数、平面向量与解三角形-三角函数的图象及性质练习

第1讲三角函数的图象及性质课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角A 级——高考保分练1．(2019·徐州调研)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意得，1<πk <2，所以k <π<2k ，即π2<k <π，又k ∈Z ，所以k ＝2或3.答案：2或32．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π6个单位后，得到函数f (x )的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝________.解析：∵f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin π4＝22.答案：223．(2019·苏州期末)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－5π12，则φ＝________.解析：因为函数f (x )的一条对称轴是x ＝－5π12，所以2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3. 答案：π34．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________.解析：因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12.答案：125．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1， ∴π4·ω－π6＝2k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋23，k ∈Z . 又ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23.答案：236．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为________．解析：由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin2(x ＋φ)＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6. 答案：π67.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f (2 019)的值为________．解析：由题图易知，函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－1＝6，所以ω＝2πT ＝π3，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，将(0,1)代入，可得A sin φ＝1，所以f (2 019)＝f (6×336＋3)＝f (3)＝A sin π3×3＋φ＝－A sin φ＝－1.答案：－18．(2019·启东检测)已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的所有零点之和等于________．解析：f (x )＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x )－sin(2x ＋x )＝－2cos 2x sin x ，令f (x )＝0，可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，∵x ∈[0,2π]，∴2x ∈[0,4π]，由cos 2x ＝0可得2x ＝π2或2x ＝3π2或2x ＝5π2或2x ＝7π2，∴x ＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0可得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∵π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f (x )的所有零点之和等于7π.答案：7π9.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA →·OB →＝3T216－3＝0，解得T ＝4. 答案：410．已知ω>0，在函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω的值为________．解析：令sin ωx ＝cos ωx ，得sin ωx －cos ωx ＝2sin ωx －π4＝0，所以ωx －π4＝k π，k ∈Z ，即x ＝1ω·⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4.如图，当k＝0时，x 1＝π4ω，y 1＝22；当k ＝1时，x 2＝5π4ω，y 2＝－22.由勾股定理，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(3)2，即⎝⎛⎭⎪⎫5π4ω－π4ω2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＝3.化简得ω2＝π2.又ω>0，所以ω＝π.答案：π11．(2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．12.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0，π))的图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2)在x ∈[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)由图可得A ＝3，f (x )的周期为8，则2πω＝8，即ω＝π4. f (－1)＝f (3)＝0，则f (1)＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又φ∈[0，π)，故φ＝π4. 综上所述，f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2) ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4x ＋2＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋33cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4 ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12.当x ∈[－1,3]时，π4x ＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3.故当π4x ＋7π12＝π2，即x ＝－13时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12取得最大值1，则g (x )的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝6；当π4x ＋7π12＝4π3，即x ＝3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12取得最小值－32，则g (x )的最小值为g (3)＝6×⎝⎛⎭⎪⎫－32＝－3 3. B 级——难点突破练1．(2019·苏北三市期末)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．解析：平移后的函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令f (x )＝g (x )，得sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 法一：2x －π3＝π－2x ＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π2(k ∈Z )，相邻的三个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，－32，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32.故所求面积为S ＝12×π×3＝32π.法二：sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2x cos π3－cos 2x ·sin π3＝12sin 2x －32cos 2x ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0，则有2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )，相邻的三个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，－32，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32.则所求面积S ＝12×π×3＝32π.答案：32π 2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|≤π2，－π4为f (x )的零点，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4恒成立，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π24上有最小值无最大值，则ω的最大值是________．解析：因为－π4为f (x )的零点，x ＝π4是y ＝f (x )图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋k2T (k∈N )，即π2＝2k ＋14T (k ∈N )，则π2＝2k ＋14·2πω，所以ω＝2k ＋1(k ∈N )．又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π24上有最小值无最大值，所以π24－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π8≤T ＝2πω，所以ω≤16，所以ω的最大值为15.答案：153．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在π6，2π3上的单调性．解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在π6，5π12上单调递增，在5π12，2π3上单调递减．4．已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．解：(1)f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋ 3＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x cos x ＋ 3＝2sin x cos x －23cos 2x ＋ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝π.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间为k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)方程g (x )＝0等价于f (x )＝m ，在平面直角坐标系中画出函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，且x 1＋x 2＝2×5π12＝5π6，故tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－tan π6＝－33.。

2020高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形必考点文1

(6)若求出2x －的范围，再求函数的最值，同样得分．1．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2＝2sin ＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin ＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．类型二学会审题[例2] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ＝，求cos 的值．审题路线图(1)条件：f x 图象上相邻两个最高点距离为π(2)条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝343．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b,1)，n ＝(2a －c ，cos C)，且m∥n.(1)若b2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－的值域．解：(1)由已知，m∥n，则2bcos C ＝2a －c ，由正弦定理，得2sin Bcos C ＝2sin(B ＋C)－sin C ，即2sin Bcos C ＝2sin Bcos C ＋2cos Bsin C －sin C ，在△ABC 中，sin C≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝.又b2＝ac ，b2＝a2＋c2－2accos B ，因而ac ＝a2＋c2－2accos ，即(a －c)2＝0，所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A＝1－2cos2A －sin2A1＋sin A cos A＝1－2cos A(cos A －sin A)＝sin 2A －cos 2A＝sin ，由已知条件B ＝知A∈.所以，2A －∈.因而所求函数的值域为(－1，]．4．已知函数f(x)＝2sinsin ，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，若A ＝，c ＝2，且锐角C 满足f ＝，求△ABC 的面积S.解：(1)由题意得，。

2020版江苏省高考文科数学三轮复习三角函数、解三角形解答题专题练(5页)

解答题专题练(一) 三角函数、解三角形(建议用时：40分钟)1．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B ＝b sin B＋c cos C .(1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值；(2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．3．已知函数f (x )＝a sin x cos x －2cos 2x (x ∈R )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，其中常数a ∈R .(1)求a 的值及函数f (x )的最小正周期T ；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最值及相应的x 值．4．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解答题专题练(一)1．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋3sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以T ＝π.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 2．解：(1)由a cos C sin B ＝b sin B ＋c cos C ，得a cos C sin B ＝b cos C ＋c sin B sin B cos C ，即sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，所以cos B ＝sin B ，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4，则sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝2(sin A ＋cos A )＋sin A cos A ，令t ＝sin A ＋cos A ，因为sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，0<A <34π，所以0<t ≤2，sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，所以当t ＝2，即A ＝π4时，上式取得最大值，为52.(2)由(1)得S ＝12ac sin B ＝24ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即2＝a 2＋c 2－2ac≥(2－2)ac ，ac ≤2＋2，当且仅当a ＝c ＝2＋2时等号成立，所以S max ＝2＋12，此时a ＝c ＝2＋2，所以周长L ＝a ＋b ＋c ＝22＋2＋ 2.3．解：(1)f (x )＝a sin x cos x －2cos 2x ＝a 2sin 2x －cos 2x －1，由函数f (x )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a 2sin π2－cos π2－1＝0，得a ＝2.从而f (x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f (x )max ＝2－1；当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )min ＝－2.4．解：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A ，得3cos(B ＋C )＋2＝2cos 2A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝34bc ＝53，得bc ＝20，因为b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝25＋16－2×20×12＝21，故a ＝21.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin B sin C ＝b a sin A ×c a sin A ＝57.。

(江苏专用)2020高考数学二轮复习课时达标训练(三)解三角形

课时达标训练(三) 解三角形A 组——大题保分练1．(2019·南京三模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足a cosB ＋b cos A ＝c cos Acos C.(1)求证：A ＝C ；(2)若b ＝2，BA ―→·BC ―→＝1，求sin B 的值．解：(1)证明：由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C cos Acos C ，即(sin A cos B ＋sin B cos A )cos C ＝sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A . 因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos C ＝sin C cos A .因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A . 又A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C .(2)由(1)知，A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a2.因为BA ―→·BC ―→＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3. 所以cos B ＝13.又B ∈(0，π)，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝223.2．(2019·无锡期末)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由m ∥n 及m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )得a (sin A ＋sinB )－(b ＋c )(sinC －sin B )＝0.由正弦定理，得a (a ＋b )－(b ＋c )(c －b )＝0，所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab . 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以ab ＝－2ab cos C .因为ab ＞0，所以cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9，所以ab ＝(a ＋b )2－9≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以3（a ＋b ）24≤9，即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤23，当且仅当a ＝b 时取等号．又a ＋b ＞c ，所以6＜a ＋b ＋c ≤23＋3，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋23]．3．(2018·盐城三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的中线．(1)若a ＝4，b ＝2，AD ＝1，求边c 的长； (2)若AB ―→·AD ―→＝c 2，求角B 的大小．解：(1)在△ADC 中，因为AD ＝1，AC ＝2，DC ＝12BC ＝2，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22AC ·DC ＝22＋22－122×2×2＝78.故在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋22－2×4×2×78＝6，所以c ＝ 6.(2)因为AD 为边BC 上的中线，所以AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，所以c 2＝AB ―→·AD ―→＝AB ―→·12()AB ―→＋AC ―→ ＝12AB ―→2＋12AB ―→·AC ―→＝12c 2＋12cb cos A ，∴c ＝b cos A . ∴AB ⊥BC ，∴B ＝90°.4.如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan ∠ADC ＝－2.求： (1)CD 的长； (2)△BCD 的面积．解：(1)因为tan ∠ADC ＝－2，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－55.所以sin ∠ACD ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－∠ADC －π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫∠ADC ＋π4＝sin ∠ADC cos π4＋cos ∠ADC sin π4＝1010，在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin ∠CADsin ∠ACD＝ 5.(2)因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55，sin ∠BCD ＝255. 在△BDC 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2·BC ·CD ·cos ∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7(负值舍去)，所以S △BCD ＝12·BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×7×5×255＝7.B 组——大题增分练1．(2019·苏北三市一模)在△ABC 中，sin A ＝23，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(1)求sin 2A 的值；(2)若sin B ＝13，求cos C 的值．解：(1)由sin A ＝23，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得 cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－53，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝－459.(2)由A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得B 为锐角，又sin B ＝13，所以cos B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×223－23×13＝210＋29. 2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝ 1－225＝235. (2)由题设及(1)知， cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.3．(2019·南通等七市一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，a cosB ＝2b cos A ，cos A ＝33. (1)求角B 的大小；(2)若a ＝6，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝33，0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝63. 由a cos B ＝2b cos A 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A cos B ＝2sin B cos A ，所以cos B ＝sin B .若cos B ＝0，则sin B ＝0，与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾，故cos B ≠0. 于是tan B ＝sin Bcos B＝1.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)由(1)及正弦定理asin A ＝b sin B ，得663＝b 22，所以b ＝322.又sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63×22＋33×22＝23＋66，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6×322×23＋66＝6＋324.4．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b . (1)若cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 的值；(2)若b ＝5，AC ―→·CB ―→＝－5，求△ABC 的面积；(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B ·AC ―→＝m AO ―→，求m 的值．解：由2a cos B ＝2c －b ，得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ，即2sin A cos B ＝2sin(A ＋B )－sin B ，化简得cos A ＝12，则A ＝60°.(1)由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314，得cos B ＝5314，所以sin B ＝1114.所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314.(2)因为AC ―→·CB ―→＝AC ―→·(AB ―→－AC ―→)＝AC ―→·AB ―→－AC ―→2＝|AC ―→|·|AB ―→|·cos A －|AC ―→|2＝12bc －b 2＝－5，又b ＝5，解得c ＝8，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝10 3.(3)由cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B·AC ―→＝m AO ―→，可得cos B sin C ·AB ―→·AO ―→＋cos C sin B ·AC ―→·AO ―→＝m AO ―→2.(*)因为O 是△ABC 外接圆的圆心，所以AB ―→·AO ―→＝12AB ―→2，AC ―→·AO ―→＝12AC ―→2，又|AO ―→|＝a2sin A，所以(*)可化为cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·b 2＝12m ·a2sin 2A，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C )＝2sin A ＝ 3.。

通用版2020高考数学二轮复习规范解答集训一三角函数和解三角形文

教课资料范本通用版 2020高考数学二轮复习规范解答集训一三角函数和解三角形文编辑： __________________时间： __________________规范解答集训 ( 一)三角函数和解三角形( 建议用时： 40分钟)1．(20xx ·东莞模拟 ) 在锐角△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且b2csin B ＝3.(1) 求角 C 的大小；(2) 若△ ABC 的面积为，且 1 1 ，求 c 的值．3 a b3[ 解] (1) 由题意知b2csin B ＝，3sin B2sin C3依据正弦定理得 sin B ＝ 3 ，得 sinC ＝2.∵ C 是锐角三角形的内角，π∴ C ＝ 3.1(2) 因为 S △ABC ＝ 3＝ 2absin C ，∴ ab ＝4，1 1 a ＋b又∵ a ＋b ＝ ab ＝ 3，∴ a ＋b ＝4 3，由余弦定理得 c 2＝ a 2＋b 2 －2abcos C ＝(a ＋b) 2－3ab ＝48－12＝36，∴ c ＝6.2．(20xx ·贵阳模拟 ) 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ， b ， c ，若其面32 2 2积S ＝ 4 ( a ＋ c －b ) ．(1) 求角 B ；(2) 若 b ＝2 3，a ＋c ＝6，求△ ABC 的面积．32 2 2[ 解] (1) ∵三角形的面积 S ＝ 4 ( a ＋c －b ) ，1 32 2 2． ∴ ac sin B ＝ (a ＋c －b )2 413 a2＋c2－b2 3 a2＋c2－b2 3即 2sin B ＝ 4 × ac＝ 2 ×2ac＝ 2 cos B ，π即tan B ＝ 3，即 B ＝ 3 .π(2) ∵ B ＝ 3 ，b ＝2 3，a ＋ c ＝6，∴ b 2 ＝a 2＋c 2－2accos B ，即＝(a ＋c 2 1－3ac ，ac －2ac × ＝12 ) －2236ac ＝，得 ac ＝，得3 24 811 3则三角形的面积 S ＝ 2acsin B ＝2×8× 2 ＝2 3.3．(20xx ·郑州模拟 ) 如图，四边形 ABCD 中， AC ＝ 3πBC ，AB ＝4，∠ ABC ＝ 3 .(1) 求∠ ACB ；2π(2) 若∠ ADC ＝ 3 ，四边形 ABCD 的周长为 10，求四边形 ABCD 的面积．[ 解] (1) 设 BC ＝a ，则 AC ＝ 3a ，由余弦定理得 2 2 2 ∠ ABC ，AC ＝AB ＋BC －2AB ·BC ·cos2221 2a＝4＋a－ × × a × ，可得a ＋2a －＝，即32 428 0解得 a ＝2，或 a ＝－ 4( 舍去 ) ，222因此 AB ＝AC ＋BC ，π即∠ ACB ＝ 2 .1(2) 由(1) 得 S △ABC ＝ 2· AC ·BC ＝2 3.因为四边形 ABCD 的周长为，AB ＝， BC ＝， AC ＝2 ，∠ ADC ＝2π，因此 A 10 4 2 3 3D ＋ CD ＝，42 2 2 ∠ ADC ，又 AC ＝ AD ＋ DC －2AD ·DC ·cos2 2即12＝AD CD 2 － AD DC ＝( ＋ ) · ，因此 AD · DC ＝4，因此 S △ADC1AD DC2π 3，＝ 2· ·sin 3 ＝因此 S 四边形 ABCD ＝S △ ABC ＋S △ADC ＝2＋3 ＝33 3.4．(20xx ·荆州模拟 ) △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且2cosB( acos C ＋ccos A) ＝ b.(1) 求 B ；(2) 若 b ＝2，设 A ＝α，△ ABC 的周长为 l ，求 l ＝f ( α) 的分析式并求 f ( α) 的最大值．[ 解] (1) 由2cos B a C ＋ c cos A ＝ b ，可得 2cos B A C ＋sin ( cos )(sin cos CA＝ B A ＋C ＝2cosB B ＝sinB ，cos ) 2cos sin() sin因为 sin B ≠0，1得cos B ＝2.又 B ∈(0 ，π ) ，π因此B ＝ 3.ab(2) b ＝2，由正弦定理 sin A ＝sin BcA ＝α ， C ＝π－(A ＋B ＝ 2π － α，＝sinC ，及)3aα＝2c得：sinsinπ＝sin 2π－α ，33∴ a ＝ 4 sin α， c ＝ 4 sin 2π－α ，3 3 3 ∴△ ABC 周长l ＝ f ( α ＝ a ＋b ＋c ＝ 4 sinα ＋＋ 4sin 2π－α ) 2 3 33431＋2＝sin α＋ 2 cos α＋ 2sin α3433＋2＝2sinα＋2 cos α3＝43α＋1＋22 sin2cos απ＝4sin α＋6＋2，∵0＜α2π＜ 3，ππππ∴当α＋6＝2，即α＝3时， l max＝ f3＝4＋2＝6.因此△ ABC周长的最大值为 6.5．(20xx ·汕头模拟 ) △ ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a， b， c. 已知 b，c, 2acos B成等差数列．(1)求角 A；(2)若 a＝ 13，b＝3， D为BC中点，求 AD的长．[ 解] (1) ∵ b， c, 2acos B成等差数列，则2c＝b＋2acos B，由正弦定理得： 2×2Rsin C＝2Rsin B＋2×2Rsin AcosB( R为△ ABC外接圆半径 ) ，∴2sin C＝sin B＋2sin Acos B，∴2sin( A＋B) ＝2sin Acos B＋2cos Asin B＝sin B＋2sin Acos B，即2cos Asin B＝sin B.1∵s in B≠0，∴ cos A＝2.π又0＜ A＜π，∴ A＝3 .(2)在△ ABC中， a2＝b2＋c2－2bc cos A，2－× × c12－3c－＝，∴13＝9＋c×，即 c2 32 4 0∴ c＝4，或 c＝－ 1( 舍去 ) ，故 c＝4.在△ABC C a2＋b2－c2＝13＋9－1613中， cos＝2ab＝13，2× 13×35 / 613 2－× ×132222∴在△ACD中， AD＝AC＋ CD－2AC·CD·cos C＝3＋2 2 32133737.×13＝4，因此AD＝2。

文理通用江苏省2020高考数学二轮复习专题一三角函数平面向量与解三角形第4讲平面向量练习

第4讲平面向量课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角A 级——高考保分练1．(2019·南通调研)已知向量a ＝(1，λ)，b ＝(λ，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________.解析：由题知a ＋b ＝(1＋λ，λ＋2)，a －b ＝(1－λ，λ－2)．因为(a ＋b )∥(a －b )，所以(1＋λ)(λ－2)＝(λ＋2)(1－λ)，解得λ＝± 2.答案：± 22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.解析：因为OC →＝23OA →＋13OB →，所以AC →＝OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，所以AC →＝13AB →，所以|AC →||AB →|＝13.答案：133．向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________．解析：∵向量a ＝(3,4)，b ＝(1，－1)， ∴向量a 在向量b 方向上的投影为 |a |cos θ＝a ·b |b |＝3×1＋4×－112＋－12＝－22. 答案：－224．已知e 1，e 2是夹角为π3的两个单位向量，a ＝3e 1＋2e 2，b ＝2e 1－k e 2(k ∈R )，且a ·(a－b )＝8，则实数k 的值为________．解析：a ＝3e 1＋2e 2，a －b ＝e 1＋(2＋k )e 2，则a ·(a －b )＝(3e 1＋2e 2)·[e 1＋(2＋k )e 2]＝3e 21＋[2＋3(2＋k )]e 1·e 2＋2(2＋k )e 22＝3＋[2＋3(2＋k )]cos π3＋2(2＋k )＝8，解得k ＝－67.答案：－675．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________. 解析：设BC 边中点为D ，则AO →＝23 AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13×(3×2×cos 60°＋32)＝4.答案：46．在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n＝________.解析：∵AD →＝2AE →，EF →＝mAB →＋nAD →，∴AF →＝AE →＋EF →＝mAB →＋(2n ＋1)AE →，∵F ，E ，B 三点共线，∴m＋2n ＋1＝1，∴m n＝－2.答案：－27．在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，P 是线段BD 上的任意一点，则AP →·AC →＝________.解析：如图所示，由条件知△ABC 为正三角形，AC ⊥BP ，所以AP →·AC →＝(AB →＋BP →)·AC → ＝AB →·AC →＋BP →·AC →＝AB →·AC →＝||AB →×||AC →cos 60° ＝2×2×12＝2.答案：28．已知Rt △ABC ，点D 为斜边BC 的中点，|AB →|＝63，|AC →|＝6，AE →＝12ED →，则AE →·EB →＝________.解析：如图，以A 为坐标原点，以AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,63)，C (6,0)，D (3,33)．因为AE →＝12ED →，所以AE→＝13AD →＝13(3，33)＝(1，3)，E (1，3)，EB →＝(－1，53)，所以AE →·EB →＝(1，3)·(－1,53)＝14.答案：149．(2019·海门中学期中)已知点O 是△ABC 内部一点，且满足OA →＋OB →＋OC →＝0，又AB →·AC →＝23，∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为________．解析：因为OA →＋OB →＋OC →＝0，所以O 为△ABC 的重心，所以△OBC 的面积是△ABC 面积的13，因为AB →·AC →＝23，所以|AB →|·|AC →|cos ∠BAC ＝23，因为∠BAC ＝60°，所以|AB →|·|AC →|＝43，所以S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，所以△OBC 的面积为1. 答案：110．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB →·AC →＝9，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA→|CA →|＋y ·CB→|CB →|，则xy 的最大值为________．解析：因为∠C ＝90°，所以AB →·AC →＝AC →2＝9，所以|AC →|＝3，即AC ＝3.因为S △ABC ＝12×AC ×BC＝6，所以BC ＝4.又P 为线段AB 上的点，且CP →＝x 3CA →＋y 4CB →，故x 3＋y 4＝1≥2x 3·y4，即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号．答案：311．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5，从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4，因此θ＝π2或θ＝3π4.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .向量m ＝()a ，3b ，n ＝(sin B ，－cos A )，且m ⊥n .(1)求A 的大小； (2)若|n |＝64，求cos C 的值．解：(1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0，即a sin B －3b cos A ＝0. 由正弦定理得，a sin A ＝bsin B ，所以sin A sin B －3sin B cos A ＝0. 在△ABC 中，B ∈(0，π)，sin B ＞0，所以sin A ＝3cos A .若cos A ＝0，则sin A ＝0，矛盾．若cos A ≠0，则tan A ＝sin Acos A ＝ 3.在△ABC 中，A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)知，A ＝π3，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ，－12. 因为|n |＝64，所以 sin 2B ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝64.解得sin B ＝24(舍去负值)．因为sin B ＝24＜12，所以0＜B ＜π6或5π6＜B ＜π. 在△ABC 中，又A ＝π3，故0＜B ＜π6，所以cos B ＞0.因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，所以cos B ＝144. 从而cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－12×144＋32×24＝6－148.B 级——难点突破练1．(2019·泰州期末)已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________.解析：如图，因为PA →＋PB →＋2PD →＝0，所以PA →＋PB →＋2(PC →＋CD →)＝0，即PA →＋PB →＋2(PC →＋BA →)＝0，即PA →＋PB →＋2(PC →＋PA →－PB →)＝0，所以3PA →－PB →＋2PC →＝0，即32PA →－12PB →＋PC →＝0，所以λ＝32，μ＝－12，λμ＝－34.答案：－342．已知A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，动点P 满足AP →·BP →＝2|PC →|2，则|AP →＋BP →|的最大值为________．解析：设动点P (x ，y )，因为A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，AP →·BP →＝2|PC →|2，所以(x ，y－1)(x ，y ＋1)＝2[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝1.因为|AP →＋BP →|＝2x 2＋y 2，所以|AP →＋BP →|表示圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到原点距离的2倍，所以|AP →＋BP →|的最大值为2×(2＋1)＝6.答案：63．(2019·启东期末)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，已知向量a ＝(6sin α，2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，cos α－62，且a ⊥b .(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋7π12的值．解： (1)因为a ＝(6sin α，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos α－62，且a ⊥b ，所以6sin α＋2cos α＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝64. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝104，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝155. (2)由(1)得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1042－1＝14. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝154，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π4＝2－308. 4．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b . (1)若cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 的值；(2)若b ＝5，AC →·CB →＝－5，求△ABC 的面积；(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝mAO →，求m 的值．解：由2a cos B ＝2c －b ，得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ，即2sin A cos B ＝2sin(A ＋B )－sin B ，化简得cos A ＝12，则A ＝60°.(1)由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314，得cos B ＝5314，所以sin B ＝1114.所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314.(2)因为AC →·CB →＝AC →·(AB →－AC →)＝AC →·AB →－AC →2＝|AC →|·|AB →|·cos A －|AC →|2＝12bc －b 2＝－5，又b ＝5，解得c ＝8，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝10 3.(3)由cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝mAO →，可得cos B sin C ·AB →·AO →＋cos C sin B ·AC →·AO →＝mAO →2.(*)因为O 是△ABC 外接圆的圆心，所以AB →·AO →＝12AB →2，AC →·AO →＝12AC →2，又|AO →|＝a 2sin A，所以(*)可化为cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·b 2＝12m ·a2sin 2A，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C )＝2sin A ＝ 3.。

江苏省2024高考数学二轮复习专题一三角1

三角函数、解三角形A 组——抓牢中档小题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：122．(2024·苏北四市期末)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπx －π6(ω>0)的最小正周期为15，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为________．解析：因为f (x )的最小正周期为2πωπ＝15，所以ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10πx －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－π6＝sin 19π6＝－sin π6＝－12.答案：－123．(2024·盐城期中)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，且角C 是最大内角，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22×3k ×5k＝－12，因为0°<C <180°，所以C ＝120°.答案：120°4．(2024·苏州期中调研)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，则cos 2α的值是________．解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以tan α－11＋tan α＝2，即tan α＝－3，故cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－810＝－45. 答案：－455．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B，即1sinπ6＝3sin B ，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π36．(2024·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.解析：将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π3，即f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ.因为f (x )为偶函数，所以π3－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝－π12－k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝5π12. 答案：5π127．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．解析：∵sin B ＝45，cos B ＝9ac，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，又∵2b ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，解得b ＝4.答案：48．(2024·盐城三模)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8的值为________．解析：f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋φ－π6，由题意知，T ＝π2×2＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数f (x )为偶函数得，f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝±2，又因为0<φ<π，所以φ＝2π3，f (x )＝2sin2x ＋π2＝2cos 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝2cos π4＝ 2.答案： 29．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－7910．(2024·无锡期末)设函数f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为________．解析：f (x )＝1－cos 2x 2＋3cos x sin x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π311．(2024·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC ＝________.解析：因为b ＝4，c ＝3，由S △ABC ＝12bc sin A ＝6sin A ＝33，解得sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2A ＝12或求出锐角A ＝π3，再求cos A ＝12，在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋9－2×4×3×12＝13，所以a ＝13，即BC ＝13.答案：1312．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.答案：－25513．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案：－4514．(2024·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________. 解析：∵sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cosα，∴tan α＝32－33.又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4B 组——力争难度小题1.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T216－3＝0，解得T ＝4. 答案：42．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A3sin A －cos A＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，则tan A ＝________.解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－A －π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：13．已知α为锐角，cos(α＋π4)＝55.则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为________．解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310. 答案：43＋3104.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________. 解析：由图象可得A ＝1，T 2＝2π2ω＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入函数f (x )可得0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ，所以2π3＋φ＝k π，所以φ＝k π－2π3(k∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π12×2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. 答案：325．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积S 的最大值为________．解析：由S ＝12ab sin C ，得S 2＝14a 2b 2(1－cos 2C )＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2， ∵a 2＋b 2＋2c 2＝8， ∴a 2＋b 2＝8－2c 2，∴S 2＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3c 22ab 2 ＝14a 2b 2－8－3c 2216≤a 2＋b 2216－8－3c2216＝－5c 416＋c 2，当且仅当a 2＝b 2时等号成立，由二次函数的性质可知，当c 2＝85时，S 2取得最大值，最大值为45，故S 的最大值为255.答案：2556.(2024·南通基地卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin π4x ＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M 、N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．解析：将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋3π4，所以φ＝34π，M (－1，3)，|OM |＝2，N (3，－3)，ON ＝23，|MN |＝27，由余弦定理可得，cos θ＝4＋12－282×2×23＝－32，θ＝5π6，tan(φ－θ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－5π6＝tan 3π4－tan5π61＋tan 3π4·ta n5π6＝－2＋ 3.答案：－2＋ 3。

(江苏专用)2020高考数学二轮复习课时达标训练(一)三角函数、解三角形

课时达标训练(一) 三角函数、解三角形A 组——抓牢中档小题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________．解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：122．(2019·苏锡常镇四市一模)设定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝33sin x 的图象与y＝3cos 2x ＋2的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为________．解析：法一：根据题意得，33sin x ＝3cos 2x ＋2，33sin x ＝3(1－2sin 2x )＋2，6sin 2x ＋33sin x －5＝0，(23sin x ＋5)·(3sin x －1)＝0，所以sin x ＝13，此时y P ＝33×13＝3，所以点P 到x 轴的距离为3.法二：设点P 的坐标为(x P ，y P )，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y P ＝33sin x P ＞0，sin x P＝y P33，又y P ＝3cos 2x P ＋2，所以y P ＝3(1－2sin 2x P )＋2，y P ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y 2P 27＋2，所以2y 2P ＋9y P－45＝0，(2y P ＋15)(y P －3)＝0，因为y P ＞0，所以y P ＝3，故点P 到x 轴的距离为3.答案：33．(2019·常州期末)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点(1，0)是函数f (x )图象的对称中心，则ω的最小值为________．解析：由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，知函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称，又点(1，0)是函数f (x )图象的对称中心，所以函数f (x )的最小正周期T 的最大值为4，所以ω的最小值为2π4＝π2.答案：π24．(2019·扬州期末)设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba ＝________．解析：因为a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，所以a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sin π7＝sin10π21cos10π21，所以a cos 10π21 sin π7＋b cos 10π21 cos π7＝a sin 10π21 cos π7－b sin 10π21sin π7，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10π21 cos π7－cos 10π21 sin π7 ＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 10π21 cos π7＋sin 10π21 sin π7，即a sin ⎝⎛⎭⎪⎫10π21－π7＝b cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π21－π7，a sin π3＝b cos π3，所以b a ＝tan π3＝ 3.答案： 35．(2019·无锡期末)已知θ是第四象限角，cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．解析：依题意，得sin θ＝－35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos （2θ－6π）＝sin θ cos π4＋cos θsin π4cos 2θ＝－35×22＋45×222×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝5214.答案：52146．(2019·南通等七市二模)在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．解析：设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则由sin B ＝2sin A 和正弦定理得b ＝2a ，由△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，得ab ＝8，所以a ＝2，b ＝4，由余弦定理可得AB 2＝4＋16－2×2×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28，得AB ＝27.答案：277．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．解析：∵sin B ＝45，cos B ＝9ac，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，又∵2b ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，解得b ＝4.答案：48．(2019·南京三模)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中ω＞0.若x 1，x 2是方程f (x )＝2的两个不同的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π.则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为________．解析：根据已知可得2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，数形结合易知，当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值，为－1.答案：－19．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________．解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－7910．(2019·石庄中学模拟)将函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象向右平移π3个单位后得到函数g (x )的图象，若g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则θ＝________．解析：依题意，g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋θ，令2x －2π3＋θ＝k π(k ∈Z )，即函数g (x )图象的对称轴为x ＝π3－θ2＋k π2(k ∈Z )，又|θ|＜π2，当k ＝0时，有π3－θ2＝π4，解得θ＝π6. 答案：π611．(2019·徐州中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A＋3cos A ＝1，b ＝5，△ABC 的面积S ＝53，则△ABC 的周长为________．解析：由cos 2A ＋3cos A ＝1得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝－2(舍去)或cosA ＝12，则sin A ＝32，由S ＝12bc sin A ＝12×5×32c ＝53，得c ＝4. 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－2×5×4×12＝21，得a ＝21.所以△ABC 的周长为5＋4＋21＝9＋21. 答案：9＋2112．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α（sin α＋cos α）22（sin α＋cos α）＝22sin α＝－255.答案：－25513．(2019·盐城三模)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b2＋ab ，则a 2－b 2c2的取值范围是________．解析：因为c 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以由余弦定理得cos C ＝－12，所以C ＝2π3，由正弦定理得a 2－b 2c 2＝sin 2A －sin 2B sin 2C ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2A －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3.因为0＜A ＜π3，所以－π3＜2A －π3＜π3，所以a 2－b 2c2∈(－1，1)．答案：(－1，1)14．(2018·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________．解析：∵sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cosα，∴tan α＝32－33.又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4B 组——力争难度小题1.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T216－3＝0，解得T ＝4. 答案：42．(2019·平潮中学模拟)在△ABC 中，若1tan B ＋1tan C ＝1tan A ，则cos A 的取值范围为________．解析：由1tan B ＋1tan C ＝1tan A ，得cos B sin B ＋cos C sin C ＝cos Asin A，即cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C ＝cos Asin A，即sin （B ＋C ）sin B sin C ＝cos A sin A ，即sin A sin B sin C ＝cos Asin A，由正弦定理，得bc cos A ＝a 2，由余弦定理，得bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即cos A ＝b 2＋c 23bc ≥2bc 3bc ＝23(当且仅当b ＝c 时取等号)，又易知cos A ＜1，所以23≤cos A＜1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 3．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为________．解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.答案：43＋3104.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________．解析：由图象可得A ＝1，T 2＝2π2ω＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入函数f (x )可得0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ，所以2π3＋φ＝k π，所以φ＝k π－2π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π12×2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案：325．在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，D 为BC 中点，E 为AB 中点，则AE ＋BD 的取值范围为________．解析：在△ABC 中，设C ＝θ，则A ＝2π3－θ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C，得AB ＝AC sin C sin B ＝3sin θsinπ3＝2sin θ，BC ＝AC sin Asin B＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θsinπ3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ，所以AE ＋BD ＝12AB ＋12BC ＝sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin θ＋32cos θ＋12sin θ＝32sin θ＋32cos θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，则θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3，即AE ＋BD 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤32，36.(2018·南通基地卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M ，N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．解析：将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋3π4，所以φ＝34π，M (－1，3)，|OM |＝2，N (3，－3)，ON ＝23，|MN |＝27，由余弦定理可得，cos θ＝4＋12－282×2×23＝－32，θ＝5π6，tan(φ－θ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－5π6＝tan 3π4－tan5π61＋tan 3π4·tan5π6＝－2＋ 3.答案：－2＋ 3。

(文理通用)江苏省2020高考数学二轮复习专题一三角函数、平面向量与解三角形第5讲三角函数的实际应用练习

第5讲三角函数的实际应用课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°，距灯塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则此船航行的速度为________n mile/h.解析：如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠PNM ＝45°. 在△PMN 中，MN sin 120°＝PMsin 45°，∴MN ＝68×3222＝34 6 n mile. 又由M 到N 所用的时间为14－10＝4小时， ∴此船的航行速度v ＝3464＝1762 n mile/h.答案：17622．在200米高的山顶上，测得山下一塔塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________米．解析：如图所示，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°，所以BC ＝200tan 60°＝20033，AM ＝DM tan 30°＝BC tan 30°＝2003. 所以CD ＝AB －AM ＝4003.答案：40033.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t 的函数解析式为________．解析：由题意知，函数的周期为T ＝60， ∴|ω|＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t ＋φ.∵初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12， ∴t ＝0时，y ＝12，∴sin φ＝12，∴φ可取π6，∴函数解析式可以是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t ＋π6.又由秒针顺时针转动可知，y 的值从t ＝0开始要先逐渐减小，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π64．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：(1)由表中数据知最小正周期T ＝12. 所以ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.① 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0.② 联立①②，可得A ＝0.5，b ＝1，所以振幅A 为12，y ＝12cos π6t ＋1.(2)由12cos π6t ＋1>1，得cos π6t >0.所以2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z ，因为0≤t ≤24，所以k 可取值0,1,2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.所以在规定时间上午8：00至晚上20：00之间有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.5．(2019·南京、盐城二模)某公园内有一块以O 为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP ＝AB ＝BQ ，∠PAB ＝∠QBA ＝2π3，且AB ，PQ 在点O 的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米．设∠OAB ＝α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3.问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？解：过O 作OH 垂直于AB ，垂足为H (图略)．在Rt △OHA 中，OA ＝20，∠OAH ＝α，所以AH ＝20cos α，因此AB ＝2AH ＝40cos α. 由图可知，点P 处观众离点O 处最远．在△OAP 中，由余弦定理可知OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA ·AP ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3 ＝400＋(40cos α)2－1 600cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos α－32sin α＝400(6cos 2α＋23sin αcos α＋1) ＝400(3cos 2α＋3sin 2α＋4) ＝8003sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋1 600.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以当2α＝π6时，即α＝π12时， (OP 2)max ＝8003＋1 600，即(OP )max ＝203＋20.因为203＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米，答：对于任意α，上述设计方案均能符合要求．6．(2019·启东期末)如图，某公园内有一块矩形绿地区域ABCD ，已知AB ＝100米，BC ＝80米，以AD ，BC 为直径的两个半圆内种花草，其他区域种植苗木．现决定在绿地区域内修建由直路BN ，MN 和弧形路MD 三部分组成的观赏道路，其中直路MN 与绿地区域边界AB 平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米2a 元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米3a 元，修建的总造价为W 元，设∠NBC ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(1)求W 关于θ的函数关系式；(2)如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价．解：(1)连结NC ，AM ，设AD 的中点为O ，连结MO ，过N 作EN ⊥BC ，垂足为E . 由BC 为直径知，∠BNC ＝90°，又BC ＝80米，∠NBC ＝θ，所以BN ＝80cos θ米，NE ＝BN sin θ＝80sin θcos θ，因为MN ∥AB ，AB ＝100米，所以MN ＝AB －2NE ＝100－160sin θcos θ米，由于∠DOM ＝2∠MAD ＝2θ，OM ＝40米．所以DM ＝40×2θ＝80θ米，因为直路的工程造价为每米2a 元，弧形路的工程造价为每米3a 元，所以总造价为W ＝2a (BN ＋MN )＋3a DM＝2a (80cos θ＋100－160sin θcos θ)＋3a ·80θ ＝40a (4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5)⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. 所以W 关于θ的函数关系式为W ＝40a (4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(2)设f (θ)＝4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5,0<θ<π2.则f ′(θ)＝－4sin θ－8cos 2θ＋8sin 2θ＋6＝16sin 2θ－4sin θ－2＝2(4sin θ＋1)(2sin θ－1)．令f ′(θ)＝0，得θ＝π6.列表如下：所以，当θ＝6时，f (θ)取得最小值．此时，总造价W 最少，最少总造价为(200＋40π)a 元．答：(1)W 关于θ的函数关系式为W ＝40a (4cos θ－8sin θcos θ＋60＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2；(2)当θ＝π6时，修建的总造价最少，最少总造价为(200＋40π)a 元．7.某避暑山庄拟对一半径为1百米的圆形地块(如图)进行改造，拟在该地块上修建一个等腰梯形的游泳池ABCD ，其中AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，圆心O 在梯形内部，设∠DAO ＝θ.当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳游泳池”．(1)求梯形游泳池的面积S 关于θ的函数关系式，并指明定义域； (2)求当该游泳池为“最佳游泳池”时tan θ的值．解：(1)如图，分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连结EF ，OD ，由平面几何知识可得E ，O ，F 三点共线，且EF ⊥AB ，EF ⊥CD .易知AB ＝2AE ＝2cos(60°－θ)，DC ＝2DF ＝2cos(120°－θ)，EF ＝OE ＋OF ＝sin(60°－θ)＋sin(120°－θ)＝3cos θ，且⎩⎪⎨⎪⎧0°＜θ＜60°，0＜120°－θ＜90°得30°＜θ＜60°.则梯形ABCD 的面积S ＝12(AB ＋CD )×EF＝12[2cos(60°－θ)＋2cos(120°－θ)]×3cos θ ＝3sin θcos θ(百米2)，30°＜θ＜60°. (2)易知AD ＝2cos θ，由(1)可得梯形ABCD 的周长l ＝AB ＋CD ＋2AD ＝23sin θ＋4cos θ(百米)．设y ＝3sin θcos θ23sin θ＋4cos θ，30°＜θ＜60°，则y ′＝3θ－3sin 3θ2r(3sin θ＋4cos θ2).由y ′＝0得tan 3θ＝233.令tan θ0＝ 3233，则当30°＜θ＜θ0时，y ′＞0，y 单调递增，当θ0＜θ＜60°时，y ′＜0，y 单调递减，所以当θ＝θ0，即tan θ＝ 3233时，该游泳池为“最佳游泳池”．。

2020版高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角变换、解三角形练习文苏教版(最新整理)

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第2讲三角变换、解三角形1．（2019·南通市高三模拟)已知sin错误!＝错误!，则sin错误!＋sin2错误!的值为________．［解析］ sin错误!＝sin错误!＝－sin错误!＝－错误!,sin2错误!＝sin2错误!＝cos2错误!＝错误!，则sin错误!＋sin2错误!＝－错误!＋错误!＝错误!．[答案] 错误!2．（2019·扬州模拟)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC 的形状为________．[解析] 由正弦定理asin A＝错误!＝错误!＝2R（R为△ABC外接圆半径)及已知条件sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，可设a＝5x，b＝11x，c＝13x（x〉0）．则cos C＝错误!＝错误!〈0，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．［答案] 钝角三角形3．(2019·江苏省高考名校联考(二）)若cos错误!cos错误!＝－错误!,α∈错误!，则sin 2α＝________．［解析] cos错误!cos错误!＝错误!·错误!＝－错误!,则错误!cos 2α＋错误!sin 2α＝－错误!，可得错误!又α∈错误!，解得cos 2α＝－错误!，sin 2α＝错误!．[答案］1 24．(2019·无锡模拟)计算错误!的值为________．［解析] 错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．[答案］1 25．在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是________．［解析］由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，可得错误!＝－1，即tan（A＋B）＝－1，所以A＋B＝错误!,则C＝错误!，cos C＝错误!．［答案］错误!6．（2019·南京市四校第一学期联考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，若sin B＝45，cos B＝错误!，则b的值为________．[解析］因为2b＝a＋c，sin B＝错误!，cos B＝错误!，sin2B＋cos2B＝1，所以ac＝15,所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－48＝4b2－48，得b＝4．［答案] 47．已知cos θ＝－错误!，θ∈（－π，0）,则sin错误!＋cos错误!＝________________________________________________________________________．［解析］因为θ∈(－π，0），所以sin θ＝－错误!＝－错误!，因为sin θ<cos θ<0，所以θ∈错误!，错误!∈错误!，所以－1<sin错误!<－错误!，0〈cos错误!〈错误!，故sin错误!＋cos错误!〈0,sin错误!＋cos错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!．[答案] －错误!8．（2019·苏州第一次调研)已知a，b,c是△ABC中角A，B,C的对边，a＝4，b∈（4，6)，sin 2A＝sin C，则c的取值范围为________．[解析] 由错误!＝错误!，得错误!＝错误!,所以c＝8cos A，因为16＝b2＋c2－2bc cos A，所以16－b2＝64cos2A－16b cos2A，又b≠4，所以cos2A＝错误!＝错误!＝错误!，所以c2＝64cos2A ＝64×错误!＝16＋4b．因为b∈（4，6），所以32<c2<40，所以4错误!〈c<2错误!．［答案］（4错误!，2错误!）9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b，c，已知a＝2错误!，c＝2错误!，1＋错误!＝错误!，则C＝________．[解析］由1＋错误!＝错误!和正弦定理得cos A sin B＋sin A cos B＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，因为在三角形中sin C≠0，所以cos A＝错误!，则A＝60°．由正弦定理得错误!＝错误!,则sin C＝错误!，又c<a，则C〈60°，故C＝45°．[答案］ 45°10．（2019·扬州市第一学期期末检测）设a，b是非零实数，且满足错误!＝tan错误!,则错误!＝______．［解析］因为错误!＝tan错误!，所以错误!＝错误!，所以a cos错误!sin错误!＋b cos错误!cos 错误!＝a sin错误!cos错误!－b sin错误!sin错误!，所以a（sin错误!cos错误!－cos错误!·sin错误!)＝b(cos错误!cos错误!＋sin错误!sin错误!），即a sin(错误!－错误!)＝b cos(错误!－错误!)，a sin 错误!＝b cos错误!，所以错误!＝tan错误!＝错误!．［答案] 311．在△ABC中,已知AB＝2,AC＝3,A＝60°．（1）求BC的长;（2）求sin 2C的值．[解］（1）由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝错误!．（2)由正弦定理知，错误!＝错误!，所以sin C＝错误!·sin A＝错误!＝错误!．因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝错误!＝错误!＝错误!．因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×错误!×错误!＝错误!．12．(2019·南通市高三模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a＋b －c)(a＋b＋c)＝ab．(1)求角C的大小；(2)若c＝2a cos B，b＝2，求△ABC的面积．［解］ (1)在△ABC中，由（a＋b－c)（a＋b＋c)＝ab，得错误!＝－错误!，即cos C＝－错误!．因为0<C<π，所以C＝错误!．(2)法一:因为c＝2a cos B，由正弦定理,得sin C＝2sin A cos B,因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)，所以sin(A＋B)＝2sin A cos B，即sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin(A－B）＝0,又－错误!〈A－B〈错误!，所以A－B＝0，即A＝B,所以a＝b＝2．所以△ABC的面积为S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!×2×2×sin错误!＝错误!．法二：由c＝2a cos B及余弦定理，得c＝2a×a2＋c2－b22ac，化简得a＝b，所以△ABC的面积为S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!×2×2×sin错误!＝错误!．13．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C 所对的边，且满足a cos B＋b cos A＝错误!．(1）求证：A＝C；(2)若b＝2，错误!·错误!＝1，求sin B的值．［解] （1）由正弦定理，得sin A cos B＋sin B cos A＝错误!,即(sin A cos B＋sin B cos A)cos C＝sin（A＋B)cos C＝sin C cos A．因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin C，所以sin C cos C＝sin C cos A．因为C是△ABC的内角，所以sin C≠0，所以cos C＝cos A．又A，C是△ABC的内角，所以A＝C．(2)由（1)知，A＝C,所以a＝c,所以cos B＝错误!＝错误!．因为错误!·错误!＝1，所以a2cos B＝a2－2＝1，所以a2＝3．所以cos B＝错误!．又B∈（0，π)，所以sin B＝1－cos2B＝错误!．14．（2019·江苏省高考名校联考（四）)已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且acos A＋错误!＝错误!．(1)证明：cos A cos B＝cos C；(2)若b2＋c2－a2＝23bc，求tan C的值．［解］（1)证明：因为错误!＋错误!＝错误!，所以由正弦定理可知错误!＋错误!＝错误!,即sin A cos B＋cos A sin Bcos A cos B＝错误!＝错误!．因为在△ABC中，sin（A＋B）＝sin C≠0,所以cos A cos B＝cos C．（2)因为b2＋c2－a2＝错误!bc，根据余弦定理可知cos A＝错误!＝错误!,因为A为三角形的内角，所以sin A＝错误!，tan A＝2错误!．由cos A cos B＝cos C和A＋B＋C＝π得，cos A cos B＝cos C＝－cos（A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B，所以2cos A cos B＝sin A sin B,所以tan A tan B＝2，由tan A＝2错误!得，tan B＝错误!，所以tan C＝－tan(A＋B)＝－错误!＝错误!．。

2020届江苏省高考数学二轮复习专题三角难题

高考冲刺篇---三角记忆以下两个公式一，2cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++ 二，2sin 2sin 2sin41cos cos cos C B A C B A +=++ 三，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++（你的补充区）题型1:弦化切1.在三角形ABC 中，若B A C cos cos 2sin =，则B A 22cos cos +的最大值为 .2.在锐角三角形ABC 中，若C B A sin sin 2sin =,则C B A tan tan tan 的最小值为 .3.设1=∆ABC S ，则A a sin 12+的最小值为 .4.若，，，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πβα且(),sin sin cos βαβα=+则αtan 的最大值为 .5.若，，，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈24ππβα，且()βαβαβαcos cos sin sin sin 22+=+，则()βα+tan 的最大值为 .题型2：切化弦1.在三角形ABC 中，若3tan tan tan tan =+C A B A ,则A sin 的最大值为 .2.在三角形ABC 中，若C B B A C A tan tan 5tan tan tan tan =+,则A sin 的最大值为 .题型3：特殊类型1. （中线问题）（1）在三角形ABC 中，若BC 边上的中线长为a 43，则A C B 2sin sin sin 的最大值为 .（2）在三角形ABC 中，若BC 边上的中线长为BC 长的2倍，则AC B 2sin sin sin 的最大值为 .2.（求线段）已知12+=∆ABC S ,且,1tan 3tan 4=+B A 则AC 的最小值为 .3.（几个解的问题）（原创）（1）在三角形ABC 中，已知,6,2π==A a 若AB 边上存在一点D （D 不与B 重合），使得a CD =，则b 的取值范围为 .（2）在三角形ABC 中，已知3,2,π===B b x a ,若ABC ∆有两组解，则x 的取值范围为 .4.（柯西不等式）在三角形ABC 中，C B A sin sin sin 2+的最大值为 .5.（一个小转换）（1）在三角形ABC 中，若C B C A B sin sin 3cos cos sin 222=-+，且三角形ABC 外接圆的半径为2，则a 的值为 .（原创）（2）ABC ∆中，C B A ,,所对应的边为c b a ,,，若C M B A 222sin sin sin =+,B A 22cos cos +C N 2cos =,且N M ＞.若0,44sin ＞P N M P N M C -+-=，则42323-++P N M 的最小值为 .6.（细节陷阱）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈232ππβα，，，m m -=-=1sin ,37sin βα，若πβα2＜+，则m 取值范围为 .7.（面积问题）（1）在ABC ∆中，若C B ∠=∠,347222=++c b a ，则ABC S ∆的最大值为 .（2）在ABC ∆中，若⋅=⋅2,31=BC ,则ABC S ∆的最大值为 .。

高考专题三角函数及解三角形-2020年苏教版(理)二轮专项复习(典型例题+练习题+课后习题+答案)

专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化： 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xyαtan5．三角函数线：正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 22 7．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法．2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值，3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式．【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ．解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0 或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练．如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角，当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤： (1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan = (2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正．(3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsintan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限，所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin 1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===，因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ 当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0，所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论； (4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值．解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ．因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π( B ．)4π5,π()2π,4π(C ．)2π3,4π5()4π3,2π(D ．)π,4π3()2π,4π(4．化简=+170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求 (1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题．【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______； (3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______；(4)求值=+-15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα，所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用．例2 求值：(1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______； (3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o______．解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan-=+∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o ．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α ＋tan β ＝tan(α ＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α－β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα，(2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα；∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα )(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα，又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα (2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x 原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值．解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α，原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( )A ．sin15°－cos15°B ．sin15°＋cos15°C ．－sin15°－cos15°D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( ) A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-10cos 310sin 1______． 7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______．三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】2π 2π π 2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x(2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上)可得2k π≤2x ≤2k π＋π，定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题．例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x x x x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立，即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ，所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立，即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间， 2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ，)23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题．(2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合 (2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]，因为⋅++-=23)21(22t y结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域．例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕω B ．3π,1-==ϕω C ．6π,21==ϕω D ．6π,21-==ϕω解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω，当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y −−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin = −−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21，即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C (2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围．解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x 因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1．【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin( D ．R ∈+=x x y ),32π2sin( 3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称 C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______． 7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______．三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)．余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高. 21=∆ABCS ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题．【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120° (2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______.(3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______．(4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______．解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a 又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题．例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形解：(1)法一：BbA a sin sin =，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ．法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ，所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和b c ＝321+，求∠A 和tan B 的值．解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A ，当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ．由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小．解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0，因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3，所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用．练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A ．35 B ．45 C ．55 D ．65 二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______．6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B的值为______． 7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A .(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα (2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=，因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α，所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα，所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35，因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0，所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α，所以原式.52932534-=+-⨯= 练习3－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．D 二、填空题5．2 6．2 7．)3π2sin(+=x y 8．]2,89[- 三、解答题9．解：x x x x x x f 2cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2-=+-=＝)4π2sin(2-x . (1)Z ∈+=-k k x ,2ππ4π2，对称轴方程为Z ∈+=k k x ,8π32π， (2)Z ∈+≤-≤+k k x k ,2π3π24π22ππ2，即Z ∈+≤≤+k k x k ,8π7π8π3π，f (x )的单调减区间为Z ∈++k k k ],8π7π,8π3π[．10．解：(I)∵⋅+=+=-+=)3π2sin(22cos 32sin )4sin 21(32sin )(2x x x x x x f∴f (x )的最小正周期.π421π2==T当1)3π2sin(-=+x 时，f (x )取得最小值－2；当1)3π2sin(=+x 时，f (x )取得最大值2．(Ⅱ)由(I)知⋅+=+=)3π()().3π2sin(2)(x f x g xx f 又 ⋅=+=++=∴2cos 2)2π2sin(2]3π)3π(21sin[2)(xx x x g).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-∴函数g (x )是偶函数．11．解：(1)12cos 2sin 32sin 322cos 12)(+++=+++⨯=a x x a x xx f ωωωω,1)6π2sin(2+++=a x ω由满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π，可得的最小正周期为π，所以ω ＝1．(2),1)6π2sin(2)(+++=a x x f。

(文理通用)江苏省2020高考数学二轮复习专题一三角函数、平面向量与解三角形-三角函数的化简与求值练习

第2讲三角函数的化简与求值课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角A 级——高考保分练1．若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α＝________.解析：由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α>0，即cos α＝3sin α－1，则cos 2α＝1－sin 2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝35，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－25.答案：－252．已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝________. 解析：由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan θ＝1515，则tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×15151－⎝⎛⎭⎪⎫15152＝157. 答案：1573．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 解析：由题意，得cos θ＝12，sin θ＝32，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝32，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θcos π3－sin 2θsin π3＝－12×12－32×32＝－1.答案：－14．已知cos 2α＋3cos α＝1，则cos α＝________.解析：由题意，得2cos 2α＋3cos α－2＝0，所以(cos α＋2)(2cos α－1)＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．答案：125．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1010， ∴22(cos θ－sin θ)＝－1010， ∴cos θ－sin θ＝－55， ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4＜θ＜π2，则1－2sin θ cos θ＝15，∴sin 2θ＝45，又∵π2＜2θ＜π，∴cos 2θ＝－35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4＋3310.答案：4＋33106．若角α满足sin α1－cos α＝5，则1＋cos αsin α＝________.解析：sin α1－cos α＝2sin α2cos α21－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＝cosα2sinα2＝2cos2α22sin α2cos α2＝1＋cos αsin α＝5. 答案：57．若α，β都是锐角，且sin α＝255，sin(α－β)＝1010，则sin β＝________.解析：因为sin α＝255，α为锐角，所以cos α＝55.因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2.又因为sin(α－β)＝1010>0，所以0<α－β<π2，所以cos(α－β)＝31010，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝255×31010－55×1010＝22. 答案：228．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－799．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案：－4510．(2019·扬州期末)设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba ＝________.解析：因为a ，b 是非零实数，由a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sin π7＝tan 10π21，得tan π7＋ba 1－b a tanπ7＝tan 10π21，解得b a ＝tan 10π21－tanπ71＋tan 10π21·ta nπ7，即b a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π21－π7＝tan π3＝ 3.答案： 311．已知角α的终边经过点P (x,1)，且cos α＝－255.(1)求tan 2α的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．解：(1)因为P (x,1)，所以点P 到原点的距离r ＝x 2＋1，因为cos α＝－255，所以cos α＝x r＝x x 2＋1＝－255，所以x ＝－2，所以tan α＝1x ＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. (2)由(1)知r ＝x 2＋1＝5，所以sin α＝1r ＝55，又cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin2αcos π4－cos 2αsin π4＝－45×22－35×22＝－7210.12.如图所示，角θ的始边OA 落在x 轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A ，C ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，△AOB 为正三角形．(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求cos ∠BOC ；(2)记f (θ)＝BC 2，求函数f (θ)的解析式和值域．解：(1)因为点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，根据三角函数的定义，得sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35.因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝π3.所以cos ∠BOC ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠COA ＋π3 ＝cos ∠COA cos π3－sin ∠COA sin π3＝35×12－45×32＝3－4310. (2)因为∠AOC ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，所以∠BOC ＝π3＋θ.在△BOC 中，OB ＝OC ＝1，由余弦定理，可得f (θ)＝BC 2＝OC 2＋OB 2－2OC ·OB ·cos∠BOC ＝12＋12－2×1×1×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝2－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3.因为0<θ<π2，所以π3<θ＋π3<5π6.所以－32<cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3<12.所以1<2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3<2＋ 3. 所以函数f (θ)的值域为(1,2＋3)．B 级——难点突破练1．若sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α＝________. 解析：因为sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，所以sin 22α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，即sin 22α＝4×1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2，所以sin 22α＝2(1＋sin 2α)，解得sin 2α＝1±3，显然sin 2α＝1＋3不成立，所以sin 2α＝1－ 3.答案：1－ 32.在如图所示的直角坐标系中，角α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，角β－π2<β<0的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sin α2⎝⎛⎭⎪⎫3cos α2－sin α2＋12的值为________．解析：因为sin β＝－513>－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<β<0，所以－π6<β<0.又0<α<π2，S △AOB ＝12OA ·OB sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ＝34，所以∠AOB ＝π3，所以∠AOB ＝α－β＝π3，即α＝β＋π3.sinα23cos α2－sin α2＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α＋12cos α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋π6＝cos β＝1213. 答案：12133．(2019·如东中学期中)已知角α的终边上有一点P (1,2)． (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6的值．解：根据题意tan α＝2，sin α＝255，cos α＝55，(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝sin 2αcos 5π6＋cos 2αsin 5π6 ＝2sin αcos α×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋(2cos 2α－1)×12＝2×25×15×⎝⎛⎭⎪⎫－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×15－1×12＝－3＋4310.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32. 所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3.。