第八讲 悖论与数学基础问题
悖论及其对数学发展的影响
悖论及其对数学发展的影响【开场白：一个传说】一个讼师招收徒弟时约定，徒弟学成后第一场官司如果打赢，则交给师傅一两银子，如果打输，就可以不交银子。
后来，弟子满师后却无所事事，迟迟不参与打官司。
老讼师得不到银子，非常生气，告到县衙里，和这位弟子打官司。
这位弟子却不慌不忙地说：“这场官司如果我打赢了当然不给您银子，如果打输了按照约定也不交给您银子，反正我横竖不交银子。
”一句话把老讼师给气死了。
类似的：1)我正在说谎？！！2)鸡与鸡蛋何为先？一、悖论的定义“悖论”（英语：Paradox，俄语：Πарадокс）的字面意思是荒谬的理论，然而其内涵远没有这么简单，它是在一定理论系统前提下的看起来没有问题的矛盾。
关于悖论，目前并没有非常权威性1的定义，以下的解释，在一定程度上是合理的。
通常认为，一个论断，如果不论是肯定还是否定它，都会导出一个与原始判断相反的结论，而要推翻它却又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论；或者，如果一个命题及其否定命题均可以用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确提出错误时，这种自相矛盾的命题叫做悖论。
这种“定义”，比单纯从字面理解有所细化，也比较容易理解，但仍不够准确。
下述说法是A.A.富兰克尔给出的：如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，我们称这个理论包含了一个悖论。
这里强调了悖论是依赖于一定的理论体系的，但是，只是说，某个理论体系包含了悖论，而没有言明什么是悖论。
悖论不同于通常的诡辩或谬论。
诡辩、谬论可以通过已有的理论、逻辑论述其错误的原因，是与现有理论相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所在的理论体系中，不能阐明其错误的原因，是与现有理论相容的。
悖论是（在当时）解释不了的矛盾。
悖论蕴涵真理，但常被人们描绘为倒置的真理；悖论富有魅力，既让您乐在其中，又使您焦躁不安，欲罢不能；数学历史中出现的悖论，为数学的发展提供了契机。
数学悖论与数学危机的辩证关系
数学悖论与数学危机的辩证关系1. 引言1.1 概述数学悖论和数学危机是数学发展过程中两个重要而又复杂的概念。
数学悖论指的是在数学推理中出现的矛盾、不合逻辑的情况，与常识相违背。
而数学危机则是指在特定历史背景下，某一领域内出现了无法解决或难以解决的难题，严重影响了该领域的发展。
本文探讨了这两个概念之间的辩证关系，以及它们对于数学发展的意义和启示。
1.2 文章结构本文共分为五个部分。
第一部分为引言，概述了本文将要探讨的主题，并介绍了文章结构。
第二部分讨论了数学悖论及其辩证关系，包括定义和解释、典型例子以及对数学发展的影响和启示。
第三部分探讨了数学危机及其辩证关系，包括定义和分类、历史上著名事件以及对数学发展的重要性与启示。
第四部分是针对数学悖论与数学危机之间相互关系进行的分析，包括共同点与区别、互为因果关系解析以及对数学领域进步和创新的贡献与挑战分析。
最后一部分是结论部分，总结了数学悖论与数学危机的辩证关系，并提出了对未来数学发展方向和态度的思考和建议。
1.3 目的本文的目的是通过对数学悖论与数学危机进行深入研究，揭示它们之间复杂而又密切的关系。
同时，本文希望通过分析其对数学发展的意义和启示，提供给读者全面而多角度的视野，进一步促进数学领域的进步和创新。
通过探讨这些引人深思的问题，我们可以更好地理解数学知识在真实世界中的应用，并为未来数学研究提供参考。
2. 数学悖论的辩证关系2.1 定义和解释:数学悖论是指在数学推理和证明过程中出现的矛盾和不合理之处。
这些悖论挑战了我们对数学的理解和信念，突显了数学系统内部的局限性和自相矛盾性。
2.2 典型的数学悖论例子:- 贝尔库隆悖论: 贝尔库隆在20世纪初提出了一个集合论的问题：是否存在一个包含所有无法描述自己的集合？这个问题揭示了集合论公理体系中的矛盾。
- 博塞尔悖论: 博塞尔提出了一个有限球形集合的问题：是否可以将一组球划分为两个部分，使得每个部分都与原始集合具有相同数量的球？这个问题触及了无穷性与连续性之间的矛盾。
第八章数学悖论及其意义
• 以上所举是逻辑（集合论）悖论和语义学 悖论的典型例子。由于科学的发展，各个 领域中出现许多思维的、推理不清的问题， 过去人们都称之为悖论，现在看来可能不 一定是悖论。
5、梵学者的预言
• 印度预言家的女儿要想捉弄父亲，一天在 纸上写下一句话（一件事），让她的父亲 预言这件事在下午3时以前是否发生，并在 一个卡片上写“是”或“不”。这位预言 家果然在卡片上写了一个“是”字。他女 儿在纸上写的一句话是：“在下午3点钟之 前，你将写一个‘不’字在卡片上” 。
• 历史上，人们就把微积分自诞生以来数学界出现 的混乱情形叫做第二次数学危机，也把贝克莱的 攻击称为贝克莱悖论。
• 危机的消除：
三、第三次数学危机
• ①实数理论是微积分的理论基础； • ②实数理论是建立在集合论的基础上。 • ③集合论是现代数学的理论基础。 • 人们对19世纪末德国数学家康托尔提出的
• 我们采用徐利治教授主张的弗兰克尔和巴希勒尔的说法“如果某一理论的公理和推 理原则看上去是合理的，但在这个理论中 却推出了两个互相矿矛盾的命题，或是证 明了这样一个复合命题，它表现为两个互 相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说， 这个理论包含了一个悖论。”
简言之，
在这个定义中，首先指明了任何一个悖论总
是相对于某一理论系统而言的。
• 比如，著名的罗素悖论是一个被包含在古典集合 论系统中的悖论。其次又指出一个悖论可以表现 为某一理论系统中两个互相矛盾的命题的形式。
悖论与数学发展
悖论与数学发展班级：2008211127姓名：王一梦学号：08210751悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立。
如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代。
但严格意义下的悖论是在19世纪末、20世纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的。
当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论。
1897年意大利数学家布拉里·弗蒂在超穷序数理论中发现了第一个悖论；接着，集合论的创始人康托尔于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论；1902年罗素在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”。
1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”。
由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡。
在历史上，由悖论引起了三次数学危机。
1.毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数。
然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯学习勾股定理时，提出了一个问题：假设正方形边长为1，并设其对角线长为d，依勾股定理应有d2=12 +12=2,那么d是多少呢?希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找到，反而找到了两数不可通约性的证明。
这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。
第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。
首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个新的数类——实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。
数学悖论PPT
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讨论
• 不足：生活中难以发现悖论 文献资料不足 在一些问题上面考虑的不够深刻 • 努力方向：上网查询，作报告，去图书馆 查找相关文献 询问相关研究人系列推理看起来好像无懈可击， 可是却导致逻辑上自相矛盾。
有些话，既是对的，又是错的； 有些事，既不是真的，也不是假的。
谢谢大家！
研究步骤
• 第一准备开题阶段：制定计划，撰写开题 报告。负责人：杨健 • 第二调查研究阶段：通过制作悖论图，文 献研究，网络收集资料等方法实施课题研 究。负责人：王继成 吴洋 • 第三总结报告阶段：分析资料，得出结论， 提出可行性建议；写出结题报告，做出展 板。负责人：王恒轩
例：钱包游戏：
• 史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说： “我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在 桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另 一个钱包中的所有钱。 • 学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱； 如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要 比输的多，这个游戏对我有利。” • 同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。 • 这个游戏真的对双方都有利吗？
研究数学悖论的目的意义
1)激发学生对数学的学习或研究兴趣 2)促使学生更好地了解某些重要的数学思想 3)开发丰富多彩的数学学习活动 4)帮助学生洞察数学问题(包括悖论)的解决 过程 5)提高学生对现代数学所具有的美妙、多样、 甚至幽默性质的鉴赏力.
研究内容、方法
• 研究内容：生活中的数学悖论 • 研究方法：查阅文献、上网查阅资料、制 作数学悖论图
ห้องสมุดไป่ตู้ 关键词
• 数学悖论 • 科学理论体系 • 逻辑矛盾
背景说明
• 悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常 广泛的论题，对科学发展意义不言而喻。从数学方面来看， 悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论 的概念、特征以及对数学发展的影响也就非常必要。 • 数学是一门有趣的学问，严谨中包含着各种各样有趣的 规律。从几条简简单单的公理出发，就可以推理出一整套 的体系。可就是这门严密可靠的学科，却也有着像孩子一 样顽皮的一面。这其中最好的体现，就是悖论的存在。 • 早在两千多年前的古希腊，人们就发现了让人难以解释 的矛盾，用正确的方法去证明一个命题，如果认为这个命 题成立，就会发现它的否定命题也成立。相反的，如果认 为这个命题的否定命题成立，又会发现这个命题成立。这 便使人们产生里难以解释的困惑。随着时光的流逝，越来 越多这样的问题被人们发现，于是，悖论就诞生了。
悖论
概念bèilùn （paradox，也称逆论，反论）逻辑学和数学中的“矛盾命题”,是指一种导致矛盾的命题。
悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。
那么命题B就是一个悖论。
当然非B也是一个悖论。
我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题？自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。
不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。
无限集合本身就是一个模糊不清的概念规定，有限是可以称为集合，无限是不能称为集合的。
集合是指表示在某一个范围内无限则是指范围为无限大的，否则就不应该称为无限而称有限。
无限不应该成为一个任意性选择或适用的范围，一个数量当超过人类所能达到或认识的程度便进入无限的范围之中。
到现在为止，人类还没有完全清楚地知道我们所能认识到的半径有多大，所以无法准确精确地规定无限与有限它们之间的界限究竟在那里。
集合本身的概念就是一个没有限制性的概念，总的集合可任意分成若干集合，都是集合，确切地说我们不知道究竟是在那种意义前提限制下的集合。
子集合中存在悖论，或与别的集合之间存在悖论，子母集合之间也还存在悖论，因为在每种具体的子集合中都有属于它自身的规定规则，只在自身范围有效。
超越范围则失效，这是永远不可避免或取消的。
除非取消类的集合层次之间的区别，那么又不符合对待具体事物的态度，无法满足实际应用要求。
另外集合的本义与引申义常混合使用，有时与元素意义混同，集合在低层次相当于元素，当上升时为集合，当再次上升时又相当于元素，是累积式的。
数学中的悖论
古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一 句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却 既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学 家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖 论”的论文，没有一篇成功。有一位希腊 诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据 说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑， 他常常担心自己会因思索这些悖论而过早 地丧命。在《新约》中，圣· 保罗在他给占 塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:12 – 13）。
乔纳· 斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的 无穷倒退，数学家奥古斯塔斯· 德摩根把它改写为： 大跳蚤有小跳蚤 在它们的背上咬， 小跳蚤又有小跳蚤， 如此下去 没完没了。 大跳蚤倒了个儿——变小 上面还有大跳蚤， 一个上面有一个， 总也找不到 谁的辈数老。
7．爱丽斯和红色国王
M：柏拉图—苏格拉底悖论有两个无穷 倒退。这正像在《透过镜子》中的爱丽 斯和红色国王一样。 爱丽斯：我在做梦，梦见了红色国王。 可是他睡着了，梦见我正做着关于他的 梦，在这儿他也在梦见我。啊，我的天！ 这样梦下去哪有个完。
6．无穷的倒退
M：机器受到的难题就像人碰 到要解答 一个古老的谜？。 问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪 个？ M：先有鸡吗？不，它必须从 鸡蛋里孵 出来，那末先有鸡蛋？不，它 必须由鸡 生下。好！你陷入了无穷的倒 退之中。
鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无 穷倒退”的最普通的例子。老人牌麦片往往装在一 个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，这个 盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。 自然，那个小盒上又有同样的画片，如此以往就像 一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样。《科学 美国人》1965 年 4月号有一个封面，画着—个人眼 中反映着这本杂志。你可以看到在反映出的杂志上， 也有一个小一点的眼睛，反映出一本更小的杂志， 自然这样一直小下去。在理发店里，对面的墙上有 很多相向的镜子，人们在这些镜子中可以看到反照 出的无穷倒退。
数学悖论
都能找到更“大”的无限集合）。
2
奇怪的旅店
有个故事据说出自杰出的德国数学家 希尔伯特之口：
一天深夜，一个人走进一家旅店， 想订一间房.店主微笑的告诉他说： “对不起，我们所有房间都住满了客 人，不过让我想想办法，或许我最终 可以为您腾出一个房间来.”
然后，店主便离开自己的办公台， 很不好意思的叫醒了旅客，并请他们 换一换房间：他要每一号房间的旅客 搬到房间号比原来高一号的房间去.
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芝诺悖论---由无限引出的
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）
爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可
分的“一”及“静止的例证，人称
“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
我们从数学角度看其中的一个悖论。
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症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展
2）较早的“反证法”及“无限”的思想
3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：
空间和时间有没有最小的单位？
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芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连
续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离
数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的
（整体看又是圆的）
2）锉刀锉一个光滑零件：
每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
1
无限集合也有“大小”
——从“一一对应”说起
实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能
有不同的“大小”。
正整数集合是最“小”的无限集合。 实数集合比正整数集“大”。实数集合上全体连续函 数的集合又比实数集合更大。 不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合，
数学文化之悖论
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往往危机的解决，带来新的内容，新的 进展，甚至引起革命性的变革，这也反 映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这 一基本原理。
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瀑布来自哪里?
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谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯
（ Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ ）：“所有克里特人所说的每 一句话都是谎话。”这就是这个著名悖论的来 源。
第二次数学危机
十七世纪末，牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成 功 的应用，大部分数学家对于这一理论的可靠性深信不移。但是，当时的 微积分理论主要是建立在无穷小分析之上的，而无穷小分析后来证明是 包含逻辑矛盾的。
8
第三次数学危机
英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条 惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称 “罗素悖论”。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的 理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。 于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次 危机。
少二（1）吴祉含
2019/5/4 1
目录
“悖论”的概述
数学悖论与数学危 机 经典悖论
总结
什么是悖论？
悖论（ ｐａｒａｄｏｘ ）的历史源远流长， 它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时 代。“悖论”一词源于希腊文，意为“多想一 想”，转义是“无法解决问题”。 现指在逻
辑上可以推导出互相矛盾的结论，但表面 上又能自圆其说的命题或理论体系
第一次数学危机
毕达哥拉斯学派 主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现
象都可归结为整数或整数之比。在希帕索斯悖论发现之前，人们仅认识 到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范，希帕索斯 发现的无理数，暴露了原有数学规范的局限性。由此看来，希帕索斯悖 论是由于主观认识上的错误而造成的。
有趣的数学悖论
有趣的数学悖论§有趣的数学悖论1、 悖论与数学悖论悖论：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。
那么命题B就是一个悖论。
数学悖论：是指数学领域中有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
数学中有许多著名的悖论，伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。
数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。
这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。
数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的2、 数学悖论引发的三次数学危机第一次数学危机毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。
这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。
希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。
因而推动了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立。
第二次数学危机牛顿在1671年写的《流数术和无穷级数》提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。
1686年，德国的莱布尼茨创设了微积分符号，远远优于牛顿的符号，并推动微分学的发展。
英国大主教贝克莱在1734年发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。
其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之宗教的神秘与教条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书, 说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”, 因为错误互相抵偿的缘故, 称之为“贝克莱悖论, 导致了数学史上的第二次危机。
悖论在数学基础研究中的作用
首先,悖论是人们对客观事物的认识。
希帕索斯悖论来源于对直角三角形的认识;贝克莱悖论是人们对有限和无限、存在和非存在两种对立概念认识的深化;罗素悖论是人们对集合集合内部矛盾的认识。
因此,悖论决不是脱离客观实际的凭空想象,也不是客观事物的规律性在人脑中简单地移植,而是由主客体多次反复作用,认识达到高一级阶段主客体作用的结果。
当人们试图以原有的理论和方法及逻辑去解释一些新的现象和规律时,就产生了认识和客体之间的冲突。
悖论及其解决方案
悖论及其解决方案悖论及其解决方案1、一连串悖论的出现罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。
但是，罗素悖论并不是头一个悖论。
老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。
罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。
这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。
即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。
这些悖论合在一起，造成极大问题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。
头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。
这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。
可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。
这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。
这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。
有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。
布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。
罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。
法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分了相容集和不相容集。
这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。
不久之后，罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。
布拉里·福蒂文章中对良序集有一个错误的概念，这个概念是康托尔1883年引进来的，但—直没有受到什么重视。
1887年8月，在布拉里·福蒂的文章发表以后，阿达马在第一次国际数学家大会上仍然给出了一个错误的良序集的定义。
悖论与数学危机
悖论与数学危机悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。
数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。
按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。
第一次数学危机：公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家毕达哥拉斯曾创立的合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派，以毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解，使当时希腊数学家们深感不安。
最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。
两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。
正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。
很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在。
第一次危机的产生最大的意义在于导致了无理数地产生。
引入新的数来刻画当前不能解决的数学问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用）。
数学悖论
数学危机
魏尔斯特拉斯进一步改进了柯西的工作，把微积分奠基于算术概念的基础 上。他认为“一个变量趋于一个极限”的说法还留有运动观念的痕迹，如果 把一个变量简单地解释为一个字母，让字母可代表它可以取值的集合中的任 何一个数，这样一来，运动的观念就不见了。魏尔斯特拉斯用ε—δ语言来给 函数极限的定义作了精确的阐述。现将其叙述如下： 任给ε＞0，存在一个正数δ，使得对于区间｜x—x0｜＜δ内的所有x，都 有｜f(x)-A｜＜ε， 则f(x)在x=x0处有极限A。 把极限理论建立在ε—δ准则之上就使极限理论精确化了。在上述定义中，f(x) 事实上就代表了一个潜无限的过程，而A则是这一过程的结果，即实无限性 的表现。因此，所谓ε—δ准则，实质上就是过程和结果之间的联系的反映， 而依据这一准则，我们就可以通过对过程的分析来把握相应的结果。而这种 动态过程是通过ε—δ这种静态的有限量为路标来刻划的。 由于第二次数学危机，促使数学家深入探讨数学分析的基础——实数理论。 19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金等人独立地建立了实数 理论。而极限理论又是建立在实数理论的基础上，从而使数学分析奠定在 严格的实数理论的基础上，并进而导致集合论的诞生。
数学悖论
3．说谎悖论
公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如下断言： “所有的克里特人所说的每一句话都是谎话。” 试问这句话是真还是假。如果它是真，由于伊壁门尼德斯本人也是克里特岛人， 从而可推出它假。因之，由它为真可导致它为假。反之，由它为假，并不导致任何矛 盾。但是，经过公元4世纪欧布里德的改进，就变成了下面的悖论。 撒谎者悖论：“我现在所说的是假话。” 如果这句话为真，则可推出它为假。反之，由它的假，可导致它为真。这就构成 了悖论。但是这样一个前提太强，给人的感觉是在人为地制造悖论。后来，人们构造 了等价于撒谎者悖论的强化了的撒谎者悖论，即“永恒性撒谎者悖论”。现陈述如下： “在本页本行里所写的那句话是谎话”。 由于上述行里除了这句话本身之外别无它话，因此，若该话为真，则要承认说话 之结论，从而推出该话为假。反之，若该话为假，则应肯定该话结论的反面为真，从 而推出该话为真。这个悖论的症结在于作论断的话与被论断的话混而为一。要排除这 种悖论在于语言的分层，这正是语义学所研究的内容。这类悖论称为“语义学悖论”。 它是指这样一种悖论：“对于这种悖论的构造来说，象‘表明’、‘描述’、‘真’ 等这样一些语义项是必不可少的。”此外，这类悖论的构造中还必须进行语义的分析。
数学悖论
美国杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不 完全性定理。他指出：一个包含逻辑和初等数论 的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦 即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算 术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可 能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示 了形式主义系统的局限性，从数学上证明了企图 以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论问题 的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数 学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种 种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是数理逻辑、 人工智能、集合论的基石，是数学史上的一个里 程碑。美国著名数学家冯· 诺伊曼说过：“哥德尔 在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的 不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可 以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪 念碑”。
数学悖论
悖论是一种认识矛盾， 它既包括逻辑矛盾、语义 矛盾，也包括思想方法上 的矛盾。 数学悖论作为悖 论的一种，主要发生在数 学研究中。按照悖论的广 义定义，所谓数学悖论， 是指数学领域中既有数学 规范中发生的无法解决的 认识矛盾，这种认识矛盾 可以在新的数学规范中得 到解决。
悖论的历史
在中国古代哲学中也 有许多悖论思想，如战国 时期逻辑学家惠施（约 370B.C.—318B.C.）的 “日方中方睨，物方生方 死”、“一尺之棰，日取 其半，万世不竭”；《韩 非子》中记载的有关矛与 盾的悖论思想等，这些悖 论式的命题，表面上看起 来很荒谬，实际上却潜伏 着某些辩证的思想内容。
影响 第二次数学危机的产物——分析基础 理论的严密化与集合论的创立。 “贝克莱悖论”提出以后，许多著名 数学家从各种不同的角度进行研究、探索， 试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。 法国数学家柯西是数学分析的集大成者， 通过《分析教程》（1821）、《无穷小计 算讲义》（1823）、《无穷小计算在几何 中的应用》（1826）这几部著作，柯西建 立起以极限为基础的现代微积分体系。但 柯西的体系仍有尚待改进之处。比如：他 关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、 几何直观的东西；缺乏实数理论。法国数 学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要 奠基者之一，
数学悖论课件
例4：龟兔赛跑(基诺悖论) 兔子和乌龟相距一公里，兔子的速度比乌龟快很 多，请问兔子能追上乌龟吗？ 当兔子跑到兔子和乌龟原来所在的中点时，乌 龟已向前爬了一段距离
但是兔子跑到新的中点处时，乌龟又爬到前面去 了。
乌龟：你别想抓住我，老朋友。只要你一到我 原先所在的地方，我就已经跑到前面一截了， 那怕这个距离比头发丝还小。
数学悖论
一，什么是悖论
小孩的故1，先来听听一个鳄鱼与事 • 一条鳄鱼从母亲手中抢走了一 个小孩 • 鳄鱼：我会不会吃了你的小孩， 答对了我就把小孩还给你 • 这位母亲该怎么回答呢？
• 聪明的母亲回答说：呵呵!你是要 吃掉我的孩子。 • 鳄鱼：哦....我怎么办呢？鳄鱼 碰到了难题：如果我把孩子还给 你，你就说错了，我应该吃掉它： 可是如果我把孩子吃了，你就说 对了，我又得把还给你 • 拙劣的鳄鱼懵了，结果只能 把孩子交给母亲。 • 鳄鱼：要是她说我要给回它 孩子，我就可以美餐一顿了
例2：不可能的楼梯
例3：一块钱哪儿去了？
一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片， 一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三 张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱 片收入15元，30张软唱片收入10元，总共 是25元。
第二天，老板又拿出60张唱片。他想： “如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是 一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5 张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张 卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24 元，而不是25元。 请问一块钱哪儿去了？
有些话，既是对的，又是错的； 有些事，既不是真的，也
上面这个句子对吗？如果是对的，这句话就是 错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！
悖论的三种形式： 1：一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却 错了（似是而非的理论）。 2：一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是 对的（佯谬）。 3：一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致 逻辑上自相矛盾。
第八讲 悖论与数学基础问题
§2 悖论举例和数学三次危机
§2 悖论举例和数学三次危机
第一次危机 公元前五世纪，一个希腊人，Pythagoras学派的 希帕索斯，发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不 可通约，从而导致了数学的第一次危机。 背景：从自然数概念脱胎而形成有理数概念的早期阶段。
影响：促使人们从依靠自觉、经验而转向依靠证明，导致 了公理几何学与逻辑学的诞生。
根据划分公理，可证下述定理为真。 定理 任意一集L必有一子集不是L的元素。
有了这条定理，即可证明罗素悖论陈述中的“一切非本身 分子集的集 ”不是一个集合，但并不能承认划分公理可排 除罗素悖论这一孤立的说法，划分公理的公理系统不容忽视。
§3 策莫洛对悖论的解决方案
产生罗素悖论的原因：概括原则造集的任意性与生成集 合的客观原则的非任意性之间的矛盾。 后来，经过仔细分析，人们归结到如下四件事不能同时成 立，这就是： （1） x x 是一个条件（含x的语句）。 （2）任给一条件 x 决定一集，即 x A x 。 （3）集合为个体之一，因而x处均可代以A。 （4）p p 为一矛盾。 各家对悖论的排除： 罗素从否定（1）出发，展开他的类型论。 Zermelo-Fraenkel基于否定（2），构造ZFC集合论公理系统。 Bernays-Gȍdel基于否定（3），形成BG集合论公理系统。 Ƃoɥвар以否定（4）为起点发展他的多值逻辑。
§1 悖பைடு நூலகம்的定义和起源
2、在历史上，还有另一种与之相反的情形而称之为悖论的， 那就是由于新概念的引入而违背了具有历史局限性的传统观 念，这也一时称为悖论的发现。例如，历史上的Galilei悖论 便属于这一类悖论。 Galilei对平方数与自然数一一对应的发 现矛盾于全体大于部分的原则，这就不 是Galilie的发现在推理上的问题，而是 由于全体大于部分的直观原则是从有限 数量的事物关系中抽象出来的，自然就 不适用于无限集合的情形了。
数学悖论推理题
数学悖论推理题1=2？史上最经典的“证明”设a = b，则a·b = a^2，等号两边同时减去b^2就有a·b - b^2 = a^2 - b^2。
注意，这个等式的左边可以提出一个b，右边是一个平方差，于是有b·(a - b) = (a + b)(a - b)。
约掉(a - b)有b = a + b。
然而a = b，因此b = b + b，也即b = 2b。
约掉b，得1 = 2。
这可能是有史以来最经典的谬证了。
Ted Chiang在他的短篇科幻小说Division by Zero中写到：引用There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal.这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以a - b的，因为我们假设了a = b，也就是说a - b是等于0的。
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§1 悖论的定义和起源
当前流行的说法的缺陷： 孤立地用肯定等价于否定来作为悖论的定义不够合理全面。 1、任何一个悖论在实质上都相对地被包含在某个理论体系中。 2、并非每个悖论都要陈述为一个命题或某一语句的形式，有的 悖论往往要由一个推演过程来呈现。 3、从一些著名悖论的呈现形式来看，人们并不习惯于要求把每 个悖论都划归为肯定等价于否定的形式，也可用某一系统中 并存的两个互相矛盾的命题来表示一个悖论。
§3 策莫洛对悖论的解决方案
§3 策莫洛对悖论的解决方案
思想来源 罗素认为，集合可以用两种方式予以定义：外延性定义 （枚举式的定义）与内涵式定义（指明性质的定义）。 基于这一准则，寻找解决集合悖论的办法有两条道路可 走：量性限制理论（外延理论）和曲折理论（内涵理论）。
策莫洛和其他人所发展起来的公理集合论在涉及集合时 可以看成是对量性限制理论这一思想的阐发，其最主要的特 点是对于全集或无限制的关于某种现象的概念的存在性加以 限制。
根据划分公理，可证下述定理为真。 定理 任意一集L必有一子集不是L的元素。
有了这条定理，即可证明罗素悖论陈述中的“一切非本身 分子集的集 ”不是一个集合，但并不能承认划分公理可排 除罗素悖论这一孤立的说法，划分公理的公理系统不容忽视。
§3 策莫洛对悖论的解决方案
产生罗素悖论的原因：概括原则造集的任意性与生成集 合的客观原则的非任意性之间的矛盾。 后来，经过仔细分析，人们归结到如下四件事不能同时成 立，这就是： （1） x x 是一个条件（含x的语句）。 （2）任给一条件 x 决定一集，即 x A x 。 （3）集合为个体之一，因而x处均可代以A。 （4）p p 为一矛盾。 各家对悖论的排除： 罗素从否定（1）出发，展开他的类型论。 Zermelo-Fraenkel基于否定（2），构造ZFC集合论公理系统。 Bernays-Gȍdel基于否定（3），形成BG集合论公理系统。 Ƃoɥвар以否定（4）为起点发展他的多值逻辑。
§1 悖论的定义和起源
2、在历史上，还有另一种与之相反的情形而称之为悖论的， 那就是由于新概念的引入而违背了具有历史局限性的传统观 念，这也一时称为悖论的发现。例如，历史上的Galilei悖论 便属于这一类悖论。 Galilei对平方数与自然数一一对应的发 现矛盾于全体大于部分的原则，这就不 是Galilie的发现在推理上的问题，而是 由于全体大于部分的直观原则是从有限 数量的事物关系中抽象出来的，自然就 不适用于无限集合的情形了。
第八讲 悖论与数学基础问题
章节目录
§1
§2
悖论的定义和起源
悖论举例和数学三次危机
§3
§4
策莫洛对悖论的解决方案
罗素对悖论的解决方案
§5
§6
塔斯基及其语义学
哥德尔的不完备性定理与悖论
§7
悖论的成因与研究悖论的重要意义
§1 悖论的定义和起源
§1 悖论的定义和起源
悖论分为三种主要形式
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。 3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
§3 策莫洛对悖论的解决方案
自从罗素悖论出现以后，策莫洛想借助于他所说的划分 公理（或称分出公理）来排除它。
R ( ) 是与L的变元有关的一句 划分公理 设L为任一集合， 话，则L中一切能使 R( ) 成真话的元素可组成一集合 LR ( )。 LR ( ) L ，即 LR ( ) 为L的一个子集。 显然，
§2 悖论举例和数学三次危机
§2 悖论举例和数学三次危机
第一次危机 公元前五世纪，一个希腊人，Pythagoras学派的 希帕索斯，发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不 可通约，从而导致了数学的第一次危机。 背景：从自然数概念脱胎而形成有理数概念的早期阶段。
影响：促使人们从依靠自觉、经验而转向依靠证明，导致 了公理几何学与逻辑学的诞生。
§2 悖论举例和数学三次危机
第二次危机 数学史上把18世纪微积分诞生以来在数学界出现 的混乱局面称为数学的第二次危机。
背景：微积分的广泛应用与理论基础不牢固的矛盾 Berkeley大主教对牛顿微积分理论的攻击，史上称 为“Berkeley悖论”。
影响：柯西、Dedekind、康托与外尔斯特拉斯都加入了 为微积分理论寻找牢固基础的工作，发展了极限理论。
§2 悖论举例和数学三次危机
第三次危机 举例三 包含在古典集合论中的罗素悖论
集合可分为两种： 本身分子集，如：一切集合所组成的集合是它自身的一个元素； 非本身分子集，如：自然数集合N绝不是某个自然数n。
这样，任给一集M，它不是本身分子集就是非本身分子 集，不应有其它例外。现考虑一切非本身分子集的集 ，试 问 是哪一种集合？ 罗素悖论改写——著名的“理发师悖论” 理发师：“给而且只给村子里自己不给自己 刮胡子的人刮胡子。”
§2 悖论举例和数学三次危机
第三次危机举例 •Burali-Forti（布拉里福蒂）悖论 ——在超穷序数理论中发现了第一悖论“最大序数悖论” •康托悖论 ——其来源康托定理是集合论最早也是最重要的定理之一 •罗素悖论 ——在古典集合论里可划归为最基本逻辑概念的形式， 而且能用日常语言来表述其基本原则，如著名的 “理发师悖论”
Df
李家庄村上所有 的人组成的总体 G
Df
总体G中年 纪最大的人 H
“被定义的对象H包括在借以定义H的总体G 中”
§4 罗素对悖论的解决方案
按非直谓定义构成的具体过程，可作如下分类： （1）广义非直谓
凡是非直谓定义中的被定义对象，可用直谓定义法重新定义者，叫做 广义非直谓。 例：李家庄村上年纪最大的人——李大娘的老伴
§2 悖论举例和数学三次危机
第三次危机 在今天，人们恰当地把集合悖论的出现及其引起的 争论局面称之为数学的第三次危机。
背景：建立严格的分析理论是以实数理论为基础的，而建 立的实数理论又必须以集合论为基础，而集合论的诞生与 发展却又偏偏出现一系列的悖论，从而构成了更大的危机。
影响：极大地刺激了当时的集合不矛盾性的“乐观局面”， 对集合论的进步具有重大的意义。
§1 悖论的定义和起源
因此，我们主张采用A.A.Fraenkel与Y.Bar-Hillel的说法： 如果某一理论的公理和推理原则看上去是 合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛 盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它 表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么我 们就说这个理论包含了一个悖论。 这样看来，当前流行的那种定义，就只是抽取了Fraenkel 陈述中的后半段作为悖论的定义，这显然是不够合理而全面的。
§4 罗素对悖论的解决方案
§4 罗素对悖论的解决方案
思想来源 关于悖论的成因，庞卡莱曾在1905年、1906年、1908 年多次指出，所有的悖论都与非直谓定义有关。所谓非直谓 定义，就是被定义的对象被包括在借以定义它的各个对象中。
例如：李家庄村上年纪最大的人H.
定义总体的对象~ 李家庄村上的人 .....H.....
§2 悖论举例和数学三次危机
第三次危机 举例一 Burali-Forti（布拉里福蒂）悖论 如所知，在超限数论中有如下的一些定理： 定理1 定理2 任何一个良序集A不能与A的任何截段 Aa 相似。 凡由序数所组成的集，按其大小为序排列时，必为一 良序集。 一切小于序数a的序数所组成良序集 Wa 的序数 Wa 就 是序数a，即 Wa a 。
§4 罗素对悖论的解决方案
鉴于对非直谓定义的分析，罗素进一步明确了庞卡莱 关于悖论成因的想法，即构成悖论的深刻原因却与非直谓 定义法有关。为此，罗素明确提出如下的原则。 恶性循环原则：没有一个整体能包含一个只能借助于这个 整体来定义的元素。 基于等价式非直谓是侠义非直谓的一种特殊情况的考 虑，罗素的恶性循环原则从集合的观点出发隐含了下述一 种思想规定： 类型混淆原则：任何一个集合绝不是它自身的一个元素。
定理3
现将一切序数汇集在一起组成一集，可推出其并不同时 满足于以上三条定理，这就是Burali-Forti悖论。
§2 悖论举例和数学三次危机
第三次危机 举例二 在古典集合论中有所谓的康托定理 任何集合M的基数 M 小于幂集P(M)的基数P( M ) 。 其中所谓幂集，就是任给一集M，由M的一切子集 所组成的集合称为M的幂集，并记为P(M)。 现假设存在一切集合所组成的集合u，由康托定理推 出矛盾，这就是康托悖论。
这样在策莫洛于1908年建立了他的集合论公理系统后， Fraenkel与Skolem在1921~1923年间给了一个严格的解释， 并对策莫洛公理系统作了改进，形成了今天著名的ZF系统， 加上选择公理，便是熟知的ZFC系统。
§3 策莫洛对悖论的解决方案
ZFC集合论公理系统
• • • • • • • • • • 外延公理 空集公理 配对公理 并集公理 幂集公理 子集公理 无穷公理 选择公理 代换公理 正则公理
§1 悖论的定义和起源
二、关于悖论的起源
1、关于悖论的起源，可以追溯到古希腊和我国先秦哲学时 代，但在那时及其往后的一个相当长的历史时期中，悖论往 往指那些推理过程看上去合理的，但推理的结果却又违背客 观实际，例如著名的芝诺悖论便属于这一类悖论。
芝诺是希腊爱利亚学派的一个代表人物， 可以说是第一个提出悖论的人。如： 阿喀流斯和乌龟：假设阿喀流斯和乌龟赛跑， 乌龟在阿的前面一段距离开始起跑，所以阿 必须先跑到乌龟的起跑点，而这时乌龟又向 前进了一段距离，如此，虽然阿的速度快于 乌龟，阿越追越近，但总也追不上乌龟。
（2）狭义非直谓
凡是非直谓定义中的被定义对象非借助于总体不可，亦即被定义的 对象只能借助于这一总体才能定义。 例：李家庄村上年纪最大的人——村外人寻此人
（3）等价式的非直谓
凡是非直谓定义中的被定义对象仅借助于“总体本身就是什么”这 样的等价式刻画来确定的，则称为等价式的非直谓。 例：一切集合的集合就是一个集合