苏教版高中数学选修2-2直接证明(2)
数学选修2-2苏教版2.2直接证明与间接证明(19张)
3．某个命题与正整数 n 有关，若 n＝k(k∈N*)时该命题成立， 那么可推得 n＝k＋1 时该命题也成立，现在已知当 n＝5 时该命题 不成立，那么可推得( C )
A．当 n＝6 时该命题不成立 B．当 n＝6 时该命题成立 C．当 n＝4 时该命题不成立 D．当 n＝4 时该命题成立
4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)存在有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数．下列
假设中正确的是__②___. ①假设 a，b，c 都是偶数；②假设 a，b，c 都不是偶数； ③假设 a，b，c 至多有一个偶数；④假设 a，b，c 至多有两
个偶数．
5．若 a＞b＞0，则 a＋1b＞__b＋1a(用“＞”、“＜”、“＝”填空)．
考点1 综合法
例1：已知 a，b，c 为正实数，a＋b＋c＝1. 求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6.
解析：(1)证法一：a2＋b2＋c2－13＝13(3a2＋3b2＋3c2－1) ＝13[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] ＝13(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) ＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. ∴a2＋b2＋c2≥13. 证法二：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
图 10－2－1
综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到B的途径， 但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1， B2能推演出的进一步的中间结论更多，如C1，C2，C3，C4等等， 最终能有一个(或多个)可推演出结论B即可．
2．分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索 因法．它常见的书面表达形式是：“要证…，只需证…”或“… ⇐…”．利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用 如图 10－2－2 的框图表示为：
2019-2020学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.2 2.2.1 直接证明
2.2.1 直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥42.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝42.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论． 2．综合法和分析法1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27][例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨] 从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析] ∵a 2＋19≥2a3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通] 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab . 又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc2＝2c ，同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a .∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )，即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ，故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，又因为a π，n ⊥π，所以a·n ＝0， 故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c .∵PO ⊥π，a π， ∴直线PO ⊥a .又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ， ∴a ⊥平面P AO .又c 平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[例2] 已知a >b >0，求证：错误!<错误!－错误!<错误!.[思路点拨] 本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析] 要证明错误!<错误!－错误!<错误!成立， 只需证错误!<a ＋b －2错误!<错误!成立， 即证错误!<(错误!－错误!)2<错误!成立． 只需证a －b2a<a －b <a －b 2b 成立．只需证a ＋b 2a<1<a ＋b2b 成立，即证a ＋b <2a 且a ＋b >2b ，即b <a .∵a >b >0，∴b <a 成立．∴错误!<错误!－错误!<错误!成立．[一点通] 在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，求证：P ＜Q .证明：要证P ＜Q ，主要证P 2＜Q 2， 只要证2a ＋7＋2错误!＜2a ＋7＋2错误!， 即证a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12， 即证0＜12. 因为0＜12成立， 所以P ＜Q 成立．4．已知a 、b 是正实数，求证：a b ＋b a ≥a ＋b .证明：要证ab＋ba≥ a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥ab (a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )，即证a ＋b －ab ≥ab . 也就是要证a ＋b ≥2ab .因为a ，b 为正实数，所以a ＋b ≥2ab 成立，所以a b＋b a≥ a ＋b .[例3] 已知0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1， 求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1.[思路点拨] 因为0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1，所以要证明1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc ≥1成立，可转化为证明1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc 成立．[精解详析] ∵a >0，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ， 即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0.∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )， 又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立， 即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通] (1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证错误!＝1， 即a2＋c2＋ab ＋bcb2＋ab ＋ac ＋bc ＝1. 下面证明：a2＋c2＋ab ＋bcb2＋ab ＋ac ＋bc ＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a2＋c2＋ab ＋bc b2＋ab ＋ac ＋bc ＝a2＋c2＋ab ＋bc a2＋c2－ac ＋ab ＋ac ＋bc ＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数．求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立， 只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题 1．在△ABC 中，A >B 是sinA >sinB 的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC 中，由正弦定理得asin A ＝bsin B .又∵A >B ，∴a >b ，∴sin A >sin B 反之，若sin A >sin B ，则a >b ，∴A >B ∴A >B 是sin A >sin B 的充要条件． 答案：充要 2．设n ∈N ，则n ＋4－n ＋3________n ＋2－n ＋1(判断大小)．解析：要证n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1，只需证n ＋4＋n ＋1<n ＋3＋n ＋2，只需证(n ＋4＋n ＋1)2<(n ＋2＋n ＋3)2，即2n ＋5＋2错误!<2n ＋5＋2错误!. 只需证错误!<错误!，只需证(n ＋1)(n ＋4)<(n ＋2)(n ＋3)， 即n 2＋5n ＋4<n 2＋5n ＋6，即4<6即可． 而4<6成立，故n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1.答案：< 3．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >ab ＋b a⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b 4．若三棱锥S －ABC 中，SA⊥BC ，SB⊥AC ，则S 在底面ABC 上的射影为△ABC 的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心． 答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ， 即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数， 所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ， 即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4， 从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数， 所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2， 即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)． 故f (a )＋f (c )＞2f (b )．7．已知a >0，用分析法证明：a2＋1a2－2>a ＋1a－2.证明：要证a2＋1a2－2≥a ＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a ＋1a＋2.因为a >0，故只需证⎝⎛⎭⎪⎪⎫a2＋1a2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 从而只需证2a2＋1a2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证4⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(江苏高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nSnn2＋c ，n ∈N *，其中 c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝Sn n ＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 2＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .。
高中数学苏教版选修2-2同步训练：2.2 直接证明与间接证明 pdf版含答案
2.2 直接证明与间接证明1、关于综合法和分析法的说法错误的是( )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法2、分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a b c >>,且0a b c ++=,求证”最终索的因应是( )A. 0a b ->B. 0a c -<C. ()()0a b a c -->D. ()()0a b a c --<3、若两个正实数,x y 满足141x y +=,且不等式234y x m m +<-有解,则实数m 的取值范围是( )A. ()1,4?-B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. ()4,1?-D. (,0)(3,)-∞⋃+∞4、下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法.其中正确的语句有( )A.2个B.3个C.4个D.5个5、设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, ()f x 单调递减,若120x x +>,则()()12f x f x +的值( )A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负6、下列不等式不成立的是( )A. 222a b c ab bc ca ++≥++)0,0a b >>>)3a <≥>7、设(0)a b c ∈∞，，－，，则1a b +，1b c +，1c a +( ) A.都不大于－2B.都不小于－2C.至少有一个不小于－2D.至少有一个不大于－28、否定:“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A.,,a b c 都是偶数B.,,a b c 都是奇数C.,,a b c 中至少有两个偶数D.,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数9、若ABC △能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定10、用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根B.方程20x ax b ++=至多有一个实根C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根11、如果>则实数,a b 应满足的条件是__________.12、如果>则正数,a b 应满足的条件是__________.13、用反证法证明命题“若220a b +=,则,a b 全为0 (,a b 为实数)”,其反设为__________.14、用反证法证明命题“设,a b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是__________.15、已知数列{}n a 满足: ()()()111131211,,01211n n n n n n a a a a a n a a +++++==<≥--;数列{}n b 满足: ()2211n n n b a a n +=-≥. 1.求数列{}{},n n a b 的通项公式;2.证明:数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：根据综合法的定义可得,综合法是由因导果法,是顺推证法;根据分析法的定义可得,分析法是执果索因法,是逆推证法,它们都是直接证法.故选D.2答案及解析：答案：C解析：由a b c >>,且0a b c ++=可得b ac =--,0a >,0c <只要证()223a c ac a ---<即证2220a ac a c -+->即证()()()0a a c a c a c -++⋅->即证()()0a a c b a c --->即证()()0a c a b -⋅->”索的因应是()()0a c a b --> 故选C .3答案及解析：答案：B解析：∵110,0,1x y x y >>+=,∴144224444y y y x x x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,等号在4y x =,即2,8x y ==时成立,∴4y x +的最小值为4,要使不等式234y m m x ->+有解,应有234m m ->,∴1m <-或4m >,故选B.4答案及解析：答案：C解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确.5答案及解析：答案：A解析：由()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, ()f x 单调递减,可知()f x 是R 上的单调递减函数.由120x x +>,可知12x x >-,()()12f x f x <-,则()()120f x f x +<.故选A.6答案及解析：解析：对A,∵2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥,∴222a b c ab bc ca ++≥++;对B,∵22a b a b +=+=+>;对C,)3a <≥成立,只需证明<两边平方得2323a a -+<-+,<两边平方得22332a a a a -<-+,即02<.因为02<显然成立,所以原不等式成立;对于D ()221224430-=+=<<故D 错误.7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：D解析：恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数(全为奇数),其二是至少有两个偶数,故选D.9答案及解析：答案：B解析：分ABC △的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线AD (点D 在BC 上),则πADB ADC ∠+∠=,若ADB ∠为钝角,则ADC ∠为锐角.而,ADC BAD ADC ABD ∠>∠∠>∠,ABD △与ACD △不可能相似,与已知不符,只有当π2ADB ADC BAC ∠=∠=∠=时,才符合题意.10答案及解析：解析：“方程20x ax b ++=至少有一个实根”等价于“方程20x ax b ++=有一个实根或两个实根”所以该命题的否定是“方程20x ax b ++=没有实根”.故选A.11答案及解析：答案：0,0a b ≥≥且a b ≠解析：若>则0a b +>,即()20a b -=>, 所以有0,0a b ≥≥且a b ≠.12答案及解析：答案：a b ≠解析：∵-()ab a b =+=- 2=∴只要a b ≠,就有>13答案及解析：答案：a,b 不全为0解析：“,a b 全为0”即是“0a =且0b =”,因此它的反设为“0a ≠或0b ≠”.14答案及解析：答案：方程30x ax b ++=没有实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程30x ax b ++=没有实根”.15答案及解析：答案：1.由题意可知, ()2212113n n a a +-=-. 令21n n c a =-,则123n n c c +=. 又211314c a =-=,则数列{}n c 是首项为134c =,公比为23的等比数列,即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭, 故11223232114343n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⋅⇒=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又1110,02n n a a a +=><,故()1n n a -=-1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 2.用反证法证明.假设数列{}n b 存在三项(,,)r s t b b b r s t <<,按某种顺序成等差数列,由于数列{}n b 是首项为14,公比为23的等比数列,于是有r s t b b b >>,则只可能有2s r t b b b =+成立. ∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 两边同乘以1132t r --,化简得32223t r t r s r t s ----+=⋅.由于r s t <<,∴上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数列{}n b 中任意三项不可能成等差数列.解析：由Ruize收集整理。
苏教版高二数学选修2-2 2.2.1 直接证明 作业
[基础达标]1.若p ：ab >0，q ：b a ＋a b≥2，则p 是q 的________条件． 解析：若ab >0，则a ，b 同号，则b a >0，a b >0，可得b a ＋a b ≥2；若b a ＋a b≥2，则a ，b 同号，即ab >0.答案：充要2.已知实数a ≠0，且函数f (x )＝a (x 2＋1)－(2x ＋1a)有最小值－1，则a ＝________． 解析：f (x )＝ax 2－2x ＋a －1a 有最小值，则a >0，对称轴x ＝1a ，f (x )min ＝f (1a)＝－1， 即f (1a )＝a ·(1a )2－2×1a ＋a －1a＝－1， 即a －2a＝－1，所以a 2＋a －2＝0(a >0)⇒a ＝1. 答案：13.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为________．解析：∵sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ.cos α＋cos β＝－cos γ. 以上两式两边平方相加，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，∴cos(α－β)＝－12. 答案：－124.在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________．解析：在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，即2·a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c .∴a 2＋c 2－b 2＝c 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 是等腰三角形．答案：等腰三角形5.如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．解析：a a ＋b b >a b ＋b a⇔a a －a b >b a －b b⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案：a ≠b 且a ≥0，b ≥06.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v 1和在静水中的速度v 2的大小关系为________．解析：设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为v 2，水流速度为v (v 2>v >0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t ＝s v 2＋v ＋s v 2－v ＝2v 2s v 22－v 2， 平均速度v 1＝2s t ＝v 22－v 2v 2. ∵v 1－v 2＝v 22－v 2v 2－v 2＝－v 2v 2<0，∴v 1<v 2. 答案：v 1<v 27.是否存在实数m ，使不等式|x －m |＜1在⎝⎛⎭⎫13，12上恒成立？若存在，求出所有的m 的值；若不存在，请说明理由．解：由|x －m |＜1⇔－1＜x －m ＜1⇔m －1＜x ＜m ＋1⇐13＜x ＜12，得⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12.解得－12≤m ≤43.故当－12≤m ≤43时，不等式|x －m |＜1在⎝⎛⎭⎫13，12上恒成立． 8.设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.证明：法一(分析法)：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．法二(综合法)：a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2>0⇔a 2－2ab ＋b 2>0⇔a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )．所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.[能力提升]1.已知k ∈Z ，AB →＝(k ，1)，AC →＝(2，4)，若|AB →|≤10，则△ABC 是直角三角形的概率是________．解析：由k ∈Z 知，4k ≠2，即AB →与AC →不共线，而|AB →|＝k 2＋1≤10，得k 2≤9，所以k ＝－3，－2，－1，0，1，2，3，共7个值，且CB →＝AB →－AC →＝(k －2，－3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2k ＋4＝0，解得k ＝－2；若∠B ＝90°，则AB →·CB →＝k (k －2)－3＝0，解得k ＝－1或k ＝3；若∠C ＝90°，则AC →·CB →＝2(k －2)－12＝0，解得k ＝8(舍去)．故当k ＝－1，－2，3共3个值时，△ABC 是直角三角形，于是所求概率P ＝37. 答案：372.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的表面上与点A 距离为233的点形成一条曲线，这条曲线的长度为________．解析：这条曲线在面ADD 1A 1上的一段是以A 为圆心，233为半径，π6为圆心角的一段圆弧，在面A 1B 1C 1D 1上的一段是以A 1为圆心，33为半径，π2为圆心角的一段圆弧，由正方体的对称性知，这条曲线的长度为3(π6·233＋π2·33)＝536π. 答案：536π 3.已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β，求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2（1＋tan 2β）.证明：要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2（1＋tan 2β）成立， 即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2（1＋sin 2βcos 2β）， 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)， 即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)， 即证4sin 2α－2sin 2β＝1，∵sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin 2α， ∴1＋2sin 2β＝4sin 2α，即4sin 2α－2sin 2β＝1，故原结论正确．4.设数列{a n }、{b n }(b n >0，n ∈N *)，满足a n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n n(n ∈N *)． 证明：{a n }为等差数列的充要条件是{b n }为等比数列． 证明：充分性：若{b n }为等比数列，设公比为q ，则a n ＝n lgb 1＋lg （q ·q 2…q n －1）n＝n lg b 1＋lg q n （n －1）2n ＝lg b 1＋(n －1)lg q 12， 有a n ＋1－a n ＝lg q 12为常数，所以{a n }为等差数列．必要性：由a n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n n， 得na n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ，(n ＋1)a n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ＋1，∴n (a n ＋1－a n )＋a n ＋1＝lg b n ＋1.若{a n }为等差数列，设公差为d ，则nd ＋a 1＋nd ＝lg b n ＋1.∴b n ＋1＝10a 1＋2nd ，b n ＝10a 1＋2(n －1)d ，b n ＋1b n＝102d 为常数， ∴{b n }为等比数列．。
数学苏教版选修2-2知识导航2.2.1直接证明含解析
2。
2 直接证明与间接证明2.2.1 直接证明知识梳理证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为____________，其一般形式为⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ 已知定理已知公理已知定义本题条条本题结论。
其中从已知条件出发，以已知的定义、定理、公理为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为_____________，推证过程为已知条件⇒……⇒……⇒结论.而从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法常称为____________，推证过程为⇐……⇐……⇐。
知识导学综合法与分析法都是直接证明。
综合法是从已知条件出发，经过推理,导出所要结论，步骤比较简洁明了，但入手点比较难找,而分析法则是从要证的结论出发,寻求它的论据,直至归结到题设条件(结论成立的充分条件）,运用综合法证明需先对题目进行分析,找到证明的出发点，两者相辅相成，辩证统一.疑难突破综合法与分析法的比较剖析：一般地,对于命题“若A 则D”，用综合法证明时，思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A 推演到达D 的途径，但由A 推演出的中间结论未必唯一，如B,B 1，B 2等。
由B ，B 1，B 2推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C ，C 1，C 2，C 3，C 4等，最终能有一个(或多个）可推演出结论D 即可。
用分析法思考数学问题的顺序可理解为(对于命题“若A 则D”)分析法的思考顺序是执果索因的顺序.是从D 上溯寻其论据，如C,C 1，C 2等,再寻求C ，C 1，C 2的论据，如B,B 1，B 2，B 3，B 4等等,继而寻求B ，B 1，B 2，B 3，B 4的论据，如果其中之一B 的论据恰好为已知条件,于是命题得证. 用分析法与综合法来叙述证明，语气之间也应当有区别，在综合法中,每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果，因此所用语气必须是肯定的，而在分析法中，就应当用假设的语气,习惯上常用这样一类语句：假如要A 成立，就必须先有B 成立;如果要有B 成立，又只需有C 成立……这样从结论一直推到已知条件.当我们应用分析法时，所有各个中间的辅助命题，仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的，而并不是确信它们都是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后，我们才确信它是真实的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的，于是命题就被证明了。
苏教版高中数学选修2-2 2.2.1直接证明 学案
2.2.1 直接证明学习目标 1.了解直接证明的特点.2.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 直接证明思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． (2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．知识点二 分析法和综合法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：方法一 ∵(a －b )2≥0， ∴(a )2＋(b )2－2ab ≥0， ∴a ＋b ≥2ab ，∴a ＋b2≥ab . 方法二 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，∵(a －b )2≥0显然成立，∴原不等式成立．答案 方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件． 梳理 综合法和分析法定义比较类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论 ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3. 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)． 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原等式成立．反思与感悟 证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． (2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理． (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式． 跟踪训练2 在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C . 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C .类型二 分析法 例3 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．反思与感悟 分析法的应用范围及方法跟踪训练3 求证：a －a －1<a －2－a －3 (a ≥3)． 证明 方法一 要证a －a －1<a －2－a －3， 只需证a ＋a －3<a －2＋a －1， 只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2， 只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2， 只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2， 只需证0<2，而0<2显然成立， ∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3，∴a －a －1<a －2－a －3.1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为________． 答案 a >b解析 ∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是________．答案 c解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0，∴c >b >a . 3．欲证2－3<6－7成立，只需证下列各式中的________．(填序号) ①(2－3)2<(6－7)2； ②(2－6)2<(3－7)2； ③(2＋7)2<(3＋6)2； ④(2－3－6)2<(－7)2. 答案 ③解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2. 4.3－2________2－1.(填“>”或“<”) 答案 <5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝4＋2(y x ＋xy )＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证． 方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ， 只需证明(1＋1x )(1＋11－x)≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2， 即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．课时作业一、填空题1．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a >b >0解析 由a a >b b ，得a 3>b 3， 则a ，b 需满足a >b >0.2．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 3解析 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立．3．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________. 答案 －b解析 函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为________． 答案 P <Q解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ， Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， ∴P 2<Q 2，即P <Q .5．若A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.6．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1.(判断大小)答案<解析要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.7．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)答案垂心解析如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO⊥平面ABC，连结AO，BO.∵SA⊥BC，SO⊥BC，SA∩SO＝S，∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.同理可证，AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心．8．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．9．已知函数f (x )＝2x ，a ，b ∈(0，＋∞)．A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，且a ≠b ，则A ，B ，C 从小到大排列为______________． 答案 C <B <A解析 ∵a ＋b 2>ab >2aba ＋b ，又∵f (x )＝2x 在R 上为增函数， ∴A >B >C .10．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝2ab －(a ＋b )≤0， ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， 则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )， 即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________. 答案 1解析 由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，① a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2， ②将①式代入②式，得a b ＋c ＋b a ＋c ＝1.二、解答题12．已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明 要证a ＋12＋ b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1， 即只需证明(a ＋12)(b ＋12)≤1.而(a ＋12)(b ＋12)≤(a ＋12)＋(b ＋12)2＝1＋12＋122＝1成立，所以a ＋12＋ b ＋12≤2成立． 13．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角， 所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ， ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C . ⑤ 由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 三、探究与拓展14.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案 对角线互相垂直(答案不惟一) 解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1， 因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1， 故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a nn＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n (n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。
苏教版高中数学选修2-2《直接证明》参考学案
第二章推理与证明 2.2.1直接证明学习目标1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点。
2、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
学习过程：一、预习：1、问题：如图，四边形ABCD是平行四边形求证：AB=CD，BC=DA思考：以上证明方法有什么特点？观察下面问题的证法：设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。
(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
思考：以上证明方法有什么特点？小结：一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．(逆推证法)分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
二、课堂训练：例1．设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+例2、求证：5273<+例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0（用两种方法）例4、设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（用两种方法）三、巩固练习：1、已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc2、设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．3、证明：3422+-=x x y 在),2[+∞是增函数。
数学苏教版选修2-2温故知新2.2.1直接证明含解析
2.2 直接证明与间接证明2。
2.1 直接证明温故知新新知预习1。
综合法和分析法，是直接证明中_________的方法，也是解决数学问题时_______________.2。
一般地，利用__________________________________________,经过一系列的推理、论证,最后推导出______________，这种证明方法叫做综合法。
对于命题“若P则Q"的综合法证明可用框图表示为:3。
一般地,从______________出发，逐步寻找推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后,把________________________________________________________，这种证明的方法叫做分析法。
命题“若P则Q”的分析法证明可用框图表示为:4.在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据______________，得到中间结论Q n；根据__________________________________________，得到中间结论P n.若由P n可以推出Q n成立，就可证明结论成立.知识回顾1.合情推理对一般的数学问题进行推理的过程可以概括为：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们统称为合情推理.2。
演绎推理如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：大前提—-已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。
高中数学 直接证明导学案 苏教版选修2-2
直接证明 NO.14【学习目标】了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考特点和过程，会用分析法和综合法证明具体问题．【知识扫描】一、直接证明⑴直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种证明通常称为直接证明.⑵直接证明的一般格式本题条件已知定义 ⇒A ⇒B ⇒C ⇒………⇒本题结论已知公理已知定理二、1、综合法⑴定义⑵综合法的推理过程:已知条件⇒……⇒……⇒结论2、分析法⑴定义⑵分析法的推理过程:结论⇐……⇐……⇐已知条件【例题选讲】例1.求证:5273<+变题：比较大小：3+10+例2. 分别用分析法和综合法证明:已知0,0a b m >>>，求证：b mba m a +>+变题：已知0,0a b m <<>，比较大小：b ma m ++ ba例3. .已知()+∞∈,0,,c b a ,且1=++c b a ,求证:8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫⎝⎛-c b a课内练习： 1、 已知,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a ++≥++2、已知2a >，求证：(1)(1)log log 1a a a a-+<例4.（强化班做）定义在R 上的函数()f x 满足：（1）当0x <时，()1f x >；（2）(0)0f ≠；（3）对任意实数,x y 有()()()f x y f x f y +=•（1）当0x >时，求证：0()1f x <<；（2）求证：()f x 是R 上的减函数【巩固提高】1.已知b a ,是不相等的正数，2b a x +=，b a y +=，则y x ,的关系是__________2.Ａ，Ｂ是△ABC 的内角，B A >是B A sin sin >的_______________条件3.已知()()12212+-+=x x a x f 是奇函数，则实数=a４.设,0,0,0>>>c b a 若1=++c b a ，则c b a 111++的最小值是５.若0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα，则()=-βαcos6. 设ABC ∆中，3个内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知,,A B C 成等差数列，且,,,a b c 成等比数列，则ABC ∆的形状为7．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：8．设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若函数(1)y f x =+与()f x 的图象关于y 轴对称。
苏教版高中数学选修2-2：2.2《直接证明与间接证明》练习(选修2—2).docx
（数学选修2-2）第二章 推理与证明[基础训练A 组]一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2- 3．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2； ③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6． 若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（ ）A ．123B ．105C ．89D ．587．函数x y 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81B ．81-C ．161D ．161- 二、填空题 1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
2．已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
3．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。
4．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m5．若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。
苏教版高中数学选修2-2第2章2.2.1.docx
§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 直接证明 课时目标 1.结合已学过的数学实例了解直接证明的两种基本方法：分析法、综合法.2.了解分析法和综合法的思考过程、特点．1．直接证明(1)定义：直接从原命题的________逐步推得命题成立的证明，通常称为直接证明．(2)一般形式：⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A ⇒B ⇒C …⇒本题结论． (3)两种基本方法：__________和__________．2．综合法(1)定义：从__________出发，以已知的________________为依据，逐步________，直至推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．(2)推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论(3)特点：条理清晰，宜于表述．3．分析法(1)定义：从________________出发，追溯导致结论成立的条件，逐步________，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法．(2)推理过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件(3)特点：方向较为明确，利于寻找解题思路．一、填空题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的________条件．2．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ac ，则S 、P 的大小关系为________．3．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a 、b 、c 的大小关系为__________． 4．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3的形状是__________三角形．5．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足__________条件．6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．7．设a 、b 、u 都是正实数且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是____________．8．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．二、解答题9．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.能力提升11. 如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)12．已知函数f (x )＝1＋x 2，若a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．答 案知识梳理1．(1)条件 (3)综合法 分析法2．(1)已知条件 定义、公理、定理 下推3．(1)问题的结论 上溯作业设计1．充分2．S ≥P解析 ∵S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， ∴S ≥P .3．b >a >c解析 利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， ∴0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b >a >c . 4．正5．b 2＋c 2<a 26．a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a .7．(0,16]解析 u ≤(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b 恒成立，而(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋6＝16， 当且仅当b a ＝9a b 且1a ＋9b＝1时，上式取“＝”． 此时a ＝4，b ＝12.∴0<u ≤16.8．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b .9．证明 方法一 分析法要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．方法二 综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )．∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10．证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3， 即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc＝1， 而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 11．AC ⊥BD解析 从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件．因而可以是：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为正方形．12．证明 原不等式即|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |， 要证此不等式成立，即证1＋a 2＋1＋b 2－21＋a 2·1＋b 2<a 2＋b 2－2ab .即1＋ab <1＋a 2·1＋b 2.当1＋ab <0时不等式恒成立，当1＋ab ≥0时，即要证1＋a 2b 2＋2ab <(1＋a 2)(1＋b 2)，即2ab <a 2＋b 2，由a ≠b 知此式成立，而上述各步都可逆，因此命题得证．。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 直接证明(2)
第6课时直接证明(2)教学过程一、问题情境复习回顾:1.直接证明的一般形式为:⇒…⇒本题结论2.(1)综合法与分析法要点对照表综合法分析法定义从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止思维过程原因⇒结果,又名“顺推证法”,“由因导果法”由结果追溯原因,又名“追溯证法”,“执果索因法”思维特点从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理实际上是寻找必要条件从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理实际上是寻求充分条件步骤已知条件⇒…⇒…⇒结论结论⇐…⇐…⇐已知条件(2)对分析法证题的说明“若A成立,则B成立”,此命题用分析法证明的一般步骤如下:要证明(或为了证明)B成立,只需证明A1成立(A1是B成立的充分条件),要证A1成立,只需证明A2成立(A2是A1成立的充分条件)……要证明A k成立,只需证明A成立(A是A k成立的充分条件),因为A成立,所以B成立.注:①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件,但绝不能是必要不充分条件;②在寻求充分条件时,要联系已知条件,即在一系列可以证明结论的条件中,与题设条件较为接近的条件,才是我们所需要的;③“只需证明”“为了证明”“因为A成立,所以B成立”类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来.二、数学运用【例1】已知a>b>c,求证:++≥0.[1](见学生用书P43)[处理建议]本题用综合法不容易找到证题思路,因此用分析法探路.[规范板书]要证原不等式成立,由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0,因此移项,只需证+≥.通分,得≥,即证≥.只需证(a-c)2≥4(a-b)(b-c)成立.因为4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)]2=(a-c)2,所以≥,即-≥0,所以++≥0.[题后反思](1)分析法和综合法是两种常用的解题方法,但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好.(2)用分析法寻找思路,用综合法表述过程.分析法解题方向较为明确,有利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表述.因此,在实际解题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程.变式1若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.[规范板书]证法一(分析法)要证lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c,只需证lg>lg(abc),只需证··>abc.又≥>0,≥>0,≥>0.且上述三式中的等号不全成立,所以··>abc.因此lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.注:这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.证法二(综合法)因为a,b,c是不全相等的正数,所以≥>0,≥>0,≥>0.所以··>abc,所以lg>lg(abc),所以lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.变式2设a,b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.[规范板书]证法一(分析法)要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,即需证a2-ab+b2>ab成立,(因为a+b>0)只需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立.而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然成立.所以原不等式成立.证法二(综合法)因为a≠b,所以a-b≠0,所以(a-b)2>0,所以a2-2ab+b2>0,所以a2-ab+b2>ab.因为a+b>0,所以(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),所以a3+b3>a2b+ab2.[题后反思]还有其他证明方法吗?此题可以用作差比较法进行证明.【例2】若实数x≠1,求证:3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.[2](见学生用书P43)[处理建议]在不等式问题的证明方法中,比较法是一种常用的、简单的、主要的方法,有些不等式在用分析法倒推寻找思路时不一定能行,可以用比较法来证明.[规范板书]证明(差值比较法)3(1+x2+x4)-(1+x+x2)2=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3=2(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1)=2(x-1)2.因为x≠1,从而(x-1)2>0,且+>0,所以2(x-1)2>0,所以3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.[题后反思](1)比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.(2)用比较法证明不等式的主要步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号.(3)若题设中去掉x≠1这一限制条件,要求证的结论如何变化?变式已知a,b均为正实数,求证:a a b b≥a b b a.[规范板书]证法一(差值比较法)不妨设a≥b>0.因为a-b≥0,所以a b b b≥0,a a-b-b a-b≥0.所以a a b b-a b b a=a b b b(a a-b-b a-b)≥0,从而原不等式得证.证法二(商值比较法)设a≥b>0,因为≥1,a-b≥0,所以=≥1.故原不等式得证.[题后反思]在证明不等式命题的过程中,“变形”是解题的关键.应用因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.三、课堂练习1.已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明因为b2+c2≥2bc,a>0,所以a(b2+c2)≥2abc,因为c2+a2≥2ac,b>0,所以b(c2+a2)≥2abc.因此,a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.2.已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:a2+b2+c2>(a-b+c)2.证明左边-右边=2(ab+bc-ac),因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.又因为a,b,c都是正数,所以0<b=≤<a+c,所以a+c>b,所以2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0,所以a2+b2+c2>(a-b+c)2.四、课堂小结1.对于那些较为复杂的数学命题,不论是从“已知”推向“未知”,或者是由“未知”靠拢“已知”,都有一个比较长的思考过程,只靠分析法或综合法有时较为困难.为保证探索方向准确及过程快捷,人们常常把分析法与综合法两者结合起来使用,即常采取同时从已知和结论出发,寻找问题的一个中间目标.从已知到中间目标运用综合法思索,而由结论到中间目标运用分析法思索,以中间目标为桥梁沟通已知与结论,构建出证明的有效路径.这种思考模式可以概括如下图所示.(图1)综合法与分析法是逻辑推理的重要方法,它对于培养思维的严谨性极为有用.把分析法与综合法结合并列起来进行思考,寻求问题的解答途径,就是人们通常所说的分析-综合法.2.在不等式的证明中,比较法是一种常用而且有效的方法,也是直接证明不等式的重要方法.。
2019-2020年苏教版高中数学(选修2-2)2.2《直接证明与间接证明》word教案2篇
2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.2《直接证明与间接证明》word 教案2篇分析法和综合法是两种常用的解题方法，但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好．一、用分析法寻找思路，用综合法表述过程例１ 已知a b c >>，求证：1140a b b c c a++---≥． 分析：本题用综合法不容易找到证题思路，因此用分析法探路．要证原不等式成立，由a b c >>，得0a b ->，0b c ->，0c a -<，因此移项，只需证114a b b c a c+---≥． 通分，得()()4()()b c a b a b b c a c-+----≥， 即证4()()a c a b b c a c----≥． 只需证2()4()()a c a b b c ---≥成立．思路找到．证明：∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，0a c ->∴224()()[()()]()a b b c a b b c a c ---+-=-≤． ∴4()()a c a b b c a c----≥， 即()()40()()b c a b a b b c a c -+-----≥， ∴1140a b b c c a++---≥． 点评：分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．二、分析法与综合法联合使用对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的思考过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法并列起来进行思考，寻求问题的解答途径，就是人们通常所说的分析、综合法．例2 若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++． 证明：要证lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++， 只需证lg lg()222a b b c c a a b c +++⎛⎫>⎪⎝⎭， 只需证222a b b c c a abc +++>．又02a b +>，02b c +>，02c a +>． 且上述三式中的等号不全成立，所以222a b b c c a abc +++>c ． 因此lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++． 注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．点拨反证法反证法是一种重要的间接证明方法，下面加以系统归纳，供参考1．宜用反证法证明的题型①易导出与已知矛盾的命题；②否定性命题；③惟一性命题；④至少至多型命题；⑤一些基本定理；⑥必然性命题等2．步骤①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）． 3．典例分析例 求证：a 、b 、c 为正实数的充要条件是0a b c ++>，且0ab bc ca ++>和0abc >． 分析：由a 、b 、c 为正实数，显然易得0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >．即“必要性”的证明用直接证法易于完成，并不需要用反证法．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a 、b 、c 是正实数，有些难度，于是，试试反证法．证明：（1）证必要性．（略）（2）证充分性．假设a 、b 、c 不全为正实数（原结论是a 、b 、c 都是正实数），由于0abc >，则它们只能是二负一正．不妨设0a <且0b <且0c >，又由于0()0ab bc ac a b c bc ++>⇒++>，∵0bc <，∴()0a b c +>．①又∵0a <，∴0b c +<．②而0()0a b c a b c ++>⇒++>，∴0a >，与0a <的假设矛盾．∴假设不成立，原结论成立，即a 、b 、c 均为正实数．说明：如果从①处开始，如下进行推理：∵0a b c ++>，即()0a b c ++>，又0a <，∴0b c +>．则()0a b c +<，与①式矛盾．这样，矛盾的焦点就发生在两部分推理的结论上了，即自相矛盾；还可以让矛盾的焦点发生在已知条件上，从②处开始，于是0a b c ++<，与已知0a b c ++>矛盾，这个途径最简捷．评注：反证法矛盾的焦点，可以是和“已知条件”或“定义”、“公理”、“定理”、“反面假设”矛盾，也可以自相矛盾（即两部分推理的结果矛盾）．其本质是，先利用的和剩余者之间的矛盾．究竟先利用哪些好，应根据题目的具体情况决定．顺其自然，因势利导，不必拘泥于一格．直接证明与间接证明精析在数学中，证明是引用一些真实的命题来确定某命题真实性的思维形式．数学常用的证明方法有直接证明与间接证明．1．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法与分析法．（1）综合法与分析法要点解析表（2）对分析法证题的说明“若Ａ成立，则Ｂ成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：要证明（或为了证明）Ｂ成立，只需证明1A 成立（1A 是Ｂ成立的充分条件），要证1A 成立，只需证明2A 成立（2A 是1A 成立的充分条件），…，要证明k A 成立，只需证明A 成立（A 是k A 成立的充分条件），∵A 成立，∴B 成立．注：①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件，但绝不能是必要不充分条件； ②在寻求充分条件时，起调控方向作用的是本题条件．即在一系列可以证明结论的条件中，与本题条件较为接近的条件，才是我们所需要的；③“只需证明”、“为了证明”、“∵A 成立，∴B 成立”类似这些语言必须有，而且要用它们把每一步连结起来．（3）综合法和分析法的优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错．综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．因此，在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，则原命题得证．2．间接证明不是从正面论证命题的真实性，而是考虑证明它的等价命题，间接地达到目的．常见的间接证明方法是反证法．反证法是一种常用的间接证明方法．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用以下框图表示：应用反证法证明数学命题，一般有下面三个步骤：（1）反设———假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；（2）归谬———从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3）存真———由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．注：①反设要准确，即取结论的否定形式时要准确，有些否定形式需注意全称量词与特称量词的相互转换．②所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与公理、定义、定理、条件矛盾或与临时假定矛盾，以及自相矛盾等各种情况．反证法往往用于解决正面解决较为困难的问题（正难则反）或需分多种情况讨论的问题（如至多、至少等问题）等．反证法中的“特殊化”反证法是一种重要的证明方法．反证法的难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路，以便尽快凸现矛盾．笔者认为，“特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口．一、特殊值巧合的数目，特殊的数字，个性化的特征，看似纯属偶然，但往往蕴含着正确解法的必然．例1 设()f x 、()g x 是定义[01]，上的函数．证明：存在0x 、0[01]y ∈，，使得00001()()4x y y x g y --≥． 分析：要找出具体的0x 、0y ，难以下手，不妨考虑用反证法证明：假设这样的0x 、0y 不存在．取特殊值00x =，00y =，得1(0)(0)4f g +<． 同理，1(0)(1)4f g +<，1(1)(0)4f g +<，11(1)(1)4f g --< 故11111(1(1)(1))((1)(0))((0)(1))((0)(0))14444f g f g f g f g =--++++-+<+++=， 这是不可能的．因此，原命题成立．注：本题反复利用0与1这两个特殊值，并进行凑配，从而推得矛盾“11<”．二、特殊运算某些相对独立的对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，而当通过特殊运算使之形成一个整体时，矛盾便暴露无遗了．1．求和例2 今有有限个砝码，它们的总重量是1kg ，将它们分别编号为12，，．证明：从这有限个砝码中必可找出一个编号为n 的砝码，它的重量大于1kg 2n．证明：假设不存在这样一个编号n ，使得相应的砝码重量1()2n f n >． 设共有m 个砝码，0m >．从而，有1(1)2f ≤，21(2)2f ≤，，1()2m f m ≤ 累加求和，得11(1)(2)()12mf f f m =+++-≤，矛盾 ． 因此，原命题成立2．求积 例3 证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：x y z <-，y z x <-，z x y <-．分析：本题要证明所有的对象都具有同一性质，无法从正面考虑，宜用反证法．证明：假设存在三个实数x y z ，，同时满足题设的三个不等式．将它们的两端都同时平方，然后分别移项、分解因式得()()0x y z x y z -++-<， ①()()y z x y z x -++-<， ② ()()z x y z x y -++-<． ③①⨯②⨯③得222()()()0x y z x y z x y z -++--++<，这显然是不可能的．因此，原命题成立．注：本题所得到的三个不等式，单独看哪一个都看不出有什么毛病，而一旦把它们求积，矛盾便凸现在眼前了。
苏教版数学高二- 选修2-2试题 直接证明
2.2.1 直接证明一、填空题1．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x 求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．【答案】综合法2．欲证2－3＜6－7成立，只需证①(2－3)2＜(6－7)2；②(2－6)2＜(3－7)2；③(2＋7)2＜(3＋6)2；④(2－3－6)2＜(－7)2.则正确的序号是________．【解析】“2－3＜6－7”⇔“2＋7＜3＋6”且2＋7＞0，3＋6＞0，故只需证(2＋7)2＜(3＋6)2.【答案】③3．已知α，β为实数，给出下列三个论断：①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③|α|＞22，|β|＞22，以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．【解析】由①αβ＞0知α，β同号，∴由③知|α|＋|β|＝|α＋β|＞42＞5.【答案】①③⇒②图2－2－24．如图2－2－2，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】只要使BD⊥平面AA1C1C即可．【答案】ABCD为正方形(ABCD为菱形或AC⊥BD等)5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的大小关系是x________y.【解析】 要比较x ，y 的大小．∵x ＞0，y ＞0，只需比较x 2，y 2的大小，即a ＋b ＋2ab 2与a ＋b 的大小． ∵a ，b 为不相等的正数，∴2ab ＜a ＋b. ∴a ＋b ＋2ab 2＜a ＋b ， 则x 2＜y 2.∴x ＜y.【答案】 ＜6．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 ∵1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立． 【答案】 37．已知f(x)＝a （2x ＋1）－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________． 【解析】 法一 函数的定义域为R ，函数为奇函数，当x ＝0时f(0)＝0，即2a －22＝0.∴a ＝1.法二 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)恒成立．即a （2－x ＋1）－22－x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1， 即a （1＋2x ）－21＋x 2x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1恒成立． 即2a ＋a·2x ＋1＝2x ＋1＋2，∴a ＝1.【答案】 18．已知△ABC 的两顶点A 、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，顶点C 在双曲线的右支上，则sin C sin A －sin B＝________． 【解析】 ∵A 、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，C 在双曲线的右支上， ∴|AB|＝29＋16＝10，|CA|－|CB|＝6，由正弦定理，得sin C sin A －sin B ＝|AB||BC|－|AC|＝－53. 【答案】 －53二、解答题 9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求证：△ABC 为正三角形．【证明】 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)， ∴B ＝60°.∵a ，b ，c 等差，∴2b ＝a ＋c ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－（a ＋c 2）22ac ＝12， ∴a ＝c.又∵B ＝60°，∴△ABC 为正三角形．10．已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b. 【证明】 由1b －1a＞1，及a ＞0知b ＞0. 要证明1＋a ＞11－b， 只需证明1＋a·1－b ＞1，即证1＋a －b －ab ＞1，只要证明a －b ＞ab ，即证a －b ab ＞1，也就是1b －1a＞1， ∵1b －1a＞1成立(已知)， 故原不等式1＋a ＞11－b成立．图2－2－311．如图2－2－3所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC.所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，∵AB⊥AD，∴AB⊥PD，又∵AB∩AE＝A，故PD⊥平面ABE.。
高中数学 直接证明课件 苏教版选修2-2
所以
a+b 2
a b 成立
因为:( a b)2 0成立
所以 a
+ 2
b
a b成立
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
分析法推证过程: 特点：由果索因.
结论 … … 已知条件
直接证明（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同 证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止
综合法
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件
吻合为止
分析法
直接证明（例题）
例 1 如图， A， BC 已 交 D知 于 O ， 点 AC O BD ， A EB， F 求C证 ED： .F
直接证明
证 （综合法） 因为
ACO BDO 所以 CO DO AO BO
因为
AEBF（已知）
所以
EOFO
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
直接证明（练习）
1. 若 a0,b0,求证 ab： 122. ab
直接证明（练习）
苏教版高中数学选修2-2直接证明(2)
直接证明（2）教学目标（1）能熟练地运用综合法、分析法解决问题． 教学重点，难点运用综合法、分析法证题．教学过程一．问题情境复习回顾：直接证明的一般形式为：⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎪⎪⎭本题条件已知定义本题结论已知公理已知定理综合法与分析法的推证过程如下：二．数学运用1．例题： 例1．设抛物线2(0)y ax a =≠与直线y bx c =+(0,0)b c ≠≠有两个交点，且横坐标分别为1x ，2x ，又设直线y bx c =+与x 轴交点的横坐标为3x ，试证明：312111x x x =+． 证明：直线y bx c =+与x 轴交点的横坐标为3c x b=-，所以31b x c =-． 2y ax y bx c⎧=⎨=+⎩，消去y ，得20ax bx c --= 则抛物线2(0)y ax a =≠与直线y bx c =+(0,0)b c ≠≠有两个交点的横坐标分别为1x ，2x 是方程20ax bx c --=的两根， 所以12121211//x x b a b x x x x c a c++===--， 所以312111x x x =+． 例2．在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC ∆为为正三角形．证明：因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B A C =+，有A B C π++=，所以3B π=．因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =．又因为222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以22ac a c ac =+-，即2()0a c -=，所以a c =，所以A C =， 所以3A B C π===，ABC ∆为为正三角形．例3．已知1a b c ++=（a ，b ，c 均为非负数），求证：+（用分析法证明）++23≤，只需证3a b c +++≤，又因为1a b c ++=，所以只需证2()a b c ≤++，又因为a b +≥，b c +≥a c +≥所以原不等式成立．例4．在锐角三角形中，求证：sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++． 证明：因为在锐角三角形中，2A B π+>，所以2A B π>-，所以022B A ππ<-<<，又因为在(0,)2π内正弦函数是单调递增函数，所以sin sin()cos 2A B B π>-=， 即sin cos A B >，同理sin cos B C >，sin cos C A >， 所以sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++．三．回顾小结：1．证题过程中综合法与分析法的结合．四．课外作业：补充： 1．ABC ∆的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：90B <．2．已知a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥． 3．若||1a <，||1b <，求证：||11a b ab+<+． 4．已知函数()()f x x R ∈，对于任意1x ，2x R ∈， 等式121212()()2()()22x x x x f x f x f f +-+=恒成立，但()f x 不恒为0，求证：()f x 是偶函数．。
苏教版高中数学选修2-2 直接证明与间接证明 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明教案【教学重点】：了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。
【教学过程设计】：【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法 答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。
2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。
证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。
3. 求证：5321232log 19log 19log 19++<证明：因为1log log a b b a=，所以左边= 23191919191919log 52log 33log 2log 5log 3log 2++=++=23191919log (532)log 360log 3612⨯⨯=<=所以5321232log 19log 19log 19++<成立4．求证：如果lg lg ,0,lg22a b a ba b ++>≥则证明：当,0,2a ba b +>≥有上式两端取对数得：lg 2a b+≥从而lg()lg lg lg 222a b ab a b ++≥=所以，命题得证。
5．设a>b>0且ab=1，求证：22a b a b+≥- 证明：222()22()()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+--- ∵a>b>0， ∴a-b>0因此有2()()a b a b -+≥=-所以，命题得证。
高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书第2章 2.2.1 直接证明 Word版含答案
直接证明与间接证明直接证明.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点).会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点).综合法、分析法的格式区别.(易混点)[基础·初探]教材整理 直接证明阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题.直接证明.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为 .综合法出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，已知条件()定义：从为止，这种证明方法常称为综合法.结论直到推出要证明的…⇒…() .分析法出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到结论()定义：从问题的.分析法证明方法常称为使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种…⇐…().判断正误：()综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )()分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( )()证明不等式“＋<＋”最合适的方法是分析法.( ) ()在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.()【答案】()√()×()√()√.命题“对于任意角θ，θ－θ＝θ”的证明过程“θ－θ＝(θ－θ)(θ＋θ)＝θ－θ＝θ)－θ)＝θ”应用了(填“综合法”或“分析法”).【解析】从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.【答案】综合法.在不等边三角形中，为最大边，要想得到∠为钝角的结论，三边，，应满足的条件为.【导学号：】【解析】要证∠为钝角，只需证＝<即可，也就是＋<.【答案】＋<[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：!错误[小组合作型]。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.2 2.2.1 直接证明
_2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27][例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨] 从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析] ∵a 2＋19≥2a3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3，∴⎝⎛⎭⎫a 2＋19＋⎝⎛⎭⎫b 2＋19＋⎝⎛⎭⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通] 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab . 又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ， 同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )， 即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ， 故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 又因为aπ，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c . ∵PO ⊥π，a π，∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ，b平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO .又c平面P AO ，∴a ⊥c . (2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[例2] 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.[思路点拨] 本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析] 要证明(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b 成立，只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b成立，即证(a －b )24a <(a －b )2<(a －b )24b成立．只需证a －b 2a <a －b <a －b 2b 成立．只需证a ＋b 2a <1<a ＋b2b成立， 即证a ＋b <2a 且a ＋b >2b ， 即b <a .∵a >b >0，∴b <a 成立．∴(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b成立．[一点通] 在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，求证：P ＜Q . 证明：要证P ＜Q ，主要证P 2＜Q 2， 只要证2a ＋7＋2a (a ＋7)＜2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，即证a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12， 即证0＜12. 因为0＜12成立， 所以P ＜Q 成立．4．已知a 、b 是正实数，求证：a b ＋ba≥ a ＋b . 证明：要证a b ＋ba≥ a ＋b ， 只需证a a ＋b b ≥ab (a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )， 即证a ＋b －ab ≥ab . 也就是要证a ＋b ≥2ab .因为a ，b 为正实数，所以a ＋b ≥2ab 成立， 所以a b ＋ba≥ a ＋b .[例3] 已知0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1， 求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1.[思路点拨] 因为0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1，所以要证明1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc ≥1成立，可转化为证明1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc 成立．[精解详析] ∵a >0，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ， 即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0. ∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )， 又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立， 即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通] (1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )(a ＋b )(b ＋c )＝1，即a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.下面证明：a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc ＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋c 2＋ab ＋bca 2＋c 2－ac ＋ab ＋ac ＋bc ＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数．求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc 成立，∵a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc >0，(*) 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P2；当由P1可以推出P2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B.又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件．答案：充要2．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1(判断大小)．解析：要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.答案：<3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a (a －b )>b (a －b ) ⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b4．若三棱锥S －ABC 中，SA ⊥BC ，SB ⊥AC ，则S 在底面ABC 上的射影为△ABC 的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO .同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心． 答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x ，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝10x 在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ， 即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C 二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数，所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ， 即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4， 从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数， 所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2， 即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)． 故f (a )＋f (c )＞2f (b )．7．已知a >0，用分析法证明： a 2＋1a 2－2>a ＋1a－2.证明：要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋2 2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只需证2a 2＋1a2≥ 2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只需证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(江苏高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈N *，其中 c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝S nn ＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，22 即⎝⎛⎭⎫a＋d22＝a⎝⎛⎭⎫a＋32d，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.因此，对于所有的m∈N*，有S m＝m2a.从而对于所有的k，n∈N*，有S nk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2S k.。
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直接证明（2）
教学目标
（1）能熟练地运用综合法、分析法解决问题．
教学重点，难点
运用综合法、分析法证题．
教学过程
一．问题情境
复习回顾：
直接证明的一般形式为：⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎪
⎪⎭本题条件已知定义本题结论已知公理已知定理
综合法与分析法的推证过程如下： ∙
⇒
⇒⇒⇐⇐⇐综合法——已知条件结论；分析法——结论已知条件
二．数学运用
1．例题：
例1．设抛物线2(0)y ax a =≠与直线y bx c =+(0,0)b c ≠≠有两个交点，且横坐标分别
为1x ，2x ，又设直线y bx c =+与x 轴交点的横坐标为3x ，试证明：312
111x x x =+． 证明：直线y bx c =+与x 轴交点的横坐标为3c x b =-，所以31b x c
=-． 2
y ax y bx c
⎧=⎨=+⎩，消去y ，得20ax bx c --= 则抛物线2(0)y ax a =≠与直线y bx c =+(0,0)b c ≠≠有两个交点的横坐标分别为1x ，2x 是方程20ax bx c --=的两根，
所以12121211//x x b a b x x x x c a c
++===--， 所以
312111x x x =+．
例2．在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC ∆为为正三角形．
证明：因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B A C =+，有A B C π++=，所以3
B π=． 因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =．
又因为222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，
所以22ac a c ac =+-，即2()0a c -=，
所以a c =，所以A C =， 所以3
A B C π===，ABC ∆为为正三角形． 例3．已知1a b c ++=（a ，b ，c 均为非负数）
+
（用分析法证明）
+
+
23≤，
只需证3a b c +++，
又因为1a b c ++=
，所以只需证2()a b c ≤++，
又因为a b +≥
b c +≥
，a c +≥成立，
所以原不等式成立．
例4．在锐角三角形中，求证：sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++．
证明：因为在锐角三角形中，2A B π+>，所以2A B π>-，所以022
B A ππ<-<<， 又因为在(0,)2
π内正弦函数是单调递增函数，所以sin sin()cos 2A B B π>-=，
即sin cos A B >，同理sin cos B C >，sin cos C A >， 所以sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++．
三．回顾小结：
1．证题过程中综合法与分析法的结合．
四．课外作业：
补充：
1．ABC ∆的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：90B <．
2．已知a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c
---≥． 3．若||1a <，||1b <，求证：||11a b ab
+<+． 4．已知函数()()f x x R ∈，对于任意1x ，2x R ∈， 等式121212()()2()()22x x x x f x f x f f +-+=恒成立，但()f x 不恒为0， 求证：()f x 是偶函数．。