【数学】3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 课件(人教A版选修2-3)

即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm 的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均 体重的值。
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 身高 /cm 体重/kg
1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170 48 57 50 54 64 61 43 59
函数模型与回归模型之间的差别
函数模型： y bx a 回归模型： y bx a e
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和 随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。
在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。
我们可以用下面的线性回归模型来表示：
第三章 统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其 初步应用
比《数学3》中“回归”增加的内 容 选修2-3——统计案例 数学３——统计
5. 1. 2.
3.
4.
画散点图 了解最小二乘法 的思想 求回归直线方程 y＝bx＋a 用回归直线方程 解决应用问题
6.
7. 8.
9.
10.
引入线性回归模型 y＝bx＋a＋e 了解模型中随机误差项e产 生的原因 了解残差图的作用 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题 正确理解分析方法与结果
称为样本点的中心。回归直线过样 本点中心
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 身高 /cm 体重/kg
1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170 48 57 50 54 64 61 43 59
n (xi -x)(yi -y) b= ˆ i=1 = n 2 (xi -x) i=1 ˆ a=y-bx. ˆ
x y
i=1 n
n
i i 2
- nxy - nx
2
x
i=1
,
i
1 n 1 n 其中x = y= xi, yi. n i=1 n i=1
(x,y)
y bx a
ˆ 为截距和斜率的估计值， ˆ 和b 另一方面，由于公式(1)和(2)中a 它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值 与真实值y之间误差的另一个原因。
ˆ y
思考: 产生随机误差项e的原因是什么？ 随机误差e的来源(可以推广到一般）：
1、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 2、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不 只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、 生长环境等因素； 3、身高 y 的观测误差。 以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合 效果越好。
相关系数

1.计算公式
r=
(x
i=1 n i=1
n
i
- x)(yi - y)
n
2 2 (x x) (y y) i i i=1
2．相关系数的性质 (1)|r|≤1． (2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接
近于0，相关程度越小． 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它 们的相关程度怎样呢？
编号 身高 /cm 体重/kg 残差
1 165 48
-6.373
2 165 57
2.627
3 157 50
2.419
4 170 54
-4.618
5 175 64
1.137
6 165 61
6.627
7 155 43
-2.883
8 170 59
0.382
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
残差分析与残差图的定义：
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关， 是否可以用回归模型来拟合数据。 然后，我们可以通过残差 e1 , e2 , , en 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。 （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残 差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或 模型是否合适等。
什么是回归分析？
（内容）
1.
2.
3.
从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪 些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
求根据一名女大学生的身高预报 解：1、选取身高为自变量x，体重 她的体重的回归方程，并预报一 名身高为172cm的女大学生的体重。 为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系，因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。 3、从散点图还看到，样本点散布在 某一条直线的附近，而不是在一条 直线上，所以不能用一次函数 y=bx+a描述它们关系。
y=bx+a+e， (3)

y=bx+a+e，
E(e)=0,D(e)=
2.
2
(4)
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
在线性回归模型(4)中，随机误差e的方差 越小，通过 回归直线 (5) 预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值 y 与真实值 y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
R 1
2
2 ( y y ) i i 2 ( y y ) i i 1 i 1 n
n
残差平方和 1 。 总偏差平方和
表1-3
来源 随机误差 残差变量 总计 平方和 225.639 128.361 354 比例 0.64 0.36 1
负相关
正相关
n (xi -x)(yi -y) i=1 r= n n 2× (y -y)2 (x -x) i i i=1 i=1 ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，
r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
函数模型与回归模型之间的差别
中国GDP散点图 120000
100000
80000
GDP
60000
40000
20000
0 1992
1993
1994
1995
1996
1997 年
1998
1999
2000
2001
2002
2003
函数模型： 线性回归模型： y bx a e
y bx a
当随机误差恒等于0时， 线性回归模型就变为函数模 型
1. 散点图； 2.回归方程： ˆ 0.849x 85.172 y
身高172cm女大学生体重 ˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg) y
探究： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？如果不是，你能解析一下原因吗？ 答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是 60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于 60.316kg。
回归分析与相关分析的区别
1.
2.
3.
相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
相关系数
例2：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集 了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程
温度x 21 产卵数y 7 23 11
350 300
25 21
27 24
29 66
32 115
35 325
解:1)作散点图;
产卵数
250
200
150
100
50
0 20 22 24 26 28 温度 30 32 34 36
从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能 用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中 在一条指数曲线或二次曲线的附近。
回归分析的内容：
回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的一种常用的方法，也就是通过一个变量或一些变 量的变化解释另一变量的变化。
《数学3》中，已对具有相关关系的变量利用回归分析的方 法进行了研究，其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回 归直线方程进行预报。
ˆ ˆ 最小二乘法：y ˆ = bx+a
残差图的制作及作用。 •几点说明： 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数 • 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 横轴为心的带形区域； 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 • 对于远离横轴的点，要特别注意。