高二数学必修1-5基础知识练习

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高中数学第1章数列等比数列前n项和的性质及应用同步练习湘教版选择性必修第一册

第2课时等比数列前n项和的性质及应用A级必备知识基础练1.(2022河南南阳高二期中)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=4n+a，则实数a的值等于()A.-4B.-1C.0D.12.已知在等比数列{a n}中，a1=1，a1+a3+…+a2k+1=85，a2+a4+…+a2k=42，则k=()A.2B.3C.4D.53.已知{a n}是各项都为正数的等比数列，S n是它的前n项和，若S4=6，S8=18，则S16=()A.48B.54C.72D.904.(2022天津河西高二期末)已知等比数列的首项为-1，前n项和为S n，若，则公比q=()A.2B.-2C.D.-5.已知在等比数列{a n}中，a1=1，且=8，那么数列的公比为，S5= .6.已知正项等比数列{a n}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q= .7.(2022安徽宣城高二期末)已知等比数列{a n}为递增数列，且前n项和为S n，S3=，a3a4=a5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若4a n=3S n，求正整数n的值.B级关键能力提升练8.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a3=5，S4=20，则=()A.9B.10C.12D.179.(2022河南新乡高二期中)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则数列{a n}的公比q=()A.2B.-2C. D.-10.某工厂购买一台价格为a万元的机器，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足()A.b=B.b=C.b=D.<b<11.已知等比数列{a n}的公比q>0，前n项和为S n，则的大小为()A.B.C.D.12.(多选题)(2022江苏常州高二期中)记数列{a n}的前n项和为S n，则下列四个说法错误的有()A.若对于∀n∈N+，=a n a n+2，则数列{a n}为等比数列B.若S n=Aq n+B(非零常数q，A，B满足q≠1，A+B=0)，则数列{a n}为等比数列C.若数列{a n}为等比数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等比数列D.设数列{a n}是等比数列，若a1<a2<a3，则{a n}为递增数列13.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2022年投入128辆电力型公交车，以后电力型公交车每年投入的辆数比上一年增加50%.(1)求该市在2028年应该投入多少辆电力型公交车;(2)求到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的.(已知37=2 187，38=6 561)C级学科素养创新练14.某市为鼓励全民健身，从2021年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材.已知2021年7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，自8月起，A型健身器材每月的投放量均为a 台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%.若2021年12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为()A.243B.172C.122D.7415.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若，求的值.参考答案第2课时等比数列前n项和的性质及应用1.B根据题意，等比数列{a n}的前n项和为S n=4n+a，则a1=41+a=4+a，a2=S2-S1=(42+a)-(4+a)=12，a3=S3-S2=(43+a)-(42+a)=48，则有(4+a)×48=144，解得a=-1.故选B.2.B设等比数列{a n}的公比为q，则a1+a3+…+a2k+1=a1+a2q+…+a2k q=85，即q(a2+…+a2k)=85-1=84.因为a2+a4+…+a2k=42，所以q=2.则a1+a2+a3+…+a2k+a2k+1=85+42=127=，即128=22k+1，解得k=3，故选B.3.D因为{a n}是各项都为正数的等比数列，S n是它的前n项和，且由题意可知q≠-1，所以S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12也成等比数列，且公比为=2.所以S12-S8=2(S8-S4)=24，所以S12=42，因此S16-S12=2(S12-S8)=48，所以S16=90.故选D.4.D(方法1)当q=1时，=2，不满足题意;当q≠1时，S10=，S5=，则=q5+1=，解得q=-.故选D.(方法2)设S10=31k，S5=32k(k∈R，且k≠0)，则由S10=S5+q5S5可知31k=S5(1+q5)=32k(1+q5)，解得q=-.故选D.5.831设公比为q，∵=8，a1=1，∴=q3=8，∴q=2.∴S5==31.6.2设等比数列{a n}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，前2n项之和为S2n，则S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇.由S2n=3S奇，得(1+q)S奇=3S奇.因为a n>0，所以S奇>0，所以1+q=3，q=2.7.解(1)设公比为q，由a3a4=a5，可得q5=a1q4，故a1q=1.因为S3=a1+a2+a3=，所以+1+q=，解得q=3或q=.故可得a1>0，又因为{a n}为递增数列，所以q=3.故a n=a2q n-2=.(2)由(1)可得，S n=，若4a n=3S n，则4×3n-2=(3n-1)，解得n=2.8.B设等比数列{a n}的公比为q，因为S4=a1+a2+a3+a4=a1+a3+a2+a4=a1+a3+q(a1+a3)=(1+q)(a1+a3)=5(1+q)=20，所以q=3，则=q2+1=10.故选B.9.C由已知q≠1，则解得10.D因为b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12，所以12b<a(1+0.005)12，所以b<.显然12b>a，即<b<.11.C+1，+1.因为q>0，所以+1>0，即.12.AC若a n=0，满足对于∀n∈N+，=a n a n+2，但数列{a n}不是等比数列，故A错误.当n≥2时，a n=S n-S n-1=Aq n+B-(Aq n-1+B)=Aq n-1(q-1)且q≠1;当n=1时，a1=S1=Aq+B=A(q-1)符合上式.故数列{a n}是首项为A(q-1)，公比为q的等比数列，故B正确.若数列{a n}为等比数列，当公比q=-1，且n为偶数时，此时S n，S2n-S n，S3n-S2n，…均为0，不是等比数列，故C错误.设数列{a n}是等比数列，且公比为q，若a1<a2<a3，即a1<a1q<a1q2，若a1>0，可得1<q<q2，即q>1，则{a n}为递增数列;若a1<0，可得1>q>q2，即0<q<1，则{a n}为递增数列.故D正确.13.解(1)依题意可知，从2022年起每年投入的电力型公交车的辆数可构成等比数列{a n}，其中a1=128，q=，则a7=a1q6=128×6=1458.故2028年应投入电力型公交车1458辆.(2)设{a n}的前n项和为S n，则S n==256n-1.由S n>(10000+S n)×，得S n>5000，即256n-1>5000，即n>，又n∈N+，∴n≥8.故到2029年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.14.D设B型健身器材这6个月投放量构成数列{b n}，则b n是以b1=64为首项，以q=为公比的等比数列，∴其前6项和为S6==1330.则令5a+300+1330≥2000，解得a≥74，故选D.15.解(方法1)设等比数列{a n}的公比为q，由题意可知q≠1，则S n=.∵，∴，即1+q5=3，∴q5=2，∴.(方法2)设S5=k，S10=3k(k∈R，且k≠0)，由题意可得q≠-1，则S5，S10-S5，S15-S10，S20-S15成等比数列，则S15-S10=4k，S20-S15=8k，可得S15=7k，S20=15k，故.。

高中数学选择性必修二 5 3 1函数的单调性-A基础练(含答案)

5.3.1函数的单调性(1) -A 基础练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图，函数()y f x =的一个单调递减区间是（）A ．()13,x xB ．()24,x xC ．()46,x xD ．()56,x x【答案】B【详解】解：由图象可知，当()12,x x x ∈，()45,x x ，()56,x x 时，()0f x '>，当()24,x x x ∈时，()0f x '<，∴函数()f x 在()24,x x 上单调递减，在()12,x x ，()45,x x ，()56,x x 上单调递增，∴函数()y f x =的一个单调递减区间是()24,x x .故选：B ． 2．（2021·全国高二课时练）下列函数中，在其定义域上为增函数的是（） A ．4y x = B ．2x y -=C ．cos y x x =+D ．12y x =-【答案】C【详解】对于A 选项，函数4y x =为偶函数，在()0,∞+上递增，在(),0-∞上递减；对于B 选项，函数2xy -=在R 上递减；对于C 选项，1sin 0y x '=-≥在R 上恒成立，则函数cos y x x =+在其定义域R 上递增；对于D 选项，函数12y x =-在()0,∞+上递减.故选：C ．3.函数32133f x x x x =-++()的单调递增区间为 ( )A ．31-，()B ．13-，()C ．1--，()∞和3+，()∞D ．3--，()∞和1+，()∞ 【答案】B【解析】由f x ()，得2'23f x x x =-++()，令'0f x ＞()，即2230x x -++＞，得310x x -+＜()()，解得13x -＜＜，即f x ()的单调递增区间为13-，()．故选B ． 4．（2021·全国课时练习）已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】由函数()y xf x '=的图象可知：当1x <-时，()0xf x '<，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当10x -<<时，()0xf x '>，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当01x <<时，()0xf x '<，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当1x >时，()0xf x '>，()0f x '>，此时()f x 单调递增．故选：C5．（多选题）（2021·全国高二课时练）已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()'f x 的图象如图所示，则对于任意()1212,x x x x ∈≠R ，下列结论正确的是（）A ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】AD【详解】由题中图象可知，导函数()'f x 的图象在x 轴下方，即()0f x '<，且其绝对值越来越小，因此过函数()f x 图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得()f x 的大致图象如图所示．A 选项表示12x x -与()()12f x f x -异号，即()f x 图象的割线斜率()()1212f x f x x x --为负，故A 正确；B 选项表示12x x -与()()12f x f x -同号，即()f x 图象的割线斜率()()1212f x f x x x --为正，故B 不正确；122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭表示122x x +对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，()()122f x f x +表示当1x x =和2x x =时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，显然有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 不正确，D 正确．故选:AD ．6．（多选题）（2021·湖北高二期末）已知函数()cos f x x x =⋅，x ∈R ，则下列说法正确的有（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数C ．曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为0x y +=D ．在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 单调递增【答案】AC【详解】解：对A ，()cos f x x x =⋅的定义域为R 关于原点对称，()()()cos cos f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，故()f x 是奇函数，即A 正确；对B ，若()f x 是周期函数，则存在非零常数T ，使f x Tf x ，()()()()()cos cos cos f x T x T x T x x T T x T +=+⋅+=+++，易知：不存在非零常数T ，使f x Tf x ，故()f x 不是周期函数；故B 错误；对C ，()cos sin f x x x x '=-，()cos sin 1f ππππ'=-=-，又()cos f ππππ=⋅=-，故()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为：()()y x ππ--=--，即0x y +=，故C 正确；对D ，()cos sin f x x x x '=-，当,,cos 0,sin 02πx πx x ⎛⎫∈<> ⎪⎝⎭，故()0f x '<，故在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 单调递减.故选：AC.二、填空题7．（2020·山东泰安一中高二期中）函数2sin y x x =+的单调增区间为___________【答案】(,)-∞+∞【详解】'2cos y x =+，[]cos 1,1x ∈-，∴'0y >在R 上恒成立，所以函数的单调增区间为(),-∞+∞8．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练）函数y ＝x 2－4ln x 的单调递减区间是________．【答案】（02【详解】∵y′=2x ﹣4x，令y′＜0，解得：0＜x 2 9．（2021·全国高二课时练）已知()f x 满足(4)(2)1,()f f f x '=-=为其导函数，且导函数()y f x '=的图象如图所示，则()1f x <的解集是_________．【答案】(2,4)-【详解】解：由()f x 的导函数()'f x 的图象知：()f x 在(],0-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，当0x ≤时，由()1(2)f x f <=-，得20x -<≤，当0x >时，由()1(4)f x f <=，得04x <<，综上所述：()1f x <的解集为(2,4)-．故答案为：(2,4)-.10．（2020·上海高二课时练习）若函数2()23f x x ax =-+在区间[1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(,1]-∞【详解】函数2()23f x x ax =-+的对称轴为x a =，且函数开口向上，∴1a ≤，故答案为：(,1]-∞.三、解答题11．（2021·全国高二课时练）求下列函数的单调区间．（1）2()32ln f x x x =-；（2）2()xf x x e -=⋅；（3）1()f x x x=+．【详解】（1）易知函数的定义域为(0,)+∞．2()6f x x x =-'，令()0f x '=，解得1233x x ==-（舍去），用1x 分割定义域，得下表：∴函数()f x 的单调递减区间为0,3⎛ ⎝⎭，单调递增区间为3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭．（2）易知函数的定义域为(,)-∞+∞．()()()2222()22x x x x x f x x e x e xe x e e x x -----''=+=-=-'⋅，令()0f x '=，得0x =或2x =，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：∴()f x 的单调递减区间为(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间为(0,2)．（3）易知函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞．21()1f x x'=-，令()0f x '=，得1x =-或1x =，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：∴函数()f x 的单调递减区间为(1,0)-和(0,1)，单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞．12．（2020·福建三明一中高二月考）已知函数()31f x x ax =--.（1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. （2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值.【详解】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立，所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞ （2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得x <所以()f x 的单调递减区间为(，又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(=(1,1)-，1，即3a =.。

高二数学必修一复习知识点笔记

高二数学必修一复习知识点笔记1.高二数学必修一复习知识点笔记篇一空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b 平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

2.高二数学必修一复习知识点笔记篇二数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.高二数学必修一复习知识点笔记篇三函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.4.高二数学必修一复习知识点笔记篇四向量的计算1.加法交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2022版高中数学第一章数列1、1数列的概念1、2数列的函数特性基础训练北师大版必修5

数列的概念数列的函数特性基础过关练题组一对数列概念的理解1.下列说法正确的是 ( ) A.1,2,3,4,…,n 是无穷数列B.数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C.同一个数在数列中不能重复出现D.数列{2n +1}的第6项是13 2.下面四个结论:①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n })上的函数; ②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点; ③数列的项数是无限的; ④数列的通项公式是唯一的.其中正确的是 ( ) A.①② B.①②③ C.②④ D.①②③④ 题组二数列的通项公式3.数列23,45,67,89,…的第10项是 ( )A.1617B.1819C.2021D.22234.(2019山东菏泽高二期末)设a n =1n +1n +1+1n +2+1n +3+…+1n 2(n ∈N +),则a 2= ( )A.12B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+155.(2020河南南阳高二下期中)已知数列√2,2,2√2,4,…,则16√2是这个数列的(深度解析) A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项6.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的通项公式为 ( )A.a n =19(10n-1) B.a n =29(10n-1)C.a n =13(1-110n )D.a n =310(10n-1)7.如图是关于星星的图案,每个图案中的星星数可构成一个数列,则该数列的一个通项公式是 ( )A.a n =n 2-n +1 B.a n =n (n -1)2C.a n =n (n +1)2D.a n =n (n +2)28.下列各数中,是数列{n (n +1)}中的一项的是 ( ) A .380 B .29 C .32 D .239.设a n =1n +1+1n +2+1n +3+…+12n (n ∈N +),那么a n +1-a n 等于 ( ) A.12n +1 B.12n +2C.12n +1+12n +2D.12n +1-12n +210.数列4,6,8,10,…的一个通项公式为 . 题组三数列的性质11.已知数列{a n }的通项公式是a n =n3n +1,那么这个数列是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列12.设函数f (x )={(3-n )n -3,n ≤7,n n -6,n >7,数列{a n }满足a n =f (n ),n ∈N +,且数列{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是 ( )A.(94,3)B.[94,3) C.(1,3) D.(2,3)13.若数列{a n }为递减数列,则{a n }的通项公式可能为 (填序号). ①a n =-2n +1;②a n =-n 2+3n +1;③a n =12n;④a n =(-1)n.能力提升练一、选择题 1.()给出以下通项公式:①a n =√22[1-(-1)n];②a n =√1-(-1)n;③a n ={√2,n 为奇数,0,n 为偶数.其中可以作为数列√2,0,√2,0,√2,0,…的通项公式的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③2.(2021陕西西安一中高二上第一次月考,)已知数列{a n }中,a 1=1,(n +1)a n =na n +1,则a 12=( )A.11B.12C.13D.14 3.()把3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图),则第7个三角形数是( )A.28B.29C.32D.36 4.()已知数列{a n }中,a 1=3,a n +1=-1nn +1(n ∈N +),能使a n =3的n 可以为 ( )A.17B.16C.15D.14 5.(2019山东烟台招远一中高二月考,)已知a n =n -√79n -√80(n ∈N +),则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是 ( ) A.a 1,a 50 B.a 1,a 8 C.a 8,a 9 D.a 9,a 50 6.()在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +lg (1+1n),则a n =( )A.2+lg nB.2+(n -1)lg nC.2+n lg nD.1+n lg n 二、填空题 7.()斐波那契数列(Fibonaccisequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,…,则该数列的第12项为 .8.(2020安徽宣城高一下期末,)已知a n =n 2-tn +2020(n ∈N +,t ∈R),若数列{a n }中的最小项为第3项,则t 的取值范围为 .易错 9.()某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形,则f (6)= .……10.()在数列{a n }中,a 1=a ,a 2=b ,a n +1+a n -1=a n (n ≥2且n ∈N +),则a 2020= .三、解答题 11.()写出下列数列的一个通项公式.(1)-11+1,14+1,-19+1,116+1,…; (2)2,3,5,9,17,33,…; (3)12,25,310,417,…;(4)-13,18,-115,124,….12.()在数列{a n }中,a n =(n +1)(1011)n.(1)讨论数列{a n }的单调性; (2)求数列{a n }的最大项.答案全解全析第一章数列 §1 数列 1.1 数列的概念1.2 数列的函数特性基础过关练1.D 数列1,2,3,4,…,n ,共n 项,是有穷数列,A 错误;数列中的项是有次序的,B 错误; 数列中的数可以重复出现,C 错误;当n =6时,2×6+1=13,D 正确.2.A 易知①②正确;数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,③错;数列的通项公式可能不唯一,比如数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项公式可以是a n =sinn π2,也可以是a n =cos(n +3)π2,④错.故选A .3.C 由题意知数列的通项公式是a n =2n2n +1(n ∈N +),所以a 10=2×102×10+1=2021.故选C . 4.C ∵a n =1n +1n +1+1n +2+1n +3+…+1n 2(n ∈N +),∴a 2=12+13+14.故选C .5.B 可将数列改写为√2,(√2)2,(√2)3,(√2)4,…,由此可归纳出该数列的通项公式为a n =(√2)n ,又16√2=(√2)9,所以其为该数列的第9项. 方法总结要判断某一个数是不是数列中的项,其实就是看相应方程有没有正整数解.6.C 数列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的通项公式为1-110n ,而数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的每一项都是上面数列对应项的13,故选C .7.C 从题图中可观察星星的构成规律,当n =1时,有1个;当n =2时,有3个;当n =3时,有6个;当n =4时,有10个;……, ∴a n =n (n +1)2.故选C .8.A 令380=n (n +1),即n 2+n -380=0, 解得n =19或n =-20(舍去), 所以380是{n (n +1)}中的第19项. 同理,可检验B 、C 、D 不是该数列中的项.9.D 由题意知a n +1=1n +2+1n +3+…+12n +12n +1+12n +2,所以a n +1-a n =12n +1-12n +2. 10.答案 a n =2n +2解析各项是从4开始的偶数,所以a n =2n +2. 11.A 因为a n =n 3n +1=13(3n +1)-133n +1=13-13(3n +1)是关于n 的增函数,所以数列{a n }是递增数列.12.D 由a n =f (n ),n ∈N +是递增数列可得{3-n >0,n >1,n (8)>n (7),即{3-n >0,n >1,n 2>18-7n ,解得2<a <3.13.答案 ①③解析分别作出函数y =-2n +1和y =12n的图像(图略),由图像可知①③中的数列{a n }为递减数列.②中第1项和第2项相等,故不是递减数列.④是摆动数列.能力提升练一、选择题1.D 经代入检验,①②③均可作为已知数列的通项公式.2.B ∵(n +1)a n =na n +1,∴n n n =nn +1n +1, ∴数列{n n n }是常数列,nn n =n 11=1,∴a n =n ,∴a 12=12.故选B.3.D 设3,6,10,15,21,…为数列{a n },则a n =(n +1)(n +2)2,当n =7时,a 7=8×92=36.4.B 由a 1=3,a n +1=-1n n+1,得a 2=-14,a 3=-43,a 4=3,所以数列{a n }是周期为3的周期数列,则由选项知a 16=3,故选B . 5.C 因为y =√79n -√80=1+√80-√79n -√80在(-∞,√80)上单调递减,在(√80,+∞)上单调递减,所以当x ∈(-∞,√80)时y ∈(-∞,1),此时a n ∈[a 8,a 1]⊆(-∞,1),当x ∈(√80,+∞)时y ∈(1,+∞),此时a n ∈[a 50,a 9]⊆(1,+∞),因此数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别为a 8,a 9. 6.A 解法一:由已知得a n +1-a n =lgn +1n, 所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =lgn n -1+lg n -1n -2+lg n -2n -3+…+lg 21+2 =lg (nn -1×n -1n -2×n -2n -3×…×32×21)+2 =2+lg n.解法二:由a n +1=a n +lg (1+1n )得a n +1=a n +lg(n +1)-lg n ,所以a n +1-lg(n +1)=a n -lg n =a 1-lg1=2,即数列{a n -lg n }是常数列,且a n -lg n =2,所以a n =2+lg n. 二、填空题 7.答案 89信息提取 ①该数列的前9项分别为0,1,1,2,3,5,8,13,21;②求该数列的第12项.数学建模本题为涉及数学文化的情境题,从“兔子数列”的前几项入手,挖掘出其内在规律:从第3项起,每1项均等于前面两项之和,便可求得其第12项.解析记“兔子数列”为{a n },则a 10=a 8+a 9=13+21=34,a 11=a 9+a 10=21+34=55,a 12=a 10+a 11=34+55=89,即第12项为89.8.答案 (5,7)解析函数y =x 2-tx +2020的图像是开口向上的抛物线,其对称轴为直线x =n2,因为数列{a n }中最小项为第3项, 所以52<n 2<72,解得5<t <7. 易错警示将数列的通项a n 看作是关于n 的函数时,要特别注意以下两点:一是其相应的函数图像是由一群离散的点组成的,二是其定义域为正整数集或正整数集的子集. 9.答案 61解析 f (1)=1=2×1×0+1,f (2)=1+3+1=2×2×1+1, f (3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1, f (4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1,故f (n )=2n (n -1)+1.当n =6时,f (6)=2×6×5+1=61. 10.答案 -a解析由已知得a n +1=a n -a n -1,所以a 3=a 2-a 1=b -a ,a 4=a 3-a 2=-a ,a 5=a 4-a 3=-b ,a 6=a 5-a 4=a -b ,a 7=a 6-a 5=a ,……, 所以数列{a n }是以6为周期的周期数列,而2020=336×6+4,所以a 2020=a 4=-a. 三、解答题11.解析 (1)∵第n 项的符号为(-1)n ,分子都是1,分母是n 2+1, ∴a n =(-1)n·1n 2+1.(2)∵a 1=2=1+1,a 2=3=2+1,a 3=5=22+1,a 4=9=23+1,a 5=17=24+1,a 6=33=25+1,……,∴a n =2n -1+1. (3)∵a 1=12=112+1,a 2=25=222+1,a 3=310=332+1,a 4=417=442+1,……,∴a n =n n 2+1.(4)∵a 1=-13=-11×3,a 2=18=12×4,a 3=-115=-13×5,a 4=124=14×6,……,∴a n =(-1)n·1n (n +2).12.解析 (1)由题意知a n >0,令n nn n -1>1(n ≥2), 即(n +1)(1011)n n (1011)n -1>1(n ≥2),解得2≤n <10,即a 9>a 8>…>a 1. 令n nnn +1>1,即(n +1)(1011)n (n +2)(1011)n +1>1,整理,得n +1n +2>1011,解得n >9,即a 10>a 11>….又n 9n 10=1,所以数列{a n }从第1项到第9项递增,从第10项起递减.(2)由(1)知a 9=a 10=1010119最大.。

高二数学(文科)练习(必修5 选修1-1)期末复习辅导2

高二数学（文科）练习（必修5+选修1-1）一．选择题：（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。

每题5分，满分50分） 1．在△ABC 中，2,2,6a b B π===，则A 等于（）A ．4πB ．4π或34π C ．3πD ． 34π2．椭圆2211625xy+=的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若12P F =，则=2PF （）A.2B.4C.6D.83．函数y =x 2cos x 的导数为（） A ．y ′=x 2cos x -2x sin xB ．y ′=2x cos x -x 2sin xC ． y ′=2x cos x +x 2sin xD ．y ′=x cos x -x 2sin x5．若a 、b 为正实数，则a b >是22a b >的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4．与直线14-=x y 平行的曲线3y x x =+的切线方程是（）A. 04=-y xB. 420x y -+=或024=--y xC. 024=--y xD. 04=-y x 或044=--y x6．经过点)62,62(-M 且与双曲线22134yx-=有共同渐近线的双曲线方程为（）A ．18622=-xyB ．16822=-xyC ．16822=-y xD ． 18622=-y x7．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（） A ．所有被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个奇数，不能被5整除D ．存在一个被5整除的整数不是奇数8．已知数列10,4,,2(31)n - ，则8是此数列的第（）项：A ．10B ．11C ．12D ．13 9．抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标是（）A ．)4,0(aB ．)41,0(a-C ．)41,0(aD ． )0,41(a10．在A B C ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+ 则A B C ∆的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形二．填空题：（将答案填写在题后的横线上，每题5分，满分20分） 11．二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是_______________________．12．已知32()32f x ax x =++且(1)4f '-=，则实数a 的值等于_________；13．等差数列{}n a 中，14258,12,a a a a +=+=则这数列的前10项和为_________；14．到定直线L ：x =3的距离与到定点A （4，0）的距离比是23的点的轨迹方程是。

高二选择性数学必修一知识点复习

高二选择性数学必修一知识点复习1.高二选择性数学必修一知识点复习篇一分层抽样先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

两种方法1.先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。

2.先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。

3.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准(1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。

(2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。

(3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。

分层的比例问题(1)按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。

(2)不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。

如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。

2.高二选择性数学必修一知识点复习篇二1.辗转相除法是用于求公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法.2.所谓辗转相法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数.若余数不为零，则将较小的数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的除数就是原来两个数的公约数.3.更相减损术是一种求两数公约数的方法.其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数就是所求的公约数.4.秦九韶算法是一种用于计算一元二次多项式的值的方法.5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.“满进一”，就是k进制，进制的基数是k.7.将进制的数化为十进制数的方法是：先将进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果.8.将十进制数化为进制数的方法是：除k取余法.即用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数就是相应的进制数.3.高二选择性数学必修一知识点复习篇三空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

人教B高二文科数学月考(必修1-5_选修1-2)

一、选择题（本大题12题，每小题5分，共计60分）1．已知全集=⋃≤=≤==)(},12|{},0lg |{,B A C x B x x A R U U x则集合（）A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2． m 和n 都是实数，且ni i m +=+11)1(，则2009)(ni m ni m -+等于（）A ．i B ．i - C ．1D ．-13．已知函数()sin()(,0)4f x x x ωωπ=+∈>R 的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A.向左平移8π个单位长度B.向右平移8π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向右平移4π个单位长度4．正项等比数列{}n a 中，若2298log ()4a a =，则4060a a 等于( )A. -16B. 10C. 16D. 2565．根据右边程序框图，当输入10时，输出的是（）A ．12 B ．19 C ．1.14 D ．30-6．ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知sin 1B =，向量()a b =，， (12)=，。

若q p //，则C ∠角的大小为（）A ． 6πB ．3π C ． 2π D ． 32π7.已知直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题①若m l ⊥则,//βα；②若βα//,则m l ⊥；③若m l //,则βα⊥；④若βα⊥则,//m l 其中正确命题的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D.38下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过(,)x y ； ④在一个2×2列联中，由计算得213.079K =则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是（）A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．若直线032:1:22=--++=x y x C kx y l 被圆截得的弦最短，则直线l 的方程是（）A ．0=xB ．1=yC ．01=-+y xD ．01=+-y x .10. ．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中恰有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A ．假设,,a b c 都是偶数B ．假设,,a b c 都是奇数C ．假设,,a b c 至少有两个偶数D ．假设,,a b c 都是奇数或至少有两个偶数11过圆01022=-+x y x 内一点)3,5(p 的k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为数列的末项k a ，若公差11[,]32d ∈,则k 的取值不可能（）A.4 B.5 C.6 D.7 12．定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当]3,1[∈x 时，)(x f |2|2--=x ,则（）A ．)32(cos )32(sinππf f > B ．)1(cos )1(sin f f >C ．)6(tan )3(tan f f < D ．)2(cos )2(sin f f <二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共计20分）13．若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为． 14.一空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积________.15．设不等式组0,02036x y x y x y -+-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为D ，若直线0kx y k -+=上存在区域D 上的点，则k 的取值范围是．16．在区间[1，4]上任取实数a ，在区间[0，3]上任取实数b ，使函数b x ax x f ++=2)(有两个相异零点的概率是．三、计算题(每题14分)17．在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若()sin 2A B +=sin A 的值 18．如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点．（1）求证：PB//平面ACE ；（2）若四面体E ACD -的体积为23，求AB 的长.19．已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2n S n =．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列()n n b f x a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的前n 项和．20、已知复数2z =，（1）求20092z i 的值；（2）若21z a i bi +++=+，求实数,a b 的值.21．已知向量),cos ,cos 3(),cos ,(sin x x b x x a =-=设函数()12f x a b =-⋅ ；(1)写出函数()f x 的单调递增区间； (2)若x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππ求函数()x f 的最值及对应的x 的值； (3)若不等式m x f >)(在x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππ恒成立，求实数m 的取值范。

第3章空间向量及其应用-高二数学单元复习(沪教版2020选择性必修第一册)

轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).
→
→
因为AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)，
→ →
→ →
所以AC·BC1＝0，所以AC⊥BC1，即 AC⊥BC1.
3 考点突破
考点2、利用空间向量证明位置关系
，0，

2
2
1

3

→
3
→
1 → 1
3

∴AC ＝，，0， AB ＝，0，，DC＝－，，0，
2
2

2
2
2
2

设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
3 考点突破
考点3、利用空间向量计算距离
→
3 1
n·
AB
＝

2 x＋2z＝0，
5
→ →
同理，DH·PF＝x＋ y－z＝0，
4
4
9
又 x＋y＋z＝1，解得 x＝y＝17，z＝17.
3
→ 3
→
所以DH＝ (2,2,3)，所以|DH|＝
17.
17
17
3
因此，点 D 到平面 PEF 的距离为17 17.
3 考点突破
考点3、利用空间向量计算距离
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解
由题意得，AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离
3 考点突破
→
→
→ →
1
1
若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则 x＝___，y＝____.

高中数学第1章数列等差数列的前n项和同步练习湘教版选择性必修第一册

1.2.3 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和A级必备知识基础练1.(2022江苏常州中学高二期中)记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6=31，S7=77，则数列{a n}的公差为()A.2B.3C.4D.62.(2022广东东莞高二期末)在等差数列{a n}中，S3=6，S5=20，则a4=()A.2B.4C.6D.83.(2022江西景德镇一中高二期中)等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=2，a4-a2=2，则S5=()A.21B.15C.10D.64.在等差数列{a n}中，若S10=4S5，则等于()A. B.2C. D.45.(2022贵州瓮安第二中学高一月考)一百零八塔，因塔群的塔数而得名，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，….若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有() A.10层 B.11层C.12层D.13层6.(多选题)已知等差数列{a n}，S n是其前n项和，若S10=a10=10，则()A.a1=-8B.a5=0C.S5=18D.S5=-207.某公司经销一种数码产品，第1年获得的利润为200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，若该公司不调整经营策略，则a n(a n为第n 年获得的利润)与n的关系为，S n(S n为前n年获得利润的总和)与n的关系为.8.为了参加学校的长跑比赛，某学校高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3 600米，最后三天共跑了10 800米，求这15天小李同学总共跑的路程.B级关键能力提升练9.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4n2-10n，则a2a6=()A.52B.68C.96D.10810.(2022江苏连云港高二期末)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为()A. B. C. D.11.(多选题)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0，a5=5，则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=n2-4nD.S n=n2-2n12.(多选题)(2022山东滨州高二期末)在等差数列{a n}中，已知a3=10，a11=-6，S n是其前n项和，则()A.a7=2B.S10=54C.d=-2D.13.(2022江西重点中学协作体高二联考)汉代将1 000枚铜钱用缗(丝绳或麻绳)串起来，称为一“缗”(mīn，音岷)，再放在一起成为一堆.为清点一批铜钱的数目，工作者先将其串成缗，并在最底层放置70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这堆铜钱共有缗.14.已知等差数列110，116，122，…，则该数列共有项位于区间[450，600]内.15.(2022广东广州高二期末)从①a4+a5=-4，②a2+a6=-6，③S7=14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值;若k不存在，说明理由.问题:已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a7=3.若，则是否存在k，使得S k-1>S k且S k<S k+1?C级学科素养创新练16.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=-a5.(1)若a3=4，求{a n}的通项公式a n;(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围.参考答案1.2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和1.B∵a5+a6=31，S7=77，∴解得d=3，故选B.2.C设等差数列{a n}的公差为d，则解得所以a4=a1+3d=6，故选C.3.C设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3=2，a4-a2=2，∴2a1+2d=2，2d=2，解得a1=0，d=1，则S5=0+×1=10.故选C.4.A由题意得10a1+×10×9d=45a1+×5×4d，即10a1+45d=20a1+40d，即10a1=5d，则.5.C设塔群共有n层，依山势自上而下各层的塔数构成的数列为{a n}，前n项和为S n.依题意，得a5，a6，…，a n成等差数列，且公差为2，a5=5，所以S n=1+3+3+5+5(n-4)+×2=108，解得n=12或n=-8(舍).6.ABD设数列{a n}的公差为d，由题意可得解得所以a5=a1+4d=-8+4×2=0，S5=5a1+d=5×(-8)+10×2=-20，故选ABD.7.a n=-20n+220S n=-10n2+210依题意，每年获得的利润依次排成一列构成等差数列{a n}，且首项a1=200，公差d=-20，于是得a n=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.S n==-10n2+210.8.解设小李第n天跑a n米，则数列{a n}是等差数列，设{a n}的公差为d.∵小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，∴a1+a2+a3+a13+a14+a15=3600+10800=14400，∴a1+a15=4800.∴这15天小李同学总共跑的路程为S15=(a1+a15)=×4800=36000米.9.B由题意，数列{a n}满足S n=4n2-10n，当n≥2时，a n=S n-S n-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14，所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.故选B.10.A设5人分到的面包数量从小到大记为{a n}，{a n}的公差为d，依题意可得S5==5a3=100，得a3=20.∵a3+a4+a5=7(a1+a2)，∴60+3d=7(40-3d)，解得d=.∴a5=a3+2d=20+.故选A.11.AC设等差数列{a n}的公差为d，由S4=0，a5=5，得解得所以a n=2n-5，S n=n2-4n，故选AC.12.ACD设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=10，a11=-6，∴a1+2d=10，a1+10d=-6，解得a1=14，d=-2.∴S n=14n+×(-2)=15n-n2.∴a7=14-2×6=2，S10=15×10-102=50，=15-7-(15-8)=1>0，即.故选ACD.13.2 020由题意知，这堆铜钱的缗数从上到下构成以31为首项、以1为公差的等差数列，且末项为70，设这堆铜钱摆放了n层，故70=31+(n-1)×1，解得n=40，所以共有40层，故这堆铜钱共有=2020缗.14.25设所求等差数列为{a n}，由题意可知数列{a n}的首项为110，公差为116-110=6，则a n=110+6(n-1)=6n+104.解不等式450≤6n+104≤600，得≤n≤，因此，该数列位于[450，600]内的项从第58项起直至第82项，共有25项.15.解若存在k，使得S k-1>S k且S k<S k+1，则a k<0，a k+1>0.设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.若选择条件①:由解得所以a n=-9+2(n-1)=2n-11.令a n<0，得n<，所以当k=5时，满足a5<0，a6>0，所以k=5满足题意.若选择条件②:由解得所以a n=-9+2(n-1)=2n-11.由a n<0，得n<.所以当k=5时，满足a5<0，a6>0，所以k=5满足题意.若选择条件③:由解得所以a n=1+(n-1)=n+.易知a n>0恒成立，所以不存在满足条件的k.16.解(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为S9=-a5，所以=-a5，可得a5=0.因为a3=4，所以d==-2.故a n=a3+(n-3)d=-2n+10.(2)若S n≥a n，则na1+d≥a1+(n-1)d.当n=1时，不等式成立;当n≥2时，有≥d-a1，变形可得(n-2)d≥-2a1.又a5=0，即a1+4d=0，则有(n-2)≥-2a1.因为a1>0，所以n≤10.则有2≤n≤10.综上可得，n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N+}.。

高中数学第1章数列数列的概念第1课时数列的概念同步练习湘教版选择性必修第一册

1.1 数列的概念第1课时数列的概念A级必备知识基础练1.(2022江苏仪征二中高二月考)已知数列，…，，…，则5是这个数列中的()A.第12项B.第13项C.第14项D.第25项2.已知数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(n+1)，则a1+a2+a3+…+a10等于()A.-55B.-5C.5D.553.(2022山东烟台高二期末)下列各式可作为数列2，-4，6，-8，…的一个通项公式的是()A.a n=(-1)n·2nB.a n=(-1)n+1·2nC.a n=(-1)n·2nD.a n=(-1)n+1·2n4.(多选题)已知数列的通项公式为a n=n2-8n+15，则3可以是()A.数列{a n}中的第1项B.数列{a n}中的第2项C.数列{a n}中的第4项D.数列{a n}中的第6项5.下列各式可作为数列-，…的一个通项公式的是()A.a n=B.a n=C.a n=D.a n=6.已知数列{a n}的通项公式为a n=cn+(n∈N+，c，d∈R)，且a2=，a4=，则a n= ，a10= .7.(2022辽宁阜新高二期末)写出一个同时具有下列性质①②③的数列{a n}，①无穷数列;②数列中的项依次减小;③每一项都是正数，则a n= .8.在数列{a n}中，a n=-2n2+9n+3.(1)-107是不是该数列中的某一项?若是，是第几项?(2)求数列中的最大项.B级关键能力提升练9.已知数列{a n}的通项公式为a n=则a2a3等于()A.70B.28C.20D.810.(2022江苏南京高二月考)数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n，若该数列的第k项a k满足40<a k<70，则k的值为()A.3B.4C.5D.611.(多选题)已知数列{a n}的通项公式为a n=9-2n，则下列各数是{a n}中的项的是()A.7B.0C.3D.512.观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项等于()A.1 111B.11C.ln 11D.sin 1113.下列数列中，156是其中一项的是()A.{n2+1}B.{n2-1}C.{n2+n}D.{n2+n-1}14.已知数列{a n}的通项公式为a n=，则满足a n+1<a n的n的值为.15.若数列{a n}的通项公式为a n=，则满足a n<的最小的n的值为.16.已知数列{a n}的通项公式为a n=.(1)求这个数列的第10项.(2)在区间内是否存在数列中的项?若存在，有几项?若不存在，说明理由.C级学科素养创新练17.(多选题)已知数列{a n}的通项公式为a n=2n，∀i，j∈N+，下列仍是数列{a n}中的项的是()A.a i+j+a iB.a i+j-a iC.a i+j a iD.18.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题:将2至2 017这 2 016 个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，求此数列的项数.参考答案第1章数列1.1数列的概念第1课时数列的概念1.A由题意得数列的通项公式为a n=，当a n==5时，解得n=12，所以5是这个数列中的第12项，故选A.2.C a1+a2+a3+…+a10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5.3.B根据题意，数列的前4项为1×2×1，(-1)×2×2，1×2×3，(-1)×2×4，由此可得它的一个通项公式为a n=(-1)n+1·2n，故选B.4.BD根据题意，数列的通项公式为a n=n2-8n+15，令a n=n2-8n+15=3，解得n=2或n=6，即3是数列的第2项或第6项，故选BD.5.D因为这个数列的前4项为(-1)1·，(-1)2·，(-1)3·，(-1)4·，由此得到它的一个通项公式，故选D.6.由题意可得解得∴a n=，∴a10=.7.(答案不唯一)8.解(1)令-107=a n=-2n2+9n+3，解得n=10n=-舍去.故-107是该数列中的项，并且是第10项.(2)a n=-2n-2+，故当n=2时，a n取得最大值13.即该数列的最大项是第2项，为13.9.C根据题意，数列{a n}的通项公式为a n=则a2=2×2-2=2，a3=3×3+1=10，则a2a3=20，故选C.10.C根据题意，{a n}的通项公式为a n=2n+2n，若该数列的第k项a k满足40<a k<70，则有40<2k+2k<70，又由k∈N+，得k=5，故选C.11.ACD令a n=9-2n=7，得n=1，故A正确.令a n=9-2n=0，∵n∈N+，∴无解，故B错误.令a n=9-2n=3，得n=3，故C正确.令a n=9-2n=5，得n=2，故D正确.故选ACD.12.C13.C若数列为{n2+1}，则有n2+1=156，无正整数解，不符合题意;若数列为{n2-1}，则有n2-1=156，无正整数解，不符合题意;若数列为{n2+n}，则有n2+n=156，解得n=12或-13(舍)，有正整数解n=12，符合题意;若数列为{n2+n-1}，则有n2+n-1=156，无正整数解，不符合题意.故选C.14.5由a n+1<a n，得a n+1-a n=<0，解得<n<.又n∈N+，所以n=5.15.1 011∵a n=，∴a n<⇒n>1010.又n为正整数，故满足a n<的最小的n的值为1011.16.解(1)根据题意，数列{a n}的通项公式为a n=，则a10=.(2)根据题意，，解得<n<，又因为n为正整数，所以n=2，则在区间内只存在数列的一项.17.CD∵a n=2n，∀i，j∈N+，∴a i+j+a i=2i+j+2i=2i(2j+1)∉{a n}，a i+j-a i=2i+j-2i=2i(2j-1)∉{a n}，a i+j a i=2i+j·2i=∈{a n}，=2j=a j∈{a n}，故选CD.18.解能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n=15n-14.由a n=15n-14≤2017，得n≤135.4，当n=1时，此时a1=1，不符合，故此数列的项数为135-1=134.。

第1章数列(单元复习课件)高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)

(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
由(1)可得an＝4n－1，an＋1＝4n，所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n) ＝4n－3 1＋nn2＋1.
⑧(－1)nlog3[n(n＋1)]＝(－1)n[log3n＋log3(n＋1)]；
⑨(－1)n2n－14n2n＋1＝(－1)n2n1－1＋2n1＋1.
【例7】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn，
A.4
B.5
C.6
D.7
设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20，
由题意知，d>0，故a>0，b>0，所以(a＋b)1a＋1b6＝1＋16＋ba＋1b6a≥17＋2 ba·1b6a＝25，即1a＋1b6≥2250＝54，当且仅当ba＝1b6a，即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1
题型突破
题型一：等差数列的有关计算
等差数列的计算技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为 d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可解决等差数列的有关问题.另外亦可用等差中项及性质找到项与项之间的关系进行解题，此种解法计算量较小. (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7 项、…时，可同理设出. (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出.

寒假新课标高中数学必修1-5基础知识练习100题含答案

新课标高中数学必修1-5基础知识练习100题1. 集合{}2,1,12--x x 中的x 不能取的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.52. 集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 3. 已知集合{}2),(=+=y x y x M ，{}4),(=-=y x y x N ,那么集合N M 为（）A ．1,3-==y x B.)1,3(- C.{}1,3- D.{})1,3(- 4、设全集I={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，4}，则M C I =（）A φB {4}C {1，3}D {2，5}5、已知集合}23{<<-=x x M ，}2{-<=x x P 则=⋃P M （） A 、}2{<x x B 、R C 、}23|{-<-x x D 、 }22|{<<x x6. 下列各组函数表示同一函数的是（）Ａ.11)(2--=x x x f 与1)(+=x x g Ｂ.32)(x x f -=与x x x g 2)(-⋅=Ｃ.x x f =)(与2)()(x x g = Ｄ.12)(2--=x x x f 与12)(2--=t t t g 7.二次函数222+-=x x y 的值域是（）Ａ.R Ｂ.φ Ｃ.),0[+∞ Ｄ.),1[+∞ 8. 函数()Z x x x x y ∈≤≤--=,412的值域是（）Ａ.[]12,0 Ｂ.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,41 Ｃ.{}12,6,2,0 Ｄ.{}12,6,2 9.下列函数为奇函数的是( ) A ．1+=x y B ．2x y = C ．x x y +=2 D ．3x y =10.下列函数中，在区间),0(+∞上是增函数的是（） A.42+-=x y B.x y -=3 C.xy 1=D.x y = 11．化简［32)5(-］43的结果为 ( ) A ．5 B.5 C.－5 D ．－512．下列等式一定成立的是 ( ) A ． a a a =⋅2331 B ．02121=⋅-a aC ．2332)()(a a -=-D ．613121a a =÷13.若—1<x<0，则下列各式成立的是( )A 、x x x 2.0)21(2>>B 、x x x 2)21(2.0>> C 、x x x 22.0)21(>> D 、xx x )21()21(2>>14.若xa y )1(-=在R 上是减函数，则a 的取值范围是（） A .()+∞,1 B.()1,0 C.()1,∞- D.)1,1(-15. 若c b a =5log ，则下列关系正确的是（）A.c a b 5=B. c a b =5C. c a b 5=D.ac b 5=16. 5lg 38lg +的值 ( ) A.3- B.1- C.1 D.3 17.下列函数中既是偶函数又在)0,(-∞上是增函数的是（）A.34x y =B. 23x y =C. 2-=x yD. 41x y = 18.函数()x f 2522+-=x x 的零点有（） A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定 19若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，说法正确的是（）A 若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B 若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C 若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D 若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；20.函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是 ( ) A [0,1] B [1,2] C [2,3] D [3,4]21、直线x+2y+3=0的斜率和在y 轴上的截距分别是( ) A ．21-和－3 B ．21和－3 C ．21-和23 D ．21-和23-22.直线013=+-y x 的倾斜角是（）.A.030 B. 060 C. 0120 D. 015023.直线l 经过两点()2,1A 、()4,3B ，那么直线l 的斜率是( ) Ａ．1- Ｂ．3- Ｃ。

312 椭圆的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)

3.1.2椭圆的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一椭圆的范围以椭圆22221(0)x y a b a b +=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||x a y b ≤≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内（如图2．2-8）．拓展（1）确定了曲线的范围后，用描点法作图时，就可以不取范围之外的点了，在解析几何中，讨论曲线的范围就是确定方程中变量的取值范围．（2）如果将椭圆的标准方程22221(0)x y a b a b+=>>变形为y =，那么这个椭圆的方程可以分成y =，y =两个函数式，研究椭圆的范围，就是讨论这两个函数的定义域和值域，这也是讨论椭圆范围的一种方法．知识点二椭圆的对称性以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．1．椭圆的对称轴：坐标轴．2．椭圆的对称中心：原点(0,0)O ，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．提示：（1）在方程22221(0)x y a b a b+=>>中，将x 换成x -，方程显然不变，这就是说椭圆上的点(,)x y 关于y 轴的对称点(,)x y -也在椭圆上，故椭圆关于y 轴对称；将方程中的y 换成y -，方程也不变，故椭圆关于x 轴对称；同理，将,x y 分别换成,x y --时，方程也不变，故椭圆关于原点对称．（2）椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及它的垂直平分线．（3）椭圆关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，原点为椭圆的中心．知识点三椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．1．椭圆的顶点令0x =，得y b =±，令0y =，得x a =±．这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 的两个交点，因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点．这四个交点叫做椭圆的顶点．2．椭圆的长轴、短轴线段12A A 叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段12B B 叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．提示明确,a b 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，由222c a b =-，得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法，只要以短轴的端点1B （或2B ）为圆心，以a 为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．知识点四椭圆的离心率1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作22c c e a a==．2．范围：因为0a c >>，所以01ca<<，即(0,1)e ∈．拓展对椭圆离心率的理解（1）01e <<，越趋近于1，椭圆越扁；越趋近于0，椭圆越接近于圆．（2）当趋近于0时，c 趋近于0，椭圆变圆，直至成为圆，此时也可认为圆在椭圆在0e =时的特例．（3）当趋近于1时，c 趋近于a ，椭圆变扁，直至成为线段12F F ，此时也可认为12F F 为椭圆在1e =时的特例．（4）2221b e a=-．知识点五直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的三种位置关系：（1）相交；（2）相切；（3）相离．2．直线与椭圆的位置关系的判断；直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x （或y ）的一元二次方程的判别式∆来判定；0∆>⇔直线与椭圆相交；0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆<⇔直线与椭圆相离．3．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦，若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线被椭圆所截得的弦长公式为12|||AB x x =-或12|||AB y y =-．考点一由方程求椭圆的几何性质例1．求椭圆22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．解：将椭圆的方程化为标准形式为221259x y +=，得5,3a b ==，则4c ==因此，长轴长210a =，短轴长26b =，离心率40.85c e a ===．焦点坐标为1(4,0)F -和2(4,0)F ，顶点坐标为1212(5,0),(5,0),(0,3),(0,3)A A B B --．将方程变形为55)y x =-≤≤，根据5)y x =≤≤可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(,)x y ，列表如下：x 012345y32．942．752．41．8先描点画出第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．将椭圆的方程化成标准方程易得5,3a b ==，则椭圆位于四条直线5x =±，3y =±所围成的矩形框内，又因为椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出椭圆在第一象限内的图形，就可以利用对称性画出整个椭圆．考点二由椭圆的几何性质求方程例2．已知椭圆C 以坐标轴为对轴称、长轴长是短轴长的5倍，且经过点(5,0)A ，求此椭圆的标准方程．解：方法1：若椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>由题意，得22252,2501,a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5,1.a b =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22125x y +=，若椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，由题意，得22252,0251,a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩解得25,5.a b =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22162525y x +=．综上所述，所求椭圆的标准方程为22125x y +=或22162525y x +=．方法2：设椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠．由题意，得2501,5m n ⎧+=⎪⎨⎪=⨯⎩或2501,5m n⎧+=⎪⎨⎪=⨯⎩解得25,1m n =⎧⎨=⎩或25,625.m n =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22125x y +=或22162525y x +=．（1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常利用待定系数法．（2）根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，其一般步骤：①确定焦点所在的坐标轴；②求出22,a b 的值；③写出标准方程．考点三求椭圆的离心率例3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．分析：解答本题的关键是先由椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，列出,,a b c 的关系式，再转化成,a c 间的关系式，从而求出．解：因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2b a c =+，①所以224()b a c =+，即22242b a ac c =++．②又因为222a b c =+，所以22224()2a c a ac c -=++，③即225230c ac a +-=．两边同除以2a ，得25230e e +-=．④解得35e =或1e =-（舍去）．故该椭圆的离心率为35．求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地，（1）若已知,a c ，则直接代入ce a=求解；（2）若已知,a b，则由e =（3）若已知,,a b c 的关系，则可先转化为,a c 的齐次式，再转化为含的方程，求解即可．例4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点M ，使1290F MF ∠=︒（12,F F 为椭圆的两焦点），求椭圆的离心率的取值范围．解：设点M 的坐标是00(,)x y ，则220022222001,.x y a b x y c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，得222202()a cb xc -=．因为2200x a ≤≤②所以222222222()0,().a c b c a c b a c ⎧-≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩①②由①，得22c b ≥，即222c a c ≥+，所以222a c ≤，所以22212c e a =≥．又因为01e <<，所以2[2e ∈，由②，得222c b c -≤，此式恒成立．综上所述，所求椭圆的离心率的取值范围是2[2．（1）解析几何中求参数的取值范围是一类常见而又较困难的题型，其基本的解题思路有：①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．（2）本题在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围(||,||)x a y b ≤≤建立了一个关于基本量的不等式组．考点四点与椭圆的位置关系例5．直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2215x y m+=总有公共点，求m 的取值范围．解：方法1，直线1y kx =+恒过定点(0,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点(0,1)在椭圆内或椭圆上，所以20115m+≤，即1m ≥．又由于5m <，故[1,5)m ∈，方法2：由221,15y kx x y m=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(5)105(1)0m k x kx m +++-=，则2210020(1)(5)0k m m k ∆=--+≥对k R ∈恒成立，即2250mk m m +-≥对k R ∈恒成立．因为0m >，所以251k m ≥-对k R ∈恒成立，故10m -≤，即1m ≥．又因为5m <，所以[1,5)m ∈．点与椭圆的位置关系（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上2200221x y a b ⇔+=；（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外⇔2200221x y a b +>；（3）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>内2200221x y a b⇔+<．考点五直线与椭圆的位置关系例6．已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）求直线被椭圆截得的最长弦的长度．解：由方程组2241,x y y x m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理，得225210x mx m ++-=．（1）因为直线与椭圆有公共点，所以222420(1)20160m m m ∆=--=-≥．解得m ≤故实数m 的取值范围是55[]22．（2）由根与系数的关系，得1225m x x +=-，21215m x x -⋅=，则弦长12||d x x =-===故当0m =时，d．（1）利用方程讨论直线与椭圆的位置关系设直线方程为y kx m =+，椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，联立方程，得2222,1.y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，写出判别式∆，则0∆>⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；0∆=⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；0∆<⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．（2）弦长问题设直线：y kx m =+交椭圆22221(0)x y a b a b+=>>于111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，则1212||||PP x x =-=或1212||||PP y y =-=考点六椭圆中弦的中点问题例7焦点分别为和的椭圆截直线32y x =-所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．分析：设椭圆的方程→联立椭圆的方程与直线的方程→利用根与系数的关系设而不求→由中点列出方程→已知焦点→求出方程．解析：设22221(0)y x a b a b+=>>依题意，有22250a b -==．①由22221,32y x a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 并整理，得2222222(9)1240a b x b x b a b +-+-=．因为12122x x +=，所以2226192b a b =+．所以223a b =．②由①②，得275a =，225b =．经检验，此时0∆>．所以椭圆方程为2217525y x +=．弦的中点问题的解决方法关于中点的问题，我们一般可以采用两种方法解决：(1)联立方程、消元，利用根与系数进行设而不求，从而简化运算过程；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．不管应用何种方法，我们都必须要注意判别式∆的限制．考点七椭圆中的最值问题例8设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e =3(0,2P 到这个椭圆P的点的坐标．分析:本题是解析几何与代数中的最大值的综合题．解题关键是怎样运用“最远距离是”这个条件，可尝试用两点间的距离公式，转化为函数的最大值问题来解．解析:设所求椭圆方程为22221x y a b +=(a >b >0)．由c e a ==，得a =2b ．①设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则22222a y x a b =-，且2222222233()()22a d x y a y yb =+-=-+-2222913343()4342y y b y b =--++=-+++，其中b y b -≤≤．若12b <，则当y =-b 时，2d 取得最大值223()2b =+．解得3122b =>，与12b <矛盾．若12b ≥，则当12y =-时，2d 取得最大值2243b =+．②由①②，得b =1，a =2．故所求椭圆方程为2214x y +=．由12y =-，得椭圆上到点P 的点为1()2-，12-．本题是一道考查椭圆知识和函数最值的综合性问题，需要全面的掌握基础知识和基本方法，在建立二次函数求最值时，要特别注意通过椭圆的范围来确定自变量的取值范围．考点八与椭圆相关的实际问题例9在大西北的荒漠上，A ，B 两地相距2km ，正在准备在荒漠上围成一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园．按照规划，围墙总长度为8km ．(1)农艺园的最大面积能达到多少?(2)该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点A ，且与AB 成45︒角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟可能被农艺园围住的部分暂不加固，那么暂不加固的部分有多长?分析:(1)如图2．2-12所示，求农艺园的最大面积，实际就是求平行四边形ADBC 的面积的最大值．结合图形和椭圆的几何性质，易知当点C 位于短轴端点时，ACB ∆的面积最大，即平行四边形ADBC 的面积最大；(2)实质就是求弦长．解析:(1)如图2．2-12所示，由题意，知平行四边形相邻两边长之和为4km ，另两个端点C ，D 在以A ，B 为焦点的椭圆上．以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为22143x y +=(0y ≠)．因为max ()ABC S ∆=(点C 在短轴端点)，所以农艺园的最大面积为2km ．(2)由题可知，直线型水沟的方程是y =x +1，暂时不加固的部分的长度即直线被椭圆所截得的弦长．把直线方程代入椭圆方程，得27880x x +-=．1224|7x x -=．所以暂时不加固的部分长为247km ．椭圆是天文学和日常生产、生活中常见的一个模型，因此，我们必须熟练掌握利用代数方法解决与椭圆有关的问题的技巧．。

高二数学必修一二章知识点

高二数学必修一二章知识点在高中数学的学习过程中，必修一和必修二的知识点构成了数学基础中的核心部分，对于学生理解后续更高级的数学概念和解决复杂数学问题至关重要。

以下是对高二数学必修一和必修二章知识点的详细解析。

# 必修一知识点概览1. 集合论基础集合是数学中最基本的概念之一，必修一首先介绍了集合的表示方法、子集、并集、交集以及补集等基本概念。

这些概念是后续学习函数、方程等更复杂数学概念的基础。

2. 函数函数是描述变量之间关系的数学工具。

在必修一中，学生将学习到函数的定义、性质（如单调性、奇偶性）、定义域和值域、反函数以及复合函数等重要概念。

3. 导数与微分导数是研究函数局部变化率的重要工具。

学生将学习到导数的定义、求导法则、高阶导数、微分的概念以及导数在实际问题中的应用。

4. 基本初等函数初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

这些函数在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。

5. 三角函数三角函数是数学中的一个重要分支，必修一中将学习到正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义、性质、图像以及它们之间的关系。

6. 解析几何解析几何部分介绍了如何在平面直角坐标系中表示点、线、圆等几何对象，并研究它们的性质和相互关系。

# 必修二知识点概览1. 向量代数向量是描述空间中方向和大小的数学工具。

必修二中，学生将学习到向量的加法、减法、数乘、点积、叉积以及向量在几何和物理问题中的应用。

2. 矩阵与线性变换矩阵是线性代数的基础，用于表示线性变换。

学生将学习到矩阵的运算、矩阵的秩、逆矩阵、特征值和特征向量等概念。

3. 行列式行列式是矩阵的一个重要特征值，用于判断矩阵的可逆性以及求解线性方程组。

4. 空间解析几何空间解析几何是解析几何在三维空间的推广，涉及空间中的点、线、面以及它们之间的关系。

5. 数列与级数数列是按照一定规律排列的数的集合，级数是数列的和。

学生将学习到等差数列、等比数列、收敛级数和发散级数等概念。

高二数学选择性必修一知识点复习

高二数学选择性必修一知识点复习1.高二数学选择性必修一知识点复习篇一证明垂直的方法可以直接证明它们的夹角为90°;证明其它两个角互余。

如果是高中生的话,还可以证明两条直线的斜率的乘积等于-1，常见的有：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边;三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角;在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角;邻补角的平分线互相垂直。

垂直，是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。

通常用符号“⊥”表示。

设有两个向量a和b，a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。

对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解;两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。

①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂直一定会出现90°。

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：垂线段最短。

③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

2.高二数学选择性必修一知识点复习篇二数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….。

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.3.高二数学选择性必修一知识点复习篇三函数的性质:函数的单调性、奇偶性、周期性单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。

第一章直线与圆单元测试 2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

第一章直线与圆单元测试一、单选题1．若直线l 斜率为k ，向量在直线l 上，且向量在方向上的投影的模是其在方向上投影的模的2倍，则该直线的斜率k 的值为（）A ．2B ．C ．D ．2．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（）A ．B ．C ．D ．3．已知直线与圆：（）交于A ，两点，且线段关于圆心对称，则（）A ．1B ．2C ．4D ．54．已知点，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（）A ．BC ．D ．6．若点P 在直线上，点Q 在圆上，则线段PQ 长度的最小值为（）A ．B ．C ．D ．7．莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（）A ．B ．C ．D ．8．直线l 过点，则直线l 的方程为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知直线与圆交于，两点，点为线段的中点，且点的坐标为．当）A ．B ．的最小值为C ．存在点，使D．存在，使10．下列说法正确的是（）A ．已知直线过点，且在轴上截距等于轴上截距2倍，则直线的方程为B ．直线没有倾斜角C ．，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件D ．已知直线的斜率满足，则它的倾斜角的取值范围是或11．已知直线l ∶x +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可以是（）A ．0B ．1C ．-1D ．-2.三、填空题12．已知斜率均为负的直线与直线平行，则两条直线之间的距离为．13．已知圆和圆，M 、N 分别是圆C 、D 上的动点，P 为x 轴上的动点，则的最小值是 .14．过点，且与直线垂直的直线方程是．四、解答题15．圆内有一点，AB 为过点P 且倾斜角为的弦．(1)当时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．16．圆过、两点，且圆心在直线上．(1)求圆的方程；(2)若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．17．已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍．m m ()1,0i =()0,1j = 122±12±M ()2211x y ++=N ()()22231x y -+-=l l 210x y --=210x y -+=230x y +-=230x y +-=20x y r -+=C ()()22213x y r ++-=0r >B AB r =()0,1A ()10B ,(),0C t M AC 2MA MB ≤t =()2,0P -()():34330l m x y m m ++-+=∈R P l d 34120x y +-=221x y +=12575175225()Lemoine ABC V ,,A B C BC,CA,AB ,,P Q R ,,P Q R Lemoine xOy ()()()0,1,2,0,0,4A B C -Lemoine 2320x y --=2380x y +-=32220x y +-=23320x y --=(1,1),(2,4)A B -2y x =-2y x =--2y x =-+2y x =+:0(R)l mx y m m --=∈222:()0O x y r r +=>A B Q AB T (3,0)1m =2r =AB A 45ATO ∠=︒m 54QO QT ⋅=-l ()2,1P x y l 240x y +-=10x +=R a ∈R b ∈210ax y +-=()1210a x ay +-+=3a =l k 11k -≤<α045α≤< 135180α≤< :0l bx ay +=:20m ax by a ++=()22:21C x y +-=22:610300D x y x y +--+=PM PN +()1,5-126x y+=228x y +=()1,2P -α3π4α=C ()0,3()4,5C 80-+=x y C l x y C l (,)M x y (3,0)P O(1)求动点的轨迹的方程；(2)求的最小值；(3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD 的面积的最大值．M E x y O E A B C D S参考答案1．D【分析】设出，求出向量在和方向上的投影的模，从而得到，求出直线斜率.【详解】设，则向量在方向上的投影的模为，向量在方向上的投影的模为，则，故该直线的斜率.故选：D 2．C【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.【详解】由题意得，，则的中点的坐标为，直线的斜率.由圆与圆关于对称，得的斜率.因为的中点在上，所以，即.故选：C.3．D【分析】先求得圆心的坐标，进而列出关于的方程，解之即可求得的值.【详解】圆：的圆心，由圆心在直线上，可得，解之得.故选：D 4．D【分析】先设出，得到的方程为：，由得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，求出的最小值即可．【详解】设，由在上，得：，即，由得：，化简得，依题意，线段与圆，至多有一个公共点，故(),m a b = m()1,0i =()0,1j = 2a b=(),m a b =m()1,0i =m ia i⋅=m ()0,1j =m jb j⋅= 2ab =12b k a ==±()0,1M -()2,3N MN ()1,1MN 31220MNk +==-M N l l 112l MN k k -==-MN l ()1112y x -=--230x y +-=C r r C ()()22213x y r ++-=(1,3)C -(1,3)C -20x y r -+=230r --+==5r (,)M x y AM 0x ty t +-=2MA MB ≤t (,)M x y M AC 1xy t+=0x ty t +-=2MA MB ≤()2222(1)41x y x y ⎡⎤+-≤-+⎣⎦22418((339x y -++≥AM 22418()()339x y -++=41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭解得：，是使恒成立的最小正整数，由于，故选：D5．B【分析】先求得直线所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案.【详解】直线，即，由解得，所以直线过定点，所以的最大值为故选：B 6．B【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ 长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可.【详解】圆的圆心为，半径，因为圆心到直线的距离为，所以线段PQ长度的最小值为.故选：B 7．B【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案.【详解】的外接圆设为，，解得，外接圆方程为，即，易知外接圆在处切线方程为，又，令得，，，在处切线方程为，又，令得，，则三角形的线的方程为，即故选：B.8．D2t ≥2t ≤t 2MA MB ≤324<<4t ∴=l ()():34330l m x y m m ++-+=∈R ()33430m x x y +++-=303430x x y +=⎧⎨+-=⎩33x y =-⎧⎨=⎩l ()3,3Q -d =221x y +=(0,0)O 1r =34120x y +-=1215d ==>127155-=,A C ,P R ABC V 220x y Dx Ey F ++++=104201640E F D F E F ++=⎧⎪∴++=⎨⎪-+=⎩034D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴22340x y y ++-=2232524x y ⎛⎫++=⎪⎝⎭A 1y =:124x y BC +=-1y =52x =,152P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()0,4C -4y =-:12xAB y +=4y =-10x =()10,4R ∴-Lemoine 410514102y x +-=+-2380x y +-=【分析】根据直线的两点式方程运算求解.【详解】因为，则线l 的方程为，整理得，所以直线l 的方程为.故选：D.9．AD【分析】利用圆的弦长公式判断A 、B ；假设存在点，求出直线方程，判断与圆的位置关系，判断C ，求出点的轨迹方程，可判断D.【详解】当时，直线，圆心到直线的距离，又，解得，A 正确；由上可知圆，圆心到直线的距离，则，B 错误；若，则直线斜率为，从而直线：，此时圆心到直线的距离，则直线与圆相离，即不存在点，使，C 错误；设点，因为直线过定点，则，即，化简为，为点的轨迹方程，若，则，即，得，故存在存在，使，D 正确.故选：AD.10．CD【分析】根据截距的概念可判定A ，根据倾斜角的定义可判定B ，利用两直线垂直的位置关系可判定C ，根据倾斜角与斜率的关系可判定D.【详解】对于A ，当直线在两个坐标轴的截距都是0时，显然直线方程为，故A 错误；B ，直线倾斜角是，故B错误；对于C ，若直线与直线垂直，则有或，所以不满足充分性，反之时，此时两直线垂直，满足必要性，故C 正确；对于D ，由直线的斜率与倾斜角的关系知：12,14-≠≠()()114121x y ---=---2y x =+2y x =+A AT Q 1m =:10l x y --=O d AB ===2r =22:4O x y +=O d ==AB ===>45ATO ∠=︒AT 1-AT 30x y +-=O 2d r >=AT O A 45ATO ∠=︒(),Q x y ():1(R)l y m x m =-∈()1,0C 222OQ QC OC +=()2222211x y x y ++-+=221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Q 54QO QT ⋅=- ()2534x x y -⋅-+=-()2534x x x x -⋅-+-=-[]50,18x =∈m 54QO QT ⋅=- 12y x =10x +=90 210ax y +-=()1210a x ay +-+=()1400a a a a +-=⇒=3a =3a =k满足的直线，则它的倾斜角的取值范围是或，故D 正确.故选：CD 11．ABCD【分析】求出两坐标轴上的截距，进而判断的可能取值．【详解】令y ＝0，得到直线在x 轴上的截距是，令x ＝0，得到直线在y 轴上的截距为2＋a ，∴不论a 为何值，直线l 在x 轴和y 轴上的截距总相等.故选：ABCD.12．33/133【分析】利用斜率为负的两直线平行，找到，表示出直线，利用两平行线间的距离公式计算即可.【详解】因为斜率均为负的直线与直线平行，所以同号，且，解得：，所以直线与直线，所以这两条直线之间的距离为.13【分析】先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C 关于x 轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值.【详解】的圆心为，半径为1，，圆心为，半径为2，结合两圆位置可得，，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C 关于x 轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求，此时，即为的最小值，故的最小值为11k -≤<α045α≤< 135180α≤< a 2a +a =:0l bx ay +=:20m ax by a ++=,a b 02b a a b a=≠a =:0l x +=:10m x +=d ==3-3PM PN PC PD +≥+-,,P M C ,,P N D ()0,2C '-PC PD +PM PN +()22:21C x y +-=()0,2C ()()2222:610300354D x y x y x y +--+=⇒-+-=()3,5D 3PM PN PC CM PD DN PC PD +≥-+-=+-,,P M C ,,P N D ()0,2C '-CD'x P C D =='PC PD +PM PN +3314．【分析】根据垂直求出斜率，再由点斜式方程可得答案.【详解】直线的斜截式为，故斜率是，所以所求直线的斜率是，所以所求直线方程是，即.故答案为：.15．(2)【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出；（2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程.【详解】（1）圆的圆心，半径因为，所以直线的斜率，所以，即，所以圆心到的距离所以（2）因为弦被平分，所以，又因为，所以，所以，即.16．(1)，，【分析】（1）先求得两点，的中垂线方程，再与联立，求得圆心即可；（2）先由直线且被圆截得的弦长为6，求得圆到直线的距离，再分截距为零和不为零求解.【详解】（1）解：两点，的中垂线方程为：，联立，解得圆心，则，故圆的方程为：；（2）由直线且被圆截得的弦长为6，故圆心到直线的距离为，3160x y -+=126x y+=36y x =-+3-13()1513y x -=+3160x y -+=3160x y -+=250x y -+=()1,2P -AB AB OP AB ⊥AB k P AB 228x y +=()0,0O r =3π4α=AB 3πtan14AB k ==-()()():211AB y x -=-⨯--:10AB x y +-=O AB d AB ===AB P OP AB ⊥20210OP k -==---12AB k =()()1:212AB y x -=--:250AB x y -+=()22825x y +-=0y ±=2160x y +--=2160x y +-+=()0,3()4,580-+=x y l C C l ()0,3()4,5280x y +-=80-+=x y ()0,8C =5r C ()22825x y +-=l C C l 4d =A ．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：，此时直线的方A ．若直线不过原点，设直线为：，此时直线的方程为：，综上：直线，，.17．(1)(2)(3)7【分析】（1），根据两点间的距离公式化简可得方程；（2），法一：换元后与圆的方程联立，利用判别式法求解最小值；法二：几何法，利用直线与圆的位置关系列不等式求出最小值；法三：三角换元，结合辅助角公式利用余弦函数的性质求解最小值；（3），根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值.【详解】（1）由已知得化简得，即，所以动点的轨迹的方程为：；（2）法一：设，得，代入轨迹的方程消去并整理得，∴，即，解得故的最小值为；法二：设，即，由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆，由题意可知，直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得故的最小值为；法三：由（1）可设，，则，因为，所以当时，y kx =4d k ==⇒=l 0y ±=12202x yx y a a a+=⇒+-=48d a ⇒=±l 2160x y +--=2160x y +-+=l 0y ±=2160x y +--=2160x y +-+=22(1)4x y ++=1--=22230x y x ++-=22(1)4x y ++=M E 22(1)4x y ++=x y t -=y x t =-E y ()2222(1)30x t x t +-+-=()22Δ4(1)830t t =---≥2270t t +-≤11t --≤≤-+x y -1--x y t -=0x y t --=E (1,0)-0x y t --=22(1)4x y ++=2≤11t --≤≤-+x y -1--12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(02π)θ≤<π12cos 2sin 14x y θθθ⎛⎫-=-+-=-++ ⎪⎝⎭πcos 14θ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭3π4θ=的最小值为；（3）i ）若两直线都有斜率，可设直线AB 的方程为，则直线CD 的方程为，由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆．到直线AB 的距离同理，所以，ⅱ）若AB 、CD 两直线中有一条没有斜率，则另一条的斜率为0，此时线段AB 、CD 的长分别为4（或4、，所以．综上所述，当且仅当，即时，四边形ACBD 的面积取得最大值，最大值为7．x y -1--(0)y kx k =≠1=-y x kE 1(1,0)O -1O d =||AB ==CD ==11||||22S AB CD ==⨯==7=≤1||||72S AB CD ==<21112k =+1k =±S。