2017中考考点预测与复习(四)二次函数(压轴题)
2017中考二次函数压轴题专题分类训练
2017中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．图22.如图，抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．题型二：构造直角三角形【例2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．E【变式练习】1．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS ∠BCO。
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ，∴S △ACF ＝2S △AOC ，∴AF ＝2OA ＝2，∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3．∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ，将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3，∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩， 解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩， ∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD'的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭，2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…；（3）如图3，∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2． ∵EG 关于y 轴对称， ∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ，n +3)， 点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n ∵DE ＝DC ＝4， ∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3) 将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)． ∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++． ∵EC ＝CD ＝4， ∴2k 2+8k +16＝16， 解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4． ∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1) 将点E 上移1个单位长度得点G ． ∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：257m m x （）-±-=即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．9．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ，列方程可得t 的值；（3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ，∴PQ=2t ，AQ=23t ， ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）； （2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ， ∵点Q 关于O 的对称点为M ， ∴OM=OQ ， 设PM=x ，则AM=2x ， ∴AP=3x=4t ， ∴x=3， ∴AM=2PM=3， ∵AM=AO+OM ，∴3=103+103﹣23t ，t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ，∴11··22PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ，∴3，∵AM=AO+OM ，同理可知：3﹣3，3333t ，t=3011． 答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．11．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ﹣1． 【解析】 【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值． 【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4 ∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4 ∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点 ∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90° ∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt ∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴BE PE t ＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON ＝PE ＝t ∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去） ∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE ∴∠BPE ＝∠PBE ＝45° ∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45° ∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾 ②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45° ∵∠AEM ＝90° ∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4 ∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t ∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF ∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a tm t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝ ∴F （0，t ） ∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t ∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41tx t -=+， ∴41D x tt DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45° ∴)2421t CD DG t -+＝＝，∴)2441t t t -+﹣ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ，，即可求解；（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）二次函数表达式为：()219y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①， 则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】 【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩。
中考二次函数压轴题4(含答案)
中考二次函数压轴题41．（广东省广州市）如图，二次函数y＝x2＋px＋q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，－1)，△ABC的面积为45．（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M(0，m)作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．OA C xyB2．（广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．A x yBO3．（广东省深圳市）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P ．（1）连结P A ，若P A ＝PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？O A P l By O A l B y x 备用图4．（广东省深圳市）已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA ＜OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式．（2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP 交BC 于点E ．①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标． ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．A B x y O 图1 C A B x O P D E A B P xy O D E 图3 C5．（广西柳州市）如图，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B (－1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标；（2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．O x yA B C D。
2017年中考数学二次函数压轴题汇编
1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n 关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P 在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P （1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S=S△ABP的Q△ABQ点（异于点P）的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM 的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；=S△ABD？若存在（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B 在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m 的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE 的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A （0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b=（用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD 于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1．①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．25．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．①当a=1、d=﹣1时，求k的值；②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线BC的函数表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．35．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B （﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P 为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E 作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t 为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x 轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存OPMN在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相。
二次函数中考压轴题常见题型
二次函数中考压轴题常见题型
一、函数概念
1. 什么是函数？
函数是数学中的一种抽象概念，它由一系列的输入和一个输出组成，使得输入和输出之间有一定的关系。
一般来说，函数是指某种特殊的数学关系，它使得把一个值映射到另一个值上。
2. 二次函数的特点？
二次函数的特点是：它的图形是一个抛物线，在抛物线上，若坐标轴上的点（a，0）是抛物线的顶点，那么该抛物线的方程式为：y=ax^2+bx+c（a>0）。
二、二次函数的题型
1. 一般式二次函数
是指抛物线方程的一般式形式，它的表达式为：y=ax^2+bx+c （a≠0），其中a、b、c为实数。
2. 顶点式二次函数
是指抛物线方程的顶点形式，它的表达式为：(x-h)^2=4p(y-k)，其中h、k为抛物线的顶点坐标，p为抛物线的拉伸因子。
3. 应用题
应用题是指利用二次函数求解实际问题的题目，如求出抛物线上某点的坐标或求出函数的最大值等。
4. 方程题
方程题是指给出两个函数的曲线图像，用户需要求出两条曲线
的交点坐标，并根据求得的坐标写出两函数的抛物线方程。
2017年中考压轴题(26题)二次函数综合
2017年中考压轴题——二次函数、动点综合题1．（本小题满分13分）如图，二次函数32-+=bx ax y 的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C .该抛物线的顶点为M . （1）求该抛物线的解析式； （2）判断△BCM 的形状，并说明理由.（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.2．（13分）如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x轴，点P 时直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F,当四边形AECP 的面积最大时,求点P 的坐标； （3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．(第26题图)3．（13分）如图1，抛物线y=ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A 、点B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，已知点A 、点B 的坐标分别为A （﹣1，0）、B （3，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上找一点P ，使△PBC 的面积最大，求P 点的坐标；（3）如图2，连接BD 、CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，过抛物线上一点M 作MN ⊥CD ，交直线CD 于点N ，求当∠CMN=∠BDE 时点M 的坐标．4．（本小题满分13分） 如图，已知抛物线232y ax x c =-+与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线122y x =-交于B 、C 两点，其中点C 是直线122y x =-与y 轴的交点，连接AC ． ⑴求抛物线的解析式； ⑵证明：△ABC 为直角三角形；⑶△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．（第26题图）5．（本小题满分13分）如图，二次函数32-+=bx ax y 的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C .该抛物线的顶点为M .（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM 的形状，并说明理由.（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.6.（本题满分13分）如图，已知二次函数y =﹣x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A （4，0）和点B ，交y 轴于点C （0，4）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P 在第一象限内的抛物线上，求四边形AOCP 面积的最大值和此时点P 的坐标；（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q ，使A ，B ，C ，Q 四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．7．（13分）如图，已知抛物线与x 轴交于A （﹣1，0）、B （5，0）两点，与y 轴交于点C （0，5）． （1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）D 是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C 、B 不重合），过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，交直线BC 于点E ，连结BD 、CD ．设点D 的横坐标为m ，△BCD 的面积为S ．①求S 关于m 的函数关系式及自变量m 的取值范围；②当m 为何值时,S 有最大值,并求这个最大值； ③直线BC 能否把△BDF 分成面积之比为2:3的两部分？若能,请求出点D 的坐标；若不能,请说明理由．（第26题8．（13分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x 2+bx +c 表示，且抛物线的点C 到墙面OB 的水平距离为3m 时，到地面OA 的距离为m ．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？9．（13分）如图，已知抛物线与x 轴交于A （﹣1，0）、E （3，0）两点，与y 轴交于点B （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．26. (满分13分) 如图，抛物线经过A （﹣1，0），B （5，0），C （0，25）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标； （3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2017中考数学二次函数专题
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部份 基础知识1.概念：一样地，若是c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的极点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔极点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔极点为其最高点.（3）极点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方式可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一样，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、极点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.专门地，y 轴记作直线0=x .7.极点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，若是二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是极点的位置不同. 8.求抛物线的极点、对称轴的方式（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴极点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方式：运用配方的方式，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，取得极点为(h ,k)，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，因此对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点.用配方式求得的极点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 一起决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右边.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线通过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右边，那么 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特点如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一样式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一样式. （2）极点式：()k h x a y +-=2.已知图像的极点或对称轴，通常选择极点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情形能够由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（极点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，那么横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数量来确信：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：假设抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部份 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的极点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图，那么以下结论正确的选项是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如下图，那么以下结论正确的选项是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 ４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF只是A 、B ），设E 到BC 的距离为，那么的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴别离交于A 、B 两点，那么AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），那么关于以下结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x k－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）假设该抛物线过点B ，且它的极点P 在直线b x y +-=2上，试确信这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，假设抛物线的对称轴恰好于C 点，试确信直线b x y +-=2的解析式.解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.极点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值别离为5,3-,4-．第9题（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出那个二次函数的图象,并依照图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如下图.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物爱好小组在四天的实验研究中发觉：骆驼的体温会随外部环境温度的转变而转变，而且在这四天中每日夜的体温转变情形相同．他们将一头骆驼前两日夜的体温转变情形绘制成以下图．请依照图象回答： ⑴第一天中，在什么时刻范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时刻?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶爱好小组又在研究中发觉，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是不是存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．假设存在，请求出a 的值；假设不存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标别离为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标别离为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）假设抛物线与x 轴的两个交点A 、B 别离在原点的双侧，而且AB 5m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，假设抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，而且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 那么x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2121245x x x x -=2（+）∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，那么N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在知足条件中的两点M 、N. ∴2a m =-这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，若是点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是不是存在点P ，使△APE 的周长最小?假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．NMCx y O（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如下图．（1）求二次函数的解析式及抛物线极点M 的坐标．（2）假设点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右边的抛物线上是不是存在点P ，使△PAC 为直角三角形?假设存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个极点成为矩形一边的两个极点，第三个极点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的极点坐标（不需要计算进程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ． 其极点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ． （3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，那么22--=m m n ． 222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情形讨论：i ）假设∠PAC ＝90°，那么222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ， 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）假设∠PCA ＝90°，那么222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观看得，当点P 在对称轴右边时，AC PA >，因此边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个极点，第三个极点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，现在未知极点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个极点，第三个极点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，现在未知极点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象通过点（1，－1）．求那个二次函数的解析式，并判定该函数图象与x 轴的交点的个数．解：依照题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 那个二次函数解析式是22-x y ＝．因为那个二次函数图象的开口向上，极点坐标是（0，－2），因此该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形能够近似看做抛物线的一部份．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，成立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部份抛物线为图象的函数解析式，写出函数概念域； （2）若是DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精准到1米）．解：（1）由于极点C 在y 轴上，因此设以这部份抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ．因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 因此109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 因此109125182092＋－x =，得245±＝x ． 因此点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 因此225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象通过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）若是线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，若是b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），那么210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝． 因此当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－．∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 别离与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 通过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，假设∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求通过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）假设延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判定直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 别离与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设通过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．。
中考必考题之二次函数压轴题(解析版)
中考必考题--------二次函数压轴题分析考点概况：二次函数，中考必考题型之一，通常设置3问，第一问主要考察二次函数的解析式三种表达形式的特点，通常以顶点式和坐标式为切入点，基础较薄弱的考生可以先从解析式入手，求解二次函数的解析式几乎是第一问的必考题，也是本题的送分题，需要拿到。
基础较好的考生务必要细心，第一问避免粗心出错，否则全题出错。
第二问通常会将二次函数与相似、勾股定理、三角函数、一次函数等知识点进行综合，该题的解题思路肯定是转换到几何角度思考，多想想几何的性质，平时注意该题型的解答方法的总结。
第三问，通常难度较大，解答该问需要自己先画出符合题意的草图，然后利用第二问的结论往下思考。
1. （2019·江阴澄要片一模）抛物线222m mx x y --=（m ＞0）与x 轴相交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），M 是抛物线第四象限上一动点，C 是OM 上一点，且OC ＝2CM ，连接BC 并延长交AM 于点D 。
（1）求MAMD; （2）若M 、A 到y 轴的距离之比为3∶2，S △MCD ＝125，求抛物线的解析式。
【答案】（1）41（2）y ＝x 2－2x －8 【解析】（1）由抛物线222m mx x y --=，可十字相乘化简得y ＝（x －2m ）（x ＋m ） ∴A （-m ，0）；B （2m ，0） 如图所示作图，过点M 作x 轴平行线交BC 的延长线于点H易得：△BOC ∽△HMC12==CM OC HM OB ∴HM ＝m △ABD ∽△MHD133===m m HM AB DM AD ∴41=MA MD （2）连接OD ，∵OC ∶CM ＝2∶1 ∴S △OCD ＝2S △MCD ∴S △MOD ＝3S △MCDxyOABCD HM∵AD ∶DM ＝3∶1 ∴S △AOD ＝3S △MOD ∴S △MOA ＝9S △MOD ∴S △MOA ＝12S △MCD ＝12×125＝5 ∵M 、A 到y 轴的距离之比为3∶2； ∴M （23m ，2415m -），S △MOA ＝385m ∴m ＝2822--=x x y思路点拨：本题是二次函数与相似相结合，难点是需要添加辅助线2. （2019·江阴一中一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线3442+++=a ax ax y （a ＜0）的顶点为A ，它的对称轴与x 轴交点为B 。
2017年中考数学分类汇编二次函数压轴题14道
中考数学分类汇编二次函数压轴题1.（2016•成都第28题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =a （x +1）2﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣），顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧． （1）求a 的值与点A ，B 的坐标；（2）当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式；（3）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．2.（2016•扬州第28题）如图1，二次函数2yax bx 的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1.（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 在该二次函数的图像上，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标； （3）如图3，一次函数ykx （k ＞0）的图像与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线TM ⊥OC ，垂足为点M ，且M 在线段OC 上（不与O 、C 重合），过点T 作直线TN ∥y轴交OC 于点N 。
若在点T 运动的过程中，2ON OM为常数，试确定k 的值。
xy图3NM OC Tx y图2（备用图）BAOxy13-1图1B AO二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题3.（2016•益阳第21题）如图，顶点为(3,1)A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．4.（2016•哈尔滨第27题）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx （a ≠0）的图象经过点A （1，4），对称轴是直线x ＝－32，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C （0，2），直线AC 交抛物线于点B ，连结OA ，OB ，OD ，BD ． （1）求该二次函数的解析式；（2）设点F 是BD 的中点，点P 是线段DO 上的动点，将△BPF 沿边PF 翻折，得到△B ′PF ，使△B ′PF 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的14，若点B ′在OD 上方，求线段PD 的长度;（3）在（2）的条件下，过B ′作B ′H ⊥PF 于H ，点Q 在OD 下方的抛物线上，连接AQ 与B ′H 交于点M ，点G 在线段AM 上，使∠HPN +∠DAQ =135°，延长PG 交AD 于N ．若AN + B ′M =52,求点Q 的坐标．xyA D CBOxyA DCBO xyA DCBOKOyxC BA图2三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题5.（2016•重庆第26题）如图1，二次函数1x 2-x 21y 2+=的图象与一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0,1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且S △AMO ︰S 四边形AONB =1︰48。
二次函数中考压轴题型
二次函数中考压轴题型
二次函数是中考数学中经常考察的重点知识点，其中也有一些常见的压轴题型。
在中考备考过程中，掌握这些题型的解法，能够有效提高数学得分。
1. 求二次函数的零点
求二次函数的零点是中考中的常见题型，一般需要运用二次方程的求解公式。
在解题过程中，需要注意判别式的正负以及解的形式是否符合题目的要求。
2. 求二次函数的最值
求二次函数的最值是另一个常见的考点。
最值的求解方法一般有两种：一种是通过配方法将二次函数转化为顶点式，然后根据顶点的位置判断最值；另一种是直接利用二次函数的对称性求解。
3. 判断二次函数的图像
判断二次函数的图像也是中考中的重点考点之一。
一般需要根据二次函数的参数来判断其开口方向、顶点坐标、对称轴位置等，从而画出图像。
在解题过程中，需要注意各个参数之间的关系及其对图像的影响。
4. 二次函数与直线的交点
在一些复杂的题目中，二次函数与直线的交点也是常见的考点。
这时需要将直线方程和二次函数方程联立，然后求解交点的坐标。
在解题过程中，需要注意方程的形式及系数的变化，以免出现错误。
通过掌握以上常见的二次函数考点和解题方法，相信考生能够更
好地应对中考数学中的二次函数题型，取得更好的成绩。
2017中考数学二次函数压轴题含答案解析
二次函数压轴题面积类1．如图，抛物线经过点A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三点．〔1〕求抛物线的解析式．〔2〕点M是线段上的点〔不及B，C重合〕，过M作∥y轴交抛物线于N，假设点M的横坐标为m，请用m的代数式表示的长．〔3〕在〔2〕的条件下，连接、，是否存在m，使△的面积最大？假设存在，求m的值；假设不存在，说明理由．2．如图，抛物线的图象及x轴交于A、B两点，及y轴交于C点，B点坐标为〔4，0〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕摸索究△的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；〔3〕假设点M是线段下方的抛物线上一点，求△的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2经过点A〔3，0〕、B〔0，﹣3〕，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．〔1〕分别求出直线和这条抛物线的解析式．〔2〕假设点P在第四象限，连接、，当线段最长时，求△的面积．〔3〕是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，请干脆写出点P的横坐标；假设不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中放置始终角三角板，其顶点为A 〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．〔1〕一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；〔2〕设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？假设存在，恳求出P的坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕在〔2〕的条件下，试指出四边形′A′B是哪种形态的四边形？并写出四边形′A′B的两条性质．5．如图，抛物线2﹣2的顶点A在直线l：﹣5上．〔1〕求抛物线顶点A的坐标；〔2〕设抛物线及y轴交于点B，及x轴交于点C、D〔C点在D点的左侧〕，试推断△的形态；〔3〕在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由．周长类6．如图，△的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为〔﹣3，0〕、〔0，4〕，抛物线2经过点B，且顶点在直线上．〔1〕求抛物线对应的函数关系式；〔2〕假设把△沿x轴向右平移得到△，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形是菱形时，试推断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，连接，对称轴上存在一点P使得△的周长最小，求出P点的坐标；〔4〕在〔2〕、〔3〕的条件下，假设点M是线段上的一个动点〔点M及点O、B不重合〕，过点M作∥交x轴于点N，连接、，设的长为t，△的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，S是否存在最大值？假设存在，求出最大值和此时M点的坐标；假设不存在，说明理由．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，4，将线段绕点O顺时针旋转120°至的位置．〔1〕求点B的坐标；〔2〕求经过点A、O、B的抛物线的解析式；〔3〕在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，说明理由．8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A〔0，2〕，点C〔﹣1，0〕，如下图：抛物线2﹣2经过点B．〔1〕求点B的坐标；〔2〕求抛物线的解析式；〔3〕在抛物线上是否还存在点P〔点B除外〕，使△仍旧是以为直角边的等腰直角三角形？假设存在，求全部点P的坐标；假设不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A〔0，2〕，点C〔1，0〕，如下图，抛物线2﹣﹣2经过点B．〔1〕求点B的坐标；〔2〕求抛物线的解析式；〔3〕在抛物线上是否还存在点P〔点B除外〕，使△仍旧是以为直角边的等腰直角三角形？假设存在，求全部点P的坐标；假设不存在，请说明理由．综合类10．如图，抛物线2的图象及x轴的一个交点为B〔5，0〕，另一个交点为A，且及y轴交于点C〔0，5〕．〔1〕求直线及抛物线的解析式；〔2〕假设点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作∥y轴交直线于点N，求的最大值；〔3〕在〔2〕的条件下，获得最大值时，假设点P是抛物线在x 轴下方图象上随意一点，以为边作平行四边形，设平行四边形的面积为S1，△的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线2〔a≠0〕的图象过点C〔0，1〕，顶点为Q〔2，3〕，点D在x轴正半轴上，且．〔1〕求直线的解析式；〔2〕求抛物线的解析式；〔3〕将直线绕点C逆时针方向旋转45°所得直线及抛物线相交于另一点E，求证：△∽△；〔4〕在〔3〕的条件下，假设点P是线段上的动点，点F是线段上的动点，问：在P点和F点挪动过程中，△的周长是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由．12．如图，抛物线及x轴交于A〔1，0〕、B〔﹣3，0〕两点，及y轴交于点C〔0，3〕，设抛物线的顶点为D．〔1〕求该抛物线的解析式及顶点D的坐标．〔2〕试推断△的形态，并说明理由．〔3〕探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形及△相像？假设存在，请干脆写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23及x轴交于A、B两点，过点A的直线l及抛物线交于点C，其中A点的坐标是〔1，0〕，C点坐标是〔4，3〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕在〔1〕中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△的周长最小？假设存在，求出点D的坐标，假设不存在，请说明理由；〔3〕假设点E是〔1〕中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求△的最大面积及E点的坐标．14．如图，抛物线﹣x24及x轴相交于A、B两点，及y轴相交于点C，假设A点的坐标为A〔﹣2，0〕．〔1〕求抛物线的解析式及它的对称轴方程；〔2〕求点C的坐标，连接、并求线段所在直线的解析式；〔3〕试推断△及△是否相像？并说明理由；〔4〕在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△为等腰三角形？假设存在，求出符合条件的Q点坐标；假设不存在，请说明理由．15．如图，在坐标系中，△是等腰直角三角形，∠90°，A〔1，0〕，B〔0，2〕，抛物线2﹣2的图象过C点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l挪动到何处时，恰好将△的面积分为相等的两部分？〔3〕点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？假设存在，求出P点坐标；假设不存在，说明理由．山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芳香的禅意。
初中二次函数压轴题题型归纳及方法
初中二次函数压轴题题型归纳及方法
初中二次函数压轴题主要包括以下几种题型：
1. 求解二次方程：给定一个二次方程，要求求出它的解。
解题方法包括配方法、公式法、图像法等。
2. 求二次函数的最值：给定一个二次函数，要求求出它的最值。
解题方法包括求导法、配方法、图像法等。
3. 求二次函数的零点：给定一个二次函数，要求求出它的零点。
解题方法包括配方法、公式法、图像法等。
4. 求二次函数的图像：给定一个二次函数，要求画出它的图像。
解题方法包括求顶点、对称轴、零点等关键点，然后画出图像。
5. 求二次函数的解析式：给定一个二次函数的图像或者关键点，要求求出它的解析式。
解题方法包括利用顶点式、一般式、描点法等。
6. 求二次函数与直线的交点：给定一个二次函数和一条直线，要求求出它们的交点。
解题方法包括联立方程、代入法等。
7. 求二次函数的定义域和值域：给定一个二次函数，要求求出它的定义域和值域。
解题方法包括利用二次函数的性质，如对称轴、最值等。
以上是初中二次函数压轴题的主要题型及解题方法，需要注意的是，不同的题型可能需要不同的解题方法，需要根据具体情况进行选择。
同时，需要掌握二次函数的基本概念和性质，如顶点、对称轴、最值等，才能更好地解决问题。
中考复习专题：二次函数综合题(压轴题)
二次函数压轴题类型一线段问题1.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．第1题图2. 已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A 为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.(1)求A、B两点的坐标；(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；(3)当PC＝CO时，求P点坐标．第2题图3.如图，一抛物线过原点和点A(1，，△AOB(1)求过点A、O、B的抛物线解析式；(2)在(1)中抛物线的对称轴上找到一点M，使得△AOM的周长最小，求△AOM 周长的最小值；(3)点F为x轴上一动点，过点F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，是否存在点F，使线段PE＝3？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(－3，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P 的坐标；(3)点Q是直线BC上方抛物线上的动点，求点Q到直线BC的距离最大时点Q 的坐标.第4题图5. (2017焦作模拟)如图①，直线y＝34x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，－1)，抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点B，点C的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为x(0<x<4)，矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；(3)将△AOB绕平面内某点M旋转180°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.此时若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和此时点A1的横坐标．第5题图答案1. 解 (1)∵直线y ＝5x ＋5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，∴A (－1，0)，C (0，5)，∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 的图象过A ，C 两点，∴405 a c c -+=⎧⎨=⎩， 解得15a c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)如解图①，第1题解图①∵点B 是二次函数的图象与x 轴的交点，∴由二次函数的表达式为y ＝－x 2＋4x ＋5得，点B 的坐标B (5，0)， 设直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ，∵直线BC 过点B (5，0)，C (0，5)，∴505 k b b +=⎧⎨=⎩，解得15 k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 解析式为y ＝－x ＋5，设ND 的长为d ，N 点的横坐标为n ，则N 点的坐标为(n ，－n ＋5)， D 点的坐标为(n ，－n 2＋4n ＋5)，则d ＝|－n 2＋4n ＋5－(－n ＋5)|， 由题意可知：－n 2＋4n ＋5＞－n ＋5，∴d ＝－n 2＋4n ＋5－(－n ＋5)＝－n 2＋5n ＝－(n －52)2＋254，∴当n＝52时，线段ND长度的最大值是254；(3)∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM 的最小周长，则点F，E即为所求的点．设直线H1M1的函数表达式为y＝mx＋n，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩，解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y＝－73x＋133，∴当x＝0时，y＝133，即点E坐标为(0，133)，当y＝0时，x＝137，即点F坐标为(137，0)，故所求点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133)．第1题解图②2. 解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝4.∴点B坐标为(4，0)，设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，x＝－x2＋4x，解得x1＝3，x2＝0(舍去)，∴点A的坐标为(3，3);(2)如解图①，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，∵点A坐标为(3，3)；∴∠AOB＝45°，∴OD＝CD＝x，∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，∵PE∥x轴，∴△PCE是等腰直角三角形，∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．∵PE与线段OA相交，∴0≤x≤1，由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，抛物线的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋∴△PCE周长的最大值为4＋把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，∴点P的坐标为(1，3)；第2题解图①(3)设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1，∵P1C1＝OC1，∴－x2＋3x，解得x1＝3x2＝0(舍去)．把x＝3y＝－x2＋4x得，y＝－(3－2＋4(3＝1＋2∴P1(31＋，②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2，∵P2C2＝OC2，∴x2－3x，解得x1＝3x2＝0(舍去)，把x＝3y＝－x2＋4x，得y＝－(32＋4(3＝1－∴P2(31－．综上所述，P点坐标为(31＋2或(31－．第2题解图②3. 解：(1)过点A作AC⊥x轴于点C，如解图①，第3题解图①∵A (1，，∴AC＝∵S △AOB ＝12BO ²AC ＝12BO ³3BO ＝2，∴B (－2，0)．由题意可设抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ，把A 、B坐标代入可得420a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式为y2； (2)由(1)可求得抛物线的对称轴为直线x ＝－1，设AB 交对称轴于点M ，如解图②，连接OM ，∵OA 长为定值，∴△AOM 周长的最小值即为OM ＋AM 的最小值，第3题解图②∵B 、O 两点关于对称轴对称，∴MO ＝MB .∴A ，M ，B 三点共线时，OM ＋AM 最小．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A 、B两点的坐标代入可得20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AB 的解析式为y当x ＝－1时，y＝3， ∴点M 的坐标为(－1，3)． 由勾股定理可求得AB=AO＝2=，∴△AOM 周长的最小值为AM ＋MO ＋AO ＝AB ＋AO ＝2；(3)存在．点F 的坐标为(0，0)或(－1，0)或，0)或，0)． 【解法提示】假设存在满足条件的点F ，设其坐标为(x ，0)，第3题解图③则E (x ，，P (x2)，如解图③， ①当－2≤x ≤0时，PE ＝PF ＋EF ＝－(3x 2＋3x )＋3x＋3＝3-2－3x ＋3，由PE ＝3得－3x 2－3x ＋3＝3，解得x 1＝0，x 2＝－1， 当x ＝0时，点P 与点F 重合，点F 的坐标为(0，0)；当x ＝－1时，点F 的坐标为(－1，0)；②当0<x ≤1时，此时PE 恒小于3；③当x ＞1或x <－2时，PE ＝PF －EF ＝3x 2＋3x －(3x ＋3)＝3x 2x ，由PE 2解得x 1，x 2，∴点F 的坐标为(12-，0)或(12-，0)．综上所述：点F 的坐标为(0，0)或(－1，0)或(12-，0)或(12-，0)． 4. 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (－3，0)，∴01093b c b c=--+⎧⎨=--+⎩，解得43b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－4x －3；(2)由y ＝－x 2－4x －3可得D (－2，1)，C (0，－3)，∴OB ＝3，OC ＝3，OA ＝1，AB ＝2，可得△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝45°，CB ＝如解图①，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ， ∴AF ＝12AB ＝1， 设直线BC 与对称轴的交点为E ，连接AE ，AC ，∵EF ＝1＝AF ，则有∠BAE ＝∠OBC ＝45°，∴∠AEB ＝90°，∴BE ＝AE CE ＝在△AEC 与△AFP 中，∠AEC ＝∠AFP ＝90°，∠ACE ＝∠APF ，∴△AEC ∽△AFP ，∴AE CE AF PF ==，解得PF ＝2. ∵点P 在抛物线的对称轴上，∴点P 的坐标为(－2，2)或(－2，－2)； 第4题解图① (3)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，直线BC 经过B (－3，0)，C (0，－3)，∴033 k b b =-+⎧⎨-=⎩，解得13k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的解析式为y ＝－x －3.第4题解图②如解图②，设点Q (m ，n )，过点Q 作QH ⊥BC 于点H ，并过点Q 作QS ∥y 轴交直线BC 于点S ，则S 点坐标为(m ，－m －3)， ∴QS ＝n －(－m －3)＝n ＋m ＋3.∵点Q (m ，n )在抛物线y ＝－x 2－4x －3上，∴n ＝－m 2－4m －3， ∴QS ＝－m 2－4m －3＋m ＋3＝－m 2－3m ＝－(m ＋32)2＋94， 当m ＝32-时，QS 有最大值94.∵BO ＝OC ，∠BOC ＝90°，∴∠OCB ＝45°，∵QS ∥y 轴，∴∠QSH ＝∠OCB ＝45°，∴△QHS 是等腰直角三角形， ∴当斜边QS 最大时，QH 最大．∵当m ＝－32时，QS 最大，此时n ＝－m 2－4m －3＝－94＋6－3＝34， 即Q (－32，34)，∴当点Q 的坐标为(－32，34)时，点Q 到直线BC 的距离最大.【一题多解】直线BC 的解析式为y ＝－x －3，易知当与直线BC 平行的直线与抛物线相切时，抛物线上的点到直线y ＝－x －3的距离最大， 由此可设y ＝－x ＋b 与抛物线相切，则有：24 3y x b y x x =-+⎧⎨=---⎩，化简得x 2＋3x ＋3＋b ＝0， 由题意得b 2－4ac ＝32－4(3＋b )＝0，∴b ＝－34，∴x 2＋3x ＋94＝0， 解得x 1＝x 2＝－32，此时纵坐标y ＝－(－32)＋(－34)＝34.即点Q 的坐标为(－32，34)时，抛物线上的点Q 到直线BC 的距离最大．5. 解：(1)y ＝12x 2－54x －1；【解法提示】∵直线y ＝34x ＋m 经过点B (0，－1)，∴m ＝－1，∴直线的解析式为y ＝34x －1，∵y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴C (4，2)，∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C (4，2)和点B (0，－1)，∴214422 1 b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=-⎩，解得541b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝12x2－54x－1.(2)令y＝0，则34x－1＝0，解得x＝43，∴点A的坐标为(43，0)，∴OA＝43，在△OAB中，OB＝1，∴AB＝53 ==，∵DE∥y轴，∴∠ABO＝∠DEF，在矩形DFEG中，EF＝DE·∠DEF＝DE²35OBDE AB=，DF＝DE²∠DEF＝DE²45OBDE AB=，∴l＝2(DF＋EF)＝2(45＋35)DE＝145DE，∵点D的横坐标为x(0<x<4)，∴D(x，12x2－54x－1)，E(x，34x－1)，∴DE＝(34x－1)－(12x2－54x－1)＝－12x2＋2x，∴l＝145(－12x2＋2x)＝－75x2＋285x，∵l＝－75(x－2)2＋285，且－75<0，∴当x＝2时，l有最大值，最大值为285；(3)“落点”的个数有2个，点A1的横坐标为712或43.【解法提示】由题意得，A1O1∥x轴，B1O1∥y轴，①B1，O1不可能同时在抛物线上；②当点A1，O1在抛物线上时，如解图①，设A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m＋43，∴12m2－54m－1＝12(m＋43)2－54(m＋43)－1，解得m＝712；第5题解图①③当点A1，B1在抛物线上时，如解图②，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m＋43，B1的纵坐标比A1的纵坐标大1，∴43m2－54m－1＋1＝12(m＋43)2－54(m＋43)－1，解得m＝43，∴点A1的横坐标为712或43.故“落点”的个数有2个，此时点A1的横坐标为712或43.第5题解图②类型二面积问题1.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；(3)点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QD ∥AC ，交BC 于点D ，连接CQ .当△CQD 的面积最大时，求点Q 的坐标．2.(2017深圳9分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A (－1，0)，B (4，0)，交y 轴于点C .(1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D ，使S △ABC ＝23S △ABD ？若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．第2题图3.(2017泸州12分)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过 A (－1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点． (1)求该二次函数的解析式；(2)点D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA ＝∠CAO (O 是坐标原点)，求点D 的坐标；(3)点P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接P A 分别交BC ，y 轴于点E ，F ，若△PEB ，△CEF 的面积分别为S 1，S 2，求S 1－S 2的最大值．第3题图4.(2017濮阳模拟)如图，直线y ＝－x －4与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 相交于A ，B 两点，其中A ，B 两点的横坐标分别为－1和－4，且抛物线过原点． (1)求抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点C ，使得AC ＝BC ？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图②，若点P 是线段AB 上不与A ，B 重合的动点，过点P 作PE ∥OA ，与抛物线第三象限的部分交于一点E ，过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，交AB 于点F ，若S△BGF ＝3S △EFP ，求EFGF 的值．答案1. 解：(1)∵抛物线经过点C (0，4)，A (4，0)，∴41680c a a c =⎧⎨-+=⎩，解得124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)由(1)可求得抛物线顶点为N (1，92)， 如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′(0，－4)，连接C ′N 交x 轴于点K ，则K 点即为所求，设直线C ′N 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C ′、N 点坐标代入可得924k b b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得1724k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线C ′N 的解析式为y ＝172x －4，令y ＝0，解得x ＝817，∴点K 的坐标为(817，0)；第1题解图①(3)设点Q (m ，0)，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，如解图②，由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，AB ＝6，BQ ＝m ＋2，又∵QD ∥AC ，∴△BQD ∽△BAC ， ∴DG BQ CO BA =，即246DG m +=，解得DG ＝243m +； ∴S △CQD ＝S △CBQ －S △DBQ ＝12(CO －DG )²BQ ＝124(4)(2)23m m +-+ ＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m －1)2＋ 3.又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQD 有最大值3，此时Q (1，0)．第1题解图②2. 解：(1)将点A (－1，0)，B (4，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋2中，得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2； (2)存在，点D 的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)． 【解法提示】如解图①，过点D 作DE ⊥AB 于点E .第2题解图①设D (m ，－12m 2＋32m ＋2)(m >0)，则DE ＝|－12m 2＋32m ＋2|. ∵A (－1，0)，B (4，0)，∴AB ＝5.∵抛物线交y 轴于点C ，令x ＝0，有y ＝2，∴C (0，2)，∴OC ＝2.∵OC ⊥AB ，∴S △ABC ＝12AB ²OC ＝5，又∵S △ABC ＝23S △ABD ，∴S △ABD ＝12AB ²DE ＝152，∴DE ＝|－12m 2＋32m ＋2|＝3，当－12m 2＋32m ＋2＝3时，解得m 1＝1，m 2＝2；当－12m 2＋32m ＋2＝－3时，解得m 3＝－2(舍去)，m 4＝5.综上所述，点D 的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)；(3)如解图②，过点C 作CF ⊥BC 交BE 于点F ，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，过点E 作EG ⊥x 轴于点G .第2题解图②∵CF ⊥BC ，∠CBF ＝45°，∴△BCF 是等腰直角三角形，且BC ＝CF ， ∠OCB ＋∠FCH ＝90°，又∵FH ⊥y 轴，∴∠CFH ＋∠FCH ＝90°，∠CHF ＝∠BOC ＝90°， ∴∠OCB ＝∠CFH ，∴△BOC ≌△CHF (AAS )，又∵B (4，0)，C (0，2)，∴CH ＝OB ＝4，FH ＝OC ＝2，∴OH ＝6，∴F (2，6)． 设BE 的解析式为y ＝kx ＋c ，将B (4，0)，F (2，6)代入y ＝kx ＋c ，得4026k c k c +=⎧⎨+=⎩，解得312k c =-⎧⎨=⎩，∴BE 的解析式为y ＝－3x ＋12. 联立抛物线和直线BE 的解析式，得213222312y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=-+⎩，解得1140x y =⎧⎨=⎩(舍去)， 2253x y =⎧⎨=-⎩，∴E (5，－3)，∵EG ⊥x 轴，∴BG ＝1，EG ＝3，∴在Rt △BEG 中，BE3. 解：(1)由题意，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －4)，∵抛物线图象过点C (0，2)，∴－4a ＝2，解得a ＝－12，∴抛物线的解析式为y ＝－12 (x ＋1)(x －4), 即y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)设直线BD 与y 轴的交点为M (0，m )．∵∠DBA ＝∠CAO ，∴∠MBA ＝∠CAO ，∴tan ∠MBA ＝tan ∠CAO ＝2，∴24m=，即m ＝±8. 当m ＝8时，直线BD 解析式为y ＝－2x ＋8.联立22813222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得1140x y =⎧⎨=⎩(舍去), 2232x y =⎧⎨=⎩，∴D 1(3，2)． 当m ＝－8时，直线BD 解析式为y ＝2x －8.联立22813222y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩解得：1140x y =⎧⎨=⎩(舍去)， 22518x y =-⎧⎨=-⎩，∴D 2(－5，－18)； 综上，满足条件的点D 的坐标为D 1(3，2)，D 2(－5，－18).(3)如解图，过点P 作PH ∥y 轴交直线BC 于点H ，设P (t ，－12t 2＋32t ＋2)，第3题解图∵直线BC的解析式为y＝－12x＋2,∴H(t，－12t＋2)，∴PH＝y P－y H＝－12t2＋2t；设直线AP的解析式为y＝k(x＋1)，∴k＝21312(1)(4)12222 1112 PPt t t tytx t t-++-+-===-+ +++，∴直线AP的解析式为y＝(－12t＋2)(x＋1)，令x＝0得y＝2－12t.故F(0，2－12t)，CF＝2－(2－12t)＝12t.联立(2)(1)2122ty xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得x E＝5tt-；∴S1＝12(y P－y H)(x B－x E)＝12(－12t2＋2t)(4－5tt-)；S2＝12²2t²5tt-.∴S1－S2＝12(－12t2＋2t)(4－5tt-)－12²2t²5tt-，即S1－S2＝－54t2＋4t＝－54(t－85)2＋165.∴当t＝85时，S1－S2有最大值，最大值为165.4. 解：(1)∵A，B两点在直线y＝－x－4上，且横坐标分别为－1、－4，∴A (－1，－3)，B(－4，0)，∵抛物线过原点，∴c＝0，把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得30164a ba b-=-⎧⎨=-⎩，解得14ab=⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y＝x2＋4x；(2)当AC＝BC时，如解图①，则点C在线段AB的垂直平分线与坐标轴的交点处，第4题解图①∵A (－1，－3)，B (－4，0)，∴线段AB 的中点坐标H 为(－52，－32)， ∵A (－1，－3)，B (－4，0)，∴∠ABO ＝45°，∴∠BC 1H ＝45°， ∴∠C 2C 1O ＝45°，设线段AB 的垂直平分线的解析式为y ＝x ＋d ，∴－32＝－52＋d ，解得d ＝1，∴线段AB 的垂直平分线的解析式为y ＝x ＋1， 令x ＝0可得y ＝1，令y ＝0可求得x ＝－1，∴C (－1，0)或(0，1)； 第4题解图② 综上可知，存在满足条件的点C ，其坐标为(－1，0)或(0，1)；(3)如解图②，过点P 作PQ ⊥EF ，交EF 于点Q ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ， ∵PE ∥OA ，GE ∥AD ，∴∠OAD ＝∠PEG ，∠PQE ＝∠ODA ＝90°， ∴△PQE ∽△ODA ，∴EQ ADPQ OD=，即EQ ＝3PQ ， ∵直线AB 的解析式为y ＝－x －4，∴∠ABO ＝45°＝∠PFQ ＝∠FPQ ， ∴PQ ＝FQ ，∴EF ＝4PQ ，∵S △BGF ＝3S △EFP ，∴12GF 2＝3³12³4PQ 2，∴GF ＝，∴EF GF ===类型三等腰三角形的存在探究1.如图，抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－2，0)、B(5，0)两点，与y轴交于点C，点P(m，n)为x轴下方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线，D、E为垂足，用含有m的代数式表示四边形OEPD的周长l，并求出周长l的最大值；(3)作直线BC、OP，两直线交于点Q，试问是否存在点P，使得△QOC是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象经过点B(14，0)和C(0，－8)，对称轴为x＝4.(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点N以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PN被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点N的运动速度；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M使△MPN为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3.(2017眉山11分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于C 点，已知A (3，0)，且M (1，－ 83)是抛物线上另一点．(1)求a 、b 的值；(2)连接AC ，设点P 是y 轴上任一点，若以P 、A 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标；(3)若点N 是x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O 、A 重合)，过点N 作NH ∥AC 交抛物线的对称轴于H 点，设ON ＝t ，△ONH 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．第3题图答案1. 解：(1)根据题意得425025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则抛物线的解析式是y ＝12x 2－32x －5； (2)P (m ，n )在抛物线上，则n ＝12m 2－32m －5， 则l ＝2m －2(12m 2－32m －5)，即l ＝－m 2＋5m ＋10＝－(m －52)2＋654. ∵l ≤654，－2<m <5，则l 的最大值为654.(3)在y ＝12x 2－32x －5中，令x ＝0，解得y ＝－5，则C 的坐标是(0，－5)，则OC ＝OB ＝5，设线段BC 的解析式是y ＝kx ＋b ，则505k b b +=⎧⎨=-⎩，解得15k b =⎧⎨=-⎩，则线段BC 的解析式是y ＝x －5(0<x <5)．当OC 是等腰三角形的底边时，即OQ ＝CQ 时，则Q 的纵坐标是－52，把y ＝－52代入y ＝x －5得x ＝52，则Q 的坐标是(52，－52)； 当CQ 是等腰三角形的底边，即OC ＝OQ 时，此时Q 和B 重合，不符合题意； 当OQ 是等腰三角形的底边，即OC ＝CQ 时，CQ ＝5，且∠OCQ ＝45°，如解图，过点Q 作QF ⊥y 轴于点F . 则CF ＝QF＝2，则OF ＝5－2＝102-， 则Q 的坐标是(2，102)． 综上可得，Q 的坐标为(52，－52)或(2，102)． 第1题解图2. 解：(1)∵抛物线过C(0，－8)，∴c＝－8，即y＝ax2＋bx－8，由抛物线经过点(14，0)及对称轴为x＝4可得421961480baa b⎧-=⎪⎨⎪+-=⎩，解得2211621ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴该抛物线的解析式为y＝221x2－1621x－8;(2)存在直线CD垂直平分PN.由函数解析式为y＝221x2－1621x－8，可求出点A坐标为(－6，0)，在Rt△AOC中，AC10＝AD，故可得OD＝AD－OA＝4，点D在函数的对称轴上，∵直线CD垂直平分PN，∴∠PDC＝∠NDC，PD＝DN，由AD＝AC可得，∠PDC＝∠ACD，∴∠NDC＝∠ACD，∴DN∥AC，又∵点D是AB中点，∴DN为△ABC的中位线，∴DN＝12AC＝5，∴AP＝AD－PD＝AD－DN＝10－5＝5，∴t＝5÷1＝5秒，∴存在t＝5秒时，线段PN被直线CD垂直平分，在Rt△BOC中，BC=∵DN为△ABC的中位线，N是BC中点，∴CN∴点N(3)存在，如解图，过点N作NH⊥x轴于H，则NH＝12OC＝4，PH＝OP＋OH＝1＋7＝8，在Rt△PNH中，PN=①当MP＝MN，即M为顶点，则此时CD与直线x＝1的交点即是M点(上面已经证明CD垂直平分PN)，设直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵点C(0，－8)，点D(4，0)，∴直线CD的解析式为y＝2x－8，当x＝1时，y＝－6，∴M1(1，－6)；②当PN为等腰△MPN的腰时，且P为顶点．设直线x＝1上存在点M(1，y)，∵点P坐标为(－1，0)，从而可得PM 2＝22＋y2，又∵PN 2＝80，则22＋y2＝80，即yM2(1，，M3(1，－，③当PN为等腰△MPN的腰时，且N为顶点，点N坐标为(7，－4)，设直线x＝1存在点M(1，y)，则NM 2＝62＋(y＋4)2＝80，解得y＝－4或－－4；∴M4(1,－4＋)，M5(1，－4－)．综上所述，存在这样的点M，M的坐标为(1,－6)或(1，或(1，－或(1，－4＋)或(1，－4－)．第2题解图3. 解：(1)把点A(3，0)，M(1，－83)代入y＝ax2＋bx－2，得9320823a ba b+-=⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，解得2343ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；(2)设P点的坐标为(0，m)，由(1)知抛物线y＝23x2－43x－2，得点C的坐标为(0，－2)，∴PC 2＝(m＋2)2，P A2＝32＋(－m)2＝m2＋9，AC2＝32＋22＝13，①当AP＝AC时，根据等腰三角形的对称性，得点P与点C(0，－2)关于x轴对称，∴点P(0，2)；②当PC＝P A时，则PC2＝P A2，∴(m＋2)2＝m2＋9，解得m＝54，∴点P(0，54)；③当PC ＝AC 时，则PC 2＝AC 2，∴(m ＋2)2＝13，解得m∴点P (0，－2)或(0，－2，综上所述，点P 的坐标为(0，2)或(0，54)或(0，－2或(0，－2；(3)由抛物线y ＝23x 2－43x －2得，对称轴直线为x ＝1，第3题解图∵A (3，0)，C (0，－2)，∴直线AC 的解析式为y ＝23x －2， 如解图，∵直线NH ∥AC ，∴设直线NH 的解析式为y ＝23x ＋b ，∵N (t ，0)，∴b ＝－23t ，∴直线NH 的解析式为y ＝23x －23t ，当x ＝1时，y ＝23－23t ，∴H (1，23－23t )，∴当t ＝1时，点H 的坐标为(1，0)，此时与点N 重合，不能构成△ONH . ∵点N 在x 轴正半轴上，且在抛物线内， ∴分0＜t ＜1和1＜t ＜3两种情况进行讨论， ①当0＜t ＜1时，此时点H 在x 轴的上方，即23－23t ＞0， ∴S ＝12²t ²(23－23t )＝－13t 2＋13t ，即S ＝－13t 2＋13t (0＜t ＜1)；②当1＜t ＜3时，此时点H 在x 轴的下方，即23－23t ＜0， ∴S ＝12²t ²[－(23－23t )]＝13t 2－13t ，即S ＝13t 2－13t (1＜t ＜3)；综上所述，S ＝2211(01)3311(1)33t t t t t t ⎧-+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜3.类型四 直角三角形的存在探究1. (2017通辽改编)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过点A (－2，0)，B (2，2)，与y 轴交于点C .(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2的函数表达式．(2)若点D 在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2的对称轴上，求△ACD 的周长的最小值． (3)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D .(1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线BC 的函数表达式；(3)点E 为y 轴上一动点，线段CE 的垂直平分线交y 轴于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ＝34AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．3. (2017周口模拟)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3，0)，C(0，3)，点M是抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D.若OD＝m，△PCD 的面积为S，试判断S是否有最大值或最小值？并说明理由；(3)在线段MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第3题图答案1. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)过点A (－2，0)，B (2，2)，∴42204222a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1-412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为y ＝－14x 2＋12x ＋2. (2)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x ＝－2b a＝1，点C 的坐标为(0，2)， ∵点C 与点B 关于直线x ＝1对称，如解图，连接AB ，与对称轴x ＝1交于点D ，连接AC ，CD ，此时△ACD 的周长最小，最小为AC ＋AB .∵A (－2，0)，C (0，2)，B (2，2)，∴AC ＝22，AB ＝25，∴AC ＋AB ＝22＋2 5. 故△ACD 的周长最小值为22＋25.第1题解图(3)存在，点P 的坐标为(1，－3)或(1，1)．【解法提示】设P (1，t )，∵A (－2，0)，C (0，2)，由勾股定理可得AC 2＝8，AP 2＝(1＋2)2＋t 2，CP 2＝12＋(t －2)2，①当CP 为斜边时，由AC 2＋AP 2＝CP 2，即8＋(1＋2)2＋t 2 ＝12＋(t －2)2， 解得t ＝－3，此时点P 的坐标为(1，－3)；②当AP 为斜边时，由AC 2＋ CP 2 ＝ AP 2，即8＋12＋(t －2)2 ＝(1＋2)2＋t 2， 解得t ＝1，此时点P 的坐标为(1，1)；③当AC 为斜边时，由AP 2＋ CP 2 ＝ AC 2，即(1＋2)2＋t 2＋12＋(t －2)2 ＝8，此方程无解，故此种情况不存在；综上，当点P 的坐标为(1，－3)或(1，1)时，△ACP 为直角三角形．2. 解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x ＝1，∴－2b ＝1，解得b ＝－2， ∵抛物线与y 轴交于点C (0，－3)，∴c ＝－3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)当y ＝0时，x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴A (－1，0)，B (3，0)， 设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋n ，把C (0，－3)，B (3，0)分别代入得330n k n =-⎧⎨+=⎩，解得13k n =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的函数表达式为y ＝x －3；(3)①∵AB ＝4，∴PQ ＝34AB ＝3，∵PQ ⊥y 轴，∴PQ ∥x 轴，∴P 点和Q 点关于直线x ＝1对称，∴P 点的横坐标为－12，当x ＝－12时，y ＝x 2－2x －3＝－74，∴P (－12，－74)，∴F (0，－74)，∴FC ＝3－OF ＝3－74＝54，∵PQ 垂直平分CE 交y 轴于点F , ∴CE ＝2FC ＝52，∴当x ＝1时，y ＝－2，则D (1，－2)，过点D 作DG ⊥CE 于点G ，如解图①，第2题解图①∴DG ＝1，CG ＝1，∴GE ＝CE －CG ＝52－1＝32，在Rt △EGD 中，tan ∠CED ＝DG EG ＝23.②(1－2，－2)或(1－62，－52)．【解法提示】当∠CDE ＝90°时，如解图②所示，∵∠CDE ＝90°，∠OCB ＝45°，∴△CED 为等腰直角三角形．∴点P 、D 、Q 在一条直线上．把x ＝1代入y ＝x －3，得y ＝－2，∴D (1，－2)． 第2题解图② ∴点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入抛物线的解析式得，x 2－2x －3＝－2，解得x ＝1－2或x ＝1＋2(舍去)．∴点P 的坐标为(1－2，－2)当∠DEC ＝90°时，如解图③所示，则点E 的坐标为(0，－2)．∵点P 在CE 的垂直平分线上，∴点P 的纵坐标为－52.将y ＝－52代入抛物线的解析式得x 2－2x －3＝－52，解得x ＝1－62或x ＝1＋62，∵点P 在第三象限，∴P (1－62，－52)．当点E 在y 轴移动时，不存在∠ECD ＝90°的情况．综上所述，点P 的坐标为(1－2，－2)或(1－62，－52)．第2题解图③3. 解：(1)把B (3，0)，C (0，3)代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得⎩⎨⎧==++3039-c c b ，解得⎩⎨⎧==32c b ，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)S 有最大值．理由如下：∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴M (1，4)，设直线MB 的解析式为y ＝kx ＋n ，把B (3，0)，M (1，4)代入得⎩⎨⎧=+=+403n k n k ，解得⎩⎨⎧==62-n k ，∴直线BM 的解析式为y ＝－2x ＋6，∵OD ＝m ，∴P (m ，－2m ＋6)(1≤m <3)，∴S ＝12m ²(－2m ＋6)＝－m 2＋3m ＝－(m －32)2＋94，∵1≤m <3，∴当m ＝32时，S 有最大值，最大值为94；(3)存在，(32，3)或(－3＋32，12－62)．【解法提示】∠PDC 不可能为90°；当∠DPC ＝90°时，则PD ＝OC ＝3，即－2m ＋6＝3，解得m ＝32，此时P 点坐标为(32，3)，当∠PCD ＝90°时 ，则PC 2＋CD 2＝PD 2 ，即m 2＋(－2m ＋3)2＋32＋m 2＝(－2m ＋6)2，整理得m 2＋6m －9＝0，解得m 1＝－3－32(舍去)，m 2＝－3＋32，当m ＝－3＋32时，y ＝－2m ＋6＝6－62＋6＝12－62，此时P 点坐标为(－3＋32，12－62)，综上所述，当P 点坐标为(32，3)或(－3＋32，12－62)时，△PCD 为直角三角形．.类型五平行四边形的存在探究1. (2017岳阳10分)如图，抛物线y＝23x2＋bx＋c经过点B(3，0)，C(0，－2)，直线l：y＝－23x－23交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点(不与A，D重合)．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM＋PN的最大值；(3)设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．2. (2017临沂13分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A（2，-3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2017西宁12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3.若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为(3，0)，(0，1)．(1)求抛物线的解析式；(2)猜想△EDB的形状并加以证明；(3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上．请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图答案1. 解：(1)把B (3，0)，C (0，－2)代入y ＝23x 2＋bx ＋c ，得6+302b c c +=⎧⎨=-⎩，解得4-32b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2；(2)设P (a ，23a 2－43a －2)，则N (a ，－23a －23)，M (－a 2＋2a ＋2，23a 2－43a －2)，∴PM ＋PN ＝(－a 2＋2a ＋2－a )＋[－23a －23－(23a 2－43a －2)]＝－a 2＋a ＋2－23a －23－23a 2＋43a ＋2＝－53a 2＋53a ＋103＝－53(a －12)2＋154，∴当a ＝12时，PM ＋PN 有最大值，最大值为154；(3)①当EC 为平行四边形的一边时，PF ∥EC ，设P (m ，23m 2－43m －2)，则F (m ，－23m －23)，∵EC ＝－23－(－2)＝43，∴PF ＝|(23m 2－43m －2)－(－23m －23)|＝|23m 2－23m －43|＝43，当23m 2－23m －43＝43时，解得m 1＝1＋172，m 2＝1－172，当23m 2－23m －43＝－43时，解得m 3＝0(舍去)，m 4＝1，此时点F 的坐标为(1＋172，－17－33)或(1－172，17－33)或(1，－43)；②当EC 为平行四边形的对角线时，CP 平行且等于EF ，设直线CP 的解析式为y ＝－23x ＋b ，把C (0，－2)代入得b ＝－2，∴直线CP 的解析式为y ＝－23x －2，令23x 2－43x －2＝－23x －2，则x 1＝0(舍去)，x 2＝1，此时P (1，－83)，∴CP 2＝12＋(－83＋2)2＝139，设F (n ，－23n －23)，则EF 2＝n 2＋(23n )2＝139，解得n 1＝1(舍去)，n 2＝－1，此时F (－1，0)，综上所述，点F 的坐标为(1＋172，－17－33)或(1－172，17－33)或(1，－43)或(－1，0)．2. 解：(1)令x ＝0得y ＝－3.∴C (0，－3)，∴OC ＝3，∵OC ＝3OB ，∴OB ＝1，∴B (－1，0)，把A (2，－3)，B (－1，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3中，得304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)如解图，过点B 作BE ⊥AC ，交AC 延长线于点E .第2题解图∵C (0，－3)，A (2，－3)，∴AC ∥x 轴，∴BE ＝3.又∵OB ＝1，∴AE ＝3，∴AE ＝BE ，∴∠BAE ＝45°，∵∠BDO ＝∠BAC ＝45°，∴OB ＝OD ，∴点D 的坐标为(0，1)或(0，－1)．(3)存在．当AB ∥MN 时，由AB ＝MN ＝32，可知点M与对称轴的距离为3，由y＝x2－2x－3可得对称轴为直线x＝1，∴点M的横坐标为4或－2，把x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝4＋4－3＝5，∴M(－2，5)．把x＝4代入y＝x2－2x－3得y＝16－8－3＝5，∴M(4，5);当MN与AB互相平分时，四边形AMBN是平行四边形，由AC＝BN＝2，可知点M与点C重合，∴点M坐标为(0，－3)．综上所述，点M的坐标为(0，－3)或(－2，5)或(4，5)．3. 解：(1)在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，∴A(4，0)，C(0，3)，∵抛物线经过O、A两点，∴抛物线的顶点坐标为(2，3)，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3，把A点坐标代入可得0＝a(4－2)2＋3，解得a＝－3 4，∴抛物线的解析式为y＝－34(x－2)2＋3，即y＝－34x2＋3x；(2)△EDB为等腰直角三角形．证明：由(1)可知B(4，3)，D(3，0)，E(0，1)，∴DE2＝32＋12＝10，BD2＝(4－3)2＋32＝10，BE2＝42＋(3－1)2＝20，∴DE2＋BD2＝BE2，且DE＝BD，∴△EDB为等腰直角三角形；(3)存在．满足条件的点M的坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．【解法提示】设直线BE解析式为y＝kx＋b，把B、E两点的坐标代入可得3=41k bb+⎧⎨=⎩，解得121kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BE解析式为y＝12x＋1，当x＝2时，y＝2，∴F(2，2)，①当AF为平行四边形的一边时，M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M 到x轴的距离为2，∴点M的纵坐标为2或－2，在y＝－34x2＋3x中，令y＝2可得2＝－34x2＋3x，解得x＝6±233，∵点M在对称轴右侧的抛物线上，∴x>2，∴x＝6＋233，∴点M的坐标为(6＋233，2)，在y＝－34x2＋3x中，令y＝－2可得－2＝－34x2＋3x，解得x＝6±2153，∵点M在对称轴右侧的抛物线上，∴x>2，∴x＝6＋2153，∴点M的坐标为(6＋2153，－2)；②当AF为平行四边形的对角线时，∵A(4，0)，F(2，2)，∴线段AF的中点为(3，1)，即平行四边形的对称中心为(3，1)，设M(t，－34t2＋3t)，则－34t2＋3t＝2，解得t＝6±233，∵点M在对称轴右侧的抛物线上，∴t>2，∴t＝6＋233，∴点M的坐标为(6＋233，2)；综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．类型六三角形相似问题1. (2017海南16分)抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD.如图①.在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②.是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．第1题图2.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为(1-，0)、(0，3-)．(1)求抛物线的解析式；(2)点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；(3)在第(2)问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请写出所有满足条件的点P的坐标．第2题图3. (2016南宁)如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A (1，1)，且与直线y ＝x 2-交于B ，C 两点．(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标； (2)求证：△ABC 是直角三角形；(3)若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图答案1. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (5，0)，∴将点A (1，0)和点B (5，0)代入解析式中得3025530a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得35185a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2318355y x x =-+；(2)①存在．如解图①，过点D 作y 轴的垂线交y 轴于点E ，第1题解图①设P (t ，2318355t t -+)，则N (t ， 335t +)，∴PN ＝232155t t -+，联立2318355335y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1103x y =⎧⎨=⎩或227365x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C (0，3)，D (7，365)，∴DE ＝7，∴S △PCD ＝12²PN ²DE ＝12³(232155t t -+)³7＝2211471010t t -+＝22171029()10240t --+， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积取得最大值，最大值为102940.②存在．证明：∵CQ ⊥PM ，∴∠CQN ＝90°，设CQ ＝t ，则NQ ＝35t ，BM ＝5－t ，PM ＝2318355t t -+-，如解图②，当△CNQ ∽△BPM 时，第1题解图②CQ NQBM PM=， 即23 53185355tt t t t =--+-，整理得27100t t -+=，解得1t ＝2，2t ＝5(舍去)， ∴点P 的坐标为(2，95-)；如解图③，当△CNQ ∽△PBM 时，CQ NQPM BM=，第1题解图③23 53185355ttt t t =--+-，整理得29791700t t -+=，解得1t ＝349，2t ＝5(舍去)， ∴点P 的坐标为(349，5527-)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(2，95-)或(349，5527-)．2. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)、B (0，－3)，∴103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴点C 的坐标为(3，0)，∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴点E 的坐标为(1，－4)， 设点D 的坐标为(0，m )，如解图①，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，第2题解图①∴DC 2＝OD 2＋OC 2＝m 2＋32， DE 2＝DF 2＋EF 2＝(m ＋4)2＋12，∵DC ＝DE ，∴m 2＋9＝m 2＋8m ＋16＋1，解得m ＝－1， ∴点D 的坐标为(0，－1)；(3)∵C (3，0)，D (0，－1)，E (1，－4)， ∴CO ＝DF ＝3，DO ＝EF ＝1，根据勾股定理得，CD= 在△COD 和△DFE 中，90CO DF COD DFE DO EF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△DFE (SAS)，∴∠DCO ＝∠EDF ， 又∵∠DCO ＋∠CDO ＝90°，∴∠EDF ＋∠CDO ＝90°， ∴∠CDE ＝180°－90°＝90°，∴CD ⊥DE ，①当△DOC ∽△PDC 时，如解图②，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，连接PC ，第2题解图②∵△DOC ∽△PDC ，∴OC OD DC DP =1DP=， 解得DP由EF ⊥y 轴，△DGP ∽△DFE 知， DG PG DPDF EF DE==，即31DG PG ==，解得DG ＝1，PG ＝13，当点P 在点D 的左边时，OG ＝DG －DO ＝1－1＝0，∴点P 的坐标是(13-，0)；当点P 在点D 的右边时，OG ＝DO ＋DG ＝1＋1＝2，∴点P 的坐标是(13，－2)；②当△DOC ∽△CDP 时，如解图③，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，连接PC ， ∵△DOC ∽△CDP ， ∴OC OD DP DC =，即3DP =， 解得DP＝由EF ⊥y 轴，△DGP ∽△DFE 知，DG PG DP DF EF DE ==，，即31DG PG ==，解得DG ＝9，PG ＝3， 当点P 在点D 的左边时，OG ＝DG －OD ＝9－1＝8， ∴点P 的坐标是(－3，8)；当点P 在点D 的右边时，OG ＝OD ＋DG ＝1＋9＝10， ∴点P 的坐标是(3，－10)，第2题解图③综上所述，存在以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似，满足条件的点P 的坐标分别为(－13，0)或(13，－2)或(－3，8)或(3，－10)．3. (1)解：由题可知，抛物线的顶点为A (1，1)，设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋1(a ≠0)，∵抛物线经过原点O (0，0)， 将O (0，0)代入，得0＝a (0－1)2＋1， 解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)2＋1＝－x 2＋2x . ∵直线y ＝x －2与抛物线交于B 、C 两点，联立得222y x y x x =-⎧⎨=-+⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或13x y =-⎧⎨=-⎩，∴B (2，0)，C (－1，－3)； (2)证明：如解图①，∵A (1，1)，B (2，0)，C (－1，－3)， ∴AF ＝2，CF ＝4，CD ＝3，BD ＝3，BE ＝1，AE ＝1， ∵在Rt △ABE 中，AB= 在Rt △BCD 中，BC=， 在Rt △ACF 中，AC=，∴在△ABC 中，AB 2＋BC 2＝2＋2＝20＝AC 2＝(2， ∴△ABC 为直角三角形；第3题解图①(3)解：存在．设N (x ，0)，则M (x ，－x 2＋2x )， 由(2)知，AB＝BC＝ 分两种情况讨论：①若点N 在点B 右侧，即x ＞2，x 与－x 2＋2x 异号，如解图②，△ONM 与△ABC 相似，则111M N AB ON BC =或222M N BC ON AB=，即22x x x -=或22x x x -=， 解得x 1＝73，x 2＝5，x 3＝0(舍去)．∴点N 的坐标为(73，0)或(5，0)；第3题解图②②若点N 在点B 左侧，即x ＜2，x 与－x 2＋2x 同号，如解图③，△ONM 与△ABC 相似，则333M N AB ON BC =或444M N BCON AB=，即22x x x -=-或22x x x -=-， 解得x 1＝53，x 2＝－1，x 3＝0(舍去)，∴点N 的坐标为(53，0)或(－1，0)．综上所述，存在满足条件的点N 的坐标为(73，0)或(5，0)或(53，0)或(－1，0)．第3题解图③。
2017年全国中考二次函数压轴题集锦附详细答案.doc
）））））））1．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，∠ ACB=90°，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线 y=x 2+bx+c 经过 A ， B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直角△ ABC 斜边 AB 上一动点（点 A 、B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F ，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 、F 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P ，使△ EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．．如图，关于 x 的二次函数2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （ 1，0）和点 B ，与 y 轴交于点 2 y=x C （ 0， 3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ． （1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点 P ，使△ PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点 P 的坐标； （3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时， 点 M 、 N 同时停止运动，问点 M 、N 运动到何处时，△ MNB 面积最大，试求出最大面积．3．如图，已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过 A （﹣ 1，0）、 B （4， 0）、C （0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠ DBA=∠CAO （O 是坐标原点），求点 D 的坐标；（3）点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点， 连接 PA 分别交 BC 、y 轴于点 E 、F ，若△ PEB 、△ CEF 的面积分别为 S 1、 S 2，求 S 1﹣S 2 的最大值．4．如图 1，已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数， a ≠ 0）的图象过点 O （ 0，0）和点 A）））））））（4，0），函数图象最低点M 的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l ，′l 与′线段 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△ BCE沿直线 l 折′叠，当点 E 恰好落在抛物线上点E′时（图 2），求直线 l 的′解析式；（3）在（2）的条件下， l 与′ y 轴交于点 N，把△ BON 绕点 O 逆时针旋转 135°得到△B′ON，′P为 l 上′的动点，当△ PB′N为′等腰三角形时，求符合条件的点 P 的坐标．5．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1， 0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且 AD=5，CD=8，将 Rt△ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6 ．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣2﹣ x+8 与 x 轴正半轴1 x交于点 A，与 y 轴交于点 B，连接 AB，点 M ，N 分别是 OA，AB 的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△ CDE始终保持边 ED经过点 M ，边 CD经过点 N，边 DE与 y 轴交于点 H，边 CD 与 y 轴交于点 G．（1）填空： OA 的长是，∠ ABO的度数是度；（2）如图 2，当 DE∥AB，连接 HN．①求证：四边形AMHN 是平行四边形；②判断点 D 是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图 3，当边 CD经过点 O 时，（此时点 O 与点 G 重合），过点 D 作 DQ∥ OB，交 AB 延长）））））））（点 P， Q 在直线 ED 的同侧），连接 PQ，请直接写出 PQ 的长．7．如图，抛物线 y= x2+ x+c 与 x 轴的负半轴交于点A，与 y 轴交于点 B，连结 AB，点 C（6，）在抛物线上，直线AC与 y 轴交于点 D．（1）求 c 的值及直线 AC的函数表达式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连结 PQ 与直线 AC 交于点 M，连结 MO 并延长交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点．①求证：△ APM∽△ AON；②设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长（用含 m 的代数式表示）．8．抛物线 y=4x2﹣2ax+b 与 x 轴相交于 A（ x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜ x2）两点，与 y 轴交于点C．（1）设 AB=2， tan∠ ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（ 1）中，若点 D 为直线 BC 下方抛物线上一动点，当△ BCD的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）是否存在整数 a，b 使得 1＜x1＜2 和 1＜x2＜ 2 同时成立，请证明你的结论．9．如图，抛物线 y=x2﹣2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），直线 l 与抛物线交于 A， C 两点，其中点 C 的横坐标为 2．（1）求 A， B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点（ P 与 A，C 不重合），过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于点E，求△ ACE面积的最大值；（3）若直线 PE为抛物线的对称轴，抛物线与 y 轴交于点 D，直线 AC与 y 轴交于点 Q，点 M 为直线 PE上一动点，则在 x 轴上是否存在一点 N，使四边形 DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点 M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点 H 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、H 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理10．如图， Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与 x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把 Rt△OAB绕点 O 逆时针旋转 90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线上有一动点P，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M 作x 轴的垂线，交x 轴于E，F 两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、 C、 H、 N 四点构成以 OC为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．11 ．如图（），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B 点坐标为（ 4，3），抛物线 y= x2+bx+c 1经过矩形 ABCO的顶点 B、C，D 为 BC的中点，直线 AD 与 y 轴交于 E点，与抛物线y= x2+bx+c交于第四象限的 F 点．（1）求该抛物线解析式与 F 点坐标；（2）如图（ 2），动点 P 从点 C 出发，沿线段 CB以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动；同时，动点 M 从点 A 出发，沿线段 AE 以每秒个单位长度的速度向终点 E 运动．过点 P作 PH⊥OA，垂足为 H，连接 MP，MH．设点 P 的运动时间为 t 秒．①问 EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t 的值；如果没有，请说明理由．②若△ PMH 是等腰三角形，请直接写出此时t 的值．2 12．如图，已知直线 y=kx﹣6 与抛物线 y=ax +bx+c 相交于 A，B 两点，且点 A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上．（2）在（ 1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点 P，使△ POB与△ POC全等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 Q 是 y 轴上一点，且△ ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．13．如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，直线 l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求 n 的值和抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0＜t ＜4）．DE∥y 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线l 上，且四边形 DFEG为矩形（如图 2）．若矩形 DFEG的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△ AOB绕点 M 沿逆时针方向旋转 90°后，得到△ A1O1B1，点 A、 O、B的对应点分别是点 A1、O1、B1．若△ A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．14．如图，四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，动点 P、 Q 同时从 A 点出发，点 P 沿 AB 以每秒）））））））运动，设运动时间为 t 秒．（1）当 t=2 秒时，求证： PQ=CP ；（2）当 2＜ t ≤4 时，等式 “PQ=CP ”仍成立吗？试说明其理由；（3）设△ CPQ 的面积为 S ，那么 S 与 t 之间的函数关系如何？并问 S 的值能否大于正方形 ABCD 面积的一半？为什么？，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x 2+x+2与 x 轴交于 A ，B 两点（点15．如图 1A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点C ． （1）求直线 BC 的解析式；（2）点 D 是线段 BC 中点，点 E 是 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE ，DE ．当△ CDE 的面积最大时，过点 E 作 y 轴垂线，垂足为 F ，点 P 为线段 EF 上一动点，将△ CEF 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90°，点 F ，P ，E 的对应点分别是 F ′， P ′， E ′，点 Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到点 F ′处，再沿 F ′C 运动到点 C 处，最后沿适当的路径运动到点 P ′处停止． 求△ CDE 面积的最大值及点 Q 经过的最短路径的长；（3）如图 2，直线 BH 经过点 B 与 y 轴交于点 H （0，3）动点 M 从 O 出发沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度向点 B 运动，同时动点 N 从 B 点沿 BH 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 H 运动，当点 N 运动到 H 点时，点 M ，点 N 同时停止运动，设运动时间为 t ．运动过程中，过点 N 作 OB 的平行线交 y 轴于点 I ，连接 MI ，MN ，将△ MNI 沿 NI 翻折得△ M ′NI ，连接 HM ′，当△ M ′HN 为等腰三角形时，求 t 的值．16．如图 1，直线与 x 轴、 y 轴分别交于 B 、 C 两点，经过 B 、C 两点的抛物线与 x轴的另一交点坐标为 A （﹣ 1，0）．（1）求 B、 C 两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；（2）P 在线段 BC上的一个动点（与 B、C 不重合），过点 P 作直线 a∥y 轴，交抛物线于点 E，交 x 轴于点 F，设点 P 的横坐标为 m，△ BCE的面积为 S．①求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；②求 S 的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；（3）过点 P 作直线 b∥x 轴（图 2），交 AC于点 Q，那么在 x 轴上是否存在点 R，使得△ PQR 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知正方形 OABC的边 OC、OA 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 B 坐标为（ 10，10），点 P 从O 出发沿 O→C→B运动，速度为 1 个单位每秒，连接 AP．设运动时间为t．（1）若抛物线 y=﹣（ x﹣h）2+k 经过 A、B 两点，求抛物线函数关系式；（2）当 0≤t ≤10 时，如图 1，过点 O 作 OH⊥AP 于点 H，直线 OH交边 BC于点 D，连接 AD，PD，设△ APD的面积为 S，求 S 的最小值；（3）在图 2 中以 A 为圆心， OA 长为半径作⊙ A，当 0≤ t≤20 时，过点 P 作 PQ⊥x 轴（ Q 在P 的上方），且线段 PQ=t+12：①当 t 在什么范围内，线段 PQ 与⊙ A 只有一个公共点？当 t 在什么范围内，线段 PQ 与⊙ A 有两个公共点？②请将①中求得的 t 的范围作为条件，证明：当 t 取该范围内任何值时，线段 PQ 与⊙ A 总有两个公共点．18．如图，二次函数 y=x2﹣4x 的图象与 x 轴、直线 y=x 的一个交点分别为点 A、 B， CD 是线段OB 上的一动线段，且 CD=2，过点 C、D 的两直线都平行于 y 轴，与抛物线相交于点 F、E，连接 EF．（1）点 A 的坐标为，线段OB的长=；（2）设点 C 的横坐标为 m①当四边形 CDEF是平行四边形时，求m 的值；②连接 AC、 AD，求 m 为何值时，△ ACD的周长最小，并求出这个最小值．19．如图，已知二次函数 y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3，顶点为 M．（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 为线段 BM 上的一个动点，过点P 作 x 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQ=m，四边形ACPQ的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段 BM 上是否存在点N，使△ NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y= x2 +mx+n 与直线 y=﹣x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点，连接AC，BC，已知 A（ 0， 3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠ BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P作 PQ⊥PA交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设 E 为线段 AC上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A （0，2），直线 y=x 与抛物线交于点 D，E（点 E 在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 G，EF⊥x 轴，垂足为 F，点 P 在抛物线上，且位于对称轴的右侧， PQ⊥ x 轴，垂足为点 Q，△ PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点 P 的坐标；（3）求证： CE=EF；（4）连接 PE，在 x 轴上点 Q 的右侧是否存在一点M，使△ CQM 与△ CPE全等？若存在，试求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．[ 注： 3+2 =（+1）2 ] ．22．阅读理解抛物线 y= x2上任意一点到点（ 0，1）的距离与到直线y=﹣1 的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1 与 y 轴交于 C 点，与函数 y=x2的图象交于 A， B两点，分别过 A，B 两点作直线 y=﹣1 的垂线，交于E， F 两点．（1）写出点 C 的坐标，并说明∠ ECF=90°；（2）在△ PEF中， M 为 EF中点， P 为动点．①求证： PE2+PF2=2（ PM2+EM2）；②已知 PE=PF=3，以 EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若 1＜PD＜ 2，试求 CP的取值范围．23．已知抛物线经过A（﹣ 3，0）， B（1， 0），C（2，）三点，其对称轴交x 轴于点 H，一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 C，与抛物线交于另一点 D（点 D 在点 C 的左边），与抛物线的对称轴交于点 E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，当 S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；（3）如图 2，设∠ CEH=α，∠ EAH=β，当α＞β时，直接写出 k 的取值范围．24．如图 1，已知直线 EA与 x 轴、 y 轴分别交于点 E 和点 A（ 0， 2），过直线 EA上的两点 F、G 分别作 x 轴的垂线段，垂足分别为 M（m，0）和 N（n，0），其中 m＜0，n＞0．（1）如果m=﹣4，n=1，试判断△ AMN 的形状；（2）如果 mn=﹣ 4，（1）中有关△ AMN 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图 2，题目中的条件不变，如果 mn=﹣4，并且 ON=4，求经过 M、A、 N 三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l 与线段AN 交于点P，点Q 是对称轴上一动点，以点 P、 Q、N 为顶点的三角形和以点 M 、A、N 为顶点的三角形相似，求符合条件的点 Q 的坐标．25．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1 个单位每秒的速度向点 B 运动，点 Q 同时从 C 点出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间为 t 秒，点 P 到达 B 点时，点 Q 同时停止运动．设 PQ 交直线 AC于点 G．（1）求直线 AC的解析式；（2）设△ PQC的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式；（3）在 y 轴上找一点 M ，使△ MAC 和△ MBC 都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的 M 点的坐标；（4）过点 P 作 PE⊥AC，垂足为 E，当 P 点运动时，线段 EG的长度是否发生改变，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（ 3， 0）两点，顶点为C．（1）求此二次函数解析式；（2）点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点，过点 A 作直线 l：交BD于点E，过点B作直线 BK∥AD 交直线 l 于 K 点．问：在四边形 ABKD的内部是否存在点 P，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（ 2）的条件下，若 M、N 分别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点，连结 DN、NM、MK，求 DN+NM+MK 和的最小值．27．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形 OABC的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在x 轴的正半轴上， OA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD⊥BC，交 OA 于点 D．将∠ DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、 x 轴的正半轴于点 E 和F．（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求 CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点 P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、Q 两点的坐标．28．如图，已知抛物线与x 轴交于点 A（﹣ 2，0），B（4，0），与 y 轴交于点 C（ 0，）．（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，在直线 CD的上方，y 轴及 y 轴的右侧的平面内找一点 G，使以点 G、F、C 为顶点的三角形与△ COE相似，请直接写出符合要求的点 G 的坐标；（3）如图，抛物线的对称轴与x 轴的交点 M，过点 M 作一条直线交∠ ADB 于 T，N 两点，①当∠ DNT=90°时，直接写出的值；②当直线 TN 绕点 M 旋转时，试说明：△ DNT 的面积 S△DNT=DN?DT；并猜想：的值是否是定值？说明理由．29．如图①， Rt△ABC中，∠ B=90°∠ CAB=30°， AC⊥x 轴．它的顶点 A 的坐标为（ 10，0），顶点 B 的坐标为，点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C的方向匀速运动，同时点 Q 从点 D （0，2）出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点 P 到达点 C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒．（1）求∠ BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点 P 在 AB 上运动时，△ OPQ 的面积 S 与时间 t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点 P 的运动速度．（3）求题（ 2）中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P 的坐标．（4）如果点 P，Q 保持题（ 2）中的速度不变，当t 取何值时， PO=PQ，请说明理由．30．如图，已知直线 l：y= x+2 与 y 轴交于点 D，过直线 l 上一点 E 作 EC丄 y 轴于点 C，且 C 点坐标为（ 0，4），过 C、E 两点的抛物线 y=﹣ x2+bx+c 交 x 轴于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧）．（1）求抛物线的解析式：（2）动点 Q 从点 C 出发沿线段 CE以 1 单位 / 秒的速度向终点 E 运动，过点 Q 作 QF⊥ED 于点F，交 BD 于点 H，设点 Q 运动时间为 t 秒，△ DFH的面积为 S，求出 S 与 t 的函数关系式（并直接写出自变量 t 的取值范围）；（3）若动点 P 为直线 CE上方抛物线上一点，连接 PE，过点 E 作 EM⊥ PE交线段 BD 于点 M ，当△ PEM 是等腰直角三角形时，求四边形 PMBE的面积．．已知在平面直角坐标系中，抛物线2+bx+c（ a≠0，且 a，b，c 为常数）的对称轴为：31 y=ax直线 x= ，与 x 轴分别交于点 A、点 B，与 y 轴交于点 C（0，﹣），且过点（ 3，﹣ 5），D 为 x 轴正半轴上的动点， E 为 y 轴负半轴上的动点．（1）求该抛物线的表达式；（2）如图 1，当点 D 为（ 3，0）时， DE交该抛物线于点 M，若∠ ADC=∠CDM，求点 M 的坐标；（3）如图 2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED 与新抛物线仅有唯一交点Q 时， y 轴上是否存在一个定点 P 使 PE=PQ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共31 小题）1．（2017 秋 ?上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ ACB=90°，AC=BC，OA=1， OC=4，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直角△ ABC斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF的长度最大时，求点 E、F 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P，使△ EFP是以 EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 151：代数综合题； 32 ：分类讨论．【分析】（ 1）根据 AC=BC，求出 BC的长，进而得到点 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，用含 m 的式表示出 E，F 的坐标，求出 EF的长度最大时 m 的值，即可求得 E，F 的坐标；（3）分两种情况：∠ E﹣90°和∠ F=90°，分别得到点 P 的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点 P 的值．【解答】解：（1）∵ OA=1， OC=4，AC=BC，∴BC=5，∴A（﹣ 1，0），B（4，5），抛物线 y=x2+bx+c 经过 A， B 两点，∴，解得：，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线 AB 解析式为： y=kx+b，直线经过点 A， B 两点，∴，解得：，∴直线 AB 的解析式为： y=x+1，设点 E 的坐标为（ m， m+1），则点 F（ m，m2﹣2m﹣3），∴EF=m+1﹣ m2+2m+3=﹣ m2+3m+4=﹣（ m﹣）2+，∴当 EF最大时， m=，∴点 E（，），F（，）；（3）存在．即 x2﹣ 2x﹣3=，解得：x1=，x2=，∴点 P1（，），P2（，），②当∠ EFP=90°时，点 P 的纵坐标为，即 x2﹣ 2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），∴点 P3（，），综上所述， P1（，），P2（，），P3（，）．【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（ 3）小题要注意分类讨论，分∠ E=90°和∠F=90°两种情况．2．（2017 秋?鄂城区期中）如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（ 0， 3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D．（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点P，使△ PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从点D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点M、 N 同时停止运动，问点 M 、N 运动到何处时，△ MNB 面积最大，试求出最大面积．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）代入 A（ 1， 0）和 C（0，3），解方程组即可；（2）求出点 B 的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△ PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：① CP=CB；② BP=BC；③ PB=PC；（3）设 AM=t 则 DN=2t，由 AB=2，得 BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点 M 在 D 点，点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处．【解答】解：（1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 y=x2+bx+c，解得： b=﹣4，c=3，2∴二次函数的表达式为：y=x ﹣ 4x+3；解得： x=1 或 x=3，∴B（3，0），∴BC=3 ，）））））））①当 CP=CB时， PC=3 ，∴ OP=OC+PC=3+3 或 OP=PC﹣ OC=3 ﹣3∴P1（0，3+3 ），P2（0，3﹣3 ）；②当 BP=BC时， OP=OB=3，∴P3（0，﹣ 3）；③当 PB=PC时，∵OC=OB=3∴此时 P 与 O 重合，∴P4（0，0）；综上所述，点 P 的坐标为：（0，3+3 ）或（ 0， 3﹣ 3 ）或（ 0，﹣ 3）或（ 0， 0）；（3）如图 2，设 A 运动时间为 t ，由 AB=2，得 BM=2﹣t ，则 DN=2t，∴S△MNB= ×（ 2﹣t）× 2t=﹣t2 +2t=﹣（ t﹣ 1）2+1，即当 M（2，0）、 N（ 2， 2）或（ 2，﹣ 2）时△ MNB 面积最大，最大面积是1．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．3．（2017?泸州）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过 A（﹣ 1，0）、B（4，0）、C（ 0， 2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠ DBA=∠CAO（O 是坐标原点），求点 D 的坐标；（3）点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 PA分别交 BC、y 轴于点 E、F，若△ PEB、△ CEF的面积分别为 S1、 S2，求 S1﹣S2的最大值．）））））））【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点 D 在 x 轴上方时，则可知当 CD∥AB 时，满足条件，由对称性可求得 D 点坐标；当点D 在 x 轴下方时，可证得 BD∥AC，利用 AC的解析式可求得直线 BD 的解析式，再联立直线 BD 和抛物线的解析式可求得 D 点坐标；（3）过点 P 作 PH∥y 轴交直线 BC于点 H，可设出 P 点坐标，从而可表示出PH 的长，可表示出△ PEB的面积，进一步可表示出直线AP 的解析式，可求得 F 点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出 E 点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得 S1﹣S2的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）当点 D 在 x 轴上方时，过 C 作 CD∥AB 交抛物线于点 D，如图 1，∵A、B 关于对称轴对称， C、 D 关于对称轴对称，∴四边形 ABDC为等腰梯形，∴∠ CAO=∠ DBA，即点 D 满足条件，∴D（3，2）；当点 D 在 x 轴下方时，∵∠ DBA=∠ CAO，∴BD∥ AC，∵C（0，2），∴可设直线 AC解析式为 y=kx+2，把 A（﹣ 1，0）代入可求得 k=2，）））））））∴可设直线 BD 解析式为 y=2x+m ，把 B （4，0）代入可求得 m=﹣8， ∴直线 BD 解析式为 y=2x ﹣8，联立直线 BD 和抛物线解析式可得，解得或，∴D （﹣ 5，﹣ 18）；综上可知满足条件的点 D 的坐标为（ 3， 2）或（﹣ 5，﹣ 18）；（3）过点 P 作 PH ∥y 轴交直线 BC 于点 H ，如图 2，设 P （t ，﹣ t 2+ t+2），由 B 、C 两点的坐标可求得直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+2，∴H （t ，﹣ t+2），∴PH=y P ﹣y H =﹣ t 2+ t+2﹣（﹣ t+2）=﹣ t 2+2t ，设直线 AP 的解析式为 y=px+q ，∴，解得 ，∴直线 AP 的解析式为 y=（﹣ t+2）（x+1），令 x=0 可得 y=2﹣ t ，∴F （0，2﹣ t ），∴CF=2﹣（ 2﹣ t ）= t ，联立直线 AP 和直线 BC 解析式可得，解得 x=，即 E 点的横坐标为，∴S 1（ B ﹣x E ）= （﹣ t 2+2t ）（4﹣ ），S 2= ? ? ，= PH x∴S 1﹣S 2 （﹣ t 2 +2t ）（4﹣ ）﹣ ? ?=﹣ t 2+4t=﹣ （t ﹣ ）2+，=∴当 t= 时，有 S 1﹣S 2 有最大值，最大值为．【点评】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（ 1）中注意待定系数法的应用，在（ 2）中确定出 D 点的位置是解题的关键，在（ 3）中用 P 点的坐标分别表示出两个三角形的面4．（2017?南充）如图 1，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数， a≠0）的图象过点 O （0，0）和点 A（4，0），函数图象最低点 M 的纵坐标为﹣，直线 l 的解析式为 y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l ′，l ′线段与 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△ BCE沿直线 l 折′叠，当点 E 恰好落在抛物线上点E′时（图 2），求直线 l 的′解析式；（3）在（2）的条件下， l 与′ y 轴交于点 N，把△ BON 绕点 O 逆时针旋转 135°得到△ B′ON，′P 为 l ′的动点，当△上 PB′N为′等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（ 2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（ 0，0）代入得到 a= ，即可解决问题；（2）如图 1 中，设 E（m，0），则 C（ m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），由 E、 B 关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可①当 P 与 N 重合时，△P ′是′等腰三角形，此时（0，﹣ 3）．②1 1B N P1当 N′=N′时B′，设 P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（ 2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣ 2）2﹣，把（ 0，0）代入得到 a= ，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．（2）如图 1 中，设 E（m，0），则 C（ m， m2﹣ m），B（﹣ m2+ m， 0），∵E′在抛物线上，易知四边形 EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，∴E、B 关于对称轴对称，∴=2，解得 m=1 或 6（舍弃），∴B（3，0）， C（ 1，﹣ 2），∴直线 l 的′解析式为 y=x﹣3．（3）如图 2 中，①当 P1与 N 重合时，△ P1′是′等腰三角形，此时1（0，﹣ 3）．B N P②当 N′=N′时B′，设 P（ m，m﹣ 3），则有（ m﹣）2+（m﹣ 3﹣）2=（3 ）2，解得 m= 或，∴P2（，），P3（，）．综上所述，满足条件的点 P 坐标为（ 0，﹣ 3）或（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式）））））））5．（2017?宜宾）如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且 AD=5，CD=8，将 Rt△ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）由 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得 C 点坐标，设平移后的点 C 的对应点为 C′，则 C′点的纵坐标为 8，代入抛物线解析式可求得 C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得 m 的值；（3）由（ 2）可求得 E 点坐标，连接 BE交对称轴于点 M，过 E 作 EF⊥x 轴于点 F，当 BE为平行四边形的边时，过 Q 作对称轴的垂线，垂足为 N，则可证得△ PQN≌△ EFB，可求得 QN，即可求得 Q 到对称轴的距离，则可求得 Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得 Q 点坐标；当 BE 为对角线时，由 B、 E 的坐标可求得线段 BE的中点坐标，设 Q（x， y），由 P 点的横坐标则可求得 Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q 点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1，0），B（5，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）∵ AD=5，且 OA=1，∴OD=6，且 CD=8，∴C（﹣ 6，8），设平移后的点 C 的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1 或x=3，∴C′点的坐标为（ 1， 8）或（ 3，8），∵C（﹣ 6，8），∴当点 C 落在抛物线上时，向右平移了7 或 9 个单位，∴m 的值为 7 或 9；（3）∵ y=﹣x2+4x+5=﹣（ x﹣2）2+9，。
初三数学中考专题：二次函数压轴题
初三数学中考专题：二次函数压轴题二次函数压轴题是中考数学中一个非常重要的考点，因此我们需要认真掌握这种题型的解题方法。
下面，本文将详细介绍什么是二次函数压轴题以及如何解决这类题目。
一、什么是二次函数压轴题？二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2+bx+c$（$a \neq0$），其中$a$、$b$、$c$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。
二次函数有一个重要的特征，即二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
二次函数压轴题是一类二次函数题目。
其中，通过将二次函数进行平移和伸缩，使得二次函数的图像形状不变，但是在坐标系中的位置发生了变化。
具体来说，二次函数的图像通过在$x$轴或$y$轴上进行平移和伸缩来达到特定的形状。
这是非常重要的，因为平移和伸缩的过程可以化简二次函数的方程，从而更容易解决问题。
二、如何解决二次函数压轴题？1、平移平移是指将图像在坐标系中沿$x$轴或$y$轴移动。
我们可以将二次函数$f(x) = ax^2+bx+c$的图像向左平移$p$个单位，记为$f(x-p)$，或者向右平移$p$个单位，记为$f(x+p)$，其中$p$是平移的距离。
类似地，我们可以将图像向上平移$q$个单位，或者向下平移$q$个单位，记为$f(x)+q$或$f(x)-q$，其中$q$是垂直平移的距离。
平移后的二次函数方程可以表示为：$f(x-p) = a(x-p)^2+b(x-p)+c$$f(x)+q = a(x+q)^2+b(x+q)+c$$f(x)-q = a(x-q)^2+b(x-q)+c$这种情况下，我们需要根据题目所给的条件确定平移的距离$p$和$q$。
如果没有给定具体的数值，我们可以通过将二次函数变换为标准形式（$f(x) = a(x-h)^2+k$）来确定平移的距离。
具体来说，当我们将二次函数变换为标准形式时，二次项和一次项都会被合并到$x-h$的平方中，因此平移的距离为$h$和$k$。
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2017中考考点预测与复习（四）二次函数(压轴题) 中考考点分析
例1．（2016•菏泽在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．
【跟踪练习】
2．（10分）（2015•菏泽）已知关于x 的一元二次方程x 2
+2x+=0有两个不相等的实数根，k 为正整数．
（1）求k 的值；
（2）当二次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x 的二次函数y=x 2
+2x+
的图象交于A 、B 两点，若
M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ⊥x 轴，交二次函数的图象于点N ，求线段MN 的最大值及此时点M 的坐标；
（3）将（2）中的二次函数图象x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b 与该新图象恰好有三个公共点，求b 的值．
3．（2014菏泽）（本题10分）在平面直角坐标系xOy ，已知抛物线y=x 2
-2mx+m 2
-9． (1)求证：无论m 为何值，该抛物线与x 轴总有两个交点；
(2)该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，且OA ＜OB ，与y 轴的交点坐标为（O ，-5），求此抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴与x 轴的交点为N ，若点M 是线段AN 上的任意一点，过点M 作直线MC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，记点C 关于抛物线对称轴的对称点为D ，点P 是线段MC 上一点，且满足MP=
4
1
MC ，连结CD,PD ，作PE ⊥PD 交x 轴与点E,问是否存在这样的点E ，使得PE=PD ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
二、二次函数中的存在性问题
例2. (2016·新疆)如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．
【跟踪练习】
1．（2016·山东枣庄）25. (本题满分10分)
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.
⑴若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
第25题图
2.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b （a>0）与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的右侧，且点B 的坐标为(-1，
0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．连接AC 、CD ，∠ACD =90°． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B 、A 、F 、E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
3．（2013菏泽）（10分）如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数y=x+3的图象与y 轴的交点，点B 在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形
ABCD 能构成平行四边形．
（1）试求b ，c 的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，有PQ ⊥AC ？
②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？
F。